空间中的平行与垂直关系

突破点11 空间中的平行与垂直关系(1)面内的两条直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线．(2)异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直或相交垂直．(3)求异面直线所成角的一般步骤为：①找出(或作出)适合题设的角——用平移法；②求——转化为在三角形中求解；③结论——由②所求得的角或其补角即为所求.(1)(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(3)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．(4)两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(1)平行的性质定理；③面面平行的性质定理；④线面垂直的性质定理．(2)证明线面平行的方法：①寻找线线平行，利用线面平行的判定定理；②寻找面面平行，利用面面平行的性质．(3)证明线面垂直的方法：①线面垂直的定义，需要说明直线与平面内的所有直线都垂直；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理．(4)证明面面垂直的方法：①定义法，即证明两个平面所成的二面角为直二面角；②面面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线．回访1异面直线的性质1．(2016·全国乙卷)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.32 B.22C.33 D.13A[设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为3 2.]2．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交D[由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．]回访2面面平行的性质与线面位置关系的判断3．(2013·全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于lD[根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.]4．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)②③④[对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m ⊥l，所以m⊥n，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]题型分析：此类题目综合体现了相关判定定理和性质定理的考查，同时也考查了学生的空间想象能力及转化与化归的思想.(1)(2016·兰州三模)α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于点B，CD⊥α于点D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________．【导学号：85952040】①③[若AC⊥β，且EF⊂β，则AC⊥EF，又AB⊥α，且EF⊂α，则AB⊥EF，AB和AC是平面ACDB上的两条相交直线，则EF⊥平面ACDB，则EF⊥BD，①可以成为增加的条件；AC与α，β所成的角相等，AC和EF不一定垂直，可以相交、平行，所以EF与平面ACDB不一定垂直，所以推不出EF与BD垂直，②不能成为增加的条件；由CD⊥α，EF⊂α，得EF⊥CD，所以EF与CD 在β内的射影垂直，又AC与CD在β内的射影在同一直线上，所以EF⊥AC，CD和AC是平面ACDB上的两条相交直线，则EF⊥平面ACDB，则EF⊥BD，③可以成为增加的条件；若AC∥EF，则AC∥α，则BD∥AC，所以BD∥EF，④不能成为增加的条件，故能成为增加条件的序号是①③.]图11-1(2)(2016·全国乙卷)如图11-1，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，P A＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面P AB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.①证明：G是AB的中点；②在图中作出点E在平面P AC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．[解题指导](2)①正投影D，E→AB⊥PD，AB⊥DE→AB⊥平面PED →AB⊥PG②P A⊥PBPB⊥PC→过点E作EF∥PB交P A于点F→证明EF⊥平面P AC→点D在CG上→PE＝23PG，DE＝13PC→DE＝2，PE＝22→EF＝PF＝2→求四面体的体积[解]①证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD.因为D在平面P AB内的正投影为E，所以AB⊥DE.1分因为PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.2分又由已知可得，P A＝PB，所以G是AB的中点.3分②在平面P AB内，过点E作PB的平行线交P A于点F，F即为E在平面P AC 内的正投影.4分理由如下：由已知可得PB⊥P A，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥P A，EF ⊥PC.又P A∩PC＝P，因此EF⊥平面P AC，即点F为E在平面P AC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由①知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝23CG.8分由题设可得PC⊥平面P AB，DE⊥平面P AB，所以DE∥PC，因此PE＝23PG，DE＝13PC.10分由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PE＝2 2. 在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，11分所以四面体PDEF的体积V＝13×12×2×2×2＝43.12分在解答空间中线线、线面和面面的位置关系问题时，我们可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例和构建几何模型．判断两直线是异面直线是难点，我们可以依据定义来判定，也可以依据定理(过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线)判定．而反证法是证明两直线异面的有效方法．提醒：判断直线和平面的位置关系中往往易忽视直线在平面内，而面面位置关系中易忽视两个平面平行．此类问题可以结合长方体中的线面关系找出假命题中的反例．[变式训练1](1)(2016·石家庄二模)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3B[若m⊂α，n∥α，则m，n可能平行或异面，①错误；若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ，②正确；若α∩β＝n，m∥n，则m∥α或m∥β或m⊂α或m⊂β，③错误；若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能平行或相交，④错误，则真命题个数为1，故选B.](2)(2016·全国丙卷)如图11-2，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．图11-2①证明MN∥平面P AB；②求四面体N-BCM的体积．[解]①证明：由已知得AM＝23AD＝2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，2分所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .4分②因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .如图，取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.6分由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.8分所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.12分题型分析：(1)度量关系的变化情况.(2)找出其中变化的量和没有变化的量，一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.(2016·全国甲卷)如图11-3，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．图11-3(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′-ABCFE 的体积．[解] (1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD .1分又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD ，故AC ∥EF .2分由此得EF ⊥HD ，故EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.3分(2)由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.4分由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.5分于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2，故OD ′⊥OH .6分由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′.8分又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC .又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92.10分五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694.11分所以五棱锥D ′-ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝2322.12分翻折问题的注意事项1．画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图．2．把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础．3．准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征，这是准确进行计算的基础．[变式训练2] (2016·海淀二模)已知长方形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝2，E 为AB 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△PDE ，得到四棱锥P -BCDE ，如图11-4所示．图11-4(1)若点M 为PC 的中点，求证：BM ∥平面PDE ；(2)当平面PDE ⊥平面BCDE 时，求四棱锥P -BCDE 的体积；(3)求证：DE ⊥PC .[解] (1)证明：取DP 中点F ，连接EF ，FM .因为在△PDC 中，点F ，M 分别是所在边的中点，所以FM 綊12DC .1分又EB 綊12DC ，所以FM 綊EB ，2分所以四边形FEBM 是平行四边形，所以BM ∥EF .3分又EF ⊂平面PDE ，BM ⊄平面PDE .所以BM ∥平面PDE .4分(2)因为平面PDE ⊥平面BCDE ，在△PDE 中，作PO ⊥DE 于点O ，因为平面PDE ∩平面BCDE ＝DE ，所以PO ⊥平面BCDE .6分在△PDE 中，计算可得PO ＝63，7分所以V 四棱锥P -BCDE ＝13Sh ＝13×12(1＋2)×2×63＝33.8分(3)证明：在矩形ABCD 中，连接AC 交DE 于点I ， 因为tan ∠DEA ＝2，tan ∠CAB ＝22，所以∠DEA ＋∠CAB ＝π2，所以DE ⊥AC ，9分所以在四棱锥P -BCDE 中，PI ⊥DE ，CI ⊥DE ，10分 又PI ∩CI ＝I ，所以DE ⊥平面PIC .11分因为PC ⊂平面PIC ，所以DE ⊥PC .12分。