直线参数方程t的几何意义44095

引领学生解读直线参数方程中t的几何意义

引领学生解读直线参数方程中t的几何意义作者：张丽娜来源：《中学生理科应试》2021年第11期教师在教学过程中不仅要给予学生知识点的灌输，还要及时了解学情，分析学生易错点，引导学生学会分析失误点，明确是知识点掌握的不清楚还是运算上的失误.直线的参数方程是高考选修题常考的知识点，利用直线参数方程中参数的几何意义求有关的弦长、面积、最值等问题是考查的重点.而学生在用直线参数方程中参数的几何意义解决有关问题时，由于对参数方程中参数的几何意义理解不透彻，出现一些常见错误.本文以直线的参数方程知识点为例，归纳学生常出错的题目，进而明确问题考查的本质.知识点重现经过点P（x0，y0）、倾斜角是α的直线的参数方程为x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t为参数）其中点M（x，y）为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到点M的位移，可以用有向线段PM的数量来表示.一、理解参数t的几何意义教师引导学生回顾知识点的同时，要告诉学生这个知识点是怎么推导出来的，帮助学生理解与记忆知识点，让学生知其一更要知其二.对知识点的复习不能仅仅停留在知识点的本身，更要通过例题习题的练习进行巩固与思考.例1 已知直线l过点P（1，2），且它的倾斜角θ=135°.（1）写出直线l的参数方程;（2）求直线l与直线y=x的交点坐标.解（1）由直线l过点P（1，2），且它的倾斜角θ=135°，所以它的参数方程可以写成x=1+tcos135°y=2+tsin135°（t为参数），即x=1-22ty=2+22t（t为参数）;（2）把x=1-22ty=2+22t代入y=x，得1-22t=2+22t，即t=-22，把t=-22代入x=1-22ty=2+22t得到两条直线的交点为（32，32）（如图1所示）.图1学生反思第（2）问中由直线的参数方程求两条直线的交点坐标，t=-22表明P到M的位移是-22，P到M的距离为PM=22.变式如果将本题过点P（1，2）的直线l的参数方程写成如下形式x=1-ty=2+t（t为参数），直线l与直线y=x交点为M，求PM.错解把x=1-ty=2+t代入y=x，得1-t=2+t，即t=-12，所以t=PM=12.错因对于直线参数方程中t的几何意义理解不透彻，仔细观察直线l的参数方程x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t为参数），关于x的式子中t的系数为直线倾斜角的余弦值，关于y 的式子中t的系数为直线倾斜角的正弦值（由直线倾斜角的范围可知，sinα≥0），也就是说，当直线的参数方程表示成满足此种形式的式子时，参数t表示从P（x0，y0）到直线上任一点M（x，y）的位移，也即是有向线段PM的数量，此时t=PM.即若直线l的参数方程为如下形式：x=x0+nty=y0+mt（t为参数;n，m为常数）当n，m满足n2+m2=1且m≥0时，该参数方程中的t才具备上述几何意义.正解将直线l的参数方程x=1-ty=2+t变换为x=1-22ty=2+22t，代入y=x，得1-22t=2+22t，即t=-22，t=PM=22.二、有关知识点教师应引领学生对所学的知识点做进一步力所能及的推广，培养学生应用知识分析问题的能力.解题后，教师应引导学生从题目中总结出来新的方法、技巧和结论性的东西.例2 设直线x=2+ty=4-t，与抛物线y2=4x交于相异两点M，N，A（2，4）.（1）求M，N到点A的距离之和;（2）求MN;（3）求M，N的中点K，KA.解首先将直线参数方程x=2+ty=4-t变换为x=2-22ty=4+22t，代入y2=4x得t2+122t+16=0，设M，N对应的参数为t1，t2，则有t1+t2=-122t1·t2=16，可知t1<0，t2<0.MA+NA=t1+t2=t1+t2=122MN=t1-t2=（t1-t2）2=（t1+t2）2-4t1t2=414（3）設K对应的参数为t0，则t0=t1+t22=-62，x=2-22·（-62）=8，y=4+22·（-62）=-2，所以K（8，-2），KA=t0=62.学生反思已知条件中直线的参数方程t与标准形式下的直线的参数t的含义是不一样的，需要进行转化标准形式下的直线的参数方程，注意直线的两个参数方程中参数的不同.提升经过点P（x0，y0）、倾斜角是α的直线的参数方程为x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t为参数），若点M，N在直线上，对应的参数为t1，t2，则（1）线段MN长度MN=t1-t2.设M，N的中点为K，则K对应的参数t0=t1+t22，KP=t0.（3）若定点P（x0，y0）恰是弦MN的中点，则有t1+t2=0.三、变式巩固课堂上获得的知识是有限的，需要在多次做题中进行自我“揭短”，从新的层次、新的角度看到自己的不足，这体现了学生进行自我剖析、自我批判的勇气.我国著名心理学家林崇德教授认为，一个学习好的学生，应该是善于反思的学生.例3 （2021全国高考仿真模拟卷）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：x24+y2=1，直线l的参数方程为x=2+ty=2-t，（t为参数），以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.（1）写出曲线C的参数方程及直线l的极坐标方程;（2）若直线l上的点A、B对应的参数分别为t，t+22，点Q在曲线C上，求△QAB面积的取值范围.解（1）略.（2）法一直线l的参数方程变形为x=2-22（-2t）y=2+22（-2t）（t为参数），令t′=-2t，直线l的参数方程为x=2-22t′y=2+22t′（t′为参数），A、B对应的参数分别为t′A=-2t，t′B=-2（t+22），AB=t′A-t′B=（-2t）-（-2（t+22））=4.法二 A（2+t，2-t），B（2+t+22，2-t-22），AB=（22）2+（-22）2=4.设Q（2cosθ，sinθ），直线l的直角坐标方程为x+y-4=0，点Q到直线l的距离d=2cosθ+sinθ-42=|4-5sin（θ+）|2，4-52≤d≤4+52，故△QAB面积的取值范围是42-10，42+10.学生反思第一问容易解决，第二问的求解中要先计算AB的长度，大部分学生是这样计算的AB=t-（t+22）=22，这是没有彻底理解t的几何意义，此时需要对参数方程进行转化.求曲线上的点到直线的距离，可将曲线方程转化为参数方程，借助三角函数求距离的最值问题.本文主要讲述直线参数方程中参数t的几何意义，通过对知识点的再现及常见误区的展示，让学生深刻理解直线参数方程中参数的几何意义.本文中的题后反思不仅是教师教学过程中对学生学习行为的反思，更要体现到学生解题后的反思，找到错误的根源，从根源上解决问题，不断对知识点本身或从数学思想方法的角度进行提升，是十分有利于学生核心素养的发展的.基金项目：本文系阜阳市教育科学规划课题“核心素养下高中数学教学中学生反思能力有效性实践的研究”（编号：FJK043的阶段性研究成果.（收稿日期：2021-09-14）。

2023届高考数学二轮复习大题专讲专练：直线参数t的几何意义

第14讲直线参数t 的几何意义对于直线的标准参数方程,核心在于理解参数t 的几何意义.我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积、商等问题,通常通过方程联立,凑出韦达定理来求解.过定点()00,P x y ,倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(其中t 为参数),其中t 的几何意义为:t 是直:线上任一点(),A x y 到()00,P x y 的距离,设,A B 是直线l 上任意两点,对应的参数分别为12,t t ,则有以下结论. (1)线段相关问题线段积:12PA PB t t ⋅=⋅ 线段商:12PA t PBt =线段差:12PA PB t t -=±-线段和:12PA PB t t +=+=12121212,0,0t t t t t t t t ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩(2)线段AB 的中点M 对应的参数122t t t +=. (3)若线段AB 的中点为P ,则120t t +=且120t t <.注意:求解时需先判断12t t 的正负,再求值,如果点A 相对于点P 在直线向上的方向,则1t 为正,否则为负.线段和【例1】在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(其中t 为参数),在以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=-2cos θ.(1)求直线l 与曲线C 的直角坐标方程.(2)若直线l 与y 轴的交点为点P ,直线l 与曲线C 的交点为点,A B ,求PA PB +的值.【解析】((1)由直线l的参数方程232x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(其中t 为参数),得直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=-2cos θ,整理得24sin 2cos ρρθρθ=-, 将222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=代入上式得22(1)(2)5x y ++-=.∴曲线C 的直角坐标方程为22(1)(2)5x y ++-=. (2)将32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2(1)(x y ++-22)5=得221325,22t ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即230t +-=.设,A B 对应的参数分别为12,t t ,则1t+21230t t t =-=-<.1212PA PB t t t t ∴+=+=-==【例2】在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(其中α为参数),在以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-⎪⎝⎭=（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的倾斜角.(2)设点()0,2P ,直线l 和曲线C 交于,A B 两点,求PA PB +.【解析】(1)根据已知3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩,消去参数α,整理得2219x y +=,即曲线C 的直角坐标方程为2219x y +=.根据sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得sin cos 2ρθρθ-=.将cos x ρθ=sin y ρθ=代入上式并化简得2y x =+.∴直线l 的倾斜角为4π. (2)由(1)题知,点()0,2P 在直线l 上,设直线l 的参数方程为cos 42sin4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(其中t为参数)，().22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩整理得其中为参数将上述参数方程代入2219x y +=,化简得25270t ++=2Δ45271080∴=-⨯⨯=>12,,A B t t 设两点对应的参数分别为1212270,55t t t t =>+=- 1212PA PB t t t t ∴+=+=+=线段差【例1】在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为2x ty =⎧⎪⎨=-+⎪⎩(其中t 为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为283cos2p θ=-.(1)求直线l 和曲线C 的直角坐标方程. (2)设点)P,直线l 与曲线C 的交点为点A 和点B ,求PA PB -.【解析】 (1)由2x ty =⎧⎪⎨=-+⎪⎩得直线l20y --=.由222883cos23cos sin ρθθθ==--+,整理得222223cos sin 8ρρθρθ-+=. 222,cos ,sin ,x y x y ρρθρθ=+==又化简上式得22142x y +=, ∴由线C 的直角坐标方程为22142x y +=. (2)由(1)题知直线l过点)P,倾斜角60α=.121x t l y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩直线的参数方程为中t 为参数),将121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22142x y +=,化简得2740t ++=.设,A B 两点的参数分别为12,t t ,则1212124,0,0,7t t t t t t +==∴<<12PA PB t t -=-==12t t =±-=【例2】在平面直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为12112x m m y m m ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩(其中m 为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程.(2)已知点()2,0P ,若直线l 与曲线C 交于,A B 两点,求||PA PB -的值. 【解析】曲线 C 的参数方程为12()112x m m m y m m ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩其中为参数， 2222224112,42.3x m y m m m∴=++=-+两式相减得2213x y -=,即曲线C 的直角坐标方程为2213x y -=.直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,整理得cos cos sin sin 44ππρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭转换为直角坐标方程为20x y --=.(2)直线l 过点()2,0P ,直线l的参数方程为222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(其中t 为参数),根据直线l 的参数方程,令点,A B 对应的参数分别为12,t t,222132x x y y ⎧=⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩将代入得210,t --=则12121t t t t +==-,12PA PB t t -=-=故线段积【例1】在直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程是)2224111k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩(其中k 为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程.(2)已知点()1,0A ,若l 和C 的交点为,M N ,求AM 。

第04讲-直线参数t的几何意义-2020届一轮复习数学套路之极坐标与参数方程(解析版)

第四讲直线参数t 的几何意义1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为00cos (sin x x t t y y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数）(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(1)当0M M u u u u u r与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．(2)当0M M u u u u u r与e 反向时，t 取负数，(3)当M 与M 0重合时，t ＝0.3.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22； (2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22； (3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|（5）212121212121212()4,0,0t t t t t t t t PA PB t t t t t t ⎧-=+-<⎪+=+=⎨+>⎪⎩当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上）【特别提醒】(1)直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.(2)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-；知识解读考向一参数t 的系数的平方和为1【例1】已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．【答案】（1）见解析（2）3【解析】(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3. 学科&网【举一反三】1.已知曲线C 1的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=， C 2的参数方程为32(32x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）（1）将曲线C 1与C 2的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）若C 1与C 2相交于A 、B 两点，求AB .【答案】(1)曲线C 1的普通方程y 2=4x ,C 2的普通方程x+y-6=0 ；（2）AB 【解析】（1）曲线C 1的普通方程为y 2=4x ，曲线C 2的普通方程为x+y-6=0（2）将C 2的参数方程代入C 1的方程y 2=4x，得23=43-+（）（）整理可得260t +-=，由韦达定理可得12126t t t t +=-=-12AB t t =-==2.已知曲线C 的极坐标方程是4sin 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点M （1，0），倾斜角为34π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求MA MB +的值. 【答案】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为：x 2+(y-2)2=4，直线l的参数方程为1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程是4sin 0ρθ-=即曲线C 的直角坐标方程为：x 2+(y-2)2=4直线l 的参数方程31+t cos 4(3sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）即1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）（Ⅱ）设点A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22(1)2)4-+-=整理，得210t -+=，由韦达定理得12121t t t t +== 因为t 1t 2>0，所以1212MA MB t t t t +=+=+=考向二 t 系数平方和不等于1【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为12{22x t y t=+=-（t 为参数），以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，曲线2C 的极坐标方程为： 22cos sin θρθ=. （Ⅰ）将曲线1C 的方程化为普通方程；将曲线2C 的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点()1,2P ，曲线1C 与曲线2C 的交点为A B 、，求PA PB +的值.【答案】(Ⅰ) 12:30,:C x y C +-= 22y x =；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ） 1:3C x y +=，即： 30x y +-=；222:sin 2cos C ρθρθ=，即： 22y x =（Ⅱ）方法一：由t 的几何意义可得C 1的参数方程为12(t 22x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）代入22:2C y x =得26240t t ++=∴1262t t +=-，∴1262PA PB t t +=+=. 方法二：把1:3C x y +=代入22:2C y x =得2890x x -+=所以128x x +=， 129x x = 所以()221212*********PA PB x x x x +=+-++-=⨯-+-()()1221128262x x =⨯-+-=⨯-=【举一反三】1.在平面直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为3(3x tt y t⎧=⎪⎨⎪=-⎩为参数）数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点3,0)，直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求MA MB ⋅的值. 【答案】（1）直线l 330x y +-=，【总结套路】直线参数t 几何意义运用最终版套路第一步--化：曲线化成普通方程，直线化成参数方程；第二步--查：检查直线参数t 的系数平方和是否为1，如果是，进行第三步；如果否，则先化1.2202200022(t a b y t a x x t x x at a b t y y bt b y y t a b ±+⎧=+⎪=+⎧+⎪⎪−−−−−→⎨⎨=+⎪⎪⎩=+⎪+⎩前的系数同时除以保证中的的系数为正数为参数）第三步--代：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第四步--写：写出韦达定理：a c t t a b t t =-=+2121,曲线C 的直角坐标方程(x-2)2+y 2=4；（2）3MA MB ⋅=-【解析】（1）直线l30y +-= 因为曲线C 的极坐标方程为cos ρθ=. 所以曲线C 的直角坐标方程(x-2)2+y 2=4；(2)点在直线l 上，且直线l 的倾斜角为120°，可设直线的参数方程为：12(x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入到曲线C 的方程得：30t +-=，由韦达定理得12122,t t t t +==-由参数的几何意义知123MA MB t t ⋅==。

直线的参数方程的几何意义

知识要点概述过定点),(000y x M 、倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数），其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量，的几何意义是直线上点到M 的距离.此时,若t>0,则的方向向上;若t<0,则的方向向下;若t=0,则点与点M 重合.由此，易得参数t 具有如下的性质：若直线l 上两点A 、B 所对应的参数分别为B A t t ,，则性质一：A 、B 两点之间的距离为||||B A t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|B A t t性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为2BA t t +，若0M 是线段AB 的中点，则 0=+B A t t ，反之亦然。

一、求直线上点的坐标例1．一个小虫从P （1，2）出发，已知它在 x 轴方向的分速度是−3，在y 轴方向的分速度是4，问小虫3s 后的位置Q 。

分析：考虑t 的实际意义，可用直线的参数方程⎩⎨⎧x = x 0 +at ，y = y 0 +bt(t 是参数)。

解：由题意知则直线PQ 的方程是⎩⎨⎧x = 1 − 3 t ，y = 2 + 4 t，其中时间t 是参数，将t =3s 代入得Q（−8，12）。

例2．求点A （−1，−2）关于直线l ：2x −3y +1 =0的对称点A ' 的坐标。

解：由条件，设直线AA ' 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x = −1 −213t ，y = −2+ 313t (t 是参数)，∵A 到直线l 的距离d =513， ∴ t = AA ' = 1013，代入直线的参数方程得A' (−3313，413)。

点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数t 的几何意义。

坐标系与参数方程题型总结

坐标系与参数方程题型总结注意1：直线参数方程中参数t 的几何意义①注意方程中参数t 的几何意义，直线参数方程的一般型与标准型的转化；直线的参数方程：经过点),(000y x M ，倾斜角为α的直线L 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x ，其中t 为参数；通常称上式为直线L 的参数方程的“标准型”。

对于参数t 而言，若0M M 方向与直线的正方向一致，则t>0，否则取负值。

其中参数t 的几何意义是：│t │是直线上定点M 0（x 0,y 0）到任一动点M （x,y ）的距离，即│M 0M │=│t │。

若直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1,t 2，则│P 1P 2│=│t 1－t 2│，P 1P 2的中点对应的参数12（t 1＋t 2）。

直直线参数方程的标准化例题1. 已知直线方程)为参数(3221t t y tx ⎩⎨⎧-=+=，请写出该直线参数方程的标准型。

解：直线参数方程标准型⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （t 为参数），tan θ=-23，考虑到θ∈[0，π）所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=13132sin 13133cos θθ，故)为参数(131322131331t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-= 总结：直线过定点的参数方程标准型的步骤：首先求tan θ，然后求出相应的cos θ与sin θ，在这里sin θ≥0，进而按照⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （t 为参数）得出直线参数方程的标准型。

②利用直线参数方程求解平面几何图形中的弦长计算等问题；直线参数方程参数t 的几何性质应用例题2. 已知曲线C ：（x+2）2 +(y-1)2= 1,过P （-4，0）且倾斜角为π4的直线L 交曲线C 于A ，B 两点，求│AB │.解：直线L 的参数方程为)为参数t (22224⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x ，将其代入曲线C ，整理得t 2 - 32t + 4 = 0 ,则12124t t tt ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 由参数t 的几何意义可知，|PA|=t 1, |PB|=t 2，所以|AB|=│t 1- t 2│=212214)(t t t t -+=2.例题 3. 在极坐标系中，曲线C 的方程为2cos29ρθ=，点6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求直线OP 的参数方程的标准式和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线OP 与曲线C 交于A 、B 两点，求11+PA PB的值．解：（1）∵2cos29ρθ=，∴ρ2（cos 2θ - sin 2θ）= 9，∵⎩⎨⎧==αραρsin cos y x ，∴曲线C 的直角坐标方程为229x y -=,而由23,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，易知在直角坐标系中23cos ,23sin (3,3)66ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭P P ，所以直线OP 的普通方程为33y x =，故直线OP 的参数方程为332132x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）。

直线的参数方程中t的几何意义总结

直线的参数方程中t的几何意义总结直线的参数方程中t的几何意义总结直线是平面几何中的基本图形之一，其参数方程是直线研究中常用的一种表达方式。

在直线的参数方程中，t代表着自变量，其具有较为重要的几何意义。

下面将从不同角度出发，对直线参数方程中t的几何意义进行总结。

一、t表示直线上某一点到起点距离所占总距离的比例在平面直角坐标系中，设直线L过点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则L的参数方程为：x = x1 + t(x2 - x1)y = y1 + t(y2 - y1)其中0≤t≤1。

这时，我们可以将t理解为从A到B这条线段上任意一点P到A点距离与AB长度之比。

例如当t=0.5时，P点距离A点和B点的长度相等，即P点处于AB 中点M处；当t=0时，P点位于A点处；当t=1时，P点位于B点处。

因此，在L的参数方程中，t表示了从起始端点到任意一点所需走过路程与整条直线长度之比。

二、t表示向量AB与向量AP夹角余弦值在向量学中，向量的夹角是指两个向量之间的夹角，其余弦值可以用点积公式来表示。

在直线参数方程中，我们可以将t理解为从起点A到任意一点P所对应的向量AP与直线L上已知向量AB之间的夹角余弦值。

设向量AB=(x2-x1,y2-y1)，向量AP=(x-x1,y-y1)，则有：cosθ = (AB·AP) / (|AB|×|AP|)= [(x2-x1)(x-x1)+(y2-y1)(y-y1)] / [(x2-x1)²+(y2-y1)²]^(1/2) × [(x-x1)²+(y-y1)²]^(1/2)其中θ为向量AB与向量AP之间的夹角。

因此，在直线参数方程中，t也可以表示从起始点A出发到任意一点P所对应的向量与已知向量之间的夹角余弦值。

三、t表示平面上一条射线上某个点到起点距离在平面几何中，射线是由一个端点和以该端点为原点的半直线组成的。

直线参数方程t的几何意义

直线参数方程t的几何意义
1 几何意义
直线参数方程t是一种数学表达式，描述的是一条直线上所有点的位置。

它很好地表现出空间中的直线，是一种非常实用的空间表达方式。

直线参数方程t的广义形式如下：
t（X,Y）= X * Cosα + Y * Sinα – a
其中X,Y是一个直线上的点的极坐标，a是表达直线的参数，α是一个系数。

该系数α描述的是以原点为基准，水平方向为0°时，直线与水平方向的偏角，也叫斜率角或偏角。

但凡参数t的系数a和α都一定，则t可以表达出特定一条直线，从中可以看出t“=0”这条直线本身。

当
t“>0”或者“<0”时，表示一个空间中到该直线上某一点的距离，当t“=0”时，表示在直线上某一点的位置。

因此，直线参数方程t的几何意义就是用它来描述一条直线以及距离该直线距离的具体数值。

空间中任意一点到该直线距离可由t值来确定，如果t值等于0，就表示该点在该直线上。

这样就可以将直线参数方程t用来描述空间中任意一条直线，该方法非常方便、实用。

第04讲-直线参数t的几何意义-2020届一轮复习数学套路之极坐标与参数方程(解析版)

第四讲直线参数t 的几何意义1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为00cos (sin x x t t y y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数）(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(1)当0M M u u u u u r与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．(2)当0M M u u u u u r与e 反向时，t 取负数，(3)当M 与M 0重合时，t ＝0.3.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22； (2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22； (3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|（5）212121212121212()4,0,0t t t t t t t t PA PB t t t t t t ⎧-=+-<⎪+=+=⎨+>⎪⎩当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上）【特别提醒】(1)直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.(2)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-；知识解读考向一参数t 的系数的平方和为1【例1】已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．【答案】（1）见解析（2）3【解析】(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3. 学科&网【举一反三】1.已知曲线C 1的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=， C 2的参数方程为32(32x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）（1）将曲线C 1与C 2的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）若C 1与C 2相交于A 、B 两点，求AB .【答案】(1)曲线C 1的普通方程y 2=4x ,C 2的普通方程x+y-6=0 ；（2）AB 【解析】（1）曲线C 1的普通方程为y 2=4x ，曲线C 2的普通方程为x+y-6=0（2）将C 2的参数方程代入C 1的方程y 2=4x，得23=43-+（）（）整理可得260t +-=，由韦达定理可得12126t t t t +=-=-12AB t t =-==2.已知曲线C 的极坐标方程是4sin 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点M （1，0），倾斜角为34π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求MA MB +的值. 【答案】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为：x 2+(y-2)2=4，直线l的参数方程为1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程是4sin 0ρθ-=即曲线C 的直角坐标方程为：x 2+(y-2)2=4直线l 的参数方程31+t cos 4(3sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）即1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）（Ⅱ）设点A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22(1)2)4-+-=整理，得210t -+=，由韦达定理得12121t t t t +== 因为t 1t 2>0，所以1212MA MB t t t t +=+=+=考向二 t 系数平方和不等于1【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为12{22x t y t=+=-（t 为参数），以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，曲线2C 的极坐标方程为： 22cos sin θρθ=. （Ⅰ）将曲线1C 的方程化为普通方程；将曲线2C 的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点()1,2P ，曲线1C 与曲线2C 的交点为A B 、，求PA PB +的值.【答案】(Ⅰ) 12:30,:C x y C +-= 22y x =；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ） 1:3C x y +=，即： 30x y +-=；222:sin 2cos C ρθρθ=，即： 22y x =（Ⅱ）方法一：由t 的几何意义可得C 1的参数方程为12(t 22x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）代入22:2C y x =得26240t t ++=∴1262t t +=-，∴1262PA PB t t +=+=. 方法二：把1:3C x y +=代入22:2C y x =得2890x x -+=所以128x x +=， 129x x = 所以()221212*********PA PB x x x x +=+-++-=⨯-+-()()1221128262x x =⨯-+-=⨯-=【举一反三】1.在平面直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为3(3x tt y t⎧=⎪⎨⎪=-⎩为参数）数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点3,0)，直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求MA MB ⋅的值. 【答案】（1）直线l 330x y +-=，【总结套路】直线参数t 几何意义运用最终版套路第一步--化：曲线化成普通方程，直线化成参数方程；第二步--查：检查直线参数t 的系数平方和是否为1，如果是，进行第三步；如果否，则先化1.2202200022(t a b y t a x x t x x at a b t y y bt b y y t a b ±+⎧=+⎪=+⎧+⎪⎪−−−−−→⎨⎨=+⎪⎪⎩=+⎪+⎩前的系数同时除以保证中的的系数为正数为参数）第三步--代：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第四步--写：写出韦达定理：a c t t a b t t =-=+2121,曲线C 的直角坐标方程(x-2)2+y 2=4；（2）3MA MB ⋅=-【解析】（1）直线l30y +-= 因为曲线C 的极坐标方程为cos ρθ=. 所以曲线C 的直角坐标方程(x-2)2+y 2=4；(2)点在直线l 上，且直线l 的倾斜角为120°，可设直线的参数方程为：12(x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入到曲线C 的方程得：30t +-=，由韦达定理得12122,t t t t +==-由参数的几何意义知123MA MB t t ⋅==。