浅谈数学中的对称美
数学的对称美感悟
数学的对称美感悟数学的对称美，是一种深邃而独特的审美体验，它超越了表面的形式美，深入到数学结构的内核，揭示了自然界的内在规律和秩序。
在数学的世界里，对称美不仅体现在几何图形的对称性上，更体现在代数、数论、分析等多个分支中。
通过对称美，我们可以更深入地理解数学的本质，感受数学的魅力。
在几何学中，对称美是最为直观和显著的。
从简单的平面图形如正方形、圆形，到复杂的三维立体如球体、圆柱体，都展现了对称性的美感。
这些图形具有一种天然的平衡感，使人感到和谐与稳定。
当我们观察这些图形时，会被它们的美所吸引，进而想要探索它们的性质和规律。
这种探索过程不仅让我们更深入地了解几何学的知识，也让我们感受到数学对称美的魅力。
除了几何学，代数中的对称美也同样令人叹为观止。
在代数方程中，我们常常可以看到对称性的存在。
例如，二次方程的求根公式就体现了对称美。
通过公式，我们可以发现两个根之间的对称性关系，这种对称性不仅使得方程的求解更加简便，也让我们对代数方程有了更深入的理解。
此外，在矩阵运算、群论等代数分支中，对称性的概念也得到了广泛的应用和体现。
数论中的对称美则更加隐晦而深刻。
在数论中，我们经常遇到一些具有对称性的数列和公式。
例如，斐波那契数列就是一个典型的例子。
这个数列中的每一项都是前两项的和，而当我们从后往前看时，这个规律依然成立。
这种前后对称的特性使得斐波那契数列具有一种独特的美感。
此外，在数论中的许多定理和公式中，我们也可以看到对称性的存在，这些对称性不仅使得定理的证明更加简洁，也让我们对数论有了更深入的认识。
在分析学中，对称美同样得到了充分的体现。
微积分中的许多定理和公式都具有对称性。
例如，泰勒级数展开式就是一种对称性的体现。
通过将函数展开为无限级数，我们可以发现级数的每一项都与其对称项具有相同的形式和性质。
这种对称性不仅使得级数的计算更加简便，也让我们对函数的性质有了更深入的了解。
此外，在复变函数、傅里叶分析等领域中，对称性的概念也得到了广泛的应用和体现。
数学之美内容
“数学之美”的内容
以下是关于“数学之美”内容的描述：
1.数学的对称之美。
在数学中存在着各种形式的对称性，这种对称性可以体现在数学对象
的结构、性质和关系中。
数学中的对称美具体体现为：数学的几何对称美、数学的代数对称美和数学的组合对称美。
这些对称之美不仅有助于我们解决问题，还能够揭示数学对象之间的联系和结构。
2.数学的简洁之美。
数学的简洁之美来源于其简洁而优雅的表达方式、精炼的推理和符号
表示。
数学的简洁美不仅使得数学理论更加易于理解和应用，也给人一种审美上的享受。
如数学中的公式和方程往往以简洁明了的形式来表达复杂的数学关系；数学中的定理和证明也往往具有简洁而优雅的特点。
3.数学的抽象之美。
数学的抽象之美源于其超越具体对象和情境的能力，以及抽象化的思
维和符号系统。
如数学中的概念和理论往往能够超越特定的对象和情境，通过引入符号和符号系统，将复杂的数学概念和关系抽象化，使得数学思维更加灵活和高效。
数学的抽象之美常常会启发人们对世界的深入思考，推动人类创造力的发展。
论数学的对称美在数学学习中的意义
论数学的对称美在数学学习中的意义数学作为一门科学，具有许多独特的美学特征。
其中，对称美是数学中一种重要的美学概念。
对称美在数学学习中起着重要的作用，使学生更好地理解数学概念和解决问题。
本文将从几何、代数和数论等多个角度讨论数学的对称美在数学学习中的意义。
首先，几何中的对称美是最容易被人们所感受到的。
对称在几何学中有不同的形式，包括镜面对称、旋转对称和轴对称等。
当学生学习几何时，对称美可以帮助他们更好地理解并应用几何知识。
例如，对称美可以帮助学生发现图形中的特殊性质，如等边三角形和等腰三角形等。
同时，通过对称性质的分析，学生可以更好地解决一些几何问题。
例如，在解决判断正方形问题时，学生可以利用正方形的对称性质进行推理和证明。
因此，通过对称美的引入，几何学习不仅可以提高学生的空间想象力，还可以激发他们的逻辑思维能力。
其次，代数中的对称美也会对数学学习起到积极的影响。
在代数学习中，对称美体现在多项式、函数和方程等数学工具中。
多项式的对称性质可以帮助学生更好地理解多项式的运算和因式分解。
例如，学生在学习多项式乘法时，可以通过对称性质将多项式乘法简化为更简单的运算。
同时，对称美还可以帮助学生更好地理解函数的对称性质。
例如，奇函数和偶函数通过对称轴的不同位置展现了数学中的对称美。
这些对称性质不仅可以帮助学生更好地理解函数的性质，还可以在解决一些函数方程时提供思路和方法。
因此，代数中的对称美有助于学生更系统地学习和应用代数中的知识。
此外，在数论中，对称美也起到了重要的作用。
数论是研究整数和整数性质的学科，对称美在数论中体现为数字和数学结构的对称性质。
数论中的对称美可以帮助学生更好地观察和理解数字的性质。
例如，学生在学习质数时，可以通过观察质数的对称性质来判断质数的特性，提高判断质数的效率。
此外，对称美还可以帮助学生更好地理解数学运算和数学结构。
例如，学生可以通过对称美来观察和理解数列和序列的性质，如等差数列和等比数列等。
对称美在高等数学中
对称美在高等数学中提要对称美是数学美的一个重要组成部分，它普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支。
本文讨论数学中的对称美，并给出了对称美在高等数学解题中的应用。
关键词：数学美；对称美；对称性引言古希腊哲学家、数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的显现，是自然美的客观反映，是科学美的核心。
数学美的内容十分丰富，对称美是数学美的一个重要组成部分，它普遍存在于数学的各个分支。
一、数学中的对称美（一）代数中的对称美。
对称是代数中随处可见的现象。
譬如，实数a与-a互为相反数，复数a+bi与a-bi互为共轭复数，导数的运算法则，（u+v）'＝u'+v'，（uv）'＝u'v+uv'，这些有着明显的对称性。
还有，原函数与反函数的图像关于直线y=x对称，偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称，都给人以赏心悦目之感。
例1古人发现的“杨辉三角”，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
11112113311464115101051……它具有的性质：（1）每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。
（2）第n行的数字个数为n个。
（3）第n行数字和为2（n-1）。
（4）每个数字等于上一行的左右两个数字之和。
可用此性质写出整个杨辉三角形。
“杨辉三角”形式上所具有的对称美和谐统一，令人叹为观止。
例2似乎黄金分割点（在?棕＝0.618处）不是对称点，但若将左端点记为a，右端点记为b，黄金分割点记为c，则■=■，而且c关于中点的对称点d也是ab的黄金分割点，因为■=■，再进一步，d又是的黄金分割点，c是db的黄金分割点。
由此讨论下去，可以视为一种连环对称。
（二）几何中的对称美。
几何图形的对称美是对称美最通俗、最直观的解释。
在几何图形中，平行四边形是中心对称的，等腰三角形是轴对称的，球形最为特殊，它既是中心对称，又是轴对称，也是面对称的图形。
数学中的对称美
数学中的对称美数学的对称美分为两种：一种是数〔式〕的对称性美，要紧表达在数〔式〕的结构上，例如，加法的交换律a+b=b+a，乘法的交换律ab=ba，a与b的位置具有对称关系，然而能够变化的，变化的结果与原来的位置反而形成一种整齐的美感、均衡感，简洁明快，一目了然，从而显示了它的神奇感、奇妙感。
另一种是图形的对称性，整体美、简洁美，图形的对称是指组成图形的部分与部分之间、整体与整体之间的一种统一和谐关系。
例如轴对称图形和中心对称图形等，这些图形匀称美观，因此在日常生活中用途特别广泛，许多建筑师和美术工作者常常采纳一些对称图形，设计出漂亮的装饰图案。
倒影对称的建筑物，对称的图案，是随处可见的。
绘画中利用对称，文学作品中也有对称手法。
在数学中那么表现在几何图形中有点对称、线对称、面对称。
在几何图形中对称的图形给人以美的享受，而不对称的现象中同样存在着美，这确实是黄金分割的美或者更深层次的对称美。
如：一条线段关于它的中点对称，这条线段假设左端点的坐标为0，右端点的坐标为1，那么中点在0.5处。
又如：大概黄金分割点〔在0.618处〕不是对称点，但假设将左端记为A，右端记为B，黄金分割点记为C，那么AC2=AB·BC而且C关于中点的对称点D也是AB的黄金分割点，因为，再进一层看，D又是AC的黄金分割点；C是DB的黄金分割点。
类似地一直讨论下去，这可视为一种连环对称。
现在，设计师和艺术家们差不多利用这一规律创造出了许多令人心碎的建筑和无价的艺术珍宝。
在中学数学中，有关数与形的对称现象极为常见，这种对称有的是形象的，有的是抽象的观念和方法上的对称。
等边三角形是关于它的每条高线的轴对称图形，平行四边形是关于它的两条对角线交点的中心对称图形。
圆锥、圆柱、圆台是关于它的轴截面的对称图形。
代数中常利用来构造一元二次方程，几何中常利用对称思想添加辅助线，数学的对称美已成为人们研究解决问题的重要思想方法，它的作用越来越显得重要。
数学对称之美的论述
数学对称之美的论述
数学对称之美
数学被誉为是“至高无上的艺术”，其中最独特的地方有很多，其中最突出的
是它的对称美。
对称性是数学共性，在数学中，它能够跨越人类普通认知，找到一种纯净又超越性的情感美。
其实，在现实世界中，对称性也一直存在，我们身边的生活环境和自然景观当中，几何形状的简单对称给人们的非凡感觉，让人们陶醉其中，而在数学里，对称性发挥出更加固有的美感。
在数学中，许多定理和公式都是以对称的形式存在的，它们依靠简单的机制定
义了宇宙的基本规律，从无限小到无限大，都可以归结为一种统一的形式。
比如，傅立叶定理、克拉里克定理，这些定理都是以符号和数学语言表达出来的，它们把普通认知所无法概括的宇宙现象转化成一种精致表达，不仅数学公式本身具有美感，它们也就构筑了复杂并且却又达到完美状态的宇宙体系中。
数学中的对称之美体现在它的坚定性和完美性。
一个好的数学理论，它的完整
性有时候会达到一种无可比拟的完美，以至于研究者会为自己探索出的这种完美而兴奋不已，深感无言的美妙。
数学的纯净又超越性的美可以让人们进入一种普通意识无法体会到的新宇宙，
也让人们走进未知的深渊，直至实现自身能力的升华和精神境界的提升。
对数学而言，对称之美可谓是内在的魅力，是推动人类文明向前发展的根本驱动力。
浅谈数学中的对称美及其应用
专题研究ZHUANTI YANJIU员缘源 数学学习与研究 2016.21◎董晓萌 李 珣 (渭南师范学院 数理学院,陕西 渭南 714099)【摘要】本文主要讨论在数学现象中的对称美,比如:数字,图形和公式的对称美等,及其在数学中的应用以及作用,对称也是连接代数与几何的关键,使代数与几何达到了完美的统一.通过学习数学中的对称美,可以增强发散性思维,并且开拓在解决数学问题中的基本思路与方法.【关键词】对称美;几何;代数;发散性思维对称,是指图形或物体对某个点、直线或平面而言,在大小、形状和排列上具有一一的对应关系,其最直观的表现就是图形的部分重叠或重合[1].对称性在数学中有非常普遍的应用,利用对称的思想来解决数学问题可以起到事半功倍的效果,对称美更是数学美中不可忽视的一部分.一、数学中对称美的基本内容及表现形式对称性在数学中也是普遍存在的,数学美是现实空间自然美的一种体现,是一种特殊的美,也具有其他科学不具有的抽象美,更是一种科学美[2].数学的美是一种天生的、协调的美,也是一种抽象的、严谨的美.这些数学美的特征:奇偶性、单调性、奇异性等等,体现在数学语言,数学理论知识,数学的定理公理公式,数学的方法技巧,以及数学在生活实际中的作用和应用.其中对称美,却是最简洁、最能给予人美感的一种体现形式,它展现了数学中的部分与部分、部分与整体之间的联系和统一,把各种数学概念和理论联系起来.对称性在数学中的具体表现为:数字的对称,图形的对称,形式或结构的对称等等.因而,对称美成为数学美中必不可少的一部分,对称性更是数学中的一种重要思想和方法,所以对称美普遍存在于数学科学中,甚至在其他自然科学及人文科学中也处处蕴含着对称的美及对称的重要作用.数学中的对称美的主要表现形式体现在图形的对称美,数字的对称美,公式的对称美,以及形式或结构的对称等方面.如果一个整数,它的每一位数字都是关于左右对称的,那么称这个数是对称数,也可以称这个数为回文数.比如121,12321,1234321等等;由于图形的对称美,代数学才得以发展和进步,更是成为一门学科.若一个图形的对称轴越多,那么这个图形就越完整,越完美;在一些数学公式中,对称美也是无处不在的.比如,加法和乘法的交换律、分配律,a +b =b +a ,ab =ba ,(a +b )c =a ×c +b ×c 等.代数中的平方差公式a 2-b 2=(a -b )(a +b ),完全平方和公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2等;且有结构的对称美,如二项式定理(a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +…+C k n a n -k b k +…+C n n b n及杨辉三角形,是二次项系数在三角形中的一种几何排列.二、对称性在数学中的应用对称不仅给人以美感,且在数学各学科中有更广泛地应用,在代数学、方程、几何及微积分解题过程中运用对称的思想,可以使问题化繁为简[3].如解方程就是运用了对称的方法,即给等式的两边同时加上一个数或者式子,等式还是相等的,这就是对称的思想;对称性在数学几何中的体现最为直观,例如圆,球,抛物线,双曲线,都是有着很直观的对称性,运用对称的思想更是可以直观地得出结论或者结果;对称在微积分解题过程中的应用,通过具体的问题来说明.(一)对称性在微分学中的应用设函数解析式u =1x 2+y 2+z 2,证明∂2u ∂x 2+∂2u∂y 2+∂2u∂z 2=0. 分析:先是关于u 对于x 求导得出∂u∂x,然后再对于x 求导得出∂2u∂x 2,同理得出∂2u ∂y 2和∂2u ∂z 2,因为x ,y ,z 是关于自变量对称的,所以只需算出一个即可证明.(二)对称性在积分学中的应用对称性在积分学中有着重要的应用,且有如下结论:命题一:设f (x )在[-a ,a ]上连续,(1)若f (-x )=-f (x ),则有∫a-af (x )d x =0;(2)若f (-x )=f (x ),则有∫a-af (x )d x =2∫af (x )d x.命题二:如果有一个积分区域D ,并且这个区域D 是关于x 轴对称的,而且f (x ,y )在D 上也是连续的,则(1)若f (x ,-y )=-f (x ,y ),则有∬Df (x ,y )d σ=0;(2)若f (x ,-y )=f (x ,y ),则有∬Df (x ,y )d σ=2∬D 1f (x ,y )d σ,其中D 1是D 中对应于y ≥0的部分,即D 1={(x ,y )∈D |y ≥0}.三、结 论对称不仅给人以直观美的享受,更是一种重要的数学思想,数学思维模式和方法[4].在数学解题过程中利用对称关系,也是常用的一种解题技巧.用对称的思想和思维解题,可以使问题简单、明了化,可以将抽象问题具体化,从而降低解题的难度,达到事半功倍的效果,更重要的是可以培养学生的发散性思维,展现数学中的自然美,加深学生对数学对称方法和应用技巧的理解,提高学生的数学思维和数学应用能力.【参考文献】[1]夏向阳.数学的对称观及其在教学中的应用[J ].数学学报,2010(8):75-77.[2]陈攀.浅论数学中的美[J ].数学理论与应用,2009(5):9-13.[3]吴振奎,刘舒强.数学中的美—数学美学初探[M ].天津:天津教育出版社,1997:35-48.[4]陈自高.数学中的对称美与应用[J ].科学教育论坛,2006(5):242-254.. All Rights Reserved.。
数学中的数学之美
数学中的数学之美数学，作为一门古老而又深奥的学科，一直以来都给人们带来无尽的探索和惊喜。
在数学的世界中，有着一种特殊而又独特的美感，被称之为“数学之美”。
这个概念源自于数学家吴军的著作《数学之美》，它揭示了数学与现实之间的美妙联系和奇妙的智慧。
本文将探讨数学中的数学之美，并举例说明其在几个重要数学领域的应用。
一、对称美数学中的对称美是数学之美的一种表现形式。
数学中的对称以及对称性在整个自然界都有着广泛的应用。
在几何中，我们可以看到各种各样的对称图形，如正方形、圆和螺旋线等。
而对称性的思想则进一步应用到代数中，如群论、格论等领域。
二、简洁美数学中的简洁美是指数学概念和原理能够用简洁而优美的方式表达出来。
数学家们通过推理和证明，将复杂的数学问题转化为简单的公式和方程，使得数学问题更具可读性和可解性。
例如，欧几里得几何学的五条公理，以及爱因斯坦的质能方程E=mc²，无一不展示着数学中的简洁美。
三、深邃美数学中的深邃美是指数学中的某些理论和定理能够揭示出人类观察和思考所无法达到的深邃世界。
高维几何、复数理论以及数论等领域都体现了这种深邃美。
例如，费马大定理和哥德巴赫猜想，这些问题困扰数学家数百年之久，却也催生出了一系列重要的数学发现和创新。
四、普适美数学中的普适美是指数学在各个学科和领域中都具有普适性和广泛的应用。
数学无处不在，从物理学到化学，从经济学到生物学，数学都能够为这些学科提供理论基础和工具方法。
例如，微积分的发展为物理学和工程学等提供了核心的数学工具，线性代数和概率论则为计算机科学和统计学等领域提供了基础。
总的来说，数学中的数学之美包含了对称美、简洁美、深邃美和普适美等多个方面。
这些美感在数学领域中的应用和发展中起到了重要的推动作用。
同时，数学之美也激发和启迪了人们对数学的兴趣和热爱，促进了数学教育和研究的发展。
数学，作为一门独特的语言和思维方式，不仅仅存在于数学书籍和公式中，更贯穿于人类的思维和生活的方方面面。
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题目：浅谈数学中的对称美
目录
摘要 (3)
一．数学中对称美的概念 (3)
二．数学中对称美的形式 (3)
三．数学中对称美的应用 (4)
四．总结 (5)
五．致谢 (6)
六．参考文献 (6)
浅谈数学中的对称美
摘要
对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中。
在数学史上，数学美是数学发展的动力。
本文通过对这些知识点中的对称进行阐述，逐步发展数学思维.，提高解题效率。
生活中具备对称美的事物很多，如车轮、雪花、桥梁等，而对称本身就是一种和谐美。
在数学领域中也十分常见，如：我们常见的轴对称图形、函数、数列、矩阵等。
我们应在掌握对称这一基本原理的基础上找到事物之间的内在统一性，并用数学的思想去内化这一原理，就会发现对称美在艺术和自然两方面都有重大意义，它是一个广阔的主题，数学则是它根本，美和对称紧密相连。
关键词：对称美数学美对称变换
一、数学中对称美的概念
对称指物体或图形经过某种变换（如旋转、平移、对折等）其相同部分完全重合或有规律的重复的现象。
山川、河流、树木等，在严格意义上来讲都是不对称的。
然而，将研究对象扩大到整个地球、星系、宇宙，抑或缩小至晶体、分子、原子，世界又都是对称的。
可以这么说，在与我们生活大致相同的尺度内，不对称属于自然界，而对称属于人类，是一种创造出来的人文之美.这些人文之美在初中的知识中有很多的体现.。
二．数学中对称美的形式
图形中的对称美
图形的对称往往以及其直观的形式呈现在人们的眼前，展现对称性的根本就是点的对称、线的对称。
在此基础上衍生出线段的平分，角的平分线;平面图形：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形、矩形、正方形、正多边形、圆。
立体图形：长方体、正方体、圆台、正棱锥、正棱柱等。
其中都有对称性的具体表现，轴对称和点对称赋予了它们美观，所以数学是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的。
美丽的图画，给人以享受，被数学的魅力感动，使得轴对称图形在人的头脑中留下美的印象。
三、数学中对称美的应用
数学对称美在数学公式中的应用
很多数学公式中的字母是对称的，地位是平等的①，如数的加法与乘法通过运算形成对称，幂运算中形成的对称及三角函数中形成的对称：
a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c），（ab）^n=a^n+b^n，（a+b）^2=a^2+2ab+b^2，（a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^3+b^3,lg(ab)=lg（a）+lg(b)
sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)
数学对称性在几何中的应用
在几何中，我们利用数学中的对称性，建立适当的坐标系，可以使运算更加简单
Y Y
X
图1 图2
图1任意建立坐标系，图2取两点F1和F2所在直线为X 轴，线段F1，F2的垂
直平分线为Y 轴，建立直角坐标系
比较之下，我们发现，图1让我们无头绪，图2中，我们看到了图形的对称美，
萌发了解题的思路。
设F1（-C,0）.F2(C,0),M(x,y)为椭圆上的任意一点，由定
义可以得到曲线的方程X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0),在三维立体空间中，我们
将图2中的椭圆绕X 轴旋转得到长方形旋转椭球面。
而在方程X^2/α
^2+y^2/b^2=1（a>0,b>0）中保留坐标X 轴不变，用+/－√y^2+z^2代替y,便得
椭圆绕X 轴旋转的曲面方程：X^2/a^2+y^2/b^2+z^2/b^2=1.由此可见，数学中的
对称性不仅推动了数学的发展，而且使数与形结合的更紧密。
图形对称美在数的应用
对称数可以分为奇位对称数和偶位对称数，奇位对称数是指位数是奇数的对
数，偶位对称数是指位数是指位数是偶数的对称数②。
产生对称数的方法：
（1）形如…的数的平方数是对称数，如：
1×9+2=11
12×9+3=111
…………………
9×9+10=11
(2)某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和它逆序数相加，连续进
)0,(11C F )0,(2
C F X
行去，也可以得到对称：
475
475+574=1049
1049+9401=10450
10450+05401=15851
15851也是对称数
美的主要形式就是秩序，匀称和确定性，数学与美学是紧密联系，相辅相成。
数学对称美在轴对称图形中的应用
根据轴对称图形的一半和对称轴可以精确的画出轴对称图形的另一半图形，这是在教学了解轴对称图形后常见的习题。
在数学中，轴对称图形为人们研究数学提供了启示。
在桌面上有21个棋子，排成一排，你一次可以拿一粒也可以拿两粒棋子，甚至可以拿三个棋子。
想拿哪里的棋子都可以，不必按顺序拿，但拿两粒或三粒棋子时必须是相邻的。
问：“两人轮流拿谁拿到最后一粒谁赢，你如果先拿能保证赢吗”，这题看上去挺复杂，其实运用对称原理就非常简单，先拿的人只要先拿走中间一粒，即第十一粒棋，这样对方拿左边的棋子，你就拿右边的棋子，并且个数和位置和他对称，如果对方拿右边的棋子，你就则拿左边的棋子，总之只要保持左右两边的棋子剩下的个数和位置一样，只要他有的拿，你也有的拿，因此最后一粒必然落入你手中，因此先拿必胜，如果棋子是20粒(偶数个）你就先拿中间的两粒，让左右两边各剩9粒棋子，这样你就必胜。
四．总结
对称美是数学美的重要特征之一，我们应该更加深刻的去理解数学，学好数学，从而体会到数学中存在的美。
致谢
感谢四川工商学院经济管理系沈艳霞老师对本文章的指导，我将在今后的学习中继续加强学习研究，努力提高专业知识水平。
参考文献
①顾沛数字文化在数学中的应用《数字文化》2014年8期第264页高等教育出版社
②钱双平对称性在高等数学解题中的应用《中国远程教育》2013年10期第40页云南电大学报。