重庆中考数学课程几何题24,25题大全集
2013年
2013年B卷
2014年B卷
2015年
2015年B卷
2016年
2016年B卷
2017
2017年B卷
2018年2018年B卷
资料
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考试知识点技巧大全
一、考试中途应饮葡萄糖水
大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动,大脑细胞活动需要大量能量。
科学研究证实,虽然大脑的重量只占人体重量的2%-3%,但大脑消耗的能量却占食物所产生的总能量的20%,它的能量来源靠葡萄糖氧化过程产生。
据医学文献记载,一个健康的青少年学生30分钟用脑,血糖浓度在120毫克/100毫升,大脑反应快,记忆力强；90分钟用脑，血糖浓度降至80毫克/100毫升，大脑功能尚正常；连续120分钟用脑，血糖浓度降至60毫克/100毫升，大脑反应迟钝，思维能力较差。
我们中考、高考每一科考试时间都在2小时或2小时以上且用脑强度大，这样可引起低血糖并造成大脑疲劳，从而影响大脑的正常发挥，对考试成绩产生重大影响。
因此建议考生，在用脑60分钟时，开始补饮25%浓度的葡萄糖水100毫升左右，为一个高效果的考试加油。
二、考场记忆“短路”怎么办呢？
对于考生来说，掌握有效的应试技巧比再做题突击更为有效。
1.草稿纸也要逐题顺序写草稿要整洁，草稿纸使用要便于检查。
不要在一大张纸上乱写乱画，东写一些，西写一些。
打草稿也要像解题一样，一题一题顺着序号往下写。
最好在草稿纸题号前注上符号，以确定检查侧重点。
为了便于做完试卷后的复查，草稿纸一般可以折成4-8块的小方格，标注题号以便核查，保留清晰的分析和计算过程。
2.答题要按先易后难顺序不要考虑考试难度与结果，可以先用5分钟熟悉试卷，合理安排考试进度，先易后难，先熟后生，排除干扰。
考试中很可能遇到一些没有见过或复习过的难题，不要蒙了。
一般中考试卷的题型难度分布基本上是从易到难排列的，或者交替排列。
3.遇到容易试题不能浮躁遇到容易题，审题要细致。
圈点关键字词，边审题边画草图，明确解题思路。
有些考生一旦遇到容易的题目，便觉得心应手、兴奋异
常，往往情绪激动，甚至得意忘形。
要避免急于求成、粗枝大叶，防止受熟题答案与解题过程的定式思维影响，避免漏题，错题，丢掉不该丢的分。
4. 答题不要犹豫不决选择题做出选择时要慎重，要关注题干中的否定用词，对比筛选四个选项的差异和联系，特别注意保留计算型选择题的解答过程。
当试题出现几种疑惑不决的答案时，考生一定要有主见，有自信心，即使不能确定答案，也不能长时间犹豫，浪费时间，最终也应把认为正确程度最高的答案写到试卷上，不要在答案处留白或开天窗。
5.试卷检查要细心有序应答要准确。
一般答题时，语言表达要尽量简明扼要，填涂答题纸绝不能错位。
答完试题，如果时间允许，一般都要进行试卷答题的复查。
复查要谨慎，可以利用逆向思维，反向推理论证，联系生活实际，评估结果的合理性，选择特殊取值，多次归纳总结。
另外，对不同题型可采用不同的检查方法。
选择题可采用例证法，举出一两例来能分别证明其他选项不对便可安心。
对填空题，则一要检查审题;二要检查思路是否完整;三要检查数据代入是否正确;四要检查计算过程;五要看答案是否合题意;六要检查步骤是否齐全，符号是否规范。
还要复查一些客观题的答案有无遗漏，答案错位填涂，并复核你心存疑虑的项目。
若没有充分的理由，一般不要改变你依据第一感觉做出的选择。
6、万一记忆短路可慢呼吸考试中，有些考生因为怯场，导致无法集中精神，甚至大脑忽然一片空白，发生记忆堵塞。
此时不要紧张，不妨尝试如下方式：
首先是稳定心态，保持镇静，并注意调节自己的呼吸率。
先慢吸气，当对自己说放松时缓慢呼气，再考虑你正在努力回忆的问题，如果你仍不能回想起来，就暂时搁下这道题，开始选做其他会的试题，过段时间再回过头来做这道题。
第二，积极联想。
你不妨回忆老师在讲课时的情景或自己的复习笔记，并努力回忆与发生记忆堵塞问题有关的论据和概念，把回忆起的内容迅速记下来，然后，看能否从中挑出一些有用的材料或线索。
第三，进行一分钟自我暗示。
即根据自己的实际，选择能激励自己，使自己能心情平静和增强信心的话，在心中默念3至5遍。
比如：我已平静下来，我能够考好、我有信心，一定能考出理想的成绩等等。
第四，分析内容，查找相关要点。
借助试卷上其它试题，也许会给考生提供某些线索。
因此不要轻易放弃，查看试题中的相关要点，看看是否能给考生提供线索或启发。
重庆市中考数学25题
重庆市中考数学专题1、（一中2019级初三下入学考试）《见微知著》读到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思维阀门发现新问题、新结论的重要方法。
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思维难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体带入；（4）整体求和等。
例如：11111,1=+++=ba ab 求证：证明：111111=+++=+++=b b b b a ab ab 原式 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到一个蘑菇或者作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题：我们有更多的式子满足以上特征。
阅读材料二： 基本不等式()0,02 b a b a ab +≤，当且仅当b a =时等号成立，它是解决最值问题的有力工具；例如：在0 x 的条件下，当x 为何值时，xx 1+有最小值，最小值是多少？ 解：∵0 x ，01 x ，∴xx x x 121⋅≥+，即2121=⋅≥+x x x x ，∴21≥+x x 当且仅当x x 1=，即1=x 时，x x 1+有最小值，最小值为2. 请根据阅读材料解答下列问题：（1）已知1=ab ，求下列各式的值： ①=+++221111b a ； ②=+++n n b a 1111 ；（2）若1=abc ，解方程.1151515=++++++++c ca cx b bc bx a ab ax（3）若正数b a 、满足1=ab ，求ba M 21111+++=的最小值。
2、（巴蜀2019级初三下开学考试）材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子。
在解某些特殊方程时，使用换元法常常可以达到转化与划归的目的。
例如在求解一元四次方程,012,0122224=+-==+-t t t x x x 则原方程变为时，令解得,1=t ，从而解得原方程的解为.1±=x材料二：杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。
中考数学几何模型专题24函数与菱形存在性问题(学生版)知识点+例题
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题24函数与菱形存在性问题我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.【例1】（2022春•锡山区校级期中）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm，点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD．连接EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜3.6），请回答下列问题：（1）求当t为何值时，△EFD∽△ABD？（2）求当t为何值时，△EFD为等腰三角形；（3）将△EMN沿直线MN进行翻折，形成的四边形能否是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【例2】（2022秋•南岸区校级期中）如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC，S△ABC＝，且CA⊥x轴．（1）若点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形ABCN是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，取OB的中点M，将线段OM沿着y轴上下移动，线段OM的对应线段是O1M1，直接写出四边形CM1O1N周长的最小值．【例3】（2022秋•龙华区期中）已知：在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线l2经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求直线l2的解析式；（2）如图1，点P为直线l1一个动点，若△P AC的面积为10时，请求出点P的坐标．（3）如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A1B1C1，请问在平面内是否存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．【例4】（2022秋•博罗县期中）如图，抛物线y＝﹣x2+x+1与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．（1）求直线AB的函数解析式．（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数解析式，并写出t的取值范围．（3）在（2）的条件下（不考虑点P与点O，C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？若存在，请直接写出四边形BCMN为菱形时t的值，若不能存在请说明理由．一．解答题1．（2022秋•思明区校级期中）如图，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，顶点B在第一象限，AB＝6，点E、F分别在边AB和射线OB上运动（E、F不与正方形的顶点重合），OF＝2BE，设BE＝t．（1）当t＝2时，则AE＝，BF＝；（2）当点F在线段OB上运动时，若△BEF的面积为，求t的值；（3）在整个运动过程中，平面上是否存在一点P，使得以P、O、E、F为顶点，且以OF为边的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2．（2022•城西区开学）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于C，D两点，这两条直线相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）求四边形AODP的面积；（3）在坐标平面内是否存在一点Q，使以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．3．（2022春•大足区期末）已知：在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线l2经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求直线l2的解析式；（2）如图1，点P为直线l1一个动点，若△P AC的面积等于10时，请求出点P的坐标；（3）如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A1B1C1，请问在平面内是否存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．。
年重庆中考数学几何证明题--(专题练习+答案详解)
2015年重庆中考数学24题专题练习1、如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BＣ,AB=DC，E为AD中点，连接ＢE,CE(1)求证:BＥ=CＥ；（2）若∠BEC=9０°，过点B作ＢF⊥CD，垂足为点F，交CE于点Ｇ,连接DG，求证:BG=DG+CD.2、如图，在直角梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=９０°,Ｅ为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为ＣD上的一点F，并与BC交于点Ｇ.已知G为CH的中点．（1）若HE＝ＨG,求证:△EＢＨ≌△GFＣ；（２)若ＣD＝４,BH＝1，求ＡD的长．3、如图，梯形ＡBＣD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DＡB=6０°，E是对角线AC延长线上一点,Ｆ是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AＦ.(1)当CE=1时,求△ＢCE的面积;（２）求证：BD＝EF+CE．4、如图.在平行四边形ABCD中，Ｏ为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点,且.过点E ＥF∥ＣA,交CＤ于点Ｆ，连接OF．（1)求证：OＦ∥BC；(２)如果梯形ＯBEF是等腰梯形，判断四边形ＡBCD的形状，并给出证明．5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC，∠AＢC=９0°,BF⊥CＤ于F,延长BF交AD的延长线于E,延长CD交BA的延长线于G,且ＤG=DE，AB＝，CF=6．(1）求线段CＤ的长；（2)H在边BF上,且∠HＤＦ=∠E,连接CＨ，求证：∠BＣH=45°﹣∠EＢC.6、如图,直角梯形ABCＤ中，AＤ∥BC,∠Ｂ=9０°，∠Ｄ=45°．(１)若AB=6cm，,求梯形ABCD的面积;(2)若Ｅ、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、ＤＡ上一点,且满足ＥF=GH,∠EFH=∠FHG，求证：HD=BＥ+ＢF．7、已知：如图，AＢCD中,对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CＤ，连接BF交AD于点E．(１)求证:AＥ=ED；(2)若AB=ＢC,求∠CAF的度数．8、已知：如图，在正方形AＢCＤ中,点Ｇ是BＣ延长线上一点，连接AG，分别交BＤ、CD于点E、Ｆ．(１)求证:∠ＤAＥ=∠DCE;（2）当CＧ＝CＥ时,试判断CＦ与EG之间有怎样的数量关系?并证明你的结论．９、如图,已知正方形ABCＤ,点E是BＣ上一点，点F是CD延长线上一点,连接ＥF,若ＢE=DF,点P是EF的中点.(1)求证:DＰ平分∠ＡDC;(2)若∠ＡEB＝７5°，AB=2,求△DFP的面积．10、如图,在直角梯形ＡBCD中，ＡD∥BＣ,∠ABC=90°,ＢD=BC，E为CＤ的中点，交BC的延长线于F；（1)证明:ＥＦ=ＥA;（2)过Ｄ作DG⊥BC于Ｇ，连接EG，试证明：EG⊥AF.11、如图,直角梯形AＢCD中,∠DＡB=90°，AB∥CD,AB=AD，∠ABC=60度．以ＡD为边在直角梯形ABＣD 外作等边三角形ADＦ,点E是直角梯形ABCＤ内一点,且∠EAＤ=∠ＥDA＝15°，连接EB、EF.（1)求证：ＥB=EF;（２)延长FE交BC于点G，点G恰好是ＢC的中点,若AＢ＝6，求ＢC的长.12、如图，在梯形ABＣD中，ＡD∥ＢC，ＡB=DC=AD,∠C=6０°,AE⊥BD于点E,F是CＤ的中点,DG是梯形ＡBＣD的高.（1)求证:ＡE=ＧＦ;(2)设AＥ=１，求四边形DEGF的面积．1３、已知，如图在直角梯形ABＣＤ中，ＡD∥ＢＣ,∠ABC=90°,DＥ⊥AC于点F,交BＣ于点Ｇ，交AB的延长线于点Ｅ，且ＡE＝AC,连AG．(1）求证:FＣ=BE;（2)若ＡD=DC=２,求AG的长．1４、如图,直角梯形AＢCＤ中,AＤ∥ＢＣ,∠ABＣ=90°，点Ｅ是ＡB边上一点,AE=BC，DＥ⊥EC,取DC的中点F,连接AF、ＢＦ.（1)求证：ＡD=BE;（２）试判断△ＡBF的形状,并说明理由.15、（２011•潼南县)如图，在直角梯形ABＣD中,AＢ∥ＣＤ，AＤ⊥DC,AB=BC，且AＥ⊥BＣ．(1)求证：AD=AE；(２)若AD=8,ＤC=4，求AB的长．16、如图，已知梯形AＢCD中,ＡD∥CB，Ｅ，F分别是BＤ,AＣ的中点,ＢD平分∠ABC.(1)求证:AＥ⊥BD;（2)若AＤ=4，BＣ＝14，求EF的长.17、如图，在梯形ABCD中,AD∥BＣ,∠D=9０°,BE⊥ＡＣ,E为垂足,ＡC=BC.（1)求证：CＤ=BE;（2)若AD=３，DC＝4，求AE.１8、如图，在梯形ABCD中,ＡD∥BＣ,ＡB⊥AC，∠B＝4５°,AD＝1,BC=4,求DC的长．19、已知梯形ABCD中，AD∥BC,AＢ＝BＣ=DC，点Ｅ、Ｆ分别在AD、AB上，且.（1）求证:ＢF＝ＥF﹣EＤ；（2)连接ＡC,若∠B=80°,∠DEC=70°,求∠ＡＣF的度数.20、如图，梯形ABCD中，ＡＤ∥ＢＣ,点E在BC上，ＡＥ=BE，且AＦ⊥AＢ，连接EF．（1）若EF⊥AF,AF＝4，AB=6,求AE的长.(2）若点Ｆ是CD的中点，求证:ＣＥ＝BE﹣AD.21、如图,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,ＡＢ=CD，对角线AＣ、ＢＤ交于点Ｏ,且AＣ⊥ＢＤ,DH⊥ＢC．（１）求证:DＨ=（ＡＤ+BＣ）;（2)若AＣ=6,求梯形ＡＢCＤ的面积．２2、已知，如图,△AＢC是等边三角形,过AＣ边上的点D作DG∥BＣ,交ＡB于点G,在GD的延长线上取点Ｅ，使DE＝DＣ,连接AE,BD．（1)求证:△ＡＧE≌△ＤAB；（2）过点E作ＥＦ∥DB，交ＢC于点F，连AF,求∠AFE的度数.23、如图，梯形ABCＤ中,ＡD∥BＣ,DE＝ＥC，EF∥AB交ＢC于点Ｆ，EF=EC,连接ＤF．(１）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AＤ=１，BC=3，DＣ=，试判断△DＣF的形状；（3）在条件（２）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由.24、如图，在梯形AＢＣD中,AD∥BC，∠ＡBC=∠BCD=60°,AD=DC,E、F分别在AＤ、DＣ的延长线上，且DE=CF．ＡF交BE于P．（1)证明:△ABE≌△DAF；(2)求∠BPF的度数．２5、如图,在梯形ABCD中，AD∥ＢＣ,ＡＢ=AD=ＤC，BD⊥DC，将BC延长至点Ｆ，使ＣF=CD．（1)求∠AＢC的度数;(2）如果BＣ=8,求△DBF的面积？26、如图,梯形ABＣD中,ＡD∥BC,AB＝DC=１0cｍ,AC交BD于G,且∠ＡGＤ=60°,Ｅ、F分别为CG、ＡB的中点．（1)求证：△AＧD为正三角形；（2）求EF的长度．27、已知，如图，AD∥BC,∠AＢC=９０°,AB=ＢC,点E是AＢ上的点，∠ECD=4５°,连接ED，过D作DF⊥B Ｃ于F.（１）若∠BEＣ=75°，FＣ=３,求梯形ＡBCD的周长．(2)求证:EＤ＝BＥ+ＦC．2８、(2０05•镇江)已知：如图，梯形AＢＣD中,AD∥BC,E是AＢ的中点，直线CE交ＤA的延长线于点F．（1）求证:△BCE≌△ＡFE；（2)若AB⊥BC且BＣ=4，AＢ＝6，求EF的长.2９、已知：如图,在梯形ＡBCD中,ＡD∥BC，BC＝DC,CF平分∠BCD,ＤF∥AＢ,BF的延长线交DC于点E. 求证：(1)△BＦC≌△DFC;（2）AD=DＥ;（3）若△DEF的周长为6,AD=2，BＣ＝５,求梯形AＢCD的面积．３0、如图,梯形ABＣＤ中,AD∥BC．∠Ｃ=90°，且AＢ＝ＡD．连接BD，过Ａ点作BＤ的垂线,交BC于E．(1)求证：四边形ABED是菱形；（2)如果EC＝3cm,ＣＤ=4ｃm,求梯形ABCD的面积．参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥ＢC,AB＝ＤＣ，E为AD中点,连接ＢＥ,ＣE(1)求证:ＢE＝CE；(2)若∠BＥC＝90°,过点B作ＢF⊥CD,垂足为点F,交CE于点G，连接DＧ,求证：BG＝ＤＧ+CＤ．证明：(1）已知等腰梯形ABCＤ中，ＡD∥ＢC,AＢ=DC，E为AＤ中点，∴AＢ=DC，∠ＢＡE=∠CDE,ＡE=ＤE,∴△BAE≌△CDE，∴ＢE＝CＥ;（2)延长CＤ和ＢE的延长线交于H,∵BF⊥ＣD,∠HEC=90°，∴∠EBＦ+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EＢF＝∠ECＨ,又∠BＥＣ=∠ＣEＨ=90°,BＥ=CＥ（已证),∴△BEＧ≌△ＣEH，∴EG=EＨ，ＢG=CH=DＨ+CD,∵△BAE≌△ＣDE(已证）,∴∠AEB=∠GEＤ，∠ＨED＝∠ＡEＢ,∴∠GED=∠HED,又ＥG=ＥＨ（已证),ED=ＥD,∴△ＧEＤ≌△HED,∴DG=DH,∴ＢG=DG+ＣD.2、如图，在直角梯形ＡBＣD中,ＡＤ∥BC,∠ABC=90°,Ｅ为AＢ延长线上一点,连接ED,与BＣ交于点H．过Ｅ作ＣD的垂线,垂足为CD上的一点F，并与BＣ交于点G.已知G为CH的中点.（1）若ＨE＝HＧ,求证:△EBＨ≌△GＦC;(2)若CD＝4,BH=1，求AD的长．(1）证明:∵HE＝HG,∵∠HGE＝∠FＧC,∠BＥH=∠HEG,∴∠BEH＝∠FGＣ，∵G是ＨC的中点，∴HG=ＧC，∴HE＝GＣ,∵∠HBE=∠CFＧ＝90°.∴△ＥBH≌△GFC；(2)解：∵EＤ平分∠AEF,∠A=∠DFE=90°，∴AＤ=DF，∵DＦ＝DC﹣ＦＣ，∵△EＢH≌△ＧFC,∴FC＝BＨ=1,∴AD=4﹣1=3．３、如图，梯形ABCD中,AB∥CD，AD=DC=BＣ，∠DAB＝6０°,Ｅ是对角线AC延长线上一点,Ｆ是ＡD延长线上的一点，且EB⊥ＡB，ＥF⊥AF.（1）当CE＝１时,求△ＢCE的面积；(2)求证:BD=EＦ＋ＣE.(2)过E点作EM⊥ＤB于点Ｍ,四边形FＤME是矩形,FE=DM,∠BME=∠BCE＝90°,∠BＥC＝∠ＭBＥ=６０°,△BME≌△EＣB，BM=CＥ，继而可证明BＤ=DM＋BM=EF+CＥ.（1)解:∵AD=CD，∴∠DAC=∠ＤＣA,∵DC∥AB,∴∠ＤCA=∠ＣAB,∴，∵DC∥AＢ，ＡＤ＝BC，∴∠ＤＡB=∠ＣBA＝6０°,∴∠ACＢ＝180°﹣（∠ＣAＢ+∠CＢA）＝９０°,∴∠BＣE=18０°﹣∠ACB=９０°,∵ＢE⊥AB,∴∠ABE=90°，∴∠CBE＝∠ABE﹣∠ABC=30°,在Ｒt△BCE中，BE=2ＣＥ=2，,∴…(5分)(２）证明:过Ｅ点作ＥＭ⊥DＢ于点M，∴四边形FDMＥ是矩形,∴FE＝ＤM，∵∠BME=∠BCE=９0°,∠ＢEC=∠ＭBＥ=60°,∴△BME≌△EＣB，∴BM=CE,∴ＢＤ=DM+BＭ=ＥＦ+CE…（1０分)4、如图.在平行四边形ＡBCD中,O为对角线的交点,点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作ＥF∥CA,交CD于点Ｆ，连接OＦ.（1）求证:ＯF∥BC;（2)如果梯形OBＥＦ是等腰梯形,判断四边形ABCD的形状,并给出证明．解答：(1）证明：延长EF交AＤ于G（如图),在平行四边形ABＣD中，AD∥BC,AD=ＢC，∵EＦ∥CA，EG∥ＣＡ，∴四边形ＡＣEG是平行四边形，∴ＡG=ＣＥ,又∵,ＡD=BC，∴,∵ＡＤ∥BＣ，∴∠ADC=∠ECF,在△CEＦ和△DＧF中,∵∠CＦE=∠DFＧ,∠ＡDC＝∠ECF，CE=DG,∴△CEＦ≌△DGＦ(AＡＳ）,∴CF＝DＦ，∵四边形ABCＤ是平行四边形,∴ＯF∥BE．（2)解：如果梯形OBEＦ是等腰梯形，那么四边形ABCＤ是矩形.证明:∵OF∥CE，EF∥ＣO，∴四边形OCEＦ是平行四边形,∴ＥＦ=ＯC，又∵梯形ＯBＥＦ是等腰梯形，∴BO=ＥF,∴OB＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形,∴ＡC=2ＯC,BD＝２BO.∴AＣ=BD，∴平行四边形AＢCD是矩形.５、如图,梯形AＢCD中,AＤ∥ＢC，∠ABC=９0°,BF⊥CＤ于F,延长BＦ交AD的延长线于Ｅ，延长CD交BＡ的延长线于G,且DG＝DE,ＡB=,ＣF＝6．(1)求线段CＤ的长；（2）H在边BF上，且∠HDF＝∠E,连接CＨ,求证：∠BCＨ=45°﹣∠EBＣ．(１）解:连接BD,由∠ＡＢC=９0°，AD∥BＣ得∠ＧAD=９0°,又∵BF⊥ＣD,∴∠DFＥ=90°又∵ＤG=DE，∠ＧＤA=∠EDF,∴△GAD≌△EFＤ,∴ＤＡ=DF,又∵ＢD=BD,∴Ｒt△BAD≌Rt△BFD（HL)，∴BF＝BＡ=，∠ADＢ=∠BＤF又∵CF=６，∴BC=,又∵AD∥BC,∴∠BD Ｆ=∠CBD ，∴C Ｄ=CB=8.(2）证明：∵AD ∥BC ，∴∠Ｅ=∠CBF ，∵∠ＨＤＦ=∠E,∴∠HDF=∠ＣBF,由（1)得,∠ADB=∠CBD ，∴∠ＨＤB=∠HB Ｄ,∴ＨD=H Ｂ，由（１）得CD ＝CB ，CBD CDBCBD HDF CDB CBH∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠∠∴即BDH=HBDHB=HD∴△C ＤH ≌△CB Ｈ，∴∠DCH ＝∠BCH ，∴∠BC Ｈ=∠BCD==．6、如图，直角梯形AB ＣD 中,AD ∥BC ，∠B=90°，∠D ＝45°．（１）若AB=6ｃm ，,求梯形ＡBC Ｄ的面积；（2）若E 、F 、G 、H 分别是梯形ＡＢＣD 的边AB 、BC 、ＣD 、ＤA 上一点,且满足E Ｆ=ＧＨ，∠E ＦH=∠F ＨG,求证：HD=ＢE+BF.解:(1)连AC ，过C 作CM ⊥ＡD 于M ，如图，在Rt △ABC 中,ＡB=6，ｓin ∠ACB==， ∴AC ＝10,∴BC ＝8,在Ｒt △C ＤＭ中，∠D=4５°,∴AD=6+８=14,∴梯形ＡBCD的面积=•（8+１４)•6=66(cm2);（2）证明：过Ｇ作GＮ⊥AD,如图，∵∠D=4５°，∴△DNG为等腰直角三角形，∴DN＝ＧＮ，又∵ＡD∥BＣ,∴∠BＦH=∠ＦHＮ，而∠EFH＝∠FHG,∴∠BＦE＝∠ＧHN,∵EＦ=GH,∴Ｒt△BEＦ≌Rt△NGＨ,∴ＢE=ＧＮ，BF=ＨN，∴ＤA=AＮ+DN=AN+DG=BＦ+ＢE.7、已知：如图,▱ABCD中,对角线AC，BD相交于点O,延长ＣD至F，使DF=CD，连接ＢＦ交AD于点Ｅ．（1)求证:AE＝ＥD；(2）若AB＝ＢC,求∠CAＦ的度数.（1)证明：如图.∵四边形ＡBCD是平行四边形,∴ＡB∥ＣD，ＡB=CD.∵DF=CＤ，∴AB∥DＦ．∵ＤF=CD，∴ＡB=DF．∴四边形ABDF是平行四边形，(2）解:∵四边形ＡBＣD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ＡBCＤ是菱形．∴ＡC⊥BＤ.∴∠COＤ=90°.∵四边形ＡBDF是平行四边形,∴AF∥BD.∴∠CAF=∠ＣＯD=９0°．８、已知：如图,在正方形ＡBCD中,点G是BC延长线上一点，连接AＧ,分别交BD、CD于点E、F. (1）求证:∠DAＥ=∠ＤＣE；(2）当ＣG=CE时，试判断CＦ与EＧ之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.（1)证明：在△DAE和△DCＥ中，∠ADE=∠ＣDE（正方形的对角线平分对角）,ED=DE（公共边）,AＥ=CＥ（正方形的四条边长相等）,∴△ＤAE≌△ＤCE （ＳAS)，∴∠ＤAE=∠ＤCE（全等三角形的对应角相等）;（2）解:如图,由(1)知，△DAＥ≌△DCＥ,∴AE=EＣ，∴∠EAC=∠EＣA(等边对等角)；又∵CG=CE(已知）,∴∠Ｇ＝∠CEG（等边对等角);而∠CEＧ=2∠EＡC（外角定理),∠ＥＣB=2∠CＥG(外角定理），∴4∠EAＣ﹣∠ECA=∠ＡＣB=45°,∴∠G=∠ＣＥG=30°；过点Ｃ作ＣH⊥ＡG于点H,∴∠FCH＝30°,∴在直角△ＥCH中,EH=CH，EG＝２CH,在直角△ＦCH中,CH＝CF，∴ＥG=2×CF=３CF.9、如图,已知正方形AＢCD，点Ｅ是BC上一点，点F是CD延长线上一点,连接ＥF,若BE＝ＤF，点P是EＦ的中点．(1）求证:DP平分∠ADC;(2)若∠AＥＢ=7５°,ＡB=２，求△ＤFＰ的面积.(1）证明:连接ＰC．∵ABCD是正方形,∴∠ＡＢE＝∠AＤF=９0°，AB=AD．∵BＥ=ＤＦ，∴△ＡBＥ≌△AＤＦ.(ＳAS）∴∠BAE=∠DAＦ,AE=AF.∴∠EＡＦ=∠BＡD=９０°．∵P是ＥＦ的中点，∴PA＝EF，ＰＣ=ＥF,∴PＡ=PC．又AD=CD，ＰD公共，∴△ＰAD≌△PCD,（ＳSS)∴∠ADＰ＝∠ＣＤP,即DP平分∠ADC；（２)作PH⊥CF于Ｈ点.∵P是ＥF的中点，∴PH=EC.设EC=x．由(1)知△ＥAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC＝180°﹣4５°﹣75°=6０°,∴EF=2x，FC＝ｘ，BE=2﹣x．在Ｒｔ△ABE中，2２＋(2﹣x）2＝（x)２解得x1=﹣2﹣2（舍去）,ｘ２=﹣2+2.∴ＰH=﹣1+,FD=(﹣2＋2）﹣2＝﹣2+4．∴S△ＤPF=（﹣2+4）×＝3﹣5．10、如图，在直角梯形AＢＣD中，ＡＤ∥BC，∠AＢＣ＝9０°,BD=ＢC,E为CD的中点，交BC的延长线于F; （１）证明:EF=EＡ;（2)过Ｄ作DG⊥ＢＣ于G,连接EG，试证明：EG⊥AF．（1）证明：∵AＤ∥BC,∴∠DAE=∠F，∠ＡDE=∠FＣE.∵E为CＤ的中点,∴ED=EＣ.∴△ADE≌△FＣE．∴ＥＦ=EA.（5分)(2）解：连接GＡ，∵AD∥BＣ，∠AＢC＝9０°,∴∠ＤAＢ=90°.∵DG⊥ＢC，∴四边形ＡBGＤ是矩形．∴BG=AD,GA=BD.∵BD=BC,∴GA=BC．由(1）得△ADE≌△FCE，∴AD＝FC．∴GF＝ＧC+FC=ＧC+AD＝GC+BG=BC=ＧA.∵由(1）得EF=ＥA，∴EG⊥AF.(5分)11、如图,直角梯形ABCD中,∠ＤAB=90°，ＡB∥CD,AＢ=AD，∠ＡBC=６0度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形AＤF,点E是直角梯形AＢCＤ内一点，且∠EＡD=∠EDA=15°,连接EＢ、ＥF.（１）求证：ＥＢ=EＦ;（2)延长FＥ交BC于点G,点Ｇ恰好是ＢC的中点，若AB=6,求BＣ的长．（１）证明：∵△ADＦ为等边三角形,∴ＡＦ=AD，∠FAD=60°(１分）∵∠DAB=９０°，∠EＡD＝15°,AＤ=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75°,AＢ=ＡＦ,(３分)∵AE为公共边∴△FＡE≌△BAE(４分)∴ＥF＝EB（5分）（2)解:如图,连接EC.（6分）∵在等边三角形△ADＦ中,∴FD＝FA，∵∠EAＤ=∠ＥＤA=15°,∴ED=EA,∴EＦ是ＡD的垂直平分线,则∠EFA=∠EFD=30°.（7分）由（1)△FＡE≌△BAE知∠EBA=∠ＥＦA=30°．∵∠ＦAE=∠ＢAE=75°，∴∠BEA＝∠BＡE＝∠ＦEA=75°,∴BE＝BＡ=6.∵∠FＥＡ+∠BEA+∠GＥＢ＝１80°,∴∠ＧEB=30°，∵∠ABC＝6０°，∴∠GBＥ=30°∴GE=GB．(8分)∵点Ｇ是BC的中点，∴ＥＧ=ＣG∵∠ＣGE=∠GEＢ＋∠GBＥ=６0°，∴△CEG为等边三角形，∴∠ＣＥG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEＢ=90°(9分)∴CE=，∴BＣ=(10分）;解法二：过Ｃ作ＣＱ⊥ＡB于Q，∵CQ=AB=ＡD=6，∵∠ＡBC＝6０°,∴BC＝6÷=4.1２、如图，在梯形ＡBCD中,AD∥BＣ,AＢ=DC=ＡD，∠C=60°，AE⊥ＢＤ于点E,F是CD的中点,DＧ是梯形ABCD的高．(１)求证：ＡE=GF；(2)设AＥ=1，求四边形DＥGF的面积.(1）证明：∵AB＝DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C＝60°,∴∠BAD=∠ADC=120°,又∵AB=AD,∴∠ＡBD＝∠ADB=30°.∴∠ＤBC=∠ADB＝30°．∴∠ＢDC＝90°．（1分）由已知AE⊥BD,∴AE∥DC.(2分）又∵AE为等腰三角形ABD的高,∴E是BＤ的中点，∵F是DC的中点,∴ＥF∥BC．∴EF∥ＡD.∴四边形AEＦD是平行四边形.（3分)∴AE＝ＤＦ(４分）∵F是ＤＣ的中点,DG是梯形ＡBCD的高,∴GF=DF，(5分）∴AE=GF.（6分）（2)解:在Rｔ△AED中，∠ＡDB=3０°,∵ＡE=1,∴ＡD=2．在Rｔ△DGC中∠C＝60°，并且ＤC＝ＡD=２，∴DG＝．(８分）由（１)知:在平行四边形AEFD中EF=AＤ=2,又∵DＧ⊥BC，∴四边形DＥGF的面积=EＦ•DG=.（1０分）13、已知,如图在直角梯形AＢCＤ中,AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BＣ于点G,交AＢ的延长线于点E，且AE=AC，连ＡG.（1）求证：FC＝BＥ；（２）若AD=DC=2,求AG的长.解答:（1）证明：∵∠AＢC=90°，DE⊥AC于点Ｆ,∴∠ABC=∠AFE.∵AC=AE，∠ＥAF=∠CAB,∴△AＢＣ≌△AFE,∴AB=ＡF．∴ＡＥ﹣AＢ=AＣ﹣AF，即FC=BE;（2）解:∵AD=DC=２,ＤF⊥AＣ，∴ＡＦ=AC=AE．∴AG＝CG,∴∠E=３０°．∵∠ＥAD=90°,∴∠ADE＝60°，∴∠FAＤ＝∠Ｅ=3０°,∴FＣ=，∵AＤ∥BC，∴∠ACＧ＝∠FＡD=３0°，∴CG＝2，∴AG=2．14、如图,直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是ＡB边上一点，AＥ＝ＢＣ，ＤE⊥ＥC,取ＤC的中点F，连接AF、BF.(1）求证：AＤ=BE；（2)试判断△ABF的形状，并说明理由.∴∠BAＤ+∠ABＣ=180°,∵∠ABC=９０°,∴∠ＢＡD=∠ABC=90°,∵DE⊥EC,∴∠AED+∠BEＣ=９0°∵∠ＡEＤ+∠ＡDＥ=90°,∴∠ＢEC＝∠ADE，∵∠ＤAE=∠EBC，AE=BC,∴△EAD≌△EBＣ,∴ＡD=BE．（２)答：△ＡBF是等腰直角三角形．理由是:延长AF交ＢC的延长线于M,∵AＤ∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠ＡFＤ=∠CFM，DF＝FC,∴△ADF≌△MFC，∴AＤ＝CＭ，∵ＡD=BE，∴BＥ=CＭ，∵AE=BC，∴AＢ=BM,∴△ABM是等腰直角三角形，∵△AＤF≌△MＦC，∴AF=FＭ，∴∠ABC＝90°,∴BF⊥AM，BF＝AM=AF,∴△AFB是等腰直角三角形．１５、（２011•潼南县)如图，在直角梯形ABＣＤ中，AＢ∥ＣD,ＡＤ⊥DＣ,AB=BＣ，且AE⊥BC．(1)求证:AＤ=AＥ;(2)若AD=8，ＤC＝4，求ＡＢ的长．解答：（１)证明：连接AＣ，∵ＡB∥CD，∴∠ACＤ＝∠ＢＡC，∵AB=BＣ,∴∠ACＢ＝∠ＢＡC,∴∠AＣＤ=∠ＡCＢ，∵AD⊥DC,AE⊥ＢC，∴∠D=∠AEＣ=9０°，∵AC＝AC,∴，∴△ADC≌△AEC,（AAS)∴AＤ=ＡE;（2）解:由（１)知：AD＝ＡE,DC=EC，设ＡB＝x，则ＢE＝x﹣4，ＡE＝8，在Rｔ△ABE中∠AEＢ=９０°，由勾股定理得:82+(ｘ﹣4）2=x２，解得:ｘ=1０，∴AB=１0．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥ＡB用来证明和计算均可得分．１６、如图,已知梯形ABCD中，ＡＤ∥CＢ,E，F分别是BＤ，AC的中点,BD平分∠ＡBC．（1)求证：AE⊥BＤ；(2）若AD=4,BＣ=１4，求EF的长.（１）证明:∵ＡＤ∥CＢ,∴∠ADB=∠CBＤ,又BD平分∠ABC,∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABＤ,∴ＡB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知Ｅ是BD的中点，∴AE⊥BＤ.(2)解:延长AE交ＢＣ于Ｇ,∵BD平分∠ABＣ，∴∠ABE＝∠GBE,又∵AE⊥BD(已证)，∴∠AEB＝∠GＥB,BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴ＡＥ=GE，BG＝ＡB＝ＡD，又F是AC的中点（已知)，所以由三角形中位线定理得：EF=ＣG＝(ＢC﹣BG)=（BC﹣ＡD)=×(14﹣4）=5．答：ＥF的长为5.17、如图，在梯形ABCD中,AD∥BC，∠D＝90°,ＢE⊥AＣ,Ｅ为垂足,AC=BC.(1)求证:ＣD=BE；(2)若AＤ＝3，DC=4,求ＡE.(1)证明：∵ＡD∥BC，∴∠ＤAＣ=∠BＣE，而BE⊥AＣ,∴∠D＝∠ＢEC=90°,AＣ=BC，∴△BCE≌△CAＤ.∴CD＝BE.(2）解：在Rt△ADC中,根据勾股定理得AＣ==5,∵△BＣE≌△CAD，∴CE＝AD=3.∴AE＝ＡC﹣ＣE=2．18、如图，在梯形ＡBCD中，AＤ∥ＢC，ＡB⊥AC，∠B=45°,ＡD=1，BC=4,求DC的长.解：如图,过点Ｄ作DF∥ＡB,分别交ＡＣ,BC于点E，F．（1分)∵ＡB⊥AC,∴∠AED=∠ＢＡC=９0度.∵AD∥ＢC,∴∠DAE=1８0°﹣∠B﹣∠ＢAC=4５度．在Rt△ABＣ中,∠BAC＝90°，∠B=４５°,BC=4,∴ＡＣ＝BC•ｓin4５°=4×=2（2分）在Rt△ADE中,∠ＡEＤ=90°，∠ＤAE=4５°，ＡD=1,∴DE=AE=.∴CＥ=AC﹣AＥ=．(4分）在Rｔ△DEC中，∠ＣED＝9０°,∴DC==.（5分）１９、已知梯形ABCＤ中，AＤ∥BC，AB=BC=DC,点Ｅ、F分别在ＡD、AＢ上,且.（１)求证:BF＝EF﹣ED;(2）连接ＡC,若∠Ｂ=80°,∠DEC＝７0°，求∠ＡCＦ的度数.证明：∵FC=F′C，EC＝EC,∠ECＦ'=∠BCF+∠DCE=∠ＥCF，∴△FCE≌△F′CE,∴EF′＝EF=DF′+ED,∴BF=EF﹣ED;(２)解：∵AＢ＝BC,∠Ｂ=8０°,∴∠AＣB=50°，由（1)得∠FＥＣ=∠ＤEC＝７０°,∴∠ＥCB=70°,而∠Ｂ=∠BCD=80°，∴∠DCE＝10°,∴∠BCF=3０°，∴∠ACＦ=∠ＢＣA﹣∠BＣＦ＝20°．20、如图，梯形ＡBCD中,AD∥BC,点E在BC上,AＥ=BE，且ＡF⊥AB,连接ＥF．(1）若EF⊥ＡF,ＡＦ=４,AB＝6,求ＡＥ的长．(2）若点F是ＣD的中点,求证：CE=BE﹣AD．解：（１）作ＥＭ⊥AB，交ＡB于点Ｍ．∵AE=BE,EＭ⊥ＡＢ，∴AＭ=BM=×6＝3；∵∠AＭE＝∠MAF＝∠AFＥ=90°,∴四边形AＭEＦ是矩形，∴EF=ＡＭ＝３;在Ｒt△AFE中，AE＝＝5；(2)延长AＦ、ＢＣ交于点N.∵ＡD∥EN，∴∠DAＦ=∠N;∵∠AFD＝∠NFC,ＤF＝FＣ,∴△ADF≌△NCＦ（AAS），∴AD＝CN；∵∠B＋∠N=90°,∠BAE+∠EAN=９0°,又AE=BE,∠B＝∠BAE，∴∠N=∠ＥAN，ＡE=EＮ,∴BE=EN=EC＋ＣN=ＥC＋AD,∴ＣＥ=BE﹣AD．.2１、如图，四边形ＡBCD为等腰梯形，AD∥BC,AB=ＣD,对角线AＣ、BD交于点Ｏ，且AC⊥BD,DH⊥BC.(1)求证:DH=(ＡD+BC);(2)若AC=6,求梯形AＢＣD的面积．解:(1）证明：过D作DE∥AＣ交ＢC延长线于Ｅ，(1分）∵AＤ∥BC,∴四边形AＣED为平行四边形.(2分)∴ＣＥ＝AＤ，DＥ=ＡＣ.∵四边形ＡBCＤ为等腰梯形，∴BD=AC＝DE.∵AC⊥BD,∴DE⊥ＢD．∴△DBE为等腰直角三角形．(4分）∵DH⊥BC，∴ＤＨ=BE=（CE＋BC）=(AD＋BC）．(5分）(2）∵AＤ=CＥ，∴．(7分)∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE＝6，∴.∴梯形ABCＤ的面积为１8．(８分)注：此题解题方法并不唯一．22、已知,如图，△ABC是等边三角形,过AＣ边上的点D作DＧ∥BＣ，交AB于点G,在GD的延长线上取点Ｅ,使ＤE=DC,连接AE,BD．(1）求证:△AGＥ≌△ＤＡB;（２）过点E作EF∥ＤB，交BC于点F,连AF,求∠ＡFE的度数.（1）证明:∵△ＡBC是等边三角形，DG∥ＢC,∴∠AGＤ＝∠AＢC=60°,∠ADG＝∠ACＢ＝60°,且∠BAC=6０°,∴△AGD是等边三角形，AG=ＧＤ=ＡＤ,∠AGD=6０°.∵ＤＥ=DC，∴GE＝GD＋DE=AＤ＋DC=AC=ＡB，∵∠AＧD＝∠BＡD,AG=AD,∴△ＡGE≌△DAB;(2)解：由(1)知AＥ=BD，∠AＢＤ=∠ＡEG．∵ＥF∥ＤB，DG∥BC,∴四边形BFED是平行四边形.∴EF=BD，∴ＥF=AＥ.∵∠DＢC=∠ＤＥF,∴∠ABD＋∠ＤＢC＝∠AＥG＋∠ＤEF，即∠AEＦ=∠ＡBC=60°.∴△ＡFＥ是等边三角形,∠AＦＥ＝6０°．23、如图，梯形ABCD中,AD∥ＢＣ,ＤE=ＥＣ,ＥF∥AB交ＢＣ于点F,ＥＦ=ＥC，连接ＤF.（１）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2)若ＡD=１，BC=3,DC=，试判断△ＤＣF的形状；(3)在条件（2)下，射线BC上是否存在一点P,使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出ＰB的长；若不存在,请说明理由.解:(1)证明：∵EF=ＥＣ，∴∠EFC=∠EＣF,∵EＦ∥ＡB,∴∠Ｂ=∠EＦC，∴∠B＝∠ECF,∴梯形ABＣＤ是等腰梯形；（2)△DCF是等腰直角三角形，证明：∵ＤE＝EC,EＦ＝EC，∴EF=CD,∴△CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形)，∵梯形ABCＤ是等腰梯形,∴CF=(ＢC﹣AD）=1，∵ＤＣ=,∴由勾股定理得:ＤＦ＝1，∴△DCＦ是等腰直角三角形;（3）共四种情况：∵DF⊥BC,∴当PF=CF时，△PCＤ是等腰三角形，即PＦ＝1,∴PB=1；当P与F重合时,△PCD是等腰三角形,∴PB=２；当PC=CD=（P在点Ｃ的左侧)时，△ＰCD是等腰三角形，∴PＢ=３﹣；当PC=CD=(P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=３+.故共四种情况：PＢ=1，PB＝2，ＰB=３﹣，PB＝３＋.（每个１分)24、如图，在梯形ＡBCD中,AD∥BC,∠ＡBＣ=∠ＢCD=６0°，ＡD=ＤC，E、F分别在ＡD、DＣ的延长线上，且DＥ=CＦ.AF交ＢE于Ｐ.(1）证明:△ABE≌△DAF;（2）求∠BPＦ的度数.解答:(1)证明：∵在梯形ABCＤ中,ＡD∥ＢC,∠ABC=∠BCD=60°,∴AB＝CＤ,∵AD=DC,∴ＢA=AD，∠BAＥ=∠ADF＝120°，∵ＤE=CＦ,∴ＡE=DF，在△ＢＡＥ和△ＡDF中，，∴△ABE≌△ＤAＦ（SAS)．(2)解：∵由(1)△BAE≌△ＡDF,∴∠ＡBＥ＝∠DAF.∴∠BPF=∠ABＥ+∠BAP=∠ＢAE．而AD∥BＣ,∠C=∠AＢC=60°，∴∠BPF＝1２０°．25、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC，ＡＢ=ＡD=DＣ，ＢＤ⊥DＣ,将BC延长至点F,使CF=CD．(1)求∠ABC的度数；(2)如果BC=8,求△DBＦ的面积？解答:解：（1）∵ＡD∥ＢC,∴∠ADB＝∠DＢC,∵AB=AD,∴∠ADB=∠ＡＢD,∴∠ＤＢC＝∠AＢＤ，∵在梯形ABCD中ＡB=DＣ,∴∠ＡBＣ=∠DＣB=2∠ＤBＣ，∵ＢＤ⊥DC，∴∠DBC+2∠ＤＢC=90°∴∠ＤBC＝30°∴∠AＢC=6０°（2)过点D作DＨ⊥BC,垂足为H,∵∠DBC=30°，BＣ=8,∴DＣ=4，∵ＣF=CD∴ＣＦ=4，∴BF=12,∵∠F+∠ＦＤＣ＝∠DCB=60°，∠F=∠FDC∴∠Ｆ=30°,∵∠ＤBC=30°,∴∠F＝∠DBC,∴DＢ=DF,∴，在直角三角形DBH中,∴,∴,∴,即△DＢF的面积为.26、如图，梯形ABCＤ中，AD∥BC,AB=DC=10ｃm,AC交BＤ于G，且∠AGD=６0°,E、F分别为CG、AB的中点.（1)求证：△AGD为正三角形；（2)求EF的长度．(1)证明：连接BE,∵梯形ＡＢＣD中,AB=DC,∴AC＝ＢＤ,可证△ABＣ≌△ＤCB,∴∠ＧCB=∠GＢC,又∵∠ＢGC＝∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形,(2)解：∵BE为△BＣG的中线,∴ＢE⊥AＣ,在Rt△ABE中,EF为斜边AB上的中线,∴EF=AＢ=5cｍ.2７、已知,如图,ＡD∥ＢC,∠ＡBC=90°,ＡB=BC，点E是AB上的点,∠ＥCD=45°,连接ＥD，过Ｄ作DＦ⊥BC于F．(1）若∠BEＣ=7５°，ＦC=3,求梯形AＢCD的周长．（２)求证:ED＝BE＋FＣ．解：（1)∵∠BEＣ=75°,∠ABC=90°,∴∠ECB=15°，∵∠ECD=45°，∴∠ＤCF=60°,在Ｒt△DFC中:∠ＤCＦ=60°,FC=3,∴DF=３，DC=6,由题得,四边形ABFＤ是矩形,∴AＢ＝DF=3,∵AB＝BＣ,∴BC＝3,∴BF＝BC﹣ＦＣ＝3﹣3，∴AD=ＤF=３﹣3，∴C梯形ＡBCＤ=3×2+6+3﹣3=９+3,答:梯形ABCD的周长是9＋3．(2）过点C作CM垂直AD的延长线于Ｍ,再延长ＤＭ到N，使MN＝BE, ∴CＮ=CＥ，可证∠NＣD=∠ＤCE,∵CD=ＣD，∴△DEＣ≌△DＮC,∴ＥD=ＥN,∴EＤ=BＥ＋FC．2８、(２005•镇江）已知:如图,梯形ABＣＤ中，AD∥ＢC,Ｅ是AB的中点,直线CE交DA的延长线于点F. （１）求证:△ＢCE≌△AＦE；（2）若AB⊥ＢC且ＢC=4,AB＝6，求EF的长．（1）证明:∵ＡD∥ＢC,E是AB的中点,∴AE=BＥ,∠B=∠EAF,∠BCE=∠F．∴△BCE≌△AＦＥ(AAS).(2)解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°.∵AE＝BＥ，∠ＡEF=∠BEC，∴△BCE≌△AＦE．∴AF=BＣ=４．∵EF2=AF2+AE２=9+16=25，∴EF=5.２9、已知：如图,在梯形ＡBＣD中,AD∥ＢC,BC=DC,CF平分∠BCD，ＤF∥ＡB，BF的延长线交DC于点E.求证:（1)△ＢFＣ≌△DFＣ;（2）ＡD＝DE；（3)若△DＥF的周长为6,ＡD=2,BC=5，求梯形ABCD的面积．（１）∵DC=ＢC,∠１＝∠2，CF=ＣF,∴△DCF≌△BCF．(2）延长DF交ＢC于G，∵ＡD∥BG，AB∥DＧ，∴四边形AＢGD为平行四边形．∴AＤ=ＢG．∵△DFＣ≌△BＦC，∴∠EＤF=∠GBＦ，DＦ=ＢF．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFＧ．∴DE=ＢＧ,EＦ=ＧF.∴ＡD＝DＥ．(3）∵EF=GF，ＤF＝BF,∴EF＋ＢF＝GF＋ＤF，即:BE＝DG．∵ＤG=ＡＢ,∴ＢE=ＡＢ.∵Ｃ△ＤＦE=ＤF+FＥ+DＥ＝6，∴BF+FE＋DＥ＝6,即：EB+DE=６.∴AB+ＡD=6.又∵ＡD＝2,∴AB=4.∴DG=ＡB=4.∵BG＝AD=2，∴GC=BＣ﹣BG＝5﹣2＝3．又∵ＤC=BC=５，在△ＤGC中∵42+３2=5２∴DG２+GC2=DC2∴∠DGC=90°．∴S梯形ABCD=（AD＋BC)•ＤG=(2+５）×4=14.30、如图,梯形ABCD中，AD∥ＢC.∠C=90°，且ＡB=AＤ.连接BD,过A点作ＢD的垂线，交BＣ于Ｅ．（1）求证：四边形ABEＤ是菱形;(2）如果EC=３cm，ＣＤ＝4cm,求梯形ABＣD的面积.解答：解:(1）证明:∵AＤ∥BC，ＤE２＝CＤ２+CE2=4２+３２=25,∴∠OAD=∠OＥＢ，∴DE＝5又∵ＡB=ＡD，ＡＯ⊥BD，∴AD=ＢE=５，∴OＢ＝ＯD，∴S梯形ＡＢCＤ=．又∵∠AOD=∠ＥOＢ，∴△ADO≌△EBO(AAＳ),∴AＤ=ＥＢ,又∵ＡD∥ＢE,∴四边形AＢCＤ是平行四边形,又∵AＢ=ＡD∴四边形ＡBCＤ是菱形.(２)∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DＥ=BE,。
重庆中考复习重庆中考几何题分类汇编含答案
重庆中考几何题分类汇编含答案类型1线段的倍分：要证线段倍与半;延长缩短去实验例1如图Z3－1;在△ABC中;AB＝AC;CM平分∠ACB交AB于M;在AC的延长线上截取CN ＝BM;连接MN交BC于P;在CB的延长线截取BQ＝CP;连接MQ.1求证：MQ＝NP；2求证：CN＝2CP.针对训练：1．如图Z3－2;在ABCD中;AC⊥BC;点E、点FAC＝AE＝CF;连接CE、AF、EF.1若∠ABC＝35°;求∠EAF的度数；2若CE⊥EF;求证：CE＝2EF.2．已知;在△ABC中;AB＝AC;∠BAC＝90°;E为边AC点;连接BE.1如图①;若∠ABE＝15°;O为BE中点;连接AO;且AO的长；2如图②;F也为AC上一点;且满足AE＝CF;过A作AD⊥连接DF交BE于点G;连接AG.若AG平分∠CAD;求证：AH＝AC.3．在△ACB中;AB＝AC;∠BAC＝90°;点D是AC上一点;连接BD;过点A作AE⊥BD于E;交BC于F.1如图①;若AB＝4;CD＝1;求AE的长；2如图②;点G是AE上一点;连接CG;若BE＝AE＋AG;求证：CG＝AE.4．在等腰直角三角形ABC中;∠BAC＝90°;AB＝AC;D是斜边BC的中点;连接AD.1如图①;E是AC的中点;连接DE;将△CDE沿CD翻折到△CDE′;连接AE′;当AD＝时;求AE′的值．2如图②;在AC上取一点E;使得CE＝AC;连接DE;将△CDE沿CD翻折到△CDE′;连接AE′交BC于点F;求证：DF＝CF.类型2线段的和差：要证线段和与差;截长补短去实验例2如图;在△ABC中;∠BAC＝90°;BA;连接AD;在AD左侧作∠EAD＝451若AC＝3;则CE＝________2如图①;M、N分别为AB和AC且AM＝AN;连接EM、DN;若∠AME＋∠AND＝180°;求证：DE＝DN＋ME；3如图②;过E作EF⊥AE;交ADEC上选取一点H;使得EH＝BE;连接FH;在AC上选取一点G;使得AG＝AB;连接BG、FG;求证：FH＝FG.针对训练：1．如图Z3－7;在ABCD中;AE⊥BC于E;AE＝G;延长GE、DC交于点F;连接AF.1若BE＝2EC;AB＝;求AD的长；2求证：EG＝BG＋FC.2．如图;在正方形ABCD中;点P为AD延长线上一点;连接AC、CP;过点C作CF⊥CP 于点C;交AB于点F;过点B作BM⊥CF于点N;交AC于点M.1若AP＝AC;BC＝4;求S△ACP；2若CP－BM＝2FN;求证：BC＝MC.3．如图;在△ABC中;AB＝BC;以AB为一边向形ABDE;连接DC;EB并延长EB交AC于F;且AE 于G.1若∠EBG＝20°;求∠AFE；2试问线段AE;AF;CF之间的数量关系并证明．类型3倍长中线：三角形中有中线;延长中线等中线例3如图Z3－10①;在Rt△ABC中;∠ABC＝90°;D为斜边AC上两点;且AD＝AB;CE＝CB;连接BD、1求∠EBD的度数；2如图Z3－10②;过点D作FD⊥BD于点D;交BEF;在AB上选取一点H;使得BH＝BC;连接CH;在一点G;使得GD＝CD;连接FH、FG;求证：FH＝FG.针对训练：1．如图;已知在ABCD中;G为BC的中点;点E在AD边上;且∠1＝∠2.1求证：E是AD中点；2若F为CD延长线上一点;连接BF;且满足∠3＝∠2;求证：CD＝BF＋DF.2．如图Z3－12;在菱形ABCD中;点E、F分别是BC、CD上的点;连接AE;AF;DE、EF;∠DAE＝∠BAF.1求证：CE＝CF；2若∠ABC＝120°;点G是线段AF的中点;连接DG;EG.求证：DG⊥GE.3．在Rt△ABC中;∠ACB＝90°;点D与点B在;∠ADC＞∠BAC;且DA＝DC;过点B作BE∥DA交于点E;M为AB的中点;连接MD;ME.1如图①;当∠ADC＝90°时;线段MD与ME________；2如图②;当∠ADC＝60°时;试探究线段MD数量关系;并证明你的结论；3如图③;当∠ADC＝α时;求的值．4．如图①;等边三角形ABC中;CE平分∠ACB;D为BC边上一点;且DE＝CD;连接BE.1若CE＝4;BC＝6;求线段BE的长；2如图②;取BE中点P;连接AP;PD;AD;求证：AP⊥PD且AP＝PD；3如图③;把图Z3－14②中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度;然后连接BE;点P为BE中点;连接AP;PD;AD;问第2问中的结论还成立吗若成立;请证明；若不成立;请说明理由．5．在△ABC中;以AB为斜边;作直角三角形ABD;使点D落在△ABC内;∠ADB＝90°.1如图①;若AB＝AC;∠BAD＝30°;AD＝6;点P、M分别为BC、AB边的中点;连接PM;求线段PM的长；2如图②;若AB＝AC;把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度;得到△ACE;连接ED并延长交BC于点P;求证：BP＝CP；3如图③;若AD＝BD;过点D的直线交AC于点E;交BC于点F;EF⊥AC;且AE＝EC;请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系不需要证明．类型4中位线：三角形中两中点;连接则成中位线例42017·河南如图①;在Rt△ABC中;∠A＝90°;AB＝AC;点D;E分别在边AB;AC上;AD＝AE;连接DC;点M;P;N分别为DE;DC;BC的中点．1观察猜想：图①中;线段PM与PN的数量关系是__________;位置关系是__________；2探究证明：把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置;连接MN;BD;CE;判断△PMN 的形状;并说明理由；3拓展延伸：把△ADE绕点A＝10;请直接写出△PMN面积的最大值．针对训练：1．如图①;在任意的三角形ABC以AB和AC为一边作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD;AB＝AE;AC＝AD;且∠BAE＋∠CAD＝180°;连接DE;延长CA交DE于F.1求证：∠CAB＝∠AED＋∠ADE；2若∠ACB＝∠BAE＝∠CAD＝90°;如图②;求证：BC＝2AF；3若在△ABC中;如图③所示;作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD;AB与DE交于点F;F为DE的中点;请问2中的结论还成立吗若成立;请给出证明;若不成立;请说明理由．2．如图;在△ABC和△ADE中;AB＝AC;AD＝AE;∠BAC＋∠EAD＝180°;△ABC不动;△ADE绕点A旋转;连接BE、CD;F为BE的中点;连接AF.1如图①;当∠BAE＝90°时;求证：CD＝2AF；2当∠BAE≠90°时;1的结论是否成立请结合图②说明理由．3．如图①;在等腰三角形ABC中;AB＝AC;在底边BC上取一点D;在边AC上取一点E;使AE＝AD;连接DE;在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC;交AD于点F.1求证：△ABF是等腰三角形；2如图②;BF的延长交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG;延长AC至点M;使GM＝AB;连接BM;点N是BG的中点;连接AN;试判断线段AN、BM之间的数量关系;并证明你的结论．类型5角的和差倍分图中有角平分线;关系现．角平分线平行线;;三线合一试试看．例5．如图;把△EFP放置在菱形ABCD中;顶点E;F;P分别在线段AB;AD;AC上;EP＝FP＝6;EF＝6;∠BAD＝60°;且＞6.1求∠EPF的大小；2若AP＝10;求AE＋AF的值．针对训练：1．已知：如图①;AD平分∠BAC;∠B＋∠C＝180°°;易知：DB＝DC.探究：如图②;AD平分∠BAC;∠ABD＋∠ACD;∠ABD＜90°;求证：DB＝DC.2．在△ACB中;AB＝AC;∠BAC＝90°;点D;连接BD;过点A作AE⊥BD于E;交BC于F.1如图①;若AB＝4;CD＝1;求AE的长；2如图②;点P是AC上一点;连接FP;若AP＝CD;求证：∠ADB＝∠CPF.3．已知;在ABCD中;∠BAD＝45°;AB＝BD;E为BC上一点;连接AE交BD于F;过点D 作DG⊥AE于G;延长DG交BC于H.1如图①;若点E与点C重合;且AF＝;求AD的长；2如图②;连接FH;求证：∠AFB＝∠HFB.4．如图;将正方形纸片ABCD沿EF折叠点E、F分别在边AB、CD上;使点B落在AD边上的点M处;点C落在点N处;MN与CD交于点P;连接EP.当点M在边AD上移动时;连接BM、BP.1求证：BM是∠AMP的平分线；2△PDM的周长是否发生变化证明你的结论．类型6旋转型全等问题：图中若有边相等;可用旋转做例6．△ABC中;∠BAC＝90°;AB＝AC;点D为直线点点D不与B;C重合;以AD为边在AD右侧作正方形ADEF;连接CF.1观察猜想：如图①;当点D在线段BC上时;①BC与CF关系为：________．②BC;CD;CF之间的数量关系为：___________；将结写在横线上2数学思考：如图Z3－25②;当点D在线段CB的延长线上时;结论①;②是否仍然成立若成立;请给予证明；若不成立;请你写出正确结论再给予证明．3拓展延伸：如图Z3－25③;当点D在线段BC的延长线上时;延长BA交CF于点G;连接GE.若已知AB＝2;CD＝BC;请求出GE的长．针对训练：1．在四边形ABCD中;∠B＋∠180°;对角线AC平分∠BAD.1如图①;若∠DAB＝120°;且∠B＝90°;试探究边AD、AB与对角线AC2如图②;若将1中的条件“∠B＝去掉;1中的结论是否成立请说明理由．3如图③;若∠DAB＝90°;探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．2．如图①;在正方形ABCD中;点E为边BC上一点;将△ABE沿AE翻折得△AHE;延长EH交边CD于F;连接AF.1求证：∠EAF＝45°；2延长AB;AD;如图②;射线AE、AF分别交正方形两个外角的平分线于M、N;连接MN;若以BM、DN、MN为三边围成三角形;试猜想三角形的形状;并证明你的结论．3．如图①;在正方形ABCD内有一点P;PA＝;PB＝;PC＝1;求∠BPC的度数．分析问题根据已知条件比较分散的特点;我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起;于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°;得到了△BP′A如图Z3－28②;然后连接PP′.1请你通过计算求出图Z3－28②中∠BPC的度数；2如图③;若在正六边形ABCDEF内有一点P;且PA＝2;PB＝4;PC＝2.请求出∠BPC的度数．重庆中考几何题分类汇编答案例1.证明：1∵AB＝AC;∴∠ABC＝∠ACB.∵∠MBQ＋∠ABC＝180°;∠ACB＋∠PCN＝180°;∴∠MBQ＝∠PCN.在△QBM和△PCN中;∴△QBM≌△PCNSAS．∴MQ＝NP.2过M作MG∥AC交BC于G;∵MG∥AC;∴∠MGB＝∠ACB;∠MGC＝∠PCN;∵由1知;∠ABC＝∠ACB;∴∠ABC＝∠MGB;∴MB＝MG;∵MB＝CN;∴MG＝CN.在△MGP和△NCP中;∴△MGP≌△NCPAAS．∴PG＝CP;∴CG＝CP＋PG;即CG＝2CP.∵CM平分∠ACB;∴∠BCM＝∠MCA;∵MG∥AC;∴∠MCA＝∠GMC;∴∠BCM＝∠GMC;∴MG＝CG;∵MG＝CN;∴CN＝CG;∴CN＝2CP.针对训练1.解：1∵AC⊥BC;∴∠ACB＝90°;又∵AC＝CF;∴∠45°;∵∠ABC＝35°;∴∠EAF＝10°；2证明：方法1：取CF的中点M;连接EM、AM;∵CE⊥EF;∴EM＝CM＝FM＝CF;又∵AC＝AE;∴AM为EC的中垂线;∴∠CAM＋°; 又∵∠ECF＋∠ACE＝90°;∴∠CAM＝∠FCE;又∵∠CEF＝∠ACM＝90°;∴△ACM∽△CEF;∴＝;又∵CF＝AC＝2CM;∴＝＝;即CE＝2EF；方法2：延长FE至M;使EF＝EM;连接CM;∵CE⊥EF;∴△CMF为等腰三角形;又∵AC＝AE＝CF;且∠ACE＝∠CFE易证;∴△CMF≌△CEA;∴FM＝CE＝2EF.2.解：1如图①;在AB上取一点M;使得BM＝ME;连在Rt△ABE中;∵OB＝OE;∴BE＝2OA＝2;∵MB＝ME;∴∠MBE＝∠MEB＝15°;∴∠AME＝∠MBE＋∠MEB＝30°;设AE＝x;则ME＝BM＝2x;AM＝x;∵AB2＋AE2＝BE2;∴2x＋x2＋x2＝22;∴x＝负根舍弃;∴AB＝AC＝2＋·;∴BC＝AB＝＋1.2证明：如图②;作CP⊥AC;交AD的延长线于P;GM⊥AC 于M.∵BE⊥AP;∴∠AHB＝90°;∴∠ABH＋∠BAH＝90°;∵∠BAH＋∠PAC＝90°;∴∠ABE＝∠PAC;又∵AB＝AC;∠BAE＝∠ACP＝90°;∴△ABE≌△CAP;∴AE＝CP＝CF;∠AEB＝∠P;在△DCF和△DCP中;∴△DCF≌△DCP;∴∠DFC＝∠P;∴∠GFE＝∠GEF;∴GE＝GF;∵GM⊥EF;∴FM＝ME;∵AE＝CF;∴AF＝CE;∴AM＝CM;在△GAH和△GAM中;∴△AGH≌△AGM;∴AH＝AM＝CM＝AC.3.解：1∵AB＝4;∴AC＝AB＝4.∵CD＝1;∴AD＝AC－CD＝3.∵在Rt△ABD中;∠BAC＝90°;∴BD＝＝5;∵S＝AB·AD＝AE·BD;∴AE＝2.4.△ABD2证明：如图;在线段EB上截取EH＝AE;并连接∵AE⊥BD;EH＝AE;∴AH＝AE.∵BE＝AE＋AG;∴BH＝BE－HE＝AG.∵∠BAD＝∠BEA＝90°;∴∠ABE＋∠BAE＝∠CAG＋∠BAE＝90°;∴∠ABE＝∠CAG.∵BA＝AC;∴△ABH≌△CAG;∴CG＝AH＝AE.4.解：1∵∠BAC＝90°;AB＝AC;D是斜边BC的中点;∴∠ADC＝90°;∠ACD＝45°.在Rt△ADC中;AC＝AD÷sin45°＝2.∵E是AC的中点;∴CE＝AC＝.∵将△CDE沿CD翻折到△CDE′;∴CE′＝CE＝;∠ACE由勾股定理;得AE′＝＝.2证明：如图;过B作AE′的垂线交AD于点G;交AC于点∵∠ABH＋∠BAF＝90°;∠CAF＋∠BAF＝90°;∴∠ABH＝∠CAF.又∵AB＝AC;∠BAH＝∠ACE′＝90°;∴△ABH≌△CAE′.∴AH＝CE′＝CE;∵CE＝AC;∴AH＝HE＝CE.∵D是BC中点;∴DE∥BH;∴G是AD中点．在△ABG和△CAF中：AB＝AC;∠BAD＝∠ACD＝45°;∠ABH＝∠CAF; ∴△ABG≌△CAF.∴AG＝CF.∵AG＝AD;∴CF＝AD＝CD.∴DF＝CF.类型2线段的和差：要证线段和与差;截长补短去实验例2：解：132证明：延长DN到K;使得NK＝ME;连接AK;如图①;因为∠1＋∠3＝180°;∠1＋∠2＝180°;∴∠2＝∠3.在△AME和△ANK中;∴△AME≌△ANK SAS．∴AE＝AK;∠4＝∠5;∴∠4＋∠EAC＝90°;∴∠5＋∠EAC＝90°;即∠EAK＝∵∠EAD＝45°;∴∠KAD＝∠EAK－∠EAD＝90°－45∴∠EAD＝∠KAD.在△EAD和△KAD中;∴△EAD≌△KAD SAS;∴ED＝KD.∵DK＝DN＋KN;∴ED＝DN＋KN;又NK＝ME;∴ED＝DN＋ME.3证明：延长AE到J;使得EJ＝AE;连接JH;JF.如图②;在△ABE和△JHE中;∴△ABE≌△JHESAS;∴JH＝AB;∠1＝∠2;∵AB＝AG;∴JH＝AG;∵AE＝EJ;EF⊥AJ;∴AF＝JF;∴∠JAF＝∠AJF＝45°;即∠2＋∠3＝45°;∵∠BAC＝90°;∴∠1＋∠EAD＋∠4＝90°;∴∠1＋∠4＝90°－∠EAD;＝90°－45°＝45°;∵∠1＝∠2;∴∠3＝∠4;在△JHF和△AGF中;∴△JHF≌△AGFSAS;∴FH＝FG.针对训练：1.解：1∵四边形ABCD是平行四边形;∴AD＝BC.∵BE＝2EC;设CE＝x;BE＝2x;∴BC＝AD＝AE＝3x.又∵EG⊥AB;∴∠AEB＝90°;∴AB2＝AE2＋BE2;即13＝9x2＋4x2;∴x＝1;∴AD＝3x＝3.2证明：如图;过C作CH⊥AB于H;则四边形CHGF为矩形．∴CF＝HG;∠CHB＝90°;GF＝CH.∵AE⊥BC;EG⊥AB;∴∠AEB＝∠CHB＝90°;∠BCH＋∠B＝90°;∠BAE＋∠B＝90°;∴∠BCH＝∠BAE.又∵AE＝BC;∴△AGE≌△CHB;∴GE＝BH;AG＝GF;∴GE＝BH＝BG＋GH＝BG＋CF.2.解：1∵四边形ABCD是正方形;BC＝4;∴AB＝AD＝CD＝BC＝4;∠ADC＝∠ABC＝90°.∵在Rt△ABC中;AC＝＝4;∴AP＝AC＝;∴S＝AP·CD＝7.△ACP2证明：方法一：如图①;在NC上截取NK＝NF;连接BK.∵四边形ABCD是正方形;∴AB＝BC＝DC;∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°.∵∠BCD＝90°;CF⊥CP;∴∠1＋∠DCF＝∠2＋∠DCF＝90°;∴∠1＝∠2;∵在△FBC和△PDC中;∴△FBC≌△PDCASA;∴CF＝CP;∵CP－2FN＝BM;∴CF－FK＝BM;即CK＝BM;∵∠FBC＝90°;BM⊥CF;∴∠1＋∠NBC＝∠4＋∠NBC; ∴∠1＝∠4;∵在△ABM和△BCK中;∴△ABM≌△BCKSAS;∴∠7＝∠6.∵BM⊥CF;NK＝NF;∴BF＝BK;∵BF＝BK;BM⊥CF;∴∠4＝∠∴∠4＋∠7＝∠5＋∠6;∵∠8＝∠4＋∠7;∴∠8＝∠MBC;∴BC＝MC.解：方法二：如图②;延长BM交AD于点G;过A作AE⊥BGE先证△AEB≌△BNCAAS;∴AE＝BN;又证△AEG≌△BNFAAS;∴EG＝NF;再证四边形BCPG为平行四边形;∴BG＝CP;∵CP－BM＝2FN;∴BG－BM＝2EG;∴MG＝2EG;∴点E为MG中点;∵AE⊥MG;EM＝EG;∴AM＝AG;∴∠3＝∠4;∵∠2＝∠3;∠1＝∠4;∴∠1＝∠2;∴BC＝MC.3.解：1∵∠EBG＝20°;CB⊥AE;∴∠BEG＝70o;∠CBF＝∠EBG＝20°;∵四边形ABDE是菱形;∴∠ABE＝∠BEG＝70°;∴∠ABG＝50°;∵AB＝BC;∴∠FCB＝25°;∴∠AFE＝∠CBF＋∠FCB＝45°；2AE;AF;CF之间的数量关系是AF2＋CF2＝2AE2;证明如下：连接DF;∵四边形ABDE是菱形;∴AB＝DB;∠DBE＝∠ABE;∴∠DBF＝∠ABF;∵BF＝BF;∴△DBF≌△ABFSAS;∴DF＝AF;∠BDF＝∠BAF;∵∠BCF＝∠BAF;∴∠BCF＝∠BDF; ∵CB⊥AE;AE∥DB;∴DB⊥CB;∵CB＝AB＝BD;∴△DBC是等腰直角三角形;∴DC＝BD＝AE;∵∠DPB＝∠CPF;∴∠CFP＝∠DBP＝90°;∴DF2＋CF2＝DC2; 即有：AF2＋CF2＝2AE2.类型3倍长中线：三角形中有中线;延长中线等中线例3解：1设∠BEC＝α;∠BDA＝β;则∠C＝180°－2α;∠A＝180°－2β.∵在Rt△ABC中;∠ABC＝90°;∴∠A＋∠C＝90°;即180°－2α＋180°－2β＝90°;∴α＋β＝135°;∴∠EBD＝45°.2证明：法一：如图①;延长BD至点B′;使得DB′＝在△GDB′和△CDB中;∴△GDB′≌△CDB.∴GB′＝BC＝BH;∠GB′D∵FD⊥BD;BD＝DB′;∴FB＝FB′.∵∠FB′G＝45°－∠GB′D;∠HBF＝90°－45°－∠CBD＝45°－∠CBD;∴∠FB′G＝∠HBF.在△FHB和△FGB′中;∴△FHB≌△FGB′;∴HF＝GF.法二：如图②;延长FD至点F′;使得DF′＝DF;先证△DGF≌△DCF′;再证△BHF≌△BCF′;∴HF＝GF.针对训练1.证明：1∵四边形ABCD是平行四边形;∴AB＝CD;AD＝BC;∠A＝∠C.又∵∠1＝∠2;∴△ABE≌△CDG ASA;∴AE＝CG.∵G为BC中点;∴CG＝BC;∴AE＝CG＝BC＝AD;∴E是AD中点．2如图;延长BE;CD交于点H.∵四边形ABCD是平行四边形;∴AB綊CD;∴∠A＝∠ADH;∠1＝∠4;又∵∠1＝∠2;∠3＝∠2;∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4;∴FH＝FB.由1;E是AD中点;∴AE＝DE;∴△ABE≌△DHEAAS;∴AB＝DH;∴CD＝AB＝DH＝DF＋FH＝DF＋BF;即CD＝BF＋DF.2.证明：1在菱形ABCD中;AB＝BC＝CD＝AD;∠ADF＝∠ABE; ∵∠DAE＝∠BAF;∴∠DAE－∠EAF＝∠BAF－∠EAF;即∠DAF＝∠BAE.∴△DAF≌△BAE;∴BE＝DF.又∵BC＝CD;∴CE＝CF2如图;延长DG交AB于H;连接EH;∵在菱形ABCD中;AB∥CD;∴∠DFA＝∠GAH.∵G为AF中点;∴AG＝GF.又∵∠DGF＝∠AGH;∴△DGF≌△HGA.∴DG＝又∵AB＝CD;∴BH＝CF.又∵AB∥CD;∠ABC＝120°;∴∠C＝60°.又∵CE＝CF;∴△CEF为等边三角形;∴CF＝EF;∠CFE＝60°;∴EF＝BH;∠DFE＝∠ABC＝120°.又∵BE＝DF;∴△EFD≌△HBE;∴HE＝ED;又∵HG＝DG;∴DG⊥GE.3.解：1MD=ME2MD＝ME.理由如下：如图①;延长EM交DA于点F.∵BE∥DA;∴∠FAM＝∠EBM.又∵AM＝BM;∠AMF＝∠BME;∴△AMF≌△BME;∴AF＝BE;MF＝ME.∵DA＝DC;∠ADC＝60°;∴∠BED＝∠ADC＝60°;∠ACD＝60°.∵∠ACB＝90°;∴∠ECB＝30°;∴∠EBC＝30°;∴CE＝BE;∴AF＝EC;∴DF＝DE;∴DM⊥EF;DM平分∠ADC;∴∠MDE＝30°.在Rt△MDE中;tan∠MDE＝＝.∴MD＝ME.3如图②;延长EM交DA于点F;∵BE∥DA;∴∠FAM＝∠EBM;又∵AM＝BM;∠AMF＝∠BME;∴△AMF≌△BME;∴AF＝BE;MF＝ME.延长BE交AC于点N;∴∠BNC＝∠DAC.∵DA＝DC;∴∠DCA＝∠DAC;∴∠BNC＝∠DCA;∵∠ACB＝90°;∴∠ECB＝∠EBC;∴CE＝BE;∴AF＝CE.∴DF＝DE;∴DM⊥EF;DM平分∠ADC;∵∠ADC＝α;∴∠MDE＝.∴在Rt△MDE中;＝tan∠MDE＝tan.4.解：1如图①;作EH⊥BC于点H.∵△ABC是等边三角形;∴∠ACB＝60°.∵CE平分∠ACB;∴∠ECH＝∠ACB＝30°;∵EC＝4;∠ECH＝30°;∴EH＝2;HC＝2.∵BC＝6;∴BH＝6－2＝4.在Rt△BHE中;BE2＝42＋22＝52;∴BE＝2.2如图②;延长DP至M;使DP＝PM;连接BM、AM.在△PDE和△PMB中;∴△PDE≌△PMB SAS．∴BM＝DE;∠1＝∠2.∴BM∥DE.∴∠MBD＋∠BDE＝180°.∵CE平分∠ACB;DE＝CD;∴∠BDE＝30°＋30°＝60∴∠MBD＝120°.∵△ABC是等边三角形;∴∠ABC＝60°;∴∠3＝60°.∵BM＝DE;DE＝CD;∴BM＝CD.在△ABM和△ACD中;∴△ABM≌△ACD SAS．∴AD＝AM;∠4＝∠5.∵PD＝PM;∴AP⊥PD.∵∠4＝∠5;∠BAD＋∠5＝60°;∴∠4＋∠BAD＝60°;即∠MAD＝60°.∴∠PAD＝∠MAD＝30°.∵在Rt△APD中;tan30°＝;∴AP＝PD.3第2问中的结论成立;理由如下：如图③;延长DP至使DP＝PN;连接BN、AN;取BE、AC交于点O.在△PDE∴△PDE≌△PNBSAS．∴BN＝DE;∠1＝∠2.∵DE＝CD;∴BN＝CD.∵∠AOB＝∠EOC;∴∠1＋∠3＋∠BAO＝∠2＋∠4＋∠DEC＋∠DCE.∵∠BAO＝60°;∠DEC＝∠DCE＝30°;∴∠1＋∠3∴∠3＝∠4.在△ABN和△ACD中;∴△ABN≌△ACDSAS．∴∠5＝∠6;AN＝AD.∵PD＝PN;∴AP⊥PD.∵∠NAC＋∠5＝60°;∴∠NAC＋∠6＝60°;即∠NAD＝60°.∴∠PAD＝∠NAD＝30°; ∵在Rt△APD中;tan∠PAD＝;∴AP＝PD.5.解：1∵∠ADB＝90°;∠BAD＝30°;AD＝6;∴cos∠BAD＝;∴＝;∴AB＝12.又∵AB＝AC;∴AC＝12;∴PM为△ABC的中位线;∴PM＝AC＝6.2证明：方法一：如图①;在截取ED上截取EQ＝PD;∵∠ADB＝90°;∴∠1＋∠2＝90°;又∵AD＝AE;∴∠2＝∠3;又∵∠3＋∠4＝90°;∴∠1＝∠4.在△BDP和△CEQ中;PD＝QE;∠1＝∠4;BD＝CE;∴△BDP≌△CEQ.∴BP＝CQ;∠DBP＝∠QCE;又∵∠5＝∠1＋∠DBP;∠6＝∠4＋∠QCE;∴∠5＝∠6;∴PC＝CQ;∴BP＝CP.方法二：如图②;过点B作EP的垂线交EP的延长线于点M;过C EP的垂线交EP于点N.∵∠ADB＝90°;∴∠1＋∠2＝90°;又∵AD＝AE;∴∠2＝∠3;又∵∠3＋∠4＝90°;∴∠1＝∠4;在△BMD和△CNE中;∠1＝∠4;∠BMD＝∠CNE＝90°;BD＝CE;∴△BMD≌△CNE.∴BM＝CN.在△BMP和△CNP中;∠5＝∠6;∠BMP＝∠CNP;BM＝CN;∴△BMP≌△CNP;∴BP＝CP.方法三：如图③;过点B作BM∥CE交EP略证△BMP≌△CEP;∴BP＝CP.3BF2＋FC2＝2AD2.类型4中位线：三角形中两中点;连接则成中位线例4:解：1PM=PN;PM⊥PN2△PMN为等腰直角三角形;理由如下：由题意知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形;∴AB＝AC;AD＝AE;∠BAC＝∠DAE＝90°;∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC;∴∠BAD＝∠CAE;∴△BAD≌△CAE;∴∠ABD＝∠ACE;BD＝CE.又∵M、P、N分别是DE、CD、BC的中点;∴PM是△CDE的中位线;∴PM∥CE且PM＝CE;∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE.同理;PN∥BD且PN＝BD;∠DBC＝∠PNC;又∵BD＝CE;∠ABD＝∠ACE;∴PM＝PN;∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ECD＋∠DCN＋∠CNP＝∠ACD＋∠ACE＋∠DCN＋∠CBD＝∠ACD＋∠DCN＋∠ABD＋∠CBD＝∠ACB＋∠ABC＝90°;∴PM⊥PN;∴△PMN为等腰直角三角形；3△PMN面积的最大值为.提示：在旋转的过程中;由2中的结论知△PMN为等腰直角三角形;S＝PN2＝BD2;当S△PMN有最大值时;则BD的值最大;由三角形三边关系可推断出当B、A、D三△PMN点共线时;BD的值最大;其最大值为14;此时S△PMN＝PN2＝BD2＝×14×14＝.针对训练：1.解：1证明：延长DA交BE于G点．∵∠BAE＋∠CAD＝180°;即∠EAG＋∠GAB＋∠CAD＝180°;∵∠GAB＋∠BAC＋∠CAD＝180°;∴∠EAG＝∠CAB.∵∠EAG＝∠AED＋∠ADE;∴∠CAB＝∠AED＋∠ADE.2证明：如图①;过E点作DA延长线的垂线;垂足为H.∴∠AHE＝∠ACB＝90°;由1可知;∠EAH＝∠BAC;又∵AE＝AB;∴△AHE≌△ACB;∴EH＝BC;AH＝AC.∵AC＝AD;∴AH＝AD.∵∠EHA＝∠FAD＝90°;∴AF∥EH.∵A为DH中点;∴AF为△DHE中位线;∴EH＝2AF;∴BC＝2AF.3成立．证明如下：如图②;延长DA至M点;使AM＝DA;连接EM;∵∠BAE＋∠CAD＝180°;∠CAD＋∠CAM＝180°;∴∠BAE＝∠CAM;∴∠BAE＋∠CAC＝∠CAM＋∠EAC;即∠BAC＝∠CAM.∵AM＝AD;AD＝AC;∴AM＝AC.又∵AB＝AE;∠BAC＝∠EAM;∴△BAC≌△EAM;∴BC＝EM.∵F、A分别为DE、DM中点;∴AF为△DEM中位线;∴EM＝2AF;∴BC＝2AF.2.解：1证明：∵∠BAC＋∠EAD＝180°;∠BAE＝90°;∴∠DAC＝90°;在△ABE与△ACD中;AE＝AD;∠BAE＝∠CAD＝90°;AB＝AC;∴△ABE≌△ACDSAS;∴CD＝BE;∵在Rt△ABE中;F为BE的中点;∴BE＝2AF;∴CD＝2AF.2成立;证明：如图;延长EA交BC于G;在AG上截取AH＝∵∠BAC＋∠EAD＝180°;∴∠EAB＋∠DAC＝180°;∵∠EAB＋∠BAH＝180°;∴∠DAC＝∠BAH;在△ABH与△ACD中;AH＝AD;∠BAH＝∠CAD;AB＝AC;∴△ABH≌△ACDSAS;∴BH＝DC;∵AD＝AE;AH＝AD;∴AE＝AH;∵EF＝FB;∴BH＝2AF;∴CD＝2AF.3.解：1证明：∵AB＝AC;∴∠ABD＝∠ACD;∵AE＝AD;∴∠ADE＝∠AED;∵∠BAD＋∠ABD＝∠ADE＋∠EDC;∠EDC＋∠ACD∴∠BAD＝2∠EDC;∵∠ABF＝2∠EDC;∴∠BAD＝∠ABF;∴△ABF是等腰三角形；2方法一：如图①;延长CA至点H;使AG＝AH;连接BH;∵点N是BG的中点;∴AN＝BH;∵∠BAD＝∠ABF;∠DAC＝∠CBG;∴∠CAB＝∠CBA;∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝AC;∠BAC＝∠BCA＝∵GM＝AB;AB＝AC;∴CM＝AG;∴AH＝CM;在△BAH和△BCM中;∴△BAH≌△BCMSAS;∴BH＝BM;∴AN＝BM;方法二：如图②;延长AN至K;使NK＝AN;连接KB;同方法一;先证△ABC是等边三角形;再证△ANG≌△KNB SAS;所以BK＝AG＝CM;然后可以证得∠ABK＝∠BCN＝120°;最后证△ABK≌△BCN SAS;所以BM＝AK＝2AN.类型5角的和差倍分例5：解：1如图;过点P作PG⊥EF于G.∵PE＝PF＝6;EF＝6;∴FG＝EG＝3;∠FPG＝∠EPG＝∠EPF.在Rt△FPG中;sin∠FPG＝＝＝.∴∠FPG＝60°;∴∠EPF＝2∠FPG＝120°.2如图;作PM⊥AB于M;PN⊥AD于N.∵AC为菱形ABCD的对角线;∴∠DAC＝∠BAC;AM＝AN;PM＝PN.在Rt△PME和Rt△PNF中;PM＝PN;PE＝∴Rt△PME≌Rt△PNF;∴NF＝ME.又∵AP＝10;∠PAM＝∠DAB＝30°;∴AM＝AN＝AP cos30°＝10×＝5.∴AE＋AF＝AM＋ME＋AN－NF＝AM＋AN针对训练：1.证明：如图;过D作DE⊥AB于E;过D作DF⊥AC于F;∵DA平分∠BAC;DE⊥AB;DF⊥AC;∴DE＝DF;∵∠B＋∠ACD＝180°;∠ACD＋∠FCD＝180°∴∠B＝∠FCD;在△DFC和△DEB中;∴△DFC≌△DEB;∴DC＝DB.2.解：1∵AC＝AB＝4;且CD＝1;∴AD＝AC－CD＝3.在Rt△ABD中;∠BAD＝90°;∴BD＝＝5;＝AB·AD＝AE·BD;∵S△ABD∴AE＝2.4.2证明：如图;取BC的中点M;连接AM交BD于点N.∵∠BAC＝90°;AB＝AC;点M为BC的中点;∴AM＝BM＝CM;AM⊥BC;∠NAD＝∠FCP＝45°;∴∠AMF＝∠BMN＝90°.∵AE⊥BD;∴∠MAF＋∠ANE＝∠MBN＋∠BNM＝90°;又∠ANE＝∠BNM;∴∠MAF＝∠MBN;∴△AMF≌△BMN;∴MF＝MN;∴AM－MN＝CM－MF;即AN＝CF.∵AP＝CD;∴AC－CD＝AC－AP;即AD＝CP.∴△ADN≌△CPF;∴∠ADB＝∠CPF.3.解：1∵AB＝BD;∠BAD＝45°;∴∠BDA＝45°;即∠ABD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形;∴当E、C重合时;BF＝BD＝AB.∵在Rt△ABF中;AB2＋BF2＝AF2;∴2BF2＋BF2＝2;∴BF＝1;AB＝2.在Rt△ABD中;AD＝＝＝2.2证明：如图;在AF上截取AK＝HD;连接BK.∵∠AFD＝∠ABF＋∠2＝∠FGD＋∠3且∠ABF＝∠FGD＝90°; ∴∠2＝∠3.在△ABK与△DBH中;∴△ABK≌△DBH;∴BK＝BH;∠6＝∠5.∵四边形ABCD是平行四边形;∴AD∥BC;∴∠5＝∠4＝45°;∴∠6＝∠5＝45°;∴∠7＝∠ABD－∠6＝45°＝∠5.在△BFK与△BFH中;∴△BFK≌△BFH.∴∠BFK＝∠BFH;即∠AFB＝∠HFB.4.解：1证明：由折叠知∠EMN＝∠ABC＝90°∴∠EMB＝∠EBM;∴∠EMN－∠EMB＝∠ABC－∠EBM;即∠BMP＝∠MBC.∵在正方形ABCD中;AD∥BC;∴∠AMB＝∠MBC;∴∠AMB＝∠BMP;∴BM是∠AMP的平分线．2△PDM的周长没有发生变化．证明如下：如图;过B作BQ∵∠A＝90°;且由1知BM是∠AMP的平分线;∴BA＝BQ;∵∠A＝∠MQB＝90°;∠AMB＝∠BMP;MB＝MB;∴△AMB≌△QMB AAS．∴MA＝MQ.∵BA＝BC;∴BQ＝BC;又∵∠BQP＝90°＝∠C;BP＝BP;∴Rt△BPC≌Rt△BPQ HL．∴PC＝PQ;∴△PDM的周长＝MD＋MP＋DP＝MD＋MQ＋QP＋PD＝MD＋MA＋PC＋PD＝AD＋DC＝2AD.∴△PDM的周长没有发生变化．类型6旋转型全等问题：图中若有边相等;可用旋转做实验例6：解：1①∵四边形ADEF是正方形;∴AD＝AF;AB＝AC;∵∠BAC＝∠DAF＝90°;∴∠BAD＝∠CAF;∴△DAB≌△FAC;∴∠B＝∠ACF;∴∠ACB＋∠ACF＝90°;即CF⊥BC；②∵△DAB≌△FAC;∴CF＝BD;∵BC＝BD＋CD;∴BC＝CF＋CD.2结论①成立;结论②不成立．∵四边形ADEF是正方形;∴AD＝AF;AB＝AC.∵∠BAC＝∠DAF＝90°;∴∠BAD＝∠CAF;∴△DAB≌△FAC;∴∠ABD＝∠ACF;CF＝BD;∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝∠ABD－∠ACB＝90°;即CF⊥BC；∵BC＝CD－BD;∴BC＝CD－CF.3如图;过A作AH⊥BC于H;过E作EM⊥BD于M;EN∵∠BAC＝90°;AB＝AC;∴BC＝AB＝4;AH＝CH＝BC∴CD＝BC＝1;∴DH＝3;同2证得△BAD≌△CAF;∴∠ABD＝∠ACF＝45°;∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝∴BC⊥CF;CF＝BD＝5.∵四边形ADEF是正方形;∴AD＝DE;∠ADE＝90°;∵BC⊥CF;EM⊥BD;EN⊥CF;∴四边形CMEN是矩形;∴NE＝CM;EM＝CN;∵∠AHD＝∠ADE＝∠EMD＝90°;∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°;∴∠ADH＝∠DEM;∴△ADH≌△DEM;∴EM＝DH＝3;DM＝AH＝2;∴CN＝EM＝3;EN＝CM＝3;∵∠ABC＝45°;∴∠BGC＝45°;∴△BCG是等腰直角三角形;∴CG＝BC＝4;∴GN＝1;∴EG＝＝.针对训练：1.解：1AC＝AD＋AB.证明如下：∵∠B＋∠D＝180°;∠B＝90°;∴∠D＝90°.∵∠DAB＝120°;AC平分∠DAB;∴∠DAC＝∠BAC＝60°;∵∠B＝90°;∴AB＝AC;同理AD＝AC.∴AC＝AD＋AB.21中的结论成立;理由如下：如图①;以C为顶点;AC为一边作∠ACE＝60°;∠ACE的另一边交AB的延长线于点E;∵∠BAC＝60°;∴△AEC为等边三角形;∴AC＝AE＝CE;∠E＝60°;∵∠ABC＋∠D＝180°;∠DAB＝120°;∴∠DCB＝60°;∴∠DCA＝∠ECB.在△DAC和△BEC中;∴△DAC≌△BEC;∴AD＝BE;∴AC＝AE＝AD＋AB.3AD＋AB＝AC.理由如下：如图②;过点C作CE⊥AC交AB的延长于点E;∵∠ABC＋∠D＝180°;∠DAB＝90°;∴∠DCB＝90°;∵∠ACE＝90°;∴∠DCA＝∠BCE;又∵AC平分∠DAB;∴∠CAB＝45°;∴∠E＝45°;∴AC＝CE.∴△CDA≌△CBE;∴AD＝BE;∴AD＋AB＝AE.∵在Rt△ACE中;∠CAB＝45°;∴AE＝＝AC;∴AD＋AB＝AC.2.解：1证明：∵四边形ABCD是正方形;∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°;AB＝AD;∵△ABE沿AE翻折得到△AHE;∴△ABE≌△AHE;∴AH＝AB＝AD;BE＝EH;∠AHE＝∠AHF＝∠B＝∠D＝90°.在Rt△AHF和Rt△ADF中;∴Rt△AHF≌Rt△ADFHL;∴∠HAF＝∠DAF;∴∠EAF＝∠EAH＋∠FAH＝∠BAH＋∠HAD＝∠BAD＝45°;2以BM;DN;MN为三边围成的三角形为直角三角形．证明如下：如图;过点A作AH⊥AN并截取AH＝AN;连接BH、HM;∵∠1＋∠BAN＝90°;∠3＋∠BAN＝90°;∴∠1＝∠3;在△ABH和△ADN中;∴△ABH≌△ADN SAS;∴BH＝DN;∠HBA＝∠NDA＝135°;∵∠HAN＝90°;∠MAN＝45°;∴∠1＋∠2＝∠HAM＝∠MAN＝45°;在△AHM和△ANM中;∴△AHM≌△ANM SAS;∴HM＝NM;∴∠HBP＝180°－∠HBA＝180°－135°＝45°;∴∠HBP＋∠PBM＝45°＋45°＝90°;∴△HBM是直角三角形;∵HB＝DN;HM＝MN;∴以BM;DN;MN为三边围成的三角形为直角三角形．3.解：1如图①;将△PBC绕点B逆时针旋转90°得△P△AP′B≌△CPB;∴P′B＝PB＝;P′A＝PC＝1;∠1＝∠2;∠AP′B＝∠BPC.∵四边形ABCD是正方形;∴AB＝BC;∠ABC＝90°;∴∠2＋∠3＝90°;∴∠1＋∠3＝90°;即∠P′BP＝90°;∴∠BP′P＝45°.在Rt△P′BP中;由勾股定理;得PP′2＝ 4. ∵P′A＝1;AP＝∴P′A2＝1;AP2＝5;∴P′A2＋PP′2＝AP2;∴△P′AP是直角三角形;∴∠AP′P＝90°;∴∠AP′B＝45°＋90°＝135°;∴∠BPC＝135°.2仿照分析中的思路;将△BPC绕点B逆时针旋转120°;得到了△BP′A;连接PP′;如图②.则△PBC≌△P′BA;∴P′B＝PB＝4;P′A＝PC＝2;∠BPC＝∠BP′A;∴△BPP′为等腰三角形;∵∠ABC＝120°;∴∠PBP′＝120°;∴∠BP′P＝30°;过点B作BG⊥PP′于G;则∠P′GB＝90°;∴PP′＝2P′G.∵P′B＝PB＝4;∠BP′P＝30°;∴BG＝2;∴P′G＝2.∴PP′＝4;在△APP′中;∵PA＝2;P′A＝2;PP′＝4;∴P′A2＋P′P2＝PA2;∴△PP′A是直角三角形;∴∠AP′P＝90°;∴∠BPC＝∠BP′A＝∠PP′B＋∠AP′P＝30°＋90°＝120°.。
重庆中考数学24题专题
重庆中考几何一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：过点H作HI⊥EG于I，∵G为CH的中点，∴HG=GC，∵EF⊥DC，HI⊥EF，∴∠HIG=∠GFC=90°，∠FGC=∠HGI，∴△GIH≌△GFC，∵△EBH≌△EIH（AAS），∴FC=HI=BH=1，∴AD=4-1=3．2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD 和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．（1）求证：CF=CG；（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．解答：（1）证明：连接AC，∵DC ∥AB ，AB=BC ，∴∠1=∠CAB ，∠CAB=∠2， ∴∠1=∠2；∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC ， ∴△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ；∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4， ∴△FDC ≌△GEC ，∴CF=CG ．（2）解：由（1）知，CE=CD=2， ∴BE=4CE=8，∴AB=BC=CE+BE=10，∴在Rt △ABE 中，AE= AB 2-BE 2=6，∴在Rt △ACE 中，AC= AE 2+CE 2=102由（1）知，△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ，AD=AE ，∴C 、A 分别是DE 垂直平分线上的点， ∴DE ⊥AC ，DE=2EH ；（8分） 在Rt △AEC 中，S △AEC =21 AE •CE=21AC •EH ， ∴EH=AC CE AE ⋅ =10226⨯ =5103∴DE=2EH=2×5103=5106 4、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点，点Q 是AB 上一点，连接CQ ，DP ⊥CQ于点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ；求证：（1）△BCQ ≌△CDP ； （2）OP=OQ ．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD ， ∴∠2+∠3=90°，又∵DP ⊥CQ ， ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3，在△BCQ 和△CDP 中，∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ． ∴△BCQ ≌△CDP ． （2）连接OB ． 由（1）：△BCQ ≌△CDP 可知：BQ=PC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC ， 而点O 是AC 中点， ∴BO=21AC=CO ，∠4=21∠ABC=45°=∠PCO ， 在△BCQ 和△CDP 中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO ∴△BOQ ≌△COP ， ∴OQ=OP ．5、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF.⑴求证：△ABE ≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值. 解：（1）证明：连结CE ， 在△BAE 与△FCB 中，∵ BA=FC ，∠A=∠BCF ，， AE=BC ， ∴△BAE ≌△FCB ；（2）延长BC 交EF 于点G ，作AH ⊥BG 于H ，作AM ⊥BG ，∵△BAE ≌△FCB ，∴∠AEB=∠FBG ，BE=BF ，∴△BEF 为等腰三角形，又∵AE ∥BC ， ∴∠AEB=∠EBG ，∴∠EBG=∠FBG ，∴BG ⊥EF ，∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°， ∴四边形AMGE 为矩形，∴AM=EG ， 在Rt △ABM 中，AM=AB •sin60°=6×23=33 ，∴EG=AM=33， BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，∴tan ∠EBC=531533==BG EG 6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 的中点，EF ∥AB 交BC 于点F（1）求证：BF=AD+CF ；ABDECF（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．（1）证明：如图（1），延长AD交FE的延长线于N∵∠NDE=∠FCE=90°∠DEN=∠FEC DE=EC∴△NDE≌△FCE ∴DN=CF ∵AB∥FN，AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形∴BF=AD+DN=AD+FC（2）解：∵AB∥EF，∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3，又∵∠2+∠BEF=∠3，∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，∴EF=BF，又∵ BC+AD=7+1∴ BF+CF+AD=8而由（1）知CF+AD=BF∴ BF+BF=8∴2BF=8，∴BF=4，∴BF=EF=47、已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD的面积．（1）证明：连接BF∵ABCD为矩形∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC∴△ABE为直角三角形∵F是AE的中点∴AF=BF=BE∴∠FAB=∠FBA∴∠DAF=∠CBF∵ AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF ,∴△DAF≌△CBF∴∠ADF=∠BCF∴∠FDC=∠FCD∴∠FGH=∠FHG ∴FG=FH ；（2）解：∵AC=CE ∠E=60° ∴△ACE 为等边三角形 ∴CE=AE=8 ∵AB ⊥BC ∴BC=BE=CE 21=4 ∴根据勾股定理AB=34 ∴梯形AECD 的面积=21×(AD+CE)×CD=21×(4+8)×34=3248、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，且CD=2AD ，tan ∠ABC=2，过点D 作DE ∥AB ，交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ． （1）求证：BC=CD ；（2）将△BCE 绕点C ，顺时针旋转90°得到△DCG ，连接EG ．求证：CD 垂直平分EG ； （3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点． 证明：（1）延长DE 交BC 于F ，∵AD ∥BC ，AB ∥DF ， ∴AD=BF ，∠ABC=∠DFC ． 在Rt △DCF 中，∵tan ∠DFC=tan ∠ABC=2， ∴CFCD=2， 即CD=2CF ， ∵CD=2AD=2BF ， ∴BF=CF ， ∴BC=BF+CF=21CD+21CD=CD ． 即BC=CD ．（2）∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE=∠DCE ， 由（1）知BC=CD ， ∵CE=CE ，∴△BCE ≌△DCE ， ∴BE=DE ，由图形旋转的性质知CE=CG ，BE=DG ， ∴DE=DG ，∴C ，D 都在EG 的垂直平分线上， ∴CD 垂直平分EG ． （3）连接BD ， 由（2）知BE=DE ， ∴∠1=∠2． ∵AB ∥DE ，∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．∵AD ∥BC ，∴∠4=∠DBC ．由（1）知BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∴∠4=∠BDP ． 又∵BD=BD ，∴△BAD ≌△BPD(ASA)∴DP=AD ． ∵AD=21CD ，∴DP=21CD ．∴P 是CD 的中点． 9．(2011南岸二诊)如图，已知点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ⊥DP ，交AB 于点E ，交CD 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接DF ．（1）若23=DF ，求DP 的长； （2）求证：CF AE =.10．如图，正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交CE 于N ． （1）线段AD 与NE 相等吗？请说明理由； （2）探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．11、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=10cm ，AC 交BD 于G ，且∠AGD=60°，E 、F 分别为CG 、AB 的中点．（1）求证：△AGD 为正三角形； （2）求EF 的长度．G 24题图PFEDCBA解答：（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．12、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）13．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且DE⊥AD于D，∠EBC=∠CDE,∠ECB=45°．⑴求证：AB=BE ；⑵延长BE ，交CD 于F ．若CE=2，tan ∠CDE =31，求BF 的长． 13．⑴证明：延长DE ，交BC 于G ．∵DE ⊥AD 于D ，∴∠ADE =90°又AD ∥BC ， ∴∠DGC =∠BGE =∠ADE =90°， 而∠ECB =45°, ∴△EGC 是等腰直角三角形， ∴EG=CG在△BEG 和△DCG 中，EBG CDG EGB CGD EG CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEG ≌△DCG (AAS ) ∴BE=CD=AB ⑵连结BD ．∵∠EBC=∠CDE ∴∠EBC +∠BCD =∠CDE +∠BCD =90°，即∠BFC =90° ∵CE=2，∴EG=CG=1又tan ∠CDE =31，∴13CG DG =，∴DG =3 ∵△BEG ≌△DCG ，∴BG=DG=3∴2210BE BG EG =+=∴CD=BE=10法一：∵1122BCDSBC DG CD BF ==，11431022BF ⨯⨯=⨯∴6105BF = 法二：经探索得，△BEG ∽△BFC ，∴BE BCBG BF=，∴1043BF = ∴6105BF = 14．如图，直角梯形ABCD 中，,90,45,AD BC ADC ABC AB ∠=∠=∥的垂直平分线EG 交BC 于F ，交DC 的延长线于.G求证：(1)CG CF =；(2).BC DG =AB CDEF证明：(1) ,AB EF ⊥ 45B ∠=904545EFB ∴∠=-=45CFG ∴∠=//,90AD BC ADC ∠=90FCG ∴∠=45,FCG ∴∠= CG CF =∴(2)连接AF ， EF 是AB 的中垂线,AF BF FE AB ∴=⊥45=∠=∠∴BFE AFE90=∠∴AFB DCB AFB ∠=∠∴BC AD CD AF //,// ∴,AF DC BF DC ∴=∴=由(1)知CG CF = ,CG DC CF BF +=+∴即：DG BC =二、有关“截长补短”题型1、在ABCD 中，对角线,BD BC G BD ⊥为延长线上一点且ABG ∆为等边三角形，BAD ∠、CBD ∠的平分线相交于点E ，连接AE BD F 交于，连接GE 。
重庆2021年中考数学26题几何专题(1)
重庆2021年中考数学26题几何专题（1）26（重庆八中2021级第二次定时练习）在ABC ∆中，=62AB AC =,90BAC ∠=,AD BC ⊥于点D ，E 为线段AD 上的一点，:2:1AE DE =,以AE 为直角边在直线AD 右侧构造等腰Rt AEF ∆，使90EAF ∠=,连接CE ，G 为CE 的中点.（1）如图1，EF 与AC 交于点H ，连接GH ，求线段GH 的长度.（2）如图2，将AEF ∆绕点A 逆时针旋转，旋转角为α且45135α<<，H 为线段EF 的中点，连接,DG HG ，猜想DGH ∠的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）如图3，连接BG ，将AEF ∆绕点A 逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出BG 长度的最大值.（重庆八中2021级入学测试）在R t△ABC 中，∠CAB=90︒，点D是边A B的中点，连接CD ，点E在边B C 上，且A E⊥CD交CD 于点F.（1）如图1，当∠ACB = 60︒时，若CD = 7，求AF 的长；（2）如图 2，当∠ACB = 45︒时，连接BF ，求证：CD +DF =AF +（3）如图3，当∠ACB = 75︒时，直接写出F A的值．CF2BF ；24. （重庆育才2021级入学测试）如图，平行四边形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，点M 为BC 上一点，连接AM ，且AB AM =，AE 为△ABC 边BM 的中线，AF AB ⊥,EG GD ⊥，延长FO 交AB 于点N .（1）若4BM =，6MC =,10AC =,求AM 的长度；（2）若45ACB ∠=,求证：2AN AF FG +=26.(西师附中2021级入学测试)在△ABC ，AB = BC ，∠ABC = 90︒（1）如图1，点D 在BC 上，DE ⊥BC 于点D ，连接BE ，若∠DBE = 60︒,AC=42,BD= 23求线段AE 的长（2）如图 2，点 D 在△ABC 内部，连接 AD ， BD ， CD ， F 是 CD 的中点，连接 BF ，若∠BAD = ∠CBF ，求证： ∠DBF = 45︒ ；（3）如图 3， A 点关于直线 BC 的对称点为 A ' ，连接 A 'C ，点 D 是△A 'AC 内部一动点，∠ADC = 90︒ ，若 AC = 4 ，当线段 A 'D 最短时，直接写出△ABD 的面积．26.（重庆南开中学2021级入学测试）如图1，正方形ABCD 中，G 为线段BC 上一点连接AG ，过G 做AG ⊥GE 交BC 于E ，连接AE 。
重庆中考数学20题典型的尺规作图+简单几何证明
20题典型的尺规作图+简单几何证明(一)编辑：天道酬勤尺规作图专题复习【知识回顾】1尺规作图的定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本，最常用的尺规作图。
通常称基本作图。
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成。
2、五种基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知线段的垂直平分线；④作已知角的角平分线;⑤过一点作已知直线的垂线；一．题目一:作一条线段等于已知线段已知:如图，线段a求作:线段AB，使AB=a作法:（1）作射线AP;（2）在射线AP上截取AB=a则线段AB就是所求作的图形。
二．题目二:作已知线段的中点。
已知:如图，线段MN求作:点O，使MO=NO（即O是MN的中点）作法:（1）分别以M、N为圆心，大于MN的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q （2）连接PQ交MN于O,则点O就是所求作的MN的中点.三．题目三:作已知角的角平分线。
已知:如图，∠AOB，求作:射线OP，使∠AOP=∠BOP（即OP平分∠AOB）。
作法:（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N;（2）分别以M、N为圆心，大于1MN的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB内于P;2（3）作射线OP.则射线OP就是∠AOB的角平分线。
四．题目四:作一个角等于已知角。
已知:如图，∠AOB。
求作;∠A＇O＇B＇，使∠A＇O＇B＇=∠AOB作法:（1）作射线O＇A＇（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N（3）以O＇为圆心，以OM的长为半径画弧，交O＇A＇于M＇;（4）以M＇为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N＇（5）连接O＇N＇并延长到B＇。
则∠A＇O＇B＇就是所求作的角。
五．题目五:经过直线上一点做已知直线的垂线。
已知:如图，P是直线AB上一点求作:直线CD，是CD经过点P，且CD⊥AB。
作法:（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、NMN的长为半径画弧，两弧交于点Q （2）分别以M、N为圆心，大于12（3）过D、Q作直线CD.则直线CD是求作的直线。
中考数学大几何专题训练
【中考大几何专题训练】一．解答题（共60小题）1．（2021•重庆）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH ＝BF；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP +MP最小时，直接写出△DPN的面积．第1页（共59页）2．（2021•重庆）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；的值．（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出第2页（共59页）3．（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF ＝AD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．第3页（共59页）4．△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积．第4页（共59页）5．（2021•渝中区校级开学）在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为线段AD上的一点，AE：DE＝2：1，以AE为直角边在直线AD右侧构造等腰Rt△AEF，使∠EAF＝90°，连接CE，G为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点H，连接GH，求线段GH的长度．（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α且45°＜α＜135°，H为线段EF的中点，连接DG，HG，猜想∠DGH的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）如图3，连接BG，将△AEF绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出BG长度的最大值．第5页（共59页）6．（2021春•沙坪坝区校级月考）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，DE⊥AB于点E，连接AD，F为AD中点，连接CF并延长交AB于点G，连接EF．（1）当∠DAB＝30°，BE＝2时，求DC的值；（2）如图2，当BE：AG＝3：4时，试判断AG2、GE2、CD2之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝4，M是AB中点，连接CM，三角形内有一点P到点M的距离是1，连接BP，将BP绕点P逆时针旋转90°得到PN，当线段AN长度取最大值时，设直线PN与直线BC的交点为H ，请直接写出的值．第6页（共59页）7．（2021•北碚区校级模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α，A、B的对应点分别为D、E．连接BE并延长，与AD交于点F．（1）如图1，若α＝60°，连接AE，求AE长度；（2）如图2，求证：BF＝DF+CF；（3）如图3，在射线AB上分别取点H、G（H、G不重合），使得BG＝BH＝1，在△ABC 旋转过程中，当FG﹣FH的值最大时，直接写出△AFG 的面积．第7页（共59页）8．（2020秋•九龙坡区校级期末）△ABC为等边三角形，CD⊥AB于点D，点E为边BC上一点，点F为线段CD上一点，连接EF，且CE＝EF．（1）如图1，若AB＝4，CE ＝，连接BF，G为BF的中点，连接DG，求线段DG的长；（2）如图2，将△CEF绕点C逆时针方向旋转一定的角度得到△CMN，连接BN，点H为BN的中点，连接AH、HM，求证：AH ＝HM；（3）如图3，在（2）问的条件下，线段HM与线段CN交于点P，连接AM，交线段CN于点Q，当CQ＝2PN＝a时，请直接用含a的式子表示PQ 的长．第8页（共59页）9．（2021春•渝中区校级月考）如图，在正方形ABCD中，点P为CB延长线上一点，连接AP．（1）如图1，以CD为边向内作等边△CDF，延长DF恰好交CB延长线于点P，若AB＝4，求tan∠PAB的值；（2）如图2，若∠APB＝60°，以CD为边向外作等边△CDF，连接AF，DE平分∠ADC交AF于点E，连接PE、CE．证明：PA+PC ＝PE；（3）如图3，若∠APB＝45°，AB＝2，点E为正方形内一点，连接AE，CE，DE，PE，当AE+DE+EC取最小值时，直接写出PE2的值．第9页（共59页）10．（2021春•江北区期中）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合）．在AD右侧，以AD为边作菱形ADEF，使∠．DAF＝60°，连接CF（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出∠AFC，∠DAC，∠ABC之间存在的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A，F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC，∠DAC，∠ABC 之间存在的等量关系．第10页（共59页）11．（2021春•沙坪坝区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC中点，点E是AC边上一动点，连接DE，在DE左侧作Rt△DEF，满足∠DFE＝90°，DF＝EF，连接AF并延长，交BC于点G．（1）如图1，若AB＝4，AE＝1，求DE的长；（2）如图2，在点E的运动过程中，猜想AF与FG存在的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在点E的运动过程中，将AF绕点F逆时针旋转90°，得到A′F，连接A'B，A'D，若AB＝4，请直接写出当A'B +A′D取得最小值时，△A′DF的面积．第11页（共59页）12．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为边AC上一动点．（1）如图1，若DC＝6，∠ABD＝15°，求BD的长；（2）如图2，以BD直角边作Rt△BDE，使得BD＝BE，连接AE，点F为AE中点，请猜想BF、AD、DE之间的关系，并说明理由；的最小值．（3）如图3，若AB＝4，当点D在运动过程中，点G为射线BC上一点，满足CD ＝BG，求AG +DG第12页（共59页）13．（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，在菱形ABCD中，分别过点B作BC的垂线，过点D作CD的垂线交于点E．（1）如图1，若∠ABC＝45°，连接AE，BD，求证：AE＝BD；（2）如图2，若∠ABC＝60°，点F是DE延长线上的一点，点G为EB延长线上的一点，且EF＝BG．连接BF、DG，DG交FB的延长线于点H，连接AH．试猜想线段AH、BH、HD的数量关系并证明你的结论．（3）如图3，在（2）的条件下，在AH上取一点P，使得HP＝2AP，已知Q为直线ED上一点，连接BQ，连接QP，当BQ+QP最小时，直接写出的值．第13页（共59页）14．（2021春•霞浦县期末）已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AEF中，∠ACB＝∠AFE＝90°，AC＝BC，AF＝EF，连接BE，点Q为线段BE的中点．（1）如图1，当点E在线段AC上，点F在线段AB上时，连接CQ，若AC＝8，EF＝2，求线段CQ的长度．（2）如图2，B、A、E三点不在同一条直线上，连接CE，且点F正好落在线段CE上时，连接CQ、FQ，求证：CQ＝FQ．（3）如图3，AC＝8，AE＝4，以BE为斜边，在BE的右侧作等腰Rt△BEP，在边CB上取一点M，使得MB＝2，连接PM、PQ，当PM的长最大时，请直接写出此时PQ2的值．第14页（共59页）15．（2020秋•北碚区校级期末）如图1，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，CE的延长线与BD交点P，CP与BA相交于点F，现将△ADE绕点A旋转．（1）如图1，求证：BP⊥CP；（2）如图2，若AF＝BF，猜想BP与CP的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）若AC ＝DE＝2，在将△ADE绕点A旋转的过程中，请直接写出点P运动路径的长度．第15页（共59页）16．（2020秋•南岸区期末）已知，矩形ABCD，点E在AB的延长线上，AG⊥CE，垂足为G．（1）如图1，若AB＝AD，求证：AG＝CG +BG；之间又存在怎样的数量关系？请写出你的结论，并证明你的结论．（2）如图2，若AB：AD ＝，则AG，CG，BG第16页（共59页）17．（2021•禹州市一模）（1）如图1．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝8，BC＝6，点D、E分别在边CA，CB上，且CD＝3，CE＝4，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是．（提示：延长CF到点M，使FM＝CF，连接AM）（2）将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为．第17页（共59页）18．（2021•大渡口区模拟）将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F，连接EF．（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．第18页（共59页）19．在△ABC和△BDE中，∠BDE＝∠BAC＝90°，AB＝AC，DB＝DE，BC＝2BE，点F为EC中点，连接DF、AF，△DBE绕着点B顺时针旋转．（1）如图1，BE旋转到BC边上时，若BD＝，求AF的长；（2）当△DBE旋转到图2位置时，求证：AF＝DF；（3）如图3，△DBE绕着点B顺时针旋转，其中BD ＝，当AF最小时，直接写出△ADE的面积．第19页（共59页）20．（2021•九龙坡区校级模拟）在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，AE ＝AC，连接EC，点G是EC中点，将△AEF 绕点A顺时针旋转．（1）如图1，若E恰好在线段AC上，AB＝2，连接FG，求FG的长度；（2）如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB＝AB+GC；（3）如图3，若AB＝3，在△AEF旋转过程中，当GB ﹣GC最大时，直接写出直线AB，AC，BG所围成三角形的面积．第20页（共59页）21．（2021春•北碚区校级月考）在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，延长BA至点D，延长AC至点E，使得BD＝AE，DH交BC于点F，过点B作BH⊥BA交DF延长线于点H，连接DE、EH．（1）如图1，若AD＝BH，EH＝2，DH＝2，求点H到DE的距离；（2）如图2，若点F为BC的中点，连接EF，求证：EH＝EC+HB；（3）如图3，若AB＝2，点N、F分别为线段AC、BC上的点，满足BF ＝CN，连接FN，将△CFN绕点F顺时针旋转90°，点N旋转后的对应点为点M，连接AM，直接写出AM的最小值．第21页（共59页）22．（2021•渝中区校级自主招生）如图，在△ABC与△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，BC＝AC，ED＝FD，点D在AB上．（1）如图1，若点F在AC的延长线上，连接AE，探究线段AF、AE、AD之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若点D与点A重合，且AC＝3，DE＝4，将△DEF绕点D旋转，连接BF，点G为BF的中点，连接CG，在旋转的过程中，求CG+BG的最小值；（3）如图3，若点D为AB的中点，连接BF、CE交于点M，CE交AB于点N，且BC：DE：ME＝7：9：10，请直接写出的值．第22页（共59页）23．（2021春•渝中区校级月考）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；（2）如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系；（3）如图③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系（用含α的式子表示）．第23页（共59页）24．（2019春•成都期末）等腰直角三角形OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB，点D为OA中点，DC⊥OB，垂足为C，连接BD，点M为线段BD中点，．连接AM、CM，如图①（2）将图①中的△OCD绕点O逆时针旋转90°，连接BD，点M为线段BD中点，连接AM、CM、OM，如图②．①求证：AM＝CM，AM⊥CM；②若AB＝4，求△AOM的面积．第24页（共59页）25．（2021春•渝北区校级月考）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，将过点A的直线l绕点A旋转，交射线CD于点E，BF⊥l于点F，DG⊥l于点G，连接OF，OG（1）如图①，当点E与点C重合时，请直接写出线段OF、OG的数量关系；（2）如图②，当点E在线段CD上时，OF与OG有什么数量关系？请说明你的结论；（3）如图③，当点E在线段CD的延长线上时，OF与OG有什么数量关系？请说明你的结论．第25页（共59页）26．（2021•万州区模拟）如图，点B，C，D在同一条直线上，△BCF和△ACD都是等腰直角三角形．连接AB，DF，延长DF交AB于点E．（1）如图1，若AD＝BD，DE是△ABD的平分线，BC＝1，求CD的长度；（2）如图2，连接CE，求证：DE ＝CE+AE；（3）如图3，改变△BCF的大小，始终保持点F在线段AC上（点F与点A，C不重合）．将ED绕点E顺时针旋转90°得到EP．取AD的中点O，连接OP．当AC＝2时，直接写出OP长度的最大值．第26页（共59页）27．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF ＝DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．第27页（共59页）28．（2021•九龙坡区校级开学）在菱形ABCD中，以点A为顶点作等腰△AEF，然后将等腰△AEF绕着点A顺时针转动，已知∠EAF+∠BAD＝180°．（1）如图1，若点E落在线段CD上，当∠BAD＝90°时，连接BF交AD于点G，当AG＝1，AE＝3，求AB的长；（2）如图2，连接DE，BF，取BF的中点G，连接AG．猜想AG与DE存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在等腰△AEF绕着点A顺时针转动时，设AE交BD于点M，AF交BD于点N．若∠BAD＝120°，∠AMD＝45°，AB＝2时，请直接写出MN的值．第28页（共59页）29．（2021•渝中区校级自主招生）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）如图1，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠C＝30°，AB＝AD，求证：四边形ABCD是勾股四边形；的最小值．（2）如图2，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠DCB＝60°，AB＝AD，且BC+DC＝8，连接AC，求AC第29页（共59页）30．（2020秋•万州区期末）在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点．且CF＝AE，连接BE、EF．（1）如图1，若E是线段AC的中点，求EF的长；（2）如图2．若E是线段AC延长线上的任意一点，求证：BE＝EF．（3）如图3，若E是线段AC延长线上的一点，CE＝AC，将菱形ABCD绕着点B顺时针旋转α°（0≤α≤360），请直接写出在旋转过程中DE的最大值．第30页（共59页）31．（2020秋•开州区期末）如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F，连接DF，BF，过点D作线段AF 的垂线交AF于点H，交AB于点G．（1）如图1，若CF＝1，BF＝，求AC；（2）如图1，求证：HG+EF＝AH；（3）如图2，若正方形的边长为2，点E在BC边所在直线上运动时，过点C作CM⊥DF交DF于点M，取AD的中点N，请直接写出线段MN的取值范围．第31页（共59页）32．（2020秋•江北区期末）【问题背景】如图1，P是等边三角形ABC外一点，∠APB＝30°，则PA2+PB2＝PC2．小明为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请根据此思路完成其证明．【迁移应用】如图2，在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，且∠BPC＝45°，若△APC的面积为5.5，求PC；【拓展创新】如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在四边形ABCD内部，且DE＝EC，∠DEC＝90°，∠AEB＝135°，AD ＝，BC ＝，直接写出AB的长．第32页（共59页）33．（2021•巴南区自主招生）如图①，在矩形ABCD中，∠ACB＝60°，矩形A1B1CD1是由矩形ABCD绕点C顺时针旋转一个角度得到的，点A1、B1、D1分别是点A、B、D的对应点．在旋转过程中，直线BB1与直线AA1相交于点M．（1）当∠BCB1＝100°时，求∠A1B1M的度数；（2）在旋转过程中，请你猜想AM与A1M之间存在的数量关系，并根据所给图形证明你猜想的结论；之间的距离．（3）如图②，设点N在边AB上，且∠BCN＝30°，BC＝1，在旋转过程中，当NC+NB1的值取最小值时，请直接写出点B1与点M第33页（共59页）34．（2021•北碚区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上一动点，且AF＝BE，连接DF，AE交于点G，连接CG．（1）如图1，若CG＝AD，求证：CE＝AD；（2）如图2，当点E，F分别在边BC，AB上运动时，在以GC为斜边构造等腰直角△CGH，连接DH，猜想∠HDG的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BH，当BH取得最小值时，请直接写出的值．第34页（共59页）35．（2021春•沙坪坝区校级期中）在平行四边形ABCD中，以AB为腰向右作等腰△ABE，AB＝AE，以AB为斜边向左作Rt△AFB，∠AFB＝90°，（1）如图1，若F，A，D三点在同一直线上，点E与点D重合，连接BD，∠ADC＝60°，AD＝2，求△BFD的周长；（2）如图2，若F，A，D三点在同一直线上，点E落在CD边上，点P为BE上一点，连接FP，点Q为FP上一点，连接AQ，且∠AQF+∠BFQ＝90°，∠QAE+∠C＝180°，求证BP＝EP；（3）如图3，若F，A，C三点在同一直线上，点E与点C重合，∠D＝30°，AB＝8，点M为△ABC内部一动点，连接AM，BM，CM，满足∠AMB ＝120°，点N为CM的中点，连接AN，过点N作NP⊥AN交BC于点P，当PM最小时，将△MNP绕点P旋转，旋转中的△MNP记为△M′N′P，请直接写出点M′到AN距离的最大值．第35页（共59页）36．（2021春•铜梁区校级期末）已知四边形ABCD是平行四边形，在△AEF中，点E、F是动点，AE＝EF，∠AEF＝90°．（1）如图1，当点F于点B重合时，连接CE交AB于点G，连接AC，若AB＝BC，∠BAD＝120°，BE＝2，求点E到BC的距离；（2）如图2，当点F在AB延长线上时，将△AEF绕着点A逆时针旋转得到△AE′F′，使点F′落在CD边上，点E′在平行四边形ABCD的内部，过点C作CH⊥CD，连接CH、DH，若AF′＝DH，∠AF′D＝∠H，求证：2BE′+CH ＝CD；（3）如图3，AB＝BC，∠BAD＝120°，AB＝2，点F从B点出发沿射线BC 运动，求运动过程中（DE+AE）2的最小值．第36页（共59页）37．（2021春•沙坪坝区校级月考）在平行四边形ABCD中，AE⊥EC于点E，AE＝EC．（1）如图1，连接BD，若tan∠ADC＝3，BE＝1，求BD的值；（2）如图2，连接AC，F是AC的中点，过点E作EG⊥AB于点G，延长GE交DC的延长线于点H，连接FH．请猜想CH、AG、FH的关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（1）的条件下，将△ABE绕点E顺时针旋转一定的角度α（0°＜a＜90°），得到△A'B'E，当∠A'＝∠A'EA时，停止旋转，此时边A'B'与边AE交于点P．点M是边BC上一动点，点N是平面内一点，△DMN是等边三角形，直接写出PN的最小值．第37页（共59页）38．（2021•北碚区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E为平行四边形内部一点，连接AE，BE，CE．（1）如图1，AE⊥BC交BC于点F，已知∠EBC＝45°，∠BAF＝∠ECF，AB ＝，EF＝1，求AD的长．（2）如图2，AE⊥CD交CD于点F，AE＝CF且∠BEC＝90°，G为AB上一点，作GP⊥BE且GP＝CE，并以BG为斜边作等腰Rt△BGH，连接EP，EH，求证：EP ＝EH．（3）在（2）的条件下，将△BHG绕着点B旋转，如图3，连接CG，M为CG的中点，若BG＝4，BC＝8，直接写出2EM+CM的最小值．第38页（共59页）39．（2021•九龙坡区模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E在AB边上，且BC＝BE，连接EC、AC，过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG分别交EC、DC于F、H两点．（1）如图1，若BC＝2，∠ECA＝15°，求线段EF的长．（2）如图2，延长AB到M，连接MF，使得∠BMF＝∠FBC，求证：BF+FM＝AC．（3）如图3，在（1）的条件下，点N是线段DC的三等分点，且DN＜CN，点P是线段AD的中点，连接AN，将△ADN绕点D逆时针旋转α°（0≤α≤360）到△A'DN'，连接PA'，NA'，当3NA'﹣PA'取最大值时，请直接写出△A'DH的面积．第39页（共59页）40．（2021•北碚区校级模拟）如图1，在▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点B作BE⊥AD交DA的延长线于点E，F是AE的中点，连接EF．（1）若BD＝5，BE＝3，求EF的长．（2）如图2，G是BD的中点，N，M分别是EF，AD上一点，连接GN，GM．若∠BAD＝∠NGM，求证：BC＝EN+AM．（3）如图3，K是BC上一点，P是边AB上一动点，连接EP．将△BEP沿EP翻折，使点B落在平面内点Q处，连接DQ，KQ．若AD＝6，CK＝2，∠C＝120°，请直接写出当3KQ+DQ取最小值时，点B到QK的距离．第40页（共59页）41．（2021•渝中区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点E是边BC上的一个动点，点D是射线AC上的一个动点；连接DE，以DE为斜边，在DE右侧作等腰Rt△DFE，再过点D作DH⊥BC，交射线BC于点H．（1）如图1，若点F恰好落在线段AE上，且∠DEH＝60°，CD＝3，求出DF的长；（2）如图2，若点D在AC延长线上，此时，过F作FG⊥BC于点G，FG与AC边的交点记为M，当AE＝DE时，求证：FM +MD＝AB；（3）如图3，若AB＝4，点D在AC延长线上运动，点E也随之运动，且始终满足AE＝DE，作点E关于DF的对称点E′，连接CF、FE′、DE′，当CF取得最小值时，请直接写出此时四边形CFE′D的面积．第41页（共59页）42．（2021春•南岸区期中）如图所示，在▱ABCD中，连接对角线AC．把AB绕着点A逆时针旋转60°，得到线段AE，点E在边BC上．点F在线段AE上，且AF＝CE．连接BF，DF，G是BF的中点，连接AG，CG．（1）求证：∠BAG＝∠EAC；（2）猜想AG与CG存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）当∠BAG＝15°时，请直接写出DF与AB存在的数量关系．第42页（共59页）43．（2021•渝中区模拟）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若AE平分∠BAD，BE＝3，求CD的长．44．（2021春•渝中区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别在AO，DO上，且AE＝DF．（1）求证：∠EBO＝∠FCO．（2）若∠EBO＝30°，CF⊥BD，BC＝4，求△COF的面积．第43页（共59页）45．（2021•九龙坡区校级模拟）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥CD交AE于点F，连接OF．以OF为直角边作Rt△OFG，其中∠OFG＝90°，连接AG．（1）如图1，若∠EAB＝30°，OA＝2，AB＝6，则求CE的长度；（2）如图2，若CF＝CD，∠FGO＝45°，求证：EC ＝AG+2EF；（3）如图3，动点P从点A运动到点D（不与点A、点D重合），连接FP，过点P作FP的垂线，又过点D作AD的垂线交FP的垂线于点Q，点A'是点A关于FP的对称点，连接A'Q．若AE＝2EC，FG＝2OF，EF＝1，AG ＝，则在动点P的运动过程中，直接写出A'Q的最小值．第44页（共59页）46．（2021•铜梁区校级模拟）已知，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CED＝90°，AB＝AC，ED＝EC，分别过点B、D作BF∥AD、DF∥AB，两平行线交于点F，连接AF．（1）如图1，若点E在AC上，AB＝6，tan∠DAC ＝，求AF的长；（2）如图2，将△DEC绕点C逆时针旋转，使点E落在BC上，若AD＝CD，AF交BC于点G，DF交BC于点H ，求的值；（3）如图3，若AB＝6，DE＝2，将△DEC绕点C旋转一周，当AF的长最大时，直接写出四边形ABFD的面积．第45页（共59页）47．（2021•渝中区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，分别过点B作BC的垂线，过点D作CD的垂线，两垂线相交于点E．（1）如图1，若AD＝4，连接AE，BD，求三角形ADE的面积；（2）如图2，点F是DE延长线上的一点，点G为EB延长线上的一点，且EF＝BG，连接BF，DG，DG交FB的延长线于点H，连接AH，试猜想线段AH，BH，HD的数量关系并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，在AH上取得一点P，使得HP＝3AP，已知Q为直线ED上一点，连接BQ，连接QP，当BQ+QP最小时，直接写出的值．第46页（共59页）48．（2021春•合川区校级月考）如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5cm，E，F为直线BD．上的两个动点（点E，F始终在▱ABCD的外面），此时DE ＝OD，BF＝OB，连接AE，CE，CF，AF．（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．（2）若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长．（3）若DE ＝OD，BF ＝OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？若DE ＝OD，BF ＝OB呢？简单说明理由．第47页（共59页）49．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图1，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．（1）若BE＝4，CE ＝，求AD的长；（2）如图2，点F是BC上一点，且EF＝EC，过点C作CG⊥EF于点G，交BE于点H，求证：BH ＝DE；的值．（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，当BE＝BC 时，请直接写出第48页（共59页）50．（2021春•沙坪坝区校级期中）已知，在▱ABCD中，E为AB上一点，且DE＝2AD，作∠ADE的平分线交AB于点F．（1）如图1，当E与B重合时，连接FC交BD于点G，若FC⊥CD，AF＝3，求线段CF的长．（2）如图2，当CE⊥AB时，过点F作FH⊥BC于点H，交EC于点M．若G为FD中点，CE＝2AF，求证：CD﹣3AG＝EM．（3）如图3，在（1）的条件下，M为线段FC上一点，且CM ＝，P为线段CD上的一个动点，将线段MP绕着点M逆时针旋转30°得到线段MP′，连接FP′，直接写出FP′的最小值．第49页（共59页）51．（2021春•九龙坡区校级期末）在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接AE．（1）如图1，若AB＝7，BE＝10．求AE的长．（2）如图2，对角线AC与BD相交于点O，点F在AB上，且EF＝AE，连接CF．点G在EF上，EG＝BG，延长BG交AC于点H．求证：CF ＝BH；（3）如图3，在（1）的条件下，过点E作EM∥CD交OC于点M，把△OEM绕点O逆时针旋转α（0°≤α≤360°）得△OE′M′，取E′M′的中点K，连接CK，将CK顺时针旋转90°得到CN，连接KN．过点N作NR⊥BC于点R，当NR最大时，求线段KR的长．第50页（共59页）。
中考数学几何证明题--(专题练习 答案详解)
中考数学24题专题练习1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G 为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD 为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；（2）延长CD和BE的延长线交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE（已证），∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已证），∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH（已证），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G 为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．（1）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，∴…（5分）（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，∴四边形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图），在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴OF∥BE．（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．证明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．（1）解：连接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．（2）证明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∴∠HDF=∠CBF ，由（1）得，∠ADB=∠CBD ，∴∠HDB=∠HBD ，∴HD=HB ，由（1）得CD=CB ，CBD CDBCBD HDF CDB CBH∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠∠∴即BDH=HBDHB=HD∴△CDH ≌△CBH ，∴∠DCH=∠BCH ，∴∠BCH=∠BCD==．6、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm ，，求梯形ABCD 的面积；（2）若E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上一点，且满足EF=GH ，∠EFH=∠FHG ，求证：HD=BE+BF ．解：（1）连AC ，过C 作CM ⊥AD 于M ，如图，在Rt △ABC 中，AB=6，sin ∠ACB==，∴AC=10，∴BC=8，在Rt △CDM 中，∠D=45°，∴DM=CM=AB=6，∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD 的面积=•（8+14）•6=66（cm 2）；（2）证明：过G 作GN ⊥AD ，如图，∵∠D=45°，∴△DNG 为等腰直角三角形，∴DN=GN ，又∵AD ∥BC ，∴∠BFH=∠FHN ，而∠EFH=∠FHG ，∴∠BFE=∠GHN ，∵EF=GH ，∴Rt △BEF ≌Rt △NGH ，∴BE=GN ，BF=HN ，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE ．7、已知：如图，▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CD 至F ，使DF=CD ，连接BF 交AD 于点E ．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵DF=CD，∴AB∥DF．∵DF=CD，∴AB=DF．∴四边形ABDF是平行四边形，∴AE=DE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．∴∠COD=90°．∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF∥BD．∴∠CAF=∠COD=90°．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．（1）证明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），ED=DE（公共边），AE=CE（正方形的四条边长相等），∴△DAE≌△DCE （SAS），∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；又∵CG=CE（已知），∴∠G=∠CEG（等边对等角）；而∠CEG=2∠EAC（外角定理），∠ECB=2∠CEG（外角定理），∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；过点C作CH⊥AG于点H，∴∠FCH=30°，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．（1）证明：连接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中点，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；（2）作PH⊥CF于H点．∵P是EF的中点，∴PH=EC．设EC=x．由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．∵E为CD的中点，∴ED=EC．∴△ADE≌△FCE．∴EF=EA．（5分）（2）解：连接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．∵DG⊥BC，∴四边形ABGD是矩形．∴BG=AD，GA=BD．∵BD=BC，∴GA=BC．由（1）得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．∵由（1）得EF=EA，∴EG⊥AF．（5分）11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD 为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．（1）证明：∵△ADF为等边三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）∵AE为公共边∴△FAE≌△BAE（4分）∴EF=EB（5分）（2）解：如图，连接EC．（6分）∵在等边三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°∴GE=GB．（8分）∵点G是BC的中点，∴EG=CG∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG为等边三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2∴CE=，∴BC=（10分）；解法二：过C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．（1）证明：∵AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．∴∠DBC=∠ADB=30°．∴∠BDC=90°．（1分）由已知AE⊥BD，∴AE∥DC．（2分）又∵AE为等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中点，∵F是DC的中点，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）∴AE=DF（4分）∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，（5分）∴AE=GF．（6分）（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．在Rt△DGC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．（8分）由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四边形DEGF的面积=EF•DG=．（10分）13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．∴AG=CG，∴∠E=30°．∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∵DE⊥EC，∴∠AED+∠BEC=90°∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．（2）答：△ABF是等腰直角三角形．理由是：延长AF交BC的延长线于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AD=BE，∴BE=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．解答：（1）证明：连接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，（AAS）∴AD=AE；（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∴AB=10．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．（1）证明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知E是BD的中点，∴AE⊥BD．（2）解：延长AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD（已证），∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中点（已知），所以由三角形中位线定理得：EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）=×（14﹣4）=5．答：EF的长为5．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．∴CD=BE．（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．∴AE=AC﹣CE=2．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2（2分）在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，∴四边形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；（2）延长AF、BC交于点N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．解：（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形．（2分）∴CE=AD，DE=AC．∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BD=AC=DE．∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）∵DH⊥BC，∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）（2）∵AD=CE，∴．（7分）∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6，∴．∴梯形ABCD的面积为18．（8分）注：此题解题方法并不唯一．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等边三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形．∴EF=BD，∴EF=AE．∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，∴AB=CD，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS）．（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120°．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠DBC+2∠DBC=90°∴∠DBC=30°∴∠ABC=60°（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵∠DBC=30°，BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC∴∠F=30°，∵∠DBC=30°，∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面积为．26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，∴∠ECB=15°，∵∠ECD=45°，∴∠DCF=60°，在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，∴DF=3，DC=6，由题得，四边形ABFD是矩形，∴AB=DF=3，∵AB=BC，∴BC=3，∴BF=BC﹣FC=3﹣3，∴AD=DF=3﹣3，∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3，答：梯形ABCD的周长是9+3．（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE，∴CN=CE，可证∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，∴△DEC≌△DNC，∴ED=EN，∴ED=BE+FC．28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．（1）证明：∵AD∥BC，E是AB的中点，∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．∴△BCE≌△AFE（AAS）．（2）解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°．∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，∴△BCE≌△AFE．∴AF=BC=4．∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，∴EF=5．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，∴△DCF≌△BCF．（2）延长DF交BC于G，∵AD∥BG，AB∥DG，∴四边形ABGD为平行四边形．∴AD=BG．∵△DFC≌△BFC，∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFG．∴DE=BG，EF=GF．∴AD=DE．（3）∵EF=GF，DF=BF，∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．∵DG=AB，∴BE=AB．∵C△DFE=DF+FE+DE=6，∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．∴AB+AD=6．又∵AD=2，∴AB=4．∴DG=AB=4．∵BG=AD=2，∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．又∵DC=BC=5，在△DGC中∵42+32=52∴DG2+GC2=DC2∴∠DGC=90°．∴S梯形ABCD=（AD+BC）•DG=（2+5）×4=14．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．解答：解：（1）证明：∵AD∥BC，DE2=CD2+CE2=42+32=25，∴∠OAD=∠OEB，∴DE=5又∵AB=AD，AO⊥BD，∴AD=BE=5，∴OB=OD，∴S梯形ABCD=．又∵∠AOD=∠EOB，∴△ADO≌△EBO（AAS），∴AD=EB，又∵AD∥BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD∴四边形ABCD是菱形．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DE=BE，。
中考数学几何大题集合
中考几何大题（中考） 已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°．点E 是DC 的中点，过点E 作DC 的垂线交AB 于点P ，交CB 的延长线于点M ．点F 在线段ME 上，且满足CF ＝AD ，MF ＝MA ．（1）若∠MFC ＝120°，求证：AM ＝2MB ；（2）求证：∠MPB ＝90°－ 12∠FCM ．（中考）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DCB=450，CD=2，BD ⊥CD 。
过点C 作CE ⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，点G 为BC 中点，连结EG 、AF ．（1）求EG 的长；（2）求证：CF=AB+AF ．（中考）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．（中考A卷）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。
（1）求证：OE=OF3（2）若BC=2，求AB的长。
（中考B 卷）已知，如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE ＝CD ，点F 为CE 的中点，点G 为CD 上的一点，连接DF 、EG 、AG ，∠1＝∠2。
（1）若CF ＝2，AE ＝3，求BE 的长；（2）求证：∠CEG ＝∠AGE。
(中考A 卷)如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ．在△ABC 外有一点F ，使FA ⊥AE ，FC ⊥BC ．（1）求证：BE =CF ；（2）在AB 上取一点M ，使BM =2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME ．求证：①ME ⊥BC ；②DE =DN ．21A B C D E F G12（中考B 卷）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD ⊥AB 交BE 的延长线于点D ，CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF=∠CBG ．求证：（1）AF=CG ；（2）CF=2DE ．（15年重庆中考A 卷）如图1，在△ABC 中，ACB=90°，BAC=60°，点E 是BAC 平分线上一点，过点E 作AE 的垂线，过点A 作AB 的垂线，两垂线交于点D ，连接DB ，点F 是BD 的中点，DH ⊥AC ，垂足为H ，连接EF ，HF 。