题型 参数方程求解曲线弦长
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)本文介绍了高考极坐标与参数方程大题题型，并给出了三个例子进行解答。
例1：在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为(x-1)^2+y^2=1，求圆C的极坐标方程。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=2cosθ。
例2：已知直线l的参数方程为x=-4t+a，y=3t-1，在直角坐标系xoy中，以O点为极轴建立极坐标系，设圆M的方程为ρ^2-6ρsinθ=-8.求圆M的直角坐标方程和实数a的值。
解析：将ρ和θ用x和y表示，得到x+(y-3)=1，然后将直线l的参数方程化为普通方程，得到3x+4y-3a+4=0.根据圆心到直线的距离和直线截圆所得弦长的关系，解得a=12或a=22/3.例3：已知曲线C的参数方程为x=2+5cosα，y=1+5sinα，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。
求曲线C的极坐标方程和直线l被曲线C截得的弦长。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=5.将直线l的极坐标方程化为普通方程，得到ρ(sinθ+cosθ)=1.由于曲线C是一个圆，因此直线l与曲线C的交点分别为A(7π/4.3+2√2)和B(3π/4.3-2√2)，弦AB的长度为4√2.1) 曲线C的参数方程为：x=9\cos^3\theta,\ y=3\sin^3\theta$，直线$l$的直角坐标方程为$x+y-1=0$。
2) 设$P(9\cos^3\alpha,3\sin^3\alpha)$，则$P$到直线$l$的距离为$d=\frac{|9\cos^3\alpha+3\sin^3\alpha-1|}{\sqrt{2}}$。
为求$d$的最大值，我们可以将$d$表示为$10\cos(\alpha+\theta)+\frac{1}{\sqrt{2}}$的形式，其中$\theta$为一个与$\alpha$无关的常数，且$\tan\theta=\frac{1}{3}$。
极坐标,参数方程题型全套整合
参 数 方 程 集 中 训 练 题 型 大 全 答题时间：300分钟 满分:300分 命题人：杨晓帆参２７．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ, π-θ)的位置关系为( )。
A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．关于直线θ=2π(ρ∈R) 对称 D ．重合２８．极坐标方程 4ρsin 22θ=5 表示的曲线是( )。
A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线２９．点 P 1(ρ1,θ1) 与 P 2(ρ2,θ2) 满足ρ1 +ρ2=0，θ1 +θ2 = 2π，则 P 1、P 2 两点 的位置关系是( )。
A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于θ=2π所在直线对称 D ．重合３０．椭圆⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=sin 51cos 33y x 的两个焦点坐标是( )。
A ．(-3, 5)，(-3, -3)B ．(3, 3)，(3, -5)C ．(1, 1)，(-7, 1)D ．(7, -1)，(-1, -1) 六、1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2 B ．31(,)42- C ． D ． 3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ）A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =5．点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 七、1．直线l 的参数方程为()x a tt y b t=+⎧⎨=+⎩为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（ ）A ．1t B ．12t C1D12．参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线3．直线112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ）A ．(3,3)- B．( C．3)- D．(3,4．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ ）A ．4(5,)3π--B ．(5,)3π-C ．(5,)3πD ．5(5,)3π- 5．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2xC ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x 6．直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）AB ．1404CD八、1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A ．21(0,)(,0)52、B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9、3．直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）A ．125 B． CD4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上， 则PF等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 5．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线 6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ=C ．4sin()3πρθ=+ D ．4sin()3πρθ=-填空题(满分70分,每题4分,记68分,错5道以内的奖励2分)参、５．把参数方程⎩⎨⎧+==1cos sin ααy x (α为参数)化为普通方程，结果是。
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标全参数方程)
圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程）圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。
由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。
本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则（1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长|cos 1|||22αe HAB -=； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长|sin 1|||22αe HAB -=.推论：（1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22cos 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1cos ||22-=αe HAB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2sin ||HAB =. （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22sin 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1sin ||22-=αe HAB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2cos ||HAB =.典题妙解下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1（06湖南文第21题）已知椭圆134221=+y x C ：，抛物线px m y 22=-）（（p ＞0），且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点.（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若34=p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.2FOABxy例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且BD AC ⊥，垂足为P.（1）设P 点的坐标为），（00y x ，证明：232020yx +＜1. （2）求四边形ABCD 的面积的最小值.2FABCD Oxy 1F P例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 上，两条渐近线分别为1l 、2l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交1l 、2l 于A 、B 两点. 已知||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，且BF 与FA 同向.（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.A ByO F x1l2lN M金指点睛1. 已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+x y 的上焦点F 交椭圆于A 、B 两点，则||AB =_________.2. 过双曲线1322=-y x 的左焦点F 作倾斜角为6π的直线l 交双曲线于A 、B 两点，则||AB =_________.3. 已知椭圆02222=-+y x ，过左焦点F 作直线l 交A 、B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 的最大面积.B O xy AF4. 已知抛物线px y 42=（p ＞0），弦AB 过焦点F ，设m AB =||，△AOB 的面积为S ，求证：mS 2为定值.yO F x AB5.（05全国Ⅱ文第22题）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点. 已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0=⋅MF PF .求四边形PQMN 的面积的最大值和最小值.O xNPy MQF6. (07重庆文第22题)如图，倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（Ⅱ）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明α2cos ||||FP FP -为定值，并求此定值.yO F xA BDEC lαm P7. 点M 与点)2,0(F 的距离比它到直线03:=+y l 的距离小1.（1）求点M 的轨迹方程；（2）经过点F 且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD 的最小面积.FO xA BD C y8. 已知双曲线的左右焦点1F 、2F 与椭圆1522=+y x 的焦点相同，且以抛物线x y 22-=的准线为其中一条准线. （1）求双曲线的方程；（2）若经过焦点2F 且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD的面积的最小值.y2FAO x1l2l B CD参考答案：证明：设双曲线方程为12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），通径a b H 22=，离心率a ce =，弦AB 所在的直线l 的方程为）（c x k y +=（其中αtan =k ，α为直线l 的倾斜角），其参数方程为为参数）（，t t y t c x ⎩⎨⎧=+-=.sin cos αα. 代入双曲线方程并整理得：0cos 2cos sin 4222222=-⋅+⋅-b t c b t b a ααα）（. 由t 的几何意义可得：|cos 1|2|cos 1|2|cos sin |2cos sin 4cos sin cos 24||||22222222222222222222222122121αααααααααe a b e a b b a ab b a b b a c b t t t t t t AB -=-=-=-----=-+=-=）（）（.|cos 1|22αe H-=例1.解：（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，点A 、B 关于x 轴对称，0=∴m ，直线AB 的方程为1=x . 从而点A 的坐标为），（231或），（231-. 点A 在抛物线2C 上，.249p =∴即.89=p此时抛物线2C 的焦点坐标为），（0169，该焦点不在直线AB 上. （Ⅱ）设直线AB 的倾斜角为α，由（Ⅰ）知2πα≠.则直线AB 的方程为）（1tan -⋅=x y α.抛物线2C 的对称轴m y =平行于x 轴，焦点在AB 上，通径382==p H ，离心率1=e ，于是有又 AB 过椭圆1C 的右焦点，通径322==a b H ，离心率21=e . ∴.cos 412|cos 1|||222αα-=-=e H AB∴）（α2cos 138-.cos 4122α-= 解之得：6tan 71cos 2±==αα，.抛物线2C 的焦点），（m F 32在直线）（1tan -⋅=x y α上， ∴αtan 31-=m ，从而36±=m . 当36=m 时，直线AB 的方程为066=-+y x ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为066=--y x 例2.（1）证明：在12322=+y x 中，123===c b a ，，. ，︒=∠9021PF F O 是1F 2F 的中点，.1||21||21===∴c F F OP 得.12020=+y x ∴点P 在圆122=+y x 上.显然，圆122=+y x 在椭圆12322=+y x 的内部. 故232020yx +＜1.（2）解：如图，设直线BD 的倾斜角为α，由BD AC ⊥可知，直线AC 的倾斜角απ+2..cos 138sin ||22）（αα-==H AB 2FOABxy通径33422==a b H ，离心率33=e . 又 BD 、AC 分别过椭圆的左、右焦点1F 、2F ，于是.sin 3342cos 1||cos 334cos 1||222222ααπαα-=+-=-=-=）（，e H AC e H BD ∴四边形ABCD 的面积.2sin 2496sin 334cos 33421||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=AC BD S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴42596，S .故四边形ABCD 面积的最小值为2596. 例3，解：（Ⅰ）设双曲线的方程为12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）.||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，设m AB =||，公差为d ，则d m OA -=||，d m OB +=||，∴222)()(d m m d m +=+-. 即2222222d dm m m d dm m ++=++-. ∴4m d =. 从而43||m OA =，45||mOB =. 又设直线1l 的倾斜角为α，则α2=∠AOB . 1l 的方程为x aby =. ∴.tan ab=α 而.34||||tan 2tan ==∠=OA AB AOB α 2FABCD Oxy 1F P∴34)(12tan 1tan 222=-⨯=-ab a bαα. 解之得：.21=a b∴.25)(12=+=a b e （Ⅱ）设过焦点F 的直线AB 的倾斜角为θ, 则απθ+=2.∴αθsin cos -=. 而.51)21(1)21(tan 1tan sin 22222=+=+=ααα∴51cos 2=θ.通径b abb a b H =⨯==222. 又设直线AB 与双曲线的交点为M 、N. 于是有：4cos 1||22=-=θe HMN .即451)25(12=⨯-b .解得3=b ，从而6=a .∴所求的椭圆方程为193622=-y x .1. 解：3,1,2===c b a ，离心率23==a c e ，通径122==ab H ，直线l 的倾斜角4πα=.∴58)22()23(11sin 1||2222=⋅-=-=αe HAB . 2. 解：2,3,1===c b a ，离心率2==ace ，通径622==a b H ，直线的倾斜角6πα=. A ByO F x1l2lN M∴3|)23(21|6|cos 1|||2222=⋅-=-=αe HAB .3. 解：1222=+y x ，1,1,2===c b a ，左焦点)0,1(-F ，离心率22==a c e ，通径222==ab H .当直线l 的斜率不存在时，x l ⊥轴，这时22||2===ab H AB ，高1||==c OF ，△AOB 的面积221221=⨯⨯=S . 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的倾斜角为α，则其方程为)1(tan +⋅=x y α，即tan tan =+-⋅ααy x ，原点O 到直线AB 的距离ααααααs i n|s e c ||t a n|1t a n |t a n 0ta n 0|2==++-⨯=d . αααα222222sin 122cos 222cos )22(12cos 1||+=-=⋅-=-=e HAB . ∴△AOB 的面积αα2sin 1sin 2||21+=⨯⨯=d AB S . 0＜α＜π，∴αsin ＞0. 从而ααsin 2sin 12≥+. ∴22sin 2sin 2=≤ααS .当且仅当1sin =α，即2πα=时，“=”号成立. 故△AOB 的最大面积为22. 4. 解：焦点为)0,(p F ，通径p H 4=.当直线AB 的斜率不存在时，x AB ⊥轴，这时p m AB 4||==，高p OF =||，△AOBBO xy AF的面积22||||21p OF AB S =⨯⨯=. ∴3442444p pp m p m S ===，是定值.当直线AB 的斜率存在时，设直线的倾斜角为α，则其方程为)(tan p x y -⋅=α，即tan tan =+-⋅ααp y x ，原点O 到直线AB 的距离αααααs i n |s e c ||t a n|1t a n |t a n |2p p p d ==+=. αα22sin 4sin ||pH AB ==. ∴△AOB 的面积αsin 2||212p d AB S =⨯⨯=.∴32242424sin sin 41sin 4p pp m p m S =⨯=⨯=ααα. ∴不论直线AB 在什么位置，均有32p m S =（3p 为定值）.5. 解：在椭圆1222=+y x 中，.112===c b a ，， 由已知条件，MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点），（10F ，且PQ MN ⊥. 如图，设直线PQ 的倾斜角为α，则直线MN 的倾斜角απ+2.通径222==ab H ，离心率22=e .于是有.sin 222sin 1||cos 222)2(sin 1||222222ααααπ-=-=-=+-=e H PQ e HMN ，∴四边形PQMN 的面积O xNPy MQFyO F x AB.2sin 816sin 222cos 22221||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=PQ MN S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴2916，S .故四边形PQMN 面积的最小值和最大值分别为916和2. 6.（Ⅰ）解：4,82==p p ，∴抛物线的焦点F 的坐标为)2,0(， 准线l 的方程为2-=x .（Ⅱ）证明：作l AC ⊥于C ，AC FD ⊥于D. 通径82==p H . 则ααααcos ||||,cos ||||,sin 8sin ||22AF AD FP EF H AB ====.∴4cos ||||||||+=+==αAF p AD AC AF .∴αcos 14||-=AF .∴αααα22sin cos 4sin 4cos 14||21||||||||=--=-=-=AB AF AE AF EF ， 从而αα2sin 4cos ||||==EF FP . ∴8sin 2sin 4)2cos 1(||2cos ||||22=⋅=-=-ααααFP FP FP . 故α2cos ||||FP FP -为定值，此定值为8.7. 解：（1）根据题意，点M 与点)2,0(F 的距离与它到直线2:-=y l 的距离相等，∴点M 的轨迹是抛物线，点)2,0(F 是它的焦点，直线2:-=y l 是它的准线.从而22=p，∴4=p . ∴所求的点M 的轨迹方程是y x 82=.（2） 两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点， ∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α， 则直线CD 的倾斜角为α+︒90.y O F xA BDEClαm P BDy抛物线的通径82==p H ，于是有：αααα2222sin 8)90(cos ||,cos 8cos ||=+︒===H CD H AB .∴四边形ACBD 的面积.2sin 128sin 8cos 821||||21222ααα=⋅⋅=⋅=CD AB S 当且仅当α2sin 2取得最大值1时，128min =S ，这时︒=︒=45,902αα.∴四边形ACBD 的最小面积为128.8. 解：（1）在椭圆1522=+y x 中，2,1,522=-===b a c b a ，∴其焦点为)0,2(1-F 、)0,2(2F .在抛物线x y 22-=中，1=p ，∴其准线方程为212==p x . 在双曲线中，21,22==c a c ，∴3,122=-==a c b a . ∴所求的双曲线的方程为1322=-y x .（2） 两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α，则直线CD 的倾斜角为α+︒90.双曲线的通径622==a b H ，离心率2==a ce . 于是有： αααα222222sin 416)90(cos 1||,cos 416cos 1||-=+︒-=-=-=e H CD e H AB .∴四边形ACBD 的面积.2sin 4318sin 416cos 41621||||21222ααα+-=-⋅-⋅=⋅=CD AB S =18 y2FAO x1l2l B CD当且仅当α2sin 2取得最大值1时，18min =S ，这时︒=︒=45,902αα.∴四边形ACBD 的最小面积为18.。
题型 参数方程求解曲线弦长
题型6 求直线与曲线相交弦的长【例17．6．1】求直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)截得的弦长． 【分析】把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长．【详解】把直线方程12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=．将圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩化为普通方程为229x y +=．圆心O到直线的距离d ==∴弦长L ===．所以直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩截得的弦长为 【评注】消去参数可得普通方程，在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参．【变式1】过点P (－3，0)且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．【分析】由已知过点P (－3，0)且倾斜角为30°的直线可以写出直线的标准参数方程，并根据参数的几何意义求解弦长．【详解】直线的参数方程为3,()12x s y s ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴121210s s s s +==．AB 12s s =-=．【评注】掌握直线、圆、圆锥曲线的参数方程及简单的应用，并熟练把它们的参数方程转化为普通方程，由于直线的参数方程为标准参数方程，即s 为直线上的点到13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭点的距离．就可以直接通过求两点的参数之差求得弦长．在解题时要注意应用参数的几何意义，还要注意是否为标准方程．【变式2】直线⎩⎨⎧--=+=ty t x 3141 (为参数t )被曲线)4cos(2πθρ+=所截的弦长为___________ ． 【分析】消掉t 可以得到直线的普通方程，而曲线)4cos(2πθρ+=则需要用两角和的余弦公式展开转化．【详解】消去t 得直线的方程为3410x y ++=，由)cos cos sin sin cos sin 444πππρθθθθθ⎫=+=-=-⎪⎭，两边同乘ρ，得2cos sin ρρθρθ=-，即22x y x y +=-，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以曲线为圆，圆心为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为22，则圆心到直线的距离为11341221510⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭=，所以弦长为2221722105⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】57 【评注】在由极坐标方程化为普通方程时要注意变形技巧．要运用两角和的余弦公式进行变形．直线截得的弦长可由勾股定理求得． 【变式3】已知抛物线y 2 = 2px ，过焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，求证：AB =2p sin 2 θ． 【分析】弦长AB = |t 1 −t 2|． 【详解】由条件可设AB 的方程为⎩⎨⎧x = p 2 +t cos θ，y = t sin θ(t 是参数)，代入抛物线方程， 得 t 2 sin 2 θ −2pt cos θ −p 2 = 0，由韦达定理：⎩⎨⎧t 1 +t 2 = 2p cos θsin 2 θ ，t 1·t 2 = − p 2sin 2 θ， ∴ AB = |t 1 −t 2| = (t 1 −t 2)2 −4 t 1· t 2 = 4p 2cos 2θsin 4θ +4p 2sin 2θ = 2p sin 2θ． 圆锥曲线重要几何量问题的求解纵观近几年全国高中数学联赛和部分省市高中数学竞赛试题，圆锥曲线是命题的热点之一，而且比较接近高考．在圆锥曲线中，焦半径、焦（顶）点弦长、焦（顶）点三角形面积等是非常重要的几何量，也是各类竞赛的重点．为此，本讲主要介绍与这些几何量有关问题的求解策略．一、基础知识1．圆锥曲线定义、方程、基本元素a 、b 、c 、e 、P 之间的关系，焦半径以及一些重要公式．2．焦点弦长：AB 是经过圆锥曲线（指的是椭圆b ２x ２＋a ２y ２＝a ２b ２（a ＞b ＞0）、双曲线b ２x ２－a ２y ２＝a ２b ２（a ＞0，b ＞0）、抛物线y ２＝2Px （P ＞0），以下相同）焦点的弦，若AB 的倾斜角为α，半焦距为c ，则（1）对于椭圆，｜AB ｜＝2AB ２／（b ２＋c ２sin ２α）；（2）对于双曲线，｜AB ｜＝2AB ２／｜b ２－c ２sin ２α｜；（3）对于抛物线，｜AB ｜＝2P ／sin ２α．证明过程，此处从略．3．顶点弦长：经过圆锥曲线顶点A （对于椭圆或双曲线，指的是长轴或实轴顶点）作倾斜角为α的弦AB ，半焦距为c ，则（1）对于椭圆，｜AB ｜＝2AB ２｜cos α｜／（b ２＋c ２sin ２α）；（2）对于双曲线，｜AB ｜＝2AB ２｜cos α｜／｜b ２－c ２sin ２α｜；（3）对于抛物线，｜AB ｜＝2P ｜cos α｜／sin ２α．证明过程，此处从略．4．焦点三角形的面积：P 是椭圆b ２x ２＋a ２y ２＝a ２b ２（a ＞b ＞0）或双曲线b ２x ２－a ２y ２＝a２b２（a＞0，b＞0）上一点，F１、F２是两焦点，若∠F１PF２＝α，则（1）对于椭圆，S△F１PF２＝b２tan（α／2）；（2）对于双曲线，S△F１PF２＝b２cot（α／2）．一般的书刊资料均可找到，证明从略．例1在椭圆b２x２＋a２y＝a２b２（a＞b＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若该椭圆的离心率e＝（1／2）（5－1），求∠ABF．（2000年全国高中数学联赛题）．导析：如图1，△ABF是椭圆的一焦点和两顶点组成的，是一个非常特殊的三角形．但在短暂的思考中学生也是不易找到方法．这时教师可提醒学生观察图中的三角形，它们的边均与a，b，c有关，由此可改造条件．即由e＝ca＝（1／2）（5－1）可得2c＋a＝5a，两边平方可得b２＝ac，由此结论便迎刃而解了，且方法是多样的．即用相似三角形或两斜率的积或用两角和的正、余弦均可得∠ABF＝90°．例2已知点P在双曲线（x２／16）－（y２／9）＝1，且点P到这条双曲线的右准线的距离恰是点P到这条双曲线的两个焦点的距离的比例中项，那么点P的横坐标是．（1999年全国联赛题）．导析：学生见到此题，常常会用如下方法：设左、右焦点为F１、F２，点P（x，y）到右准线x＝a２／c＝16／5的距离为D，则2D＝｜PF１｜＋｜PF２｜，由此即得方程组这是多么复杂的运算，能回避吗?教师可提醒学生直接运用焦半径公式，即由双曲线焦半径公式及题设便得2｜x－（16／5）｜＝｜4－（5／4）x｜＋｜4＋（5／4）x｜．结合双曲线的范围x≤－4或x≥4即可得x＝－64／5．例3F是抛物线y２＝2Px（P＞0）的焦点，P为抛物线上一点，抛物线的准线l交x轴于H，若∠PFH＝α，∠PHF＝β，求证：sinα＝tanβ．导析：这是与圆锥曲线焦半径有关的三角恒等式，虽然学生很少遇到此类问题，但是通过观察，学生自然会画图分析，这时教师可引导学生从抛物线定义和正弦定理来思考，即作PQ⊥l，垂足为Q，则有｜PQ｜＝｜PF｜，∠QPH＝β，从而有｜PH｜＝｜PQ｜／cosβ＝｜PF｜／cosβ和｜PH｜／sinα＝｜PF｜／sinβ．由这两个等式易得sinα＝tanβ．二、综合应用圆锥曲线涉及知识面广，如平面几何、平面三角、代数等知识，它是高中数学中综合性较强的一个学科．故在解答解析几何综合题时，教师要注意引导学生掌握重要的数学思想方法，如数形结合、等价转化、对称、分类讨论等思想，注意知识的纵横联系．例4经过椭圆（x２／4）＋（y２／2）＝1的长轴顶点A作椭圆的弦AB，若｜AB｜＝8／7，试求弦AB的倾斜角α．导析：此题涉及二次曲线弦长问题，课本是极少提及的．若学生的思路方法不当，则运算量较大，甚至难以完成．若教师给予启发诱导，则学生是能解决的．常用方法有：①应用弦长公式｜AB｜＝｜x A－x B｜·和韦达定理；②运用直线参数t的几何意义；③直接应用顶点弦长公式．下面给出两种解法：解法1由对称性，不妨设A为右顶点（2，0），则直线AB的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程得（cos２α＋2sin２α）t２＋4cosα·t＝0．由t的几何意义知｜AB｜＝｜t B｜＝4｜cosα｜／（cos ２α＋2sin２α）＝8／7，从而得2｜cosα｜２＋7｜cosα｜－4＝0α＝60°或120°．解法2 由椭圆顶点弦长公式得8／7＝2·2·2｜cosα｜／（2＋2sin２α）．以下同法1．例5AB是经过椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的弦MN ∥AB，求证：｜MN｜２∶｜AB｜是定值．导析：求解定值问题是学生感到比较困难的，而难点主要在于定值究竟是什么，一旦找出了定值，那么问题就转化为一般相等关系的证明了．教师可给学生介绍一些求定值问题的常用方法，如本题可从一般退向特殊，特殊问题的解决可为我们解决一般问题提供有益的启示，可作为解决一般问题的借鉴和有力工具．对于本题，MN、AB分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0°，此时有｜MN｜２＝4a２，｜AB｜＝2a．∴｜MN｜２∶｜AB｜＝2a（定值）．下面再证明一般性．设平行弦MN、AB的倾斜角为α，则MN的方程为（t为参数），代入椭圆方程后注意到t的几何意义即得｜MN｜２＝4a２b２／（b２＋c２sin２α）．①另一方面，AB的参数方程为（t为参数）．仿①可得｜AB｜＝2AB２／（b２＋c２sin２α）．②①÷②得｜MN｜２∶｜AB｜＝2a（定值）．关于②式也可直接由焦点弦长公式得到．例6某建筑工地要挖一个横截面为半圆柱形的土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，如图3，其中AP＝100M，BP＝150M，∠APB＝60°，问怎样运土才能最省工?导析：这是一道解析几何建模应用题．即要在半圆内划出一条分界线，这就要运用解析几何知识．“最省工”的含义是：到点P的距离最近，所以半圆内的点有三类：①沿AP到P较近；②沿BP到P接近；③沿AP、BP到P等距．其中第③类点集是第①、②类点集之交集（分界线）．设M是分界线上任一点，则有｜MA｜＋｜AP｜＝｜MB｜＋｜MP｜，即｜MA｜－｜MB｜＝｜PB｜－｜PA｜＝50（定值）．∴M在以A、B为焦点的双曲线右支上．由题设可得｜AB｜２＝17500，于是以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，可得分界线是双曲线弧：（x２／625）－（y２／3750）＝1（x≥25）．故运土时在双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．例7l是椭圆的右准线，F１、F２是左、右焦点，P∈l．若椭圆的离心率e＝／2，试求∠F１PF２的最大值．导析：此问题一出现，学生遇到的第一个困难是如何建立e与∠F１PF２（记为α）的关系式．教师可引导学生画图分析，步步追踪．如图4，由对称性，不妨设椭圆方程为（x２／a２）＋（y２／b２）＝1（a ＞b＞0），l为右准线且P在x轴上方，由此可设点P为（a２／c，y）（y＞0），又在F１（－c，0）、F２（c，0），在△PF１F２中，由两条直线所成的角得tanα＝（kPF２－kPF１）／（1＋kPF１·kPF２．①又∵kPF１＝y∶（（a２／c）＋c），kPF２＝y∶（（a２／c）－c），代入①得tanα＝2c３y／（a４－c４＋c２y２），∵y＞0，a４－c４＞0，∴tanα＞0．又∵α∈（0，π），∴α为锐角．由基本不等式得tanα≤当且仅当a４－c４＝c２y２，即y P＝（1／c）时取“＝”．从而可得cot２α≥（a４－c４）／c４＝e－４－1，∴csc２α≥e－４．∴sinα≤e２＝（／2）２．∵sinα在（0，π／2）上是增函数，∴α的最大值为π／6．三、强化训练1．已知A为双曲线x２－y２＝1的左顶点，点B和C在双曲线的右支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是（）．A．3／3B．（3／2）3C．33D．63（2000年全国联赛）2．P是椭圆上的一点，F１、F２是两个焦点，若恒有∠F１PF２＝60°，则该椭圆的离心率e的范围是（）．A．（0，1）B．［／2，1）C．［／3，1）D．［1／2，1）．3．圆x２＋y２＝ｒ２过椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）的两个焦点F１（－c，0）、F２（c，0），它们有四个交点，其中一个交点为P，若△PF１F２的面积为26，椭圆长轴为15，则a＋b＋c＝_____．（2000年“希望杯”赛题）4．设O为抛物线的顶点，F为焦点，PQ为过F的弦，已知｜OF｜＝a，｜PQ｜＝b，则S△POQ＝_____．5．双曲线的离心率e＝2＋－－，过双曲线的右焦点F2作垂直于双曲线的实轴的直线交双曲线于一点P，F１为左焦点，试求∠PF１F２的大小．（1998年河南省、重庆市高中赛题）6．经过椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）的长轴顶点A作倾斜角为45°的弦AB，若弦AB的长恰好等于椭圆的通径长，试求此椭圆的离心率e．7．l是椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）的左准线，在椭圆上放置n个点（n＞1）使每相邻两点与左焦点F连线所成的夹角均相等，如图5，∠P１FP２＝∠P２FP３＝…＝∠P n FP１＝2π／n，试证明：这n 个点到l的距离的倒数之和为一个仅与n有关的常数．参考答案与提示：1．C．由对称性知∠BAx＝∠CAx＝30°，｜AB｜＝｜AC｜．从而可按求弦长的思路求得｜AB｜＝2，也可运用顶点弦长公式知｜AB｜＝2·1·1·cos30°／｜1－2sin２30°｜＝2．∴S△ABC＝（1／2）｜AB｜２sin60°＝3．2．D．可用焦半径公式和余弦定理等有关知识求解，也可直接运用焦点三角形的面积公式．3．a＋b＋c＝13＋．易知∠F１PF２＝90°，从而可用勾股定理和椭圆定义等有关知识求解，也可直接运用焦点三角形的面积公式．4．S△POQ＝a．本题可用焦点弦长公式求出弦PQ的倾斜角，然后再用三角形的面积公式求解．也可建立极坐标系利用极径及极角求解．5．设∠PF１F２＝α，双曲线方程为b２x２－a２y２＝a２b２，∵PF２⊥F１F２，∴x P＝c，由焦半径公式得｜PF２｜＝｜a－ex P｜＝｜a－ec｜＝ec－a＝（1／a）（c２－a２）．又∵｜F１F２｜＝2c，∴tanα＝｜PF２｜∶｜F１F２｜＝（1／a）（c２－a２）∶（2c）．∴tanα＝（c２－a２）／2ac＝（1／2）（e－（1／e））…＝2－．∴α＝15°．6．可按求弦长的方法求出通径和｜AB｜的表达式，也可直接应用通径长为2b／a和顶点弦长公式．所求离心率e＝7．设在椭圆上的n个点为P１、P２、…，P n，它们到l：x＝－（a２／c）的距离记为D１、D２，…，D n，α＝2π／n，∠P１FO＝β，由椭圆定义得｜P i F｜＝eD i（i＝1，2，…，n）．如图5知D i－｜P i F｜cos［（i－1）α＋β］＝（a２／c）－c，即D i－eD i cos［（i－1）α＋β］＝b２／c，∴D i＝．经计算知故（是仅与n有关的常数）．。
运用参数方程求双曲线弦长
运用参数方程求双曲线弦长陕西理工大学数学与计算机科学学院（723001）郝秋梅［摘要］求双曲线的弦长是几何与代数的综合运用，也是高中数学的考点和难点之一。
运用双曲线的参数方程求弦长，不但能简化计算过程，而且能提高计算准确率，锻炼学生的数学思维和数学运算能力。
［关键词］参数方程；双曲线；弦长［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2022）02-0014-03参数方程是以参变量来表示曲线上点的运动轨迹的坐标方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。
双曲线是高中数学的重要组成部分，与向量、解析几何、直线方程等知识联系紧密。
在教学中，教师基本上只讲解用公式||AB=1+k2||x2-x1=|y2-y1求解弦长，其他方法一概略过。
在考试中，一旦双曲线方程或弦所在直线方程复杂、不易化简时，采用传统解法（联立双曲线方程与弦所在直线方程，再利用韦达定理和两点间距离公式）求解，会使计算难度增加，求解过程烦琐，学生往往会因为计算量过大而半途而废或出错。
为了解决此类问题，本文引进参数方程求解双曲线的弦长。
虽然定理证明过程比较复杂，但结论比传统解法更加简洁，同时也体现了解决数学问题方法的多样性。
一、性质推导性质1直线l：y=kx+m过双曲线{x=a cosφ,y=b tanφ（φ为参数）的焦点F2(c,0)与双曲线交于A，B两点，则l被双曲线截得的弦长||AB=2ab2(1+k2)||b2-k2a2。
（如图1）图1证明：设A(a secφ1,b tanφ1)，B(a secφ2,b tanφ2)。
因为直线l的斜率为k=b(tanφ2-tanφ1)a(secφ2-secφ1)，则tanφ2-tanφ1=ka b(secφ2-secφ1)。
故弦长||AB=(a secφ2-a secφ1)2+(b tanφ2-b tanφ1)2=a1+k2||secφ2-secφ1。
因为直线l与直线AF2的斜率相同，即k=b tanφ1a secφ1-c，所以tanφ1=kb(a secφ1-c)。
关于圆锥曲线弦长的“万能公式”及其应用
关于圆锥曲线弦长的“万能公式”及其应⽤
众所周知,我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线（即⼆次曲线）。
⼀般直接⽤公式解决弦长问题时,计算量⼤,容易出错,这正是⾼考命题需要考查学⽣计算能⼒的⼀个重要⽅⾯。
我们通常⽤“设⽽不求”的⽅法，可得到其弦长公式。
这种“设⽽不求”的思想，在处理圆锥曲线相关问题中占有重要地位。
本⽂将给同学们介绍“圆锥曲线弦长万能公式”，⽤它来解题可以简化运算过程。
假设设直线l的⽅程为：y=kx m（特殊情况要讨论k的存在性），圆锥曲线为f（x，y）=0(可以是圆、椭圆、双曲线、抛物线)，把直线l的⽅程代⼊⼆次曲线⽅程，可化为ax2 bx c=0，（或ay2 by c=0），不妨设直线和⼆次曲线的两交点为A（x1，y1），B（x2，y2），那么：x1，x2是⽅程ax2 bx c=0的两个实数解，于是有。
(典型题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(有答案解析)
一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：22x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l ：230x y -+=的距离的最小值为（ ）A ．23B ．223C ．233D ．22．直线2413x t y t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为（ ） A ．6B ．5C ．8D ．7 3．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．4．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ）A ．(2,7)B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)225．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t 为参数）与曲线22ρ=相交于B ，C 两点，则BC 的值为（ ）A ．27B ．60C ．72D ．306．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线2:cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠7．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A ．623+B ．16C ．8D ．623-8．点M 的直角坐标是()3,1--，则点M 的极坐标为（ ） A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭9．极坐标系中，由三条曲线围成的图形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．10．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线11．已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线251:51x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值为（ ）A ．2B 63+C 31D 10 12．椭圆221169x y +=上的点到直线34132x y += ）A ．0B ．25C ．52D ．241325- 二、填空题13．已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，则yx 的取值范围为_____.14．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线1222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）,相交于两点A 和 B ，则AB =__________． 15．直线170{?270x tsin y tcos =+=+（t 为参数）的倾斜角为_________16．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，l与C 交于,A B 两点，则AB =_______.17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin ,x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），直线l 的方程为40x y +-=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________． 18．曲线4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点到直线20x y +=的最大距离为__________．19．曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x t y t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为__________．20．已知直线12:(22x l t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）与曲线:(x cos C y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）交于,A B 两点，则点()1,2M -与,A B 两点的距离之积MA MB ⋅=______.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4x aty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）过点)P作直线l 的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PE-的值． 22．已知纵坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为：112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=． （1）写出C 的直角坐标方程，并指出C 是什么曲线． （2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求PQ 值．23．曲线1C ：2121x t y t =+⎧⎨=-⎩(其中t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C ：()2cos 0a a ρθ=>关于1C 对称.（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 直角坐标方程；（2）将2C 向左平移2个单位长度，按照12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩变换得到3C ，点P 为3C 上任意一点，求点P 到曲线1C 距离的最大值. 24．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为()24cos sin 3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，(),P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.25．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为（2，0），（32π，），圆C的参数方程222x cos y sin θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）． （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系．26．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩ (α为参数),以直角坐标系原点为极点,以x轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹；（2）若直线l 的极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=,求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C 上点的坐标为()2,2t t ， 则C 上的点到直线l 的距离2223(1)2233333t t t d -+-+===， 即C 上的点到直线1的距离的最小值为23． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．A解析：A 【分析】把直线和圆的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式和利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意，直线2413x ty t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）可得直线的方程为34100x y ++=，圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为22(2)(1)25x y -+-=， 可得圆心(2,1)C ，半径为=5r ，所以圆心到直线34100x y ++=的距离为226410434d ++==+，由圆的弦长公式可得，弦长222222546L r d =-=-=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把参数方程化为普通方程，结合圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．D解析：D 【解析】 【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。
圆锥曲线的弦长问题
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01
弦长是指连接圆锥曲线上的两点的线段的长度。
02
弦长的计算方法有多种，包括公式法、参数方程法、极坐标法
等。
弦长公式是计算弦长的常用方法，适用于不同圆锥曲线和不同
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坐标系。
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圆锥曲线弦长的公式与定 理
圆锥曲线的一般弦长公式
圆锥曲线的一般弦长公式为：$|AB| = frac{2sqrt{D^2 - 4F}}{sqrt{1 - k^2}}$，其中 $D$是曲线的一般方程中x和y的最高次项系数 乘积的一半，$F$是常数项，$k$是弦AB的斜 率。
研究弦长问题在工程学中的应用，如桥梁、建筑的设计等。
弦长问题与其他数学知识的结合
弦长问题与线性代数的结合
探讨弦长问题与线性代数之间的关系，如矩阵 变换、线性方程组等。
弦长问题与解析几何的结合
研究弦长问题与解析几何之间的关系，如参数 方程、极坐标等。
弦长问题与微积分的结合
探讨弦长问题与微积分之间的关系，如求曲线长度、面积等。
函数与导数
在解决函数与导数问题时，有时需要利用弦长公式进行计算。
综合题
在高考数学的综合题中，有时会涉及到弦长问题，需要考生综合 运用所学知识进行解决。
05
弦长问题的变式与拓展
弦长问题的变种形式
弦长与角度的关系
研究弦长与圆锥曲线上的角度之间的关系，如弦的中垂线与曲线的 交点等。
弦长与焦点的关系
探讨弦长与圆锥曲线的焦点距离之间的关系，以及在何种情况下弦 长达到最大或最小值。
实际生活中的弦长问题
01
02
03
桥梁设计
在桥梁设计中，需要计算 通过桥墩的弦长，以确保 桥梁的稳定性和安全性。
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题型6 求直线与曲线相交弦的长【例17．6．1】求直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)截得的弦长． 【分析】把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长．【详解】把直线方程12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=．将圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩化为普通方程为229x y +=．圆心O到直线的距离d ==∴弦长L ===．所以直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩截得的弦长为 【评注】消去参数可得普通方程，在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参．【变式1】过点P (－3，0)且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．【分析】由已知过点P (－3，0)且倾斜角为30°的直线可以写出直线的标准参数方程，并根据参数的几何意义求解弦长．【详解】直线的参数方程为3,()12x s y s ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴121210s s s s +==．AB 12s s =-=．【评注】掌握直线、圆、圆锥曲线的参数方程及简单的应用，并熟练把它们的参数方程转化为普通方程，由于直线的参数方程为标准参数方程，即s 为直线上的点到13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭点的距离．就可以直接通过求两点的参数之差求得弦长．在解题时要注意应用参数的几何意义，还要注意是否为标准方程．【变式2】直线⎩⎨⎧--=+=ty t x 3141 (为参数t )被曲线)4cos(2πθρ+=所截的弦长为___________ ． 【分析】消掉t 可以得到直线的普通方程，而曲线)4cos(2πθρ+=则需要用两角和的余弦公式展开转化．【详解】消去t 得直线的方程为3410x y ++=，由)cos cos sin sin cos sin 444πππρθθθθθ⎫=+=-=-⎪⎭，两边同乘ρ，得2cos sin ρρθρθ=-，即22x y x y +=-，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以曲线为圆，圆心为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为22，则圆心到直线的距离为11341221510⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭=，所以弦长为2221722105⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】57 【评注】在由极坐标方程化为普通方程时要注意变形技巧．要运用两角和的余弦公式进行变形．直线截得的弦长可由勾股定理求得． 【变式3】已知抛物线y 2 = 2px ，过焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，求证：AB =2p sin 2 θ． 【分析】弦长AB = |t 1 −t 2|． 【详解】由条件可设AB 的方程为⎩⎨⎧x = p 2 +t cos θ，y = t sin θ(t 是参数)，代入抛物线方程， 得 t 2 sin 2 θ −2pt cos θ −p 2 = 0，由韦达定理：⎩⎨⎧t 1 +t 2 = 2p cos θsin 2 θ ，t 1·t 2 = − p 2sin 2 θ， ∴ AB = |t 1 −t 2| = (t 1 −t 2)2 −4 t 1· t 2 = 4p 2cos 2θsin 4θ +4p 2sin 2θ = 2p sin 2θ． 圆锥曲线重要几何量问题的求解纵观近几年全国高中数学联赛和部分省市高中数学竞赛试题，圆锥曲线是命题的热点之一，而且比较接近高考．在圆锥曲线中，焦半径、焦（顶）点弦长、焦（顶）点三角形面积等是非常重要的几何量，也是各类竞赛的重点．为此，本讲主要介绍与这些几何量有关问题的求解策略．一、基础知识1．圆锥曲线定义、方程、基本元素a 、b 、c 、e 、P 之间的关系，焦半径以及一些重要公式．2．焦点弦长：AB 是经过圆锥曲线（指的是椭圆b ２x ２＋a ２y ２＝a ２b ２（a ＞b ＞0）、双曲线b ２x ２－a ２y ２＝a ２b ２（a ＞0，b ＞0）、抛物线y ２＝2Px （P ＞0），以下相同）焦点的弦，若AB 的倾斜角为α，半焦距为c ，则（1）对于椭圆，｜AB ｜＝2AB ２／（b ２＋c ２sin ２α）；（2）对于双曲线，｜AB ｜＝2AB ２／｜b ２－c ２sin ２α｜；（3）对于抛物线，｜AB ｜＝2P ／sin ２α．证明过程，此处从略．3．顶点弦长：经过圆锥曲线顶点A （对于椭圆或双曲线，指的是长轴或实轴顶点）作倾斜角为α的弦AB ，半焦距为c ，则（1）对于椭圆，｜AB ｜＝2AB ２｜cos α｜／（b ２＋c ２sin ２α）；（2）对于双曲线，｜AB ｜＝2AB ２｜cos α｜／｜b ２－c ２sin ２α｜；（3）对于抛物线，｜AB ｜＝2P ｜cos α｜／sin ２α．证明过程，此处从略．4．焦点三角形的面积：P 是椭圆b ２x ２＋a ２y ２＝a ２b ２（a ＞b ＞0）或双曲线b ２x ２－a ２y ２＝a２b２（a＞0，b＞0）上一点，F１、F２是两焦点，若∠F１PF２＝α，则（1）对于椭圆，S△F１PF２＝b２tan（α／2）；（2）对于双曲线，S△F１PF２＝b２cot（α／2）．一般的书刊资料均可找到，证明从略．例1在椭圆b２x２＋a２y＝a２b２（a＞b＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若该椭圆的离心率e＝（1／2）（5－1），求∠ABF．（2000年全国高中数学联赛题）．导析：如图1，△ABF是椭圆的一焦点和两顶点组成的，是一个非常特殊的三角形．但在短暂的思考中学生也是不易找到方法．这时教师可提醒学生观察图中的三角形，它们的边均与a，b，c有关，由此可改造条件．即由e＝ca＝（1／2）（5－1）可得2c＋a＝5a，两边平方可得b２＝ac，由此结论便迎刃而解了，且方法是多样的．即用相似三角形或两斜率的积或用两角和的正、余弦均可得∠ABF＝90°．例2已知点P在双曲线（x２／16）－（y２／9）＝1，且点P到这条双曲线的右准线的距离恰是点P到这条双曲线的两个焦点的距离的比例中项，那么点P的横坐标是．（1999年全国联赛题）．导析：学生见到此题，常常会用如下方法：设左、右焦点为F１、F２，点P（x，y）到右准线x＝a２／c＝16／5的距离为D，则2D＝｜PF１｜＋｜PF２｜，由此即得方程组这是多么复杂的运算，能回避吗?教师可提醒学生直接运用焦半径公式，即由双曲线焦半径公式及题设便得2｜x－（16／5）｜＝｜4－（5／4）x｜＋｜4＋（5／4）x｜．结合双曲线的范围x≤－4或x≥4即可得x＝－64／5．例3F是抛物线y２＝2Px（P＞0）的焦点，P为抛物线上一点，抛物线的准线l交x轴于H，若∠PFH＝α，∠PHF＝β，求证：sinα＝tanβ．导析：这是与圆锥曲线焦半径有关的三角恒等式，虽然学生很少遇到此类问题，但是通过观察，学生自然会画图分析，这时教师可引导学生从抛物线定义和正弦定理来思考，即作PQ⊥l，垂足为Q，则有｜PQ｜＝｜PF｜，∠QPH＝β，从而有｜PH｜＝｜PQ｜／cosβ＝｜PF｜／cosβ和｜PH｜／sinα＝｜PF｜／sinβ．由这两个等式易得sinα＝tanβ．二、综合应用圆锥曲线涉及知识面广，如平面几何、平面三角、代数等知识，它是高中数学中综合性较强的一个学科．故在解答解析几何综合题时，教师要注意引导学生掌握重要的数学思想方法，如数形结合、等价转化、对称、分类讨论等思想，注意知识的纵横联系．例4经过椭圆（x２／4）＋（y２／2）＝1的长轴顶点A作椭圆的弦AB，若｜AB｜＝8／7，试求弦AB的倾斜角α．导析：此题涉及二次曲线弦长问题，课本是极少提及的．若学生的思路方法不当，则运算量较大，甚至难以完成．若教师给予启发诱导，则学生是能解决的．常用方法有：①应用弦长公式｜AB｜＝｜x A－x B｜·和韦达定理；②运用直线参数t的几何意义；③直接应用顶点弦长公式．下面给出两种解法：解法1由对称性，不妨设A为右顶点（2，0），则直线AB的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程得（cos２α＋2sin２α）t２＋4cosα·t＝0．由t的几何意义知｜AB｜＝｜t B｜＝4｜cosα｜／（cos ２α＋2sin２α）＝8／7，从而得2｜cosα｜２＋7｜cosα｜－4＝0α＝60°或120°．解法2 由椭圆顶点弦长公式得8／7＝2·2·2｜cosα｜／（2＋2sin２α）．以下同法1．例5AB是经过椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的弦MN ∥AB，求证：｜MN｜２∶｜AB｜是定值．导析：求解定值问题是学生感到比较困难的，而难点主要在于定值究竟是什么，一旦找出了定值，那么问题就转化为一般相等关系的证明了．教师可给学生介绍一些求定值问题的常用方法，如本题可从一般退向特殊，特殊问题的解决可为我们解决一般问题提供有益的启示，可作为解决一般问题的借鉴和有力工具．对于本题，MN、AB分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0°，此时有｜MN｜２＝4a２，｜AB｜＝2a．∴｜MN｜２∶｜AB｜＝2a（定值）．下面再证明一般性．设平行弦MN、AB的倾斜角为α，则MN的方程为（t为参数），代入椭圆方程后注意到t的几何意义即得｜MN｜２＝4a２b２／（b２＋c２sin２α）．①另一方面，AB的参数方程为（t为参数）．仿①可得｜AB｜＝2AB２／（b２＋c２sin２α）．②①÷②得｜MN｜２∶｜AB｜＝2a（定值）．关于②式也可直接由焦点弦长公式得到．例6某建筑工地要挖一个横截面为半圆柱形的土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，如图3，其中AP＝100M，BP＝150M，∠APB＝60°，问怎样运土才能最省工?导析：这是一道解析几何建模应用题．即要在半圆内划出一条分界线，这就要运用解析几何知识．“最省工”的含义是：到点P的距离最近，所以半圆内的点有三类：①沿AP到P较近；②沿BP到P接近；③沿AP、BP到P等距．其中第③类点集是第①、②类点集之交集（分界线）．设M是分界线上任一点，则有｜MA｜＋｜AP｜＝｜MB｜＋｜MP｜，即｜MA｜－｜MB｜＝｜PB｜－｜PA｜＝50（定值）．∴M在以A、B为焦点的双曲线右支上．由题设可得｜AB｜２＝17500，于是以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，可得分界线是双曲线弧：（x２／625）－（y２／3750）＝1（x≥25）．故运土时在双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．例7l是椭圆的右准线，F１、F２是左、右焦点，P∈l．若椭圆的离心率e＝／2，试求∠F１PF２的最大值．导析：此问题一出现，学生遇到的第一个困难是如何建立e与∠F１PF２（记为α）的关系式．教师可引导学生画图分析，步步追踪．如图4，由对称性，不妨设椭圆方程为（x２／a２）＋（y２／b２）＝1（a ＞b＞0），l为右准线且P在x轴上方，由此可设点P为（a２／c，y）（y＞0），又在F１（－c，0）、F２（c，0），在△PF１F２中，由两条直线所成的角得tanα＝（kPF２－kPF１）／（1＋kPF１·kPF２．①又∵kPF１＝y∶（（a２／c）＋c），kPF２＝y∶（（a２／c）－c），代入①得tanα＝2c３y／（a４－c４＋c２y２），∵y＞0，a４－c４＞0，∴tanα＞0．又∵α∈（0，π），∴α为锐角．由基本不等式得tanα≤当且仅当a４－c４＝c２y２，即y P＝（1／c）时取“＝”．从而可得cot２α≥（a４－c４）／c４＝e－４－1，∴csc２α≥e－４．∴sinα≤e２＝（／2）２．∵sinα在（0，π／2）上是增函数，∴α的最大值为π／6．三、强化训练1．已知A为双曲线x２－y２＝1的左顶点，点B和C在双曲线的右支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是（）．A．3／3B．（3／2）3C．33D．63（2000年全国联赛）2．P是椭圆上的一点，F１、F２是两个焦点，若恒有∠F１PF２＝60°，则该椭圆的离心率e的范围是（）．A．（0，1）B．［／2，1）C．［／3，1）D．［1／2，1）．3．圆x２＋y２＝ｒ２过椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）的两个焦点F１（－c，0）、F２（c，0），它们有四个交点，其中一个交点为P，若△PF１F２的面积为26，椭圆长轴为15，则a＋b＋c＝_____．（2000年“希望杯”赛题）4．设O为抛物线的顶点，F为焦点，PQ为过F的弦，已知｜OF｜＝a，｜PQ｜＝b，则S△POQ＝_____．5．双曲线的离心率e＝2＋－－，过双曲线的右焦点F2作垂直于双曲线的实轴的直线交双曲线于一点P，F１为左焦点，试求∠PF１F２的大小．（1998年河南省、重庆市高中赛题）6．经过椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）的长轴顶点A作倾斜角为45°的弦AB，若弦AB的长恰好等于椭圆的通径长，试求此椭圆的离心率e．7．l是椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）的左准线，在椭圆上放置n个点（n＞1）使每相邻两点与左焦点F连线所成的夹角均相等，如图5，∠P１FP２＝∠P２FP３＝…＝∠P n FP１＝2π／n，试证明：这n 个点到l的距离的倒数之和为一个仅与n有关的常数．参考答案与提示：1．C．由对称性知∠BAx＝∠CAx＝30°，｜AB｜＝｜AC｜．从而可按求弦长的思路求得｜AB｜＝2，也可运用顶点弦长公式知｜AB｜＝2·1·1·cos30°／｜1－2sin２30°｜＝2．∴S△ABC＝（1／2）｜AB｜２sin60°＝3．2．D．可用焦半径公式和余弦定理等有关知识求解，也可直接运用焦点三角形的面积公式．3．a＋b＋c＝13＋．易知∠F１PF２＝90°，从而可用勾股定理和椭圆定义等有关知识求解，也可直接运用焦点三角形的面积公式．4．S△POQ＝a．本题可用焦点弦长公式求出弦PQ的倾斜角，然后再用三角形的面积公式求解．也可建立极坐标系利用极径及极角求解．5．设∠PF１F２＝α，双曲线方程为b２x２－a２y２＝a２b２，∵PF２⊥F１F２，∴x P＝c，由焦半径公式得｜PF２｜＝｜a－ex P｜＝｜a－ec｜＝ec－a＝（1／a）（c２－a２）．又∵｜F１F２｜＝2c，∴tanα＝｜PF２｜∶｜F１F２｜＝（1／a）（c２－a２）∶（2c）．∴tanα＝（c２－a２）／2ac＝（1／2）（e－（1／e））…＝2－．∴α＝15°．6．可按求弦长的方法求出通径和｜AB｜的表达式，也可直接应用通径长为2b／a和顶点弦长公式．所求离心率e＝7．设在椭圆上的n个点为P１、P２、…，P n，它们到l：x＝－（a２／c）的距离记为D１、D２，…，D n，α＝2π／n，∠P１FO＝β，由椭圆定义得｜P i F｜＝eD i（i＝1，2，…，n）．如图5知D i－｜P i F｜cos［（i－1）α＋β］＝（a２／c）－c，即D i－eD i cos［（i－1）α＋β］＝b２／c，∴D i＝．经计算知故（是仅与n有关的常数）．。