人教版数学高二新课标测试题组选修4-4 坐标系与参数方程A组
高中数学 坐标系与参数方程单元测试(一)新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学试题
word坐标系与参数方程注意事项：1．答题前，先将自己的某某、某某号填写在试题卷和答题卡上，并将某某号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在极坐标系中，已知π5,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，下列所给出的不能表示点M 的坐标的是（）A ．π5,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．4π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2π5,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D 5π5,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭2．经过点()1,5M 且倾斜角为π3的直线，以定点M 到动点P 的位移(t 为参数)的参数方程（）A．1125x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩B．1125x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩C．1125x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩D．1125x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩3．P是椭圆4sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)上一点，且在第一象限，OP (O 为原点)的倾斜角为π6，则点P 的坐标为（）A ．()2,3B．⎝⎭C．(D ．()4,34．将sin y x =的图像横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，再将纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为（） A ．12sin 2y x =B ．1sin 22y x =C ．2sin 2y x =D ．11sin 22y x =5．极坐标方程1ρ=表示（） A ．直线B ．射线C ．圆D ．椭圆6．在极坐标系中，过点π2,3⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴垂直的直线方程为（）A ．4cos ρθ=-B ．cos 10ρθ-= C．sin ρθ=．ρθ=7．直线cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩ (t 为参数)与圆42cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数)相切，则直线的倾斜角α为（）A ．π6或5π6B ．π4或3π4C ．π3或2π3D ．π6-或5π6-8．在极坐标系中，已知点π2,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，3π4B ⎫⎪⎭，()0,0O ，则ABO △为（）A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角等腰三角形D ．直角等腰三角形9．已知直线:2x l y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数)和抛物线2:2C y x =，l 与C 分别交于点1P ，2P ，则点()0,2A 到1P ，2P 两点距离之和是（）wordA．4+B．(22+C．(42D．8+10．过抛物线22x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数)的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为（）A ．π3B ．π3或2π3C ．π6D ．π6或5π611．可以将椭圆221108x y +=变为圆224x y +=的伸缩变换是（）A．52'x x y '=⎧⎪=B．''y =⎪⎩C．'x '=D．'y'=12．圆r ρ=与圆()π2sin 04r r ρθ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的公共弦所在直线的方程为（）A ．()2sin cos r ρθθ+=B ．()2sin cos r ρθθ+=- C()sin cos r θθ+=D()sin cos r θθ+=-二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩ (参数t ∈R )，圆的参数方程为2cos 2sin 1x y θθ=⎧⎨=+⎩(参数[)0,2πθ∈)，则圆心到直线l 的距离为________．14．已知直线的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则极点到直线的距离是________．15．直线l 过点()01,5M ，倾斜角是π3，且与直线0x y --=交于M ，则0MM 的长为________．16．与曲线cos 10ρθ+=关于π4θ=对称的曲线的极坐标方程是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）在伸缩变换2x x y y '=⎧⎨'=⎩，与伸缩变换22x xy y'=⎧⎨'=⎩的作用下，221x y +=分别变成什么图形？18．（12分）把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线： （1）5cos 4sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ (ϕ为参数)；（2）134x ty t =-⎧⎨=⎩(t 为参数)．word19．（12分）求直线2x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数)被双曲线221x y -=上截得的弦长．20．（12分）已知定点(),0A a ，动点P 对极点O 和点A 的X 角π3OPA ∠=．在OP 的延长线上取点Q ，使PQ PA =．当P 在极轴上方运动时，求点Q 的轨迹的极坐标方程．word21．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)．M 是1C 上的动点，点P 满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ． （1）求2C 的方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线π3θ=与1C 和异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB ．22．（12分）已知半圆直径()20AB r r =>，半圆外一条直线l 与AB 所在直线垂直相交与点T ，并且222r AT a a ⎛⎫=<⎪⎝⎭．若半圆上相异两点M 、N 到l 的距离MP ，NQ 满足:1:MP MA NQ NA ==，通过建立极坐标系，求证：MA NA AB +=．word2018-2019学年选修4-4训练卷 坐标系与参数方程（一）答案一、选择题． 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】D 【解析】5．【答案】C 6．【答案】B【解析】设(),M ρθ为直线上除π2,3⎛⎫⎪⎝⎭以外的任意一点，则有πcos 2cos 3ρθ=⋅，则cos 1ρθ=，经检验π2,3⎛⎫⎪⎝⎭符合方程．故选B ．7．【答案】A 8．【答案】D 9．【答案】C【解析】把直线参数方程化为3'12'2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t '为参数)，代入22y x =求得(12423t t ''+=-，12160t t ''>=，知1t ，2t 均小于零， 则(111222423AP AP t t t t ''''+=+=+=．故选C ．10．【答案】B【解析】将抛物线的参数方程化成普通方程为232y x =，它的焦点为3,08⎛⎫⎪⎝⎭． 设弦所在直线的方程为38y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由23238y x y k x ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，消去y 得()22226448290k x k x k -+=+，设弦的两个端点的坐标为()11,x y ，()22,x y ， 则()222212121222329144161k x x k x x x x k k ⎛⎫+-=++-⋅- ⎪+⎝⎭， 解得3k =．故选B ． 11．【答案】D【解析】方法1：将椭圆方程221108x y +=化为222452x y +=，∴222452x +=， 令252x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，得224x y '+='，即224x y +=，∴伸缩变换为5'22x x y y '=． 方法2：将224x y +=改写为224x y '+='，设伸缩变换为()()00x x y y λλμμ'=>⎧⎪⎨'=>⎪⎩，代入224x y '+='，得22224x y λμ+=，即2222144x y λμ+=，与椭圆221108x y +=，比较系数得221410148λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，word∴伸缩变换为x xy y⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，即'y ='=．故选D ．12．【答案】D【解析】圆r ρ=的直角坐标方程为222x y r +=，①圆()πππ2sin 2sin cos cos sin sin cos 444r r ρθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两边同乘以ρ得()2sin cos ρρθρθ=+，∴220x y ++=，② 由①-②)x y r +=-，即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程．)x y r +=-()cos sin r θθ+=-．二、填空题． 13．14．15．【答案】16．【答案】sin 10ρθ+=三、解答题． 17．【答案】见解析．【解析】由2x x y y '=⎧⎨'=⎩得2x x y y '⎧=⎪⎨⎪'=⎩，代入221x y +=得2212x y '⎛⎫'+= ⎪⎝⎭，即2214x y ''+=． 所以在伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩的作用下，单位圆221x y +=变成椭圆2214x y +=．由22x x y y '=⎧⎨'=⎩，得22x x y y '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入221x y +=得22122x y ''⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即224x y ''+=， 所以在伸缩变换22x xy y'=⎧⎨'=⎩的作用下，单位圆221x y +=变成圆224x y +=．18．【答案】（1）长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆；（2）过40,3⎛⎫⎪⎝⎭和()1,0的一条直线．【解析】（1）∵5cos 4sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，∴cos 5sin 4xy ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两边平方相加，得2222cos sin 2516x y ϕϕ+=+，即2212516x y +=．∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆． （2）∵134x t y t=-⎧⎨=⎩，∴由4y t =代入13x t =-，得134yx =-⋅，∴4340x y +-=，∴它表示过40,3⎛⎫⎪⎝⎭和()1,0的一条直线．19．【答案】【解析】把直线参数方程化为标准参数方程122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，带入221x y -=，得：221212t ⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 整理，得2460t t -=-．设其两根为1t 、2t ，则124t t +=，126t t =-． 从而弦长为12AB t t =-===word20．【答案】π2sin 6a ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【解析】设Q 、P 的坐标分别是(),ρθ、()11,ρθ，则1θθ=． 在POA △中，由正弦定理得，12πsin π3sin 3aρθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，sin πsin 3a PA θ=． 又OQ OP PA =+，∴π2sin 6a ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．21．【答案】（1）2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)；（2）．【解析】（1）设(),P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭．由于点M 在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)．（2）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=． 射线π3θ=与1C 交点A 的极径为1π4sin 3ρ=， 射线π3θ=与2C 的交点B 的极径为2π8sin 3ρ=．所以12AB ρρ=-= 22．【答案】见解析．【解析】证明：证法一 以A 为极点，射线AB 为极轴建立极坐标系， 则半圆的极坐标方程为2cos r ρθ=，设()11,M ρθ，()22,N ρθ，则112cos r ρθ=，222cos r ρθ=，又21112cos 22cos MP a a r ρθθ=++=，22222cos 22cos NQ a a r ρθθ=++=， ∴21122cos 2cos MP a r r θθ+==，∴22222cos 2cos NQ a r r θθ+==， ∴1cos θ，2cos θ是关于cos θ的方程2cos cos 0r r a θθ-+=的两个根，由韦达定理知：12cos cos 1θθ+=，∴122cos 2cos 2MA NA r r r AB θθ+=+==． 证法二 以A 为极点，射线AB 为极轴建立直角坐标系， 则半圆的极坐标方程为2cos r ρθ=， 设()11,M ρθ，()22,N ρθ，又由题意知，()11,M ρθ，()22,N ρθ在抛物线21cos aρθ=-上，∴22cos 1cos ar θθ=-，2cos cos 0r r a θθ-+=，∴1cos θ，2cos θ是方程2cos cos 0r r a θθ-+=的两个根， 由韦达定理知：12cos cos 1θθ+=，∴122cos 2cos 2MA NA r r r AB θθ+=+==．。
高二年数学选修4-4坐标系与参数方程测试(附答案)
高二年数学选修4-4坐标系与参数方程测试班级:__________________ 座号:______ 姓名：___________________成绩：___________ 一、选择题（共12题，每题5分）1、点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 2、极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是 （ ）A ．（-ρ，θ）B ．（-ρ，-θ）C ．（ρ，2π-θ）D ．（ρ，2π+θ） 3．已知点P 的极坐标为（1，π），那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 （ ）A ．ρ=1B ．ρ=cosθC ．ρ=-θcos 1D ．ρ=θcos 14．以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是 （ ）A ．ρ=2cos(θ-4π) B ．ρ=2sin(θ-4π) C ．ρ=2cos(θ-1) D ．ρ=2sin(θ-1) 5．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 6．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 7．在极坐标系中，以（2,2πa ）为圆心，2a为半径的圆的方程为（ ）A ．θρcos a =B ．θρsin a =C ．a =θρcosD ．a =θρsin8．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A ．线段 B .双曲线的一支 C.圆 D.射线 9、在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x 变为曲线y=sinx 的伸缩变换是（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧==//213y y x xB ．⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx 213//C ．⎩⎨⎧==//23y y x xD ．⎩⎨⎧==y y x x 23// 10．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2B ．31(,)42- C ． D ．11、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心12、设P(x ，y)是曲线C ：⎩⎨⎧θ=θ+-=sin y ,cos 2x （θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点，则yx的取值范围是 （ ）A ．[-3，3]B ．（-∞，3）∪[3，+∞]C ．[-33，33]D ．（-∞，33）∪[33，+∞]二、填空题（共8题，各5分）1、点A 的直角坐标为（1，1，1），则它的球坐标为 ，柱坐标为2、曲线的1cos 3sin --=θθρ直角坐标方程为____________________3、直线3()14x att y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________4、设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。
新课标教材高中数学测试题组(选修4-4)坐标系与参数方程(基础训练题共3组)含详细解答
坐标系与参数方程 [基础训练A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是A．1(,2B ．31(,)42-C． D． 3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为 A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y = 5．点M的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线34()45x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为__________________.2．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________. 3．已知直线113:()24x tl t y t =+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =______.4．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为__________________. 5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为__________________.三、解答题1．已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点，（1）求2x y +的取值范围； （2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。
人教版数学高二A版选修4-4第二讲参数方程单元检测A
第二讲参数方程单元检测（A ）一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．32．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程1,23x t y t=--⎧⎨=+⎩(t 为参数)所表示的图形分别是( )． A ．圆、直线 B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线 3．点P (1,0)到曲线2,2x t y t ⎧=⎨=⎩(其中t 为参数且t ∈R )上的点的最短距离为( )． A ．0 B ．1 CD ．24．已知三个方程：①2==x t y t ⎧⎨⎩，，②2=tan =tan x t y t ⎧⎨⎩，，③2sin sin x t y t =⎧⎨=⎩，(都是以t 为参数)，那么表示同一曲线的方程是( )．A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③5．圆锥曲线2tan 3sec x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)的焦点坐标是( )． A ．(±3,0) B ．(0，±3)C ．(0) D ．(0，6．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线13cos 4sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩，：(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为( )． A ．1 B ．3C ．5D ．77．若圆的参数方程为12cos 32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，(θ为参数)，直线的参数方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩，(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( )．A ．过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离8．椭圆53cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩，(θ为参数)的离心率是( )． A．4 B．3C．2D．5 二、填空题9．椭圆cossinx ay bθθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝________.10．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为33x ty t=+⎧⎨=-⎩，(参数t∈R)，圆C的参数方程为2cos2sin2xyθθ=⎧⎨=+⎩，(参数θ∈[0,2π))，则圆C的圆心坐标为________，圆心到直线l的距离为________．三、解答题11．求2sin1cosmθθ-=-的最小值．12．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上存在两点A，B关于直线x＋y－1＝0对称，求p的取值范围．参考答案1.答案：C解析：曲线C1化为普通方程为圆：x2＋(y－1)2＝1，曲线C2化为直角坐标方程为直线：x－y＋1＝0.因为圆心(0,1)在直线x－y＋1＝0上，故直线与圆相交，交点个数为2.2.答案：A解析：∵ρ＝cos θ，∴x2＋y2＝x表示圆．∵1,23, x t y t=--⎧⎨=+⎩∴3x＋y＋1＝0表示直线．3.答案：B解析：点P与曲线2,2x ty t⎧=⎨=⎩(t∈R)上的点之间的距离d==2+11t≥．4.答案：B解析：①②③的普通方程都是y＝x2，但①②中x的取值范围相同，都是x∈R，而③中x的取值范围是－1≤x≤1．5.答案：D解析：曲线的普通方程为22=194y x-，表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线，且对应的a＝3，b＝2，c=，所以焦点坐标是(0，．6.答案：B解析：∵C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1，∴两圆心之间的距离为d=.∵A∈曲线C1，B∈曲线C2，∴|AB|min＝5－2＝3.7. 答案：B解析：将圆、直线的参数方程化成普通方程，利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径，并且圆心不在直线上．8. 答案：A解析：将椭圆的参数方程化为普通方程，即2252=1916x y (-)(+)+， ∴a ＝4，b ＝3.由c 2＝a 2－b 2，得c =∴4c e a ==. 9. 答案：π10. 答案：(0,2)解析：消参后得圆的方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线方程为x ＋y ＝6，所以圆心坐标为(0,2)，11. 解：设Q (1,2)，P (cos θ，sin θ)为圆x 2＋y 2＝1上任意一点，如图，可知，2sin 1cos m θθ-=-就是直线PQ 的斜率．设过Q 与圆x 2＋y 2＝1相交的直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0.∵圆心O 到直线PQ 的距离不大于半径1，1≤， ∴34k ≥，∴min 34m =. 12. 解：设抛物线的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩，(t 为参数)，两点A (212pt ，2pt 1)，B (222pt ，2pt 2)．又A ，B 两点关于直线x ＋y －1＝0对称， 则有221212212221()()=1, 2()=1. 2()p t t p t t p t t p t t ⎧+++⎪-⎨⎪-⎩①②由②得t 1＋t 2＝1，代入①得22121>0p t t p-+=， ∴0＜p ＜1． 又由222121211>>222t t t t p p ++-⎛⎫ ⎪⎝⎭，得，∴0＜p＜2 3 .综上，p的范围是23⎛⎫ ⎪⎝⎭，.。
选修4-4坐标系与参数方程知识点总结和同步练习(附答案)
数方程为
x y
x0 y0
t cos t sin
(t为参数) ，其中 t 表示直线 l 上以定点 M 0 为起点，任一点
uuuuuur M (x, y) 为终点的有向线段 M 0M 的数量，当点 M 在 M 0 上方时， t ＞0；当点 M 在
M 0 下方时， t ＜0；当点 M 与 M 0 重合时， t =0。我们也可以把参数 t 理解为以 M 0 为原 点，直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的
x2 a2
y2 b2
1(a
0,
b
0),
其参数方程为
x y
a b
sec tan
(为参数)
，其中
[0, 2 )且 , 3 . 22
焦点在
y
轴上的双曲线的标准方程是
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0), 其参数方 y 的取值范围；
（2）若 x y a 0 恒成立，求实数 a 的取值范围。
2．求直线
l1
:
x y
1 5
t
3t (t为参数) 和直线 l2 : x y 2
3 0 的交点 P 的坐标，及点
P
与 Q(1, 5) 的距离。
3．在椭圆 x2 y2 1上找一点，使这一点到直线 x 2 y 12 0 的距离的最小值。 16 12
点M
直角坐标 (x, y)
极坐标 (, )
互化公式
x cos
新课标高考《坐标系与参数方程》(选修4-4)含答案
第二讲 坐标系与参数方程(选修4－4)1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．4．(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4．几种常见曲线的参数方程 (1)圆以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．(2)椭圆椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．热点一极坐标方程及其应用[例1] (1)(2014·江西高考改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程．(2)(2014·东北三校联考)已知点P (1＋cos α，sin α)，参数α∈[0，π]，点Q 在曲线C ：ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4上．①求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程； ②求点P 与点Q 之间距离的最小值．1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22.(ρ≥0,0≤θ<2π) (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．热点二 参数方程及其应用[例2] (2014·福建高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．2．倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．[例3] (2014·辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．3．极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ＝8cos θ.热点三 极坐标方程与参数方程的综合应用(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |的值．1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．3．(2014·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.4．(2014·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．5．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点． (1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．第二部分题1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．3．(2014·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.4．(2014·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．5．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点． (1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．答案解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.解：(1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．[师生共研] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且y ＝1－x ，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝1sin θ＋cos θ.又0≤x ≤1，所以0≤y ≤1，所以点(x ，y )都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤π2，即所求线段的极坐标方程为ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2. (2)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，消去α，得点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又由ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，得ρ＝9sin θ＋cos θ，所以ρsin θ＋ρcos θ＝9.所以曲线C 的直角坐标方程为x ＋y ＝9.②因为半圆(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)的圆心(1,0)到直线x ＋y ＝9的距离为42， 所以|PQ |min ＝42－1.解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，即为所求．热点二 参数方程及其应用[师生共研] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32，整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π4， ∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2 α∈⎝⎛⎦⎤1289，64.热点三 极坐标方程与参数方程的综合应用[师生共研] (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ得ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x . (2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2,0)，将直线l 的方程代入y 2＝8x ，得(t sin α)2＝8(2＋t cos α)，整理得t 2sin 2 α－8t cos α－16＝0.由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2 α＝64>0，∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16sin 2α<0，故1|AF |＋1|BF |＝⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝⎛⎭⎫8cos αsin 2α2＋64sin 2α16sin 2α＝12.解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.解：易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2，依题意，有|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或29.解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝(23)2－4×(－14)1＝217.解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．第二部分题答案：1．解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.2．解：易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2，依题意，有|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或29.3．解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.4． 解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.5． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝(23)2－4×(－14)1＝217.6．解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．。
高中数学选修44坐标系与参数方程练习题含详解1
数学选修 4-4坐标系与参数方程[ 基础训练 A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为x 1 2t (t 为参数 ) ，则直线的斜率为（ ）y 2 3t A ．2B ．2 3 D ．333C ．222．以下在曲线x sin 2( 为参数 ) 上的点是（）ycossinA ．(1,2)B ． (3,1)C ． (2, 3)D ． (1,3)24 23．将参数方程x 2 sin 2为参数 ) 化为一般方程为（y sin2( ）A ． y x2B ． y x 2C ． y x 2(2 x 3)D ． yx 2(0 y 1)4．化极坐标方程2cos0 为直角坐标方程为（）A ． x 2y 20或 y 1B ． x 1C ． x 2 y 20或 x 1D ． y 15．点 M 的直角坐标是 (1, 3) ，则点 M 的极坐标为（）A ． (2,) B ． (2,) C ． (2,2)D ． (2,2 k),( k Z )33336．极坐标方程cos 2sin 2 表示的曲线为（）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线x 3 4t (t 为参数 ) 的斜率为 ______________________。
y 4 5t2．参数方程x e te t) (t 为参数) 的一般方程为 __________________。
y2(e te t3．已知直线 l 1 :x 1 3ty 2 (t 为参数 ) 与直线 l 2 : 2x 4 y 5 订交于点 B ，又点 A(1,2) ，4t则 AB_______________。
x 2 1 t4．直线2(t 为参数 ) 被圆 x 2 y 2 4 截得的弦长为 ______________。
y1 1t25．直线 x cos y sin 0 的极坐标方程为 ____________________ 。
三、解答题1．已知点 P(x, y) 是圆 x 2y 2 2y 上的动点，（ 1）求 2xy 的取值范围；（ 2）若 xy a 0恒建立，务实数 a 的取值范围。
新课程高中数学新编测试题组数学选修4-4 坐标系与参数方程(含答案)
选修4-4数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组]数学选修4-4 坐标系与参数方程 [综合训练B 组] 数学选修4-4 坐标系与参数方程 [提高训练C 组]数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2B ．31(,)42-C ．D ． 3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =5．点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题 1．直线34()45x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。
2．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。
3．已知直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。
4．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
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数学选修4-4 坐标系与参数方程
一、选择题
1．若直线的参数方程为12()23x t t y t
=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）
A ．
23 B ．23
- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩
为参数上的点是（ ） A
．1(,2
B ．31
(,)42- C
． D
．
3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤
4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）
A ．201y y +==2x 或
B ．1x =
C ．201y +==2x 或x
D ．1y =
5．点M
的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）
A ．(2,)3π
B ．(2,)3π-
C ．2(2,)3π
D ．(2,2),()3
k k Z ππ+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆
二、填空题
1．直线34()45x t t y t
=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。
2．参数方程()2()
t t t t x e e t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。
3．已知直线113:()24x t l t y t
=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
则AB =_______________。
4．直线122()112
x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。
三、解答题
1．已知点(,)P x y 是圆22
2x y y +=上的动点，
（1）求2x y +的取值范围；
（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。
2．
求直线11:()5x t l t y =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数
和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -的距离。
3．在椭圆22
11612
x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。
数学选修4-4 坐标系与参数方程 答案
一、选择题
1．D 233122
y t k x t --===-- 2．B 转化为普通方程：21y x =+，当34x =-时，12
y = 3．C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈
4．
C (cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-=====或
5．C 2(2,2),()3
k k Z ππ+∈都是极坐标 6．C 2cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即
则,2k πθπ=+
或224x y y += 二、填空题
1．54- 455344
y t k x t --===-- 2．221,(2)416x y x -=≥ 22()()422222
t t t t t t y x e x e e y y x x y y e e x e ---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⇒⇒+-=⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩ 3．52 将1324x t y t
=+⎧⎨=-⎩代入245x y -=得12t =，则5(,0)2B ，而(1,2)A ，得52AB = 4
． 直线为10x y +-=，圆心到直线的距
离2d =
=，弦
长的一半为=
5．2π
θα=+ cos cos sin sin 0,cos()0ρθαρθαθα+=-=，取2π
θα-=
三、解答题
1．解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θθ
=⎧⎨=+⎩，
22cos sin 1)1x y θθθϕ+=++=++
121x y ≤+≤
（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥
(cos sin )1)14
1a a π
θθθ∴≥-+-=+-∴≥ 2
．解：将15x t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩
代入0x y --=
得t =，
得(1P +，而(1,5)Q -
，得PQ ==3
．解：设椭圆的参数方程为4cos x y θθ
=⎧⎪⎨=⎪⎩
，d =
3)33θθθθ=-=+- 当cos()13πθ+
=
时，min 5
d =，此时所求点为(2,3)-。