浙江省杭州市七县区2019-2020学年高二上学期期末数学试题 PDF版含答案
人教A版2019-2020学年浙江省绍兴市高二上学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本题共10小题）1．已知球的半径为1，则该球的体积是（）A．B．πC．D．4π2．两直线l1：kx﹣y+1＝0，l2：4x﹣ky+4＝0垂直，则k为（）A．不存在B．0 C．﹣1 D．13．如图，在三棱锥O﹣ABC中，D为BC的中点，则＝（）A．+﹣B．++C．+﹣D．++4．若点A（2，0），B（a，4）在直线y＝3x+7的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．a＞19 D．a＜195．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥β，α∥β则m∥nC．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n 6．若实数x，y满足不等式组，则x+y的最小值是（）A．B．3 C．4 D．67．一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是30°，则这条线段所在直线与这个二面角的棱所成角为（）A．B．C．D．8．已知圆锥PO，A，B，C是底面圆周上任意的三点，记直线PA与直线BC所成的角为θ1，直线PA与平面ABC所成的角为θ2，二面角P﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ3B．θ3≤θ1C．θ1≤θ2D．θ2≤θ39．已知B1，B2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个短轴端点，P是椭圆上任意一点，|PB1|≤|B1B2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知△ABC，AB＝AC，D是BC上的点，将△ABD沿AD翻折到△AB1D，设点A在平面B1CD 上的射影为O，当点D在BC上运动时，点O（）A．位置保持不变B．在一条直线上C．在一个圆上D．在一个椭圆上二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．已知点A（1，1），B（0，﹣1），C（a，b）在同一直线上，则2a﹣b＝．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．13．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径是．14．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60°，则AC1的长度为．15．一动圆截直线3x﹣y＝0和3x+y＝0所得弦长分别为8，4，则该动圆圆心的轨迹方程为．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点C在平面α上，若A1B和A1D与平面α都成60°角，则A1C与平面α所成角的余弦值为．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17．已知直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0，k∈R．（Ⅰ）证明：直线l恒过定点；（Ⅱ）设O是坐标原点，A（﹣1，﹣1），若OA⊥l，求k的值．18．如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AA1⊥平面ABCD，ABCD是菱形，点E在A1D上，且A1E＝2ED．（Ⅰ）证明：BD1⊥AC；（Ⅱ）证明：BD1∥平面ACE．19．在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（2，1），C（3，4），D（0，a）四点在同一个圆E上．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若点P（x，y）在圆E上，求x2+2x+y2的取值范围．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PA＝PD＝BC＝CD＝1，AB ＝2，．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．21．已知椭圆E：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且经过点，A，B是椭圆E上两点，．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）求的取值范围．参考答案一、选择题（本题共10小题）1．已知球的半径为1，则该球的体积是（）A．B．πC．D．4π【分析】直接由球的体积公式求出球的体积．解：由球的体积公式V＝•R3＝，故选：C．2．两直线l1：kx﹣y+1＝0，l2：4x﹣ky+4＝0垂直，则k为（）A．不存在B．0 C．﹣1 D．1【分析】利用直线垂直的性质求解．解：根据直线垂直的条件可得，4k+k＝0，所以k＝0，故选：B．3．如图，在三棱锥O﹣ABC中，D为BC的中点，则＝（）A．+﹣B．++C．+﹣D．++【分析】如图所示，D为BC的中点，＝，代入＝﹣即可得出．解：如图所示，∵D为BC的中点，∴＝，∴＝﹣＝﹣，故选：C．4．若点A（2，0），B（a，4）在直线y＝3x+7的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．a＞19 D．a＜19【分析】点A（2，0），B（a，4）在直线y＝3x+7的两侧，那么把这两个点代入3x﹣y+7，它们的符号相反，乘积小于0，即可求出a的取值范围．解：∵点A（2，0），B（a，4）在直线y＝3x+7的两侧；∴（2×3+7）（3a﹣4+7）＜0，即：3a+3＜0，解得a＜﹣1．故选：A．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥β，α∥β则m∥nC．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n 【分析】本题考查平面的基本性质及推论，考察空间点线面的位置关系，要依据4个公理以及公理2的3个推论判断，首先画出图象，然后利用图象判断．否定时举出反例即可，使用排除法．解：A、m⊥n，m⊥α，n∥β，如图，α与β相交，故A错误，B、若m∥α，n∥β，α∥β，如图m，n相交，故B错误，C、若m∥n，m∥α，n∥β，α∥β，故C错误，D、若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n∥β，则m⊥n，正确．故选：D．6．若实数x，y满足不等式组，则x+y的最小值是（）A．B．3 C．4 D．6【分析】由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．解：画出可行域，表示的区域如图，要求x+y的最小值，就是x+y在直线x+2y﹣4＝0与直线x﹣y＝0的交点N（，）处，目标函数x+y的最小值是．故选：A．7．一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是30°，则这条线段所在直线与这个二面角的棱所成角为（）A．B．C．D．【分析】根据题意作出AB与两个半平面的棱所成的角为∠ABD，利用边角关系，求出∠ABD的正弦值，得出结论．解：如图，AB的两个端点A∈α，B∈β，过A点作AA′⊥β，交β于A′，连接BA′，则∠ABA′为线段AB与β所成角，且∠ABA′＝30°，同理，过B作BB′⊥α，交α于B′，则∠BAB′为BB′与α所成角，且∠BAB′＝30°．过B作BD∥A′B′，且BD＝A′B′，则∠ABD为所求，∴A′B′BD为矩形，设AB＝2，在直角△ABB′中，BB′＝AB sin30°＝＝1，在直角△ABA′中，AA′＝AB sin30°＝＝1，A′B＝AB cos30°＝＝所以BD＝，同理AD＝，所以sin∠ABD＝，故∠ABD＝45°故选：B．8．已知圆锥PO，A，B，C是底面圆周上任意的三点，记直线PA与直线BC所成的角为θ1，直线PA与平面ABC所成的角为θ2，二面角P﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ3B．θ3≤θ1C．θ1≤θ2D．θ2≤θ3【分析】根据题意，求出，sinθ3＝＝sinθ2，得出结论．解：如图，直线PA与平面ABC所成的角θ2＝∠PAO，，二面角P﹣AB﹣C即平面PAB与底面所成的角，作PM⊥AB，连接OM，根据三垂线定理，OM⊥AB，故θ3＝∠PMO，sinθ3＝＝sinθ2，又θ3，θ2都是锐角，所以θ3≥θ2，故选：D．9．已知B1，B2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个短轴端点，P是椭圆上任意一点，|PB1|≤|B1B2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】P是椭圆上任意一点，|PB1|≤|B1B2|，可得：≤2b，化为：≥．利用e＝＝，即可得出范围．解：∵P是椭圆上任意一点，|PB1|≤|B1B2|，∴≤2b，化为：≥．∴e＝＝≤．又e∈（0，1）．∴e∈（0，]．故选：C．10．已知△ABC，AB＝AC，D是BC上的点，将△ABD沿AD翻折到△AB1D，设点A在平面B1CD 上的射影为O，当点D在BC上运动时，点O（）A．位置保持不变B．在一条直线上C．在一个圆上D．在一个椭圆上【分析】为计算简便，不妨设△ABC为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，取BC中点M，利用AO⊥OC，AO⊥OM即可得到轨迹方程解：为计算简便，不妨设△ABC为等腰直角三角形，令BC＝2，且令∠B1DC＝90°，以BC中点M为空间原点，MA为z轴，建立空间直角坐标系，设BD＝a（0＜a＜2），B1A＝BA＝，设O（x，y，z），则C（0，1，0），A（0，0，1），M（0，0，0），D（0，a﹣1，0），所以＝（x，y，z﹣1），＝（x，y﹣1，z），＝（x，y，z），因为AO⊥OC，所以•＝x2+y（y﹣1）+z（z﹣1）＝0，同理AO⊥OM，所以•＝x2+y2+z（z﹣1）＝0，两式相减得y＝0，代入得x2+z（z﹣1）＝x2+（z﹣）2＝，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．已知点A（1，1），B（0，﹣1），C（a，b）在同一直线上，则2a﹣b＝ 1 ．【分析】三点A（1，1），B（0，﹣1），C（a，b）在同一直线上，可得k AB＝k BC，利用斜率计算公式即可得出．解：三点A（1，1），B（0，﹣1），C（a，b）在同一直线上，∴k AB＝k BC，∴＝，化为：2a﹣b＝1．故答案为：1．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．解：由题意可知几何体是正方体的一部分，是四棱锥P﹣ABCD，所以几何体的体积为：＝．故答案为：．13．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径是 1 ．【分析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3π，构造方程，可求出半径解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由πl＝2πr得l＝2r，而S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π故r2＝1解得r＝1故答案为：114．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60°，则AC1的长度为．【分析】设＝，，，则两两夹角为60°，且模均为1．根据向量加法的平行四边形法则，我们易得．我们易根据向量数量积的运算法则，求出AC1的模，即AC1的长；解：设＝，，，则两两夹角为60°，且模均为1．∴||2＝（）2＝3+6×1×1×＝6，∴|AC1|＝6，即AC1的长为．故答案为：．15．一动圆截直线3x﹣y＝0和3x+y＝0所得弦长分别为8，4，则该动圆圆心的轨迹方程为xy＝10 ．【分析】动圆截直线3x﹣y＝0和3x+y＝0所得的弦长分别为8，4，利用点到直线的距离公式，可求MA2，MC2由垂径定理可得，MA2+AB2＝MC2+EC2，化简即可．．解：如图所示，设点M（x，y），由条件可得，AB＝4，EC＝2，由点到直线的距离公式可得，MA2＝，MC2＝由垂径定理可得，MA2+AB2＝MC2+EC2，∴+6＝+4，化简可得，xy＝10．∴点M的轨迹方程为xy＝10，故答案为：xy＝10．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点C在平面α上，若A1B和A1D与平面α都成60°角，则A1C与平面α所成角的余弦值为．【分析】设直线l过点A1且垂直于α，则A1B与A1D都与直线l夹角为30°，连结BD，由题意得△A1BD是等边三角形，取BD中点E，由题意得A1E可以承担直线l的角色，由题意知A1C与直线l（直线A1E）的余弦值恰为A1C与平面α所成角的正弦，由此能求出A1C与平面α所成角的余弦值．解：设直线l过点A1且垂直于α，则A1B与A1D都与直线l夹角为30°，连结BD，由题意得△A1BD是等边三角形，取BD中点E，由题意得A1E可以承担直线l的角色，但同时与直线A1B、A1D夹角为相等的直线，最小也要30°，∴此时直线l是唯一的，由题意知A1C与直线l（直线A1E）的余弦值恰为A1C与平面α所成角的正弦，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则A1C＝＝2，CE＝＝，A1E＝＝，∴设A1C与平面α所成角为θ，则sinθ＝＝＝，∴A1C与平面α所成角的余弦值为：cosθ＝＝．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17．已知直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0，k∈R．（Ⅰ）证明：直线l恒过定点；（Ⅱ）设O是坐标原点，A（﹣1，﹣1），若OA⊥l，求k的值．【分析】（1）由直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0，变形为：k（x﹣3）＝y﹣1，结合直线方程的点斜式可求．（2）先求k OA，然后根据直线垂直与斜率的关系即可求解．解：（1）由直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0，变形为：k（x﹣3）＝y﹣1，结合直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点A（3，1），（2）∵OA⊥l，且k OA＝1，∴直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0的斜率k＝﹣1．18．如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AA1⊥平面ABCD，ABCD是菱形，点E在A1D上，且A1E＝2ED．（Ⅰ）证明：BD1⊥AC；（Ⅱ）证明：BD1∥平面ACE．【分析】（Ⅰ）连结BD，交AC于O，推导出AC⊥BD，AC⊥DD1，从而AC⊥平面BDD1，由此能证明BD1⊥AC．（Ⅱ）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BD1∥平面ACE．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD，交AC于O，∵AA1⊥平面ABCD，ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC⊥DD1，∵BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1，∵BD1⊂平面BDD1，∴BD1⊥AC．（Ⅱ）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设OB＝a，OC＝b，AA1＝c，则B（a，0，0），D1（﹣a，0，c），A（0，﹣b，0），C（0，b.0），A1（0，﹣b，c），D（﹣a，0，0），E（﹣，﹣，），＝（﹣2a，0，c），＝（0，2b，0），＝（﹣，，），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝c，得＝（c，0，2a），∵＝﹣2ac+2ac＝0，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE．19．在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（2，1），C（3，4），D（0，a）四点在同一个圆E上．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若点P（x，y）在圆E上，求x2+2x+y2的取值范围．【分析】（Ⅰ）设过A、B、C的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0．将点A、B、C的坐标分别代入圆的方程，求得D、E、F的值，可得圆的方程，把D点坐标代入，即可求得a值；（Ⅱ）点P（x，y）在圆E：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5上，由x2+2x+y2＝（x+1）2+y2﹣1，其几何意义为圆E上的点到M（﹣1，0）距离的平方减1，求出|EM|，则答案可求．解：（Ⅰ）设过A、B、C的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0．将点A、B、C的坐标分别代入圆的方程，得，解得：D＝﹣2，E＝﹣6，F＝5，得圆的方程为x2+y2﹣2x﹣6y+5＝0．将点D的坐标代入上述所得圆的方程，得a2﹣6a+5＝0，解得a＝1或5；（Ⅱ）点P（x，y）在圆E：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5上，x2+2x+y2＝（x+1）2+y2﹣1，其几何意义为圆E上的点到M（﹣1，0）距离的平方减1．如图：|EM|＝，∴x2+2x+y2的最小值为＝；x2+2x+y2的最大值为．∴x2+2x+y2的取值范围是[，]．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PA＝PD＝BC＝CD＝1，AB ＝2，．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．【分析】（I）取AD的中点O，连接PO，则PO⊥AD，连接OC，先证明PO⊥OC，再证明PO⊥平面ABCD，最后得出结论；（II）分别延长AD，BC交于E，过D作DH⊥PE与点H，连接BH，BD，∠DHB为所求的二面角的平面角，在Rt△DHB中，求出结果即可．解：（I）证明：取AD的中点O，连接PO，则PO⊥AD，连接OC，在直角梯形ABCD中，易知∠DAB＝45°，∠ADC＝135°，AD＝，所以OC＝＝＝，由OP＝，PC＝，所以PO2+CO2＝PC2，所以PO⊥OC，又AD∩OC＝0，所以PO⊥平面ABCD，又PO在平面PAD内，故平面PAD⊥平面ABCD；（II）如右图，分别延长AD，BC交于E，过D作DH⊥PE与点H，连接BH，HD，AD＝，BD＝，AB＝2，所以BD⊥AD，由AD＝平面PAD∩平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，结合（I），则∠DHB为所求的二面角的平面角，DE＝，由PE＝＝，在三角形PDE中，由，DH＝，所以tan∠DHB＝，则cos∠DHB＝，故平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为．21．已知椭圆E：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且经过点，A，B是椭圆E上两点，．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）求的取值范围．【分析】（Ⅰ）由焦点坐标及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆方程；（Ⅱ）分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时设直线AB的方程，联立与椭圆的方程，求出两根之和与两根之积，及判别式大于零得出的参数范围，写出数量积的表达式，由均值不等式求出范围．解：（Ⅰ）由题意：c＝1，＝，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝2，b2＝1，所以椭圆的方程：+y2＝1；（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设x＝m，代入椭圆中整理得：m2+2y2＝2，∴y2＝，∴y＝±，∵AB＝，∴2•＝，解得：m2＝1，∴m＝±1．∴＝x2﹣y2＝1﹣＝；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y＝kx+m，设A（x，y），B（x'，y'），联立与椭圆的方程整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，解得：m2＜1+2k2，x+x'＝，xx'＝，yy'＝k2xx'+km（x+x'）+m2＝，AB＝＝2，由题意得：2＝1+2k2，整理得：m2＝•，＝xx'+yy'＝＝＝＝+，令t＝2k2﹣1＞0，2k2＝t+1∴＝＝＝∈（，3﹣]，综上所述的取值范围[，3﹣]。
浙江省杭州市七县区2019-2020学年高二上学期期末生物试题 扫描版含答案
2019学年第一学期杭州市七县（市、区）期末检测高二生物参考答案
一、选择题（每题2分，共50分）
二、非选择题（共50分）
26.（每空1分，共6分）
（1）①时间②底泥③顶级群落
④生产者固定的太阳能和饲料中的化学能
（2）①c1/(a1＋b1＋c1＋d1)[或(a2＋b2＋c2＋d2)/(a1＋b1＋c1＋d1)]
②c1－a2[或b2＋c2＋d2]
27.（每空1分，共10分）
（1）A; 叶绿体内磷酸丙糖转化为淀粉过程中释放的Pi 磷酸转运器从细胞溶胶中转入（2）温度；CO2浓度；（3）增加；右移；（4）叶绿素a；叶绿素b；红光、蓝紫光；
28.（遗传图解2分，其他每空1分，共8分）
（1）易饲养、繁殖快；子代数量多、染色体数目少等（答出二项即可）
（2）X；X A Y或 X a Y；
（3）灰身、红眼；BbX R X r ;2/9
（4）遗传图解：（说明：亲代基因型bbX R X r、bbX r Y及配子1分；后代4种基因型、表现型及比例 1分）
29.（每空1分，共8分）
（1）①卵原细胞、次级卵母细胞、第二极体；2；Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ；
② 3；
（2）G2+M+G1; S, G2+M+G1；卵原细胞；秋水仙素
30.（每空1分，共8分）
（1）RNA聚合酶；核糖体；相同；从左到右；
（2）碱基互补配对；A-U；
（3）形成核酸杂交分子，调控基因的表达；
（4）HRCR与miR﹣223碱基互补配对，清除miR﹣223，使ARC基因的表达增加，抑制心肌细胞的凋亡
31.（共10分）
（1）去极化；动作电位；胞吐；（每空1分）
（2）有（1分）
（3）等量的生理盐水；促使胰岛β细胞分泌胰岛素；乙组（每空2分）。
2019-2020学年浙江省绍兴市高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省绍兴市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知球的半径为1，则该球的体积是（ ） A ．43B ．πC ．43π D ．4π【答案】C【解析】直接由球的体积公式求出球的体积即可． 【详解】由球的体积公式34433V R ππ=⋅=， 故选：C ． 【点睛】本题考查球的体积公式，属于基础题．2．两直线1l ：10kx y -+=，2l ：440x ky -+=垂直，则k 为（ ） A ．不存在 B ．0C ．1-D ．1【答案】B【解析】利用直线垂直的性质求解即可． 【详解】根据直线垂直的条件可得，40k k +=，所以0k =. 故选：B ． 【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．3．在三棱锥O ABC -中，若D 为BC 的中点，则AD u u u r=（ ）A ．1122OA OC OB +-u u ur u u u r u u u rB ．1122OA OB OC ++u u ur u u u r u u u rC ．1122OB OC OA +-u u ur u u u r u u u rD ．1122OB OC OA ++u u ur u u u r u u u r【答案】C【解析】如图所示，D 为BC 的中点，()12OD OB OC =+u u u r u u u r u u u r ，代入AD OD OA =-u u u r u u u r u u u r 即可得出． 【详解】如图所示，D Q 为BC 的中点， ()12OD OB OC ∴=+u u u r u u u r u u u r ，()12AD OD OA OB OC OA ∴=-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选：C ． 【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若点()2,0A ，(),4B a 在直线37y x =+的两侧，则a 的取值范围是（ ） A ．1a <- B ．1a >-C ．19a >D ．19a <【答案】A【解析】点()2,0A ，(),4B a 在直线37y x =+的两侧，那么把这两个点代入37x y -+，它们的符号相反，乘积小于0，即可求出a 的取值范围．【详解】Q 点()2,0A ，(),4B a 在直线37y x =+的两侧，()()2373470a ∴⨯+-+<，即：330a +<，解得1a <-． 故选：A ． 【点睛】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题，是基础题．准确把握点与直线的位置关系，找到图中的“界”，是解决此类问题的关键．5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是 A ．若,,//,m n m n αβ⊥⊥则//αβ B ．若//,//,//m n αβαβ，则//m n C ．若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥ D ．若//,//,//,m n m n αβ则//αβ【答案】C【解析】试题分析：A 中,αβ可能相交，B 中,m n 可能相交或异面，D 中,αβ可能相交.【考点】空间点、线、面的位置关系.6．若实数x y ，满足不等式组2402300x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪-≥⎩，则x y +的最小值是（ ）A ．83B ．3C ．4D ．6【答案】A【解析】由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值即可． 【详解】画出可行域2402300x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪-≥⎩，表示的区域如图，要求x y +的最小值，就是x y +在直线240x y +-=与直线0x y -=的交点44,33N ⎛⎫⎪⎝⎭处， 目标函数x y +的最小值是83． 故选：A ． 【点睛】本题考查线性规划问题，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，考查计算能力．7．一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是30°，则这条线段所在直线与这个二面角的棱所成角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B【解析】根据题意作出AB 与两个半平面的棱所成的角为ABD ∠，利用边角关系，求出ABD ∠的正弦值，得出结论． 【详解】如图，AB 的两个端点A α∈，B β∈， 过A 点作'AA β⊥，交β于'A ，连接BA '，则'ABA ∠为线段AB 与β所成角，且'30ABA ∠=︒，同理，过B 作'BB α⊥，交α于B'，则'BAB ∠为'BB 与α所成角，且'30BAB ∠=︒,过B 作''BD AB P ，且''BD AB =，则ABD ∠为所求，''ABBD ∴为矩形，设2AB =，在直角'ABB ∆中，1'3012BB ABsin AB =︒==， 在直角'ABA ∆中，1'3012AA ABsin AB =︒==，3'303A B ABcos AB =︒== 所以22''2BD A B A D =-=，同理2AD =所以22sin ABD ∠=， 故45ABD ∠=︒ 故选：B ． 【点睛】本题考查直线和平面所成的角，异面直线所成的角，属于中档题．8．已知圆锥PO ，A B C ，，是底面圆周上任意的三点，记直线PA 与直线BC 所成的角为1θ，直线PA 与平面ABC 所成的角为2θ，二面角P AB C --的平面角为3θ，则（ ）A ．13θθ≤B ．31θθ≤C ．12θθ≤D ．23θθ≤【答案】D【解析】根据题意，求出2PO sin PA θ=，32PO POsin sin PM PAθθ=≥=，得出结论． 【详解】如图，直线PA 与平面ABC 所成的角2PAO θ∠=，2POsin PAθ=，二面角P AB C --即平面PAB 与底面所成的角，作PM AB ⊥，连接OM ，根据三垂线定理，OM AB ⊥， 故3PMO θ∠=，32PO POsin sin PM PAθθ=≥=， 又3θ，2θ都是锐角， 所以32θθ≥， 故选：D ． 【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面，异面直线所成的角，属于中档题．9．已知1B ，2B 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个短轴端点，P 是椭圆上任意一点，112PB B B ≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．20,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．60,⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．6,1⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【解析】P 是椭圆上任意一点，112PB B B ≤，可得：222a b b +≤，化为：221.3b a ≥利用221c b e a a==-，即可得出范围．【详解】P Q 是椭圆上任意一点，112PB B B ≤， 222a b b ∴+≤，化为：2213b a ≥．2261.c b e a a ∴==-≤又()0,1e ∈，60,.3e ⎛⎤∴∈ ⎥ ⎝⎦故选：C ． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知ABC V ，AB AC =，D 是BC 上的点，将ABD ∆沿AD 翻折到1AB D ∆，设点A 在平面1B CD 上的射影为O ，当点D 在BC 上运动时，点O （ ）A ．位置保持不变B ．在一条直线上C ．在一个圆上D ．在一个椭圆上【答案】C【解析】为计算简便，不妨设ABC V 为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，取BC 中点M ，利用AO OC ⊥，AO OM ⊥即可得到轨迹方程. 【详解】为计算简便，不妨设ABC V 为等腰直角三角形，令2BC =，且令190B DC ∠=︒， 以BC 中点M 为空间原点，MA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设(02)BD a a =<<，12B A BA ==(,,)O x y z ，则()010C ，，，(001A ，，），(000M ，，），()0,1,0D a -，所以(AO x =u u u r，y ，1z -)，(),1,CO x y z =-u u u r ，(),,MO x y z =u u u u r ， 因为AO OC ⊥，所以()()2110AO CO x y y z z ⋅=+-+-=u u u r u u u r ， 同理AO OM ⊥，所以()2210AO MO x y z z ⋅=++-=u u u r u u u u r ，两式相减得0y =，代入得()222111()24x z z x z +-=+-=， 故选：C ． 【点睛】本题考查点的轨迹方程，考查空间向量位置关系等，建立空间直角坐标系是关键，属于中档题．二、填空题11．已知点()1,1A ，()0,1B -，(),C a b 在同一直线上，则2a b -=______． 【答案】1【解析】三点()1,1A ，()0,1B -，(),C a b 在同一直线上，可得AB BC k k =，利用斜率计算公式即可得出． 【详解】三点()1,1A ，()0,1B -，(),C a b 在同一直线上，AB BC k k ∴=，111010ba----∴=--， 化为：21a b -=． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了三点共线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______．【答案】13【解析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【详解】由题意可知几何体是正方体的一部分，是四棱锥P ABCD -，所以几何体的体积为：1111133⨯⨯⨯=． 故答案为：13． 【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题． 13．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______ ． 【答案】1【解析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3π，构造方程，可求出半径. 【详解】设圆锥的底面的半径为r ，圆锥的母线为l ， 则由2l r ππ=得2l r =， 而22·233S r r r r ππππ=+== 故21r =， 解得1r =， 故答案为：1. 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：()1圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；()2圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确理解这两个关系是解题的关键．14．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，以A 为同一顶点的三条棱长均为1，且两两的夹角为060，则对角线AC 1的长是 . 【答案】【解析】本题考查的知识点是空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．解：设。
浙江省杭州市八县区2021-2022学年高二上学期期末学业水平测试数学试题 Word版含答案
（2）在月平均用电量最小组[160，180）和最大组[280，300]用户中，各随机抽取1户到社区做用电情况交流，其中最小组的甲与最大组的乙恰有一人被选到的概率．
【答案】（1）201.8
（2）
19.莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，瑞士数学家），1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高线的交点）和外心（三条中垂线的交点）共线．这条线被后人称为三角形的欧拉线．已知 的顶点 ， ， ．
2021学年第一学期期末学业水平测试
高二年级数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. D.
【答案】B
2.若复数z满足 （其中i为虚数单位），则z的虚部是（）
A.2iB. C.2D.
【答案】D
3.已知 与抛物线 的准线相切．则 （）
（1）求角A；
（2）若 ， ，求BC边上的中线长．
【答案】（1） ；
（2） .
18.某城市为节能减排，提出了在保障生活必需的基础上，“低碳生活，节约用电”的倡议．以下是某社区随机提取的100户居民的月平均用电量（单位：度）的数据，根据这些数据，以[160，180），[180，200），[200，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．
A B. C. D.
【答案】D
8.a为实数，函数 在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当g（a）取得最小值时， （）
A. B. C. D.1
【答案】A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
浙江省杭州市西湖高中2019-2020学年高二6月月考数学试题+Word版含答案
班级
学号
姓名
分数
.
一、单选题（每小题 4 分，共 40 分）
1．已知集合U 1, 2,3, 4,5, 6, 7 ，集合 A 1, 2,3, 4 ， B 3, 4,5, 6 则 A I ðU B （ ）
A．1, 2,3, 4 B．1, 2, 7 C．1, 2 D．1, 2,3
，b
为单位向量，a
与
b
的夹角为
3
，则
a
b
______.已知向量
a
(
3, 1) ，
b ( 3,1) ，则 a 在 b 方向上的投影为___________.
15．正三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB 2 ，AA1 2 2 ，D 为棱 A1B1 的中点，则异面直线 AD 与 CB1
6
22．（1） g(x) x 6 4(x 0) ；（2） n 5 ；.
21．（15
分）已知点
A(sin
2x,1),B
1,cos
2
x
π 6
,设函数
f(x)=
OA·OB
(x∈R),其中
O
为坐标原点。
(1)求函数 f(x)的最小正周期;
(2)当
x∈
0,
π 2
时,求函数
f(x)的最大值与最小值;
22．（15 分）已知函数 f (x) x2 (m 2)x m ， g(x) f (x) ，且函数 y f (x 2) 是偶函数. x
三、解答题
18．（14 分） ABC 的内角 A, B,C 的对边为 a,b, c ， b sin B c sin C 2b sin C a sin A
浙江省丽水市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
丽水市2019学年第一学期普通高中教学质量监控高二数学试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上.2．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若直线210x y ++=的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则（ ）A. 2k =-，12b =-B. 12k =-，1b =-C. 12k =-，12b =-D. 2k =-，1b =-【答案】C【解析】【分析】 根据题意，将直线的方程变形为斜截式方程，据此分析,k b 的值，即可得答案.【详解】解：根据题意，直线210x y ++=，其斜截式方程为1122y x =--， 其斜率12k =-，在y 轴上的截距12b =-， 故选：C .【点睛】本题考查直线的一般式方程与斜截式方程的转化，注意直线斜截式方程的形式，属于基础题.2.圆221:2C x y +=与圆()()222:118C x y ++-=的位置关系是（ ） A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离【答案】B【解析】【分析】分别求出两圆的圆心和半径，求得圆心距与半径和或差的关系，即可判断位置关系.【详解】解：圆221:2C x y +=的圆心1(0,0)C ，半径1r =，()()222:118C x y ++-=的圆心2(1,1)C -，半径2r =则两圆的圆心距2121r C r C ==-，即两圆内切.故选：B .【点睛】本题考查两圆的位置关系的判断，注意运用两点的距离公式，考查运算能力，属于基础题. 3.椭圆22123x y +=的焦点坐标是（ ）A. ()0,1±B. ()1,0±C. (0,D. ()【答案】A【解析】【分析】直接利用椭圆方程，求出,a b ，然后求解c 即可.【详解】解：椭圆22123x y +=，可得a b ==，可得1c =， 所以椭圆的焦点()0,1±.故选：A .【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题.4.已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（ ）A. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥B. 若//l m ，l α⊥，m β⊥，则//αβC. 若//l m ，l α⊥，//m β，则//αβD. 若l α⊥，m β⊥，//αβ，则//l m【答案】C【解析】【分析】根据空间中的平行与垂直关系，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】解：对于A ，//l α时，过l 作平面n γα=I ，则//l n ；由l β⊥知n β⊥，所以αβ⊥，故A 正确；对于B ，当//l m ，l α⊥，m β⊥时，得l β⊥且l α⊥，所以//αβ，故B 正确；对于C ，当//l m ，l α⊥，//m β时，则αβ⊥，所以C 错误；对于D ，当l α⊥，//αβ时，l β⊥，又m β⊥，所以//l m ，D 正确.故选：C .【点睛】本题考查了空间中的平行与垂直关系的判断问题，也考查了符号语言应用问题，是基础题.5.双曲线221412x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点在P 双曲线上，若15PF =，则2PF =（ ） A. 1B. 9C. 1或9D. 7【答案】B【解析】【分析】求得双曲线的,,a b c ，判断P 的位置，结合双曲线的定义，可得所求值.【详解】解：双曲线221412x y -=的2,4a b c ====， 点在P 双曲线的右支上，可得16PF a c ≥+=，点在P 双曲线的左支上，可得12PF c a ≥-=， 由15PF =可得P 在双曲线的左支上，可得2124PF PF a -==， 即有2549PF =+=.故选：B .【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查定义法解题，以及分类讨论思想，属于基础题. 6.“()()ln 2ln 10a b --->”是“1a b >”成立的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案.【详解】解：由()()ln 2ln 10a b --->，得201021a b a b ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，得1a b >>，1a b ∴>； 反之，由1a b>，不一定有()()ln 2ln 10a b --->，如2,1a b =-=- ∴“()()ln 2ln 10a b --->”是“1a b>”成立的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题考查对数的运算性质与不等式的基本性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题. 7.直线()00ax by a b ab +++=≠和圆22250x y x +--=的交点个数（ ） A. 0B. 1C. 2D. 与a ，b 有关【答案】C【解析】【分析】 圆题意可知直线恒过 圆内的定点(1,1)--，故可得直线与圆相交，即可判断【详解】解：因为直线()00ax by a b ab +++=≠可化为(1)(1)0a x b y +++=，所以直线恒过定点(1,1)--，因为()()()22112150-+----<则点(1,1)--在圆22250x y x +--=内，故直线0ax by a b +++=过圆内的点，与圆相交，即交点个数为2.故选：C .【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，解题的关键是发现直线恒过定点(1,1)--且定点在圆内.8.我国古代数学名著《九章算术》中记载“刍甍”（chu meng ）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体ABCDEF 是一个刍甍，其中BCF V 是正三角形，22AB BC EF ==，则以下两个结论：①//AB EF ；②BF ED ⊥，（ ）A. ①和②都不成立B. ①成立，但②不成立C. ①不成立，但②成立D. ①和②都成立【答案】B【解析】【分析】利用线面平行的性质及勾股定理即可判断. 【详解】解：∵//AB CD ，CD 在平面CDEF 内，AB 不在平面CDEF 内，∴//AB 平面CDEF ，又EF 在平面CDEF 内，由AB 在平面ABFE 内，且平面ABFE I 平面CDEF EF =，∴//AB EF ，故①对；如图，取CD 中点G ，连接BG ，FG ，由AB ＝CD ＝2EF ，易知//DE GF ，且DE ＝GF ，不妨设EF ＝1，则222BG BC EF ===，假设BF ⊥ED ，则222FG B G F B +=，即212FG +=，即FG ＝1，但FG 的长度不定，故假设不一定成立，即②不一定成立.故选：B .【点睛】本题考查线面平行的判定及性质，考查垂直关系的判定，考查逻辑推理能力，属于中档题.9.已知()1,0A -，()10B ,，点()(),0P x y y ≠222244442x y x x y x ++++-+=上，若直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则（ ）A. 1213k k ⋅=-B. 123k k ⋅=-C. 1213k k ⋅=D. 123k k ⋅=【答案】D【解析】【分析】 先根据已知条件得到点P 在以(2,0),(2,0)-为焦点，22a =的双曲线上，且在右支上；再利用整体代换即可求解.2=，2=；∴点P 在以(2,0),(2,0)-为焦点，22a =的双曲线上，且在右支上， ∴对应的曲线方程为：221,(0)3y x x -=>； 22122231113y y y y k k y x x x ∴⋅=⨯===+--. 故选：D .【点睛】本题主要考查曲线与方程，解决本题的关键点在于根据已知条件得到点P 所在曲线，属于基础题目.10.若实数x ，y 满足方程()cos sin 1x y θθθ+=∈R ，则（ ） A. x y +≤B. x y +≥C . 221x y +≤D. 221x y +≥ 【答案】D【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和函数的性质的应用求出结果.【详解】解：由于1cos sin )x y x θθθ=+=+≤故：221x y +≥.故选：D .【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.11.如图，在三棱锥P ABC -中，PB BC a ==，()PA AC b a b ==<，设二面角P AB C --的平面角为α，则（ ）A. +PCA PCB α∠+∠>π，2PAC PBC α<∠+∠B. +PCA PCB α∠+∠<π，2PAC PBC α<∠+∠C. +PCA PCB α∠+∠>π，2PAC PBC α>∠+∠D. +PCA PCB α∠+∠<π，2PAC PBC α>∠+∠【答案】C【解析】【分析】解题的关键是通过构造垂面得出PMC α∠=，然后转化到平面中解决即可.【详解】解：如图（1），取PC 中点D ，连接AD ，BD ，由PB ＝BC ＝a ，PA ＝AC 易知BD ⊥PC ，AD ⊥PC ，故可得PC ⊥平面ABD ， 作PM ⊥AB 于M ，由ABP ABC ≅V V ，可得CM ⊥AB ，∴PMC α∠=， 又PM CM h a b ==<<，由图（2）可得2222PMC PBC PAC α∠∠∠=>>， 2PAC PBC α∴>∠+∠，22PBC PAC PCA PCB PCA PCB α∠∠+∠+∠>++∠+∠ 22PBC PAC PCB PCA π∠∠=+∠++∠= 故选：C .【点睛】本题考查空间角的综合问题，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于中档题.12.已知直线:l y kx m =+与椭圆22143x y +=交于A ，B 两点，且直线l 与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ．若点C ，D 三等分线段AB ，则（ ） A. 214k = B. 2916k = C. 232m = D. 235m = 【答案】D【解析】【分析】将直线与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出中点坐标及弦长AB ，由题意知CD 的坐标及中点与AB 的中点相同求出2k 的值，再由C ，D 三等分线段AB ，则13CD AB =，求出2m 的值，选出结果. 【详解】解：设()(,),,A x y B x y ''，联立直线与椭圆的方程整理得：()2223484120k x kmx m +++-=，()()2222644344120k m k m ∆=-+->，解得2234m k <+，()222284126,,2343434km m m x x xx y y k x x m k k k ''''--+==+=++=+++， 所以中点2243 P ,3434km m k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 由题意得,0,(0,)m C D m k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点C ，D 三等分线段AB ， 所以CD 的中点也为P ，所以2243,234234m km m m k k k --==++， 由题意0m ≠，所以可得：234k =； 所以弦长AB ===，由题意得,0,(0,),m C D m CD k ⎛⎫-∴== ⎪⎝⎭ 由题意13CD AB =，所以||14||3m k =⋅， 整理得：()2222223341634m k m k k +-=⋅+， 解得235m =， 故选：D .【点睛】考查直线与椭圆的值应用，属于中档题. 非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共7小题，其中多空题每题6分，单空题每题4分，共34分．13.双曲线221412x y -=的焦距是______，渐近线方程是______. 【答案】(1). 8 (2). y =【解析】【分析】由双曲线方程求得a ，b ，c 的值，则其焦距与渐近线方程可求．【详解】由题知，2a ＝4，2b ＝12，故2c ＝22a b +＝16，∴双曲线的焦距为：28c =，渐近线方程为：b y x x a =±==．故答案为8；y =．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．14.已知直线1:2380l x y +-=和2:6100l ax y --=．若12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 间的距离是__________．【答案】 (1). 4-(2).【解析】【分析】由直线1:2380l x y +-=和2:6100l ax y --=.12l l //，利用直线与直线平行的性质能求出a ，把2:6100l ax y --=转化为：2350x y ++=，利用两平行线间的距离公式能求出两直线1l 与2l 间的距离.【详解】解：直线1:2380l x y +-=和2:6100l ax y --=，12l l //，623a -∴=，解得4a =-， ∴2:6100l ax y --=转化为：2350x y ++=，两直线1l 与2l间的距离是：d ==. 故答案为：4-【点睛】本题考查实数值、两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 15.已知实数x ，y 满足不等式组,22,0.x y m x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若2z x y =-的最小值为1-，则m =__________，z 的最大值是__________．【答案】 (1). 1 (2). 4【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数2z x y =-的最小值.利用数形结合即可得到结论.【详解】解：先作出实数x ，y 满足约束条件,22,0.x y m x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域如图，∵目标函数2z x y =-的最小值为：−1，由图象知2z x y =-经过平面区域的A 时目标函数取得最小值−1.由2122x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得A （0，1）， 同时A （0，1）也在直线0x y m +-=上，10m ∴-=，则1m =，∵2z x y =-过点C （2，0）时取最大值；所以其最大值为2204z =⨯-=.故答案为：1；4.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.16.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是__________2cm ．【答案】3522π2+ 【解析】【分析】首先画出直观图，再进一步利用公式求出结果.【详解】解：根据几何体的三视图，可得直观图如下：该几何体为一个14圆柱，加一个三棱柱， 底面为一个等腰直角三角形和一个半径为1的14个圆. 所以213122225224221112S πππ⎛⎫=⨯⨯⨯+⎛⎫+⨯=+⨯⨯ ⎪⎝++ ⎝⎭⎭⎪. 故答案为：35222π++【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.17.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，P 是抛物线C 上的点．若线段PF 被直线2x =平分，则PF =__________．【答案】4【解析】【分析】由题意求出抛物线的焦点坐标及准线方程，由线段PF 被直线2x =平分，则2是中点的横坐标，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，进而求出PF 的值.【详解】解：由题意知焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程：2p x =-，设P 的横坐标0x ， 由题意0222p x ⋅=+，由抛物线的性质知042p PF x =+=， 故答案为：4.【点睛】考查抛物线的性质，属于基础题.18.如图，在三棱锥A BCD -中，底面是边长为2的正三角形，4AB AC AD ===，且E ，F 分别是BC ，AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为__________．【答案】41015【解析】【分析】连结DE ，到DE 中点P ，连结PF 、PC ，则PF ∥AE ，从而∠PFC 是异面直线AE 和CF 所成角的余弦值，由此能求出异面直线AE 和CF 所成角的余弦值.【详解】解：因为三棱锥A −BCD 中，底面是边长为2的正三角形，AB ＝AC ＝AD ＝4，所以三棱锥A −BCD 为正三棱锥；连结DE ，取DE 中点P ，连结PF 、PC ，∵正三棱锥A −BCD 的侧棱长都等于4，底面正三角形的边长2，点E 、F 分别是棱BC 、AD 的中点，∴PF ∥AE ，∴∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，AE DE===222161647cos22448AC AD CDCAFAC AD+-+-∠===⨯⨯⨯⨯，CF==，1,222PF AE PC====，1576cos PFC+-∴∠==∴异面直线AE和CF.故答案为：15.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键是利用线线平行将异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，是中档题.19.已知椭圆22162x y+=的右焦点为F，上顶点为A，点P在圆228x y+=上，点Q在椭圆上，则2PA PQ QF+-的最小值是__________．【答案】6-【解析】【分析】求得椭圆的,,a b c，可得焦点坐标和顶点坐标，可,)Pθθ，由两点的距离公式可得2||||PA PB=，即点P与(0,B的距离，再由椭圆的定义，可得22||||||||||PA PQ QF PB PQ QF+-=++-，再由四点共线取得最值，可得所求.【详解】解：椭圆22162x y+=的2a b c===，右焦点为(2,0)F ，右焦点为2(2,0) F -，上顶点为(0,2)A ， 点P 在圆228x y +=上，可设(22cos ,22sin )P θθ，222||2(22cos )(22sin 2)2108sin 4032sin PA θθθθ=+-=-=-22(22cos )(22sin 42)θθ=+-， 表示点P 与(0,42)B 的距离，由椭圆的定义可得22||226QF QF a QF -=-=-222||||||||||2626PA PQ QF PB PQ QF BF +-=++-≥-22(02)(42)26626=++=-，当且仅当2,,,B P Q F 三点共线上式取得等号，故2PA PQ QF +-的最小值是626-故答案为：626-【点睛】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查圆的参数方程的运用和两点的距离公式，注意转化思想和数形结合思想，考查化简运算能力，属于难题.三、解答题：本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20.已知()222422210x y x my m m m +-++-+=∈R 表示圆C 的方程． （1）求实数m 的取值范围；（2）若直线:20l x y +=被圆C 截得的弦长为4，求实数m 的值．【答案】（1）13m -<<（2）1m =【解析】【分析】（1）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析可得2230m m --+>，解可得m 的取值范围； （2）根据题意，分析圆C 的圆心以及半径，结合直线与圆的位置关系分析可得224235m m +=-++ ⎪⎝⎭，解可得m 的值，即可得答案. 【详解】解：（1）配方得：()()222223x y m m m -++=-++由2230m m --+>，解得：13m -<<；（2）由题意可得：圆心为(2,)C m -，半径223r m m =-++ 则22224235m m m ⎛-⎫+=-++ ⎪⎝⎭， 解得1m =.【点睛】本题考查圆的一般方程以及直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，2PA AD ==．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）在棱PC 上是否存在点H ，使得AH ⊥平面PCD ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析（2）在棱PC 上存在点H ，23PH PC =，使得AH ⊥平面PCD ． 【解析】【分析】（1）由题意，利用勾股定理可得2DC AC ==，可得222AC DC AD +=，可得AC DC ⊥，利用线面垂直的性质可得PA CD ⊥，利用线面垂直的判定定理即可证明DC ⊥平面PAC ；（2）过点A 作AH ⊥PC ，垂足为H ，由（1）利用线面垂直的判定定理可证明AH ⊥平面PCD ，在RT △PAC中，由PA ＝2，2AC =，可求23PH PC =，即在棱PC 上存在点H ，且23PH PC =，使得AH ⊥平面PCD .【详解】解（1）由题意，可得2DC AC ==， ∴222AC DC AD +=，即AC DC ⊥，又PA ⊥底面ABCD ，∴PA CD ⊥，且PA AC A =I ，∴DC ⊥平面PAC ；（2）过点A 作AH PC ⊥，垂足为H ，由（1）可得CD AH ⊥，又PC CD C =I ，∴AH ⊥平面PCD .在Rt PAC △中，∵2PA =，2AC =，PH PA PA PC = ∴23PH PC =. 即在棱PC 上存在点H ，且23PH PC =，使得AH ⊥平面PCD .【点睛】本题主要考查了勾股定理，线面垂直的性质，线面垂直的判定，考查了数形结合思想和推理论证能力，属于中档题.22.如图，在三棱台111ABC A B C -中，底面ABC ∆是边长为4的正三角形，111A B AA ==12CC =，13BB =，E 是棱11A C 的中点，点F 在棱AB 上，且3AF FB =．（1）求证：//EF 平面11BCC B ；（2）求直线EF 和平面ABC 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2 【解析】【分析】（1）取BC 上一点G ，满足CG ＝3GB ，连接1C G ，FG ，推导出四边形1EFGC 为平行四边形，从而EF //1C G ，由此能证明EF //平面11BCC B .（2）延长111,,AA BB CC 交于一点P ，取AC 的中点为O ，连接PO ，OB ，则PO ⊥AC ，BO ⊥AC ，过O 作OD ⊥平面ABC ，如图，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF 和平面ABC 所成角的正弦值.【详解】解：（1）取BC 上一点G ，满足3CG GB =，连1C G ，FG ， 在ABC V 中，由3CG AF GB FB== ∴//FG AC ，113FG AC == 又1//EC AC ，11EC =∴1//EC FG ，1EC FG =∴四边形1EFGC 为平行四边形∴1//EF C G又1C G ⊂平面11BCC B ，EF ⊄平面11BCC B∴//EF 平面11BCC B .（2）延长1AA ，1BB ，1CC 交于一点P ，且111A B C △为边长为2的正三角形，取AC 的中点为O ，连接PO ，OB ，则PO AC ⊥，BO AC ⊥，且PO =BO =6PB =，120POB ∠=︒，过O 作OD ⊥平面ABC ，如图，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()0,23,0B ，()0,3,3P -，330,,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1333,,222F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴11,23,22EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =r ，设EF 与平面ABC 所成的角为α，∴358sin cos ,58EF n EF n EF nα⋅===⋅u u u r r u u u r r u u u r r ， ∴直线EF 和平面ABC 所成角的正弦值为35858.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.23.已知直线:l y x t =+与抛物线2:M y x =交于A ，B 两点，点C ，D 在抛物线M 上，且直线AC 与BD 交于点10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）写出抛物线M 的焦点坐标和准线方程；（2）记PCD V ，PAB △的面积分别为1S ，2S ，若1219S S =，求实数t 的值． 【答案】（1）1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为14x =-；（2）12t =- 【解析】【分析】（1）由抛物线的焦点坐标和准线方程可得所求；（2）设()211,A y y ，()222,B y y ，()233,C y y ，()244,B y y ，直线方程y x t =+、PA 的方程、PB 的方程与抛物线方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，判断AB 与CD 平行，由三角形的面积之比为对应边的平方比，化简计算，解方程可得t .【详解】解：（1）由抛物线方程为2y x =,则抛物线焦点为1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为14x =-； （2）设()211,A y y ，()222,B y y ，()233,C y y ，()244,B y y ， 由2y x t y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得20y y t -+=， ∴121y y +=，12y y t =，且Δ140t =->即14t <. 将直线121112:2y PA y x y -=+代入2y x =消去x 得：122111202y y y y --+=， ∴211311212y y y y =-，得1311212y y y =-. 同理2421212y y y =- 则()()121212341212121111224411111122244y y y y y y t y y y y y y y y t -+-+=+===---++-从而2234343411CD ABy yk ky y y y-====-+，故// CD AB.()()()12222123434341222221212121122141141122149414y y y y CD y y y y y y S S t y y y y t AB y y-⋅---+-======-+---，解得12t=-或1t=（舍去）∴12t=-. 【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查了直线和抛物线的交点坐标的运算，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简运算能力，属于中档题.。
浙江省杭州外国语学校2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)(1)
联立 ，解得 ．
的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线系过定点问题，属于基础题．
13。某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm)，则该几何体的体积 _________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
利用三视图还原几何体的直观图，再利用几何体的体积公式进行计算，求得结果．
（1）求公共弦 的长度；
（2）求圆 的方程；
（3）过点 分别作直线 ， ，交圆 于 ， ， , 四点，且 ，求四边形 面积的最大值与最小值．
【答案】(1） ；(2） ;(3）最大值17，最小值12 ．
18.如图，在四棱锥 中，底面ABCD为矩形，平面 平面ABCD， ， ，E，F分别是AD，PB的中点．
（1）求证： ;
（2）求证： 平面PCD；
(3）求证：平面 平面PCD．
【答案】（1)证明见解析；(2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）推导出 ，从而 平面 ，由此能证明 ．
（2)取 中点 ，连结 ， ,推导出 ， ,从而平面 平面 ,由此能证明 平面 ．
【详解】(1) 直三棱柱 ， ，
是 中点， , ，
， 平面 ．
（2）解：以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
， , ， ,
, ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ,取 ,得 ,
设 与平面 所成的角为 ，
则 ， ，
与平面 所成的角为 ．
（3）解：当 时， , ， ，
， ，
设平面 的法向量 ， ， ,
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线与圆位置关系，取临界处的关系研究极值情况，即可求得m的最值,进而求得m的取值范围．
浙江省杭州市2019-2020学年度高二第二学期期末教学质量检测试题 数学【含解析】
浙江省杭州市2019-2020学年度高二第二学期期末教学质量检测试题数学【含解析】一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．1. 已知集合{}0,1,2,3,5A =，{}1,3,5B =，则A B =（ ）A. {}1,3B. {}3,5C. {}3,1,5D. {}0,1,2,3,5【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的知识求得AB .【详解】依题意可知，{}3,1,5A B ⋂=. 故选：C【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题. 2. 已知()2231f x x x =-+，则()1f =（ ）A. 15B. 21C. 3D. 0【答案】D 【解析】 【分析】利用函数解析式，求得函数值.【详解】根据()f x 的解析式，有()21213112310f =⨯-⨯+=-+=.故选：D【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题. 3. 125log 2516+=（ ）A.94B. 6C.214D. 9【答案】B 【解析】根据指数运算法则以及对数运算法则求解即可.【详解】112222555log 2516log 5(4)2log 546+=+=+=故选：B【点睛】本题考查指数运算法则以及对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 4. 若α是钝角，2cos 3α=-，则()sin πα-=（ ） A.23B. 23-C. 5-D.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式以及同角三角函数关系求得结果. 【详解】()sin πsin αα-=,又α是钝角，2cos 3α=-，所以25sin 1cos αα=-= 因此()sin πα-=53， 故选：D【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.5. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）2 2 C. 2D. 22【答案】C【分析】由三视图知该几何体是直三棱柱，且底面是腰长为2的等腰直角三角形，棱柱的高为2，由此可计算体积．【详解】把三棱柱旋转为下图，由三视图知该几何体是直三棱柱，且底面是腰长为2的等腰直角三角形，棱柱的高为2，几何体的体积为122222V =⨯⨯⨯=， 故选：C.【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积，由三视图得出原几何体中的线段的长度是解题关键．6. 若圆22104x y mx ++-=与直线1y =-相切，则m =（ ） A. 22±32 D. 3±【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心，根据直线与圆相切，建立方程，即可求出m .【详解】由22104x y mx ++-= 可得：2221()24m m x y +++=，故圆心为,02m ⎛⎫- ⎪⎝⎭21m +，又因为直线1y =-与圆相切，所以圆心到直线1y =-的距离等于半径，即2112m +=，解得3m =±， 故选：D【点睛】本题主要考查了直线与圆相切，圆的一般方程与标准方程，考查了运算能力，属于中档题. 7. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A. 3144AB AC - B.1344AB AC - C. 3144+AB ACD. 1344+AB AC【答案】A 【解析】 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.8. 已知不等式组y xy x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ） A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】C 【解析】【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.9. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（ ） A. 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B. 若m α⊥，//m n ，βn//，则αβ⊥ C. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； ∵m α⊥，//m n ，∴n α⊥，又∵//n β，∴αβ⊥，故B 正确； 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则α与β的位置关系不确定，故C 错误； 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 或m ，n 异面，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题主要考查线面、面面有关的命题的判定，熟记线面、面面位置关系即可，属于常考题型. 10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20210S >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】结合等比数列的前n 项和公式，以及充分、必要条件的判断方法，判断出正确选项.【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以2021111n q S a q -=⋅-，由于101nq q ->-，所以 2021111001nq S a a q-=⋅>⇔>-，所以“10a >”是“20210S >”的充要条件. 故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列前n 项和公式，考查充分、必要条件的判断，属于中档题. 11. 下列不可能．．．是函数()()ln f x x x αα=∈Z 的图象是（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊值确定不可能的图象.【详解】当1x >时，0,ln 0x x α>>，所以此时()0f x >，故C 选项图象不可能成立.故选：C【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题. 12. 已知1a =，4a b a b ++-=，则b 的最大值是（ ） 2 B. 26 D. 22【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值不等式化简已知条件，由此求得b 的最大值【详解】依题意()422a b a b a b a b b b =++-≥+--==，所以2b ≤， 也即b 的最大值是2. 故选：B【点睛】本小题主要考查绝对值三角不等式，属于基础题.13. 以双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点A 为圆心作半径为a 的圆，此圆与渐近线交于坐标原点O 及另一点B ，且存在直线y kx =使得B 点和右焦点F 关于此直线对称，则双曲线的离心率为（ ） 623 D. 3【答案】B 【解析】【分析】由题意可得，根据直线与圆的位置关系得点(),0A a -到by x a=-的距离22222c d b a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭+，得a ，c 的关系，再由离心率公式计算即可得到选项.【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，由题意可得，OB OF c ==，设点(),0A a -到by x a=-的距离为d ，则222OB a d =- 所以22222c d b a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭+，整理得222a c =，所以离心率2ce a==故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程和焦点坐标和离心率的求法，以及直线与圆的位置关系，属于中档题.14. 设,x y ∈R （ ）A. 若1124239x yxy⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20x y -> B. 若1124239x yx y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20x y -< C. 若1122943yxx y ⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20x y -< D. 若1122943yxxy ⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20x y -> 【答案】B 【解析】 【分析】把相同变量整理在一起，然后构造函数，利用函数的单调性可判断.【详解】解：由1124239x y x y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2211124222393x y yx y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以222111220333x y yx y⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以22112233xyx y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1()23xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 在R 上为增函数，所以2x y <，即20x y -<，所以B 正确，由1122943y x xy ⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2211122922343x y yx y y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22112233x yx y --⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1()23xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上为增函数，所以2x y <-，即20x y +<，所以C,D 不正确故选：B【点睛】此题考查了利用函数的单调性判断变量间的关系，关键是构造函数，属于中档题.15. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E 是棱BC 上的动点，F 是棱11B C 上靠近1C 点的三分点，M 是棱1CC 上的动点，则二面角A FM E --的正切值不可能．．．是（ ）31521565【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角A FM E --的余弦值，进而求得二面角A FM E --的正切值，求得正切值的最小值，由此判断出正确选项.【详解】取BC 的中点O ，连接OA ，根据等边三角形的性质可知OA BC ⊥，根据直三棱柱的性质，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.则()()0,33,0,1,0,2A F ，设()()3,0,02M t t ≤≤. 则()()1,33,2,2,0,2AF FM t =-=-. 设平面AMF 的一个法向量为(),,m x y z =，则()3320220m AF x y z m FM x t z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1y =，得633363,1,66t m t t ⎛⎫-= ⎪ ⎪--⎝⎭. 平面FME 的一个法向量是()0,1,0n =，所以222cos ,28120252633363166m n m n m nt t t t t ⋅===⋅-+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以2sin ,1cos ,m n m n =-222710821628120252t t t t -+=-+所以二面角A FM E --的正切值为()()22sin ,271082166cos ,m n t t f t t m n-+==-()2115402162766t t =⋅+⋅+--因为02t ≤≤，所以111466t -≤≤--，216125405-=-⨯ 结合二次函数的性质可知当1165t =--时，()f t 有最小值1131554021627255⨯-⨯+=； 当1166t =--时，()f t 有最大值为11540216276366⨯-⨯+=， 所以()315,6f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣，所以二面角A FM E--的正切值不可能是2155. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.二、填空题（本大题共4小题，每空4分，共16分）16. 已知()2,0,22,0x x x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则函数()f x 的零点个数为__________． 【答案】1【解析】【分析】画出()f x 的图象，由此判断()f x 零点的个数.【详解】画出()f x 的图象如下图所示，由图可知，()f x 有1个零点.故答案为：1【点睛】本小题主要考查分段函数零点的判断，属于基础题.17. 在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为33BC 的长是____．13【解析】 由题可知：13sin 33sin 2AB AC A A ⋅⋅==，又为锐角三角形，所以60A =，由余弦定理222cos 132b c a A a BC bc+-=⇒== 18. 若正数a ，b 满足225ab a b =++，则ab 的最小值是__________．【答案】25【解析】【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得ab 的最小值.【详解】依题意,a b 为正数，且225245ab a b ab =++≥， 所以450ab ab -≥， 即()510ab ab ≥525ab ab ≥⇒≥， 当且仅当5a b ==时等号成立.所以ab 的最小值是25.故答案为：25【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.19. 已知数列{}n a 和{}n b ，满足21n n b a =-，设{}n b 的前n 项积为2n a ，则14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n S =__________． 【答案】1122n -+ 【解析】【分析】 根据21n n b a =-及前n 项积为2n a 可得递推关系121n n na a a --=，整理可知{}n a 为等差数列，利用裂项相消法即可求解.【详解】设{}n b 的前n 项积为n T ，则2n n T a =则1n =时，1111221b T a a =-==，解得14a =， 当2n ≥时，11n n n n nT a b T a --==， 又21n nb a =-， 所以121n n na a a --=， 化简得12n n a a --=（2n ≥），所以{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列，42(1)22n a n n ∴=+-=+114112n n n n a a a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 11111111111112=2=466881042422n n n a a n n S +⎛⎫⎛⎫=-+-+-++--- ⎪ ⎪++⎝⎭∴⎝⎭， 故答案为：1122n -+ 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式，裂项相消法求和，考查了运算能力，属于中档题. 三、解答题：本大题共5小题，共74分，要求写出详细的推证和运算过程．20. 已知函数()ππ23cos cos 2cos 233f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （Ⅰ）求π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值． （Ⅱ）求函数()f x 在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（Ⅰ）π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）最大值2，最小值3-【解析】【分析】（1）运用三角恒等变换将函数化为()2sin(2)6f x x π=-，代入可求得其函数值； （2）由x 的范围，求得26x π-的范围，根据正弦函数的图象与性质可求得函数()f x 在给定区间上的最值. 【详解】（Ⅰ）()ππ23sin cos cos 2cos 233f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 2(cos 2cos sin 2sin )(cos 2cos +sin 2sin )3333x x x x x ππππ=--- 3sin 2cos2x x =-2sin(2)6x π=-． 所以5()2sin 22sin 12266f ππππ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭． （Ⅱ）由（1）得()2sin(2)6f x x π=-，因为π5π1212x -≤≤，所以22363x πππ-≤-≤． 所以 当226x ππ-=，即3x π=时，max 2y =；当263x ππ-=-，即12x π=-时，min 3y =-． 所以当3x π=时，max 2y =；当12x π=-时，min 3y =-．【点睛】本题考查三角恒等变换和正弦函数的最值，运用到余弦的和差角公式，二倍角公式，以及正弦函数的图象与性质，属于中档题.21. 如图，已知三棱锥P ABC -，PC AB ⊥，ABC 是边长为2的正三角形，4PB =，60PBC ∠=︒，点F 为线段AP 的中点．（Ⅰ）证明：PC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求直线BF 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2. 【解析】【分析】 （Ⅰ）在△PBC 中，根据余弦定理可求得PC ＝23，再由勾股定理可知，PC ⊥BC ，最后根据线面垂直的判定定理即可得证；（Ⅱ）以C 为原点，CA 的垂线所在的直线为y 轴，CA 和CP 分别为x 、z 轴建立空间直角坐标系，写出向量CB 、CP 和BF ，再根据法向量的性质求出平面PBC 的法向量n →，设直线BF 与平面PBC 所成角为α，则sinα＝|cos BF,n |<>＝||||||BF n BF n ⋅⋅，最后利用空间向量数量积的坐标运算即可得解． 【详解】（Ⅰ）证明：PBC 中，60PBC ∠=︒，2BC =，4PB =由余弦定理可得23PC =，因为222PC BC PB +=，所以PC BC ⊥，又PC AB ⊥，AB BC B ⋂=，所以PC ⊥面ABC ．（Ⅱ）在平面ABC 中，过点C 作CM CA ⊥，以C 为原点，CA →，CM →，CP →的方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，(0,0,23P ，()2,0,0A ，()3,0B ，(3F ，所以()13,0CB →=，(0,0,23CP →=，(0,3,3BF →=-，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z →=， 则30,230,CB n x y CP n z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 取3x =，则1y =-，0z =，即()3,1,0n =-， 所以sinα＝2cos ,4BF nBF n BF n →→→→⋅==⋅， 故直线BF 与平面PBC 所成角的正弦值24． 【点睛】本题考查空间中线面的位置关系、线面的夹角问题，熟练运用线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量求线面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22. 等差数列{}n a 的公差不为0，13a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列．（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设()111n n n n b a a ++=-⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T ．【答案】（Ⅰ）63n a n =-；（Ⅱ）227236=--n n T n .【解析】【分析】（I ）根据等比中项的性质列方程，并转化为1,a d 的形式，由此求得d ，进而求得数列{}n a 的通项公式. （II ）利用分组求和法求得2n T .【详解】（I ）由于1a ，2a ，5a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114a d a a d +=⋅+，即()()23334d d +=⋅+，由于0d ≠，所以解得6d =，所以数列{}n a 的通项公式是()31663n a n n =+-⨯=-.（II ）依题意()()()()111116363n n n n n b a a n n +++=-⋅=-⋅-+ ()()()()11122136913619n n n n n +++=-⋅-=-⋅--⋅.所以()()()()()2222222361234212999999n T n n ⎡⎤=⨯-+-++----+-++-⎣⎦ ()()()()()()3612123434212212n n n n =⨯+-++-++-+--⎡⎤⎣⎦ ()361234212n n =-+++++-+()()221223636272362n n n n n n +⨯=-⨯=-⨯+=--. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的计算，考查等差中项的性质，考查分组求和法，属于中档题. 23. 如图所示，圆()221:11C x y +-=，抛物线22:C x y =，过点()0,P t 的直线l 与抛物线2C 交于点M ，N 两点，直线OM ，ON 与圆1C 分别交于点E ，D ．（1）若1t =，证明：OM ON ⊥；（2）若0t >，记OMN ，OED 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值（用t 表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）()21124++t t . 【解析】【分析】（1）设直线:1l y kx =+，()211,M x x ，()222,N x x ，将l 与抛物线22:C x y =联立，根据根与系数的关系证明1OM ON k k ⋅=-，证得OM ON ⊥；（2）设直线:l y kx t =+，()211,M x x ，()222,N x x ，将l 与抛物线22:C x y =联立，得到根与系数的关系，且有OM ON k k t ⋅=-，再将,OM ON 与圆1C 联立，求得,M N 的横坐标，又121sin 21sin 2M N E D OM ON MON x x S S x x OE OD MON ⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠代入化简，求得最小值. 【详解】（1）设直线:1l y kx =+，()211,M x x ，()222,N x x ， 由21y kx y x=+⎧⎨=⎩得：21x kx =+，所以121x x =-． 而221212121OM ONx x k k x x x x ⋅=⋅==-． （2）同（Ⅰ）设直线:l y kx t =+，()211,M x x ，()222,N x x ， 可得：12x x t =-，22121212OM ON x x k k x x t x x ⋅=⋅==-， 由()2211OM y k x x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩得：()22120OM OM k x k x +-=， 解得：12212211OM E OM k x x k x ==++， 同理可得22222211ON D ON k x x k x ==++， 所以121sin 21sin 2M N E D OM ON MON x x S S x x OE OD MON ⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠()()2212121122111142211x x x x x x x x ++==⋅++， 因为12x x t =-， 所以()()()()2212222211221111112444x x S t x x t t S ++⎡⎤==+++≥++⎣⎦， 当且仅当12x x t =-=-12x x t =-=--【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，三角形面积公式，基本不等式求最值，考查了设而不解，联立方程组，根与系数的关系等基本技巧，还考查了学生的分析能力，运算能力，难度较大.24. 已知函数()()f x x a x b c =--+，x ∈R ．（Ⅰ）当1a =，0b =时，函数()y f x =有且只有两个零点，求c 的取值范围．（Ⅱ）若0a =，0c <，且对任意[]0,1x ∈，不等式()0f x ≤恒成立，求2b c +的最大值．【答案】（Ⅰ）0c 或14c =；（Ⅱ）12. 【解析】 【分析】（I ）当1,0a b ==时，令()0f x =，转化为()1y x x =-与y c =-有两个交点，由此求得c 的取值范围. （II ）当0x =时，不等式()0f x ≤恒成立.当(]0,1x ∈时，将不等式()0f x ≤恒成立转化为max min c c x b x x x --⎧⎫⎧⎫-≤≤+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，根据函数的单调性求得max c x x -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，对c 进行分类讨论，求得b 与c 的不等关系式，由此求得2b c +的取值范围，进而求得2b c +的最大值.【详解】（Ⅰ）()()1f x x x c =-+有且仅有两个零点等价于函数()()()()21,01,01111,0,024x x x x x x y x x x x x x x ⎧--<⎧--<⎪⎪=-==⎨⎨⎛⎫-≥--≥⎪⎩⎪ ⎪⎝⎭⎩的图象与直线y c =-有两个点. 由图易知：0c 或14c =．（Ⅱ）当0a =，0c <时，()f x x x b c =-+.当0x =时，不等式()0f x ≤显然成立.当(]0,1x ∈时，0c c c c c x x b c x b x b x b x x x x x x----+≤⇔-≤⇔≤-≤⇔-≤-≤-，故c c x b x x x---≤≤+， 等价于max min c c x b x x x --⎧⎫⎧⎫-≤≤+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 对于函数c y x x -=-，在(]0,1x ∈上递增，故max1c x c x -⎧⎫-=+⎨⎬⎩⎭， 对于函数c y x x -=+，在(x c ∈-上递减，在),x c ⎡∈-+∞⎣上递增， ①当1c ≤-时，c y x x -=+在(]0,1x ∈上递减，故min 1c x c x -⎧⎫+=-⎨⎬⎩⎭， 即1b c ≤-，所以2121110b c c c c +≤-+=+≤-=．②当10c -<<时，c y x x -=+在(x c ∈-上递减，在),1x c ∈-上递增， 故min2c x c x -⎧⎫+=-⎨⎬⎩⎭， 此时，要使b 存在，则12c c +≤- 解得：1223c -<≤，则2b c ≤- 所以21112222222b c c c c ⎫+≤-=--+≤⎪⎭， 12c -=时取等号， 综上所述，2b c +最大值为12，当14c =-，1b =时满足要求． 【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.。
2019-2020学年浙江省杭州市七县市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年浙江省杭州市七县市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）设全集{1U =，2，3}，集合{1A =，2}，则(U A =ð ) A ．3B ．{3}C ．{0，3}D ．{0，1}2．（3分）sin 240︒的值为( ) A ．12B ．12-C ．3 D ．3-3．（3分）函数1()2(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象过定点( ) A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(0,2)4．（3分）已知1a >，函数x y a =与log ()a y x =-的图象只可能是( )A ．B ．C ．D ．5．（3分）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是( ) A ．2log ||y x =B ．3y x x =+C ．3x y =D ．1y x=-6．（3分）已知(0,)απ∈，tan 2α=-，则cos (α= ) A 5B 25C ．5D ．257．（3分）对于函数sin y x =，cos y x =-的图象1C ，2C 有如下结论：①1C ，2C 向右平移2π个单位后与重合；②1C ，2C 关于直线4x π=对称；③1C ，2C 关于直线4x π=-对称．则正确的结论是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③8．（3分）函数2cos 21y x =+( )A ．55|2266x k x k ππππ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭剟B ．55|1212x k x k ππππ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭剟C ．22|2233x k x k ππππ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭剟D ．|33x k x k ππππ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭剟9．（3分）三个数log 0.3π，3log π，0,3π-的大小关系是( ) A ．0.33log 0.3log πππ-<< B ．0.33log 0.3log πππ-<<C ．0.33log 0.3log πππ-<<D ．0.33log log 0.3πππ-<<10．（3分）函数2()2x f x x =-的零点的个数为( ) A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个11．（3分）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1B ．4C ．1或4D ．2或412．（3分）已知4log 3p =，3log 25q =，则5(lg = ) A ．Pqp q+ B ．p qpq+ C ．1pqp q++ D ．1pqpq+ 13．（3分）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()g x 的图象，对于满足12|()()|2f x g x -=的1x ，2x ，如果12||3min x x π-=，则ϕ的一个值是( )A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 14．（3分）已知25()(1)4f x x k x =+++，在函数sin y x =图象上存在一点0(x ，0)y ，使00(())f f y y =，则实数k 的取值范围是( )A ．3k -„，3k …B ．k k 剠C ．135,44k k-剠 D ．99,44k k -剠二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 15．（3分）135-︒= 弧度，它是第 象限角；16．（3分）方程3x x =的解集是 ；不等式3x x >的解集是 ；17．（3分）已知集合2{|430}M x x x =-+<，{||2|N y y x ==-，}x M ∈，则N = ；M N =I ．18．（3分）某棵果树前n 年的总产量()f n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的平均产量最高的m = ．19．（3分）已知函数2212()log (1)f x lnx x =-+，则满足不等式13(log )1f x >的x 范围是 ．20．（3分）已知正实数α，β满足3e e αα=，2(1)(ln e e ββ+=是自然对数的底数），则αβ= ． 三、解答题（共4小题，满分0分） 21．对于函数2()()21x f x a a R =-∈+． （1）证明：函数()f x 在区间(,)-∞+∞上是增函数； （2）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？22．一种电器设备的电网每接通1分钟后就断开1分钟，如此循环往复．当电闸接通时用1表示，断开时用0表示，于是电闸的状态是时间的函数，记为()y f x =．（1）设[0x ∈，1)时电闸接通，画出函数()y f x =在[0，6)上的图象，并写出它的解析式； （2）写一个与（1）形式不同的函数()y f x =的解析式．23．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示． （1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数2()log g x a x b =+，且{|()y y g x =，[2x ∈，4]}{|()y y f x ==，[0x ∈，]}2π，求实数a ，b 的值．24．设二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，f （1）0=，()f x 在区间[3，)+∞上是增函数，且在区间[1，5]上都有()0f x …． （1）求b ，c 的值；（2）若()|()|f m f n =，且m n <，求m n +的取值范围．2019-2020学年浙江省杭州市七县市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）设全集{1U =，2，3}，集合{1A =，2}，则(U A =ð ) A ．3B ．{3}C ．{0，3}D ．{0，1}【解答】解：{1U =Q ，2，3}，{1A =，2}， {3}U A ∴=ð．故选：B ．2．（3分）sin 240︒的值为( ) A ．12B ．12-C ．3 D ．3-【解答】解：3sin 240sin(18060)sin 60︒=︒+︒=-︒=-， 故选：D ．3．（3分）函数1()2(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象过定点( ) A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(0,2)【解答】解：令10x -=，即1x =时，023y a =+=∴函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图象必经过点(1,3)故选：A ．4．（3分）已知1a >，函数x y a =与log ()a y x =-的图象只可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：已知1a >，故函数x y a =是增函数．而函数log ()a y x =-的定义域为(,0)-∞，且在定义域内为减函数， 故选：B ．5．（3分）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是( ) A ．2log ||y x =B ．3y x x =+C ．3x y =D ．1y x=-【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，2log ||y x =，是偶函数，不符合题意；对于B ，函数3y x x =+为奇函数，定义域为R ，且在R 上单调递增，符合题意； 对于C ，3x y =，是指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D ，1y x=-，是反比例函数，是奇函数但在其定义域上不是增函数，不符合题意；故选：B ．6．（3分）已知(0,)απ∈，tan 2α=-，则cos (α= )A B C ． D ． 【解答】解：因为(0,)απ∈，sin tan 20(,)cos 2απααπα=-=<⇒∈，cos 0α<，又22sin cos 1cos ααα+=⇒=， 故选：C ．7．（3分）对于函数sin y x =，cos y x =-的图象1C ，2C 有如下结论：①1C ，2C 向右平移2π个单位后与重合；②1C ，2C 关于直线4x π=对称；③1C ，2C 关于直线4x π=-对称．则正确的结论是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【解答】解：因为sin()cos 2x x π-=-，①1C ，2C 向右平移2π个单位后与重合正确； 当4x π=-时，sin()cos()44ππ-=--，又sin y x =关于直线4x π=-对称后为sin()cos 2y x x π=-=-，故③成立，故选：B ．8．（3分）函数y =( ) A ．55|2266x k x k ππππ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭剟B ．55|1212x k x k ππππ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭剟C ．22|2233x k x k ππππ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭剟D ．|33x k x k ππππ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭剟【解答】解：由题意可得12cos210cos22x x +⇒-厖，得2222233k x k ππππ-+剟， 即33k x k ππππ-+剟，∴函数y =|33x k x k ππππ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭剟．故选：D ．9．（3分）三个数log 0.3π，3log π，0,3π-的大小关系是( ) A ．0.33log 0.3log πππ-<< B ．0.33log 0.3log πππ-<<C ．0.33log 0.3log πππ-<<D ．0.33log log 0.3πππ-<<【解答】解：0.303log 0.301log ππππ-<<<=<， 故选：A ．10．（3分）函数2()2x f x x =-的零点的个数为( ) A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【解答】解：2()2x f x x =-的零点，即为220x x -=的根，也就是函数2x y =与2y x =的图象交点的横坐标， 作出这两个函数的图象如下：由图可知，当0x <时，必有一个交点，当0x …时，结合图象，且2x =及4x =都是该方程的解，故原函数共有3个不同的零点． 故选：C ．11．（3分）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4【解答】解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则 212l r +=，182S lr ==，∴解得2r =，8l =或4r =，4l =4lrα==或1， 故选：C ．12．（3分）已知4log 3p =，3log 25q =，则5(lg = ) A ．Pqp q+ B ．p qpq+ C ．1pqp q++ D ．1pqpq+ 【解答】解：（换底公式）43325255log 3log 25432215lg lg lg lg pq lg lg lg lg ====-gg ， ∴51pqlg pq=+， 故选：D ．13．（3分）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()g x 的图象，对于满足12|()()|2f x g x -=的1x ，2x ，如果12||3min x x π-=，则ϕ的一个值是( )A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【解答】解：()sin 2f x x =，()sin 2()sin(22)g x x x ϕϕ=-=-， 满足12|()()|2f x g x -=，则两个函数的最大值与最小值的差为2， 又12||3min x x π-=，不妨令14x π=，则2712x π=，所以77()sin(22)112126g πππϕϕ=-=-⇒=-，不合题意，舍． 不妨令134x π=，则2512x π=，所以55()sin(22)112126g πππϕϕ=-=⇒=，满足． 故选：D ．14．（3分）已知25()(1)4f x x k x =+++，在函数sin y x =图象上存在一点0(x ，0)y ，使00(())f f y y =，则实数k 的取值范围是( )A ．3k -„，3k …B ．k k 剠C ．135,44k k-剠 D ．99,44k k -剠【解答】解：在函数sin y x =图象上存在一点0(x ，0)y ，使00(())f f y y =， 即函数25()(1)4f x x k x =+++存在不动点， 即25()(1)4f x x k x =+++图象存在与y x =的交点， 即2255()(1)044f x x k x x x kx =+++=⇒++=在[1x ∈-，1]上有解，显然0x ≠，即54k x x -=+，9(11)4x k -⇒-剟?，9944k k --⇒-剟，94k …，故选：D ．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 15．（3分）135-︒= 34π-弧度，它是第 象限角； 【解答】解：180π︒=Q ，1180π∴︒=，31351351804ππ∴-︒=-⨯=-，它是第三象限角． 故答案为：34π-；三． 16．（3分）方程3x x =的解集是 {1-，0，1} ；不等式3x x >的解集是 ； 【解答】解：33(1)(1)01x x x x x x x x =⇒-=+-=⇒=±，0，33(1)(1)0x x x x x x x >⇒-=+-< (x ⇒∈-∞，1)(0-⋃，1)，故答案为{1-，0，1}，(-∞，1)(0-⋃，1)．17．（3分）已知集合2{|430}M x x x =-+<，{||2|N y y x ==-，}x M ∈，则N = [0，1) ；M N =I ．【解答】解：2430x x -+<Q ，13x ∴<<， (1,3)M ∴=，13x <<Q ，|2|[0y x ∴=-∈，1)，[0N ∴=，1)，M N =∅I ．故答案为：[0，1)，∅．18．（3分）某棵果树前n 年的总产量()f n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的平均产量最高的m = 9 ．【解答】解析：前m 年的年平均产量为()f m m，它表示的是点(()M f m ，)m 与原点(0,0)组成的斜率，由图象可知，当9m =时，(9)9f 最大． 故答案为：9．19．（3分）已知函数2212()log (1)f x lnx x =-+，则满足不等式13(log )1f x >的x 范围是1(0,)(3,)3+∞U ． 【解答】解：Q 222()log (1)f x lnx x =++，∴函数的定义域为{|0}x x ≠，()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，且f （1）1=，若13(log )1f x >，只需要13|log |1x >解对数不等式可得13log 1x >，或者13log 1x <-， 解得103x <<，或者3x >． 故答案为：1(0,)(3,)3+∞U ． 20．（3分）已知正实数α，β满足3e e αα=，2(1)(ln e e ββ+=是自然对数的底数），则αβ= 2e ．【解答】解：由题可知3e e αα=，23(1)ln e e lne e ββββ+=⇒=，又()x f x xe =在(0,)+∞单增，则()()f f lne αβ=，则lne αβ=，故2lne e αβββ==．故答案为：2e ．三、解答题（共4小题，满分0分）21．对于函数2()()21x f x a a R =-∈+． （1）证明：函数()f x 在区间(,)-∞+∞上是增函数；（2）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？【解答】证明：任取1x ，2(,)x ∈-∞+∞，且12x x <，则1222x x <，12220x x -<，1210x +>，2210x +>121221*********(22)()()()()021212121(21)(21)x x x x x x x x f x f x a a -∴-=---=-=<++++++ 12()()f x f x ∴<()f x ∴在(,)-∞+∞上是增函数；（2）若函数2()21x f x a =-+为奇函数 则222222(21)()()22202121212121x x x x x x x f x f x a a a a a a -+-+=-+-=-+-=-=-=+++++g g 解得1a =故存在实数1a =使函数()f x 为奇函数22．一种电器设备的电网每接通1分钟后就断开1分钟，如此循环往复．当电闸接通时用1表示，断开时用0表示，于是电闸的状态是时间的函数，记为()y f x =．（1）设[0x ∈，1)时电闸接通，画出函数()y f x =在[0，6)上的图象，并写出它的解析式；（2）写一个与（1）形式不同的函数()y f x =的解析式．【解答】解析：（1）1,[2,21)()0,[21,22)x k k f x x k k ∈+⎧=⎨∈++⎩，0k =，1，2，⋯（2）1(1)()2kf x +-=，[x k ∈，1)k +，k N ∈， 或者1()1[sin ]2f x x π=+，0x >， 其中小表示不超过x 的最大整数．23．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式； （2）设函数2()log g x a x b =+，且{|()y y g x =，[2x ∈，4]}{|()y y f x ==，[0x ∈，]}2π，求实数a ，b 的值．【解答】解：（1）依题可知：244T A π==g ，∴2T ππω==，2ω∴=，()2cos(2)f x x ϕ∴=+，又(0)2cos 1f ϕ==-Q ，0ϕπ<<Q ， ∴23πϕ=， ∴2()2cos(2)3f x x π=+． （2）Q |(),[0,][2,1]2y y f x x π⎧⎫=∈=-⎨⎬⎩⎭， {|()y y g x =Q ，[2x ∈，0,()[,2]4]}0,()[2,]a g x a b a b a g x a b a b >∈++⎧=⎨<∈++⎩Q {|(),[2,4]}|(),[0,]2y y g x x y y f x x π⎧⎫=∈==∈⎨⎬⎩⎭， ∴212a b a b +=⎧⎨+=-⎩或122a b a b +=⎧⎨+=-⎩， ∴35a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩． 24．设二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，f （1）0=，()f x 在区间[3，)+∞上是增函数，且在区间[1，5]上都有()0f x „．（1）求b ，c 的值；（2）若()|()|f m f n =，且m n <，求m n +的取值范围．【解答】解：（1）由已知f （1）0=，可得01b c =++，()f x 在区间[3，)+∞上是增函数，得对称轴在3x =的左侧，即32b -„； 由于在区间[1，5]上都有()0f x „，则f （5）0„；2550bc ∴++„； 即10322550b c b b c ++=⎧⎪⎪-⎨⎪++⎪⎩„„，解得6b =-，5c =． （2）2()65(1)(5)f x x x x x =-+=--，2|()||(3)4|f n n =--． ①若()0f n …，则()()f m f n =，即22(3)(3)()(6)0m n m n m n ---=-+-=，解得6m n +=． ②若()0f n <，设()|()|f m f n t ==，则15m n <<<，且04t <„．由2()(3)4f m m t =--=，得3m =由2|()||(3)4|f n n t =--=，可得2(3)4n t -=-，所以3n =当3n =+时，6m n +=在区间(0，4]上是减函数，所以[6m n +∈-．当3n =6m n +=-，令s =则28[8,16)s =+，4s <，所以(2,6m n +∈-．综上，(2m n +∈，6]．。
2019-2020学年浙江省湖州市高二(上)期末数学试卷
2019-2020学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）下列四条直线中，倾斜角最大的是( ) A ．10x y --=B ．10x y +-=C ．310x y --=D ．310x y +-=2．（4分）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1P ，1，1)关于平面xOz 对称的点Q 的坐标是()A ．(1-，1，1)B ．(1，1-，1)-C ．(1，1，1)-D ．(1，1-，1)3．（4分）直线320x y --=截圆224x y +=所得弦长是( ) A ．23B ．2C ．3D ．14．（4分）椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离是( ) A ．3B ．5C ．8D ．105．（4分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积是( )A ．43B ．2C ．83D ．46．（4分）设x R ∈，则“05x <<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（4分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，//n β，则//a βC ．若a γ⊥，βγ⊥，则//a βD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n8．（4分）已知正方体1111ABCD A B C D -，Q 是平面ABCD 内一动点，若1D Q 与1D C 所成角为4π，则动点Q 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆9．（4分）已知P 为抛物线212x y =上一个动点，Q 为圆22(4)1x y -+=，则点P 到点Q 的距离与点P 到x 轴距离之和的最小值是( ) A ．4B ．3C ．2D ．110．（4分）已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段SA 上的点（不含端点），设直线BE 与CD 所成的角为1θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S BC D --的平面角为3θ，则( )A ．13θθ<，23θθ<B ．21θθ<，23θθ<C ．21θθ<，31θθ<D ．12θθ<，32θθ<二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（4分）双曲线221169x y -=的离心率为 ；渐近线方程为 ．12．（4分）棱长为1的正方体的内切球的半径是 ，该正方体的外接球的表面积是 ． 13．（4分）已知圆221:4O x y +=与圆222:(2)(1)1O x y -++=相交于A ，B 两点，则两圆的圆心1O ，2O 所在直线方程是 ，两圆公共弦AB 的长度是 ．14．（4分）已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，1160oA AB A AD ∠=∠=，则1AD AC =u u u u r u u u r g ，1||AC =u u u u r．15．（4分）过双曲线2222:1x y C a b-=的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ，若以C 的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点），则双曲线C 的标准方程是 ．16．（4分）在三棱锥P ABC -中，3AB BC CA AP ====，4PB =，5PC =，则三棱锥P ABC -的体积是 ．17．（4分）在ABC ∆中，(10,0)B ，直线BC 与圆22(5)25x y +-=相切，切点为线段BC 的中点．若ABC ∆的重心恰好为该圆圆心，则点A 的坐标是 ． 三、解答题：5小题，共74分18．已知直线:20l x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，圆22:(2)2C x y -+=． （1）已知平行于l 的直线1l 与圆C 相切，求直线1l 的方程； （2）已知动点P 在圆C 上，求ABP ∆的面积的取值范围．19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段AC 上的中点． （1）证明：1//A M 平面11CB D ；（2）求异面直线1A M 与1CD 的所成角的余弦值．20．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角为45︒的直线l 与C 交于A ，B 两点．（1）求||AB 的值；（2）求过点A ，B 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．21．如图，三棱台111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，ABC ∆和△111A B C 均为等边三角形，1111222AB AA CC A B ===，O 为AC 的中点． （1）证明：1OB AA ⊥；（2）求直线1OB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．22．如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)P ，且离心率2e =，圆2C 以椭圆1C 的短轴为直径．过点P 作互相垂直的直线1l ，2l ，且直线1l 交椭圆1C 于另一点D ，直线2l 交圆2C 于A ，B 两点（1）求椭圆1C 和圆2C 的标准方程； （2）求ABD ∆面积的最大值．2019-2020学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）下列四条直线中，倾斜角最大的是( )A ．10x y --=B ．10x y +-=C 10y --=D 10y +-=【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，10x y --=，其斜率1k =，倾斜角为45︒， 对于B ，10x y +-=，其斜率1k =-，倾斜角为135︒，对于C 10y --=，其斜率k =60︒，对于D 10y +-=，其斜率k =120︒， 则B 选项中直线的倾斜角最大； 故选：B ．2．（4分）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1P ，1，1)关于平面xOz 对称的点Q 的坐标是()A ．(1-，1，1)B ．(1，1-，1)-C ．(1，1，1)-D ．(1，1-，1)【解答】解：空间直角坐标系Oxyz 中，点(1P ，1，1)关于平面xOz 对称的点Q 的坐标是(1，1-，1)． 故选：D ．3．（4分）直线20x -=截圆224x y +=所得弦长是( )A ．B ．2C D ．1【解答】解：由圆224x y +=，得到圆心(0,0)，2r =，Q 圆心(0,0)到直线20x -+=的距离212d ==，∴直线被圆截得的弦长为=故选：A ．4．（4分）椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离是( )A．3B．5C．8D．10【解答】解：椭圆221259x y+=，可得210a=，椭圆221259x y+=上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离是：1028-=．故选：C．5．（4分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积是()A．43B．2C．83D．4【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为底面积为直角三角形，高为2的三棱锥体．请注意：看图时，变换一下角度：如图所示：所以114222323V=⨯⨯⨯⨯=．故选：A．6．（4分）设x R∈，则“05x<<”是“|1|1x-<”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：|1|1x-<Q，02x∴<<，05x<<Q推不出02x<<，0205x x <<⇒<<，05x ∴<<是02x <<的必要不充分条件，即05x <<是|1|1x -<的必要不充分条件 故选：B ．7．（4分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，//n β，则//a βC ．若a γ⊥，βγ⊥，则//a βD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n【解答】解：对于A ，若//m α，//n α，则//m n 或相交或为异面直线，因此不正确． 对于B ，若//m α，//n β，则//αβ或相交，因此不正确． 对于C ，若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ或相交，因此不正确；对于D ，若m α⊥，n α⊥，利用线面垂直的性质定理可知：//m n 正确． 故选：D ．8．（4分）已知正方体1111ABCD A B C D -，Q 是平面ABCD 内一动点，若1D Q 与1D C 所成角为4π，则动点Q 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【解答】解：以?D 为原点，11D A 为x 轴，11D C 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系， 设正方体的边长为1，(Q x ，y ，1)，则(0C ，1，1)，1(0,1,1)D C =u u u u r ，1(,,1)D Q x y =u u u u r，由112211cos 4||||221D C D Q D C D Q x y π===++u u u u r u u u u r g u u u u r u u u u r g ， 得22x y =， 故轨迹为抛物线，故选：C ．9．（4分）已知P 为抛物线212x y =上一个动点，Q 为圆22(4)1x y -+=，则点P 到点Q 的距离与点P 到x 轴距离之和的最小值是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：抛物线212x y =的焦点为(0,3)F ，22(4)1x y -+=的圆心为(4,0)Q ，半径为1，根据抛物线的定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，如图：故问题转化为求P ，Q ，F 三点共线时P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小值，22345+=，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值5311--= 故选：D ．10．（4分）已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段SA 上的点（不含端点），设直线BE 与CD 所成的角为1θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S BC D --的平面角为3θ，则( )A ．13θθ<，23θθ<B ．21θθ<，23θθ<C ．21θθ<，31θθ<D ．12θθ<，32θθ<【解答】解：过点E 作EM ⊥平面ABCD 于点M ，在平面ABCD 内过M 作MN AB ⊥于点N ，作MP BC ⊥于点P ，在平面SBC 内作PQ BC ⊥与点P ，交SB 于点Q ，连接BM ，EN ，则ABE ∠是异面直线BE 与CD 所成的角1θ，EBM ∠是直线BE 与平面ABCD 所成的角2θ， MPQ ∠是二面角S BC D --所成角的平面角3θ；如图所示，显然1θ，2θ，3θ均为锐角； 在Rt BEN ∆中，1sin ENEB θ=； 在Rt EBM ∆中，2sin EMEBθ=； 在Rt EMN ∆中，EM EN <，所以12sin sin θθ>，即12θθ>；又3sin EMPQθ=，且EB PQ >，所以23sin sin θθ<，即23θθ<． 故选：B ．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（4分）双曲线221169x y -=的离心率为54；渐近线方程为 ． 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为221169x y -=，其中164a ==，93b =， 则1695c +=， 其离心率54c e a ==，渐近线方程为：34y x =±； 故答案为：54，34y x =±． 12．（4分）棱长为1的正方体的内切球的半径是12，该正方体的外接球的表面积是 ． 【解答】解：正方体内切球与正方体各个面均相切，∴正方体的棱长即为内切球的直径，∴内切球半径为12， 设外接球半径为R ，根据长方体外接于直径公式，得2111R =++，∴3R =， ∴234434S R πππ===g ．故答案为：12；3π． 13．（4分）已知圆221:4O x y +=与圆222:(2)(1)1O x y -++=相交于A ，B 两点，则两圆的圆心1O ，2O 所在直线方程是 20x y += ，两圆公共弦AB 的长度是 ．【解答】解：根据题意，圆221:4O x y +=，其圆心为(0,0)，圆222:(2)(1)1O x y -++=，其圆心为(2,1)-；则12(1)01202O O k --==--，即直线12O O 的方程为12y x =-，即20x y +=； 则两圆的圆心1O ，2O 所在直线方程20x y +=；又由圆221:4O x y +=与圆222:(2)(1)1O x y -++=，则AB 所在直线的方程为240x y --=， 圆1O 的圆心为(0,0)，半径2r =，圆心1O 到直线AB 的距离d =则||2AB =，故答案为：20x y +=． 14．（4分）已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，1160oA AB A AD ∠=∠=，则1AD AC =u u u u r u u u r g 3 ，1||AC =u u u u r．【解答】解：如图，1AB AD ==Q ，12AA =，1160o A AB A AD ∠=∠=，90BAD ∠=︒，∴11()()AD AC AA AD AB AD =++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g211AA AB AA AD AD AB AD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g112121122=⨯⨯+⨯⨯+3=，2211()AC AA AD AB =++u u u u r u u u r u u u r u u u r222111222AA AD AB AA AD AA AB AD AB =+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g1141122122122=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯10=，∴1||AC =u u u u r故答案为：15．（4分）过双曲线2222:1x y C a b-=的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ，若以C 的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点），则双曲线C 的标准方程是 2213y x -= ．【解答】解：双曲线的右顶点为(,0)a ，右焦点F 为(,0)c ， 由x a =和一条渐近线by x a=，可得(,)A a b ， 以C 的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点）， 则||||2AF OF c ===， 22()2a c b -+=， 2224c a b =+=，解得1a =，3b =，即有双曲线的方程为2213y x -=，故答案为：2213y x -=．16．（4分）在三棱锥P ABC -中，3AB BC CA AP ====，4PB =，5PC =，则三棱锥P ABC -的体积是11 ．【解答】解：取PC 中点O ，连结AO ，CO ，Q 在三棱锥P ABC -中，3AB BC CA AP ====，4PB =，5PC =，PB BC ∴⊥，AO PC ⊥，52OC OP OC ===，AO OC ∴⊥， PC CO O =Q I ，AO ∴⊥平面PBC ，225113()2AO =-=， ∴三棱锥P ABC -的体积是：111114311332P ABC A PBC PBC V V AO S --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=．故答案为：11．17．（4分）在ABC ∆中，(10,0)B ，直线BC 与圆22(5)25x y +-=相切，切点为线段BC 的中点．若ABC ∆的重心恰好为该圆圆心，则点A 的坐标是 (0,15)或(8,1)-- ．【解答】解：设BC 的中点为D ，设点1(A x ，1y )、2(C x ，2)y ，则由题意可得D BC Γ⊥，且210(2x D +，2)2y． 故有圆心(0,5)Γ到直线AB 的距离5D r Γ==．设BC 的方程为0(10)y k x -=-，即100kx y k --=．则有251k =+，解得0k =或43k =-．当0k =时，有2222001052102Dy x y K x Γ-⎧=⎪-⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎪⎩不存在，当43k =-时，有2222041035321042D y x y K x Γ-⎧=-⎪-⎪⎪⎨-⎪==⎪+⎪⎩． 解得22100x y =-⎧⎨=⎩，或22216x y =-⎧⎨=⎩．再由三角形的重心公式可得12121003053x x y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，由此求得11015x y =⎧⎨=⎩ 或1181x y =-⎧⎨=-⎩，故点A 的坐标为(0,15)或(8,1)--，故答案为(0,15)或(8,1)--． 三、解答题：5小题，共74分18．已知直线:20l x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，圆22:(2)2C x y -+=． （1）已知平行于l 的直线1l 与圆C 相切，求直线1l 的方程； （2）已知动点P 在圆C 上，求ABP ∆的面积的取值范围．【解答】解：（1）设直线?l 的方程为0x y m ++=， 22=0m =，4m =-，所以直线?l 的方程为0x y +=或者40x y +-=； （2）由(2,0)A -，(0,2)B -，||22AB = 设点P 到直线l 的距离为h ，圆C 的半径为r ， 又圆心C 到直线l 的距离222d ==所以d r h d r -+剟232h 剟 则1||2[22ABP S AB h h ∆==∈，6]， 故ABP ∆的面积的取值范围为[2，6]．19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段AC 上的中点． （1）证明：1//A M 平面11CB D ；（2）求异面直线1A M 与1CD 的所成角的余弦值．【解答】解：（1）证明：连结11A C ，交11B D 于点N ，连结CN ， 在正方体1111ABCD A B C D -中，1A N CM =，且1//A N CM ，∴四边形1A MCN 是平行四边形，1//A M NC ∴，1A M ⊂/Q 平面11CB D ，CN ⊂平面11CB D ， 1//A M ∴平面11CB D ．（2）解：由（1）可知1//A M NC ，1NCD ∴∠是异面直线1A M 与1CD 的所成角（或所成角的补角）， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2， 则122CD =，6CN =，12D N =， 在1Rt CND ∆中，113cos CN NCD CD ∠==， ∴异面直线1A M 与1CD 的所成角的余弦值为3．20．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角为45︒的直线l 与C 交于A ，B 两点． （1）求||AB 的值；（2）求过点A ，B 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．【解答】解：（1）抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)F ，过F 且倾斜角为45︒的直线l 的方程为1y x =-，联立抛物线方程24y x =，可得2610x x -+=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得126x x +=，121x x =， 则21212||2()423648AB x x x x =+-=-=g g ； （或12||2628)AB x x =++=+=（2）由（1）可得AB 的中点坐标为(3,2)，AB 的垂直平分线为2(3)y x -=--，即5y x =-， 设所求圆的圆心为(,)a b ，半径为r ，则5a b +=，22(1)(1)162b a a -++=+，解得3a =，2b =，4r =，或11a =，6b =-．12r =，则所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．21．如图，三棱台111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，ABC ∆和△111A B C 均为等边三角形，1111222AB AA CC A B ===，O 为AC 的中点． （1）证明：1OB AA ⊥；（2）求直线1OB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：ABC ∆Q 为等边三角形，且O 为AC 的中点，OB AC ∴⊥， Q 平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，OB ∴⊥平面11A ACC ，1AA ⊂Q 平面11A ACC ，1OB AA ∴⊥．（2）解：把三棱台还原为锥，设顶点为P ，则PO ⊥平面ABC ，作OD BC ⊥于D ，由三垂线定理得PD BC ⊥，连结PD ，BC ⊥平面POD ，∴平面PBC ⊥平面POD ，作OH PD ⊥于H ，则OH ⊥平面POD ，连结1B H ，1OB H ∴∠是直线1OB 与平面11BCC B 所成角，设11112224AB AA CC A B ====， 在Rt POB ∆中，1162OB PB ==， 在Rt POD ∆中，215OP OD OH PD ⨯==， 在Rt POD ∆中，1110sin OH OB H OB ∠==． ∴直线1OB 与平面11BCC B 所成角的正弦值为10．22．如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)P ，且离心率22e =，圆2C 以椭圆1C 的短轴为直径．过点P 作互相垂直的直线1l ，2l ，且直线1l 交椭圆1C 于另一点D ，直线2l 交圆2C 于A ，B 两点（1）求椭圆1C 和圆2C 的标准方程； （2）求ABD ∆面积的最大值．【解答】解：（1）由题意知2a =，2c a =222b a c =-，解得24a =，22b =， 所以椭圆1C 的标准方程：22142x y +=，圆2C 的方程为：222x y +=；（2）因为过点P 作互相垂直的直线1l ，2l ，设1l 的直线方程：2x my =+，2l 的方程为：(2)y m x =--，所以圆心O 到直线的距离21d m=+，222222||2(1)||2222()211m m AB d m m-∴=-=-=++， Q 直线2l 与圆有两个交点，221d m∴=+所以201m <<，由于222142x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得：22(2)40m y my ++=，可得242D m y m =-+， 2224(1)||1|D m m PD m y +∴=+=所以2222224(1)(1)112(1)||||22221ABDm m m m m S AB PD m ∆+--===+g g g g ， 令22t m =+，21m <Q ，则(2,3)t ∈， 22(2)(3)6542421ABD t t S t t t∆--=-+-g当125t =，即25m =ABD S ∆23．。