2021年高考理科数学模拟试题卷(含答案和解析)
四川省内江市2021届高三下学期第三次高考模拟试题 理科数学【含答案】
四川省内江市2021届高三下学期第三次高考模拟试题 理科数学【含答案】一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
) 1.复数21i-的共轭复数是 A.1＋i B.1－i C.－1－i D.－1＋i 2.已知集合A ＝{x|0<x<3}，A ∩B ＝{1}，则集合B 可以是 A.{1，2，3} B.{0，1，2} C.{1，2} D.{1，3}3.已知平面向量a b c 、、满足a b c ++＝0，且||||||1a b c ===，则a b ⋅的值为A.－12 B.12 C.－32 D.324.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x ，则A.m e ＝m 0＝xB.m e ＝m 0<xC.m 0<m e <xD.m e <m 0<x 5.在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝7AB ＝2，则AB 边上的高等于33326326.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足函数的关系式为y ＝t a 101802-⎛⎫⎪⎝⎭＋b(a ，b 为常数)，通常这种热饮在40℃时，口感最佳，某天室温为20℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为A.35minB.30minC.25minD.20min7.已知点A为抛物线C：x2＝4y上的动点(不含原点)，过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则∠ABFA.一定是直角B.一定是锐角C.一定是钝角D.上述三种情况都可能8.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A.4B.8C.26D.469.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中，函数图象与y轴的交点为(0，－3)，则f(2021π)＝A.3－32C.32D.310.已知直线l：y＝m(x－2)＋2与圆C：x2＋y2＝9交于A、B两点，则使弦长|AB|为整数的直线l共有A.9条B.8条C.7条D.6条11.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆E ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若|PQ|－|PF|的最小值为25－6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则椭圆C 的标准方程为A.2212x y +=B.2214x y += C.22142x y += D.22143x y += 12.∀x ∈(0，1)，记a ＝sinx x ，b ＝22sinx x ，c ＝2sinx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为 A.a>c>b B.b>c>a C.b>a>c D.a>b>c 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
高考理科数学模拟试题
高考理科数学模拟试题一、选择题（每小题5分，满分40分）1. 设方程 EMBED Equation.DSMT4 的解集为A ，方程 EMBED Equation.DSMT4 的解集为B,若 EMBED Equation.DSMT4， 则p+q= ( )A 、２B 、０C 、１D 、－１2. 已知 EMBED Equation.DSMT4,且 EMBED Equation.DSMT4 是第四象限的角,则 EMBED Equation.DSMT4( ) A EMBED Equation.DSMT4 B EMBED Equation.DSMT4C EMBED Equation.3D EMBED Equation.DSMT4 3. 已知 EMBED Equation.3的实根个数是 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、1个或2个或3个4.实数 EMBED Equation.3 是直线 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3平行的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件5.平面上有一个△ABC 和一点O,设 EMBED Equation.3 ,又OA 、BC 的中点分别为D 、E ，则向量 EMBED Equation.3 等于（ ）A ． EMBED Equation.3B EMBED Equation.3C EMBED Equation.3D EMBED Equation.36. 函数 EMBED Equation.3 在下面哪个区间内是增函数（ ）A 、 EMBED Equation.3B 、 EMBED Equation.3C 、 EMBEDEquation.3D 、 EMBED Equation.37.点 EMBED Equation.3 是椭圆 EMBED Equation.3（ EMBED Equation.3上的任意一点， EMBED Equation.3是椭圆的两个焦点，且∠ EMBED Equation.3 ，则该椭圆的离心率的取值范围是 （ ）A. EMBED Equation.3B. EMBED Equation.3C. EMBEDEquation.3 D. EMBED Equation.38. 已知函数 EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 上的奇函数，函数 EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 上的偶函数，且 EMBED Equation.DSMT4 ，当 EMBED Equation.DSMT4 时， EMBEDEquation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 2 -2 O 6 2 xy （图1）的值为（ ） A ． EMBED Equation.DSMT4 B ． EMBED Equation.DSMT4 C ． EMBED Equation.DSMT4 D ． EMBED Equation.DSMT4二、填空题（每小题5分，满分30分）9.复数 EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 是虚数单位)的实部为10.在 EMBED Equation.3 的展开式中, EMBED Equation.3 的系数是 11. 函数 EMBED Equation.3的部分图象 如图1所示，则 EMBED Equation.DSMT4 12. 程序框图（如图2）的运算结果为13. 从以下两个小题中选做一题（只能做其中一个，做两个 按得分最低的记分）． （1）自极点O 向直线l 作垂线，垂足是H( EMBED Equation.3 )，则直线l 的极坐标方程为 。
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (10)
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题10学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |2x -1≥0},则A ∩B =A.(1,+∞)B.[12,1) C.(12,2) D.[12,2) 2．若复数1-bi 2+i(b ∈R )的实部与虚部相等,则b 的值为A.-6B.-3C.3D.6 3．函数f (x )=2x2+1，x ∈[−1, √2]的值域为A.[2, 8]B.[4, 8]C.[1, 3]D.[2, 3]4．设△ABC,P 0是边AB 上一定点,满足P 0B=14AB,且对于边AB 上任一点P,恒有PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥P 0⃗⃗⃗⃗ ·P 0⃗⃗⃗⃗ ,则A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC5．定义在R 上的奇函数f (x )连续且可导,若f (x )-f'(x )<x -1恒成立(其中f'(x )为f (x )的导函数),则A.f'(0)<1B.f (-1)+f'(-1)<0C.f (1)<f (0)<f (-1)D.f (-1)<f (0)<f (1)6．在2019年亚洲杯前,某商家为了鼓励中国球迷组团到阿联酋支持中国队,制作了3种不同的精美海报,每份“中国队球迷礼包”中随机装入一份海报,集齐3种不同的海报就可获得中国队在亚洲杯上所有比赛的门票.现有4个球迷组成的球迷团(每人各买一份球迷礼包),则他们能获得该门票的概率为A.1027B.49C.59D.17277．已知m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nC.若m ⊥α,n ⊥α,则m ∥nD.若m ∥α,m ∥β,则α∥β8．若执行如图的程序框图,则输出i 的值等于A.2B.3C.4D.59．在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=36,a 11+a 12+a 13=84,则a 5+a 9=A.30B.35C.40D.4510．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),以原点O 为圆心的圆(圆的半径小于b )的面积为4π,且经过椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点,Q 为圆上任意一点,若P ,Q 两点间的距离的最小值为1,则椭圆的离心率为A.2√1313 B.√1313C.√32 D.12 11．下列区间中,函数f (x )=7sin(x -π6)单调递增的区间是A.(0,π2)B.(π2,π)C.(π,3π2)D.(3π2,2π)12．如图,已知圆柱OO 1的轴截面是边长为2的正方形,A 1,B 1,C 1是圆O 1的三等分点,BB 1∥AA 1∥OO 1,那么异面直线AC 1与OB 所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线f (x )=e x 2-e x (e 是自然对数的底数)在x =1处的切线方程为 . 14．已知数列{a n }与{b n }满足a n =2b n +3(n ∈N ∗),若{b n }的前n 项和为S n =32(3n −1)且λa n >b n +36(n −3)+3λ对一切n ∈N ∗恒成立,则实数λ的取值范围是 . 15．某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近5年的年广告支出m 与年销售额t (单位:百万元) 进行了初步统计,得到下列表格中的数据:经测算,年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程t ＾=6.5m +17.5,则p = .16．已知某双曲线的渐近线方程为3x ±2y =0,且该双曲线经过点(2,-3√2),则该双曲线的实轴长为 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量m =(cos∠B ,2cos 2∠C 2-1),n =(c ,b -2a ),且m ·n =0.(1)求∠C 的大小;(2)若点D 为边AB 上一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7,c =2√3,求△ABC 的面积. 18．(本题12分)如图,棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形.侧棱长为5,平面ABCD ⊥平面A 1ACC 1,AB =3√3,∠BAD =60°,点E 是ΔABD 的重心,且A 1E =4.(1)求证:平面A 1DC 1∥平面AB 1C ; (2)求棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积.19．(本题12分)某省在高考改革试点方案中规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;从2020年开始,高考总成绩由语、数、外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目考生的原始成绩从高到低依次划分为A,B+,B,C+,C,D+,D,E 共8个等级,参照正态分布的原则,确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A 至E 等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2 000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六门选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N (60,132). (1)求该校高一年级学生的物理原始成绩在区间(47,86)的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,X 表示这3人中某门选考科目的等级成绩在区间[61,80]的人数,求X 的分布列和数学期望.附:若随机变量ξ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P (μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.20．(本题12分)已知以F 为焦点的抛物线C :y 2=2px (p >0)过点P (1,-2),直线l 与C 交于A ,B 两点,M 为AB 的中点,O 为坐标原点,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOF⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)当λ=3时,求点M 的坐标; (2)当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12时,求直线l 的方程.21．(本题12分)已知函数f (x )=(x −1)e x +ax 2,e 为自然对数的底数.(1)若函数f (x )在(1,f(1))处的切线方程为y =−ex +a +e ,求实数a 的值; (2)讨论f (x )的单调性.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
2021年河北省唐山市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2021年河北省唐山市高考数学一模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．1．假设复数z满足〔3+4i〕z=25，那么复平面内表示z的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．集合A={x|x2﹣x＞0}，，那么〔〕A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B3．假设函数，那么f〔f〔2〕〕=〔〕A．1 B．4 C．0 D．5﹣e24．一个几何体的三视图如下图，那么其体积为〔〕A．π+2 B．2π+4 C．π+4 D．2π+25．在△ABC中，∠B=90°，，，那么λ=〔〕A．﹣1 B．1 C．D．46．设等差数列{a n}的前n项和为S n，假设S4=﹣4，S6=6，那么S5=〔〕A．1 B．0 C．﹣2 D．47．双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线=〔〕平行，交另一条渐近线于点B，那么S△ABFA．B．C．D．8．二项式〔x﹣a〕7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，那么dx=〔〕A．ln2 B．ln2+1 C．1 D．9．一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如下图的程序框图，假设输入的n为6时，输出结果为2.45，那么m可以是〔〕A．0.6 B．0.1 C．0.01 D．0.0510．ω＞0，将函数f〔x〕=cosωx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，那么ω的最小值是〔〕A．B．3 C．D．11．在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，那么乙、丙都不与甲相邻出场的概率是〔〕A．B．C．D．12．a＞b＞0，a b=b a，有如下四个结论：①b＜e；②b＞e；③∃a，b满足a•b＜e2；④a•b＞e2．那么正确结论的序号是〔〕A．①③B．②③C．①④D．②④二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．假设变量x，y满足约束条件，那么z=x+y的最小值是．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且，假设a4=32，那么a1=．15．抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点为F，，抛物线C上的点B 满足AB⊥AF，且|BF|=4，那么p=．16．在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且AB=4，AC=5，那么BC的取值范围是．三、解答题：本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．〔12分〕△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2=λab．〔1〕假设，，求sinA；〔2〕假设λ=4，AB边上的高为，求C．18．〔12分〕某市春节期间7家超市的广告费支出x i〔万元〕和销售额y i〔万元〕数据如下：超市A B C D E F G广告费支出x i1246111319销售额y i19324044525354〔1〕假设用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；〔2〕用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：，经计算得出线性回归模型和对数模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更适宜，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额．参数数据及公式：，，，ln2≈0.7．19．〔12分〕如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=CB=2，M、N分别是AB、A1C的中点．〔1〕求证：MN∥平面BB1C1C；〔2〕假设平面CMN⊥平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．20．〔12分〕椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕点P，M，N为椭圆C上的三点，假设四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．21．〔12分〕函数f〔x〕=sinx+tanx﹣2x．〔1〕证明：函数f〔x〕在〔﹣，〕上单调递增；〔2〕假设x∈〔0，〕，f〔x〕≥mx2，求m的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分. 22．〔10分〕直线l的参数方程为〔t为参数，0≤φ＜π〕，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=1，l与C交于不同的两点P1，P2．〔1〕求φ的取值范围；〔2〕以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．23．x，y∈〔0，+∞〕，x2+y2=x+y．〔1〕求的最小值；〔2〕是否存在x，y，满足〔x+1〕〔y+1〕=5？并说明理由．2021年河北省唐山市高考数学一模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．1．假设复数z满足〔3+4i〕z=25，那么复平面内表示z的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法那么、几何意义即可得出．【解答】解：〔3+4i〕z=25，∴〔3﹣4i〕〔3+4i〕z=25〔3﹣4i〕，∴z=3﹣4i．那么复平面内表示z的点〔3，﹣4〕位于第四象限．应选：D．【点评】此题考查了复数的运算法那么、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．2．集合A={x|x2﹣x＞0}，，那么〔〕A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】集合的表示法．【分析】先分别求出集合A和B，由此得到A∪B=R．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1或x＜0}，，∴A∩B={x|﹣或1＜x＜}，A∪B=R．应选：B．【点评】此题考查并集、交集的求法及应用，是根底题，解题时要认真审题，注意并集、交集定义的合理运用．3．假设函数，那么f〔f〔2〕〕=〔〕A．1 B．4 C．0 D．5﹣e2【考点】函数的值．【分析】由函数的解析式先求出f〔2〕的值，再求出f〔f〔2〕〕的值．【解答】解：由题意知，，那么f〔2〕=5﹣4=1，f〔1〕=e0=1，所以f〔f〔2〕〕=1，应选A．【点评】此题考查分段函数的函数值，对于多层函数值应从内到外依次求值，注意自变量的范围，属于根底题．4．一个几何体的三视图如下图，那么其体积为〔〕A．π+2 B．2π+4 C．π+4 D．2π+2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图是直三棱柱与半圆柱的组合体，由图中数据，可得体积．【解答】解：由三视图可得，直观图是直三棱柱与半圆柱的组合体，体积为+=π+2，应选A．【点评】此题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．5．在△ABC中，∠B=90°，，，那么λ=〔〕A．﹣1 B．1 C．D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的三角形法那么求出，再由⊥得出•=0，列出方程求出λ的值．【解答】解：△ABC中，，，∴=﹣=〔2，λ+2〕，又∠B=90°，∴⊥，∴•=0，即2﹣2〔λ+2〕=0，解得λ=﹣1．应选：A．【点评】此题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是根底题目．6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，假设S4=﹣4，S6=6，那么S5=〔〕A．1 B．0 C．﹣2 D．4【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=﹣4，S6=6，∴d=﹣4，d=6，解得a1=﹣4，d=2．那么S5=5×〔﹣4〕+×2=0，应选：B．【点评】此题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线=〔〕平行，交另一条渐近线于点B，那么S△ABFA．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=〔x﹣2〕，代入y=﹣x，解得B的坐标，由三角形的面积公式，计算可得答案．【解答】解：由双曲线，可得a2=1，b2=3，故c==2，∴A〔1，0〕，F〔2，0〕，渐近线方程为y=±x，不妨设BF的方程为y=〔x﹣2〕，代入方程y=﹣x，解得：B〔1，﹣〕．=|AF|•|y B|=•1•=．∴S△AFB应选：B．【点评】此题考查双曲线方程的运用，注意运用渐近线方程，关键求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．8．二项式〔x﹣a〕7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，那么dx=〔〕A．ln2 B．ln2+1 C．1 D．【考点】二项式系数的性质．【分析】在〔x﹣a〕7的展开式的通项中，令x的指数为4，求出r值，再表示出x4项的系数，解关于a的方程即可求出a，利用定积分可得结论．【解答】解：〔x﹣a〕7的展开式的通项为〔﹣1〕r a r C7r x7﹣r，令7﹣r=4得r=3，∴展开式中x4项的系数〔﹣1〕3 a3C73=﹣35a3=﹣280，∴a=2，∴dx=lnx=1．应选：C．【点评】此题考查二项式定理的应用，解决指定项的系数问题．牢记定理是前提，准确计算是关键．9．一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如下图的程序框图，假设输入的n为6时，输出结果为2.45，那么m可以是〔〕A．0.6 B．0.1 C．0.01 D．0.05【考点】程序框图．【分析】根据中的流程图，我们模拟程序的运行，可得：|2.5﹣3|≥m，且|2.45﹣2.5|＜m，解得m的取值范围，比拟各个选项即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=6，a=3b=2.5，不满足条件|b﹣a|＜m，执行循环体，a=2.5，b=2.45，由题意，此时应该满足条件|b﹣a|＜m，退出循环，输出b的值为2.45．可得：|2.5﹣3|≥m，且|2.45﹣2.5|＜m，解得：0.05＜m≤0.5，应选：B．【点评】此题主要考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的方法，属于根底题．10．ω＞0，将函数f〔x〕=cosωx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，那么ω的最小值是〔〕A．B．3 C．D．【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】利用诱导公式化简和同名函数，根据三角函数平移变换规律，建立关系．即可求ω的最小值．【解答】解：由函数f〔x〕=cosωx=sin〔ωx〕图象向右平移个单位后得到：sin〔〕，由题意可得：，〔k∈Z〕解得：，∵ω＞0，∴当k=0时，ω的值最小值为．应选A【点评】此题主要考查函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，属于根底题．11．在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，那么乙、丙都不与甲相邻出场的概率是〔〕A．B．C．D．【考点】列举法计算根本领件数及事件发生的概率．【分析】先求出根本领件总数n==120，再求出乙、丙都不与甲相邻出场包含的根本领件个数m=++=36，由此能求出乙、丙都不与甲相邻出场的概率．【解答】解：在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，根本领件总数n==120，乙、丙都不与甲相邻出场包含的根本领件个数m=++=36，∴乙、丙都不与甲相邻出场的概率p==．应选：D．【点评】此题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12．a＞b＞0，a b=b a，有如下四个结论：①b＜e；②b＞e；③∃a，b满足a•b＜e2；④a•b＞e2．那么正确结论的序号是〔〕A．①③B．②③C．①④D．②④【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】根据题意，得出=，f〔x〕=，x＞0，利用导数判断0＜x＜e时f〔x〕增，x＞e时f〔x〕减；x=e时f〔x〕取得最大值；根据f〔a〕=f〔b〕得出a＞e＞b，判断①正确②错误；由＞e＞b得出f〔b〕＜f〔〕且f〔a〕＜f〔〕，即ab＞e2，判断④正确③错误．【解答】解：∵a＞b＞0，a b=b a，∴blna=alnb，∴=，设f〔x〕=，x＞0，∴f′〔x〕=，当0＜x＜e时，f′〔x〕＞0，函数f〔x〕单调递增，当x＞e时，f′〔x〕＜0，函数f〔x〕单调递减，当x=e时，f〔x〕max=f〔e〕=；∵f〔a〕=f〔b〕，∴a＞e＞b＞0，∴①正确，②错误；∴＞e＞b，∴f〔b〕＜f〔〕，∴f〔a〕＜f〔〕，∴a＞＞e，∴ab＞e2，④正确，③错误；综上，正确的命题是①④．应选：C．【点评】此题考查了利用构造函数的方法判断数值大小的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．假设变量x，y满足约束条件，那么z=x+y的最小值是﹣2．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合定点最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A〔﹣1，﹣1〕，化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1﹣1=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且，假设a4=32，那么a1=．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】利用，a4=32，可得=32，即可得出结论．【解答】解：∵，a4=32，∴=32，∴a1=，故答案为．【点评】此题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比拟根底．15．抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点为F，，抛物线C上的点B 满足AB⊥AF，且|BF|=4，那么p=2或6．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出直线AB的方程，与抛物线方程联立，求出B的横坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：由题意，k AF=﹣，∴直线AB的方程为y=x+，代入y2=2px，可得p2x2﹣12px+36=0，∴x=，∵|BF|=4，∴+=4，∴p=2或6，故答案为2或6．【点评】此题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线位置关系的运用，属于中档题．16．在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且AB=4，AC=5，那么BC的取值范围是〔1，〕．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】如图设PA、PB、PC的长分别为a、b、c，BC=m．由PA，PB，PC两两互相垂直，得a2+b2=16，a2+c2=25，b2+c2=m2⇒m2=41﹣2a2，在△ABC中，⇒1＜m＜．【解答】解：如图设PA、PB、PC的长分别为a、b、c，BC=m．∵PA，PB，PC 两两互相垂直，∴a2+b2=16，a2+c2=25，b2+c2=m2⇒m2=41﹣2a2在△ABC中，⇒1＜m＜故答案为〔1，〕【点评】此题考查了空间位置关系，关键是把空间问题转化为平面问题，属于中档题．三、解答题：本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．〔12分〕〔2021•唐山一模〕△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2=λab．〔1〕假设，，求sinA；〔2〕假设λ=4，AB边上的高为，求C．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】〔1〕由结合正弦定理得：，结合范围可求，即可得解sinA的值．〔2〕由题意及三角形面积公式可求，由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得，结合范围，可求C的值．【解答】解：〔1〕由，，结合正弦定理得：，于是．因为，所以，可得．〔2〕由题意可知，得：．从而有：，即，又因为，所以，．【点评】此题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．〔12分〕〔2021•唐山一模〕某市春节期间7家超市的广告费支出x i〔万元〕和销售额y i〔万元〕数据如下：超市A B C D E F G广告费支出x i1246111319销售额y i19324044525354〔1〕假设用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；〔2〕用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：，经计算得出线性回归模型和对数模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更适宜，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额．参数数据及公式：，，，ln2≈0.7．【考点】线性回归方程．【分析】〔1〕求出回归系数，可得y关于x的线性回归方程；〔2〕对数回归模型更适宜．当x=8万元时，预测A超市销售额为47.2万元．【解答】解：〔1〕，所以，y关于x的线性回归方程是〔2〕∵0.75＜0.97，∴对数回归模型更适宜．当x=8万元时，预测A超市销售额为47.2万元．【点评】此题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，比拟根底．19．〔12分〕〔2021•唐山一模〕如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=CB=2，M、N分别是AB、A1C的中点．〔1〕求证：MN∥平面BB1C1C；〔2〕假设平面CMN⊥平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】〔1〕连接AC1，BC1，那么N∈AC1且N为AC1的中点，证明：MN ∥BC1，即可证明MN∥平面BB1C1C；〔2〕以C为原点，分别以CB，CC1，CA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系，求出平面B1MN，即可求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．【解答】〔1〕证明：连接AC1，BC1，那么N∈AC1且N为AC1的中点，又∵M为AB的中点，∴MN∥BC1，又BC1⊂平面BB1C1C，MN⊄平面BB1C1C，故MN∥平面BB1C1C．…〔4分〕〔2〕解：由A1A⊥平面ABC，得AC⊥CC1，BC⊥CC1．以C为原点，分别以CB，CC1，CA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系，设CC1=2λ〔λ＞0〕，那么M〔1，0，1〕，N〔0，λ，1〕，B1〔2，2λ，0〕，，=〔﹣1，λ，0〕，．取平面CMN的一个法向量为，由，得：，令y=1，得，同理可得平面B1MN的一个法向量为，∵平面CMN⊥平面B1MN，∴，解得，得，又，设直线AB与平面B1MN所成角为θ，那么．所以，直线AB与平面B1MN所成角的正弦值是．【点评】此题考查线面平行的证明，考查线面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．〔12分〕〔2021•唐山一模〕椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕点P，M，N为椭圆C上的三点，假设四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】〔1〕由椭圆的离心率得出a、c的关系，再由a、b、c的平方关系，把点Q的坐标代入椭圆C的方程，求出b、a的值，写出椭圆C的方程；〔2〕讨论直线PN的斜率k不存在和斜率k存在时，分别计算四边形OPMN的面积S，即可得出四边形OPMN的面积为定值．【解答】解：〔1〕由椭圆的离心率为，得，∴=∴，∴a2=2b2；将Q代入椭圆C的方程，得+=1，解得b2=4，∴a2=8，∴椭圆C的方程为；〔2〕当直线PN的斜率k不存在时，PN方程为：或，从而有，所以四边形OPMN的面积为；当直线PN的斜率k存在时，设直线PN方程为：y=kx+m〔m≠0〕，P〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕；将PN的方程代入C整理得：〔1+2k2〕x2+4kmx+2m2﹣8=0，所以，，，由得：，将M点坐标代入椭圆C方程得：m2=1+2k2；点O到直线PN的距离为，，四边形OPMN的面积为．综上，平行四边形OPMN的面积S为定值．【点评】此题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，考查了转化法与方程组以及根与系数关系的应用问题，是综合性题目．21．〔12分〕〔2021•唐山一模〕函数f〔x〕=sinx+tanx﹣2x．〔1〕证明：函数f〔x〕在〔﹣，〕上单调递增；〔2〕假设x∈〔0，〕，f〔x〕≥mx2，求m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】〔1〕利用导函数的性质证明即可．〔2〕利用导函数求解x∈〔0，〕，对m进行讨论，构造函数思想，结合导函数的单调性，求解m的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕函数f〔x〕=sinx+tanx﹣2x那么，∵，∴cosx∈〔0，1]，于是〔等号当且仅当x=0时成立〕．故函数f〔x〕在上单调递增．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得f〔x〕在上单调递增，又f〔0〕=0，∴f〔x〕＞0，〔ⅰ〕当m≤0时，f〔x〕＞0≥mx2成立．〔ⅱ〕当m＞0时，令p〔x〕=sinx﹣x，那么p'〔x〕=cosx﹣1，当时，p'〔x〕＜0，p〔x〕单调递减，又p〔0〕=0，所以p〔x〕＜0，故时，sinx＜x．〔*〕由〔*〕式可得f〔x〕﹣mx2=sinx+tanx﹣2x﹣mx2＜tanx﹣x﹣mx2，令g〔x〕=tanx﹣x﹣mx2，那么g'〔x〕=tan2x﹣2mx由〔*〕式可得，令h〔x〕=x﹣2mcos2x，得h〔x〕在上单调递增，又h〔0〕＜0，，∴存在使得h〔t〕=0，即x∈〔0，t〕时，h〔x〕＜0，∴x∈〔0，t〕时，g'〔x〕＜0，g〔x〕单调递减，又∵g〔0〕=0，∴g〔x〕＜0，即x∈〔0，t〕时，f〔x〕﹣mx2＜0，与f〔x〕＞mx2矛盾．综上，满足条件的m的取值范围是〔﹣∞，0]．【点评】此题主要考查导函数的性质来解决三角函数的问题，构造函数，利用导函数求单调性讨论m解决此题的关键．属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.22．〔10分〕〔2021•唐山一模〕直线l的参数方程为〔t为参数，0≤φ＜π〕，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=1，l与C交于不同的两点P1，P2．〔1〕求φ的取值范围；〔2〕以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】〔1〕求解曲线C的直角坐标方程，将直线l的参数方程〔t为参数，0≤φ＜π〕，带入，得到关于t的一元二次方程的关系式，由题意判别式大于0，可得φ的取值范围．〔2〕利用参数的几何意义即可求线段P1P2中点轨迹的参数方程．【解答】解：〔1〕曲线C的极坐标方程为ρ=1，根据ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1，将代入x2+y2=1得t2﹣4tsinφ+3=0〔*〕由16sin2φ﹣12＞0，得，又0≤φ≤π，∴所求φ的取值范围是；〔Ⅱ〕由〔1〕中的〔*〕可知，，代入中，整理：得P1P2的中点的轨迹方程为〔φ为参数，〕．故得线段P1P2中点轨迹的参数方程为为〔φ为参数，〕．【点评】此题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换和参数方程的几何意义的运用．23．〔2021•唐山一模〕x，y∈〔0，+∞〕，x2+y2=x+y．〔1〕求的最小值；〔2〕是否存在x，y，满足〔x+1〕〔y+1〕=5？并说明理由．【考点】根本不等式．【分析】〔1〕根据根本不等式的性质求出的最小值即可；〔2〕根据根本不等式的性质得到〔x+1〕〔y+1〕的最大值是4，从而判断出结论即可．【解答】解：〔1〕，当且仅当x=y=1时，等号成立．所以的最小值为2．〔2〕不存在．因为x2+y2≥2xy，所以〔x+y〕2≤2〔x2+y2〕=2〔x+y〕，∴〔x+y〕2﹣2〔x+y〕≤0，又x，y∈〔0，+∞〕，所以x+y≤2．从而有〔x+1〕〔y+1〕≤≤=4，因此不存在x，y，满足〔x+1〕〔y+1〕=5．【点评】此题考查了根本不等式的性质，注意应用性质的条件，此题是一道中档题．。
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版高考理科数学模拟试题精编(一)注意事项：1.作答选择题时，在答题卡上涂黑对应选项的答案信息点。
如需改动，先擦干净再涂其他答案。
不得在试卷上作答。
2.非选择题用黑色钢笔或签字笔作答，写在答题卡指定区域内。
如需改动，先划掉原答案再写新答案。
不得用铅笔或涂改液。
不按要求作答无效。
3.答题卡需整洁无误。
考试结束后，交回试卷和答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
)1.设全集Q={x|2x²-5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A。
3B。
4C。
7D。
82.若复数z=m(m-1)+(m-1)i是纯虚数，其中m是实数，则z=()A。
iB。
-iC。
2iD。
-2i3.已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6=()A。
80B。
85C。
90D。
954.XXX每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口。
已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒。
如果XXX每天到路口的时间是随机的，则XXX上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是()A。
4/5B。
3/4C。
2/3D。
3/56.已知p：a=±1，q：函数f(x)=ln(x+a²+x²)为奇函数，则p 是q成立的()A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件7.(省略了一个选项) 327.(1+x²+4x)²的常数项为()A。
120B。
160C。
200D。
2408.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为()A。
3.119B。
2021-2022年高三下学期第六次模拟考试数学(理)试题含答案
2021年高三下学期第六次模拟考试数学（理）试题含答案一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，） 1．集合，，则（ ）A 、B 、C 、D 、 2．若复数，其中是虚数单位，则复数的模为 A ． B ．C ．D ．23．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和 为A ．117B ．118C ．118．5D ．119．5 4．已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（） A. B. C. D. 5．数列的前n 项和为，若，则( ) A. B. C.D.6．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A ．B ．C ．D ．7．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a 的值为 A ．B ．或C ．D ．或8．设x ∈R ，向量a ＝（2，x ），b ＝（3，－2），且a ⊥b ，则｜a －b ｜＝A ．5B ．C ．2D ．6 9．二项式展开式中的系数是( )A ．-14B ．14C ．-28D ．28 10．在△ABC 中，若,，则b=（ ） A ．3 B ．4 C.5 D .611．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数的零点的个数为开始否 n ＝3n +1n 为偶数k ＝k ＋1 结束n ＝5，k ＝0 是 输出k n 否是A ．4B ．5C ．6D ．712．已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，记直线的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为( ) A ． B ． C D二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)． 13．—个几何体的三视图如图所示(单位:m )则该几何体的体积为___．14．若整数．．满足0700y x x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则的最大值为 ． 15．向平面区域}10,20|),{(≤≤≤≤y x y x .内随机投入一点，则该点落在曲线⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=)21(2)10(23x x x x y 下方的概率等于_______．16．若一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为_____．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分12分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设是数列的前项和， 求使得对所有都成立的最小正整数18．（本小题满分12分） A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2．根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为X 1 5％ 10％ P0.80.2X 2 2％ 8％ 12％ P0.20.50.3（Ⅰ）在两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1，DY 2；（Ⅱ）将万元投资A 项目，万元投资B 项目，表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求的最小值，并指C 1B 1A 1出x 为何值时，取到最小值．（注：）19．（本小题满分12分） 如图，在三棱柱中，侧面底面，， ，，为中点． （Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在上是否存在一点，使得平面?若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由 20．（本小题满分12分）已知两定点，和定直线l ：，动点在直线上的射影为，且． （Ⅰ）求动点的轨迹的方程并画草图；（Ⅱ）是否存在过点的直线，使得直线与曲线相交于， 两点，且△的面积等于？如果存在，请求出直线的方程；如果不存在，请说明理由 21．（本小题满分12分）已知函数，且.（Ⅰ）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；（Ⅱ）当时，求函数的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若与的图像存在三个交点，求的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一．．．题．作答，如果多做，按所做第1题计分。
2021年新疆高考数学第二次适应性检测试卷(理科)-含答案与解析
2021年新疆高考数学第二次适应性检测试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{y|y＝|x+1|，x∈A}，则A∩B＝（）A{﹣1，0} B{0，1} C{﹣1，1} D{﹣1，0，1}2（5分）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，两点A，B对应的复数分别为z1，z2，则z1•＝（）A﹣4﹣7i B﹣8﹣7i C﹣8﹣i D﹣4﹣i3（5分）若关于x的不等式＞0的解集为（﹣2，3），则mn＝（）A5 B﹣5 C6 D﹣64（5分）已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A若a∥b，b⊂α，则a∥αB若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥cC若b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则a⊥βD若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β5（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例若输入n，x的值分别为3，3，输出v时循环体被执行的次数为（）A2 B3 C4 D56（5分）以直角三角形两直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙（希波克拉蒂月牙）面积的和等于该直角三角形的面积，这个定理叫作希波克拉蒂的“月牙定理”如图所示，在直角三角形ABC中，BC＝1，∠CAB＝30°，将整个图形记为区域M，若向区域M内随机投一点P，则点P落入“希波克拉蒂月牙”的概率为（）A B C D7（5分）函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω，φ常数，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为得到函数y＝sinωx的图象，只需将函数f（x）的图象（）A向右平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向左平移个长度单位8（5分）已知向量，满足||＝2，||＝2，与﹣夹角的大小为，则•＝（）A0 B C2 D﹣19（5分）已知抛物线C：y2＝4x，直线x＝my+1（m＞0）与C交于A，B两点，若k表示直线AB的斜率，则k+|AB|的最小值为（）A6 B7 C8 D910（5分）设α，β∈（），sinα，sinβ是方程5x2﹣2x﹣1＝0的两根，则cos αcosβ＝（）A B C D11（5分）已知F1（﹣5，0），F2（5，0）是双曲线的两个焦点，过F1的直线l与圆O：x2+y2＝a2切于点T，且与双曲线右支交于点P，M是线段PF1的中点，若|OM|﹣|TM|＝1，则双曲线的方程为（）A BC D12（5分）若函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣x，则满足f（a+）+f（﹣1﹣2ln（|x|+1））≥0恒成立的实数a的取值范围是（）A[ln2﹣，+∞）B[6ln2﹣，+∞）C[+ln2，+∞）D[+2ln2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）若变量x，y满足则目标函数z＝2x+y的取值范围是14（5分）2021年1月，某地成为新冠疫情中风险地区，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院，每人去一家医院，每家医院至少去1人，则共有种不同的分配方案15（5分）在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，cos（C﹣A）＝，则cos B＝16（5分）南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等已知曲线C：x2＝4y，直线l为曲线C在点（2，1）的切线如图所示，阴影部分为曲线C，直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为U过点（0，y）（0≤y≤1）作U的水平截面，所得截面面积是（用y表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出U的体积是三.解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）记数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n＝3n2﹣n（n∈N*）（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）若数列{}的前n项和为T n，求满足T n＞的最小正整数n18（12分）已知多边形ABCDEF是边长为2的正六边形，沿对角线AD将平面ADEF折起，使得BF＝（1）证明：平面ABCD⊥平面ADEF；（2）在线段AD上是否存在一点C，使二面角A﹣BF﹣G的余弦值为，若存在，请求出AG的长度；若不存在，请说明理由19（12分）全面建成小康社会，一个也不能少，2020年是我国全而打赢脱贫攻坚战的收官之年某地区围绕脱贫攻坚作出一系列重大部署和安排，鼓励农户利用荒坡种植中药材脱贫致富某农户考察三种不同的药材苗A，B，C，经引种试验后发现，引种苗A的自然成活率为0.8，引种苗B，C的自然成活率均为p（0.7≤p≤0.9）（1）任取苗A，B，C各一株，估计自然成活的株数为X，求X的分布列及E（X）；（2）将（1）中的E（X）取得最大值时p的值作为B种药材苗自然成活的概率该农户决定引种n株B种药材苗，引种后没有自然成活的苗中有75%的苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的苗不能成活①求一株B种药材苗最终成活的概率；②若每株药材苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每株亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种药材苗多少株？20（12分）已知椭圆E：＝1（a＞0）的两个焦点为F1，F2，过右焦点F2作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF1的面积为（1）求a的值；（2）过椭圆E上异于其顶点的任意一点P作圆x2+y2＝的两条切线，切点分别为C，D 若直线CD在x轴、y轴上的截距分别是m，n，问是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由21（12分）已知函数f（x）＝•e x（a≥0）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当b∈[0，1）时，设函数g（x）＝（x＞0）有最小值h（b），求h（b）的最大值[选修4-4：坐标系与参数方程]22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝1若正方形ABCD 的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（1，）（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PC|2的取值范围[选修4-5：不等式选讲]23（10分）已知函数f（x）＝|x﹣1|（1）求不等式f（x）+f（2x）≤4的解集M；（2）记集合M中的最大元素为m，若不等式f2（mx）+f（ax）≤m在[1，+∞）上有解，求实数a的取值范围参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析
2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．66．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．27．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．99．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm310．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．1211．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE 上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为______．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为______．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为______．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|=______．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.63519．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（2）若BD=，A1D=2，求二面角A1﹣BD﹣B1的大小．20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为椭圆C 上任意一点，且最小值为0．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若动直线l2，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax．（1）当a=2时，判断函数f（x）在定义域内的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1几何证明选讲]22．自圆O外一点P引圆O的两条割线PAB和PDC，如图所示，其中割线PDC过圆心O．AB= OA，PD=，∠P=15°，（1）求∠PCB的大小；（2）分别球线段BC和PA的长度．[选修4-4坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsinθ+2ρcosθ=20，将曲线C1：（α为参数）经过伸缩变换后得到C2（1）求曲线C2的参数方程；（2）若点M在曲线C2上运动，试求出M到曲线C的距离d的取值范围．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x+a|（1）当a=3时，不等式f（x）≥k+2的解集不是R，求k的取值范围；（2）若不等式f（x）≤1的解集为{x|x≥}，求a的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}【考点】交集及其运算．【分析】分别求解一元二次不等式与指数不等式化简集合A，B，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由x2+x≥0，得x≤﹣1或x≥0，∴A={x|x2+x≥0}={x|x≤﹣1或x≥0}，由5x≥5，得x≥1，∴B={x|5x≥5}={x|x≥1}，∴A∩B={x|x≤﹣1或x≥0}∩{x|x≥1}={x|x≥1}．故选：C．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1 另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：y=sinx是奇函数，但是，[﹣1，1]上单调增函数．y=﹣|x+1|不是奇函数，对于，因为f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以是奇函数，在[﹣1，1]上单调减函数，y=（2x+2﹣x）是偶函数，[﹣1，1]上单调递增．故选：C．4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【考点】相关系数．【分析】A根据相关关系的定义，判断命题A正确；B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断命题B错误；C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题C正确；D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题D正确．【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．故选：B．5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，∴顶层有3盏灯，故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．2【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，y=5，不满足输出条件，故x=5，再次执行循环体后，y=11，不满足输出条件，故x=11，再次执行循环体后，y=23，满足输出条件，故输出的y值为23，故选：A．7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程=1（a＞0，b＞0）得y=，即M（c，）．在△MF1F2中tan45°==1即，解得e==+1．故选：C．8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．9【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域要使z=最大，则x最小，y最大即可，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x≥1，y≥1，要使z=的最大，则x最小，y最大即可，由图象知当z=经过点A时，z取得最大值，由，得x=1，y=3，即A（1，3），则z=的最大值是z==9，故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，直四棱锥底面是一个边长为1.5、4的矩形，高是3，由俯视图得三棱锥的底面是直角三角形，直角边为1、4，由正视图得高即四棱锥的侧棱为3，∴几何体的体积V=+1.5×4×3=20（cm3）故选：A．10．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．12【考点】轨迹方程．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：设=．∵=+（1﹣λ）=+（1﹣λ）．∴C，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线CD．在△ABC中，sinA=．sinC=．由正弦定理得AB==．sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC==．∴S △ABC ==．∴S △ACD =S △ABC =．故选：B ．11．如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（）A ．B ．C ．D ．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E 与C 重合时，AK==，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′（x）=﹣x+b=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣x+b，若函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，则f′（x）=﹣x+b=0有解，即﹣x2+bx+a=0有两个不等的正根，则，得b＞2，（a＜0），由f′（x）=0得x1=，x2=，分析易得f（x）的极小值点为x1，∵b＞2，（a＜0），∴x1==∈（0，），则f（x）极小值=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a，设g（x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，），f（x）的极小值恒大于0等价为g（x）恒大于0，∵g′（x）=+x=＜0，∴g（x）在（0，）上单调递减，故g（x）＞g（）=aln﹣a≥0，得ln≤，即﹣a≤e3，则a≥﹣e3，故a的最小值为是﹣e3，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值为﹣，故答案为：﹣．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为84 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项式（x+）n的展开式的通项，可得y3（x+）n 的展开式的通项，再由x，y的指数为0求得n，r的值，则答案可求．【解答】解：二项式（x+）n的展开式的通项为，则要使y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，需，即n=9，r=3．∴常数项为：．故答案为：84．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为 4 ．【考点】等差数列的性质．【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出a n、S n，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：因为a1，a3，a13成等比数列，所以，又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d），解得d=2或d=0（舍去），所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，S n==n2，则====﹣2≥2﹣2=4，当且仅当时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案为：4．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|= 16 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB方程y=k（x﹣1），与抛物线方程y2=4x联立，利用tan∠AMB=，建立k的方程，求出k，即可得出结论．【解答】解：焦点F（1，0），M（﹣1，0），设AB方程y=k （x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）∵tan∠AMB=，∴=，整理可得2k（x1﹣x2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2…（*）y=k（x﹣1），与y2=4x联立可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0 可得x1x2=1，x1+x2=+2，y1y2=﹣4代入（*）可得2k（x1﹣x2）=?，∴x1﹣x2=，∴（+2）2﹣4=（）2，∴k=±，∴x1+x2=+2=14，∴|AB|==16．故答案为：16．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简可得tanA=tanB，于是C=π﹣2A，代入sin2A（2﹣cosC）=cos2B+化简可求得A；（2）利用正弦定理用B表示出b，c，得到面积S关于B的函数，求出B的范围，得出S的范围．【解答】解：（1）∵，，∴tanA=tanB，∴A=B．∴C=π﹣2A．∵sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，∴sin2A（2+cos2A）=cos2A+，即（1﹣cos2A）（2cos2A+1）=cos2A+，解得cos2A=，∵A+B+C=π，A=B，∴A，∴cosA=，∴A=，C=π﹣2A=．（2）由正弦定理得，∴b=2sinB，c=2sinC=2sin（）=2sinB+2cosB．∴S==2sin2B+2sinBcosB=sin2B﹣cos2B+1=sin（2B﹣）+1．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴．∴＜2B﹣＜，∴2＜sin（2B﹣）≤1+．∴△ABC面积的取值范围是（2，1+]．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，可得结论；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，可得结论．（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意，K2=≈0.65＜0.708，∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中“微信控”有3人，“非微信控”的人数有2人；（3）X=1，2，3，则P（X=1）==0.3，P（X=2）==0.6，P（X=3）==0.1．X的分布列为：X 1 2 3P 0.3 0.6 0.1X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；。
2021年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)(学生版+解析版)
2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合M ＝{x |0＜x ＜4}，N ＝{x |13≤x ≤5}，则M ∩N ＝（ ）A ．{x |0＜x ≤13}B ．{x |13≤x ＜4}C ．{x |4≤x ＜5}D ．{x |0＜x ≤5}2．（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 3．（5分）已知（1﹣i ）2z ＝3+2i ，则z ＝（ ） A ．﹣1−32iB ．﹣1+32iC ．−32+iD ．−32−i4．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5+lgV ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（√1010≈1.259） A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.65．（5分）已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为（ ）A ．√72B ．√132C ．√7D ．√136．（5分）在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A ﹣EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（5分）等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ．设甲：q ＞0，乙：{S n }是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A '，B '，C '满足∠A 'C 'B '＝45°，∠A 'B 'C '＝60°．由C 点测得B 点的仰角为15°，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A 'B 'C '的高度差AA '﹣CC '约为（ ）（√3≈1.732）A ．346B ．373C ．446D ．4739．（5分）若α∈（0，π2），tan2α=cosα2−sinα，则tan α＝（ ）A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√15310．（5分）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．13B ．25C ．23D ．4511．（5分）已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，则三棱锥O ﹣ABC 的体积为（ ） A ．√212B ．√312C ．√24D ．√3412．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，当x ∈[1，2]时，f （x ）＝ax 2+b ．若f （0）+f （3）＝6，则f （92）＝（ ）A ．−94B ．−32C ．74D ．52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
衡水金卷一理科数学试题含答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数〔一〕第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 集合，，，那么〔〕A. B. C. D.2. 设是虚数单位，假设，，，那么复数的共轭复数是〔〕A. B. C. D.3. 等差数列的前项和是，且，那么以下命题正确的选项是〔〕A. 是常数B. 是常数C. 是常数D. 是常数4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板〞，它是由五块等腰直角三角形〔两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形〕、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，那么此点取自黑色局部的概率是〔〕学*科*网...A. B. C. D.5. 点为双曲线：〔，〕的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，假设的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.6. 函数那么〔〕A. B. C. D.7. 执行如下图的程序框图，那么输出的的值为〔〕A. B. C. D.8. 函数〔〕的相邻两个零点差的绝对值为，那么函数的图象〔〕A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得9. 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为〔〕A. B. C. D.10. 某几何体的三视图如下图，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，那么该几何体的外接球的外表积是〔〕A. B. C. D.11. 抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，假设与的斜率的平方和为1，那么的最小值为〔〕A. 16B. 20C. 24D. 3212. 假设函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．假设函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．假设，，使成立，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13. 向量，，且，那么．14. ，满足约束条件那么目标函数的最小值为．15. 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，那么数列的前项和为．16. 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，那么五棱锥的体积的取值范围为．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17. 的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．〔1〕求及角的大小；〔2〕求的值．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．〔1〕求证：；〔2〕假设动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．19. “过大年，吃水饺〞是我国不少地方过春节的一大习俗．2021年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，〔1〕求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；〔2〕①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，假设某人从某超市购置了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②假设，那么，．20. 椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？假设存在，求出点坐标及该定值，假设不存在，试说明理由．21. 函数，其中为自然对数的底数.〔1〕假设函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；〔2〕函数，且，假设函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为〔为参数，是大于0的常数〕．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．〔1〕求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；〔2〕分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，假设圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．23. 选修4-5：不等式选讲函数．〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设正数，满足，求证：．一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 集合，，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，应选C.2. 设是虚数单位，假设，，，那么复数的共轭复数是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】，根据两复数相等的充要条件得，即，其共轭复数为，应选A.3. 等差数列的前项和是，且，那么以下命题正确的选项是〔〕A. 是常数B. 是常数C. 是常数D. 是常数【解析】，为常数，应选D.4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板〞，它是由五块等腰直角三角形〔两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形〕、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，那么此点取自黑色局部的概率是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由七巧板的构造可知，，故黑色局部的面积与梯形的面积相等，那么所求的概率为，应选A.5. 点为双曲线：〔，〕的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，假设的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【解析】由，解得点，又，那么的中点坐标为，于是，，那么，解得或〔舍去〕，应选D.【方法点睛】此题主要考察双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考察中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．此题中，根据的中点坐标为在双曲线上找出之间的关系，从而求出离心率．6. 函数那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为的圆的面积的，故，应选D.7. 执行如下图的程序框图，那么输出的的值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】图中程序数列的和，因为，故此框图实质计算，应选C.8. 函数〔〕的相邻两个零点差的绝对值为，那么函数的图象〔〕A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】B【解析】，因为函数〔〕的相邻两个零点差的绝对值为，所以函数的最小正周期为，而，，故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，应选B.9. 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】令，得，而常数项为，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为，应选A.10. 某几何体的三视图如下图，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，那么该几何体的外接球的外表积是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个六棱锥，其底面是边长为的正六边形，有一个侧面是底边上的离为的等腰三角形，且有侧面底面，设球心为，半径为到底面的距离为，底面正六边形外接球圆半径为，解得此六棱锥的外接球外表枳为，应选C.【方法点睛】此题利用空间几何体的三视图重点考察学生的空间想象能力和抽象思维能力以及外接球的外表积，属于难题.三视图问题是考察学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译〞成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等〞，还要特别注意实线与虚线以及一样图形的不同位置对几何体直观图的影响.11. 抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，假设与的斜率的平方和为1，那么的最小值为〔〕A. 16B. 20C. 24D. 32【答案】C【解析】易知直线，的斜率存在，且不为零，设，直线的方程为，联立方程，得，，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，又〔当且仅当时取等号〕，的最小值为，应选C.12. 假设函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．假设函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．假设，，使成立，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】是定义在区间内的级类周期函数，且，，当时，，故时，时，，而当时，，，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，故，依题意得，即实数的取值范围是，应选B.【方法点睛】此题主要考察分段函数函数的最值、全称量词与存在量词的应用以及新定义问题. 属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：〔1〕只需；〔2〕，只需；〔3〕，只需；〔4〕，，.第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13. 向量，，且，那么．【答案】【解析】,,故答案为.14. ，满足约束条件那么目标函数的最小值为．【答案】【解析】，作出约束条件表示的可行域，如图，平移直线，由图可知直线经过点时，取得最小值，且，，故答案为.【方法点晴】此题主要考察线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕；〔2〕找到目标函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，那么数列的前项和为．【答案】【解析】设的公比为，那么由等比数列的性质，知，那么，由与的等差中项为，知，得，即，那么，，故答案为.16. 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，那么五棱锥的体积的取值范围为．【答案】【解析】，平面，设，那么五棱锥的体积，，得或〔舍去〕，当时，单调递增，故，即的取值范围是，故答案为.三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17. 的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．〔1〕求及角的大小；〔2〕求的值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：〔1〕由及正弦定理化简可得即，从而得．又，所以，由余弦定理得；〔2〕由，得，所以．试题解析：〔1〕由及正弦定理得，即，在中，，所以．又，所以．在中，由余弦定理得，所以．〔2〕由，得，所以．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．〔1〕求证：；〔2〕假设动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：〔1〕连接，，，与的交点为，连接，那么，由正方形的性质可得，从而得平面，，又，所以；〔2〕由勾股定理可得，由〔1〕得所以底面，所以、、两两垂直．以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设〔〕，求得，利用向量垂直数量积为零可得平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程可解得，从而可得结果.试题解析：〔1〕连接，，，因为，，所以和均为正三角形，于是．设与的交点为，连接，那么，又四边形是正方形，所以，而，所以平面．又平面，所以，又，所以．〔2〕由，及，知，于是，从而，结合，，得底面，所以、、两两垂直．如图，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，那么，，，，，，，，由，易求得．设〔〕，那么，即，所以．设平面的一个法向量为，由得令，得，设直线与平面所成角为，那么，解得或〔舍去〕，所以当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为．【方法点晴】此题主要考察利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：〔1〕观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；〔2〕写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；〔3〕设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；〔4〕将空间位置关系转化为向量关系；〔5〕根据定理结论求出相应的角和距离.19. “过大年，吃水饺〞是我国不少地方过春节的一大习俗．2021年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，〔1〕求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；〔2〕①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，假设某人从某超市购置了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②假设，那么，．【答案】(1) (2) 〔3〕的分布列为0 1 2 3 4∴．【解析】试题分析：〔1〕直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；〔2〕①∵服从正态分布，且，，由可得落在内的概率是，②的可能取值为，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望.试题解析：〔1〕所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．〔2〕①∵服从正态分布，且，，∴，∴落在内的概率是．②根据题意得，；；；；．∴的分布列为0 1 2 3 4∴．20. 椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？假设存在，求出点坐标及该定值，假设不存在，试说明理由．【答案】(1) (2) 存在点，使得为定值，且定值为0．【解析】试题分析：〔1〕由椭圆的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为可得，解方程组即可的结果；〔2〕由得，根据韦达定理以及过两点的直线的斜率公式可得，只需令，即可得结果. 试题解析：〔1〕由可得解得，，所求椭圆方程为．〔2〕由得，那么，解得或．设，，那么，，设存在点，那么，，所以．要使为定值，只需与参数无关，故，解得，当时，．综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0．21. 函数，其中为自然对数的底数.〔1〕假设函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；〔2〕函数，且，假设函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：〔1〕函数在区间上单调递增等价于在区间上恒成立，可得，函数在区间单调递减等价于在区间上恒成立，可得，综合两种情况可得结果；〔2〕，由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，那么在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以只需在区间内恰有两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性讨论的零点，从而可得结果．试题解析：〔1〕，当函数在区间上单调递增时，在区间上恒成立，∴〔其中〕，解得；当函数在区间单调递减时，在区间上恒成立，∴〔其中〕，解得．综上所述，实数的取值范围是．〔2〕．由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，那么在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以在区间内恰有两个零点．由〔1〕知，当时，在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意．当时，在区间上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意；所以．令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．记的两个零点为，〔〕，因此，，必有，．由，得，所以，又，，所以．综上所述，实数的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为〔为参数，是大于0的常数〕．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．〔1〕求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；〔2〕分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，假设圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．【答案】(1) ， (2) ，【解析】试题分析：〔1〕先将圆的参数方程化为直角坐标方程，再利用可得圆的极坐标方程，两边同乘以利用互化公式即可得圆的直角坐标方程；〔2〕由〔1〕知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，圆与圆外切的性质列方程解得，分别将代入、的极坐标方程，利用极径的几何意义可得线段的长.试题解析：〔1〕圆：〔是参数〕消去参数，得其普通方程为，将，代入上式并化简，得圆的极坐标方程，由圆的极坐标方程，得．将，，代入上式，得圆的直角坐标方程为．〔2〕由〔1〕知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，，∵圆与圆外切，∴，解得，即圆的极坐标方程为．将代入，得，得；将代入，得，得；故．【名师点睛】此题考察圆的参数方程和普通方程的转化、圆的极坐标方程和直角坐标方程的转化以及极径的几何意义，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只需利用转化即可.23. 选修4-5：不等式选讲函数．〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设正数，满足，求证：．【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：〔1〕对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集，即可得不等式的解集；〔2〕先利用根本不等式成立的条件可得，所以.学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...试题解析：〔1〕此不等式等价于或或解得或或．即不等式的解集为．〔2〕∵，，，，即，当且仅当即时取等号．∴，当且仅当，即时，取等号．∴．。