选修4-4_2.3.1直线的参数方程.ppt

2
(2)线段M1 M 2的中点M 对应的参数t 的值是多少？
(1) | M1M2 | | t1 t2 |； (2) t t1 t2 .
2
1.
直线
x y
x0 y0
t cos
t sin a
(t为参数）上有参数
分别为t1和t2对应的两点A和B，则A，B两点的
距离为
(B )
A. | t1 t2 | C . | t1 | | t2 |
选修4-4
2.3.1 直线的 参数方程
温故知新 请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k( x x0 ) y kx b
两点式: y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
一般式: Ax By C 0(A，B不同时为零)
y2 y1 tan
以点M在直线上.
M(-1，2)
易知直线的倾斜角为 3 ，
4 所以直线的参数方程可以写成：
B
O
x
x y
1 2t
t
cos
3
4
sin
3
4
(t为参数)
即
x
1
2 2
t
(t为参数)
y
2
2 2
t
y
A
M(-1，2)
把它代入抛物线方程y x2， 得t 2 2t 2 0.
B
O
x
解得t1
2 2
9 17 14
5. 动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方 向的分速度分别是3cm/s和4cm/s，直角坐标 系的长度单位是1cm，点M的起始位置在点 M0(2，1)处，求点M的轨迹的参数方程.
x y
3t 4t
2 (t为参数) 1
x y
2 1
3 5 4 5
t t
(t为参数)
6.直线
两点的距离之积.
分析:
y
1.用普通方程去解还 是用参数方程去解；
A
M(-1，2)
2.分别如何解. 3.点M是否在直线上
B
O
x
例1. 已知直线l : x y 1 0与抛物线 y x2交于
A，B两点，求线段AB的长度和点M (1，2)到A，B
两点的距离之积.
y
解：因为把点M的坐标代入直
线方程后，符合直线方程，所 A
x y
x0 y0
t t
cos sin
(t是参数)
解：在直线上任取一点M(x，y)，则
M0M ( x，y) ( x0 y0 ) ( x x0，y y0 )
设 e 是直线l 的单位方向向量，则e (cos，sin )
因为M0M // e，所以存在实数t R，使M0M te，即
( x x0，y y0 ) t(cos，sin ) 所以 x x0 t cos，y y0 t sin y
M(x,y)
即x x0 0(x0，y0) e
x
y
x0 y0
t t
cos(t为参数) sin
(cos，sin)
O
x
探究思考
由M0M te，你能得到直线l的参数方程中参数 t 的几何意义吗？
解： M0M te，| M0M || te |， 又因为 e 是单位向量，| e | 1，
x2 x1
问题情景
已知一条直线过点M0( x0，y0 )，倾斜角，求这条
直线的方程.
解：直线的普通方程为y y0 tan( x x0 )
把它变成y
y0
sin cos
(x
x0 )
进一步整理，得：y y0
sin
x x0
cos
令该比例式的比值为t，即
y y0
sin
x x0
cos
t.
整理，得到
x y
t sin 20 t cos 20
3 (t为参数)的倾斜角是(
)
A. 20 B. 70 C. 110 D. 160
思考 我们是否可以根据t 的值来确定向量M0M 的方向呢？
我们知道，e 是直线 l 的单位方向向量，那么 它的方向应该是向上还是向下的？还是有时 向上有时向下呢？
由于是直线的倾斜角，因此，当 0 时， sin 0，又因为sin表示e 的纵坐标，所以
| M0M | | t || e | | t | .
y
M
所以，直线参数方程中参数t
e
的到绝 定对 点值M0等这的意于就距义直是离，线.t要的上牢几动记何点M
M0
| t | = | M0M |
O
x
例1. 已知直线l : x y 1 0与抛物线 y x2交于
A，B两点，求线段AB的长度和点M (1，2)到A，B
e的纵坐标都大于0，那么 e 的终点就会都在第 一，二象限，所以e 的方向就总会向上.
此时，若t 0，则 M0 M 的方向向上； 若t 0，则 M0 M 的方向向下； 若t 0，则 M 点与 M0 重合.
辨析:
例: 动点M作等速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方 向分速度分别为 9，12，运动开始时，点 M 位于 A(1，1)，求点 M 的轨迹的参数方程.
10 ，t2
2 2
10 ，
由参数t 的几何意义得
| AB | | t1 t2 | 10，
| MA | | MB | | t1 | | t2 | | t1t2 | 2.
探究思考
直线与曲线
f
(
x，y)
0交于M1，M
两点，对应的
2
参数分别为t1，t2 .
(1)曲线的弦M1
M
的长是多少？
x y
1 1
9t 12t
(t为参数)
请思考: 此时的t 有没有明确的几
何意义?
没有
重要结论:
直线的参数方程可以写成这样的形式:
x y
x0 y0
at bt
(t为参数)
当 a 2 b2 1时，t 有明确的几何意义，它表示
| t | | M0M |，此时我们可以认为 a cos， b sin . 为倾斜角.当 a 2 b2 1时，t 没有
2
2
2
2
3.
一条直线的参数方程是
x y
1
1 2
5
t
3 2
t
(t为参数)，
另一条直线的方程是x y 2 3 0，则两直线的交
点与点(1， 5)间的距离是 ______4__3___________ .
4.求直线l：4x y 4 0与l1：x 2 y 2 0及
直线l2：4x 3 y 12 0所得两交点间的距离.
B. | t1 t2 | D. || t1 | | t2 ||
2.在参数方程
x y
a b
t t
cos sin
(t为参数)所表示
的曲线上有B，C 两点，它们对应的参数值分
别为t1、t2，则线段BC的中点M 对应的参数值
是
(B )
A. t1 t2 B. t1 t2 C . | t1 t2 | D. | t1 t2 |