2021年福州一中招生综合素质测试数学题目及详细答案
福建省福州一中2021届高三数学5月校质检 文(1)
福建省福州一中数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份（总分值150分 考试时刻120分钟）参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式s=222121()()()n x x x x x x n ⎡⎤-+-++-⎣⎦… V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中有且只有一项为哪一项符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）1.设复数121,2z i z bi =+=+, 假设12z z ⋅为纯虚数,那么实数b = A.2 B.2- C.1 D.1-2.以下导数运算正确的选项是 A. 211()1x x x'+=+B. 2(cos )2sin x x x '=- C. 3(3)3log x xe '= D. 21(log )ln 2x x '=3.一个首项为23，公差为整数的等差数列，若是前6项均为正数，第7项起为负数，那么它 的公差为 A ．－2B ．－3C ．－4D ．－64.运行下面的程序，若是输入的n 是6，那么输出的p 是A. 120B. 720C. 1440D. 5040 5.将一个整体分为A, B, C 三层,其个体数之比为523,假设用分层抽样 抽取容量为200的样本,那么应从C 中抽取的个体数是A. 20B. 40C. 60D. 806.将函数cos()3y x π=-的图像上各点的横坐标伸长到原的2倍(纵坐标不变),再向左平移6π个单位,所得函数图像的一条对称轴为 A. 9x π=B. 8x π=C. 2x π=D. x π=7. 已知函数2(10)(),1)x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩那么以下图象错误的是8.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 在1A D 上且12A E ED =,点F 在AC 上且2CF FA =, 那么EF 与1BD 的位置关系是A. 相交不垂直B. 相交垂直C. 异面D. 平行9.已知A 、B 为平面内两定点, 过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N, 若2MN AN NB λ=⋅, 其中λ为常数, 那么动点M 的轨迹不可能是 A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线10.已知12,F F 别离为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右核心, P 为双曲线右支上一点,知足212PF F F =,直线1PF 与圆222x y a +=相切, 那么该双曲线的离心率是 A.43 B. 53 C. 54D.以上都不正确 11.已知2a b >≥, 现有以下不等式 ①23b b a >-; ②41112()ab a b+>+; ③ab a b >+; ④log 3log 3a b >; 其中正确的选项是A. ②④B.①②C.③④D.①③12.设A 是整数集的一个非空子集,关于k A ∈, 若是1k A +∉且1k A -∉, 那么称k 是A 的一个“孤立元素”. 现给定集合{}1,2,3,4,5,6,7,8S =由S 的3个元素组成的所有集合中,不含“孤立元素”的集合共有多少个A. 6B. 7C. 8D. 9 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13.式子4327log 3的值为__________________________. 14.设命题21:01x p x -<-. 命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤. 假设p 是q 的充分没必要要条 件.那么实数a 的取值范围是____________________________. 1[0,]215.设点(,)a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点,记A ={}2()41(0)[1,)x f x ax bx a =-+>+∞关于的一元二次函数在上是增函数, 那么事件A 发生的概率是_____________________________. 1/316.如下图, △ABC 是边长为1的正三角形，且点P 在边BC 上运动. 当PA PC ⋅取得最 小值时，那么cos PAB ∠的值为________________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明进程或演算步骤．17.（本小题总分值12分）已知等差数列{}n a 中，n S 是它前n 项和，设10,2106==S a . (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)假设从数列{}n a 中依次掏出第2项，第4项，第8项，……，第2n项，……，按掏出的顺序组成一个新数列{}n b ，试求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.（本小题总分值12分）某学校甲、乙两位学生参加数学竞赛的培训,在培训期间,他们参加5次初赛,成绩记录如下 (I)用茎叶图表示这两组数据;(II)现要从甲、乙两人当选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你以为选派哪位学生参赛更适合? 并说明理由.19.（本小题总分值12分）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边别离为,,a b c , 且A ∠知足22cos A 23cos A A -1=-,(I)假设3,2a c ==, 求ABC ∆的面积; (II)求02cos(60)b ca C -⋅+的值.20.（本小题总分值12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为3的正方形,平面PCD ⊥底面ABCD,E 是 PC 的中点.(I)求证//PA BDE 平面; (II)假设22PD PC DC ==,求证平面PDA ⊥平面PCB ; (III)假设侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD=4.求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积. 21.（本小题总分值12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++恒过的定点F 为椭圆的一个核心，且椭圆上的点到核心的最大距离为3. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）假设直线MN 为垂直于x 轴的动弦，且N M ,均在椭圆C 上，定点)0,4(T ，直线 MF 与直线NT 交于点S ．①求证：点S 恒在椭圆C 上； ②求MST ∆面积的最大值． 22.(本小题总分值14分) 已知函数21()2ln 2f x x x a x =-+有两个极值点12,x x 且12x x < (I)求实数a 的取值范围,并写出函数()f x 的单调区间; (II)判定方程()(1)f x a x =+根的个数并说明理由; (III)证明232ln 2()8f x -->.高三 (文科)数学校质检试卷答案一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 题号 1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A DCBCCBDCBDA二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13． 14-_________ ; 14． __1[0,]2_____ ; 15．13; 16． ____513______ .三、解答题本大题共6小题,总分值74分,解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤. 17．（本小题总分值12分）解（Ⅰ）设数列d a a n ,,}{1公差分别为首项.那么由已知得 251=+d a ①，102910101=⨯+d a ② …………4分 联立①②解得)(102,2,81*∈-==-=N n n a d a n 所以…………6分（Ⅱ）),(102102212*+∈-=-⋅==N n a b n nn n ………………9分因此41021021)21(4221--=---=+++=+n n b b b T n n n n ………… 12分 18．（本小题总分值12分） 解 (1)作出的茎叶图如下…………4分 (2)派甲参赛比较适合. 理由如下1(8282799587)855x =++++=甲…………5分 1(9575809085)855x =++++=乙…………6分2222221[(7985)(8285)(8285)(8785)(9585)]31.65s =-+-+-+-+-=甲……8分2222221[(7585)(8085)(8585)(9085)(9585)]505s =-+-+-+-+-=乙……10分∵22,;x x s s <<乙乙甲甲 ∴甲的成绩较稳固,派甲参赛比较适合. ……12分19．（本小题总分值12分）解 (1)由已知 22cos A 23cos A A -1=-, 可得sin(2)16A π-=,∵1102(,)266662A A A ππππππ<<∴-∈-⇒∴-=即3A π∠=.………… 2分在ABC ∆中,由余弦定理得 22224121cos 242b c a b A bc b +-+-===解得4b =或2b =-(舍去); ………… 4分 ∴113sin 4223222ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=………… 6分 (2)原式=0002sin()2sin 2sin 22sin sin 2sin 32sin cos(60)sin cos(60)sin cos(60)C CR B R C B C R A C A C A C π---⨯-==⋅+⋅+⋅+…… 9分 00033cos sin 3cos(60)22233cos(60)cos(60)C CC C C -+==++………… 12分 20．（本小题总分值12分） 解 (1)连接AC 交BD 于O, 连接EO.∵ABCD 是正方形, ∴O 为AC 中点, 已知E 为PC 的中点, ∴OE//PA. ………2分又∵OE ⊂平面BDE, PA ⊄平面BDE, ∴PA//平面BDE. …………3分 (2)在DPC ∆中, 2222,PD PC DC PD PC DC ==∴+= , 即DP ⊥PC. ……4分又已知 平面PCD ⊥底面ABCD, 平面PCD ∩平面ABCD=DC BC ⊥DC; ∴BC ⊥平面PDC, PD ⊂平面PDC, ∴PD ⊥BC, ………… 6分 BC 与PC 相交且在平面PBC 内.∴PD ⊥平面PCB, PD ⊂平面PDA, ∴平面PDA ⊥平面PCB. ………… 8分(3)过D 作PA 的垂线.垂足为H,那么几何体为以DH 为半径,别离以PH,AH 为高的两个圆锥的组合体. …………9分侧棱PD ⊥底面ABCD, ∴PD ⊥DA, PD=4, DA=DC=3, ∴PA=5431255PD DA DH PA ⋅⨯===,…………10分 22221133111248()53355V DH PH DH AHDH PA πππππ=⋅+⋅=⋅=⨯⨯= …………12分21．（本小题总分值12分）解：（1）直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++可化为 033)12(=-++--y x y x m ，……1分 由⎩⎨⎧=-+=--033012y x y x 得⎩⎨⎧==01y x ，)0,1(F ∴， 1=∴c ， ………… 3分又3=+c a ，2=∴a ，.3222=-=∴c a b ∴椭圆的方程为.13422=+y x ………4分 （2）①设直线MN 的方程为s x =，那么可设),(),,(t s N t s M -，且.124322=+t s直线MF 的方程为)1(1--=x s t y ，直线NT 的方程为).4(4---=x s t y …… 6分 联立求得交点)523,5285(---s t s s S ，…… 7分 代入椭圆方程124322=+y x 得， 222)52(1236)85(3-=+-s t s ，化简得：.124322=+t s∴点S 恒在椭圆C 上. ……………… 8分②直线MS 过点)0,1(F ，设其方程为1+=my x ，).,(),,(2211y x S y x M 联立⎩⎨⎧=++=1243122y x my x 得096)43(22=-++my y m ， .439,436221221+-=+-=+∴m y y m m y y ………… 9分 2222122112)43(1184)(23321++=-+=-⨯=∆m m y y y y y y S MST， 令)1(12≥+=u m u ，那么.6191)13()43(12222++=+=++uu u u m mu u 19+在),1[+∞上是增函数， uu 19+∴的最小值为10. .294118=⨯≤∴∆MST S ………………………………………12分 22．（本小题总分值14分）解(Ⅰ)由题设知,函数)(x f 的概念域为(0,)+∞,222()1a x x a f x x x x-+'=-+=;…………………1分且()0f x '=有两个不同的根, ∴2220,2x x a a x x -+==-+且(0)x >有两个交点.2211112()()4424a x x x =--++=--+有两个交点求得 1102,0.48a a <<⇒<< ∴a 的取值范围是1(0,)8.…………………3分(也可利用判别式1180,8a a ∆=-><即;又10,0x a =>∴>).∵1,2x =∴()()0;002121<'<<>'><<x f x x x x f x x x x 时，当时，或当 ∴()f x单调增区间为1(0,2和1()2++∞.单调减区间为11(22-+ ………………………5分 (Ⅱ)由已知方程 ()(1)f x a x =+212ln 2x x a x ax x ⇒-+--=0 ∴令21()(2)2ln 2t x x a x a x =-++, 22(2)2()(2)()(2)a x a x a x a x t x x a x x x-++--'=-++==…………………7分 0x →时,()t x →-∞;x →+∞时,()t x →+∞;∴()t x 有且只有1个零点, ∴原方程有且只有一个根. ……………………9分 (III)由(Ⅰ)可知x(0,)aa(,2)a 2 (,)a +∞()t x +0 -0 +()t x极大值极小值12221212(1)2x x a x x x x a +=⎧∴=-⋅⎨⋅=⎩ , ………………………10分而且由2x =得21(,1)2x ∈. ………………………11分 ∵21()2ln 2f x x x a x =-+=2121ln 2x x x x x -+⋅, 222222221()()ln 2f x x x x x x =-+- 2222222222()1(12)ln (12)ln x x f x x x x x x x -'⇒=-+-+=-, 其中21(,1)2x ∈………13分∴2()0f x '>, 函数()f x 在1(,1)2递增; ∴111111132ln 2()()()ln 22422428f x f -->=⨯-+-⋅=. ………………14分。
福建省福州市第一中学2022-学年高一数学在线自测自评质检试题(含解析)
福建省福州市第一中学2020-2021学年高一数学在线自测自评质检试题（含解析）一、单项选择题（共8题，每题3分） 1.设12log 3a =，132b =，0.113c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. a c b <<【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质解答即可；【详解】解：212log 3log 30a ==-<，13221b =>=，0.10111033⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭<⎭=⎝，即()0,1c ∈ 所以a c b << 故选：D【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性的应用，属于基础题.2.定义在R 上的偶函数()f x 在[]0,5上是增函数，且()53f =，则()f x 在[]5,0-上是（ ）A. 增函数，且最大值是3B. 减函数，且最大值是3C. 增函数，且最小值是3D. 减函数，且最小值是3【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数()f x 的图象关于y 轴对称，结合已知，分析()f x 在[]5,0-上单调性和最值，可得答案． 【详解】解：偶函数()f x 的图象关于y 轴对称，故偶函数()f x 在对称区间上单调性相反，若函数()f x 在[]0,5上是增函数且()53f =，即最大值是3， 则()f x 在[]5,0-上是减函数且()53f -=，即最大值是3，故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握偶函数()f x 的图象关于y 轴对称，在对称区间上单调性相反，是解答的关键．3.已知向量a =(－2,1)，b =(－3，0)，则a 在b 方向上的投影为 ( ) A. －2 B. 2C. －5D.【答案】B 【解析】【详解】a 在b 方向上的投影为623||a b b ⋅== 4.若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合11,0,,2,52M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A. 1 B. 3C. 7D. 31【答案】B 【解析】 【分析】由定义求出集合A 中的元素可为1-，2与12必然同时出现，然后利用n 集合的非空子集个数为21n -． 【详解】解：1A -∈，111=-- 2A ∈则12A ∈12A ∈则2A ∈ {}1A ∴=-或12,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或11,2,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，故选：B ．【点睛】本题考查集合与元素的关系，注意运用列举法，属于基础题．5.在直角坐标系中，函数322a y x a=+（a 为大于0的常数）所表示的曲线叫箕舌线.则箕舌线可能是下列图形中的（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，最后根据特殊值即可判断；【详解】解：因为()322a y f x x a==+定义域为R ，()()()332222a a f x f x x a x a -===+-+，故函数()322a y f x x a==+为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除D ； 又函数2yx 在()0,∞+上单调递增，函数()0ky k x=>在()0,∞+上单调递减， 根据复合函数的单调性可得函数()322a f x x a =+在()0,∞+上单调递减，故排除B ； 当0x =时，()322000a f a a==>+，故排除C ； 故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题.6.已知函数sin()0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，且此函数的图象如图所示，由点(,)P ωϕ的坐标是（ ）A. 2,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. 2,4π⎛⎫⎪⎝⎭C. 4,2π⎛⎫⎪⎝⎭D. 4,4π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先由函数图象与x 轴的相邻两个交点确定该函数的最小正周期，并利用周期公式求出ω的值，再将点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式，并结合函数在该点附近的单调性求出ϕ的值，即可得出答案．【详解】解：由图象可得函数的周期73288T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭∴2ππω=，得2ω=， 将3,08π⎛⎫⎪⎝⎭代入sin(2)y x ϕ=+可得3sin 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴324k πϕππ+=+ （注意此点位于函数减区间上） ∴2,4k k πϕπ=+∈Z由02πϕ<可得4πϕ=，∴点(,)ωϕ的坐标是(2,)4π，故选B ．【点睛】本题考查利用图象求三角函数()()sin 0y A x b A ωϕ=++>的解析式，其步骤如下：①求A 、b ：max min 2y y A -=，max min2y y b +=； ②求ω：利用一些关键点求出最小正周期T ，再由公式2Tπω=求出ω； ③求ϕ：代入关键点求出初相ϕ，如果代对称中心点要注意附近的单调性．7.甲船在岛B 的正南方A 处，10AB =千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ） A. 1507分钟 B.157分钟 C. 21.5分钟 D. 2.15分钟 【答案】A 【解析】分析：设经过x 小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B 岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案． 详解：假设经过x 小时两船相距最近，甲乙分别行至C ，D 如图示可知BC=10﹣4x ，BD=6X ，∠CBD=120°CD 2=BC 2+BD 2﹣2BC×BD×cosCBD=（10﹣4x ）2+36x 2+2×（10﹣4x ）×6x×12=28x 2﹣20x+100 当x=514小时即1507分钟时距离最小 故选A ．点睛：解决测量角度问题的注意事项 (1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．8.函数()2sin cos33f x x x =+的最小正周期为（ ） A. 15π B. 12πC. 6πD. 3π【答案】C 【解析】 【分析】直接利用函数的周期性质的应用求出结果． 【详解】解：函数2()sincos33xf x x =+的最小正周期相当于函数2sin 3y x =的最小正周期2323ππ=与函数cos3y x =的最小正周期23π的最小公倍数． 故答案为6π． 故选：C ．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．二、多项选择题（共2题，每题3分，错选不得分，漏选得1分） 9.将函数2y x =的图象向右平移6π个单位后，其图象的对称轴方程有（ ） A. 12x π=-B. 6x π=-C. 512x π=D. 712x π=【答案】AC 【解析】 【分析】由条件根据sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．【详解】解：()2y f x x =，若将它的图象向右平移6π个单位，得到函数()2263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，令232x k ππ-=π+，k Z ∈，解得212k x π5π=+，k Z ∈， 当0k =时，512x π=；当1k =-时，12x π=-；故选：AC ．【点睛】本题主要考查sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10.定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个不同的实数1x ，2x ，均有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在定义域D 上满足利普希茨条件.已知函数()()1f x x x =≥满足利普希茨条件，则以下哪些是常数k 的可能取值（ ）A. 2B. 1C.12D.13【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数满足利普希茨条件，分离参数，并化简，即可求得常数k 的最小值． 【详解】解：由题意，不妨设12x x >，则1212121x x kx x x x -=-+．因为1x ≥，所以122x x +≥，所以121102x x <≤+ 所以12k ≥，所以满足条件的有ABC ． 故选：ABC ．【点睛】本题是一个新定义的题，考查对新定义的理解能力及根据新定义的规则解答问题的能力，属于中档题.三、填空题（共4题，每题4分，有2个小空的每小空2分）11.如图，ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 中点，G 为交点，若AB a =，AD b =，则CG =________a +________b .【答案】 (1). 13- (2). 13- 【解析】 【分析】根据向量的加法运算及图形很容易表示出,DE BF ，对于CG 用两种方式表示：一种是，CG CD DG =+，DG 和DE 共线，所以存在x 使12DG xDE x a b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，这样便可表示(1)2x CG x a b =--；另一种是CG CB BG =+，用同样的办法表示(1)2yCG a y b =-+-，这样便可求得x ，y ，从而表示出CG ．【详解】解：根据图形得：12DE DC CE a b =+=-；12BF BC CF b a =+=-，CG CD DG =+，DG 和DE 共线，∴存在实数x 使12DG xDE x a b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；∴1(1)22x a x a b x a b ⎛⎫-+-=-- ⎪⎝⎭；又CG CB BG =+，∴同样(1)2yCG a y b =-+-；∴1212xy yx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得23x =，23y =．∴1133CG a b =--．故答案为：13-；13-； 【点睛】考查向量的加法运算，共线向量基本定理，共面向量基本定理，属于中档题． 12.已知()f x 是奇函数，当0x >时，()()2f x x x =-，则0x <时，()f x =________ 【答案】()()2f x x x =+ 【解析】 【分析】当0x <时，0x ->，由0x >时，()(2)f x x x =-，及奇函数的定义()()f x f x =--，代入可得答案．【详解】解：当0x <时，0x ->，奇函数的定义()()f x f x =--， 又当0x >时，()(2)f x x x =-，()()(2)f x f x x x ∴=--=+，综上所述0x <时，()(2)f x x x =+． 故答案为：()()2f x x x =+【点睛】本题是利用函数的奇偶性求函数在对称区间上的解析式，熟练掌握函数的奇偶性的定义是解答的关键．13.在ABC 中，60A =︒，45B =︒，12a b +=，则a =________；b =________【答案】 (1). 36- (2). 24【解析】 【分析】由正弦定理可得a b =，设a =，2b x =，因为12a b +=，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：由正弦定理得：sin sin a b A B=，即sin 60sin 45a b︒︒=所以a b =设a =，2b x =，因为12a b +=212x +=，解得12x =所以36a =-24b =故答案为：36-24【点睛】本题考查正弦定理解三角形，属于基础题；14.已知A ，B 是函数()3xf x =图像上纵坐标相等的两点，线段AB 的中点C 在函数()3xg x =的图像上，则点C 的横坐标的值为________【答案】12- 【解析】 【分析】()3x f x =-，设A ，B 的坐标分别为1(x ，13x -，2(x ，23x -+．可得12663333x x -+=-，线段AB 的中点12(2x x C +，1233)2x x -， 根据线段AB 的中点C 在函数()3xg x =的图象上，可得121223332x xx x +-=，即可解出． 【详解】解：()633xf x =-， 设A ，B 的坐标分别为1(x ，163)3x -，2(x ，263)3x -+． 则12663333x x -+=-，线段AB 的中点12(2x x C +，1233)2x x -， 线段AB 的中点C 在函数()3xg x =的图象上，∴121223332x xx x +-=， ∴1226333x x =-，代入121223332x xx x +-=， 化为：2222262633333x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-=， 化为：236333x =+，136333x =-， ∴12133x x +=，解得121x x +=-． 则点C 的横坐标的值为12-． 故答案为：12-． 点睛】本题考查了函数的图象与性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、解答题（共5题，15、16、17每题10分，18、19每题12分） 15.已知向量()1,1m =，向量n 与向量m 的夹角为34π，且m n ⋅1=-； （1） 求向量n ；（2） 设向量()1,0a =，向量()cos ,sin b x x =，其中x ∈R ，若0n a ⋅=，试求n b +取值范围．【答案】（1）(-1,0)n =或(0,-1)n =;（2）[]0,2n b ∈+ 【解析】【详解】试题分析：（1）先设出，由已知的运用向量的坐标运算得，再运用向量的数量积公式列出关于的方程；（2）在（1）的基础上表示出，进而表示出，其为关于的表达式，利用的范围求出的取值范围. （1）设由题意可知221{22()12x y x y +=-+⋅⋅-=-，联立解得10{{01x x y y =-===-或 所以或（6分） 由，，由（1）得（7分） 所以(cos ,sin 1)x x =-（9分） 所以()()2cos sin 122sin 21sin x x x x =+-=-=-又()sin 1,1x ∈-，所以[]0,2n b ∈+.故答案为：[]0,2n b ∈+考点1、向量的数量积；2、向量在三角函数中的应用.16.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos cos ()cos b A c B c a B -=-.（1）求B 的大小；（2）若D 在BC 边上，22BD DC ==，ABC ∆的面积为33sin CAD ∠.【答案】（1）3B π=（213 【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后利用两角和的正弦公式、诱导公式进行恒等变换，由此求得cos B 的值，进而求得B 的大小.（2）利用三角形ABC 的面积求得c ，由余弦定理求得AD ，利用勾股定理证得AD BD ⊥，由此求得AC 进而求得sin CAD ∠的值.【详解】（1）因为cos cos ()cos b A c B c a B -=-，所以sin cos sin cos (sin sin )cos B A C B C A B -=-，所以sin cos sin cos 2sin cos B A A B C B +=，即sin()2sin cos A B C B +=，因为在ABC ∆中，A B C π+=-，(0,)C π∈，所以sin 2sin cos C C B =，且sin 0C ≠， 所以1cos 2B =， 因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）因为22BD DC ==，所以1BD =，1CD =，3BC =，因为ABC ∆的面积为33，所以13sin 3323c π⨯=，解得4c =， 由余弦定理得222212cos 422422332AD AB BD AB BD π=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以()2222222316AD BD AB +=+==，即AD BD ⊥， 所以2213AC AD BD =+=，所以13sin 13CD CAD AC ∠==.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查运算求解能力，考查数形结合、函数与方程、化归与转化等数学思想.17.已知幂函数()y f x =的图像经过点)2,2， （1）求函数()f x 的解析式；（2）定义：若函数自变量取值区间为(),a b ，其值域区间为()2,2a b ，则称区间A 为该函数的倍值区间.①试求函数()f x 的形如()()0,c c R ∈的倍值区间；②设函数()()3g x f x x =-，试求函数()g x 的所有倍值区间.【答案】（1）()2f x x =（2）①()0,2②0,1，0,5 【解析】【分析】（1）设()f x x α=，代入计算可得； （2）①由（1）得22c c =，解得0c 或2，即可得解；②显然，因为函数值非负，所以区间左端点非负，若所求区间为()()0,c c R ∈型区间，则232c c c -=，解得1c =或5，再检验即可，若所求区间不是()0,c 型区间，则得方程组223232a a b b b a ⎧-=⎨-=⎩，解得即可；【详解】解：（1）设()f x x α=，则2f α==，解得2α=，所以()2f x x =；（2）①由（1）得22c c =，解得0c或2，(舍去零），所以所求区间为()0,2 ②因为()()233g x f x x x x =-=-显然，因为函数值非负，所以区间左端点非负.若所求区间为()()0,c c R ∈型区间，则232c c c -=，解得1c =或5 经检验，()0,1，()0,5均符合条件.若2c 为抛物线顶点纵坐标，则98c =，但9382<，不合题意 若所求区间不是()0,c 型区间，显然区间右端点不能超过3，且左端点应大于32在该单调减区间内，则223232a a b b b a ⎧-=⎨-=⎩该方程组无解. 故所求区间为()0,1，()0,5【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，函数新定义，属于中档题.18.求证三角恒等式：532sin tantan 22cos 4cos x x x x x-=+ 【答案】证明见解析【解析】【分析】证明的思路是两边同时化简，方法是利用两角和差的余弦公式和同角三角函数的基本关系化简，得到两式子相等即可． 【详解】证明：右边sin 5353cos cos 2222xx x x x =⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin sin 53532cos cos cos cos 2222x x x x x x == 左边535353sin sin sin cos cos sin sin 222222535353cos cos cos cos cos cos 222222x x x x x x x x x x x x x -=-===右边 【点睛】考查学生理解三角函数恒等式的证明思路，运用和差角的三角函数及同角三角函数的基本关系的能力，属于中档题．19.定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24x x f x a =++，121()log 1ax g x x -=-． （1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1a =-；（2）[3,)+∞；（3）[7,3]-．【解析】【详解】试题分析：（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求解实数a 的值．（2）求出函数121()log 1ax g x x -=-在区间9[,3]7上的值域为[3,1]--，结合新定义，即可求得结论；（3）由题意得函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，即()5f x ≤在区间[0,)+∞上恒成立，可得1116()()4()424x x x a --≤≤-上恒成立，求出左边的最大值右边的最小值，即可求实数a 的范围．试题解析：（1）因为函数()g x 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即112211log log 11ax ax x x +-=----， 即1111ax x x ax+-=---，得1a =±，而当1a =时不合题意，故1a =-． （2）由（1）得：121()log 1x g x x +=-， 而112212()log log (1)11x g x x x +==+--，易知()g x 在区间(1,)+∞上单调递增， 所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上单调递增， 所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上的值域为[3,1]--，所以()3g x ≤， 故函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成集合为[3,)+∞．（3）由题意知，()5f x ≤在[0,)+∞上恒成立，5()5f x -≤≤，1116()()4()424x x x a --≤≤-． ∴1162()42()22x x x x a -⋅-≤≤⋅-在[0,)+∞上恒成立． ∴max min 11[62()][42()]22x x x x a -⋅-≤≤⋅- 设2x t =，1()6h t t t =--，1()4P t t t =-，由[0,)x ∈+∞，得1t ≥． 易知()P t 在[1,)+∞上递增，设121t t ≤<，21121212()(61)()()0t t t t h t h t t t ---=>， 所以()h t 在[1,)+∞上递减，()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)7h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)3p =， 所以实数a 的取值范围为[7,3]-．考点：函数的最值及其几何意义；函数的奇偶性的性质；函数的恒成立问题的求解．【方法点晴】本题主要考查了与函数的性质相关的新定义问题，同时考查了函数的奇偶性及其应用、函数的最值及意义、函数的恒成立问题的的求解的综合应用，着重考查了换元法和转化的思想方法，涉及知识面广，难度较大．。
招生国统一考试数学文试题福建卷,含答案
绝密★启用前2021年普通高等招生全国统一考试〔卷〕数学试题〔文史类〕第I 卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1．复数的()12Z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于模为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设点(),,21:10P x y x y P l x y ==-+-=则“且”是“点在直线上”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．假设集合{}{}=1,2,3=1,3,4A B ⋂，，则A B 的子集个数为A ．2B ．3C ．4D ．64．双曲线221x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 A ．12B ．22C ．1D ．25．函数()()2ln 1f x x =+的图像大致是6．假设变量,x y 满足约束条件21,20,x y x z x y y +≤⎧⎪≥=+⎨⎪≥⎩则的最大值和最小值分别为 A ．43和 B ．42和 C ．32和 D ．20和 7．假设221,xyx y +=+则的取值范围是A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[]2,-+∞D ．[],2-∞-8．阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，假如输入某个正整数n 后，()10,20,S n ∈输出的那么的值为9．将函数()()()sin 2122f x x ππθθϕϕ⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭的图像向右平移个单位长度后得到函数()()()3,,02g x f x g x P ϕ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的图像若的图像都经过点，，则的值可以是A ．53π B ．56π C ．2π D ．6π10．在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-中，则该四边形的面积为AB．C ．5 D ．10 11．x y 与之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为,y bx a =+若某同学根据上表()()1,02,2中的前两组数据和求得的直线方程为,y b x a '''=+那么以下结论正确的选项是A ．,b b a a ''>>B ．,b b a a ''><C ．,b b a a ''<>D ．,b b a a ''<< 12．设函数()()()000f x R x x f x ≠的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的选项是A ．()()0,x R f x f x ∀∈≤B ．()0x f x --是的极小值点C ．()0x f x -是-的极小值点D ．()0x f x --是-的极小值点第II 卷〔非选择题 一共60分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分.()32,0,4tan ,0,2x x f x f f x x ππ⎧<⎛⎫⎪⎛⎫==⎨ ⎪ ⎪-≤≤⎝⎭⎝⎭⎪⎩则 .01,10a a -<之间的均匀随机数则时间“3?发生的概率为 .2222:1(0)x y P a b a b+=>>的左、右焦点分别为122.F F c 、，焦距为()122132,y x c P M MF F MF F =+∠=∠与椭圆的一个焦点满足那么该椭圆的离心率等于 .16．设S ，T 是R 的两个非空子集，假如存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足： 〔i 〕{}();T f x x S =∈〔ii 〕对任意121212,,()(),x x S x x f x f x ∈<<当时，恒有 那么称这两个集合“保序同构〞，现给出以下3对集合： ①,;A N B N *==②{}{}13,810;A x x B x x =-≤≤=-≤≤ ③{}01,.A x x B R =≤≤=其中，“保序同构〞的集合对的序号是_______。
福建省福州一中2021届高三数学5月校质检 理(1)
福建省福州一中数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份（总分值150分 考试时刻120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中有且只有一项为哪一项符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1. 已知命题p ：x R ∃∈，21x =．那么p ⌝是A ．x R ∀∉，21x ≠ B. x R ∀∈，21x ≠ C ．x R ∃∉，21x ≠D. x R ∃∈，21x ≠2. 设集合{}1,1M =-，{}2N a =，那么“1a =”是“MN M =”的A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又没必要要条件3. 执行如下图的程序框图，假设输入A 的值为2，那么输出的P 值为A ．2B ．3C ．4D ．54. 设变量,x y 知足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，那么2z x y =+的最大值为A.2-B. 3C. 4D. 65. 在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于A ．40B ．42C ．43D ．456. 若2sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么sin2α等于 A ．34 B ．34- C ．12 D ．12- 7. 函数()412x xf x +=的图象A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于直线y x =对称D ．关于原点对称8. 已知平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等，那么正确的结论是A ．平面ABC 必平行于αB ．平面ABC 必与α相交C ．平面ABC 必不垂直于αD ．存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内9. 已知共核心的椭圆和双曲线，核心为12,F F ，记它们其中的一个交点为P ，且12120F PF ∠=，那么该椭圆离心率1e 与双曲线离心率2e 必然知足的关系式为A ．1213144e e += B. 221231144e e += C ．221231144e e += D. 221213144e e += 10．设12,,,n A A A 为集合{}1,2,,S n =的n 个不同子集()4n ≥，为了表示这些子集，作n 行n 列的数阵，规定第i 行与第j 列的数为0,,1,,j ij j i A a i A ∉⎧⎪=⎨∈⎪⎩ 那么以下说法正确的个数是①数阵中第1列的数满是0当且仅当1A =∅; ②数阵中第n 列的数满是1当且仅当n A S =; ③数阵中第j 行的数字和说明元素j 属于12,,,n A A A 中的几个子集;④数阵中所有的2n 个数字之和不小于n ; ⑤数阵中所有的2n 个数字之和不大于21n n -+.A ．2 B. 3 C ．4 D. 5 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．假设复数1iz i=+，那么z 的共轭复数z ＝___________. 12．已知多项式()()()22012111nn n x x x b b x b x b x ++++++=++++，且知足12n b b b +++26=，那么正整数n 的一个可能值为___________.13．已知圆22:440C x y x y +--=，直线:36230l x y ++-=，在圆C 上任取一点A ，那么点A 到 直线l 的距离小于2的概率为________． 14. 已知()ln ln 1x x x '=+，那么1ln exdx =⎰___________.知15.已知两个非零向量a 和b 所成的角为()0θθπ≤≤，规定向量c a b =⨯，足：（1）模：sin c a b θ=；（2）方向：向量c 的方向垂直于向量a 和b （向量a 和b 组成的平面），且符合“右手定那么”：用右手的四指表示向量a 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度θ到向量b 的方向，大拇指所指的方向确实是向量c 的方向.如此的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积. 关于向量的叉乘运算，以下说法正确的选项是___________.①0a a ⨯=; ②0a b ⨯=等价于a 和b 共线; ③叉乘运算知足互换律，即a b b a ⨯=⨯;④叉乘运算知足数乘结合律，即()()()a b a b a b λλλ⨯=⨯=⨯.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明进程或演算步骤． 16．（本小题总分值13分）某学校随机抽取部份新生调查其上学所需时刻（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率散布直方图（如图），其中上学所需时刻的范围是[]100,0，样本数据分组为[)20,0，[)40,20，[)60,40，[)80,60，[]100,80，学校规定上学所需时刻不小于1小时的学生能够申请在学校住宿. （Ⅰ）求频率散布直方图中x 的值；（Ⅱ）依照频率散布直方图估量样本数据的中位数；（Ⅲ）用那个样本的频率散布估量整体散布，将频率视为概率，从能够住宿的学生当中随机抽取3人，记ξ为其中上学所需时刻不低于80分钟的人数，求ξ的散布列及其数学期望. 17. （本小题总分值13分）已知几何体A BCED -的三视图如下图，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形． （Ⅰ）求二面角E AD B --的余弦值;（Ⅱ）试探讨在棱DE 上是不是存在点Q ，使得 AQ BQ ⊥，假设存在，求出DQ 的长；假设不存在，请说明说明理由. 18. （本小题总分值13分）如图，直角三角形ABC 中，90B ∠=，1,3AB BC ==．点,M N 别离在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将AMN ∆沿MN 翻折，AMN ∆变成A MN '∆，使极点A '落在边BC 上(A '点和B 点不重合).设AMN θ∠=． （Ⅰ）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； （Ⅱ）求线段A N '长度的最小值． 19. （本小题总分值13分）已知抛物线C 的极点为坐标原点,其核心()(),00F c c >到直线l 20x y -+=的距离为322. （Ⅰ）求抛物线C 的方程;（Ⅱ）若M 是抛物线C 上异于原点的任意一点，圆M 与y 轴相切. （i ）试证：存在必然圆N 与圆M 相外切，并求出圆N 的方程；（ii ）假设点P 是直线l 上任意一点，,A B 是圆N 上两点，且AB BN λ=，求PA PB ⋅的取值范围. 20. （本小题总分值14分）已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）假设k Z ∈，且()f x kx k >-对任意1x >恒成立，求k 的最大值； （III ）假设()*2ln 23ln3ln 3,k a k k k k N =+++≥∈，证明：311nk ka =<∑()*,n k n N ≥∈． 21. 此题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，总分值14分．若是多做，那么按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题总分值7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵2413M ⎛⎫=⎪⎝⎭，2010N ⎛⎫= ⎪⎝⎭，（Ⅰ）求二阶矩阵X ，使MX N =；（Ⅱ）求圆221xy 在矩阵X 变换下的曲线方程.（2）（本小题总分值7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin2cos 0C a a ρθθ=>，已知过点()2,4P --的直线l的参数方程为：()2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩是参数，直线l 与曲线C 别离交于,M N ． （Ⅰ）写出曲线C 和直线l 的一般方程；（Ⅱ）若,,PM MN PN 成等比数列，求a 的值． （3）（本小题总分值7分）选修4-5：不等式选讲 已知,a b 为正实数.（Ⅰ）求证22a b a b b a+≥+；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论求函数()()221011x x y x xx-=+<<-的最小值.福州一中高考模拟数学试卷（2021年5月）参考答案（理科） 一．选择题 BACDB BADCC 二．填空题 11.12i -；12. 4；13. 14；14. 1；15. ①②④ 三．解答题16.解：（I ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.因此0.0125x. …………………………………3分（II ）设中位数为y ，那么()200.0125200.0250.5y ⨯+-⨯=，解得30y =因其中位数估量为30分钟. .……………6分 （III ）依题意得13,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，ξ的所有可能取值为0,1,2,3, .……………7分 ()311328P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.……………11分因此ξ的散布列为ξ 0 1 2 3P18 38 38 18因此ξ的数学期望是13322E ξ=⨯=..……………13分17. 解：（I ）由三视图知，,,CA CB CE 两两两垂直，以C 为原点，以,,CA CB CE所在直线为,,x y z 轴成立空间直角坐标系．……………1分则A （4，0，0），B （0，4，0），D （0，4，1），E （0，0，4）∴(0,4,3),(4,4,0)DE AB =-=-，x()()4,4,1,0,0,1DA BD =--=……………3分设面ADE 的法向量为(),,n x y z =，面ABD 的法向量为(),,m x y z '''=那么有00n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即430440y z x y z -+=⎧⎨--=⎩，取1z =得31,,14n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，m AB m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即4400x y z -+=⎧⎨=⎩，取1x =得()1,1,0m =，……………… 6分 设二面角E AD B --的大小为θ，由图可知θ为钝角故317824cos cos ,8241216n m n m n mθ+⋅=-=-=-=-⋅∴二面角E AD B --的余弦值为78282-．…………………………… 8分 （II ）∵点Q 在棱DE 上，∴存在()01λλ≤≤使得DQ DE λ=………………… 9分 同理()4,44,31AQ λλ=--+………………… 11分 即()()()2444+3+1=0λλλ--解得15λ=因此知足题设的点Q 存在，DQ 的长为1.…………………………13分 18. 解：（I ）设MA MA x '==，那么1MB x =-． 在Rt MBA '∆中，()1cos 2xxπθ--=， …………………………………2分 ∴2111cos22sin MA x θθ===-． …………………………………4分 ∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，A '点和B 点不重合， ∴42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，．…………………………………5分 （II ）在AMN ∆中，23ANM πθ∠=- 2sin sin 3ANMAπθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭,21sin sin 12sin 222sin sin 2sin sin 333MA AN θθθπππθθθθ⋅===⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．…………… 8分 令22132sin sin 2sin sin cos sin 3sin cos 322t πθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1311sin 2cos2sin 222226πθθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭………………… 11分 ∵42ππθ<<， ∴52366πππθ<-<． 当且仅当262ππθ-=，即3πθ=时， t 有最大值32. ∴3πθ=时，AN '有最小值23．………………… 13分 19.解：(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24y cx =,由023222c -+=结合0c >,解得1c =. 因此抛物线C 的方程为24y x =. …………4分点(Ⅱ) （i ）设圆M 与y 轴的切点是点M ',连结MM '交抛物线C 的准线于的圆M ''，那么1M MF MM r ''==+，因此圆M 与以F 为核心，1为半径相切，圆N 即为圆F ，圆N 的方程为()2211x y -+=;…………8分(ii)由AB BN λ=可知，AB 为圆N 直径，…………9分 从而因此PA PB ⋅的取值范围是7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.…………13分20.解：（I ）因为()ln f x ax x x =+，因此()ln 1f x a x '=++．………………… 1分 因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点e x =处的切线斜率为3， 因此()e 3f '=，即lne 13a ++=． 因此1a =．………………… 2分 （II ）由（1）知，()ln f x x x x =+，因此()1f x k x <-对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立．………………… 3分令()ln 1x x xg x x +=-，则()()2ln 21x x g x x --'=-，………………… 4分令()ln 2h x x x =--()1x >， 则()1110x h x x x-'=-=>， 因此函数()h x 在()1,+∞上单调递增．………………… 5分 因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->，因此方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且知足()03,4x ∈．当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>，6分 因此函数()ln 1x x xg x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．因此()()()()()000000min001ln 123,411x x x x g x g x x x x ++-====∈⎡⎤⎣⎦--．……… 7分因此()()0min 3,4k g x x <=∈⎡⎤⎣⎦． 故整数k 的最大值是3．………………… 8分（III ）由（II ）知()ln 231x x x x >->，取()*2,x k k k N =≥∈，那么有将上面各式相加得 即()21k a k >-，故()()()211131(2)1k k a k k k <=≥---，因此 …………………14分21.（1）解：（Ⅰ）法１：由于24213=，∴M -1=1322112M -⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, ∴1X M N -==32201021100012⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭；…………………3分（Ⅱ）设圆上任意一点(),x y 在矩阵1M-对应的变换作用下变成(),x y ''则10000x x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么0x x y '=⎧⎨'=⎩，因此作用后的曲线方程为0(11)yx .…………………7分（2）解：（Ⅰ）2,22-==x y ax y …………………4分 （Ⅱ）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222（t 为参数）,代入ax y 22=取得0)4(8)4(222=+++-a t a t ,那么有)4(8),4(222121a t t a t t +=⋅+=+，因为2MN PM PN =，因此()21212t t t t -=，即()212125t t t t += ，即()()284404a a +=+解得1=a …………………7分 （3）（Ⅰ）证明：0,0a b >>，由柯西不等式得=a b =. 因此22a b a b b a+≥+.…………………4分 （Ⅱ）解：01,10x x <<∴->由（Ⅰ）知，()221111x x y x x xx-=+≥-+=-， 当且仅当1x x -=，即12x =时等号成立. 因此函数()()221011x x y x xx-=+<<-的最小值为1. …………………7分。
招生国统一考试数学理试题福建卷,解析试题
2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，解析版〕一、选择题：1、【答案】A【命题意图】此题考察学生对于三角两角差公式的运用以及常见三角函数值的记忆。
βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-，2130sin =。
【解析】2130sin 13sin 43cos 13cos 43sin ==- 2、【答案】D【命题意图】此题考察学生对抛物线焦点的识记以及原方程的求解。
px y 22=的焦点为)0,2(p F ，求解圆方程时，确定了圆心与半径就好做了。
【解析】抛物线的焦点为)0,1(F ，又圆过原点，所以1=R ，方程为021)1(2222=+-⇔=+-y x x y x 。
3、【答案】A【命题意图】此题考察学生对等差数列公式、求和公式的掌握程度，以及一元二次方程最值问题的求解。
d n n na S d n a a n n 2)1(,)1(11-+=-+=。
【解析】由61199164-=+-=+=+a a a a a ，得到59=a ，从而2=d ，所以n n n n n S n 12)1(112-=-+-=，因此当n S 获得最小值时，6=n .4、【答案】C【命题意图】此题从分段函数的角度出发，考察了学生对根本初等函数的掌握程度。
【解析】⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+=0,ln 0,4)1()(22x e x x x x f ，绘制出图像大致为所以零点个数为2。
5、【答案】C【命题意图】此题考察学生对程序框图的理解。
选材较为简单，只需要考生能从上到下一步步列出就可以正确答题。
【解析】s =0→i =1→a =2→2=s →2=i →8=a →10=s →3=i →24=a → 34=s →i =4→输出i =4，选择C6、【答案】D【命题意图】此题考察考生对立体几何体的理解程度、空间想像才能。
灵敏，全面地考察了考生对知识的理解。
【解析】假设FG 不平行于EH ，那么FG 与EH 相交，焦点必然在B 1C 1上，而EH 平行于B 1C 1，矛盾，所以FG 平行于EH ；由⊥EH 面11ABB A ，得到EF EH ⊥，可以得到四边形EFGH 为矩形，将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C 正确；D 没能正确理解棱台与这个图形。
招生国统一考试数学文试题福建卷,解析试题
2021年普通高等招生全国统一考试数学文试题〔卷，解析版〕第I 卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题。
每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1．假设集合{}A=x|1x 3≤≤，{}B=x|x>2，那么A B ⋂等于〔 〕A. {}x|2<x 3≤B. {}x|x 1≥C. {}x|2x<3≤D. {}x|x>2 【答案】A【解析】A B ⋂={}x|1x 3≤≤⋂{}x|x>2={}x|2<x 3≤,应选A.【命题意图】此题考察集合的交运算,属容易题.2．计算12sin 22.5-的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32【答案】B【解析】原式=2cos 45=2,应选B.【命题意图】此题三角变换中的二倍角公式,考察特殊角的三角函数值.3．假设一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图,那么其侧．面积．．等于 ( )A.3B.2C.23【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为24=3216⨯⨯=，选D. 【命题意图】此题考察立体几何中的三视图，考察同学们识图的才能、空间想象才能等根本才能。
4．i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( )【答案】C 【解析】41i ()1-i +=244(1i)[]=i =12+,应选C. 【命题意图】此题考察复数的根本运算,考察同学们的计算才能.7．函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( )A.3B.2 C【答案】B【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以函数有两个零点，选C 。
【命题意图】此题考察分段函数零点的求法，考察了分类讨论的数学思想。
【命题意图】此题考察三角函数的周期、图象变换等根底知识。
福建省福州市第一中学2022-2021学年高二数学下学期开学前质检试题(含解析)
福建省福州市第一中学2020-2021学年高二数学下学期开学前质检试题（含解析）一、单项选择题：本题共7小题，每小题4，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知{}31x A x =<，{}260B x x x =-->，则AB =（ ） A. (2,0)- B. (3,0)- C. (,2)-∞-D. (,3)-∞-【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的单调性求出集合A ,利用一元二次不等式的解法求出集合B ,再由集合的交运算求解即可.【详解】因为指数函数3x y =在R 上为增函数，所以0313x <=，解得0x <，所以集合}{0A x x =<， 由一元二次不等式解法知，集合{3B x x =>或}2x <-，由集合的交运算知，AB =}{2x x <-. 故选:C【点睛】本题考查利用指数函数的单调性解不等式、一元二次不等式解法和集合的交运算；考查运算求解能力；属于基础题. 2.已知2(1)i z-=1i +（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --【答案】D【解析】 试题分析：由2(1)1i i z-=+，得2(1)22(1)111(1)(1)i i i i z i i i i i --====--+++-，故选D. 考点：复数的运算.3.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的渐近线方程为2y x =±，则双曲线C 的离心率为（ ） 5 5 C. 62 6【答案】B【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程求出,a b 的关系式，结合,,a b c 之间的关系求出离心率即可.【详解】因为双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，所以2b a=，即2b a =，因为222c a b =+， 所以5c a =，所以所求离心率为5c e a ==. 故选:B【点睛】本题考查双曲线方程及其几何性质；考查运算求解能力；属于基础题.4.已知等比数列{}n a 中，1a ，101a 是方程210160x x -+=的两根，则215181a a a ⋅⋅的值为（ ）A. 64B. 64±C. 256D. 256± 【答案】A【解析】【分析】利用韦达定理和等比数列的性质，结合等比数列通项公式求出51a ，再利用等比数列的性质即可求解. 【详解】因为1a ，101a 是方程210160x x -+=的两根， 所以由韦达定理可得，1101110116,10a a a a ⋅=+=, 即()1001110a q +=，所以10a >，由等比数列的性质知,2110121815116a a a a a ⋅=⋅==，因为50511a a q =⋅0>，所以514a =，所以215181a a a ⋅⋅64=.故选:A【点睛】本题考查等比数列的性质和通项公式；考查运算求解能力；利用韦达定理和等比数列的性质正确求出51a 的值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5.祖暅（公元前5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家．他提出了一条原理：“幂势既同，則积不容异．”这句话的意思是两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上．以平行于平面β的平面距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =圆环总成立．据此，短轴长为4，长轴长为6的椭球体的体积是（ ）．A. 8πB. 12πC. 16πD. 24π【答案】C【解析】【分析】 根据题意，S S =圆环总成立可知，椭半球体的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，利用圆柱、圆锥的体积公式即可求解.【详解】根据题意，由椭圆的短轴长为4，长轴长为6可知,圆柱的高为3h =，底面半径2r ，由圆柱和圆锥的体积公式，结合题中结论知，()221=2-=23V V V r h r h ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭椭球体圆柱圆锥， 即221=22323163V πππ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭椭球体.故选:C【点睛】本题考查数学文化、圆柱和圆锥的体积公式；考查运算求解能力、知识迁移能力和空间想象能力；灵活运用题中原理的含义是求解本题的关键;属于中档题. 6.函数()cos x f x x=的图象大致为 A.B. C. D.【答案】D【解析】因cos()cos ()()x x f x f x x x--===--- ,所以函数()f x 为奇函数，其图象关于原点成中心对称,排除答案A 、B ，当0x +→ 时，1,cos 1x x →+∞→ ，所以cos x x →+∞ ，排除C ，故选D.7.若函数()(sin cos )x f x e x a x =+在(,)42ππ上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,1]-∞B. (,1)-∞C. [1,)+∞D. (1,)+∞【答案】A【解析】 ∵f （x ）=e x（sinx+acosx ）在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴f′（x ）=e x [（1-a ）sinx+（1+a ）cosx]≥0在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立， ∵e x ＞0在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，∴（1-a ）sinx+（1+a ）cosx≥0在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立， ∴a （sinx-cosx ）≤sinx+cosx 在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立 ∴sin cos sin cos x x a x x+≤- ， 设g （x ）=sin cos sin cos x x x x +- ∴g′（x ）在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立， ∴g （x ）在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴g （x ）＞()2g π=1， ∴a≤1，故选A ．点睛：本题考查了导数和函数的单调性和最值得关系，利用导数研究函数的单调性，关键是分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，属于中档题，正确的构造函数和利用导数是解决问题的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．8.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论正确的有（ ）A. 甲命中个数的极差是29B. 甲命中个数的中位数是25C. 甲的命中率比乙高D. 乙命中个数的众数是21【答案】ACD【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，分别计算相应的极差、众数、中位数、平均数并作出判断即可.【详解】由茎叶图知，甲命中个数的极差为37829-=，故选项A 正确； 由茎叶图知，甲命中个数的中位数为2224232+=，故选项B 错误； 由茎叶图中的数据知,甲的命中率为8+12+13+20+22+24+25+26+27+37==0.5351040x ⨯甲， 乙的命中率为9+11+13+14+18+19+20+21+21+23=0.42254010x =⨯乙， 所以甲的命中率比乙高，故选项C 正确；由茎叶图知,乙命中个数的众数是21，故选项D 正确；故选：ACD【点睛】本题考查利用茎叶图求样本的数字特征：极差、众数、中位数、平均数；考查运算求解能力；熟练掌握样本数字特征的计算公式和概念是求解本题的关键;属于中档题.9.将函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度所得图象对应的函数()g x ，下列有关函数()g x 的说法正确的是（ ）A. 图象关于直线6x π=-对称 B. 图象关于,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称 C. 当(Z)12x k k ππ=+∈时取得最大值 D. 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】BD【解析】【分析】根据函数()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式求出函数()g x 的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间和最值的相关性质求解即可.【详解】由题意知,函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度 得到函数解析式为()23sin 23sin 2233g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当6x π=-时，223x ππ-=-,此时22,32x k k z πππ-≠+∈，故选项A 错误； 当3x π=时，2203x π-=，此时满足22,3x k k z ππ-=∈，故选项B 正确； 当(Z)12x k k ππ=+∈时，222,32x k k z πππ-=-+∈，此时函数()g x 有最小值，故选项C 错误；由2222,232k x k k z πππππ-+≤-≤+∈，解得7,1212k x k k z ππππ+≤≤+∈， 令70,1212k x ππ=≤≤，所以函数()g x 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项D 正确； 故选：BD【点睛】本题考查()sin y A ωx φ=+图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最值的相关性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最值的相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.10.M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）A. MN ∥平面ABDB. 异面直线AC 与MN 所成的角为定值C. 在二面角D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径先变小后变大D. 若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】【分析】利用线面平行的判定即可判断选项A ；利用线面垂直的判定求出异面直线AC 与MN 所成的角即可判断选项B ；借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析即可判断选项C;过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,分ABC ∠为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项D.【详解】对于选项A:因为M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，所以MN 为BCD ∆的中位线，所以//MN BD ,因为MN ⊄平面ABD ,BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ,故选项A 正确；对于选项B ：取AC 的中点O ，连接,DO BO ,作图如下：则,AC DO AC BO ⊥⊥,BO DO O =,由线面垂直的判定知，AC ⊥平面BOD ,所以AC BD ⊥,因为//MN BD ,所以AC MN ⊥,即异面直线AC 与MN 所成的角为定值90，故选项B 正确；对于选项C:借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，球心离开平面ABC ，但是球心在底面的投影仍然是ABC ∆外接圆圆心，故二面角D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径不可能先变小后变大， 故选项C 错误；对于选项D:过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,若ABC ∠为锐角，H 在线段BC 上；若ABC ∠为直角，H 与B 重合；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上；若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，因为AH BC ⊥，所以CB ⊥平面AHD ,由线面垂直的性质知,CB HD ⊥,若ABC ∠为直角，H 与B 重合，所以CB BD ⊥,在CBD ∆中，因为CB CD =,所以CB BD ⊥不可能成立，即ABC ∠为直角不可能成立；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上，则在原平面图菱形ABCD 中，DCB ∠为锐角，由于立体图中DB DO OB <+,所以立体图中DCB ∠一定比原平面图中更小，，所以DCB ∠为锐角，CB HD ⊥，故点H 在线段BC 与H 在线段BC 的延长线上矛盾，因此ABC ∠不可能为钝角；综上可知，ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选项D 正确; 故选：ABD【点睛】本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力；借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试题.三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．11.正六边形ABCDEF 边长为1，则AB AD ⋅=________．【答案】1【解析】【分析】根据题意作出图形，利用正六边形的性质和平面向量数量积的定义求解即可.【详解】根据题意作图如下：由正六边形的性质知,2AD BC =,所以22cos60AB AD AB BC AB BC ⋅=⋅=⋅⋅，即121112AB AD ⋅=⨯⨯⨯=. 故答案为: 1【点睛】本题考查平面向量数量积的定义和正六边形的性质;考查数形结合思想和运算求解能力；属于基础题.12.已知函数1220()1log 0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，若()2f a =，则实数a 的值是________． 【答案】0或12 【解析】【分析】分0,0a a >≤两种情况分别求出()f a 的表达式，得到关于a 的方程，解方程即可.【详解】当0a >时，由题意知，()21log 2f a a =-=，即2log 1a =-，解得12a =符合题意； 当0a ≤时，由题意知，()122a f a -==， 解得0a =符合题意；综上可知，实数a 的值为0或12. 故答案为: 0或12【点睛】本题考查利用分段函数的解析式求参数的值；考查运算求解能力和分类讨论思想；属于中档题.13.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若3PM MF =，则MN =________．【答案】9【解析】【分析】根据题意作出图形,结合图形知34PM PF =，利用PAM ∆与∆POF 相似的相似比和抛物线的定义求出点M 的横坐标，代入抛物线方程求出其纵坐标,进而求出直线PM 的方程，然后与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线定义即可求解.【详解】根据题意作图如下：由题意知，准线:2l x =-，焦点()2,0F ,因为3PM MF =，结合图形知,34PM PF =, 因为PAM ∆与∆POF 相似,所以34AM PM OF PF ==,又4OF =, 所以3AM =,即23M x +=，解得1M x =,因为点M 满足抛物线2:8C y x =，结合图形知, 点M 的坐标为()1,22，所以2202212PM k ==--则直线PM 的方程为)222y x =--， 与抛物线2:8C y x =联立可得，2540x x -+=，由韦达定理可得,5M N x x +=,由抛物线的定义知,229M N MN x x =+++=.故答案为: 9【点睛】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系及焦点弦问题；考查运算求解能力和数形结合思想；利用抛物线的定义求焦点弦是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.14.在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其连续10项求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为199，则此连续10项的和为________．【答案】220【解析】【分析】根据题意求出数列{}n a 的通项公式，设连续10项为12310,,,,i i i i a a a a ++++⋅⋅⋅，i N ∈，设漏掉的一项为,110i k a k +≤≤，利用等差数列前n 项和公式得到关于,i k 的关系式,再由110k ≤≤，i N ∈求出i 的值，进而求出k 的值和i k a +即可.【详解】由题意知,数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，设连续10项为12310,,,,i i i i a a a a ++++⋅⋅⋅，i N ∈，设漏掉的一项为,110i k a k +≤≤，则由等差数列前n 项和公式得，()110101992i i i k a a a ++++⨯-=,因为11023,221,221i i i k a i a i a i k +++=+=+=++,所以940i k -=即940i k =+，因为110k ≤≤,所以41950i ≤≤，即41504699i <≤≤<，i N ∈， 所以5,5i k ==,10210121i k a a +==⨯+=,所以此连续10项的和220.故答案为: 220【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式；考查运算求解能力和逻辑推理能力；利用等差数列通项公式和前n 项和公式得到关于,i k 的关系式是求解本题的关键;属于中档题.四、解答题：本题共5小题，共48分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，30B =︒，3AB BP =．（1）求BAP ∠；（2）若2CP =，3cos CAP ∠=，求ACP △的面积．【答案】（1）30； （23223+. 【解析】【分析】 （1）设BP t =，则3AB t =，在ABP ∆中，利用余弦定理求出AP 即可求解；（2）根据题意求出sin CAP ∠,利用两角差的正弦公式求出sin C ,在ACP △中利用正弦定理求出AC ，代入三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）设BP t =，则3AB t =，在ABP ∆中，由余弦定理可得2222222cos (3)23cos30AP AB BP AB BP B t t t t t =+-⋅⋅=︒+-=，所以AP t =，即AP BP =，所以30BAP B ∠=∠=︒.（2）由3cos CAP ∠=得，6sin CAP ∠=， 60APC BAP B ∠=∠+∠=︒，180120C APC PAC PAC ∠=︒-∠-∠=︒-∠，所以()36sin sin 120sin120cos cos120sin 6C PAC PAC PAC =︒-∠=︒∠-︒∠=， 由正弦定理得，sin sin CP AC CAP CPA =∠∠，所以322AC =， 所以113236sin 2222APC S CP CA C +=⋅⋅=⋅⋅△，即3223APC S +=△ 【点睛】本题考查两角差的正弦公式、利用正余弦定理解三角形和三角形的面积公式；考查运算求解能力和知识的综合运用能力;熟练掌握正余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11160,,2BAC A AC A AB AA AB AC ∠=∠=∠===,点O 是BC 的中点.（1）求证:BC ⊥ 平面1A AO ；（2）若11A O =，求直线1BB 与平面11A C B 所成角的正弦值.【答案】(1) 见解析;(2) 21sin 7θ=. 【解析】试题分析:（1）利用11A AB A AC ∆≅∆可得11A B A C =,而AB AC =，O 是BC 中点，所以1,AO BC AO BC ⊥⊥，由此可证得BC ⊥平面1A AO .（2）以1,,OA OB OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算线面角的正弦值为217. 试题解析:(1)11111111,,A AC A AB AB AC AA AA A AB A AC A B AC ∠=∠===∴∆≅∆∴=.又O 为BC 中点，1,AO BC A O BC ∴⊥⊥.又11,,AO AO O AO AO ⋂=⊂平面1,A AO BC ∴⊥平面1A AO .(2)60,2,BAC AB AC O ∠===为BC 中点，2,1,3BC BO CO AO ∴====又222111112,1,,AA A O AO A O AA AO A O ==∴+=∴⊥.又由（1）知，1,BO AO BO AO ⊥⊥，则以O 为原点，分别以1,,OA OB OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()()()()13,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1A B C A -.()()1113,1,0,0,1,1C A CA A B ∴===-.设平面11A C B 的一个法向量为(),,n x y z =，则30{0x y y z +=-=，令1x =，得()()111,3,3,3,0,1n BB AA =--==-.设1BB 与平面11A C B 的所成角为θ，则11·2321sin 27·BB n BB n θ===.17.某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x 个月)和市场占有率(y %)的几组相关对应数据： x1 2 3 4 5 y0.02 0.05 0.1 0.15 0.18(1)根据上表中的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；(2)根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月)．附：1221n i ii n i i x y nx y b xnx ==-=-∑∑ ， a y bx =-.【答案】(1)y ＝0.042x －0.026. (2) 预计上市13个月时，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.【解析】试题分析：（1）根据表中数据，计算x ，y 与,a b 写出线性回归方程；（2）根据回归方程得出上市时间与市场占有率的关系，列出不等式求出解集即可预测结果． 试题解析：(1)由题意知＝3，＝0.1，i y i ＝1.92，＝55，所以＝＝＝0.042， ＝－＝0.1－0.042×3＝－0.026， 所以线性回归方程为＝0.042x －0.026.(2)由(1)中的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率约增加0.042个百分点． 由＝0.042x －0.026>0.5，解得x ≥13，故预计上市13个月时，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，左、右焦点分别为1F 2F ，离心率为12，点()4,0D ，2F 为线段1A D 的中点． （1）求椭圆C 的方程；（2）点(1, )P t 为椭圆C 上在第一象限内的点，过点P 作两条直线与椭圆C 分别交于,A B 两点，直线,PA PB 的倾斜角之和为π，则直线AB 斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=； （2）12. 【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式和离心率公式得到关于,a c 的方程,解方程求出,a c ,再由,,a b c 的关系式求出2b 即可；（2）由椭圆方程求出点P 坐标, 设()11,A x y ，()22,B x y ，设直3:(1)2PA y k x -=-， 联立直线方程与椭圆方程得到关于x 的一元二次方程,利用韦达定理可得1P x x 的表达式,进而求出1x 的表达式,同理可得2x 的表达式,由此可得1221,x x x x +-的表达式,代入直线AB 的斜率公式运算求解即可.【详解】（1）设点1(,0)A a -，2(,0)F c ，由题意可知：42a c -+=，即42a c =-①， 又因为椭圆的离心率12c e a ==，即2a c =②， 联立方程①②可得：2a =，1c =，2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）由（1）椭圆C 的方程为：22143x y +=，代入得点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线3:(1)2PA y k x -=-， 联立椭圆方程，得()22233348412022k x k k x k ⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则212412334p k k x x k --=+，故212412334k k x k--=+， 同理：222412334k k x k +-=+，则21221228624,3434k k x x x x k k -+=-=++， 所以()()()212121212121331121222AB k x k x k x x k y y k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥-++-⎣⎦⎣⎦====---， 故直线AB 斜率定值12． 【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、直线与椭圆的位置关系;考查运算求解能力;联立直线与椭圆方程，正确求出1x ，2x 的表达式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.19.已知函数()ln 3f x x a x =--，1()()a g x a R x+=-∈． （1）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；（2）证明：0a ∀>，总存在1x ≥，使得()()f x g x <．【答案】（1）当1a >-时，单调递减区间为(0,1)a +，单调递增区间为(1,)a ++∞；当1a ≤-时，单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数()h x 进行求导,分1a >-和1a ≤-两种情况分别利用导数判断函数的单调性即可;（2）结合（1）中的结论,判断函数()h x 的单调性并求其最小值,构造函数()min h x = ()1ln(1)a a a a ϕ=--+,通过对其二次求导求其最大值并判断最大值的符号即可求解.【详解】（1）由题意知,1()ln 3a h x x a x x+=-+-，定义域为(0,)+∞， 则22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x+--++-+'=--==， ①当10a +>，即1a >-时，令()0h x '>，∵0x >，∴1x a >+，令()0h x '<，得01x a <<+，故()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增，②当10a +≤，即1a ≤-时，()0h x '>在(0,)+∞恒成立，所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，综上可知，当1a >-时，()h x 的单调递减区间为(0,1)a +，单调递增区间为(1,)a ++∞； 当1a ≤-时，()h x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间．（2）证明：考虑()()()h x f x g x =-，当0a >时，由（1）知，()h x 的单调递减区间为(0,1)a +，单调递增区间为(1,)a ++∞，所以min (1)1ln(1)h h a a a a =+=--+记()1ln(1)a a a a ϕ=--+，则1()1ln(1)ln(1)11a a a a a a ϕ'=-+-=-+++，22112()0(1)1(1)a a a a a ϕ+''=--=-<+++，所以()a ϕ'在(0,)+∞单调递减， 注意到(0)10ϕ'=>，11(1)ln 2(1ln 4)022ϕ'=-=-<， 所以()a ϕ'有唯一的零点，记为0a ， 则()001ln 101a a -+=+，且0(0,1)a ∈， 所以当()00,a a ∈时，()0a ϕ'>，()a ϕ单调递增，当()0,a a ∈+∞时，()0a ϕ'<，()a ϕ单调递减，所以()()200000000001()1ln 1111a a a a a a a a a a a ϕϕ--≤=--+=--=++ 由于0(0,1)a ∈，所以2000a a -<，所以20010a a --<，所以2000101a a a --<+， 即()0a ϕ<，所以min ()0h x <，故0a ∀>，总存在1x ≥，使得()0h x <，即()()f x g x <．【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、通过构造函数并求其最值求解函数存在性问题;考查分类讨论思想、逻辑思维能力和运算求解能力;通过构造函数()a ϕ并对其二次求导求其最大值是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.。
人教版_2021年福州市初中质检数学试卷与答案
2021年福州市初中毕业班质量检查数 学 试 卷(本卷共4页，三大题，共22小题；满分150分，考试时间120分钟) 友情提示:所有答案都必须填涂在答题卡的相应位置上，答在本试卷一律无效．一、选择题(共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂)1．计算－3＋3的结果是A ．0B ．－6C ．9D ．－9 2．如图，AB ∥CD ，∠BAC ＝120°，则∠C 的度数是A ．30°B ．60°C ．70°D ．80°3．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为A ．3.5×107B ．3.5×108C ．3.5×109D ．3.5×10104．下列学习用具中，不是轴对称图形的是5．已知b ＜0，关于x 的一元二次方程(x －1)2＝b 的根的情况是 A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．有两个实数根6．一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是A ．⎩⎨⎧x ≥－1x ＜2B ．⎩⎨⎧x ≤－1x ＞2C ．⎩⎨⎧x ＜－1x ≥2D ．⎩⎨⎧x ＞－1x ≤27．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．随机在大正方形及其内部区域投针，若针扎到小正方形(阴影部分)的概率是19，则大、小两个正方形的边长之比是A ．3∶1B ．8∶1C ．9∶1D ．22∶1ABCD第2题图 123412341 2 3 4 0 5 6A BC D－3 －2 －1123第7题图8．如图，已知△ABC ，以点B 为圆心，AC 长为半径画弧；以点C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，且A 、D 在BC 同侧，连接AD ，量一量线段AD 的长，约为A ．1.0cmB ．1.4cmC ．1.8cmD ．2.2cm9．有一种公益叫“光盘”．所谓“光盘”，就是吃光你盘子中的食物，杜绝“舌尖上的浪费”．某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，根据各班级参加该活动的总人次拆线统计图，下列说法正确的是 A ．极差是40 B ．中位数是58 C ．平均数大于58 D ．众数是510．已知一个函数中，两个变量x 与y 的部分对应值如下表:A ．x 轴B ．y 轴C ．直线x ＝1D ．直线y ＝x二、填空题(共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡的相应位置) 11．分解因式:m 2－10m ＝________________．12．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D＝____________度．13．在一次函数y ＝kx ＋2中，若y 随x 的增大而增大，则它的图象不经过第______象限．14．若方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝73x －5y ＝－3，则3(x ＋y)－(3x －5y)的值是__________．15．如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是____________．AB第8题图第9题图九年级宣传“光盘行动”ABC D第12题图 ABCDE F第15题图二、解答题(满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡的相应位置．作图或添轴助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑) 16．(每小题7分，共14分)(1) 计算:(π＋3)0―|―2021|＋64×18(2) 已知a 2＋2a ＝－1，求2a(a ＋1)－(a ＋2)(a －2)的值．17．(每小题8分，共16分)(1) 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点． 求证:四边形ADEF 是菱形．(2) 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？CABDEF第17(1)题图18．(10分)有一个袋中摸球的游戏．设置了甲、乙两种不同的游戏规则:甲规则:乙规则:(1) 袋中共有小球_______个，在乙规则的表格中①表示_______，②表示_______；(2) 甲的游戏规则是:随机摸出一个小球后______(填“放回”或“不放回”)，再随机摸出一个小球； (3) 根据甲、乙两种游戏规则，要摸到颜色相同的小球，哪一种可能性要大，请说明理由．19．(10分)如图，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成矩形网格．小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点．已知小矩形较短边长为1，△ABC 的顶点都在格点上． (1) 格点E 、F 在BC 边上，BEAF 的值是_________；(2) 按要求画图:找出格点D ，连接CD ，使∠ACD ＝90°； (3) 在(2)的条件下，连接AD ，求tan ∠BAD 的值．红1红2黄1黄2红2红1黄1黄2黄1红1红2黄2黄2红1红2黄1第一次第二次ABC EF第19题图20．(12分)如图，半径为2的⊙E 交x 轴于A 、B ，交y 轴于点C 、D ，直线CF 交x 轴负半轴于点F ，连接EB 、EC ．已知点E 的坐标为(1，1)，∠OFC ＝30°． (1) 求证:直线CF 是⊙E 的切线； (2) 求证:AB ＝CD ；(3) 求图中阴影部分的面积．21．(12分)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝8，DE ＝2，线段DE 在AC 边上运动(端点D 从点A 开始)，速度为每秒1个单位，当端点E 到达点C 时运动停止．F 为DE 中点，MF ⊥DE 交AB 于点M ，MN ∥AC 交BC 于点N ，连接DM 、ME 、EN ．设运动时间为t 秒． (1) 求证:四边形MFCN 是矩形；(2) 设四边形DENM 的面积为S ，求S 关于t 的函数解析式；当S 取最大值时，求t 的值； (3) 在运动过程中，若以E 、M 、N 为顶点的三角形与△DEM 相似，求t 的值．第20题图A BCBCD E MF N 第21题图备用图22．(14分)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于C(0，2)，连接AC、BC．(1) 求抛物线解析式；(2) BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式；(3) 若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标．2021年福州市初中毕业班质量检查数学试卷参考答案一、选择题(每题4分，满分40分)1．A 2．B 3．B 4．C 5．C 6．D 7．A 8．B 9．C 10．D 二、填空题(每题4分，满分20分)11．m(m－10) 12．360 13．四 14．24 15．1.5三、解答题16．(每题7分，共14分)(1) 解:原式＝1－2021＋8×18……3分＝1－2021＋1 ……4分＝－2021 ……7分(2) 解:原式＝2a2＋2a－a2＋4 ……3分＝ a2＋2a＋4 ……4分∵a2＋2a＝－1∴原式＝－1＋4＝3 ……7分另解:∵a2＋2a＝－1∴a2＋2a＋1＝0∴(a＋1)2＝0∴a＝－1 ……3分原式＝2×(－1)×(－1＋1)－(－1＋2)×(－1－2) ＝3 ……7分17．(每小题8分，共16分)(1) 证明:∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE∥＝12AC，EF∥＝12AB，…………2分∴四边形ADEF为平行四边形．…………4分又∵AC＝AB，∴DE＝EF．…………6分∴四边形ADEF为菱形．…………8分(2) 解:设江水的流速为x 千米/时，依题意，得: …………1分10020＋x ＝6020－x， ………………4分 解得:x ＝5． ………………6分 经检验:x ＝5是原方程的解． …………7分 答:江水的流速为5千米/时． …………8分 18．(10分)(1) 4 ……1分； (红2，黄1) ……2分； (黄2，红1) ……3分 (2) 不放回 ………5分(3) 乙游戏规则摸到颜色相同的小球的可能性更大．理由:在甲游戏规则中，从树形图看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相同，而颜色相同的两个小球共有4种． …………6分 ∴P(颜色相同)＝412＝13． …………7分在乙游戏规则中，从列表看出，所有可能出现的结果共有16种，这些结果出现的可能性相同，而颜色相同的两个小球共有8种． ……………8分∴P(颜色相同) ＝816＝12． ……………9分∵13＜12， ∴乙游戏规则摸到颜色相同的小球的可能性更大． ……………10分 19．(12分)(1) 12 ………3分(2) 标出点D ， ………5分连接CD ． ………7分 (3) 解:连接BD ， ………8分∵∠BED ＝90°，BE ＝DE ＝1，∴∠EBD ＝∠EDB ＝45°，BD ＝BE 2＋DE 2＝12＋12＝2． ……9分 由(1)可知BF ＝AF ＝2，且∠BFA ＝90°，∴∠ABF ＝∠BAF ＝45°，AB ＝BF 2＋AF 2＝22＋22＝22． ……10分 ∴∠ABD ＝∠ABF ＋∠FBD ＝45°＋45°＝90°． ……11分 ∴tan ∠BAD ＝BD AB ＝222＝12． ……12分20．(12分)解:(1) 过点E 作EG ⊥y 轴于点G ，∵点E 的坐标为(1，1)，∴EG ＝1． 在Rt △CEG 中，sin ∠ECG ＝EG CE ＝12，∴∠ECG ＝30°． ………………1分 ∵∠OFC ＝30°，∠FOC ＝90°，∴∠OCF ＝180°－∠FOC －∠OFC ＝60°． ………………2分 ∴∠FCE ＝∠OCF ＋∠ECG ＝90°． 即CF ⊥CE ．∴直线CF 是⊙E 的切线． ………………3分 (2) 过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，∵点E 的坐标为(1，1)，∴EG ＝EH ＝1． ………………4分 在Rt △CEG 与Rt △BEH 中，∵⎩⎨⎧CE ＝BE EG ＝EH，∴Rt △CEG ≌Rt △BEH ． ∴CG ＝BH ． ………………6分 ∵EH ⊥AB ，EG ⊥CD ，∴AB ＝2BH ，CD ＝2CG ．∴AB ＝CD ． ………………7分 (3) 连接OE ，在Rt △CEG 中，CG ＝CE 2－EG 2＝3，∴OC ＝3＋1． ………………8分 同理:OB ＝3＋1． ………………9分 ∵OG ＝EG ，∠OGE ＝90°，∴∠EOG ＝∠OEG ＝45°．又∵∠OCE ＝30°，∴∠OEC ＝180°－∠EOG －∠OCE ＝105°． 同理:∠OEB ＝105°． ………………10分 ∴∠OEB ＋∠OEC ＝210°．∴S 阴影＝210×π×22360－12×(3＋1)×1×2＝7π3－3－1． ………………12分21．(12分)(1) 证明:∵MF ⊥AC ，∴∠MFC ＝90°． …………1分∵MN ∥AC ，∴∠MFC ＋∠FMN ＝180°．∴∠FMN ＝90°． …………2分 ∵∠C ＝90°，∴四边形MFCN 是矩形． …………3分(若先证明四边形MFCN 是平行四边形，得2分，再证明它是矩形，得3分)(2) 解:当运动时间为t 秒时，AD ＝t ，∵F 为DE 的中点，DE ＝2，∴DF ＝EF ＝12DE ＝1．∴AF ＝t ＋1，FC ＝8－(t ＋1)＝7－t ．∵四边形MFCN 是矩形，∴MN ＝FC ＝7－t ． …………4分 又∵AC ＝BC ，∠C ＝90°，∴∠A ＝45°．∴在Rt △AMF 中，MF ＝AF ＝t ＋1， …………5分 ∴S ＝S △MDE ＋ S △MNE ＝12DE ·MF ＋12MN ·MF＝12×2(t ＋1)＋ 12(7－t)(t ＋1)＝－12t 2＋4t ＋92 …………6分 ∵S ＝－12t 2＋4t ＋92＝－12(t －4)2＋252∴当t ＝4时，S 有最大值． …………7分 (若面积S 用梯形面积公式求不扣分)(3) 解:∵MN ∥AC ，∴∠NME ＝∠DEM ． …………8分① 当△NME ∽△DEM 时，∴NM DE ＝EMME． …………9分∴7－t 2＝1，解得:t ＝5． …………10分② 当△EMN ∽△DEM 时，∴NM EM ＝EMDE． …………11分∴EM 2＝NM ·DE ．在Rt △MEF 中，ME 2＝EF 2＋MF 2＝1＋(t ＋1)2，∴1＋(t ＋1)2＝2(7－t)． 解得:t 1＝2，t 2＝－6(不合题意，舍去)综上所述，当t 为2秒或5秒时，以E 、M 、N 为顶点的三角形与△DEM 相似． ……12分ABCD EMF N22．(14分)解:(1) 由题意，得:⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝116a ＋4b ＋c ＝0c ＝2…………1分解得:⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－52c ＝2． …………3分 ∴这个抛物线的解析式为y ＝12x 2－52x ＋2． …………4分(2) 解法一:如图1，设BC 的垂直平分线DE 交BC 于M ，交x 轴于N ，连接CN ，过点M 作MF ⊥x 轴于F ． ∴△BMF ∽△BCO ，∴MF CO ＝BF BO ＝BM BC ＝12．∵B(4，0)，C(0，2)， ∴CO ＝2，BO ＝4， ∴MF ＝1，BF ＝2，∴M(2，1) ………………5分 ∵MN 是BC 的垂直平分线，∴CN ＝BN ， 设ON ＝x ，则CN ＝BN ＝4－x ， 在Rt △OCN 中，CN 2＝OC 2＋ON 2，∴(4－x)2＝22＋x 2，解得:x ＝32，∴N(32，0)． ………………6分设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b ，依题意，得:⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝132k ＋b ＝0，解得:⎩⎨⎧k ＝2b ＝－3． ∴直线DE 的解析式为y ＝2x －3． ………………8分 解法二:如图2，设BC 的垂直平分线DE 交BC 于M ，交x 轴于N ，连接CN ，过点C 作CF ∥x 轴交DE 于F ． ∵MN 是BC 的垂直平分线，∴CN ＝BN ，CM ＝BM ． 设ON ＝x ，则CN ＝BN ＝4－x ， 在Rt △OCN 中，CN 2＝OC 2＋ON 2，∴(4－x)2＝22＋x 2，解得:x ＝32，∴N(32，0)． ………………5分∴BN ＝4－32＝52．∵CF ∥x 轴，∴∠CFM ＝∠BNM ． ∵∠CMF ＝∠BMN ，图1∴△CMF ≌△BMN ．∴CF ＝BN ．∴F(52，2)． …………………6分设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b ，依题意，得: ⎩⎨⎧52k ＋b ＝232k ＋b ＝0，解得:⎩⎨⎧k ＝2b ＝－3． ∴直线DE 的解析式为y ＝2x －3． ………………8分(3) 由(1)得抛物线解析式为y ＝12x 2－52x ＋2，∴它的对称轴为直线x ＝52．① 如图3，设直线DE 交抛物线对称轴于点G ，则点G(52，2)，以G 为圆心，GA 长为半径画圆交对称轴于点P 1， 则∠CP 1B ＝∠CAB ． …………9分 GA ＝(52－1)2＋22＝52， ∴点P 1的坐标为(52，－12)． …………10分② 如图4，由(2)得:BN ＝52，∴BN ＝BG ，∴G 、N 关于直线BC 对称． …………11分∴以N 为圆心，NB 长为半径的⊙N 与⊙G 关于直线BC 对称． …………12分 ⊙N 交抛物线对称轴于点P 2，则∠CP 2B ＝∠CAB ． …………13分 设对称轴与x 轴交于点H ，则NH ＝52－32＝1．∴HP 2＝(52)2－12＝212， ∴点P 2的坐标为(52，212)．综上所述，当P 点的坐标为(52，－12)或(52，212)时，∠CPB ＝∠CAB ． ………14分G2P。
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2021年福州一中招生综合素质测试数学题目及详细答案2021年福州一中招生综合素质测试数学题目及详细答案毕业学校_________________姓名____________报考号__________考生注意：1、请将正确选项填涂在答题卡上，写在测试卷上不计分。
2、测试完毕，答题卡及测试卷不得带出考室。
测试(一)数学题1. 如果在数轴上表示a, b 两个实数的点的位置如图所示，那么| a C b| + | a + b | 化简的结果为A. 2a B. C2a C. 0 D. 2b2. 右图是四棱柱和圆锥的组合体，它的主视图为a0bA. B.C. D. 3. 在△ABC中，∠C = 90°，如果sinA=35, 那么tanB的值等于A. 35 B. 5344 C. 4 D. 34. 以下五个图形中，是中心对称的图形共有A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个5. 已知△ABC中，AB = 3，BC = 4, AC = 5, 则△ABC的外心在A. △ABC内B. △ABC 外C. BC边中点D. AC边中点6．某校为了了解学生的身体素质情况，对初三（2）班的50名学生进学行了立定跳远、铅球、100米三个项目的测试，每个项目满分为10生人分。
如图，是将该学生所得的三项成绩（成绩均为整数）之和进行数整理后，分成5组画出的频率分布直方图，已知从左至右前4个小组的频率分别为0.02，0.1，0.12，0.46. 下列说法：① 学生的成绩≥27分的共有15人；②学生成绩的众数在第四小组(22.5~26.5)内；③学生成绩的中位数在第四小组(22.5~26.5) 010.514.518.522.526.530.51分数范围内。
其中正确的说法有A．0个B．1个C．2个D．3个a32a3937．已知(4)?(?3)?3，那么ab等于bbA．?9 B. 9 C. 27 D. ?278. 用圆心角为60°,半径为24cm的扇形做成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥底面的半径是A. 4?cmB. 8?cmC. 4cmD. 8cm9. 当x = 1 时，代数式px3 + qx + 1的值是2006，则当x = C1 时，代数式px3 + qx + 1的值是A. C 2004B. C 2005C. C 2006D. 2006 10. 以下给出三个结论①若1C1( x C 1 ) = x , 则 2 C x C 1 = 2x；2x?12x?212 = , 则=；x?2x?2x?2x?211③若x C = , 则x C 1 = C1。
x?11?x②若其中正确的结论共有A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个11. 若方程组??4x?3y?1的解x 与y相等,则a的值等于ax?(a?1)y?3?A. 4 B. 10 C. 11 D. 1212. 在△ABC中，∠A : ∠B : ∠C = 1 :2 :3, CD ⊥AB于D,AB = a,则DB等于A.aaa3a B. C. D. *****+ = b ( b0 ) , 则( x + y )2的值为22xy13. 若xy = a ,A. b ( ab C 2 )B. a ( ab + 2 )C. a (ab C 2 )D. b ( ab + 2 ) 14. 要得到函数y?x的图像，只要把函数y?(2?x)的图像A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位15. 函数y = k (1－x) 和y =y22k ( k≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是xyyy0x0x0x0xA. B. C. D.216.下边哪一个盒子是用左边这张硬纸折成的?（）A.aB.bC.cD.d 17. 以下给出四个命题，①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边平行且两条对角线相等的四边形是矩形；③一组邻边相等且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形；④四条边相等的四边形是正方形。
其中真命题的个数为A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 0 个18. 如图，已知△ABC中，AB = AC, ∠BAC = 90°, 直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE , PF 分别交AB 、AC于E、F , 给出以下三个结论：①AE = CF ; ②△EPF是等腰直角三角形；A③ S四边形AEPF =1 S△ABC , 当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E2BEPFC 不与A、B重合），上述结论始终正确的是 A. ① ② B. ① ③ C. ② ③ D. ① ② ③ 19. 已知函数y1?2,y2?x?1，若y1?y2，则x的取值范围是x A. x －1 或0 x2 B. －1 x 0或x 2 C. －2 x 0或x 1 D. x －2 或0 x 120. 有若干个数，第一个数记为a1，第2个数记为a2，第三个数记为a3??，第n个数记为an，若a1= ?从第二个数起，每个数都等于“1与前面的那个数的差的倒数”，则a2006等于1，221 B．C．3 D．以上都不对32b21. 若不等式ax+b0的解集为x??，且a+b0，则抛物线y?ax2?bx?c的对称轴所在位置是aA．?A. y轴B. y轴的右侧C. y轴的左侧D. 无法确定22．如图，圆内接四边形ABCD的对角线相交于E，AB、DC的延长线相交于P，则图中一定相似的三角形有A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对23. 如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD,以BD为直径作圆，交于AB于E，交CD于F，若BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为A. 123B. 153?6?C. 303?12?D. 483?36?3*****FDOECB24. 如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF 的长为OA A．0.4米B. 0.16米C. 0.2米D.0.24米EB25. 两人要去某风景区游玩,每天某一时段开往该风景区有票价相同，但舒适度不F同的三辆车,但他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序。
C两人采用了不同的乘车方案，甲总是上开来的第一辆车，而乙则是观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适情况，如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆车好，他就上第三辆车，如果把这三辆车的舒适度分为上、中、下三等，则甲、乙两人坐上等车的概率分别是A. 甲***-***** 乙 B. 甲乙 C. 甲乙 D. 甲乙***-*****??26. 在对角线互相垂直的四边形ABCD中，?ACD=60，?ABD=45。
A到CD距离为6，D到AB距离为4，则四边形ABCD面积等于A. 66 B. 126 C. 86 D. 166BACD综合素质测试(二)数学测试题一.填空题（每小题3分，共21分）??2x?1?x?4?1．不等式组?xx?1的整数解为??1?3?22．分解因式x1?2x1x2?x1?2x2=32x?2x?1x?4?)?=x2?2xx2?4x?4xA4. 如图，△ABC中，BD平分∠ABC, AD?BD于D, F为AC中点，AB = 5,3．化简(x?4)(2BC = 7, 则DF =5．已知二次函数图象过点A（2，1）、B（4，1）且最大值为2，则二次函数的解析式为6．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90，AC=2，BC=1，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点P，则AP=_____________ ?*****x?8与x轴、y轴分别交于点A和B，M是OB 3上的一点，若将?ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B?处，7. 如图，直线y??则直线AM的解析式为4AyBMPAB'Ox8. （8分）福州一中新校区校园环境优美,设施齐全,办学条件全国一流。
校内共有三栋4层(从架空层上方起算)的教学大楼，每层楼有4间教室，进出每栋大楼均有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。
安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在3分钟内通过这4道门安全撤离。
假设每间教室最多有56名学生，问：大楼修建的这4道门是否符合安全规定？9. （10分）已知直线y?1x和y??x?m，二次函数y?x2?px?q图像的顶点为M。
21（1）若M恰在直线y?x与y??x?m的交点处，试证明：无论m取何实数值，二次函数2y?x2?px?q的图像与直线y??x?m总有两个不同的交点;2（2）在（1）的条件下，若直线y??x?m过点D（0，-3），求二次函数y?x?px?q 的表达式;2（3）在（2）的条件下，若二次函数y?x?px?q的图像与y轴交于点C，与x轴的左交点为A，试在抛物线的对称轴上求点P，使得△PAC为等腰三角形.10. （11分）如图，矩形ABCD中，有一直径为AD的半圆，AB2cm , 现有两点E、F分别从点A 、B同时出发，点E沿线段5ODC= 4cm , BC = AB以1cm/sFAEB。