求轨迹方程方法之相关点法(代入法)
求动点轨迹方程的几种方法
1、求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.2、求动点轨迹方程的几种方法：(1)直接法：(2)定义法：(3)相关点代入法：(4)待定系数法；（5）交轨法；（6）参数法：（7）点差法： 典型例题一：直接法： 此类问题重在寻找数量关系。
当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例1：已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1．求曲线C 的方程．二：定义法：熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键.1)圆：到定点的距离等于定长；2)椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）；3)双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）；4)抛物线：到定点与定直线距离相等.（定点不在定直线上）.例1.已知点()1,0F ，点A 是直线1:1l x =-上的动点，过A 作直线2l ，12l l ⊥，线段AF 的垂直平分线与2l 交于点P .求点P 的轨迹C 的方程.例2： 一条线段AB 的长等于a 2,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点M 的轨迹方程？例3：已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.求曲线Γ的方程.例4：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
5:一动圆与圆O ：122=+y x 外切，而与圆C ：08622=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是：A ：抛物线B ：圆C ：椭圆D ：双曲线一支三：相关点代入法 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )； (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．例1：点P (4,－2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )例2：已知抛物线2 4C y x =： 焦点为F .点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 轨迹方程.3.已知A 为曲线2:410C x y 上的动点，定点(2,0)M ，若2AT TM ，求动点T 的轨迹方程.四、交轨法 1.求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程. 2.若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程，也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程，再化为普通方程.例：两条直线10x my --=和10mx y +-=的交点的轨迹方程是（ ）五、待定系数法六、参数法此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。
三、相关点法求轨迹方程(高中数学解题妙法)
三、相关点法求轨迹方程(高中数学解题妙法)2.求出动点C和动点P之间的等量关系式；3.将等量关系式代入已知曲线方程，得到所求动点的轨迹方程。
本文介绍了相关点法求轨迹方程的基本步骤。
当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程：某个动点P在已知方程的曲线上移动；另一个动点M随P的变化而变化；在变化过程中P和M满足一定的规律。
关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系。
举例来说，对于点P(4.-2)与圆x^2+y^2=4上任一点连线的中点轨迹方程，我们可以设点P与圆上任一点N(x,y)连线的中点为M(x,y)，然后求出x=2x-4,y=2y+2的关系式，代入圆的方程可得(x-2)^2+(y+1)^2=1，因此答案为A.(x-2)^2+(y+1)^2=1.另一个例题是：设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN=2MP，PM⊥PF，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程。
我们可以设动点P的坐标为(x，y-yA)，动点C为F(1,0)，求出等量关系式后代入y^2=4x，得到点N的轨迹方程为y^2=4x。
综上所述，相关点法求轨迹方程的基本思路是设定两个动点，求出它们之间的等量关系式，再代入已知曲线方程得到所求动点的轨迹方程。
y0)，B(x,y)，P(x1,y1)，则由题意得：点B在抛物线上，即y2=x+1，代入得y=x2+1；点P在线段AB上，且点M的坐标为(2,0)，即线段AB的中点坐标为((x0+x)/2,(y0+x2+1)/2)。
根据上述条件，可以列出以下方程组：y=x2+1y-y0=(x-x0)/2y-(y0+x0^2+1)/2=2(x-2)/3解方程组得到：x1=3x0/2-x/2+2/3y1=3x0^2/4+y0/2+1/3代入抛物线方程y2=x+1得到点P的轨迹方程为：y1^2=(3x1/2-1)^2+1。
求轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的常用方法重点: 掌握常用求轨迹方法难点：轨迹的定型及其纯粹性和完备性的讨论【自主学习】知识梳理：（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
高中数学解题方法-----求轨迹方程的常用方法
练习
1.一动圆与圆
外切，同时与圆 x2 + y2 − 6x − 91 = 0内切，求动圆圆心
M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
2. 动圆 M 过定点 P（－4，0），且与圆 ：C x2+ －y2 8x = 0 相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。 1.在∆ABC 中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为 16，则点 A 的轨迹方 程是_______________________________.
高中数学解题方法
---求轨迹方程的常用方法
（一）求轨迹方程的一般方法： 物1线.）定的义定法义：，如则果可动先点设P出的轨运迹动方规程律，合再乎根我据们已已知知条的件某，种待曲定线方（程如中圆的、常椭数圆，即、可双得曲到线轨、迹抛 方程。 P 满2.足直的译等法量：关如系果易动于点建立P 的，运则动可规以律先是表否示合出乎点我P们所熟满知足的的某几些何曲上线的的等定量义关难系以，判再用断点，但P 点的 坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何 量y＝tg，（以t）此，量进作而为通参过变消数参，化分为别轨建迹立的普P 点通坐方标程xF，（yx与，该y）参＝数0。t 的函数关系 x＝f（t）， 4. 代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的 运出动相规关律点已P'知的，坐（标该，点然坐后标把满P足'的某坐已标知代曲入线已方知程曲），线则方可程以，设即出可得P（到x动，点y），P 的用轨（迹x，方y程）。表示
题目 6：已知点 P 是圆(x +1)2 + y2 =16 上的动点，圆心为 B ，A(1,0) 是圆内的定点；PA 的中垂线交 BP 于点Q ．（1）求点Q 的轨迹C 的方程；
轨迹方程的求法
解:以BC所在的直线为x轴，BC中点为坐标
原点，建立如图所示的直角坐标系，则B
（一a/2，0），C（a/2，0），设A（x，y）
则
由sinC－ sinB=
∴c-b=
1 2
a
1 2
sinA
A
B
C
即|AB|-|AC|=
1 2
a（定值）
些密如发丝的暗青色珠粒被烟一晃，立刻变成皎洁辉映的珠光，不一会儿这些珠光就闪烁着飞向罕见异绳的上空，很快在四金砂地之上 变成了隐隐约约的凸凹飘动的摇钱树……这时，宝石状的物体，也快速变成了树皮模样的湖青色胶状物开始缓缓下降……只见女政客
4、参数法 例题4、已知线段AB的长为a，P分AB为
AP∶PB= 2∶l两部分，当A点在y轴上运动时， B点在x轴上运动，求动点P的轨迹方程。
解 ： 设 动 点 P （ x ， y ） ， AB 和 x 轴 的 夹 角 为 θ ，
|θ|≤
2
，作PM⊥x于M,
PN⊥y轴于N
∵|AB|= a, | AP | 2
皮肤时浓时淡渗出水睡朦胧般的晃动！接着玩了一个，飞蟒吊灯翻一千零八十度外加狐嚎排骨旋七周半的招数，接着又来了一出，怪体 牛蹦海飞翻七百二十度外加笨转四百周的尊贵招式……紧接着异常的如同原木一样的脚立刻蠕动变形起来……鲜红色酒罐耳朵闪出水绿 色的团团明烟……深灰色麦穗样的嘴唇闪出中灰色的点点神响。最后摆起多变的深黄色土堆模样的卷发一嚎，飘然从里面涌出一道佛光， 她抓住佛光冷峻地一颤，一件银晃晃、黄澄澄的咒符『蓝鸟骨怪火腿宝典』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边转化，一边发出“咝 咝”的神响。骤然间女政客Ｔ．克坦琳叶女士急速地弄了一个侧卧扭曲炸蛤蟆的怪异把戏，，只见她修长的淡灰色怪石一样的脑袋中，威
轨迹方程问题的解决方法---四种
轨迹方程问题的解决办法
方法一直接法
使用情景：可以直接列出等量关系式。
解题步骤：
第一步根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。
）
第二步根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
方法二定义法
使用情景：轨迹符合某一基本轨迹的定义。
解题步骤：
第一步根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）
第二步直接根据定义写出动点的轨迹方程
方法三相关点法（代入法）
使用情景：动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动。
解题步骤：
第一步判断动点P（x，y）随着已知曲线上的一个动点Q（x ,y）的运动而运动
第二步求出关系式X=f(x,y),y=g(x,y)
第三步将Q点的坐标表达式代入已知曲线方程。
方法四参数法
使用情景：动点的运动受另一个变量的制约时。
解题步骤：
第一步引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标x,y; 第二步消去参数，得到关于x,y的方程，即为轨迹方程。
2、相关点法和点差法求轨迹方程
相关点法和点差法求轨迹方程除了直译法和定义法，相关点法和点差法也是求轨迹方程的一种重要方法。
一、相关点法相关点法所适用的题目特征：（1）题目中出现已知点A 在曲线C ：f(x,y)=0上 （2）已知点A 、B 满足一定的关系式 （3）求点B 的轨迹方程其中A 叫做主动点，B 叫做被动点。
我们的解题步骤一般为： （1）设00(,),(,)B x y A x y（2）根据A 、B 关系式，整理出()()0102,,x f x y y f x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ （3）根据题目中原有的曲线()00,0f x y =，替换掉x0和y0，整理出(),0g x y =即为所求例1 已知点A 为椭圆2212516x y +=上任一点，点B(2，1)，动点P 满足2AP PB =，求P 轨迹方程解析：显然符合相关点法的题目特征，这里A 是主动点，B 是定点，P 是被动点。
我们按照步骤进行操作。
设()()00,,,P x y A x y由2AP PB =得到()()00,22,1x x y y x y --=--从而有003432x x y y =-⎧⎨=-⎩由220012516x y +=得到()()22343212516x y --+=例2 已知M 、N 是椭圆22142x y +=上的两个动点，且直线OM 与直线ON 的斜率之积为12-，若点P 满足2OP OM ON =+，求点P 的轨迹方程 解析：显然符合相关点法的题目特征。
只不过这里有两个主动点M 和N ，那么方法依然是没有变的。
只不过在代换的时候，需要结合题目条件处理的更灵活。
设()()()1122,,,,,P x y M x y N x y由2OP OM ON =+得到()()()1122,,2,x y x y x y =+即121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩而2211142x y +=以及2222142x y +=，即2222112224,24x y x y +=+= 又由12OM ON k k =-得到121212y y x x =-，即121220y y x x +=寻找其中的关系，我们可以得到：()()()()()22221212222211221212222224242416020x y x x y y x y x y x x y y +=+++=+++++=++=因此轨迹方程为22220x y +=即2212010x y +=二、点差法点差法的适用题目特征更明显，只要题目是求弦中点轨迹的，一般都用点差法进行解决。
4.轨迹方程.代入法
第四讲:轨迹方程.代入法若动点P(x,y)的运动变化依赖于己知曲线C:F(x,y)=0上的动点Q(s,t)的运动变化,此时我们把动点P(x,y)中的x 、y 视为己知,根据题目条件着力于求点Q(s,t)的坐标,即s=f(x,y),t=g(x,y),然后把s=f(x,y)与t=g(x,y)代入方程F(x,y) =0,并化简整理即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法我们称为代入法.一.解题程序例1:(2009年江西高考试题)己知点P 1(x 0,y 0)为双曲线22228b y b x -=1(b 为正常数)上任意一点,F 2为双曲线的右焦点,过P 1作右准线的垂线,垂足为A,连 y 结F 2A 并延长交y 轴于点P 2. P 2 (Ⅰ)求线段P 1P 2的中点P 的轨迹E 的方程; P (Ⅱ)设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点,在E P 1 A上任取一点Q(x 1,y 1)(y 1≠0),直线QB 、QD O F 2 x 分别交y 轴于M 、N 两点,求证:以MN 为 直径的圆过两定点.解析:(Ⅰ)因a 2=8b 2⇒c=3b ⇒c a 2=38b,由点P 1(x 0,y 0)⇒A(38b,y 0);设点P 2(0,t)由t:y 0=c:(c-c a 2)⇒t=9y 0.设点P(x,y),则x=21x 0,且y=5y 0⇒x 0=2x,y 0=51y,代入双曲线22228b y b x -=1得:2222252by b x -=1,此即是点P 的轨迹E 的方程;(Ⅱ)在2222252b y b x -=1中,令y=0得x=±2b ⇒B(-2b,0),D(2b,0)⇒直线QB 、QD 的方程分别为y=bx y 211+(x+2b)、y=bx y 211-(x-2b)⇒M(0,bx by 2211+)、N(0,bx by 2211--)⇒以MN 为直径的圆:x 2+(y-bx by 2211+)(y+bx by 2211-)=0⇒x 2+y 2+22122b x by -y 1-22121222b x y b -=0(由221221252by b x -=1⇒x 12-2b 2=252y 12)⇒252(x 2+y 2-25b 2)y 1+2by=0⇒x 2+y 2-25b 2=0,且y=0⇒x=±5b.即以MN 为直径的圆过两定点(-5b,0)和(5b,0).类题:1.(1985年上海高考试题)如图,由抛物线y=x 2+2上的点M(x 0,y 0)向直线y=21x 作垂线,垂足为N,延长MN 至P 点,使得|MN|=4|NP|.(Ⅰ)用x 0,y 0表示点N 的坐标(x 1,y 1); (Ⅱ)用x 0,y 0表示点P 的坐标(x,y);(Ⅲ)求当点M 沿抛物线移动时,点P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.2.(2011年全国高中数学联赛河北预赛试题)已知O 为坐标原点,B(4,0),C(5,0),过C 作x 轴的垂线,M 是这垂线上的动点,以O 为圆心,OB 为半径作圆,MT 1,MT 2是圆的切线,求△MT 1T 2垂心的轨迹方程.二.压缩变换例2:(2011年陕西高考试题)如图, y设P 是圆x 2+y 2=25上的动点,点D 是 P P 在x 轴上的摄影,M 为PD 上一点, M 且|MD|=54|PD|. O D x (Ⅰ)当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为54的直线被C 所截线段的长度.解析:(Ⅰ)设M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(x p ,y p ),由已知x p =x,y p =45y,由P 在圆上⇒x 2+(45y)2=25⇒轨迹C:252x +162y =1; (Ⅱ)过点(3,0),且斜率为54的直线方程为y=54(x-3),设直线与C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由⎪⎩⎪⎨⎧⋅=+-=25162516)3(5422y x x y ⇒x 2 -3x-8=0⇒|AB|=541. 类题:1.(1992年上海高考试题)设动直线l 垂直于x 轴,且与椭圆2422y x +=1交于A 、B 两点,P 是l 上满足|PA|.|PB|=1的点,求点P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.2.(2012年湖北高考试题)设A 是单位圆x 2+y 2=1上任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m ≠1)当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C. (Ⅰ)求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(Ⅱ)过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P,Q 两点,其中P 在第一象限,且它在y 轴上的射影为点N,直线QN 交曲线C 于另一点H,是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ ⊥PH ？若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.三.一相关点例3:(2006年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知椭圆C:22ax +22by =1(a>b>0),其离心率为54,两准线之间的距离为225. (Ⅰ)求a,b 之值;(Ⅱ)设点A 坐标为(6,0),B 为椭圆C 上的动点,以A 为直角顶点,作等腰直角△ABP(字母A,B,P 按顺时针方向排列),求P 点的轨迹方程.解析:(Ⅰ)设c 为椭圆的焦半径,则a c=54,2c a 2=225,于是有a ＝5,b ＝3; (Ⅱ)解法一:设B(s,t),P(x,y),于是有AB =(s-6,t),AP =(x-6,y).AB AP =0⇒(s-6)(x-6)+ty=0⇒s-6=-6-x ty; |AB |=|AP |⇒(s-6)2+t 2=(x-6)2+y 2⇒(6-x ty )2+t 2=(x-6)2+y 2⇒t 2=(x-6)2⇒y 2=(s-6)2⇒s=6-y 代入椭圆方程,即得动点P 的轨迹方程9)6(2-x +25)6(2-y =1.解法二:设P(x,y),AP =(x-6,y),z=(x-6)+yi ⇒z(cos900+isin900)=-y+(x-6)i ⇒AB (-y,x-6)⇒B(6-y,x-6)代入椭圆方程,即得动点P 的轨迹方程9)6(2-x +25)6(2-y =1. 类题:1.(1986年全国高考试题)己知抛物线y 2=x+1,定点A(3,1),B 为抛物线上任意一点,点P 在线段AB 上,且有BP:PA=1:2, 当点B 在抛物线上变动时,求点P 的轨迹方程,并指出这个轨迹是哪个曲线？ 2.(2013年辽宁高考试题)如图,抛物线C 1: A y x 2=4y,C 2:x 2=-2py(p>0),点M(x 0,y 0)在抛物线C 2上,过M 作C 1的切线,切点为A,B(M 为 B原点时,A,B 重合于O).当x 0=1-2时,切线 O x MA 的斜率为-21. M (Ⅰ)求p 的值;(Ⅱ)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O).四.两相关点例4:(2011年重庆高考试题)(文)如图,椭圆的中心为原点O,离心率e=22,一条准线的方程是x=22.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设动点P 满足:OP =OM +2ON ,其中M,N 是椭圆上的点, 直线OM 与ON 的斜率之积为-21.问:是否存在定点F,使得 |PF|与点P 到直线l:x=210的距离之比为定值？若存在,求F 的坐标;若不存在,说明理由.解析:(Ⅰ)设椭圆:22a x +22b y =1(a>b>0),则221a b -=22,222b a a -=22⇒a 2=4,b 2=2⇒椭圆的标准方程42x +22y =1;(Ⅱ)设P(x,y),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则由直线OM 与ON 的斜率之积为-21⇒11x y ⋅22x y=-21⇒x 1x 2+2y 1y 2=0;由OP =OM +2ON ⇒x=x 1+2x 2,y=y 1+2y 2;由x 12+2y 12=4,x 22+2y 22=4⇒x 2+2y 2=(x 1+2x 2)2+2(y 1+2y 2)2=(x 12+2y 12)+4(x 22+2y 22)+4(x 1x 2+2y 1y 2)=20⇒202x +102y =1⇒动点P 的轨迹是椭圆:202x +102y =1,其右焦点F(10,0),右准线为直线l:x=210⇒|PF|与点P 到直线l:x= 210的距离之比为定值e=22. 类题:1.(2011年重庆高考试题)(理)如图,椭圆的中心为原点O,离心率e=22,一条准线的方程是x=22.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设动点P 满足:OP =OM +2ON ,其中M,N 是椭圆上的点, 直线OM 与ON 的斜率之积为-21.问:是否存在两定点F 1,F 2,使 得|PF 1|+|PF 2|为定值？若存在,求F 1,F 2的坐标;若不存在,说明理由. 2.(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)如图所示,过双曲线x 2-42y =1的中心O 作两条互相垂直的射线,交双曲线于A 、B 两点.试求: y B (Ⅰ)弦AB 的中点P 的轨迹方程; A(Ⅱ)双曲线的中心O 到直线AB 的距离. O x五.多相关点例5:(2011年安徽高考试题)设λ>0,点A 的坐标为(1,1), y A点B 在抛物线y=x 2上运动,点Q 满足BQ =λQA ,经过点Q Q与x 轴垂直的直线交抛物线于点M,点P 满足QM =λMP , B O M x 求点P 的轨迹方程. P解析:设P(x,y),则:M(x,x 2),由QM =λMP ⇒Q(x,x 2-λ(y-x 2));由BQ =λQA ⇒B((1+λ)x-λ,(1+λ)2x 2-λ(1+λ)y-λ);由点B 在抛物线y=x 2上⇒(1+λ)2x 2-λ(1+λ)y-λ)=[(1+λ)x-λ]2⇒2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0⇒2x-y -1=0.x=22OB 1yxPNMx=22OB 1yxPNM类题:1.(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)直角坐标系xOy 中,设A,B,M 是椭圆C:42x +y 2=1上的三点.若OM =53OA +54OB .证明:线段AB 的中点在椭圆22x +2y 2=1上.2.(2005年全国高中数学联赛试题)过抛物线y=x 2上的一点A(1,1)作抛物线 的切线,分别交x 轴于D,交y 轴于B.点C 在抛物线上,点E 在线段AC 上,满足EC AE =λ1;点F 在线段BC 上,满足FCBF=λ2,且λ1+λ2=1,线段CD 与EF 交于点P. 当点C 在抛物线上移动时,求点P 的轨迹方程.六.动直线点例6:(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)抛物线y=x 2与过点P(-1,-1)的直线l 交于P 1,P 2两点.(Ⅰ)求直线l 的斜率k 的取值范围; (Ⅱ)求在线段P 1P 2上满足条件11PP +21PP =PQ2的点Q 的轨迹方程. 解析:(Ⅰ)直线l 的方程为y+1=k(x+1),与抛物线方程y=x 2联立得x 2-kx-(k-1)=0,由(-k)2+4(k-1)>0,解得k>-2+22,或k<-2-22;(Ⅱ)设Q(x,y),P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则x 1+x 2=k,x 1x 2=1-k.又P 1,P 2,Q 都在直线l 上.由11PP +21PP =PQ2⇒ 2121)1()1(1+++y x +2222)1()1(1+++y x =22)1()1(2+++y x ⇒|1|11+x +|1|12+x =|1|2+x .又(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=2 >0,点Q 在线段P 1P 2上,所以x 1+1,x 2+1,x+1同号.则111+x +112+x =12+x ⇒x=221212121+++++x x x x x x =24+k -1∈(-2-1,-1)∪(-1,2-1),⇒y=k(x+1)-1=3-28+k ⇒2x-y-1=0,因此点Q 的轨迹方程是2x-y-1=0,x ∈(-2-1,-1)∪(-1,2-1). 类题:1.(2011年天津高考试题)在平面直角坐标系xOy 中,点P(a,b)(a>b>0)为动点,F 1,F 2分别为椭圆22a x +22b y =1的左右焦点.已知△F 1PF 2为等腰三角形. (Ⅰ)求椭圆的离心率e;(Ⅱ)设直线PF 2与椭圆相交于A 、B 两点,M 是直线PF 2上的点,满足AM ⋅BM =-2,求点M 的轨迹方程. 2.(1995年全国高考试题)己知椭圆162422y x +=1,直线l:812y x +=1.P 是l 上一点,射线OP 交椭圆于点R,又点Q 在OP 上,且满足:|OQ||OP|=|OR|2.当点P 在l 上移动时,求点Q 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.。
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设点M(x,y),则B(2x-4,2y) 将点B的坐标代入圆的方程,得
(2x-4)2+(2y)2=4整理得 (x-2)2+y2=1
例2 在平面直角坐标系中,点A在圆 x2+y2=4上运动,过点A向x轴作垂线,垂 足为B,M为线段AB上靠近点A的三A在椭圆 x2/4+y2/3=1上运动,过点A向x轴作垂 线,垂足为B,A为线段BM的中点,求点 M的轨迹方程.
求轨迹方程方法之 相关点法(代入法)
教学目的: 要求学生熟练掌握相关点法求轨
迹方程的方法,能灵活运用它解决相关问题
例1 在平面直角坐标系中,A(4,0),点B 在圆x2+y2=4上运动,M为线段AB的中 点,求点M的轨迹方程.
例1 在平面直角坐标系中,A(4,0),点B 在圆x2+y2=4上运动,M为线段AB的中 点,求点M的轨迹方程.