直线的参数方程ppt课件
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直线的参数方程(用)ppt课件
x x0 t cos , y y0 t sin
即，x x0 t cos , y y0 t sin
e (cos,sin )
x
3
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
即，x x0 t cos , y y0 t sin
y
所： 在直线上任取一点M(x,y),则
M0M （x, y) (x0 y0 ) (x x0, y y0 ) 设e是直线l的单位方向向量，则
M(x,y)
y
e (cos ,sin )
因为M 0M // e,所以存在实数t R,
M0(x0,y0)
使M 0M te,即
(x x0, y y0 ) t(cos,sin ) O
直线的参数方程
1
请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0 )
斜截式： y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
截距式： x y 1
ab
一般式: Ax By C 0
2
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
O
x=-1+tcos
3
4
y
2
t
sin
3
(t为参数）
B
x
17
即
x
1
2t 2 (t为参数）
A
y
2
2t 2
把它代入抛物线y=x2的方程,得
t2 2t 2 0
t1 t2 2, t1t2 2
由参数t的几何意义得
AB t1 t2 10 MA MB t1 t2 t1t2 2
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
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[例1]
已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在
直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)的距 离． [思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进
而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方
程．
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[解]
3 由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知， 直线的斜率为 ， 4
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理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的 几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参 数t的绝对值是解决此类问题的关键．
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π 1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝ ，求此直线与直线 3x＋ 4 2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
x＝3＋ 解：设直线的参数方程为 y＝4＋ 2 2 得 3(3＋ t)＋2(4＋ t)＝6. 2 2 11 2 解得 t＝－ ， 5 ∴|MP0|＝|t|＝ 11 2 . 5 2 t， 2 2 t， 2
在 α∈[0，π)内无解；
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3 x＝－1＋－ 2 －2t， 而化成 y＝2＋1－2t 2 3 cos α＝－ 2 ， 则 sin α＝1 2 5π 得 α＝ . 6
时，
5π 故直线 l 的倾斜角为 . 6
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[例 2]
π 已知直线 l 经过点 P(1,1)，倾斜角 α＝ ， 6
返回
求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求
出交点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义 即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．
返回
π 3．直线 l 通过 P0(－4,0)，倾斜角 α＝ ，l 与圆 x2＋y2 6 ＝7 相交于 A、B 两点． (1)求弦长|AB|； (2)求 A、B 两点坐标．
优秀课件人教版直线的参数方程(共22张PPT)
二、新课讲授
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角，
sin 要注意 把它变成 y y0 : ( x x0 ) x0, y0 都是常 cos y y0 x x0 进一步整理，得： 数,t才是参 sin cos 数 y y0 x x0 t 令该比例式的比值为t ,即 sin cos x=x0 t cos 整理，得到 (t是参数） y y0 t sin
三、例题讲解 2 例 2 例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y
M(-1,2)
O
B
x
三、例题讲解
求这条直线的方程. 解: 直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 )
求这条直线的方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则 （x, y) ( x0 y0 ) ( x x0 , y y0 ) M 0M 设 e是直线l的单位方向向量，则 y M(x,y) e (cos ,sin ) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t R, M0(x0,y0) 使M 0 M te,即 ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) e x x0 t cos , y y0 t sin 所以 即，x x0 t cos , y y0 t sin (cos ,sin ) 所以，该直线的参数方程为 O
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
选修4-4直线的参数方程优秀课件
设直线 l的倾斜角为 ，定点 M 0、动点 M的坐标 分别为 ( x0 , y0 )、 ( x, y )
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ？
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标？
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A，B所对应的参数 t1，t 2 ?
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 （ 2 ）t 2
四、课堂小结
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABO 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ？
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标？
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A，B所对应的参数 t1，t 2 ?
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 （ 2 ）t 2
四、课堂小结
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABO 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
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x2 2 4．求经过点(1,1)，倾斜角为 120° 的直线截椭圆 ＋y ＝1 所 4 得的弦长．
解：由直线经过点(1,1)，倾斜角为 120° ，可得直线的 1 x＝1－2t， 参数方程为 y＝1＋ 3t 2
(t 为参数)，代入椭圆的方
1 2 1－ t 2 3 2 程，得 ＋(1＋ t) ＝1， 4 2
所以直线被椭圆所截得的弦长为
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(1)写出直线 l 的参数方程． (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、 B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程；(2)充分利用参数几何意义求解．
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[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为 ， 6
π x＝1＋tcos6 ， ∴直线的参数方程为 y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t 2
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理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的 几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参 数t的绝对值是解决此类问题的关键．
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π 1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝ ，求此直线与直线 3x＋ 4 2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
x＝3＋ 解：设直线的参数方程为 y＝4＋ 2 2 得 3(3＋ t)＋2(4＋ t)＝6. 2 2 11 2 解得 t＝－ ， 5 ∴|MP0|＝|t|＝ 11 2 . 5 2 t， 2 2 t， 2
为所求．
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(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1＋ t1,1＋ t1)，B(1＋ t2,1＋ t2)， 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2 ＋( 3＋1)t－2＝0， 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. ①
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
为所求．
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(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1＋ t1,1＋ t1)，B(1＋ t2,1＋ t2)， 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2 ＋( 3＋1)t－2＝0， 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. ①
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1．直线的参数方程 (1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数为 x＝x ＋tcos α 0 (t 为参数) y＝y0＋tsin α (2)由 α 为直线的倾斜角知 α∈[0，π) 时，sin α≥0.
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2．直线参数方程中参数t的几何意义 参数t的绝对值表 示参数t所对应的点M到定点M0的距离 ． (1)当M0M―→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取 正数 ． (2)当M0M―→与e反向时，t取 负数 ，当M与M0重合时， t＝ . 0
所以直线被椭圆所截得的弦长为
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求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求
出交点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义 即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．
返回
π 3．直线 l 通过 P0(－4,0)，倾斜角 α＝ ，l 与圆 x2＋y2 6 ＝7 相交于 A、B 两点． (1)求弦长|AB|； (2)求 A、B 两点坐标．
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[例1]
已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在
直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)的距 离． [思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进
2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
(*)
由韦达定理得：1 x2 1，x1 x2 1 x
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
3 5 3 5 1 5 1 5 y1 ，y2 由(*)解得：x1 ，x 2 2 2 2 2 1 5 3 5 1 5 3 5 记直线与抛物线的交点 A( 坐标 , )，B( , ) 2 2 2 2
x x0 t cos （t为参数） y y0 t sin
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角， 求这条直线的方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则
x
x 3 t sin 200 （）直线 1 （t为参数）的倾斜角是（ ） B 0 y t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600
一、课题引入
我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: y y0 k ( x x0 )
y y1 x x1 两点式: y2 y1 x2 x1
y kx b
x y 1 a b
一般式: Ax By C 0
y2 y1 k x2 x1
tan
二、新课讲授
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角， 求这条直线的方程. 解: 直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 ) sin 要注意: 把它变成y y0 ( x x0 ) x 0, y0 都是常 cos y y0 x x0 进一步整理，得： 数,t才是参 sin cos 数 y y0 x x0 t 令该比例式的比值为t ,即 sin cos x=x0 t cos 整理，得到 (t是参数） y y0 t sin
直线的参数方程 课件
当 θ＝π2时，|AB|min＝ 2，当 θ＝0 时，|AB|max＝2 2.
(2)∵t1t2＝－cos2θ＋12sin2θ＜0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴y1＝t1sin θ，y2＝t2sin θ，S△AOB＝12|OF|·(|y1|＋|y2|)＝12×1·|t1－t2|·sin θ＝1＋2ssiinn2θθ＝
【例题 1】 (1)化直线 l1：x＋ 3y－1＝0 的方程为标准形式的参数方程(参数为 t)，
并说明 t 和t的几何意义；
(2)化直线 l2的参数方程xy＝＝－1＋3＋3tt， (t 为参数)为普通方程，并说明t的几何意义．
• 思维导引：求直线的参数方程首先确定定点， 再确定倾斜角．化参数方程为普通方程关键 在于消参．
解析：(1)令
y＝0，得
x＝1，所以直线
l1
过定点(1,0)，斜率
k＝－
1 ＝－ 3
33，设倾
斜角为 α，tan α＝－ 33，α＝56π，∴cos α＝－ 23，sin α＝12.所以 l1 的参数方程为
x＝1－ 23t， y＝12t
(t 为参数)．t 是直线 l1 上定点 M0(1,0)到直线上任意一点 M(x，y)的有
(2)∵P 在 C1 上，将xy＝＝－3＋1＋tsintcαo.s α， 代入方程 x2＋y2－2x－2y＝0 得 t2－4(cos α
－sin α)t＋6＝0， 设点 B，D 对应的参数分别为 t1，t2. 则|PB|＝|t1|，|PD|＝|t2|，又 t1t2＝6，∴|PB|·|PD|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝6.
α，
(t 为参数，0≤α≤π)，
以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝
(2)∵t1t2＝－cos2θ＋12sin2θ＜0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴y1＝t1sin θ，y2＝t2sin θ，S△AOB＝12|OF|·(|y1|＋|y2|)＝12×1·|t1－t2|·sin θ＝1＋2ssiinn2θθ＝
【例题 1】 (1)化直线 l1：x＋ 3y－1＝0 的方程为标准形式的参数方程(参数为 t)，
并说明 t 和t的几何意义；
(2)化直线 l2的参数方程xy＝＝－1＋3＋3tt， (t 为参数)为普通方程，并说明t的几何意义．
• 思维导引：求直线的参数方程首先确定定点， 再确定倾斜角．化参数方程为普通方程关键 在于消参．
解析：(1)令
y＝0，得
x＝1，所以直线
l1
过定点(1,0)，斜率
k＝－
1 ＝－ 3
33，设倾
斜角为 α，tan α＝－ 33，α＝56π，∴cos α＝－ 23，sin α＝12.所以 l1 的参数方程为
x＝1－ 23t， y＝12t
(t 为参数)．t 是直线 l1 上定点 M0(1,0)到直线上任意一点 M(x，y)的有
(2)∵P 在 C1 上，将xy＝＝－3＋1＋tsintcαo.s α， 代入方程 x2＋y2－2x－2y＝0 得 t2－4(cos α
－sin α)t＋6＝0， 设点 B，D 对应的参数分别为 t1，t2. 则|PB|＝|t1|，|PD|＝|t2|，又 t1t2＝6，∴|PB|·|PD|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝6.
α，
(t 为参数，0≤α≤π)，
以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝
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O
x
x x0 t cos, y y0 t sin
即，x x0 t cos, y y0 t sin
3
直线的参数方程(标准式）
直
线
的
参
数
方
程xy
x0 y0
t t
cos sin
(t为
参
数)
思考：
（1）直线的参数方程中哪些是常量？哪些是变量？ （2）参数t的取值范围是什么？ （3）该参数方程形式上有什么特点？
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
8
（1）如何写出直线l的参数方程？
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
（3）
AB、MA
MB
与t1，t
有什么关系？
2
9
10
···· y
B A M（x，y）
M0（x0，y0）
x
y
x0 y0
t cos t sin
(t是参数）
O
x
•t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
4
（1）
直
线
x y
3 t sin20（0 t为 t cos 200
参
数
）
的
倾
斜
角
是
（B）
A.200 B.700 C .1100 D.1600
（2） 直 线x
y
1
x 1
0的
一
个
参
数
方
程
是
y
2 2
2
t
Hale Waihona Puke 2 （t为参数）t。
5
uuuuuur r 由M0M te, 你能得到直线l的参数方程中
•t只有在标准式中才有上述几何意义
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参 数值分别为t1,t2.
（1）|AB|＝t1 t2
（2）M是AB的中点，求M对应的参
t1 t2 2 11
小结:
1.直线参数方程的标准式
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
|t|=|M0M|
2.参数直线方程的应用
参数t的几何意义吗？
uuuuuur r uuuuuur r
解: Q M0M te M0M te
r
r
y
又Q e是单位向量， e 1
M
uuuuuur r M0M t e t
所以,直线参数方程中参 数t的绝对值等于直线上 动点M到定点M0的距离.
M0
r e
O
x
|t|=|M0M|
6
uuuuuur r Q M0M te
直线的参数方程
1
课题引入
1. 在平面直角坐标系中，确定一条直线的几 何条件是什么？
一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线
3. 根据直线的这个几何条件，你认为应当怎 样选择参数？
直线的参数方程 的推导
2
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
在直线上任取一点M(x,y),则
uuuuuur
M
求（线段）弦长
12
作业：
书面作业：习题2.3 第1题
课后思考：结合课本第26页习题第2题，思考：直线的 参数方程唯一吗？和本节课所学的参数方程
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
对比要注意什么？参数t的意义还一样吗？
13
AB 1 k2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 2 5 10
由(*)解得：x1
1 2
5 ，x2
1 2
5
y1
3 2
5 ，y2
3 2
5
记直线与抛物线的交点坐标A( 1 5 , 3 5 )，B( 1 5 , 3 5 )
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
此时,若t>0,则 M0M 的方向向上;
若t<0,则 M0M 的点方向向下; 若t=0,则M与点M0重合.
y M(x,y)
r M0(x0,y0) e
O
x
7
解
：
由
x y
y x2
1
如0 果得在：x学2 习x 直1 线0 的参(数*) 方程之前,你会怎样
由韦达求定解理得本：题x1呢 x？2 1，x1 x2 1
0
M
r
（x,
y)
(
x0
y0
)
(x x0, y
y0 )
设re是直线l的单位方向向量，则
e (cos,sin )
y
M(x,y)
er(cos , sin )
uuuuuur r
因为uuuMuuu0rM
// e,所以存在实数t r
R,
使M0M te,即
M0(x0,y0)
(x x0, y y0) t(cos,sin)