内蒙古通辽市中考数学试题及答案解析

2015年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）（2015•通辽）下列调查适合抽样调查的是（）A．审核书稿中的错别字B．对某社区的卫生死角进行调查C．对八名同学的身高情况进行调查D．对中学生目前的睡眠情况进行调查2．（3分）（2015•通辽）的算术平方根是（）A．﹣2 B．±2 C．D．23．（3分）（2015•通辽）实数tan45°，，0，﹣π，，﹣，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（）A．4 B． 2 C． 1 D． 34．（3分）（2015•通辽）已知反比例函数y=的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（1，﹣6）D．（﹣6，1）5．（3分）（2015•通辽）下列说法中，正确的是（）A．﹣x2的系数是B．πa2的系数是C．3ab2的系数是3a D．xy2的系数是6．（3分）（2015•通辽）如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图为（）A．B．C．D．7．（3分）（2015•通辽）一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是（）A．2 B． 4 C． 1 D． 38．（3分）（2015•通辽）如图，已知AB∥CD，若∠A=25°，∠E=40°，则∠C等于（）A．40° B．65° C．115° D．25°9．（3分）（2015•通辽）已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m的说法中，错误的是（）①m是无理数；②m是方程m2﹣12=0的解；③m满足不等式组；④m是12的算术平方根．A．①② B．①③ C．③ D．①②④10．（3分）（2015•通辽）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．8 B．20 C．8或20 D．10二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分）11．（3分）（2015•通辽）在数1，0，﹣1，|﹣2|中，最小的数是．12．（3分）（2015•通辽）因式分解：x3y﹣xy=．13．（3分）（2015•通辽）函数y=中，自变量x的取值范围是．14．（3分）（2015•通辽）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为．15．（3分）（2015•通辽）某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道x m，则可得方程．16．（3分）（2015•通辽）如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为．17．（3分）（2015•通辽）一列数x1，x2，x3，…，其中x1=，x n=（n为不小于2的整数），则x2015=．三、解答题（本题包括9个小题，共69分，请写出解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（12分）（2015•通辽）（1）计算：（π﹣）0+（）﹣1﹣﹣tan30°；（2）解方程：+=1；（3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．19．（5分）（2015•通辽）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a，b满足|a﹣3|+（b﹣2）2=0．20．（5分）（2015•通辽）如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）21．（5分）（2015•通辽）如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．22．（7分）（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．23．（6分）（2015•通辽）课前预习是学习的重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A﹣优秀，B﹣良好，C﹣一般，D﹣较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请你根据统计图，解答下列问题：（1）本次一共调查了多少名学生？（2）C类女生有名，D类男生有名，并将条形统计图补充完整；（3）若从被调查的A类和C类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选同学中恰好是一位男同学和一位女同学的概率．24．（8分）（2015•通辽）光明文具厂工人的工作时间：每月26天，每天8小时．待遇：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资920元，按月结算．该厂生产A，B两种型号零件，工人每生产一件A种型号零件，可得报酬0.85元，每生产一件B种型号零件，可得报酬1.5元，下表记录的是工人小王的工作情况：生产A种型号零件/件生产B种型号零件/件总时间/分2 2 706 4 170根据上表提供的信息，请回答如下问题：（1）小王每生产一件A种型号零件、每生产一件B种型号零件，分别需要多少分钟？（2）设小王某月生产A种型号零件x件，该月工资为y元，求y与x的函数关系式；（3）如果生产两种型号零件的数目限制，那么小王该月的工资数目最多为多少？25．（9分）（2015•通辽）如图，MN是⊙O的直径，QN是⊙O的切线，连接MQ交⊙O于点H，E 为上一点，连接ME，NE，NE交MQ于点F，且ME2=EF•EN．（1）求证：QN=QF；（2）若点E到弦MH的距离为1，cos∠Q=，求⊙O的半径．26．（12分）（2015•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）求证：CE=EF；（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2=（+1）2]．2015年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）（2015•通辽）下列调查适合抽样调查的是（）A．审核书稿中的错别字B．对某社区的卫生死角进行调查C．对八名同学的身高情况进行调查D．对中学生目前的睡眠情况进行调查考点：全面调查与抽样调查．分析：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．解答：解：A、审核书稿中的错别字，必须准确，故必须普查；B、此种情况数量不是很大，故必须普查；C、人数不多，容易调查，适合普查；D、中学生的人数比较多，适合采取抽样调查；故选D．点评：本题考查了全面调查与抽样调查的应用，一般由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．2．（3分）（2015•通辽）的算术平方根是（）A．﹣2 B．±2 C．D．2考点：算术平方根．分析：首先求出的值是2；然后根据算术平方根的求法，求出2的算术平方根，即可求出的算术平方根是多少．解答：解：∵，2的算术平方根是，∴的算术平方根是．故选：C．点评：此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．3．（3分）（2015•通辽）实数tan45°，，0，﹣π，，﹣，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（）A．4 B． 2 C．1 D． 3考点：无理数．分析：掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合题意判断即可．解答：解：在实数tan45°，，0，﹣π，，﹣，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数有：﹣π，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），共3个，故选D．点评：此题主要考查了无理数的定义，熟记无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数是解题的关键．4．（3分）（2015•通辽）已知反比例函数y=的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（1，﹣6）D．（﹣6，1）考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：把已知点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可做出判断．解答：解：把（2，3）代入反比例解析式得：k=6，∴反比例解析式为y=，则（﹣2，﹣3）在这个函数图象上，故选D．点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．5．（3分）（2015•通辽）下列说法中，正确的是（）A．﹣x2的系数是B．πa2的系数是C．3ab2的系数是3a D．xy2的系数是考点：单项式．分析：根据单项式的概念求解．解答：解：A、﹣x2的系数是﹣，故本选项错误；B、πa2的系数是π，故本选项错误；C、3ab2的系数是3，故本选项错误；D、xy2的系数，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．6．（3分）（2015•通辽）如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图为（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．解答：解：从上面向下看，从左到右有三排，且其正方形的个数分别为2、3、1，故选：D．点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面向下看得到的视图．7．（3分）（2015•通辽）一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是（）A．2 B． 4 C． 1 D． 3考点：方差；算术平均数．分析：先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差的计算公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]求出这组数据的方差．解答：解：由平均数的公式得：（0+1+2+3+x）÷5=2，解得x=4；则方差=[（0﹣2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]÷5=2．故选：A．点评：此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．8．（3分）（2015•通辽）如图，已知AB∥CD，若∠A=25°，∠E=40°，则∠C等于（）A．40° B．65° C．115° D．25°考点：平行线的性质．分析：由平行线的性质可求得∠EFB=∠C，在△AEF中由三角形外角的性质可求得∠EFB，可求得答案解答：解：∵∠EFB是△AEF的一个外角，∴∠EFB=∠A+∠E=25°+40°=65°，∵AB∥CD，∴∠C=∠EFB=65°，故选B．点评：本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．9．（3分）（2015•通辽）已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m的说法中，错误的是（）①m是无理数；②m是方程m2﹣12=0的解；③m满足不等式组；④m是12的算术平方根．A．①② B．①③ C．③ D．①②④考点：算术平方根；平方根；无理数；不等式的解集．分析：①根据边长为m的正方形面积为12，可得m2=12，所以m=2，然后根据是一个无理数，可得m是无理数，据此判断即可．②根据m2=12，可得m是方程m2﹣12=0的解，据此判断即可．③首先求出不等式组的解集是4＜m＜5，然后根据m=2＜2×2=4，可得m不满足不等式组，据此判断即可．④根据m2=12，而且m＞0，可得m是12的算术平方根，据此判断即可．解答：解：∵边长为m的正方形面积为12，∴m2=12，∴m=2，∵是一个无理数，∴m是无理数，∴结论①正确；∵m2=12，∴m是方程m2﹣12=0的解，∴结论②正确；∵不等式组的解集是4＜m＜5，m=2＜2×2=4，∴m不满足不等式组，∴结论③不正确；∵m2=12，而且m＞0，∴m是12的算术平方根，∴结论④正确．综上，可得关于m的说法中，错误的是③．故选：C．点评：（1）此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．（2）此题还考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．（3）此题还考查了不等式的解集的求法，以及正方形的面积的求法，要熟练掌握．10．（3分）（2015•通辽）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．8 B．20 C．8或20 D．10考点：菱形的性质；解一元二次方程-因式分解法．分析：边AB的长是方程y2﹣7y+10=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长．解答：解：∵解方程y2﹣7y+10=0得：y=2或5∵对角线长为6，2+2＜6，不能构成三角形；∴菱形的边长为5．∴菱形ABCD的周长为4×5=20．故选B．点评：本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分）11．（3分）（2015•通辽）在数1，0，﹣1，|﹣2|中，最小的数是﹣1．考点：有理数大小比较．专题：计算题．分析：利用绝对值的代数意义化简后，找出最小的数即可．解答：解：在数1，0，﹣1，|﹣2|=2中，最小的数是﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考查了有理数的大小比较，弄清有理数的比较方法是解本题的关键．12．（3分）（2015•通辽）因式分解：x3y﹣xy=xy（x﹣1）（x+1）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：首先提取公因式xy，再运用平方差公式进行二次分解．解答：解：x3y﹣xy，=xy（x2﹣1）…（提取公因式）=xy（x+1）（x﹣1）．…（平方差公式）故答案为：xy（x+1）（x﹣1）．点评：本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（3分）（2015•通辽）函数y=中，自变量x的取值范围是x≥﹣1且x≠﹣3．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知：x+1≥0；分母不等于0，可知：x+3≠0，所以自变量x的取值范围就可以求出．解答：解：根据题意得：x+1≥0且x+3≠0，解得：x≥﹣1且x≠﹣3．故答案为：x≥﹣1且x≠﹣3．点评：本题考查了函数自变量的取值范围，使得分式和根号有意义的知识．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．14．（3分）（2015•通辽）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为42°．考点：圆周角定理．分析：根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．解答：解：∵OA=OB，∠OBA=48°，∴∠OAB=∠OBA=48°，∴∠AOB=180°﹣48°×2=84°，∴∠C=∠AOB=42°，故答案为：42°．点评：此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．解决本题的关键是熟记一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．15．（3分）（2015•通辽）某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道x m，则可得方程﹣=15．考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：设原计划每天铺设管道x m，则实际每天铺设管道（x+20）m，根据题意可得，实际比原计划少用15天完成任务，据此列方程即可．解答：解：设原计划每天铺设管道x m，则实际每天铺设管道（x+20）m，由题意得，﹣=15．故答案为：﹣=15．点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．16．（3分）（2015•通辽）如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为8cm2或2cm2或2cm2．考点：勾股定理；等腰三角形的判定；矩形的性质．专题：分类讨论．分析：因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论：（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．解答：解：分三种情况计算：（1）当AE=AF=4时，如图：∴S△AEF=AE•AF=×4×4=8（cm2）；（2）当AE=EF=4时，如图：则BE=5﹣4=1，BF===，∴S△AEF=•AE•BF=×4×=2（cm2）；（3）当AE=EF=4时，如图：则DE=7﹣4=3，DF===，∴S△AEF=AE•DF=×4×=2（cm2）；故答案为：8或2或2．点评：本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．17．（3分）（2015•通辽）一列数x1，x2，x3，…，其中x1=，x n=（n为不小于2的整数），则x2015=2．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据表达式求出前几个数不难发现，每三个数为一个循环组依次循环，用2015除以3，根据商和余数的情况确定a2015的值即可．解答：解：根据题意得，a2==2，a3==﹣1，a4==，…，依此类推，每三个数为一个循环组依次循环，∵2015÷3=671…2，∴a2015是第671个循环组的第2个数，与a2相同，即a2015=2．故答案为：2．点评：本题考查数字的变化规律，计算并观察出每三个数为一个循环组依次循环是解题的关键．三、解答题（本题包括9个小题，共69分，请写出解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（12分）（2015•通辽）（1）计算：（π﹣）0+（）﹣1﹣﹣tan30°；（2）解方程：+=1；（3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解分式方程；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值．分析：（1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）先把分式方程化为整式方程，求出x的值，在进行检验即可；（3）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：（1）原式=1+2﹣3﹣=3﹣；（2）方程两边同时乘以（x+3）（x﹣3）得，3+x（x+3）=x2﹣9，解得x=4，代入（x+3）（x﹣3）得，（4+3）（4﹣3）=7≠0，故x=4是原分式方程的解；（3），由①得，y≥1，由②得，y＜2，故不等式组的解集为：1≤y＜2．点评：本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．19．（5分）（2015•通辽）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a，b满足|a﹣3|+（b﹣2）2=0．考点：分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．解答：解：原式=÷=•=，∵|a﹣3|+（b﹣2）2=0，∴a﹣3=0，b﹣2=0，即a=3，b=2，则原式=1．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（5分）（2015•通辽）如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：首先过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，再利用坡度的定义以及勾股定理得出EF、FC的长，求出AB的长即可．解答：解：过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，∴设EF=x，则FC=x，∵CE=20米，∴x2+（x）2=400，解得：x=10，则FC=10m，∵BC=25m，∴BF=NE=（25+10）m，∴AB=AN+BN=NE+EF=10+25+10=（35+10）m，答：建筑物AB的高为（35+10）m．点评：本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助坡角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，难度适中．21．（5分）（2015•通辽）如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质．分析：首先根据平行四边形的性质可得AB=DC=6，AD=BC=10，AB∥DC，再根据平行线的性质与角平分线的性质证明∠2=∠3，根据等角对等边可得BC=CF=10，再用CF﹣CD即可算出DF的长．解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=DC=6，AD=BC=10，AB∥DC．∵AB∥DC，∴∠1=∠3，又∵BF平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC=CF=10，∴DF=BF﹣DC=10﹣6=4．点评：此题主要考查了平行线的性质，以及平行线的性质，关键是证明∠2=∠3推出BC=CF．22．（7分）（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论．解答：解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．点评：本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．23．（6分）（2015•通辽）课前预习是学习的重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A﹣优秀，B﹣良好，C﹣一般，D﹣较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请你根据统计图，解答下列问题：（1）本次一共调查了多少名学生？（2）C类女生有3名，D类男生有1名，并将条形统计图补充完整；（3）若从被调查的A类和C类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选同学中恰好是一位男同学和一位女同学的概率．考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．专题：计算题．分析：（1）用B类的人数除以它所占的百分比即可得到本次调查的学生数；（2）先利用调查的总人数乘以C类所占百分比得到C类人数，然后减去男生人数即可得到C类女生人数，同样可求出D类男生人数，然后补全条形统计图；（3）先画树状图展示15种等可能的结果数，再找出恰好是一位男同学和一位女同学的结果数，然后根据概率公式计算．解答：解：（1）本次调查的学生数=10÷50%=20（名）；（2）C类学生数=20×25%=5，则C类女生数=5﹣2=3（名）；D类学生数=20﹣3﹣10﹣5=2（名），则D类男生有1名，条形统计图为：（3）画树状图为：共有15种等可能的结果数，其中恰好是一位男同学和一位女同学的结果数为7种，所以所选同学中恰好是一位男同学和一位女同学的概率=．故答案为3，1．点评：本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．24．（8分）（2015•通辽）光明文具厂工人的工作时间：每月26天，每天8小时．待遇：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资920元，按月结算．该厂生产A，B两种型号零件，工人每生产一件A种型号零件，可得报酬0.85元，每生产一件B种型号零件，可得报酬1.5元，下表记录的是工人小王的工作情况：生产A种型号零件/件生产B种型号零件/件总时间/分2 2 706 4 170根据上表提供的信息，请回答如下问题：（1）小王每生产一件A种型号零件、每生产一件B种型号零件，分别需要多少分钟？（2）设小王某月生产A种型号零件x件，该月工资为y元，求y与x的函数关系式；（3）如果生产两种型号零件的数目限制，那么小王该月的工资数目最多为多少？考点：一次函数的应用．专题：应用题．分析：（1）设小王生产一个A种产品用a分钟，生产一个B种产品用b分钟，根据表格中的数据，列方程组求a、b的值；（2）根据：月工资y=生产一件A种产品报酬×x+生产一件B种产品报酬×+福利工资920元，列出函数关系式；（3）利用（2）得到的函数关系式，根据一次函数的增减性求解．解答：解：（1）设小王生产一个A种产品用a分钟，生产一个B种产品用b分钟；根据题意得，解得，即小李生产一个A种产品用15分钟，生产一个B种产品用20分钟．（2）y=0.85x+×1.5+920，即y=﹣0.275x+1856．（3）由解析式y=﹣0.275x+1856可知：x越小，y值越大，并且生产A，B两种产品的数目又没有限制，所以，当x=0时，y=1856．即小王该月全部时间用来生产B种产品，最高工资为1856元．点评：本题考查了一次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，利用一次函数的增减性解答题目的问题．25．（9分）（2015•通辽）如图，MN是⊙O的直径，QN是⊙O的切线，连接MQ交⊙O于点H，E 为上一点，连接ME，NE，NE交MQ于点F，且ME2=EF•EN．（1）求证：QN=QF；（2）若点E到弦MH的距离为1，cos∠Q=，求⊙O的半径．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）如图1，通过相似三角形（△MEF∽△MEN）的对应角相等推知，∠1=∠EMN；又由弦切角定理、对顶角相等证得∠2=∠3；最后根据等角对等边证得结论；（2）如图2，连接OE交MQ于点G，设⊙O的半径是r．根据（1）中的相似三角形的性质证得∠EMF=∠ENM，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E是弧MH的中点，则OE⊥MQ；然后通过解直角△MNE求得cos∠Q=sin∠GMO==，则可以求r的值．解答：（1）证明：如图1，∵ME2=EF•EN，∴=．又∵∠MEF=∠MEN，∴△MEF∽△MEN，∴∠1=∠EMN．∵∠1=∠2，∠3=∠EMN，∴∠2=∠3，∴QN=QF；（2）解：如图2，连接OE交MQ于点G，设⊙O的半径是r．由（1）知，△MEF∽△MEN，则∠4=∠5．∴=．∴OE⊥MQ，∴EG=1．∵cos∠Q=，且∠Q+∠GMO=90°，∴sin∠GMO=，∴=，即=，解得，r=2.5，即⊙O的半径是2.5．点评：本题考查切线的性质和相似三角形的判定与性质．在（1）中判定△MEF∽△MEN是解题的关键，在（2）中推知点E是弧MH的中点是解题的关键．26．（12分）（2015•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）求证：CE=EF；（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2=（+1）2]．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2+1，把A的坐标代入即可求得函数的解析式；（2）根据△PCQ为等边三角形，则△CGQ中，∠CQD=30°，CG的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得CQ，即等边△CQP的边长，则P的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得P 的坐标；。

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2024年内蒙古通辽市中考数学试卷(附答案解析)

2024年内蒙古通辽市中考数学试卷（附答案解析）一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）某地区某日最高气温是零上8℃，记作+8℃，最低气温是零下3℃，应该记作（）A．﹣3℃B．+3℃C．﹣5℃D．+5℃【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，某地区某日最高气温是零上8℃，记作+8℃，最低气温是零下3℃，应该记作﹣3℃．故选：A．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．2．（3分）如图，这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据简单几何体的三视图的画法画出它的俯视图即可．【解答】解：这个几何体的俯视图是，故选：D．【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是正确解答的关键．3．（3分）在学校文艺汇演中，7名参加舞蹈表演的女生身高（单位：cm）如下：170175169171172170173这组数据的中位数是（）A．175B．172C．171D．170【答案】C．4．（3分）下列运算结果正确的是（）A．4xy﹣3xy＝1B．（﹣a2）3＝﹣a6C．＝﹣5D．+＝【答案】B．5．（3分）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点A（﹣4，2）关于对称轴对称的点的坐标为（）A．（﹣4，﹣2）B．（4，﹣2）C．（4，2）D．（﹣2，﹣4）【分析】根据所给图形，得出y轴为其对称轴，再根据轴对称的性质即可解决问题．【解答】解：由所给图形可知，此图形关于y轴对称，所以点A（﹣4，2）关于对称轴对称的点的坐标为（4，2）．故选：C．【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣对称、坐标确定位置及关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟知轴对称的性质是解题的关键．6．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k1≠0，k1，k2，b1，b2为常数）的图象分别为直线l1，l2.下列结论正确的是（）A．b1+b2＞0B．b1b2＞0C．k1+k2＜0D．k1k2＜0【分析】根据函数图象，可以得到b1＝2，b2＝﹣1，k1＞0，k2＞0，然后即可判断各个选项中的说法是否正确．【解答】解：由图象可得，b1＝2，b2＝﹣1，k1＞0，k2＞0，∴b1+b2＞0，故选项A正确，符合题意；b1b2＜0，故选项B错误，不符合题意；k1+k2＞0，故选项C错误，不符合题意；k1k2＞0，故选项D错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．（3分）不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（）A．B．C．D．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸出白球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：红白白红（红，红）（红，白）（红，白）白（白，红）（白，白）（白，白）白（白，红）（白，白）（白，白）共有9种等可能的结果，其中两次都摸出白球的结果有4种，∴两次都摸出白球的概率为．故选：C．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．8．（3分）将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．45°B．35°C．30°D．25°【分析】由平行线的性质推出∠3＝∠1＝25°，即可求出∠2的度数．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝25°，∴∠2＝60°﹣25°＝35°．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠3＝∠1．9．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（）A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBDC．OA2+OB2＝AD2D．AD2+OA2＝OD2【分析】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵OA2+OB2＝AD2，∴OA2+OD2＝AD2，∴∠AOD＝90°，∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意，D、∵AD2+OA2＝OD2，∴∠OAD＝90°，∴OA⊥AD，∴不能证得▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．10．（3分）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料成），则BC长为（）A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m【答案】C．11．（3分）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（）A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m【分析】如图，连接OA，先证明CD⊥AB，AD＝BD＝0.5，再进一步的利用勾股定理计算即可．【解答】解：如图，连接OA，∵D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB＝1m，∴CD⊥AB，AD＝BD＝0.5，设拱门所在圆的半径为rm，∴OA＝OC＝r，而CD＝2.5m，∴OD＝2.5﹣r，∴r2＝0.52+（2.5﹣r）2，解得：r＝1.3，∴拱门所在圆的半径为1.3m；故选B．【点评】本题考查的是垂径定理的实际应用、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键．12．（3分）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y＝（k为常数，k＞0）上，将正六边形ABCDEF向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（）A．4B．3C．2D．3【解答】解：如图，作DG⊥EF交EF的延长线于点G，DG交反比例函数图象于点H，∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，∴∠EDO＝＝＝60°，∴EDG＝30°，∴EG＝ED，GD＝设正六边形ABCDEF的边长为a，则E（，），H（a，），∵点EH都在反比例函数图象上，∴，解得a＝4，∴H（4，），∴k＝4．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正六边形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）13．（3分）分解因式：3ax2﹣6axy+3ay2＝．【分析】先提取公因式3a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：3ax2﹣6axy+3ay2，＝3a（x2﹣2xy+y2），＝3a（x﹣y）2，故答案为：3a（x﹣y）2．14．（3分）如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度L的合格尺寸（L的取值范围）【分析】从图上可以看出：合格尺寸最小应是40﹣0.01＝39.99；最大应是40+0.01＝40.01．【解答】解：根据题意，得.39.99≤L≤40.01．故答案为：39.99≤L≤40.01．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，理解40±0.01的意义是解题的关键．15．（3分）分式方程的解是．【解答】解：去分母得：3x＝2x﹣4，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解．故答案为：x＝﹣416．（3分）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是cm2（结果用含π的式子表示）．【分析】根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2计算即可．【解答】解：这个扇形纸片的面积是为×2π×5×12＝60π（cm2）．故答案为：60π．17．（3分）关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列结论正确的是（填写所有正确结论的序号）．①当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴；②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝﹣4；③若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于2．【分析】依据题意，根据二次函数的图象与性质，逐个进行判断即可得解．【解答】解：当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣4，∴抛物线的对称轴是y轴，故①正确．又若此抛物线与x轴只有一个公共点，∴Δ＝4m2﹣4（m2+m﹣4）＝﹣4m+16＝0．∴m＝4，故②错误．由题意，∵抛物线为y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4，∴对称轴是直线x＝﹣＝m．又抛物线开口向上，∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．又∵A（m﹣2，y1），B（m+1，y2），∴m﹣（m﹣2）＝2＞m+1﹣m＝1．∴y1＞y2，故③错误．由题意，∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4的对称轴是直线x＝m，∴顶点为（m，m﹣4）．∴顶点在直线y＝x﹣4上．又直线y＝x与y＝x﹣4平行，∴顶点到直线y＝x的距离等于两条平行线间的距离．又直线y＝x﹣4与y轴的夹角为45°，且y＝x﹣4是y＝x向下平移4个单位得到的，∴两平行线间的距离为4sin45°＝4×＝2．∴顶点到直线y＝x的距离为2，故④正确．故答案为：①④．三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出解答各题的文字说明、证明过程或计算步骤18．（5分）计算：|﹣2|+2sin60°﹣（﹣π）0．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：|﹣2|+2sin60°﹣（﹣π）0＝2﹣+2×﹣1＝2﹣+﹣1＝1．19．（6分）先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣（a+b）（4a﹣b），其中a＝﹣，b＝2．【分析】根据平方差公式、多项式乘多项式的运算法则去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将a，b的值代入计算即可．【解答】解：原式＝4a2﹣b2﹣（4a2﹣ab+4ab﹣b2）＝4a2﹣b2﹣4a2+ab﹣4ab+b2＝﹣3ab．当a＝﹣，b＝2时，原式＝＝．【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20．（6分）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B 点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB 的高度（精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上，参考数据：≈1.73）．【分析】延长AB交DC于H，得到∠AHD＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：延长AB交DC于H，则∠AHD＝90°，∵∠BCH＝30°，BC＝6米，∴BH＝BC＝3米，CH＝BC＝3米，∵∠ADC＝45°，∴AH＝DH＝CD+CH＝（4+3）米，∴AB＝AH﹣BH＝4+3﹣3＝1+3≈6.2（米），答：杨树AB的高度约为6.2米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．21．（8分）为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛事，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机抽取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本．【收集数据】调查研究小组收集到50名学生的测试成绩：6061629473738585877263647066746567757671949384917682838392848080829291867786887270719390819074788175【整理描述数据】通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：组别成绩分组频数A60≤x＜70aB70≤x＜8016C80≤x＜9016D90≤x≤100b（1）频数分布表中a＝8，b＝10，并补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中m＝20，D所对应的扇形的圆心角度数是72°．【应用数据】（3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数．【分析】（1）根据所给的数据即可得a和b的值，即可补全频数分布直方图；（2）利用D组的人数除以总人数即可得m的值，用360°乘以D组的人数所占的百分比即可求出D 所对应的扇形的圆心角度数；（3）用总人数乘以样本中成绩不低于90分是人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）频数分布表中a＝8，b＝10，补全频数分布直方图如下：故答案为：8，10；（2）∵m%＝×100%＝20%，∴m＝20，D所对应的扇形的圆心角度数是360°×20%＝72°；故答案为：20，72°；（3）600×20%＝120（人），答：估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数为120人．【点评】本题考查频数（率）分布直方图，频数（率）分布表，扇形统计图和用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．（8分）如图，△ABC中．∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．（1）求证：∠ABC＝2∠ACD；（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，如图，先根据切线的性质得到∠ODA＝∠ODB＝90°，再根据四边形的内角和与等角的补角相等得到∠ABC＝∠AOD，接着根据圆周角定理得到∠AOD＝2∠ACD，从而得到结论；（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，先利用勾股定理计算出AB＝10，再证明△AOD∽△ABC，则利用相似比得到＝，然后解方程即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠ODA＝∠ODB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠COD＝180°，∵∠AOD+∠COD＝180°，∴∠ABC＝∠AOD，∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ABC＝2∠ACD；（2）解：设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵∠OAD＝∠BAC，∠ADO＝∠ACB，∴△AOD∽△ABC，∴＝，即＝，解得r＝3，即⊙O的半径为3．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．23．（10分）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．（1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；（2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半．请你给出最节省费用的购买方案．【分析】（1）设每台煎蛋器的价格是x元，每台三明治机的价格是y元，根据“购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m台煎蛋器，则购买（50﹣m）台三明治机，根据购买三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设学校采购这两种机器所需总费用为w元，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出最节省费用的购买方案．【解答】解：（1）设每台煎蛋器的价格是x元，每台三明治机的价格是y元，根据题意得：，解得：．答：每台煎蛋器的价格是65元，每台三明治机的价格是110元；（2）设购买m台煎蛋器，则购买（50﹣m）台三明治机，根据题意得：50﹣m≥m，解得：m≤．设学校采购这两种机器所需总费用为w元，则w＝65m+110（50﹣m），即w＝﹣45m+5500，∵﹣45＜0，∴w随m的增大而减小，又∵m为正整数，∴当m＝33时，w取得最小值，此时50﹣m＝50﹣33＝17，∴最节省费用的购买方案为：购买33台煎蛋器，17台三明治机．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．24．（8分）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“牵形图”，AM＝AN，DM＝DN．求证∠AMD＝∠AND．【模型应用】（2）如图2、△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D．请你从以下两个条件：①∠AMD＝2∠C；②AC＝AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）【拓展提升】（3）如图3，AC为⊙O的直径，＝，∠BAC的平分线AD交BC于点E，交⊙O于点D，连接CD．求证AE＝2CD．【分析】（1）利用SSS证明△ADM≌△ADN，即可；（2）选择②为条件，①为结论：在AC取点N，使AN＝AM，连接DN，证明△ADM≌△ADN，可得DM＝DN，∠AMD＝∠AND，再由AC＝AM+MD，可得DN＝CN，从而得到∠C＝∠CDN，即可；选择①为条件，②为结论：在AC取点N，使AN＝AM，连接DN，证明△ADM≌△ADN，可得DM＝DN，∠AMD＝∠AND，再由∠AMD＝2∠C，可得∠C＝∠CDN，从而得到DN＝CN，即可；（3）连接BD，取AE的中点F，连接BF，根据圆周角定理可得BD＝CD，从而得到∠BCD＝∠CBD，再由AC为⊙O的直径，可得AE＝2BF＝2AF，从而得到∠ABF＝∠BAF，然后根据，可得AB ＝BC，可证明△ABF≌△CBD，从而得到BF＝BD＝CD，即可．【解答】解：（1）在△ADM和△ADN中，，∴△ADM≌△ADN（SSS），∴∠AMD＝∠AND；（2）解：（Ⅰ）选择②为条件，①为结论，如图，在AC取点N，使AN＝AM，连接DN，∵AD平分∠MAC，∴∠DAM＝∠DAN，在△ADM和△ADN中，∵AM＝AN，∠DAM＝∠DAN，AD＝AD，∴△ADM≌△ADN（SAS），∴DM＝DN，∠AMD＝∠AND，∵AC＝AM+MD，AC＝AN+NC，∴DM＝CN，∴DN＝CN，∴∠C＝∠CDN，∴∠AMD＝∠AND＝∠CDN+∠C＝2∠C；（Ⅱ）选择①为条件，②为结论，如图，在AC取点N，使AN＝AM，连接DN，∵AD平分∠MAC，∴∠DAM＝∠DAN，在△ADM和△ADN中，∵AM＝AN，∠DAM＝∠DAN，AD＝AD，∴△ADM≌△ADN（SAS），∴DM＝DN，∠AMD＝∠AND，∵∠AMD＝2∠C，∴∠AND＝2∠C＝∠CDN+∠C，∴∠CDN＝∠C，∴DN＝CN，∴DM＝CN，∵AC＝AN+NC，∴AC＝AM+MD；（3）如图，连接BD，取AE的中点F，连接BF，∵∠BAC的平分线AD，∴，∴BD＝CD，∴∠BCD＝∠CBD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴AE＝2BF＝2AF，∴∠ABF＝∠BAF，∵∠BAF＝∠BCD，∴∠ABF＝∠CBD，∵，∴AB＝BC，∴△ABF≌△CBD（ASA），∴BF＝BD＝CD，∴AE＝2CD．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题关键．25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点C，D，抛物线（k为常数）经过点D且交x轴于A，B两点．（1）求抛物线表示的函数解析式；（2）若点P为抛物线的顶点，连接AD，DP，CP．求四边形ACPD的面积．【分析】（1）求出D（0，3），可得3＝﹣×（0﹣2）2+k，k＝4，即可得抛物线表示的函数解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）连接OP，求出C（2，0），OC＝2，A（﹣2，0），OA＝2，抛物线顶点P坐标为（2，4），可得S＝S△AOD+S△POD+S△POC＝10．四边形ACPD【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，∴D（0，3），∵抛物线经过点D（0，3），∴3＝﹣×（0﹣2）2+k，解得k＝4，∴y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+x+3；∴抛物线表示的函数解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）连接OP，如图；在y＝﹣x+3中，令y＝0得x＝2，∴C（2，0），OC＝2，在y＝﹣x2+x+3中，令y＝0得0＝﹣x2+x+3，解得x＝6或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），OA＝2，由y＝﹣（x﹣2）2+4可得抛物线顶点P坐标为（2，4），＝S△AOD+S△POD+S△POC＝×2×3+×3×2+×2×4＝3+3+3＝10；∴S四边形ACPD∴四边形ACPD的面积为10．【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，三角形面积等知识，解题的关键是用割补法求出四边形ACPD的面积．26．（10分）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF和一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE＝1，AB＝2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α（0°≤α≤90°）角，观察图形的变化，完成探究活动．【初步探究】如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G，BG交AD于点M．问题1BE和DF的数量关系是BE＝DF，位置关系是BE⊥DF．【深入探究】应用问题1的结论解决下面的问题．问题2如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA＝OD＝OG．【尝试应用】问题3如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．【分析】（1）先证△AEB≌△AFD，得到BE＝DF，再根据△AMB和△DMG内角和推导，证∠G＝90°即可；（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证；（3）由（2）知点OA＝OD＝OG，则点G的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧上，再根据α的变化求圆心角即可得解．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵△AEF是含有45°的直角三角尺，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝90°，∵∠BAD﹣∠DAE＝∠EAF﹣∠DAE，∴∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，∵∠AMB＝∠DMG，∴∠G＝∠BAM＝90°，即BE⊥DF，故答案为：BE＝DF，BE⊥DF．（2）∵△BAD是直角三角形，O是BD中点，∴OA＝BD＝OD，由（1）知∠G＝90°，∴△BGD是直角三角形，∴OG＝BD＝OD，∴OA＝OD＝OG．（3）由（2）知，OA＝OD＝OG，∴点G的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧，连接OA，OG，∵旋转角α从0°变化到60°，∴此时点G的运动路线就是，∵∠BAE＝60°，∴ABE＝30°，∴∠OBG＝45°﹣30°＝15°，∵OB＝OG＝BD，∴∠DOG＝30°，∴∠AOG＝180°﹣∠AOB﹣∠DOG＝60°，∵AB＝2，∴BD＝AB＝2，∴OA＝OG＝，∴的长度＝＝π．即点G经过路线的长度为π．。

内蒙古通辽市2021年中考[数学]考试真题与答案解析

内蒙古通辽市2021年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题1．|﹣2|的倒数是（）A．2B．C．﹣2D．﹣答案解析：|﹣2|的倒数是，故选：B．2．下列计算正确的是（）A．x2+x3＝x5B．2x3﹣x3＝1C．x3•x4＝x7D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6答案解析：A．x2+x3，不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；B.2x3﹣x3＝x3，故本选项不合题意；C．x3•x4＝x7，故本选项符合题意；D．（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6，故本选项不合题意；故选：C．3．为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．成绩/分919293949596979899100人数■■1235681012下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）A．平均数，方差B．中位数，方差C．中位数，众数D．平均数，众数答案解析：由表格数据可知，成绩为24分、92分的人数为50﹣（12+10+8+6+5+3+2+1）＝3（人），成绩为100分的，出现次数最多，因此成绩的众数是100，成绩从小到大排列后处在第25、26位的两个数都是98分，因此中位数是98，因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，故选：C．4．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定答案解析：△＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（﹣k+1）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∵（k﹣1）2≥0，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．5．如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体的小立方体的个数不可能是（）A．3B．4C．5D．6答案解析：根据主视图与左视图，第一行的正方体有1（只有一边有）或2（左右都有）个，第二行的正方体可能有2（左边有）或3（左右都有）个，∵1+2＝3，1+3＝4，2+2＝4，2+3＝5，∴不可能有6个．故选：D．6．随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．507（1+2x）＝833.6B．507×2（1+x）＝833.6C．507（1+x）2＝833.6D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.6答案解析：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：507（1+x）2＝833.6，故选：C．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC 答案解析：根据尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，∵∠C＝90°，∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，故选：B．8．定义：一次函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若一次函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数y＝﹣2x+m的特征数是（）A．[2，3]B．[2，﹣3]C．[﹣2，3]D．[﹣2，﹣3]答案解析：将一次函数y＝﹣2x+m向上平移3个单位长度后得到y＝﹣2x+m+3，设A（x1，0），B（x2，0），联立，∴2x2﹣（m+3）x﹣3＝0，∵x1和x2是方程的两根，∴，又∵A，B两点关于原点对称，∴x1+x2＝0，∴，∴m＝﹣3，根据定义，一次函数y＝﹣2x+m的特征数是[﹣2，﹣3]，故选：D．9．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（）A．B．C．或D．或答案解析：①当MB'＝MN时，如图：Rt△AMB'中，AB'＝AB＝3，MB'＝AB＝1，∴AM＝＝2，∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，∴四边形ABNM是矩形，∴BN＝AM＝2，MN＝AB＝3，设BE＝x，则B'E＝x，EN＝2﹣x，Rt△B'EN中，B'N＝MN﹣MB'＝2，EN2+B'N2＝B'E2，∴（2﹣x）2+22＝x2，解得x＝，∴BE的长为；②当NB'＝MN时，如图：∵NB'＝MN＝1，∴MB'＝2，设BE＝y，同①可得y＝，∴BE的长为，综上所述，BE的长为或．故选：D．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．答案解析：在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，∴PQ2＝2x2．当0≤x≤3时，AP＝AQ＝x，∴y＝PQ2＝2x2；当3≤x≤4时，DP＝x﹣3，AP＝x，∴y＝PQ2＝32+32＝18；当4≤x≤7时，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．故选：C．二、填空题本题包括7道小题，每小题3分，共21分。

(完整版)内蒙古自治区通辽市中考数学试卷含答案

2018年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题<共10小题，每小题3分，满分30分）1．如图，有五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是<）A．B．C．D．2．在一个暗箱内放有a个除颜色外其余完全相同的小球，其中红球只有3个且摸到红球的概率为15%，则a的值是<）A．20 B．15 C．12 D．93．若n=﹣6，则估计n的值所在范围，下列最接近的是<）A．4＜n＜5 B．3＜n＜4 C．2＜n＜3 D．1＜n＜24．将0.0006049保留两位有效数字并用科学记数法表示正确的是<）A．6.0×10﹣4B．6.0×10﹣3C．6.1×10﹣4D．6.1×10﹣35．相交两圆的半径分别为1和3，把这两个的圆心距的取值范围在数轴上表示正确的是<）A．B．C．D．6．小刚徒步到同学家取自行车，在同学家逗留几分钟后他骑车原路返回，他骑车速度是徒步速度的3倍．设他从家出发后所用的时间为t<分钟），所走的路程为s<M），则s与t的函数图象大致是<）A．B．C．D．7．美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为<）A．6cm B．10cm C．4cm D．8cm8．4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为<）A．55°B．65°C．70°D．以上结论都不对9．如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y=﹣和y=的图象交于A、B两点．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为<）A．3B．4C．5D．1010．为安置100名中考女生入住，需要同时租用6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则租房方案共有<）A．8种B．9种C．16种D．17种二、填空题<共7小题，每小题3分，满分21分）11．5的倒数是_________，|1﹣|=_________，﹣=_________．12．2，3，4，5，6这五个数的平均数是4，则这组数据的方差是_________．13．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC=15°，则∠A′BD的度数为_________．14．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2．则这个扇形的半径是_________．15．已知方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别是x1、x2，则=_________．16．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=_________．17．观察下列等式：1×2=×<1×2×3﹣0×1×2）2×3=×<2×3×4﹣1×2×3）3×4=×<3×4×5﹣2×3×4）…计算：3×[1×2+2×3+3×4+…+n<n+1）]=_________．三、解答题<共9小题，满分69分）18．先化简，再求值．<）÷<其中x=）19．如图，小艳家<点A）在学校<点C）北偏东60°方向，AC=600<m）．小颖家<点B）在小艳家正南，学校在小颖家北偏西45°方向．求：小颖家与小艳家的距离．<结果保留根号）20．洋洋九年级上学期的数学成绩如下表所示：测验类别平时期中考试期末考试测验1 测验2 测验3 测验4成绩106 102 115 109 112 110<1）计算洋洋该学期的数学平时平均成绩；<2）如果学期的总评成绩是根据如图所示的权重计算，请计算出洋洋该学期的数学总评成绩．21．某校学生乘车到距学校60千M的景区游玩，一部分学生乘慢车，另一部分学生乘快车，他们同时出发，结果乘慢车的同学晚到20分钟．已知快车速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．22．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，=．求证：<1）AD∥OC；<2）CD是⊙O的切线．23．如图，四边形ABCD与四边形ACED都是平行四边形，R是DE的中点，BR交AC、CD于点P、Q．若AD=，AB=AC=2．求：BP、PQ的长．24．甲口袋里装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和2；乙口袋里装有3个相同的小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋里有2个相同的小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋中各随机地取出1个小球，按要求解答下列问题：<1）画出“树形图”；<2）取出的3个小球上只有1个偶数数字的概率是多少？<3）取出的3个小球上全是奇数数字的概率是多少？25．已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在坐标轴上，且PO=240．求△ABP的面积．26．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点A<0，2）、点B<1，0），抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点C．<1）求点C的坐标；<2）求抛物线的解读式；<3）在抛物线上是否存在点P与点Q<点C、D除外）使四边形ABPQ为正方形？若存在求出点P、Q两点坐标，若不存在说明理由．2018年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试卷解读一、选择题<共10小题，每小题3分，满分30分）1．如图，有五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是<）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图。

2023内蒙古通辽市中考数学真题试卷和答案

2023年内蒙通辽初中学业水平考试一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B 铅笔涂黑）1. 2023的相反数是（）A.12023B. 2023-C. 2023D. 12023-2. 在英语单词polynomial （多项式）中任意选出一个字母，选出字母为“n ”的概率是（）A.110B.19C.18D.153. 如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S ah =时，若ABE 平移到DCF ，4a =，3h =，则ABE 的平移距离为（）A. 3B. 4C. 5D. 124. 在平面直角坐标系中，一次函数23y x =-的图象是（）A. B. C. D.5.在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围在数轴上表示为（）A.B.C.D.6. 已知点()()1122,,,A x y B x y 在反比例函数2y x=-的图像上，且120x x <<，则下列结论一定正确的是（）A. 120y y +< B. 120y y +> C. 120y y -< D. 120y y ->7. 如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转到ADE V ，旋转角为()0180αα︒<<︒，点B 对应点D 恰好落在BC 边上，若24DE AC CAD ⊥∠=︒，，则旋转角α的度数为（）的的A. 24︒B. 28︒C. 48︒D. 66︒8. 下列命题：①325a a a ⋅=；② 3.14π->-；③圆周角等于圆心角的一半；④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 如图，在扇形AOB 中，60AOB ∠=︒，OD 平分AOB ∠交 AB 于点D ，点C 是半径OB 上一动点，若1OA =，则阴影部分周长的最小值为（）A.6π+B.3π+C. 6π+D. 3π10. 下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：已知：如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒．求作：Rt ABC △的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于P ，Q 两点；（2）作直线PQ ，交AB 于点O ；（3）以O 为圆心，OA 为半径作O ，O 即为所求作的圆．下列不属于该尺规作图依据的是（）A. 两点确定一条直线B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D. 线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距离相等11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点()0,1P，点()4,1A，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转60︒得到点B，在(11,M--，2M⎛⎫⎪⎝⎭，()31M-，(4M四个点中，直线PB经过的点是（）A. 1M B.2M C.3M D.4M12. 如图，抛物线()20y ax bx c a=++≠与x轴交于点()()1020x，，，，其中101x<<，下列四个结论：①0abc<；②0a b c++>；③230b c+<；④不等式22cax bx c x c++<-+的解集为02x<<．其中正确结论的个数是（）的A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）13. 已知一组数据：3，4，5，5，6，则这组数据的众数是___________．14. 将一副三角尺如图所示放置，其中AB DE ∥，则CDF ∠=___________度．15. 点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．16. 如图，等边三角形ABC 的边长为6cm ，动点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速运动，过点P 作PQ AB ⊥，交边AC 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQD ，使点A ，D 在PQ 异侧，当点D 落在BC 边上时，点P 需移动___________s ．17. 某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，,PA PB 分别与 AMB 所在圆相切于点A ，B ，若该圆半径是10cm,60P ∠=︒，则主视图的面积为______2cm ．三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18. 计算：21tan 453-⎛⎫+︒- ⎪⎝⎭．19. 以下是某同学化简分式22a b ab b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭的部分运算过程：解：原式22a b a b ab b a a a a---=÷-+…………第一步212a b a b a a a a ab b --=⋅-⋅-…………第二步222a b a ba ab b --==-…………第三步……（1）上面运算过程中第___________步开始出现了错误；（2）请你写出完整的解答过程．20. 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东72︒方向，距离灯塔100nmile 的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东40︒方向上的B 处．这时，B 处距离灯塔P 有多远（结果取整数）？（参考数据：sin 720.95,cos720.31,tan 72 3.08,sin 400.64,cos400.77,tan 400.84︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈．）的21. 党的十八大以来，习近平总书记对推动全民阅读、建设书香中国高度重视，多次作出重要指示．×××中学在第28个“世界读书日”到来之际，对全校2000名学生阅读课外书的情况进行了解，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：调查方式抽样调查调查对象×××中学部分学生平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值）A ．8小时以上B ．6-8小时C ．4~6小时D ．0~4小时请解答下列问题：（1）求参与本次抽样调查的学生人数；（2）求图2中扇形A 所占百分比；（3）估计该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“6~8小时”人数；（4）在学生众多阅读书籍中，学校推荐阅读书目为四大名著：《三国演义》《红楼梦》《西游记》《水浒传》（分别记为甲、乙、丙、丁），现从这4部名著中选择2部为课外必读书籍，请用列表法或画树状图法中任意一种方法，求《西游记》被选中的概率．22. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在正方形内部点M 处，把纸片展平，连接PM 、BM ，延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ ．（1）如图1，当点M 在EF 上时，EMB ∠=___________度；（2）改变点P 在AD 上的位置（点P 不与点A ，D 重合）如图2，判断MBQ ∠与CBQ ∠的数量关系，并说明理由．23. 如图，AB 为O 的直径，D ，E 是O 上的两点，延长AB 至点C ，连接CD ，BDC A ∠=∠．（1）求证：ACD DCB ∽；（2）求证：CD 是O 的切线；（3）若3tan ,105E AC ==，求O 的半径．24. 某搬运公司计划购买A ，B 两种型号的机器搬运货物，每台A 型机器比每台B 型机器每天少搬运10吨货物，且每台A 型机器搬运450吨货物与每台B 型机器搬运500吨货物所需天数相同．（1）求每台A 型机器，B 型机器每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A 型机器售价1.5万元，每台B 型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．25 阅读材料：材料1：关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根12x x ，和系数a ，b ，c 有如下关系：12b x x a+=-，12cx x a =．材料2：已知一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m ，n ，求22m n mn +的值．.解：∵m ，n 是一元二次方程210x x --=的两个实数根，∴1,1m n mn +==-．则()22111m n mn mn m n +=+=-⨯=-．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）应用：一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为12x x ，，则12x x +=___________，12x x =___________；（2）类比：已知一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为m ，n ，求22m n +的值；（3）提升：已知实数s ，t 满足2223102310s s t t +-=+-=，且s t ≠，求11s t-的值．26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线()2803y ax x c a =++≠与x 轴交于点()1,0A 和点B ，与y 轴交于点()0,4C -．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）P 是抛物线上一动点（不与点A ，B ，C 重合），作PD x ⊥轴，垂足为D ，连接PC ．①如图，若点P 在第三象限，且tan 2CPD ∠=，求点P 的坐标；②直线PD 交直线BC 于点E ，当点E 关于直线PC 的对称点E '落在y 轴上时，请直接写出四边形PECE '的周长．2023年内蒙通辽初中学业水平考试一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B 铅笔涂黑）1. 2023的相反数是（）A.12023B. 2023-C. 2023D. 12023-【答案】B 【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：2023的相反数是2023-，故选：B ．【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．2. 在英语单词polynomial （多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“n ”的概率是（）A.110B.19C.18D.15【答案】A 【解析】【分析】直接由概率公式求解即可．【详解】解：单词polynomial 中共有10个字母，其中n 出现了1次，故任意选择一个字母恰好是字母“n ”的概率为：110．故选：A ．【点睛】本题主要考查运用概率公式求概率，根据已知条件找出总的情况数和符合条件的情况数是解题关键．3. 如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S ah =时，若ABE 平移到DCF ，4a =，3h =，则ABE 的平移距离为（）A. 3B. 4C. 5D. 12【答案】B 【解析】【分析】根据平移的方向可得，ABE 平移到DCF ，则点A 与点D 重合，故ABE 的平移距离为AD 的长．【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式S ah =时，将ABE 平移到DCF ，故平移后点A 与点D 重合，则ABE 的平移距离为4AD a ==，故选：B ．【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．4. 在平面直角坐标系中，一次函数23y x =-的图象是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】依据一次函数23y x =-的图象经过点()03-，和302⎛⎫ ⎪⎝⎭，，即可得到一次函数23y x =-的图象经过一、三、四象限．【详解】解：一次函数23y x =-中，令0x =，则=3y -；令0y =，则32x =，∴一次函数23y x =-的图象经过点()03-，和302⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴一次函数23y x =-的图象经过一、三、四象限，故选：D ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．5. 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围在数轴上表示为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x 的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．【详解】解：根据题意得，10x -≥，解得1x ≤，在数轴上表示如下：故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键．6. 已知点()()1122,,,A x y B x y 在反比例函数2y x =-的图像上，且120x x <<，则下列结论一定正确的是（）A. 120y y +< B. 120y y +> C. 120y y -< D. 120y y ->【答案】D【解析】【分析】把点A 和点B 的坐标代入解析式，根据条件可判断出1y 、2y 的大小关系．【详解】解：∵点()11,A x y ，()22,B x y ）是反比例函数2y x =-的图像上的两点，∴11222x y x y ==-，∵120x x <<，∴210y y <<，即120y y ->，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．7. 如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转到ADE V ，旋转角为()0180αα︒<<︒，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，若24DE AC CAD ⊥∠=︒，，则旋转角α的度数为（）A. 24︒B. 28︒C. 48︒D. 66︒【解析】【分析】先求出66ADE ∠=︒，再利用旋转的性质求出66B ∠=︒，AB AD =，然后利用等边对等角求出66ADB ∠=︒，最后利用三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，，∵DE AC ⊥，∴90AFD ∠=︒，∵24CAD ∠=︒，∴18066ADE CAD AFD ∠=︒-∠-∠=︒，∵旋转，∴66B ADE ∠=∠=︒，AB AD =，∴66ADB B ∠=∠=︒，∴18048BAD B ABD ∠=︒-∠-∠=︒，即旋转角α的度数是48︒．故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键．8. 下列命题：①325a a a ⋅=；② 3.14π->-；③圆周角等于圆心角的一半；④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【分析】运用同底数幂相乘法则可判定①；根据负数的绝对值越大，自身越小可判定②；根据圆周角定理可判定③；根据随机事件和方差的意义可判定④⑤．【详解】解：①325a a a ⋅=，故①是真命题；② 3.14π-<-，故②是假命题；③在同圆或等圆值，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，故③是假命题；④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是随机事件，故④是假命题；⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差不变，故⑤是假命题．综上，正确的只有①．故选A ．【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘、无理数大小比较、圆周角定理、随机事件、方差等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．9. 如图，在扇形AOB 中，60AOB ∠=︒，OD 平分AOB ∠交 AB 于点D ，点C 是半径OB 上一动点，若1OA =，则阴影部分周长的最小值为（）A. 6π+ B. 3π+ C. 6π+ D. 3π【答案】A【解析】【分析】由于ADl 是定值，只需求解AC CD +的最小值即可，作点D 关于OB 对称点D ¢，连接AD '、CD '、OD '，则AC CD +最小值为AD '的长度，即阴影部分周长的最小最小值为ADAD l '+ ．利用角平分线的定义可求得90AOD '∠=︒，进而利用勾股定理和弧长公式求得AD '和ADl 即可．【详解】解：如图，作点D 关于OB 对称点D ¢，连接AD '、CD '、OD '，则CD CD '=，OD OD '=，DOB BOD '∠=∠，∴AC CD AC CD AD ''+=+≥，当A 、C 、D ¢共线时取等号，此时，AC CD +最小，即阴影部分周长的最小，最小值为ADAD l '+ ．∵OD 平分AOB ∠，60AOB ∠=︒，∴1302AOD DOB AOB ∠=∠=∠=︒，∴90AOD '∠=︒，在Rt OAD ' 中，1OA OD '==，∴AD '==，又30π1π1806AD l ⨯== ，∴阴影部分周长的最小值为π6AD AD l '+=，故选：A ．【点睛】本题考查弧长公式、勾股定理、角平分线的定义、轴对称性质，能利用轴对称性质求解最短路径问题是解答的关键．10. 下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：已知：如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒．求作：Rt ABC △的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于P ，Q 两点；（2）作直线PQ ，交AB 于点O ；（3）以O 为圆心，OA 为半径作O ，O 即为所求作的圆．下列不属于该尺规作图依据的是（）A. 两点确定一条直线B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等【答案】D【解析】【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：OC OA OB ==即可．【详解】解：作直线PQ （两点确定一条直线），连接PA PB QA QB OC ，，，，，∵由作图，PA PB QA QB ==，，∴PQ AB ⊥且AO BO =（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．∵90ACB ∠=︒，∴12OC AB =（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∴OA OB OC ==，∴A ，B ，C 三点在以O 为圆心，AB 为直径的圆上．∴O 为ABC 的外接圆．故选：D ．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点()0,1P ，点()4,1A ，以点P 为中心，把点A 按逆时针方向旋转60︒得到点B ，在(11,M --，2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()31M -，(4M 四个点中，直线PB 经过的点是（）A. 1MB. 2MC. 3MD. 4M 【答案】B【解析】【分析】根据含30︒角的直角三角形的性质可得(21B +，，利用待定系数法可得直线PB 的解析式，依次将1234M M M M ，，，四个点的一个坐标代入1y =+中可解答．【详解】解：∵点()4,1A ，点()0,1P ，∴PA y ⊥轴，4PA =，由旋转得：604APB AP PB ∠=︒==，，如图，过点B 作BC y ⊥轴于C ，∴30BPC ∠=︒，∴2BC PC ==，，∴(21B +，），设直线PB 解析式为：y kx b =+，则211k b b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩，∴1k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴直线PB的解析式为：1y =+，当=1x -时，1y =，∴点(11,M --不在直线PB 上，当x =10y ⎛=+= ⎝⎭，∴2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭直线PB 上，当1x =时1y =+，∴()31M -不在直线PB 上，当2x =时，1y =+，∴(4M 不在直线PB 上．故选：B ．【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B 的坐标是解本题的关键．12. 如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()()1020x ，，，，其中101x <<，下列四个结论：①0abc <；②0a b c ++>；③230b c +<；④不等式22c ax bx c x c ++<-+的解集为02x <<．其中正确结论的个数是（）的在A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据函数图象可得出a ，b ，c 的符号即可判断①，当1x =时，0y <即可判断②；根据对称轴为12b x a=->，0a >可判断③；21y ax bx c =++，22c y x c =-+数形结合即可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右边，与y 轴交于正半轴，∴000a b c ><>，，，∴0abc <，故①正确．∵当1x =时，0y <，∴0a b c ++<，故②错误．∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于两点()()1020x ，，，，其中101x <<，∴2021222b a ++<-<，∴3122b a <-<，当322b a -<时，3b a >-，当2x =时，420y a bc =++=，122b ac ∴=--，1232a c a ∴-->-，∴20a c ->，∴()234342220b c a c c a c a c +=--+=-+=--<，故③正确；设21y ax bx c =++，22c y x c =-+，如图：由图得，12y y <时，02x <<，故④正确．综上，正确的有①③④，共3个，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键．二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）13. 已知一组数据：3，4，5，5，6，则这组数据的众数是___________．【答案】5【解析】【分析】根据众数的定义（一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数）求解即可．【详解】解：由这组数据可知，数字5出现2次，出现次数最多，∴这组数据的众数是5，故答案为：5．【点睛】本题考查众数的定义，熟练掌握众数的概念是解题的关键．14. 将一副三角尺如图所示放置，其中AB DE ∥，则CDF ∠=___________度．【答案】105【解析】【分析】根据平行线的性质可得30B BDE ∠=∠=︒，根据平角的定义即可求得．【详解】解：∵AB DE ∥，∴30B BDE ∠=∠=︒，又∵45EDF ∠=︒，的∴1803045105CDF ∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：105．【点睛】本题考查了三角板中角度计算，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．15. 点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【解析】【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q 的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．16. 如图，等边三角形ABC 的边长为6cm ，动点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速运动，过点P 作PQ AB ⊥，交边AC 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQD ，使点A ，D 在PQ 异侧，当点D落在BC 边上时，点P 需移动___________s ．【答案】1【解析】【分析】当点D 落在BC 上时，如图，62BP AB AP x =-=-，根据PQD △等边三角形，ABC 是等边三角形，证明APQ BDP ≌，进而可得x 的值．【详解】解：设点P 的运动时间为()s x ，由题意得2AP x =，62BP AB AP x =-=-，∵PQ AB ⊥，∴90QPA ∠=︒，∵PQD △和ABC 是等边三角形，∴60A B DPQ PQ PD ∠=∠=∠=︒=，，∴30BPD ∠=︒，∴90PDB ∠=︒，∴PD BC ⊥，∴()AAS APQ BDP ≌，∴2BD AP x ==，∵2BP BD =，∴624x x -=，解得1x =．故答案为：1．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含30︒角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．17. 某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，,PA PB 分别与 AMB所在圆相切于点A ，B ，若该圆半径是10cm,60P ∠=︒，则主视图的面积为______2cm ．【答案】2003π⎛⎫+⎪⎝⎭【解析】【分析】根据题意，先找到圆心O ，然后根据PA ，PB 分别与 AMB所在圆相切于点A ，B ．60P ∠=︒可以得到AOB ∠的度数，然后即可得到优弧AMB 对应的圆心角，再根据主视图的面积为PAO PBO AMB S S S ++扇形△△计算即可．【详解】解：设圆心为O ，过O 作AO PA ⊥，BO AB ⊥，AO 和BO 相交于点O ，连接OP ，如图，∵PA ，PB 分别与 AMB所在圆相切于点A ，B ．∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∵60P ∠=︒，∴120AOB ∠=︒，60AOP BOP ∠=∠=︒，∴优弧AMB 对应的圆心角为360120240︒-︒=︒，30APO BPO ∠=∠=︒，∵该圆半径是10cm ，∴PB PA ===∴主视图的面积为PAO PBO AMBS S S ++扇形△△21240102102360π⨯=⨯⨯⨯+2200cm 3π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故答案为：2003π⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，求扇形面积，牢记扇形面积公式是解题的关键．三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18. 计算：21tan 453-⎛⎫+︒- ⎪⎝⎭．【答案】0【解析】【分析】根据负整数次幂、特殊角的三角函数值、算术平方根化简，然后在计算即可．【详解】解：21tan 453-⎛⎫+︒- ⎪⎝⎭9110=+-，0=．【点睛】本题主要考查了负整数次幂、特殊角的三角函数值、算术平方根等知识点，掌握基本的运算法则是解答本题的关键．19. 以下是某同学化简分式22a b ab b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭的部分运算过程：解：原式22a b a b ab b a a a a---=÷-+…………第一步212a ba baa a a ab b --=⋅-⋅-…………第二步222a b a b a ab b --==-…………第三步……（1）上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；（2）请你写出完整的解答过程．【答案】（1）一（2）见解析【解析】【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答；（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．【小问1详解】解：22a b ab b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭222a ba ab b a a a ⎛⎫--=÷- ⎪⎝⎭222a b a ab b a a ⎛⎫--+=÷ ⎪⎝⎭故第一步错误．故答案为：一．【小问2详解】解：22a b abb a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭222a b a ab b a a a ⎛⎫--=÷- ⎪⎝⎭222a b a ab b a a--+=÷()2a b a b a a--=÷()2a b a a a b -=⨯-1a b=-．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．20. 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东72︒方向，距离灯塔100nmile 的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东40︒方向上的B 处．这时，B 处距离灯塔P 有多远（结果取整数）？（参考数据：sin 720.95,cos720.31,tan 72 3.08,sin 400.64,cos400.77,tan 400.84︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈．）【答案】B 处距离灯塔P 大约有148nmile ．【解析】【分析】在Rt APC △中，求出PC 的长，再在Rt PBC 中，求出BP 即可．【详解】解：设AB 与灯塔P 的正东方向相交于点C ，根据题意，得72A ∠=︒，40B ∠=︒，100nmile AP =；在Rt APC △中，∵sin PC A AP=，∴sin 1057200.959PC AP =⋅=⨯=︒；Rt BPC △中，40B ∠=︒，∵sin PC B PB=，∴()95148nmile sin 400.64PC PB ==≈︒，答：B 处距离灯塔P 大约有148nmile ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．在21. 党的十八大以来，习近平总书记对推动全民阅读、建设书香中国高度重视，多次作出重要指示．×××中学在第28个“世界读书日”到来之际，对全校2000名学生阅读课外书的情况进行了解，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：调查方式抽样调查调查对象×××中学部分学生项含最小值，不含最大值）A．8小时以上B．6-8小时C．4~6小时D．0~4小时请解答下列问题：（1）求参与本次抽样调查的学生人数；（2）求图2中扇形A所占百分比；（3）估计该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“6~8小时”人数；（4）在学生众多阅读书籍中，学校推荐阅读书目为四大名著：《三国演义》《红楼梦》《西游记》《水浒传》（分别记为甲、乙、丙、丁），现从这4部名著中选择2部为课外必读书籍，请用列表法或画树状图法中任意一种方法，求《西游记》被选中的概率．【答案】（1）300 （2）32%（3）320 （4）12【解析】【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，根据平均每周阅读课外书的时间在“0~4小时”中人数及其所占百分比可得总人数；（2）用扇形A的圆心角115.2︒除以360︒即可求得扇形A所占百分比；（3）根据扇形统计图求得平均每周阅读课外书的时间在“6~8小时”所占的百分比，用总人数乘以百分比即可求得；（4）画树状图得出所有等可能的结果数和《西游记》被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．【小问1详解】÷=（人），在这次调查中一共抽查学生3311%300即参与本次抽样调查的学生人数为300人．【小问2详解】扇形A 所占百分比为115.2100%32%360︒⨯=︒，即扇形A 所占百分比为32%．【小问3详解】平均每周阅读课外书的时间在“6~8小时”所占的百分比为132%11%41%16%---=，∴200016%320⨯=（人），即该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“6~8小时”人数为320人．小问4详解】画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中《西游记》被选中的结果有6种，∴《西游记》被选中的概率为61122=．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，求扇形统计图的相关数据，样本估计总体，列表法或画树状图法求概率等，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键．22. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在正方形内部点M 处，把纸片展平，连接PM 、BM ，延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ ．（1）如图1，当点M 在EF 上时，EMB ∠=___________度；【（2）改变点P 在AD 上的位置（点P 不与点A ，D 重合）如图2，判断MBQ ∠与CBQ ∠的数量关系，并说明理由．【答案】（1）30（2）MBQ CBQ ∠=∠，理由见解析【解析】【分析】（1）由正方形的性质结合折叠的性质可得出2BM AB BE ==，90BEF ∠=︒，进而可求出1sin 2EMB ∠=，即得出30EMB ∠=°；（2）由正方形的性质结合折叠的性质可证()Rt Rt HL BCQ BMQ ≅ ，即得出MBQ CBQ ∠=∠．【小问1详解】解：∵对折正方形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，∴2AB BC CD AD BE ====，90BEF ∠=︒．∵在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在正方形内部点M 处，∴2BM AB BE ==．在Rt BEM 中，1sin 22BE BE EMB BM BE ∠===，∴30EMB ∠=°．故答案为：30．【小问2详解】解：结论：MBQ CBQ ∠=∠，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90BAD C ∠=∠=︒．由折叠可得：AB BM =，90BAD BMP ∠=∠=︒，BM BC ∴=，90BMQ C ∠=∠=︒．又BQ BQ = ，()Rt Rt HL BCQ BMQ ∴ ≌，∴MBQ CBQ ∠=∠．【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识点．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键．23. 如图，AB 为O 的直径，D ，E 是O 上的两点，延长AB 至点C ，连接CD ，BDC A ∠=∠．（1）求证：ACD DCB ∽；（2）求证：CD 是O 的切线；（3）若3tan ,105E AC ==，求O 的半径．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）O 的半径为3.2．【解析】【分析】（1）利用两角对应相等两个三角形相似，得出结论；（2）连接OD ，由圆周角定理得出90ADB ∠=︒，证出OD CD ⊥，由切线的判定可得出结论；（3）由相似三角形的性质得出35CD BC BD AC CD DA ===，由比例线段求出CD 和BC 的长，可求出AB 的长，则可得出答案．【小问1详解】证明：∵ACD DCB ∠=∠，BDC A ∠=∠，∴ACD DCB ∽；【小问2详解】证明：连接OD ，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴90∠+∠=︒A ABD ，∵OB OD =，∴ABD ODB ∠=∠，∵BDC A ∠=∠，∴90BDC ODB ∠+∠=︒，∴90ODC ∠=︒，∴OD CD ⊥，∵OD 是O 的半径，∴CD 是O 的切线；【小问3详解】解：∵90ADB ∠=︒，3tan 5E =，A E ∠=∠，∴35BD AD =，∵ACD DCB ∽，∴35CD BC BD AC CD DA ===，∵10AC =，∴6CD =，18 3.65BC ==，∴10 3.6 6.4AB AC BC =-=-=．∴O 的半径为3.2．【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．24. 某搬运公司计划购买A ，B 两种型号的机器搬运货物，每台A 型机器比每台B 型机器每天少搬运10吨货物，且每台A 型机器搬运450吨货物与每台B 型机器搬运500吨货物所需天数相同．（1）求每台A 型机器，B 型机器每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A 型机器售价1.5万元，每台B 型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．【答案】（1）每台A 型机器，B 型机器每天分别搬运货物90吨和100吨（2）当购买A 型机器人12台，B 型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．【解析】【分析】（1）设每台B 型机器每天搬运x 吨，则每台A 型机器每天搬运()10x -吨，根据题意列出分式方程，解方程、检验后即可解答；。

2024年内蒙古呼伦贝尔市中考数学真题试卷及答案

2024年内蒙古呼伦贝尔市中考数学真题试卷一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确．共12小题,每小题3分,共36分） 1. 110-的绝对值是( ) A. 110 B. 10 C. 110- D. 10-2. 下列计算正确的是（）A. ()341226aa -=- B. 253a a a -÷= C. 111a a a a+-= D. ()()2233a b a ab b a b +-+=+ 3. 如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形,选项给出的四个平面图形中不属于其三视图的是（）A. B. C. D. 4. 新时代十年来,我国建成世界上规模最大的社会保障体系,其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿,参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为（）A. 813.610⨯B. 81.3610⨯C. 91.3610⨯D. 913.610⨯5. 下列说法正确的是（）A. 任意画一个三角形,其内角和是360︒是必然事件B. 调查某批次汽车的抗撞击能力,适宜全面调查．C. 一组数据2,4,6,x,7,4,6,9的众数是4,则这组数据的中位数是4D. 在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》,两团女演员的身高平均数相同,方差分别为221.5, 2.5S S ==甲乙,则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐6. 如图,,AD BC AB AC ⊥∥,若135.8∠=,则B ∠的度数是（）A. 3548'︒B. 5512'︒C. 5412'︒D. 5452'︒7. 实数,a b 在数轴上的对应位置如图所示,()2b a --的化简结果是（）A. 2B. 22a -C. 22b -D. -28. 点(),P x y 在直线344y x =-+上,坐标(),x y 是二元一次方程5633x y -=的解,则点P 的位置在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9. 如图,在ABC 中,90,30C B ∠=︒∠=︒,以点A 为圆心,适当长为半径画弧分别交,AB AC 于点M 和点N ,再分别以点,M N 为圆心,大于12MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,连接AP 并延长交BC 于点D ．若ACD 的面积为8,则ABD △的面积是（）A. 8B. 16C. 12D. 2410. A,B 两种机器人都被用来搬运化工原料,A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运30千克,A 型机器人搬运900千克所用时间与B 型机器人搬运600千克所用时间相等．A,B 两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？（）A. 60,30B. 90,120C. 60,90D. 90,6011. 如图,边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ．E 是BC 边上一点,F 是BD 上一点,连接,DE EF ．若DEF 与DEC 关于直线DE 对称,则BEF △的周长是（）A.B. 2+C. 4-D.12. 已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是:该同学从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐,饭后骑自行车到图书馆．图中用x 表示时间,y 表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论:（1）体育场离该同学家2.5千米;（2）该同学在体育场锻炼了15分钟;（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍;（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍,则a 的值是3.75;其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本题5个小题,每小题3分,共15分）13. 分解因式:22a ab ab ++＝ ______．14. 如图,点()0,2A -,()1,0B ,将线段AB 平移得到线段DC ,若90ABC ∠=︒,2BC AB =,则点D 的坐标是_____．15. 为了促进城乡协调发展,实现共同富裕,某乡镇计划修建公路．如图:AB 与CD 是公路弯道的外、内边线,它们有共同的圆心O,所对的圆心角都是72︒,点A,C,O 在同一条直线上,公路弯道外侧边线比内侧边线多36米,则公路宽AC 的长是____米．（π取3.14,计算结果精确到0.1）16. 对于实数a ,b 定义运算“※”为3a b a b =+※,例如5253211=+⨯=※,则关于x 的不等式2x m <※有且只有一个正整数解时,m 的取值范围是____．17. 如图,在平面直角坐标系中,点A ,B 的坐标分别为()5,0,()2,6,过点B 作BC x ∥轴交y 轴于点C ,点D 为线段AB 上的一点,且2BD AD =．反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点D 交线段BC 于点E ,则四边形ODBE 的面积是_____．三、解答题（本题4个小题,每小题6分,共24分）18. 计算:301tan602(π2024)2-⎛⎫--+︒+- ⎪⎝⎭． 19. 先化简,再求值:22422324x x x x x -⎛⎫+-÷+ ⎪+-⎝⎭,其中72x =-． 20. 综合实践活动中,数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图,无人机在离地面40米的D 处,测得操控者A 的俯角为30︒,测得楼BC 楼顶C 处的俯角为45︒,又经过人工测量得到操控者A 和大楼BC 之间的水平距离是80米,则楼BC 的高度是多少米？（点A B C D ，，，都在同一平面内,参考数据1.7≈）21. 从一副普通的扑克牌中取出五张牌,它们的牌面数字分别是4,4,5,5,6．（1）将这五张扑克牌背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少？（2）将这五张扑克牌背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张（不放回）,再从中随机抽取第二张．请用列表或画树状图的方法,求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率．四、解答题（本题7分）22. 如图,在平行四边形ABCD 中,点F 在边AD 上,AB AF =,连接BF ,点O 为BF 的中点,AO 的延长线交边BC 于点E ,连接EE（1）求证:四边形ABEF 是菱形:（2）若平行四边形ABCD 的周长为22,1,120CE BAD =∠=︒,求AE 的长．五、解答题（本题7分）23. 某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务”活动,其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”,每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况,该校随机调查了部分参加志愿者服务的学生,将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图信息,解答下列问题:（1）本次调查的学生共有______人,请补全条形统计图;（2）在扇形统计图中,求“敬老服务”对应的圆心角的度数;（3）该校共有2000名学生,若有60%的学生参加志愿者服务,请你估计参加“文明宣传”项目的学生人数．六、解答题（本题8分）24. 如图,在ABC 中,以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥,垂足为E ． O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=．（1）求证:DE 是O 的切线;（2）若30,C CD ∠=︒=,求扇形OBD 的面积．七、解答题（本题10分）25. 某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果,经调查,这两种水果的进价和售价如表所示:该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元:购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．（1）求,a b 的值;（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售,其中甲种水果的数量不少于50千克,且不大于120千克．实际销售时,若甲种水果超过80千克,则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润y （元）与购进甲种水果的数量x （千克）之间的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）,并求出在获得最大利润时,超市的进货方案以及最大利润．八、解答题（本题13分）26. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像经过原点和点()4,0A ．经过点A 的直线与该二次函数图象交于点()1,3B ,与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式及点C 的坐标;（2）点P 是二次函数图象上的一个动点,当点P 在直线AB 上方时,过点P 作PE x ⊥轴于点E ,与直线AB交于点D,设点P的横坐标为m．※m为何值时线段PD的长度最大,并求出最大值;※是否存在点P,使得BPD△与AOC相似．若存在,请求出点P坐标;若不存在,请说明理由．2024年内蒙古呼伦贝尔市中考数学真题试卷答案一、选择题.1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】A12.【答案】C二、填空题.13.【答案】2(1)a b +14.【答案】()4,4-15.【答案】28.716.【答案】103m ≤<17.【答案】12三、解答题.18.【答案】1119.【答案】3x +,12-20.【答案】楼BC 的高度为()40米． 21.【答案】（1）25 （2）35四、解答题.22.【答案】（1）见解析（2）5AE =五、解答题.23.【答案】（1）200,画图略（2）144︒（3）360人六、解答题.24.【答案】（1）见解析（2）43π 七、解答题.25.【答案】（1）14a =,19b =（2）()()290050803130080120x x y x x ⎧+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩,购进甲种水果80千克,乙种水果70千克,最大利润为1060元八、解答题.26.【答案】（1）24y x x =-+,()0,4C （2）※当52m =时,PD 有最大值为94;※当P 的坐标为()2,4或()3,3时,BPD △与AOC 相似。

内蒙古自治区通辽市中考数学试题(含答案)

2022年中考往年真题练习: 内蒙古通辽市中考数学试卷一、挑选题（共10小题, 每小题3分, 满分30分)1．如图, 有五个一样的小立方块搭成的几何体, 这个几何体的左视图是（)A．B．C．D．2．在一个暗箱内放有a个除颜色外其余完全一样的小球, 其中红球只有3个且摸到红球的概率为15%, 则a的值是（)A．20 B．15 C．12 D．93．若n=﹣6, 则估计n的值所在范围, 下列最接近的是（)A．4＜n＜5 B．3＜n＜4 C．2＜n＜3 D．1＜n＜24．将0. 0006049保留两位有效数字并用科学记数法表示正确的是（)A．6. 0×10﹣4B．6. 0×10﹣3C．6. 1×10﹣4D．6. 1×10﹣35．相交两圆的半径分别为1和3, 把这两个的圆心距的取值范围在数轴上表示正确的是（) A．B．C．D．6．小刚徒步到同学家取自行车, 在同学家逗留几分钟后他骑车原路返回, 他骑车速度是徒步速度的3倍．设他从家出发后所用的时间为t（分钟) , 所走的路程为s（米) , 则s与t的函数图象大致是（) A．B．C．D．7．美是一种感觉, 当人体的下半身长与身高的比值越接近0. 618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm, 下半身长与身高的比值是0. 60, 为尽可能达到好的效果, 她应穿的高跟鞋的高度约为（) A．6cm B．10cm C．4cm D．8cm8．4点10分, 时针与分针所夹的小于平角的角为（)9．如图, 过x轴正半轴上的任意一点P, 作y轴的平行线, 分别与反比例函数y=﹣和y=的图象交于A、B两点．若点C是y轴上任意一点, 连接AC、BC, 则△ABC的面积为（)A．3B．4C．5D．1010．为安置100名中考女生入住, 需要同时租用6人间和4人间两种客房, 若每个房间都住满, 则租房方案共有（)A．8种B．9种C．16种D．17种二、填空题（共7小题, 每小题3分, 满分21分)11．5的倒数是_________, |1﹣|=_________, ﹣=_________．12．2, 3, 4, 5, 6这五个数的平均数是4, 则这组数据的方差是_________．13．如图, 梯形ABCD中, AD∥BC, DC⊥BC, 将梯形沿对角线BD折叠, 点A恰好落在DC边上的点A′处, 若∠A′BC=15°, 则∠A′BD的度数为_________．14．一个扇形的弧长是20πcm, 面积是240πcm2．则这个扇形的半径是_________．15．已知方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1、x2, 则=_________．16．如图, △ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O, 则S△ABO: S△BCO: S△CAO=_________．17．观察下列等式:1×2=×（1×2×3﹣0×1×2)2×3=×（2×3×4﹣1×2×3)3×4=×（3×4×5﹣2×3×4)…计算: 3×[1×2+2×3+3×4+…+n（n+1) ]=_________．三、解答题（共9小题, 满分69分)18．先化简, 再求值．（) ÷（其中x=)19．如图, 小艳家（点A) 在学校（点C) 北偏东60°方向, AC=600（m) ．小颖家（点B) 在小艳家正南, 学校在小颖家北偏西45°方向．求: 小颖家与小艳家的距离．（结果保留根号)测验类别平常期中考试期末考试测验1 测验2 测验3 测验4成绩106 102 115 109 112 110（1) 计算洋洋该学期的数学平常平均成绩；（2) 加入学期的总评成绩是根据如图所示的权重计算, 请计算出洋洋该学期的数学总评成绩．21．某校学生乘车到距学校60千米的景区游玩, 一部分学生乘慢车, 另一部分学生乘快车, 他们同时出22．如图, AB是⊙O的直径, BC⊥AB于点B, 连接OC交⊙O于点E, =．求证:（1) AD∥OC；（2) CD是⊙O的切线．23．如图, 四边形ABCD与四边形ACED都是平行四边形, R是DE的中点, BR交AC、CD于点P、Q．若AD=, AB=AC=2．求: BP、PQ的长．24．甲口袋里装有2个一样的小球, 它们分别写有数字1和2；乙口袋里装有3个一样的小球, 它们分别写有数字3, 4, 5；丙口袋里有2个一样的小球, 它们分别写有数字6, 7．从三个口袋中各随机地取出1个小球, 按要求解答下列问题:（1) 画出“树形图”；（2) 取出的3个小球上只有1个偶数数字的概率是几？（3) 取出的3个小球上全是奇数数字的概率是几？25．已知直线y=2x+4与x轴交于点A, 与y轴交于点B, 点P在坐标轴上, 且PO=240．求△ABP的面积．26．如图, 在平面直角坐标系中, 将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上, 且点A（0, 2) 、（1) 求点C的坐标；（2) 求抛物线的解析式；（3) 在抛物线上是否存在点P与点Q（点C、D除外) 使四边形ABPQ为正方形？若存在求出点P、Q 两点坐标, 若不存在说明理由．2022年中考往年真题练习: 内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、挑选题（共10小题, 每小题3分, 满分30分)1．如图, 有五个一样的小立方块搭成的几何体, 这个几何体的左视图是（)A．B．C．D．考点分析:简单组合体的三视图。

内蒙古通辽市开鲁县重点中学2023届中考数学模拟精编试卷含解析

2023年中考数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（）A．（a+b）元 B．（3a+2b）元C．（2a+3b）元D．5（a+b）元2．计算33xx x-+的结果是（）A．6xx+B．6xx-C．12D．13．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）A．B．C．D．4．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是() A．B．C．D．5．a≠0，函数y＝ax与y＝﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A． B．C．D．6．菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则它的面积是（）A．6cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．48cm27．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E是AB边上一动点（不与A、B重合），且∠EDF=∠A，则下列结论错误的是（）A ．AE=BFB ．∠ADE=∠BEFC ．△DEF 是等边三角形D ．△BEF 是等腰三角形8．已知平面内不同的两点A （a+2，4）和B （3，2a+2）到x 轴的距离相等，则a 的值为( )A ．﹣3B ．﹣5C ．1或﹣3D ．1或﹣59．如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A 的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度h 与铁块被提起的时间t 之间的函数关系的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．10．若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b =+的图象可能是:A ．B ．C ．D ．11．cos30°的相反数是（）A ．33-B ．12-C ．32-D ．22-12．正方形ABCD 和正方形BPQR 的面积分别为16、25，它们重叠的情形如图所示，其中R 点在AD 上，CD 与QR 相交于S 点，则四边形RBCS 的面积为（）A ．8B ．172C ．283D ．778二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是．14．当x=_____时，分式22xx--值为零．15．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_____.16．⊙O的半径为10cm，AB,CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=16cm,CD=12cm．则AB 与CD之间的距离是cm．17．如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=________．18．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是_____cm．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C 分别在DG和DE上，连接AE，BG．试猜想线段BG和AE的数量关系是_____；将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α(0°＜α≤360°)，①判断(1)中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；②若BC＝DE＝4，当AE取最大值时，求AF的值．20．（6分）(1)解方程：+＝4(2)解不等式组并把解集表示在数轴上：.21．（6分）计算：8﹣（﹣2016）0+|﹣3|﹣4cos45°．22．（8分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？23．（8分）某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．该商场两次共购进这种运动服多少套？如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元？24．（10分）(1)解方程组31021 x yx y+=⎧⎨-=⎩(2)若点A是平面直角坐标系中坐标轴上的点，( 1 )中的解 ,x y分别为点B的横、纵坐标,求AB的最小值及AB取得最小值时点A的坐标.25．（10分）已知关于x的一元二次方程2(1)(4)30m x m x-+--=(m为实数且1m≠)．求证：此方程总有两个实数根；如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．26．（12分）解不等式组：()()3x1x382x11x132⎧-+--<⎪⎨+--≤⎪⎩并求它的整数解的和．27．（12分）学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：本次调查中，王老师一共调查了名学生；将条形统计图补充完整；为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、C【解析】用单价乘数量得出买2千克苹果和3千克香蕉的总价，再进一步相加即可．【详解】买单价为a 元的苹果2千克用去2a 元，买单价为b 元的香蕉3千克用去3b 元，共用去：(2a+3b)元.故选C.【点睛】本题主要考查列代数式，总价=单价乘数量.2、D【解析】根据同分母分式的加法法则计算可得结论．【详解】33x x x -+=33x x -+=x x =1．故选D ．【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握同分母分式的加减运算法则．3、B【解析】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.【详解】A 、是轴对称图形，故本选项错误；B 、不是轴对称图形，故本选项正确；C 、是轴对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.4、B【解析】试题分析：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选B ．考点：简单组合体的三视图．5、D【解析】分a ＞0和a ＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项【详解】当a＞0时，函数y＝ax的图象位于一、三象限，y＝﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，当a＜0时，函数y＝ax的图象位于二、四象限，y＝﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大．6、C【解析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．【详解】根据对角线的长可以求得菱形的面积，根据S=12ab=12×6cm×8cm=14cm1．故选：C．【点睛】考查菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积的两种计算方法是解题的关键.7、D【解析】连接BD，可得△ADE≌△BDF，然后可证得DE=DF，AE=BF，即可得△DEF是等边三角形，然后可证得∠ADE=∠BEF．【详解】连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠ADB=12∠ADC，AB∥CD，∵∠A=60°，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，同理：∠DBF=60°，即∠A=∠DBF，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，∴∠ADE=∠BDF，∵在△ADE和△BDF中，{ADE BDF AD BDA DBF∠=∠=∠=∠，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴DE=DF，AE=BF，故A正确；∵∠EDF=60°，∴△EDF是等边三角形，∴∠DEF=60°，∴∠AED+∠BEF=120°，∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°，∴∠ADE=∠BEF ；故B 正确．∵△ADE ≌△BDF ，∴AE=BF ，同理：BE=CF ，但BE 不一定等于BF ．故D 错误．故选D ．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．8、A【解析】分析：根据点A （a ＋2，4）和B （3，2a ＋2）到x 轴的距离相等，得到4＝|2a ＋2|，即可解答．详解：∵点A （a ＋2，4）和B （3，2a ＋2）到x 轴的距离相等，∴4＝|2a ＋2|，a ＋2≠3，解得：a ＝−3，故选A ．点睛：考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：到x 轴和y 轴的距离相等的点的横纵坐标相等或互为相反数．9、B【解析】根据题意，在实验中有3个阶段，①、铁块在液面以下，液面得高度不变；②、铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低；③、铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变；分析可得，B 符合描述；故选B ．10、B【解析】由方程2210x x kb ++=-有两个不相等的实数根,可得()4410kb =-+＞，解得0kb ＜，即k b 、异号，当00k b ＞，＜时，一次函数y kx b =+的图象过一三四象限，当00k b ＜，＞时，一次函数y kx b =+的图象过一二四象限，故答案选B.11、C【解析】先将特殊角的三角函数值代入求解，再求出其相反数．∵cos30°=2，∴cos30°的相反数是2-，故选C ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及相反数的概念．12、D【解析】根据正方形的边长，根据勾股定理求出AR ，求出△ABR ∽△DRS ，求出DS ，根据面积公式求出即可．【详解】∵正方形ABCD 的面积为16，正方形BPQR 面积为25，∴正方形ABCD 的边长为4，正方形BPQR 的边长为5，在Rt △ABR 中，AB=4，BR=5，由勾股定理得：AR=3，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A=∠D=∠BRQ=90°，∴∠ABR+∠ARB=90°，∠ARB+∠DRS=90°，∴∠ABR=∠DRS ，∵∠A=∠D ，∴△ABR ∽△DRS ， ∴AB AR DR DS =， ∴431DS =，∴DS=34，∴∴阴影部分的面积S=S 正方形ABCD-S △ABR-S △RDS=4×4-12×4×3-12×34×1=778，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，能求出△ABR 和△RDS 的面积是解此题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、10【解析】由正方形性质的得出B 、D 关于AC 对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE ，交AC 于P ，连接BP ，则此时PB+PE 的值最小，进而利用勾股定理求出即可．【详解】如图，连接DE ，交AC 于P ，连接BP ，则此时PB+PE 的值最小.∵四边形ABCD 是正方形，∴B 、D 关于AC 对称，∴PB=PD ，∴PB+PE=PD+PE=DE.∵BE=2，AE=3BE ，∴AE=6，AB=8，∴2268+=10，故PB+PE 的最小值是10.故答案为10.14、﹣1．【解析】试题解析：分式22x x --的值为0, 则：2020.x x ⎧-=⎨-≠⎩解得： 2.x =-故答案为 2.-15、2π3【解析】根据弧长公式可得：602180π⨯⨯=23π，故答案为23π.16、2或14【解析】分两种情况进行讨论：①弦AB 和CD 在圆心同侧；②弦AB 和CD 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可.【详解】①当弦AB 和CD 在圆心同侧时,如图,∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF−OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图,∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OF=6cm，OE=8cm，∴EF=OF+OE=14cm.∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm.故答案为：2或14.17、2 3【解析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可．【详解】∵DE∥BC，∴∠F=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC，∴∠F=∠DBF，∴DB=DF，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD DEAD DB BC=+，即1124DE=+，解得：DE=4 3，∵DF=DB=2，∴EF=DF-DE=2-43=23，故答案为2 3.【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC．18、2【解析】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x，则DH=AD﹣AH=2﹣x，在Rt△AEH中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x，EH=DH=2﹣x，∴EH2=AE2+AH2，即（2﹣x）2=42+x2，解得：x=1．∴AH=1，EH=5.∴C△AEH=12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF∽△HAE，∴．∴C△EBF==C△HAE=2．考点：1折叠问题；2勾股定理；1相似三角形.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）BG=AE．（2）①成立BG=AE．证明见解析.②AF=213．【解析】（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；（2）①如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；②由①可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．【详解】(1)BG=AE.理由：如图1,∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=CD，∴∠ADB=∠ADC=90°.∵四边形DEFG是正方形，∴DE=DG.在△BDG和△ADE中，BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED，∴△ADE≌△BDG(SAS)，∴BG=AE.故答案为BG=AE；(2)①成立BG=AE.理由：如图2，连接AD，∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，∴AD=BD,AD ⊥BC,∴∠ADG+∠GDB=90°.∵四边形EFGD 为正方形，∴DE=DG ,且∠GDE=90°，∴∠ADG+∠ADE=90°，∴∠BDG=∠ADE.在△BDG 和△ADE 中，BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED ，∴△BDG ≌△ADE(SAS)，∴BG=AE ；②∵BG=AE ，∴当BG 取得最大值时，AE 取得最大值．如图3,当旋转角为270°时，BG=AE.∵BC=DE=4，∴BG=2+4=6.∴AE=6.在Rt △AEF 中，由勾股定理，得 AF=22AE EF + =3616+，∴AF=213 .【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质及勾股定理及正方形的性质和等腰直角三角形，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质及勾股定理以及正方形的性质和等腰直角三角形.20、（1）x=1（2）4＜x≤【解析】（1）先将整理方程再乘以最小公分母移项合并即可；（2）求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．【详解】（1）+=4，方程整理得： =4，去分母得：x ﹣5=4（2x ﹣3），移项合并得：7x=7，解得：x=1；经检验x=1是分式方程的解；（2）解①得：x≤解②得：x＞4∴不等式组的解集是4＜x≤，在数轴上表示不等式组的解集为：．【点睛】本题考查了解一元二次方程组与分式方程，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程组与分式方程运算法则.21、1．【解析】根据二次根式性质，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值依次计算后合并即可．【详解】解：原式=12﹣1+3﹣4×22=1．【点睛】本题考查实数的运算及特殊角三角形函数值．22、（1）14；（2）12；（3）x=1．【解析】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；（2）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值.【详解】解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，∴P（不合格品）=1 4；（2）共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，P （抽到的都是合格品）=612=12；（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，∴抽到合格品的概率等于0.95，∴34x x ++ =0.95，解得：x=1．【点睛】本题考查利用频率估计概率；概率公式；列表法与树状图法．23、（1）商场两次共购进这种运动服600套；（2）每套运动服的售价至少是200元．【解析】（1）设商场第一次购进套运动服，根据“第二批所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元”即可列方程求解；（2）设每套运动服的售价为y 元，根据“这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%” 即可列不等式求解.【详解】（1）设商场第一次购进x 套运动服，由题意得6800032000102x x -=解这个方程，得200x =经检验，200x =是所列方程的根22200200600x x +=⨯+=．答：商场两次共购进这种运动服600套；（2）设每套运动服的售价为y 元，由题意得600320006800020%3200068000y --+，解这个不等式，得200y ≥答：每套运动服的售价至少是200元．【点睛】此题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量及不等关系，正确列方程和不等式求解.24、（1）31x y =⎧⎨=⎩；（2）当A 坐标为()3 , 0时，AB 取得最小值为1. 【解析】（1）用加减消元法解二元一次方程组；（2）利用（1）确定出B 的坐标，进而得到AB 取得最小值时A 的坐标，以及AB 的最小值．【详解】解：（1）31021x y x y +=⎧⎨-=⎩①②①2⨯+②得：721x =解得：3x =把3x =代入②得1y =，则方程组的解为31x y =⎧⎨=⎩(2 )由题意得:()3, 1B , 当A 坐标为()3 , 0时，AB 取得最小值为1.【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及坐标与图形性质，熟练掌握运算法则及数形结合思想解题是解本题的关键．25、 (1)证明见解析；(2)2m =或4m =．【解析】（1）求出△的值，再判断出其符号即可；（2）先求出x 的值，再由方程的两个实数根都是整数，且m 是正整数求出m 的值即可．【详解】(1)依题意，得()()()24413m m =---⨯-28161212m m m =-++-，244m m =++，()22m =+．∵()220m +≥， ∴方程总有两个实数根． (2)∵()()1130x m x ⎡⎤+--=⎣⎦，∴11x =-，231x m =-．∵方程的两个实数根都是整数，且m 是正整数，∴11m -=或13m -=．∴2m =或4m =．【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac的关系是解答此题的关键．26、0【解析】分析：先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可求出不等式组的解集.详解：，由①去括号得：﹣3x﹣3﹣x+3＜8，解得：x＞﹣2，由②去分母得：4x+2﹣3+3x≤6，解得：x≤1，则不等式组的解集为﹣2＜x≤1．点睛：本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.27、（1）20；（2）作图见试题解析；（3）1 2．【解析】（1）由A类的学生数以及所占的百分比即可求得答案；（2）先求出C类的女生数、D类的男生数，继而可补全条形统计图；（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．【详解】（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%=20（名）；故答案为20；（2）∵C类女生：20×25%﹣2=3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1=1（名）；如图：（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，男A1男A2女A男D男A1男D男A2男D女A男D女D男A1女D男A2女D女A女D共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：3162．。

内蒙古通辽市2018年中考数学试题(含解析)-真题卷

2018年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（本题包括10个小题每小题3分共30分，每小题只有一个正确选项，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3.00分）的倒数是（）A．2018 B．﹣2018 C．﹣D．2．（3.00分）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（）A．B．C． D．3．（3.00分）下列说法错误的是（）A．通过平移或旋转得到的图形与原图形全等B．“对顶角相等”的逆命题是真命题C．圆内接正六边形的边长等于半径D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件4．（3.00分）小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．5．（3.00分）如图，一个几何体的主视图和左视图都是边长为6的等边三角形，俯视图是直径为6的圆，则此几何体的全面积是（）A．18πB．24πC．27πD．42π6．（3.00分）学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）A．﹣=100 B．﹣=100C．﹣=100 D．﹣=1007．（3.00分）已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°8．（3.00分）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（）A．亏损20元B．盈利30元C．亏损50元D．不盈不亏9．（3.00分）已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx ﹣k与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．10．（3.00分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB 于点E，∠BCD=60°，AD=AB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD=AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④S△ADE =5S△OFE，其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本题包括7个小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3.00分）2018年5月13日，我国第一艘国产航母出海试航，这标志着我国从此进入“双航母”时代，据估测该航母的满载排水量与辽宁舰相当，约67500吨，将67500用科学记数法表示为．12．（3.00分）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是．13．（3.00分）一组数据2，x，1，3，5，4，若这组数据的中位数是3，则这组数据的方差是．14．（3.00分）如图，这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．已知AE=3，BE=2，若向正方形ABCD内随意投掷飞镖（每次均落在正方形ABCD内，且落在正方形ABCD内任何一点的机会均等），则恰好落在正方形EFGH内的概率为．15．（3.00分）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为．16．（3.00分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC 于点D，连接AD．若AB=BD，AB=6，∠C=30°，则△ACD的面积为．17．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k＞0）的图象与半径为5的⊙O交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是．三、解答题（本题包括9个小题共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5.00分）计算：﹣|4﹣|﹣（π﹣3.14）0+（1﹣cos30°）×（）﹣2．19．（6.00分）先化简（1﹣）÷，然后从不等式2x﹣6＜0的非负整数解中选取一个合适的解代入求值．20．（6.00分）我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°，若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据≈1.732）21．（6.00分）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．学生立定跳远测试成绩的频数分布表分组频数1.2≤x＜1.6a1.6≤x＜2.0122.0≤x＜2.4b2.4≤x＜2.810请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：（1）表中a=，b=，样本成绩的中位数落在范围内；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有多少人？22．（7.00分）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．23．（8.00分）为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有多少人？扇形统计图中∠α的度数是多少？（2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率．24．（9.00分）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？25．（10.00分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC的长．26．（12.00分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P 不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．2018年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10个小题每小题3分共30分，每小题只有一个正确选项，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3.00分）的倒数是（）A．2018 B．﹣2018 C．﹣D．【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，×2018=1即可解答．【解答】解：根据倒数的定义得：×2018=1，因此倒数是2018．故选：A．2．（3.00分）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．3．（3.00分）下列说法错误的是（）A．通过平移或旋转得到的图形与原图形全等B．“对顶角相等”的逆命题是真命题C．圆内接正六边形的边长等于半径D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件【分析】根据平移、旋转的性质、对顶角的性质、圆内接多边形的性质、随机事件的概念判断即可．【解答】解：通过平移或旋转得到的图形与原图形全等，A正确，不符合题意；“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，B错误，符合题意；圆内接正六边形的边长等于半径，C正确，不符合题意；“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，D正确，不符合题意；故选：B．4．（3.00分）小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据小刚行驶的路程与时间的关系，确定出图象即可．【解答】解：根据题意得：小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系的大致图象是故选：B．5．（3.00分）如图，一个几何体的主视图和左视图都是边长为6的等边三角形，俯视图是直径为6的圆，则此几何体的全面积是（）A．18πB．24πC．27π D．42π【分析】依据题意可得这个几何体为圆锥，其全面积=侧面积+底面积．【解答】解：圆锥的全面积=π×32+π×3×6=27πcm2．故选：C．6．（3.00分）学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）A．﹣=100 B．﹣=100C．﹣=100 D．﹣=100【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．【解答】解：设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：﹣=100．故选：B．7．（3.00分）已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求角度即可．【解答】解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=，∴tan∠1=，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角的度数是60°或120°．故选：D．8．（3.00分）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（）A．亏损20元B．盈利30元C．亏损50元D．不盈不亏【分析】设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，根据销售收入﹣进价=利润，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再由两件商品的销售收入﹣成本=利润，即可得出商店卖这两件商品总的亏损20元．【解答】解：设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，根据题意得：150﹣x=25%x，150﹣y=﹣25%y，解得：x=120，y=200，∴150+150﹣120﹣200=﹣20（元）．故选：A．9．（3.00分）已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx ﹣k与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】依据抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，即可得到k＜0，进而得出一次函数y=kx﹣k的图象经过第一二四象限，反比例函数y=的图象在第二四象限．【解答】解：∵抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，∴△=4﹣4（k+1）＞0，解得k＜0，∴一次函数y=kx﹣k的图象经过第一二四象限，反比例函数y=的图象在第二四象限，故选：D．10．（3.00分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB 于点E，∠BCD=60°，AD=AB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD=AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④S△ADE =5S△OFE，其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到S▱ABCD=AD•BD；依据∠CDE=60°，∠BDE30°，可得∠CDB=∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOD中，AO ＞AD，即可得到AO＞DE；依据OE是△ABD的中位线，即可得到OE∥AD，OE=AD，进而得到△OEF∽△ADF，依据S△ADF =4S△OEF，S△AEF=2S△OEF，即可得到S△ADE=6S△OFE．【解答】解：∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等边三角形，∴AD=AE=AB，∴E是AB的中点，∴DE=BE，∴∠BDE=∠AED=30°，∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S▱ABCD=AD•BD，故①正确；∵∠CDE=60°，∠BDE30°，∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；∵Rt△AOD中，AO＞AD，∴AO＞DE，故③错误；∵O是BD的中点，E是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥AD，OE=AD，∴△OEF∽△ADF，∴S△ADF =4S△OEF，且AF=2OF，∴S△AEF =2S△OEF，∴S△ADE =6S△OFE，故④错误；故选：B．二、填空题（本题包括7个小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3.00分）2018年5月13日，我国第一艘国产航母出海试航，这标志着我国从此进入“双航母”时代，据估测该航母的满载排水量与辽宁舰相当，约67500吨，将67500用科学记数法表示为 6.75×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将67500用科学记数法表示为：6.75×104．故答案为6.75×104．12．（3.00分）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是75°30′（或75.5°）．【分析】首先证明∠EDO=∠AOB=37°45′，根据∠EDB=∠AOB+∠EDO计算即可解决问题；【解答】解：∵CD∥OB，∴∠ADC=∠AOB，∵∠EDO=∠CDA，∴∠EDO=∠AOB=37°45′，∴∠EDB=∠AOB+∠EDO=2×37°45′=75°30′（或75.5°），故答案为75°30′（或75.5°）．13．（3.00分）一组数据2，x，1，3，5，4，若这组数据的中位数是3，则这组数据的方差是．【分析】先根据中位数的定义求出x的值，再求出这组数据的平均数，最后根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]进行计算即可．【解答】解：∵按从小到大的顺序排列为1，2，3，x，4，5，若这组数据的中位数为3，∴x=3，∴这组数据的平均数是（1+2+3+3+4+5）÷6=3，∴这组数据的方差是：[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=，故答案为：．14．（3.00分）如图，这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．已知AE=3，BE=2，若向正方形ABCD内随意投掷飞镖（每次均落在正方形ABCD内，且落在正方形ABCD内任何一点的机会均等），则恰好落在正方形EFGH内的概率为．【分析】根据几何概型概率的求法，飞镖扎在小正方形内的概率为小正方形内与大正方形的面积比，根据题意，可得小正方形的面积与大正方形的面积，进而可得答案．【解答】解：根据题意，AB2=AE2+BE2=13，∴S=13，正方形ABCD∵△ABE≌△BCF，∴AE=BF=3，∵BE=2，∴EF=1，=1，∴S正方形EFGH，故飞镖扎在小正方形内的概率为．故答案为．15．（3.00分）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x 个球队参赛，根据题意，可列方程为 x（x ﹣1）=21 ．【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x 个球队比赛总场数为x （x ﹣1），即可列方程．【解答】解：设有x 个队，每个队都要赛（x ﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x （x ﹣1）=21，故答案为：x （x ﹣1）=21．16．（3.00分）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和点C 为圆心，以大于AC 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点；②作直线MN 交BC 于点D ，连接AD ．若AB=BD ，AB=6，∠C=30°，则△ACD 的面积为 9 ．【分析】只要证明△ABD 是等边三角形，推出BD=AD=DC ，可得S △ADC =S △ABD 即可解决问题；【解答】解：由作图可知，MN 垂直平分线段AC ，∴DA=DC ，∴∠C=∠DAC=30°，∴∠ADB=∠C +∠DAC=60°，∵AB=AD ，∴△ABD 是等边三角形，∴BD=AD=DC ，∴S △ADC =S △ABD =×62=9，17．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k＞0）的图象与半径为5的⊙O交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是5．【分析】先求出a2+b2=c2+d2=25，再求出ac=，同理：bd=，即可得出ac﹣bc=0，最后用两点间的距离公式即可得出结论．【解答】解：如图，设点M（a，b），N（c，d），∴ab=k，cd=k，∵点M，N在⊙O上，∴a2+b2=c2+d2=25，作出点N关于x轴的对称点N'（c，﹣d），∴S=k+（b+d）（a﹣c）﹣k=3.5，△OMN∴bc﹣ad=k+7，∴，∴ac=，同理：bd=，∴ac﹣bc=﹣=[（c2+d2）﹣（a2+b2）]=0，∵M（a，b），N'（c，﹣d），∴MN'2=（a﹣c）2+（b+d）2=a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd=a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）=50，∴MN'=5，三、解答题（本题包括9个小题共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5.00分）计算：﹣|4﹣|﹣（π﹣3.14）0+（1﹣cos30°）×（）﹣2．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=﹣（4﹣2）﹣1+（1﹣）×4=﹣4+2﹣1+4﹣2=﹣1．19．（6.00分）先化简（1﹣）÷，然后从不等式2x﹣6＜0的非负整数解中选取一个合适的解代入求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•=•=，由不等式2x﹣6＜0，得到x＜3，∴不等式2x﹣6＜0的非负整数解为x=0，1，2，则x=0时，原式=2．20．（6.00分）我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°，若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据≈1.732）【分析】作BD⊥AC于D，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．【解答】解：如图，作BD⊥AC于D，由题意可得：BD=1400﹣1000=400（米），∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵，即，∴AD=400（米），在Rt△BCD中，∵，即，∴CD=400（米），∴AC=AD+CD=400+400≈1092.8≈1093（米），答：隧道最短为1093米．21．（6.00分）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．学生立定跳远测试成绩的频数分布表分组频数1.2≤x＜1.6a1.6≤x＜2.0122.0≤x＜2.4b2.4≤x＜2.810请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：（1）表中a=8，b=20，样本成绩的中位数落在 2.0≤x＜2.4范围内；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有多少人？【分析】（1）根据题意和统计图可以求得a、b的值，并得到样本成绩的中位数所在的取值范围；（2）根据b的值可以将频数分布直方图补充完整；（3）根据统计图中的数据可以求得该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有多少人．【解答】解：（1）由统计图可得，a=8，b=50﹣8﹣12﹣10=20，样本成绩的中位数落在：2.0≤x＜2.4范围内，故答案为：8，20，2.0≤x＜2.4；（2）由（1）知，b=20，补全的频数分布直方图如右图所示；（3）1000×=200（人），答：该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有200人．22．（7.00分）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）由AF∥BC得∠AFE=∠EBD，继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等；（2）根据AB=AC，且AD是BC边上的中线可得∠ADC=90°，由四边形ADCF是矩形可得答案．【解答】证明：（1）∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）连接DF，∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△AEF≌△DEB，∴BE=FE，∵AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB，∵AB=AC，∴DF=AC，∴四边形ADCF是矩形．23．（8.00分）为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有多少人？扇形统计图中∠α的度数是多少？（2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率．【分析】（1）用A科目人数除以其对应的百分比可得总人数，用360°乘以C对应的百分比可得∠α的度数；（2）用总人数乘以C科目的百分比即可得出其人数，从而补全图形；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好是“书法”“乐器”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%=40人，∠α=360°×（1﹣10%﹣20%﹣40%）=108°；（2）C科目人数为40×（1﹣10%﹣20%﹣40%）=12人，补全图形如下：（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好是书法与乐器组合在一起的结果数为2，所以书法与乐器组合在一起的概率为=．24．（9.00分）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，由条件可列方程组，则可求得答案；（2）①设购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，由条件可得到关于m的不等式组，则可求得m的取值范围，且m为整数，则可求得m的值，即可求得进货方案；②用m可表示出W，可得到关于m的一次函数，利用一次函数的性质可求得答案．【解答】解：（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，根据题意可得，解得，答：该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；（2）①若购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，根据题意可得，解得75＜m≤78，∵m为整数，∴m的值为76、77、78，∴进货方案有3种，分别为：方案一，购进甲种羽毛球76筒，乙种羽毛球为124筒，方案二，购进甲种羽毛球77筒，乙种羽毛球为123筒，方案一，购进甲种羽毛球78筒，乙种羽毛球为122筒；②根据题意可得W=（60﹣50）m+（45﹣40）（200﹣m）=5m+1000，∵5＞0，∴W随m的增大而增大，且75＜m≤78，∴当m=78时，W最大，W最大值为1390，答：当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元．25．（10.00分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC的长．【分析】（1）先判断出∠BAC=2∠BAD，进而判断出∠BOD=∠BAC=90°，得出PD ⊥OD即可得出结论；（2）先判断出∠ADB=∠P，再判断出∠DCP=∠ABD，即可得出结论；（3）先求出BC，再判断出BD=CD，利用勾股定理求出BC=BD=，最后用△ABD∽△DCP得出比例式求解即可得出结论．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD，∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BOD=∠BAC=90°，∵DP∥BC，∴∠ODP=∠BOD=90°，∴PD⊥OD，∵OD是⊙O半径，∴PD是⊙O的切线；（2）∵PD∥BC，∴∠ACB=∠P，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠P，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，∴∠DCP=∠ABD，∴△ABD∽△DCP，（3）∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠BAC=90°，在Rt△ABC中，BC==13cm，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BOD=∠COD，∴BD=CD，在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，∴BC=CD=BC=，∵△ABD∽△DCP，∴，∴，∴CP=16.9cm．26．（12.00分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．【分析】（1）应用待定系数法；（2）①求出直线BC解析式，表示PF．当PF=DE时，平行四边形存在．②利用△PFH∽△BCO，应用相似三角形性质表示△PFH周长，应用函数性质讨论最值．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣5解得∴y=x2﹣4x﹣5∴顶点坐标为D（2，﹣9）（2）①存在设直线BC的函数解析式为y=kx+b（k≠0）把B（5，0），C（0，﹣5）代入得∴BC解析式为y=x﹣5当x=m时，y=m﹣5∴P（m，m﹣5）当x=2时，y=2﹣5=﹣3∴E（2．﹣3）∵PF∥DE∥y轴∴点F的横坐标为m当x=m时，y=m2﹣4m﹣5∴F（m，m2﹣4m﹣5）∴PF=（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）=﹣m2+5m∵E（2，﹣3），D（2，﹣9）∴DE=﹣3﹣（﹣9）=6如图，连接DF∵PF∥DE∴当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形即﹣m2+5m=6解得m1=3，m2=2（舍去）当m=3时，y=3﹣5=2此时P（3，﹣2）∴存在点P（3，﹣2）使四边形PEDF为平行四边形．②由题意在Rt△BOC中，OB=OC=5∴BC=5=10+5∴C△BOC∵PF∥DE∥y轴∴∠FPE=∠DEC=∠OCB∵FH⊥BC∴∠FHP=∠BOC=90°∴△PFH∽△BCO∴即C=△PFH∵0＜m＜5∴当m=﹣时，△PFH周长的最大值为。

2024年内蒙古通辽市中考数学试题(含解析)

2024年内蒙古通辽市初中毕业生学业考试试卷数学注意事项：1．本试卷共8页，26道小题，满分为120分，考试时间为120分钟．2．根据网上阅卷需要，本试卷中的所有试迻均要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答案无效．一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，第小题只有一个正确答案．请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B 铅笔涂黑）1.某地区某日最高气温是零上8C ︒，记作8C +︒，最低气温是零下3C ︒，应该记作（）A.3C-︒ B.3C+︒ C.5C-︒ D.5C+︒2.如图，这个几何体的俯视图是（）A. B. C. D.3.在学校文艺汇演中，7名参加舞蹈表演的女生身高（单位：cm ）如下：170175169171172170173这组数据的中位数是（）A.175B.172C.171D.1704.下列运算结果正确的是（）A.431xy xy -=B.()326a a -=-C.5=- D.=5.剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点()4,2A -关于对称轴对称的点的坐标为（）A.()4,2-- B.()4,2- C.()4,2 D.()2,4--6.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数11y k x b =+与22y k x b =+（其中120k k ≠，1k ，2k ，1b ，2b 为常数）的图象分别为直线1l ，2l ．下列结论正确的是（）A .120b b +> B.120b b > C.120k k +< D.120k k <7.不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（）A.19B.13C.49D.238.将三角尺ABC 按如图位置摆放，顶点A 落在直线1l 上，顶点B 落在直线2l 上，若12l l ∥，125∠=︒，则2∠的度数是（）A.45︒B.35︒C.30︒D.25︒9.如图，ABCD Y 的对角线AC ，BD 交于点O ，以下条件不能．．证明ABCD Y 是菱形的是（）A.BAC BCA ∠=∠B.ABD CBD ∠=∠C .222OA OD AD += D.222AD OA OD +=10.如图，小程的爸爸用一段10m 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m ）的矩形鸭舍，其面积为215m ，在鸭舍侧面中间位置留一个1m 宽的门（由其它材料制成），则BC 长为（）A.5m 或6mB.2.5m 或3mC.5mD.3m11.如图，圆形拱门最下端AB 在地面上，D 为AB 的中点，C 为拱门最高点，线段CD 经过拱门所在圆的圆心，若1m =AB ， 2.5m CD =，则拱门所在圆的半径为（）A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m12.如图，平面直角坐标系中，原点O 为正六边形ABCDEF 的中心，EF x ∥轴，点E 在双曲线(ky k x=为常数，0)k >上，将正六边形ABCDEF 向上平移3D 恰好落在双曲线上，则k 的值为（）A. B. C. D.3二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）13.因式分解22363ax axy ay -+=______．14.如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度L 的合格尺寸（L 的取值范围)_________．15.分式方程322x x=-的解为______．16.如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5cm ，母线长为12cm 的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是_________2cm （结果用含π的式子表示）．17.关于抛物线2224=-++-y x mx m m （m 是常数），下列结论正确的是_________（填写所有正确结论的序号）．①当0m =时，抛物线的对称轴是y 轴；②若此抛物线与x 轴只有一个公共点，则4m =-；③若点()12,A m y -，()21,B m y +在抛物线上，则12y y <；④无论m 为何值，抛物线的顶点到直线y x =的距离都等于三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出解答各题的文字说明、证明过程或计算步骤）18.022sin60(π)-+︒--．19.先化简，再求值：()()()()224+--+-a b a b a b a b ，其中2==a b ．20.在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C 点测得杨树底端B 点的仰角是30︒，BC 长6米，在距离C 点4米处的D 点测得杨树顶端A 点的仰角为45︒，求杨树AB 的高度（精≈．确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D 1.73)21.为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机扎取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本．【收集数据】调查研究小组收集到50名学生的测试成绩：6061629473738585877263647066746567757671949384917682838392848080829291867786887270719390819074788175【整理描述数据】通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图：组别成绩分组频数x≤<aA6070x≤<16B7080C8090x≤<16x≤≤bD90100（1）频数分布表中=a ________，b =________，并补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中m =________，D 所对应的扇形的圆心角度数是________．【应用数据】（3）若成绩不低于．．．90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数．22.如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，点O 为AC 边上一点，以点O 为圆心，OC 为半径作圆与AB 相切于点D ，连接CD ．（1）求证：2ABC ACD ∠=∠；（2）若8AC =，6BC =，求O 的半径．23.某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．（1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；（2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于．．．煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案．24.【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．AM AN =，DM DN =．求证：AMD AND ∠=∠．【模型应用】（2）如图2，AMC 中，MAC ∠的平分线AD 交MC 于点D ．请你从以下两个条件：①2∠∠=AMD C ；②AC AM MD =+中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）【拓展提升】（3）如图3，AC 为O 的直径， AB BC=，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点E ，交O 于点D ，连接CD ．求证：2AE CD =．25.如图，在平面直角坐标系中，直线332y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ，抛物线21(2)(4=--+y x k k 为常数）经过点D 且交x 轴于,A B 两点．（1）求抛物线表示的函数解析式；（2）若点P 为抛物线的顶点，连接AD ，DP ，CP ．求四边形ACPD 的面积．26.数学活动课上，某小组将一个含45︒的三角尺AEF 利一个正方形纸板ABCD 如图1摆放，若1AE =，2AB =．将三角尺AEF 绕点A 逆时针方向旋转()090αα︒≤≤︒角，观察图形的变化，完成探究活动．【初步探究】如图2，连接BE ，DF 并延长，延长线相交于点,G BG 交AD 于点M ．问题1BE 和DF 的数量关系是________，位置关系是_________．【深入探究】应用问题1的结论解决下面的问题．OA OD OG．问题2如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证==【尝试应用】问题3如图4，请直接写出当旋转角α从0︒变化到60︒时，点G经过路线的长度．参考答案一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，第小题只有一个正确答案．请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B 铅笔涂黑）1.【答案】A【解析】解：某日最高气温是零上8C ︒，记作8C +︒，最低气温是零下3C ︒，则记为3C -︒．故选：A ．2.【答案】D【解析】解：根据俯视图的定义，该几何体的俯视图是故选：D ．3.【答案】C【解析】解：将这组数据从小到大排列为169、170、170、171、172、173、175，所以这组数据的中位数为171．故选：C ．4.【答案】B【解析】解：43xy xy xy -=，故A 不符合题意；()326a a -=-，故B 符合题意；5=，故C 不符合题意；+==，故D 不符合题意；故选B 5.【答案】C【解析】解：∵图形的对称轴是y 轴，∴在平面直角坐标系xOy 中，点()4,2A -关于y 轴对称的点的坐标为()4,2，故选：C ．6.【答案】A【解析】解：由一次函数1l ：11y k x b =+的图象可得：10k >，11b >，由一次函数2l ：22y k x b =+的图象可得：20k >，21b =-，∴120b b +>，120b b <，120k k +>，120k k >，正确的结论是A ，符合题意，故选A ．7.【答案】C【解析】解：根据题意，列出表格如下：红白1白2红（红，红）（白1，红）（白2，红）白1（红，白1）（白1，白1）（白2，白1）白2（红，白2）（白1，白2）（白2，白2）一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种，所以两次都摸出白球的概率是49．故选：C 8.【答案】B【解析】解：如图，∵12l l ∥∴3125∠=∠=︒，∵在三角板ABC 中，60CAB ∠=︒，∴23602535CAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：B 9.【答案】D【解析】解：A 、∵BAC BCA ∠=∠，∴AB BC =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABCD Y 是菱形，故本选项不符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴ADB CBD ∠=∠，∵ABD ADB ∠=∠，∴ABD CBD∠=∠∴AB AD =，∴ABCD Y 是菱形，故本选项不符合题意；C 、∵222OA OD AD +=，∴90AOD ∠=︒，即AC BD ⊥，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABCD Y 是菱形，故本选项不符合题意；D 、∵222AD OA OD +=，∴90OAD ∠=︒，无法得到ABCD Y 是菱形，故本选项符合题意；故选：D10.【答案】C【解析】解：设矩形场地垂直于墙一边长为x m ，则平行于墙的一边的长为(1021)m x -+，由题意得(1021)15x x -+=，解得：13x =，252x =，当3x =时，平行于墙的一边的长为102315 5.5-⨯+=<；当52x =时，平行于墙的一边的长为510216 5.52-⨯+=>，不符合题意；∴该矩形场地BC 长为5米，故选C ．11.【答案】B【解析】解：如图，连接OA ，∵D 为AB 的中点，C 为拱门最高点，线段CD 经过拱门所在圆的圆心，1m =AB ，∴CD AB ⊥，0.5AD BD ==，设拱门所在圆的半径为r ，∴OA OC r ==，而 2.5m CD =，∴ 2.5OD r =-，∴()2220.5 2.5r r =+-，解得： 1.3r =，∴拱门所在圆的半径为1.3m ；故选B12.【答案】A【解析】解：如图所示，过点E 作EH x ⊥轴于H ，连接OE ，∵原点O 为正六边形ABCDEF 的中心，∴360606OE OD EOD ︒===︒，∠，∴OED 是等边三角形，∴DE OD =，∵EH OD ⊥，∴12OH DH OH ==，∴2EH ==，设2OD m =，则OH m HE ==，，∴()E m ，()20D m ，，∵将正六边形ABCDEF 个单位长度，点D 恰好落在双曲线上，∴点(2m 在双曲线上，又∵点E 也在双曲线上，∴2k m m ==⋅，解得2m =或0m =（舍去），∴2k m ==，故选：A ．二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）13.【答案】()23-a x y 【解析】解：原式()()222323a x xy ya x y =-+=-；故答案为：()23-a x y ．14.【答案】39.9940.01L ≤≤【解析】解：由题意得，400.01400.01L -≤≤+∴39.9940.01L ≤≤．故答案为：39.9940.01L ≤≤15.【答案】4x =-【解析】解：322x x=-()322x x =-解得：4x =-经检验4x =-是原方程的解，故答案为：4x =-．16.【答案】60π【解析】解：∵底面半径为5cm ，∴圆锥底面圆的周长为2510π(cm)π⨯=，即扇形纸片的弧长为10cm π，∵母线长为12cm ，∴圆锥的侧面积21121060(cm )2ππ⨯⨯=．故答案为：60π17.【答案】①④##④①【解析】解：当0m =时，24y x =-，此时抛物线的对称轴是y 轴，故①正确；∵此抛物线与x 轴只有一个公共点，∴方程22240x mx m m -++-=的有两个相等的实数根，∴()()22Δ2440m m m =--+-=，解得：4m =，故②错误；∵()222244y x mx m m x m m =-++-=-+-，∴抛物线的对称轴为直线x m =，∵10>，∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大，∵点()12,A m y -，()21,B m y +在抛物线上，且21m m m m -->+-，∴12y y >，故③错误；∵()222244y x mx m m x m m =-++-=-+-，∴抛物线的顶点坐标为(),4m m -，∴抛物线的顶点坐标在直线4y x =-上，如图，过点A 作AB ⊥直线y x =于点B ，则点()4,0A ，45AOB ∠=︒，4OA =，∴OAB 是等腰直角三角形，∴222AB OA ==，即抛物线的顶点到直线y x =的距离都等于22，故④正确．故答案为：①④三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出解答各题的文字说明、证明过程或计算步骤）18.【答案】1【解析】解：0322sin60(π)+︒--323212=-+⨯-2331=-1=．19.【答案】3ab -，62【解析】解：()()()()224+--+-a b a b a b a b 2222444a b a ab ab b =--+-+3ab =-，当2,2==a b 时，原式(3222=-⨯⨯=20.【答案】6.2米【解析】解：过点B 作BE DC ⊥于点E ，，在Rt BCE 中，30BCE ∠=︒，6BC =米，∴132BE BC ==米，22226333CE BC BE =-=-=米，4DC = 米，∴(433DE DC CE =+=+米在Rt AED △中，45ADE ∠=︒，(433AE DE ∴==+米，∴(43313AB AE BE =-=+=+米， 3 1.73≈，∴131.73 6.19 6.2AB =+⨯≈≈米．答：杨树AB 的高度约6.2米．21.【答案】（1）8；10，补全图形见解析；（2）20；72︒；（3）120人【解析】解：（1）整理数据可得：6070x ≤<有：60、61、62、63、64、66、65、67；∴8a =；90100x ≤≤的有：94、94、93、91、92、92、91、93、90、90、∴10b =；补全图形如下：；（2）由1020%50=，∴20m =；D 所对应的扇形的圆心角度数是36020%72︒⨯=︒；（3）若成绩不低于．．．90分为优秀，估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的有60020%120⨯=（人）；22.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【小问1详解】证明：如图，连接OD ，∵AB 为切线，∴OD AB ⊥，∴90ODA =∠°，∴90A AOD ∠+∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴90ABC A ∠+∠=︒∴AOD ABC ∠=∠，∵2AOD ACD ∠=∠，∴2ABC ACD ∠=∠．【小问2详解】解：在Rt ABC △中，10AB ===，∵90OCB ODB ∠==∠°，在Rt ODB △和Rt OCB △中，OD OC =，OB OB =，∴()Rt Rt HL ODB OCB ≌，∴6BD BC ==，∴4AD AB BD =-=，设O 的半径为r ，则OD OC r ==，8OA r =-，在Rt AOD 中，()22248r r +=-，解得3r =，∴O 半径的长为323.【答案】（1）煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台；（2）购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台．【解析】【小问1详解】解：设煎蛋器每台x 元，三明治机每台y 元．由题意得：22403395x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：65110x y =⎧⎨=⎩，答：煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台；【小问2详解】解：设煎蛋器采购a 台，则三明治机采购()50a -台，由题意得：1502-≥a a ，解得：1003a ≤，∵a 只能取正整数，∴a 的最大值为33，设总的购买费用为w 元，∴()6511050w a a =+-455500a =-+，∵450k =-<，∴当33a =时，费用最低，此时的购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台；答：购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台．24.【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析【解析】解：（1）在ADM △和ADN △中，∵AM AN =，DM DN =，AD AD =，∴()SSS ADM ADN ≌，∴AMD AND ∠=∠；（2）解：选择②为条件，①为结论如图，在AC 取点N ，使AN AM =，连接DN ，∵AD 平分MAC ∠，∴DAM DAN ∠=∠，在ADM △和ADN △中，∵AM AN =，DAM DAN ∠=∠，AD AD =，∴()SAS ADM ADN ≌，∴DM DN =，AMD AND ∠=∠，∵AC AM MD =+，AC AN NC =+，∴DM CN =，∴DN CN =，∴C CDN ∠=∠，∴2AMD AND CDN C C ∠=∠=∠+∠=∠；选择①为条件，②为结论如图，在AC 取点N ，使AN AM =，连接DN ，∵AD 平分MAC ∠，∴DAM DAN ∠=∠，在ADM △和ADN △中，∵AM AN =，DAM DAN ∠=∠，AD AD =，∴()SAS ADM ADN ≌，∴DM DN =，AMD AND ∠=∠，∵2∠∠=AMD C ，∴2AND C CDN C ∠=∠=∠+∠，∴CDN C ∠=∠，∴DN CN =，∴DM CN =，∵AC AN NC =+，∴AC AM MD =+；（3）如图，连接BD ，取AE 的中点F ，连接BF ，∵BAC ∠的平分线AD ，∴ DCBD =，∴BD CD =，∴BCD CBD ∠=∠，∵AC 为O 的直径，∴90ABC ∠=︒，∴22AE BF AF ==，∴ABF BAF ∠=∠，∵BAF BCD ∠=∠，∴ABF CBD ∠=∠，∵ AB BC=，∴AB BC =，∴ABF CBD ≌△△，∴BF BD CD ==，∴2AE CD =．25.【答案】（1）21(2)44y x =--+（2）10【解析】【小问1详解】解：把0y =代入函数332y x =-+中，得3302x -+=，解得2x =，∴()2,0C ，把0x =代入函数332y x =-+中，得3y =，∴()0,3D ，∵抛物线21(2)(4=--+y x k k 为常数）经过点D ，∴()210234k -⨯-+=，解得4k =，∴抛物线表示的函数解析式为21(2)44y x =--+；【小问2详解】解：∵抛物线的函数解析式为21(2)44y x =--+，∴顶点P 的坐标为()2,4，∵()2,0C ，∴PC x ⊥轴，4PC =，过点D 作DE PC ⊥于点E ，则2DE =，∴1142422CDP S PC DE =⋅=⨯⨯= ；把0y =代入函数21(2)44y x =--+中，得21(2)404x --+=，解得12x =-，26x =，∴()2,0A -，()6,0B ，∴4AC =，∵()0,3D ，∴3DO =∴1143622ACD S AC DO =⋅=⨯⨯= ∴6410ACD CDP ACPD S S S =+=+= 四边形．26.【答案】（1）BE DF =；BE DF ⊥；（2）证明见解析；（3）2π3【解析】解：BE DF =；BE DF ⊥；理由如下：如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴2AB BC CD AD ====，90BAD ∠=︒，∵AEF △是等腰直角三角形，1AE =，∴1==AE AF ，90EAF ∠=︒，∴BAE DAF ∠=∠，∴BAE DAF △≌△，∴BE DF =，ABE ADF ∠=∠，∵AMB DMG ∠=∠，∴90BGD BAM ∠=∠=︒，∴BE DF ⊥；（2）如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴90BAD ∠=︒，∵点O 是BD 的中点，∴OA OB OD ==，∵BE DF ⊥，∴90BGD ∠=︒，∵点O 是BD 的中点，∴OG OB OD ==，∴==OA OD OG ；（3）如图，∵90BGD ∠=︒，OB OG OD ==，∴G 在以O 为圆心，OD 为半径的O 上，过F 作FN AD ⊥于N ，当60BAE α∠==︒时，∴60DAF α∠==︒，30AFN ∠=︒，∵1AF AE ==，∴1122AN AF ==，32FN ==，∴13222DN =-=，DF ==，∴222134AF DF AD +=+==，∴90AFD ∠=︒，∴30ADF ∠=︒，∴260AOG ADF ∠=∠=︒，而90EAF EGF ∠=∠=︒，1==AE AF ，∴四边形AEGF 是正方形，∴当旋转角α从0︒变化到60︒时，G 在 AG 上运动，∵2AB =，OA OB =，AO BD ⊥，∴22OA =⨯=∴点G经过路线的长度为60π1803=.。

2021年内蒙古通辽市中考数学试卷

2021年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）（2021•通辽）2021年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万2．（3分）（2021•通辽）下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数3．（3分）（2021•通辽）下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨4．（3分）（2021•通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠á和∠â互余的摆放方式是（）A．B．C．D．5．（3分）（2021•通辽）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0B．k＜1C．k≤1且k≠0D．k≤16．（3分）（2021•通辽）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A．B．C．D．7．（3分）（2021•通辽）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C ＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°8．（3分）（2021•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE9．（3分）（2021•通辽）如图，OC交双曲线y于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD 的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（）A．18B．50C．12D．10．（3分）（2021•通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；（4）弧长是20ðcm，面积是240ðcm2的扇形的圆心角是120°．A．B．C．D．1二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）（2021•通辽）计算：（1）（3.14﹣ð）0＝；（2）2cos45°＝；（3）﹣12＝．12．（3分）（2021•通辽）若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是；（2）a的值是；（3）方差是．13．（3分）（2021•通辽）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝58°17′28″．则∠BOC的度数是．14．（3分）（2021•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多个小正方形．15．（3分）（2021•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了个人．16．（3分）（2021•通辽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则P A2，PB2，PC2三者之间的数量关系是．17．（3分）（2021•通辽）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB 的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，P A+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）（2021•通辽）解方程：．19．（6分）（2021•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为á，看这栋楼底部的俯角为â，A处与楼的水平距离AD为90m．若taná＝0.27，tanâ＝2.73，求这栋楼高．20．（6分）（2021•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※；（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．21．（7分）（2021•通辽）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．22．（7分）（2021•通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB•P A，求证：AB⊥CD．23．（8分）（2021•通辽）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．24．（9分）（2021•通辽）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求A，B型服装的单价；（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？25．（9分）（2021•通辽）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．26．（12分）（2021•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x 轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD 于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．2021年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）（2021•通辽）2021年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万【解答】解：30000用科学记数法表示为：3×104．故选：B．2．（3分）（2021•通辽）下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数【解答】解：A.2a＝a+a，即2a是2个数a的和，说法正确；B.2a是2和数a的积，说法正确；C.2a是单项式，说法正确；D.2a不一定是偶数，故原说法错误．故选：D．3．（3分）（2021•通辽）下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨【解答】解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；故选：C．4．（3分）（2021•通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠á和∠â互余的摆放方式是（）A．B．C．D．【解答】解：A．∠á与∠â互余，故本选项正确；B．∠á＝∠â，故本选项错误；C．∠á＝∠â，故本选项错误；D．∠á与∠â互补，故本选项错误，故选：A．5．（3分）（2021•通辽）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0B．k＜1C．k≤1且k≠0D．k≤1【解答】解：k＝0时，是一元一次方程，有实数根；k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△≥0，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1，故选：D．6．（3分）（2021•通辽）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A．B．C．D．【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个交的平分线．故选：B．7．（3分）（2021•通辽）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C ＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°【解答】解：连接OA、OB，∵P A，PB分别为⊙O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠P AO＝90°，∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠P AO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°，由圆周角定理得，∠C∠AOB＝54°，故选：C．8．（3分）（2021•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE【解答】解：添加∠BAC＝90°时，∵AD是△ABC的中线，∴AD BC＝CD，∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；添加∠DAE＝90°，∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是平行四边形是矩形，选项C错误；添加AB＝AE，∵四边形ADCE是平行四边形，∴AE＝CD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝AE，∴AB＝BD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；故选：A．9．（3分）（2021•通辽）如图，OC交双曲线y于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD 的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（）A．18B．50C．12D．【解答】解：延长DA、交x轴于E，∵四边形ABCD矩形，且AB∥x轴，∴∠CAB＝∠AOE，∴DE⊥x轴，CF⊥x轴，∴∠AEO＝∠ABC∴△AOE∽△CAB，∴）2，∵矩形ABCD的面积是8，OC：OA＝5：3，∴△ABC的面积为4，AC：OA＝2：3，∴）2，∴S△AOE＝9，∵双曲线y经过点A，∴S△AOE|k|＝9，∵k＞0，∴k＝18，故选：A．10．（3分）（2021•通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；（4）弧长是20ðcm，面积是240ðcm2的扇形的圆心角是120°．A．B．C．D．1【解答】解：（1）无理数都是无限小数是真命题，（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）是真命题；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm是真命题；（4）弧长是20ðcm，面积是240ðcm2的扇形的半径是240ð×2÷20ð＝24cm，圆心角为：/______________________________________故随机抽取一个是真命题的概率是，故选：C．二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）（2021•通辽）计算：（1）（3.14﹣ð）0＝1；（2）2cos45°＝；（3）﹣12＝﹣1．【解答】解：（1）（3.14﹣ð）0＝1；（2）2cos45°；（3）﹣12＝﹣1×1＝﹣1．故答案为：（1）1；（2）；（3）﹣1．12．（3分）（2021•通辽）若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是3；（2）a的值是1；（3）方差是．【解答】解：（1）不论a取何值，出现次数最多的是3，出现3次，因此众数是3；（2）（3×3+a+5）＝3×5，解得，a＝1，（3）S2[（1﹣3）2+（5﹣3）2]，故答案为：3，1，．13．（3分）（2021•通辽）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝58°17′28″．则∠BOC的度数是121°42′32″．【解答】解：∵点O在直线AB上，且∠AOC＝58°17′28″，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣58°17′28″＝121°42′32″，故答案为：121°42′32″．14．（3分）（2021•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多2n+3个小正方形．【解答】解：∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．15．（3分）（2021•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了12个人．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得（1+x）2＝1691+x＝±13x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．16．（3分）（2021•通辽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则P A2，PB2，PC2三者之间的数量关系是PB2+AP2＝2CP2．【解答】解：如图，连接BQ，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵△PCQ是等腰直角三角形，∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°＝∠ACB，PQ2＝2CP2，∴∠ACP＝∠BCQ，又∵AC＝BC，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，∴∠ABQ＝90°，∴PB2+BQ2＝PQ2，∴PB2+AP2＝2CP2，故答案为：PB2+AP2＝2CP2．17．（3分）（2021•通辽）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB 的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，P A+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为7．【解答】解：如图，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC，则四边形ABA′C为菱形，菱形的对角线交于点O，由图②知，当点P与点B重合时，y＝P A+PE＝AB+BE＝AB AB＝3，解得：AB＝2，即：菱形的边长为2，则该菱形的高为AB＝3，点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，则∠BAA′＝60°，故AA′B为等边三角形，∵E是AB的中点，故A′E⊥AB，而AB∥A′C，故∠P A′C为直角，A′C＝AB＝2，则PC此时b＝PC，a＝A′E＝3（菱形的高），则a+b＝3+4＝7．故答案为7．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）（2021•通辽）解方程：．【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣2）得，2x＝3x﹣6，解得x＝6，检验：当x＝6时，x（x﹣2）＝6×4＝24≠0，所以x＝6是分式方程的解．因此，原分式方程的解是x＝6．19．（6分）（2021•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为á，看这栋楼底部的俯角为â，A处与楼的水平距离AD为90m．若taná＝0.27，tanâ＝2.73，求这栋楼高．【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝taná•AD＝0.27×90＝24.3（米），在Rt△ACD中，CD＝AD•tanâ＝90×2.73＝245.7（米），∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），答：这栋楼高BC约为270米．20．（6分）（2021•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※；（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．【解答】解：（1）（﹣2）※√_√；（2）3※m≥﹣6，则32m﹣3m﹣3m≥﹣6，解得：m≥﹣2，将解集表示在数轴上如下：21．（7分）（2021•通辽）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．【解答】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，所以取出的3个小球上全是奇数的概率．22．（7分）（2021•通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB•P A，求证：AB⊥CD．【解答】证明：连接AC、BC，如图，∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△APC∽△BPD，∴PC：PB＝P A：PD，∴PC•PD＝P A•PB，∵PC2＝PB•P A，∴PC＝PD，∵AB为直径，∴AB⊥CD．23．（8分）（2021•通辽）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．【解答】解：（1）40÷40%＝100（名），即在这次调查中，共调查了100名学生；（2）爱好上网的学生有：100×10%＝10（名），爱好阅读的学生有：100﹣40﹣20﹣10＝30（名），补全的条形统计图如右图所示；（3）800÷40%＝2000（名），答：该校学生总数大约有2000名．24．（9分）（2021•通辽）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求A，B型服装的单价；（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？【解答】解：（1）设A型服装的单价为x元，B型服装的单价为y元，依题意，得：，解得：．答：A型服装的单价为800元，B型服装的单价为1000元．（2）设购进B型服装m件，则购进A型服装（60﹣m）件，依题意，得：60﹣m≥2m，解得：m≤20．设该专卖店需要准备w元的货款，则w＝800（60﹣m）+1000×0.75m＝﹣50m+48000，∵k＝﹣50，∴w随m的增大而减小，∴当m＝20时，w取得最小值，最小值＝﹣50×20+48000＝47000．答：该专卖店至少需要准备47000元货款．25．（9分）（2021•通辽）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝F A，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB为平行四边形．（2）解：连接BE、OA，则∠AOB√∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：则∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，∴AE，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6矩形ABDE的面积＝6，∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．26．（12分）（2021•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x 轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD 于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，解得x＝6，∴B（6，0），令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，∴D（0，﹣6），∵点C与点D关于x轴对称，∴C（0，6），把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），则MN＝﹣m2+4m+12，∴△MDB的面积√_D_Dd__________ǑŊϨϨ∴当m＝2时，△MDB的面积最大，此时，P点的坐标为（2，0）；（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，解得，n＝4±2，∴Q（0，4+2）或（0，4﹣2）．综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+2）或（0，4﹣2）．。

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