直线的参数方程及弦长公式
弦长公式适用范围
弦长公式适用范围
大家好,小六来为大家解答以上的问题。
弦长公式适用范围，弦长公式这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧！
1、圆的弦长公式是：弦长=2RsinaR是半径,a是圆心角。
2、2、弧长L,半径R。
3、弦长=2Rsin(L*180/πR)直线与圆锥曲线相交所得弦长d的公式。
4、弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交
点,"││"为绝对值符号,"√"为根号。
5、扩展资料关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x（或关于y）的一元二次方程，设出交点坐标。
6.利用维耶塔定理和弦长公式计算弦长，这种整体代入的思想方法，假设而不求，对于求直线和曲线的交点的弦长是非常有效的。
但与此方法相比，求解一条通过焦点的圆锥曲线的弦长有点繁琐，利用圆锥曲线的定义及相关定理推导各种曲线焦点的弦长公式更简单。
这篇文章已经分享到这里了，希望对大家有帮助。
直线标准参数方程
直线标准参数方程
x
《直线标准参数方程》
直线的标准参数方程是一种几何形式，用于描述直线的性质，表示直线的位置，方向，长度，以及与其他直线之间的关系。
它可以用一个公式表示，为：
Ax + By + C = 0
其中，A，B和C是实数，A和B不能同时为零。
当A和B都不为0时，以A和B确定直线的斜率，C确定直线与原点的距离。
在这里，A，B，C的取值受到斜率和距离的限制，且有一定的规律：
（1）当A，B和C都不为0时，C的符号取决于斜率是否小于1，即：
①当斜率小于1时，C为正；
②当斜率大于1时，C为负。
（2）当A或B不为0时，当斜率大于或小于1时，A，B及C的符号可能不一定；
（3）当A不为0而B为0时，A为正，C，B及C不一定。
符号及规律只影响参数A，B，C的取值，不影响直线的位置，方向和长度。
因此，直线的标准参数方程可以表示为：Ax + By + C = 0，它
与斜率和距离之间有着紧密的联系，且可根据斜率及距离的不同来决定A，B和C的取值。
高中数学：四大类弦长公式
高中数学中的四大类弦长公式一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式1、已知两点坐标：()11,y x A ，()22,y x B ，则()()221221y y x x AB -+-=2、已知直线上两点：若()11,y x A ，()22,y x B 两点在直线b kx y +=（直线的斜率存在并且不为0）上，则ak x x k AB ∆+=-+=221211（∆,,21x x 是02=++c bx ax 的两根和判别式） ak y y k AB ∆+=-+=22121111（∆,,21y y 是02=++c by ay 的两根和判别式）注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标 时，采用设而不求思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理）二、平面直角坐标中特殊曲线（例如：圆，抛物线，椭圆）中的弦长公式1、直线0:=++C By Ax l 与圆()()222:r b y a x M =-+-相交于B A ,，则222d r AB -=（其中22BA C Bb Aa d +++=为圆心),(b a M 到直线l 的距离）注：此公式证明需用垂径定理2、抛物线中的焦点弦弦长公式，过抛物线交点F 直线l 与抛物线相交的弦长,BF AF AB += ①α221sin 2px x p AB =++=（其中抛物线开口向右，方程为px y 22=）②)(21x x p AB +-=（其中抛物线开口向左，方程为px y 22-=） ③21y y p AB ++=（其中抛物线开口向上，方程为py x 22=） ④)(21y y p AB +-=（其中抛物线开口向下，方程为py x 22-=） 注：此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式.3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BF AF AB +=①过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(1c F -的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB ++=.②过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB +-=.③过椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 的左焦点)0(1c F -，的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB ++=.④过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点),0(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB +-=.注：此公式的证明需用到椭圆的第二定义和焦半径公式.三、直线标准参数方程下的弦长公式过定点),(00y x P ，倾斜角为α的直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数). 参数t 的几何意义为： t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；即：直线l 上的动点()()ααsin ,cos ,00t y t x M y x M ++=到点),(00y x P 的距离等于t .设点B A 、对应的参数分别为,,21t t 则有： ①2121,,t t AB t PB t PA -=== ②AB 中点M 对应的参数为221t t +，则.221t t PM += 证明：∵A 对应的参数分别为1t ∴()ααsin ,cos 1010t y t x A ++, ∴ ()()()()1212120102010sin cos sin cos t t t y t y x t x PA =+=-++-+=αααα同理2t PB =,21t t AB -=还有一些可能会用到的公式,他们都可通过以上两个结论+绝对值的运算而得：例如：③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA ;⎩⎨⎧<+>-=-=-0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA④ 若AB 的中点为P ,则021=+t t .（∵AB 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0）过定点),(00y x P 的直线l 的参数方程也可表示为:⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(b a ,是常数,t 为参数).设点N M 、对应的参数分别为21,t t ,即()()20201010,,,bt y at x N bt y at x M ++++则有：①122t b a PM +=，222t b a PN +=，()2122t t b a PN PM +=⋅②Aba t tb a MN ∆+=-+=222122（其中21,t t 是方程02=++C Bt At 的两根）③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121t t t t t t t t t t PN PM ; ⎪⎩⎪⎨⎧<++>-+=-+=-0,0,2121222121222122t t t t b a t t t t b a t t b a PN PM④ 若MN 的中点为P ,则021=+t t .（∵MN 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0）四、极坐标系中的弦长公式：()()2211,,,θρθρB A①若21θθ=，则21ρρ-=AB②若21θθ≠，则()21212221cos 2θθρρρρ--+=AB ，()2121sin 21θθρρ-=∆OAB S。
高中数学极坐标系与参数方程---直线参数方程
1 t sin
t cosα代入x α
y
3
0中，
1 t cosα t sinα 3 0 t 4
cosα sin α
| PN || t ||
4
|
cosα sin α
4
| PM | | PN | | 2(cosα sin α) | | cosα sin α |
8
t1 t2 2 2 sin α
tP
t1 t2 2
2 sin α
P在l上
P(
x,
y)满足x y
2
sin 2
α
cos α 2 sin
2
α
x
y
2 sin 2α 2 2 2
22
cos
, 2α
(α为参数，α
（π，3π）) 44
在平面直角坐标系
xOy中，曲线
C1过点P(a,1),
其参数方程为
bt a2 b2
在直角坐标系
xOy中，曲线 C的参数方程为
x
y
2 cosθ ,
4sin θ
(θ为参数）.直线l的参数方程为
x
y
1 t cos 2 t sin
α ,
α
(t为参数）.
(1)求C和l的直角坐标方程 .
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为 （1,2），求l的斜率.
消参
(1)C
t1 t2 2 2 t1t2 2 8a
a
1 36
0,
符合题意
t1 2t2
t1 t2 t1t2
2 2 2 8a
a
9
0,
t1 2t2
4
符合题意
在平面直角坐标系
直线的参数方程标准式
直线的参数方程标准式直线是我们在日常生活和数学中经常接触到的一种基本几何图形，它具有很多重要的性质和特点。
在平面几何中，直线可以用不同的方式来表示，其中参数方程标准式是一种常用的表示方法。
本文将介绍直线的参数方程标准式，以及如何根据已知条件来确定直线的参数方程标准式。
一、直线的参数方程标准式概述。
直线的参数方程标准式是指用参数来表示直线上的所有点的坐标的一种方程形式。
一般来说，直线的参数方程标准式可以表示为：x = x0 + at。
y = y0 + bt。
其中(x0, y0)是直线上的一点，a和b是常数，t是参数。
当参数t取遍所有实数时，直线上的所有点的坐标可以通过参数方程来表示。
二、确定直线的参数方程标准式。
1. 已知直线上的两点。
如果已知直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么可以通过以下步骤来确定直线的参数方程标准式：首先，确定直线的方向向量。
直线的方向向量可以表示为AB = (x2 x1, y2 y1)。
然后，选择一个点作为原点，假设A点为原点，那么直线上任意一点的坐标可以表示为(x1 + at, y1 + bt)。
因此，直线的参数方程标准式为：x = x1 + (x2 x1)t。
y = y1 + (y2 y1)t。
2. 已知直线的斜率和截距。
如果已知直线的斜率k和截距b，那么可以通过以下步骤来确定直线的参数方程标准式：首先，选择直线上的一点作为原点，假设直线与y轴交点为(0, b)，那么直线上任意一点的坐标可以表示为(0 + at, b + kt)。
因此，直线的参数方程标准式为：x = at。
y = b + kt。
三、直线的参数方程标准式的应用。
直线的参数方程标准式在数学和物理中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，直线的参数方程标准式可以用来描述物体在直线运动中的位置和速度。
在工程学中，直线的参数方程标准式可以用来描述直线上各个点的坐标，从而方便进行工程设计和计算。
总之，直线的参数方程标准式是一种常用的表示直线的方法，通过确定直线上的一些特定点或者已知直线的斜率和截距，可以方便地确定直线的参数方程标准式。
直线的标准参数方程
直线的标准参数方程直线是平面几何中最基本的图形之一，它具有许多重要的性质和特点。
在直角坐标系中，直线可以通过不同的方程来描述，其中标准参数方程是一种常用的描述方法。
本文将详细介绍直线的标准参数方程，包括其定义、性质和应用。
一、标准参数方程的定义。
直线的标准参数方程是指通过直线上任意一点到直线上某一固定点的距离与该点到另一固定点的距离之比为常数的方程。
设直线上某一点为P(x,y)，直线上固定点为A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，则直线的标准参数方程可以表示为：(x x₁)/(x₂ x₁) = (y y₁)/(y₂ y₁)。
其中(x,y)为直线上任意一点的坐标。
二、标准参数方程的性质。
1. 直线的标准参数方程是直线的一般方程的一种特殊形式，通过标准参数方程可以方便地求出直线的斜率和截距。
2. 标准参数方程中的参数是直线上任意一点的坐标，通过参数的取值范围可以确定直线的位置和方向。
3. 直线的标准参数方程可以方便地表示直线的交点、垂直平分线、角平分线等相关性质。
三、标准参数方程的应用。
1. 在平面几何中，直线的标准参数方程可以用于求解直线的方程和性质，进而解决与直线相关的几何问题。
2. 在工程和物理学中，标准参数方程可以用于描述直线运动的轨迹和方向，为实际问题的分析和求解提供便利。
3. 在计算机图形学和计算机辅助设计领域，标准参数方程可以用于描述和绘制直线，实现图形的生成和变换。
四、总结。
直线的标准参数方程是描述直线的一种重要方法，它具有简洁、直观的特点，适用于多个领域的问题求解。
通过标准参数方程，我们可以方便地求解直线的性质、应用于实际问题的分析和计算，是平面几何和相关学科中不可或缺的重要工具。
以上就是关于直线的标准参数方程的介绍，希望对您有所帮助。
如果您对此有任何疑问或者补充，欢迎留言讨论。
直线参数方程标准形式
直线参数方程标准形式直线是平面上的一种基本几何图形，它具有许多重要的性质和特点。
在解析几何中，我们常常需要描述直线的位置和性质，因此需要引入直线的参数方程标准形式来进行描述和分析。
本文将从直线的参数方程入手，介绍直线参数方程的标准形式及其相关知识。
一、直线的参数方程。
直线的参数方程是指用参数表示直线上的任意一点的坐标的方程。
设直线上一点的坐标为(x, y)，直线的参数方程可以表示为：x = x0 + at。
y = y0 + bt。
其中(x0, y0)为直线上一点的已知坐标，a和b为常数，t为参数。
二、直线参数方程的标准形式。
直线的参数方程有多种形式，其中最常用的是标准形式。
直线参数方程的标准形式可以表示为：x = x0 + t (x1 x0)。
y = y0 + t (y1 y0)。
其中(x0, y0)和(x1, y1)分别为直线上的两个已知点的坐标，t为参数。
三、直线参数方程标准形式的性质。
1. 直线参数方程标准形式中(x1 x0)和(y1 y0)分别表示直线在x轴和y轴上的方向向量。
2. 当t取不同的值时，直线上的点的坐标也会随之变化，从而描述了直线上的所有点。
3. 当t取0时，得到直线上的一个已知点的坐标；当t取1时，得到直线上另一个已知点的坐标。
4. 直线参数方程标准形式可以简洁地描述直线的位置和方向，便于分析和计算。
四、直线参数方程标准形式的应用。
1. 在解析几何中，直线参数方程标准形式可以方便地描述直线的位置和方向，从而进行直线的性质分析和计算。
2. 在物理学和工程学中，直线参数方程标准形式可以用于描述物体的运动轨迹和位置变化。
3. 在计算机图形学中，直线参数方程标准形式可以用于描述和绘制直线。
五、总结。
直线参数方程标准形式是描述直线位置和方向的重要工具，它简洁而准确地描述了直线上的所有点的坐标。
通过学习和掌握直线参数方程标准形式，我们可以更好地理解和应用直线的性质和特点，为解决实际问题提供了重要的数学工具。
弦长公式
弦长公式弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下：假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2假设相交弦为AB，点A为（点B为则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1]的方法也是一样的证明方法二d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2这是两点间距离公式因为直线y=kx+b所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)将其带入d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2得到d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2公式二y2=2px，过焦点直线交抛物抛物线线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚公式三d=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(1+1/k^2)|y1-y2|=√(1+1/k^ 2)[(y1+y2)^2-4y1y2]关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入，化为关于x(或关于y)的，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
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t
直接代入(y－
化简得
7t2
t1 t2
30t30 ,5t10t2
72
0
15 7
则中点 M ( 16 , 2)
77
3.求直线方程：
若点M
是线段M1M
的三等分点，则
2
t t1 2t2 3
Q M为定点M0,则t1 2t2 0。
4.直线与圆锥曲线的关系
y
•
M
O
P
x
y
•
M P
O
结论也成立
小结
1、回忆直线的参数方程的推导
2、掌握直线参数方程的设法
x
y
x0 y0
t t
cos sin
(t为参数)
3、t的几何意义。
4、利用直线的参数方程解决问题
教学目标： 推导直线的参数方程。掌握直
线参数方程的设法。理解直线参数 方程中t的几何意义。
三 .直线的参数方程的应用: 1. 求弦长
解：由由xy韦达y求x定2 1解理 得 如0本：果题x得1在呢：xx学2？2习x1， 直1 x线10 x的2 参1(数*) 方程之前,你会怎样
AB 1 k2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 2 5 10
复习回顾
经过点M0(x0 , y0),倾斜角为α的直线的参数方程：
x y
x0 y0
t t
cos sin
(t为参数)
上式称为直线参数方程的标准方程
思考：t 的几何意义是什么？
x x0 t cos
y
y0
t
sin
(t为参数)
（1） | MM0 || t |
由(*)解得：x1
1 2
5 ，x2
1 2
5
y1
3 2
5 ，y2
3 2
5
记直线与抛物线的交点坐标A( 1
5 3 ,
5 )，B( 1
5 3 ,
5 )
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
（2）uMuuMuur0与e 同向时，t>lt;0
（4）t=0时，M 与 M 0重合
三 .直线的参数方程的应用: 1. 求弦长
例1：已知直线方程 x+y－1=0与抛物 线 y=x2 交于点A、B。 (1)求弦长AB (2)求点M（－1，2）到A，B两点的距 离之积。
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
（1）如何写出直线l的参数方程？
①
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
①
t1 t2 2, t1t2 2
（3）
AB、MA
MB
与t1，t
有什
2
么关系？
由参数的几何意义得： | AB || t1 t2 | t1 t2 2 4t1t2 10
截得的弦长为__22__t_1__t_2_____1_4
2.求弦的中点坐标 例2：直线L
x y
1 3 t
（t5为参数）
2 4t 5
与双曲线(y－2)2－x2=1相交于 A、
B两点，求弦AB中点M的坐标 .
解：把
x
2)2－x2=1y
1 3 5
教学重难点： 理解直线参数方程中t的几何意义。 巧妙利用直线的参数方程解决问
题。
| MA |g| MB || t1gt2 | 2
（1） M1M2 t1 t2
（2） t t1 t2
2
特别地，若中点为M 0 , 则t
t1
t2 2
0，即t1
2
0
直线
x y
2 1t 2
1 1 2
t
(t为参数)
被圆 x2 y2 4