第二章矩阵分解3_矩阵的最大秩分解资料
矩阵论最大秩分解
。由
，所以
。从而 可逆。同理可证 (b)
是正定矩阵,所以 可逆。
，
。令
，
，
则
。从而
,则 (c) 由于
,注意到 ,所以(i)成立. ,所以
，记
注 1 矩阵的最大秩分解
不唯一，
但是矩阵
是唯一
的，它在后面要讲的广义逆中有重要作用。
注 2 若矩阵的最大秩分解
中的
满足
，则称这种最大秩分解为 QR
分解，且记
的
解,即
。
定理 2 设
，
。则可Βιβλιοθήκη 将 做满秩分解(或称最大秩分解)，
。其中
，且
，即 是列满秩的， 是
行满秩的．
证明 对 作初等行变换化为行最简形式 ，
令
，则
。取
为 的前 r 行所构成的矩阵，即
则
。下面验证
事实上，易见 的任一列向量 均可由 表示出来，且表示系数为 的第
j 个列向量 ，即
，从
而
由引理知道
第十三讲 主要内容：矩阵的最大秩分解，QR 分解
6.3 矩阵的最大秩分解
定理 1 设
,
,则可经过有
限次初等行变换把 化为行最简形式
其中
， 号的元素
可以不为零， 的第 个列向量为
，第 i 个元素为 1，
.
引理 分块矩阵
经过一次
初等行变换后化为矩阵
，
则 证明
,其中 是相应的初等矩阵. ，而
。由初等变换不改变方程组
。矩阵的 分解总是存
在的，事实上对最大秩分解
的矩阵
的列向量组实事 Gram‐Schmidt 正交化得
矩阵的满秩分解知识讲解
矩阵的满秩分解§4.3矩阵的满秩分解本节讨论一个n m ⨯复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。
定义4.3.1设n m ⨯复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得FG A =，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。
当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。
定理4.3.1设n m ⨯复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解。
证：因为0>=r rankA ，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0G B ， 其中G 为n r ⨯矩阵，并且0>=r rankG ；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积，记作P ，有B PA =，或者B P A 1-=，将矩阵1-P 分块为()S F P =-1 ，其中F 为r m ⨯矩阵，S 为)(r n m -⨯矩阵，并且r rankF =，r n rankS -=。
则有()FG G S F B P A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-01 ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。
▌但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。
这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有G F G D FD FG A ~~))((1===-。
例1、 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=122211212101A 的满秩分解。
解：对矩阵A 进行初等行变换()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0111000001130200012101100122201011210012101G B I A 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30202101G 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000030202101B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111011001P ；而()S F P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1120110011，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121101F由此可见，所以有()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-12110101FG G S F B P A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-30202101。
矩阵的最大秩分解及其应用
矩阵的最大秩分解及其应用黄爱梅（01数本26号） 摘要：本文给出矩阵m nC⨯∈A 分解为两个与A 同秩的因子的积的具体方法，并讨论它的一些相关应用。
关键词：满秩分解、列满秩、行满秩、初等变换 正文：定理1：设m nrA C ⨯∈，则存在矩阵m rrB C ⨯∈，使得A BC =。
证：设()1112,A A A P =，其中11m rr A C ⨯∈，它由A 的r 个线性无关列组成，12A 为的其余n r -列所组成的矩阵。
n nn P C ⨯∈为初等列变换矩阵之积。
由于12A 的列均为11A 的列的线性组合，故存在矩阵()r n r D C⨯-∈，使得 1211A A D =于是()()111111,,r A A A D P A I D P == 令()11,,r B A C I D P == 显然有m rrB C ⨯∈,r n r C C ⨯∈且A BC =。
矩阵的这种分解，称为最大秩分解（满秩分解）定理的证明过程给出求B 、C 的方法，可归纳如下：将A 进行初等变换，化为行标准型，即将A 变为如下形式的矩阵。
001**0**0**001**0**0001**0000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦r 个元素不全为零的行其中“*”表示不一定为0的元素，在r A 中第个元素为1 外，其余的无素均为0（j r ∈）。
于是A 中12,,,r k k k 列的元素组成的阶矩阵就是B 。
而在r A 中除去下面的n r -个元素全为0行的外，所得的阶矩阵即为C 。
例1 求矩阵141362040141200112116A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥----⎣⎦的最大秩分解。
解：将A 进行行初等行变换，化为标准型04136007714000001002010020100200242401212010120213600551000112A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦即知A 的第1、2、3列线性无关，其他列可被这三列线性表示。
矩阵代数ppt课件
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个非零向量x，使得Ax = λx成立，则 称x为矩阵A的对应于特征值λ的特征 向量。
特征值与特征向量的计算
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，即通过计算A^n x来逼近Ax = λx的解。
04
矩阵分解
矩阵的三角分解
总结词
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方 法。
VS
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A 分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，即A = LU。这种分解对于解 决线性方程组和计算行列式值等数学问题 非常有用。
矩阵的QR分解
谱分解法
将矩阵A进行谱分解，即A = Σλi Pi，其中Σ为对角矩阵，λi为特征值，Pi为特征向量所构 成的特征矩阵。通过谱分解可以方便地计算出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的唯一性
一个矩阵的特征值是唯一的，但对应于同一特征值的特征向量不一定唯一。
特征向量的正交性
对应于不同特征值的特征向量是正交的，即如果λ1≠λ2，那么对应于λ1和λ2的特征向量x1和x2是正交 的。
总结词
矩阵的加法、数乘、乘法运算规则
详细描述
矩阵的加法运算规则是对应行和列的元素相加，数乘运算规则是对应元素乘以一 个常数，乘法运算规则是按照一定的规则对应元素相乘。
矩阵的逆与行列式
总结词
矩阵的逆、行列式的定义与性质
详细描述
矩阵的逆是一个特殊的矩阵，与原矩阵相乘为单位矩阵，行列式反映了矩阵的某些重要性质。
第3章 矩阵的分解
2,正规矩阵的基本特性 定理3 .78 定理3.10 (P.78 ) : A∈Cn×n正规A酉相似于对角形. 正规 酉相似于对角形.
推论:正规A 推论:正规A∈Cn×nA有n个标准正交的特征 向量构成空间C 的标准正交基. 向量构成空间Cn 的标准正交基.
定理3 11( .80 )(正规矩阵的谱分解 定理3.11(P.80 )(正规矩阵的谱分解) 正规矩阵的谱分解) Hermite A正规A有如下谱分解: 正规 有如下谱分解: 性
已知:欧氏空间中的对称矩阵A 已知:欧氏空间中的对称矩阵A可以正交 相似于对角形. 相似于对角形. 讨论:一般方阵A 讨论:一般方阵A ,在什么条件下可以 酉相似于对角矩阵? 酉相似于对角矩阵? 在内积空间中讨论问题,涉及: 在内积空间中讨论问题,涉及:
空间 Cn, Cn×n, 酉矩阵U 酉矩阵U,UHU=I, U – 1=UH U=I, 酉相似: 酉相似: UHAU=J U–1 AU=J 重点: 重点:理论结果
三角分解 满秩分解 等价标准形 相似标准形
可对角化矩阵的谱分解
一,矩阵的三角分解
方阵的LU和LDV分解 方阵的LU和LDV分解(P.61) 分解( .61
LU分解:A∈Fn×n, 存在下三角形矩阵L , LU分解: 存在下三角形矩阵L 分解 上三角形矩阵U 使得A=LU. 上三角形矩阵U ,使得A=LU. LDV分解 LDV分解:A∈Fn×n, L,V分别是主对角线 分解: 元素为1的下三角形和上三角形矩阵, 元素为1的下三角形和上三角形矩阵,D为 对角矩阵,使得A=LDV. 对角矩阵,使得A=LDV. 已知的方法:Gauss已知的方法:Gauss-消元法 例题1 .61eg1 例题1 (P.61eg1)设 2 2 3
A∈C m×n,AHA∈C n×n,AAH∈C m×m , A 都是Hermite矩阵 矩阵. 都是Hermite矩阵. 定理3 12 定理3.12(P.82)
矩阵论矩阵的分解
对称和反对矩称矩阵阵：A，T=A，则AT=A–A。可以分解为下列半正定矩阵的和。
A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH
§3.2 Schur 分解和正规矩阵
已知：欧氏空间中的对称矩阵A可以正交
相似于对角形。
讨论：一般方阵A ，在什么条件下可以
酉相似于对角矩阵？
在内积空间中讨论问题，涉及：
空间 Cn、 Cnn， 酉矩阵U，UHU=I， U – 1=UH 酉相似： UHAU=J U–1 AU=J 相似关系
在内积空间中讨论问题，涉及：
Hermite 矩阵的谱分解 矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱分解
相似于对角形。
例题3 设A Rn n，AT=–A，证明
定理3 .6（P.73）设A是秩为k的半正定的Hermite 则A的谱={ 1， 2， ， s}。
74 ）对矩阵A Cn n，存在酉矩阵U和上三角矩阵T，使得
nn LU分解：A Fn n， 有下三角形矩阵L ，上三角形矩阵U ，使得A=LU。
2 Schur 分解和正规矩阵
推论：正规AC A有个标准正交的特征向 1 常见的矩阵标准形与分解
证明：源于Schmidt正交化方法（P.
nn
量构成空间C 的标准正交基。 UHAU=T=
n
矩阵化简的方法与矩阵技术
定理3.11（P.80 ）（正规矩阵的谱分解） 1 常见的矩阵标准形与分解
方阵的LU和LDV分解（P.61）
LU分解：AFnn， 有下三角形矩阵L ，上 三角形矩阵U ，使得A=LU。
LDV分解：AFnn， L、V分别是主对角线 元素为1的下三角形和上三角形矩阵，D为 对角矩阵，使得A=LDV。
已知的方法：Gauss-消元法
矩阵的满秩分解
为 r ( B), r (C ) ≤ r ，但若 r ( B) < r 或 r (C ) < r ，则 r ( A) = r ( BC ) ≤ min(r ( B), r (C )) < r ， 矛盾！ 从定理的证明可以看出， 可以通过对矩阵进行初等变换， 化为行阶梯形矩阵， 从而得到满秩分解。先求得可逆矩阵 P ，使得 PA 为行阶梯形矩阵，再求得 P −1 ， 而后分块即可。 P 的求得很容易，只要将 ( A, I ) 化为行阶梯形矩阵，则右边的一 块即为 P 。我们也可以通过矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系来直接求得 P −1 ，好处在于可以避免复杂的求逆运算。
⎛1 0 0⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟， ⎜ −1 0 1 ⎟ A = ⎜ 0 0 −1⎟ ⎜ 2 1 −3 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎜ 2 1 −3 ⎟ ⎝ ⎠
−1
⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ 0 0 −1⎟ = ⎜1 3 1 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ = ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ ⎠ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜1 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
为满秩分解。
法二
⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1 1 0 ⎟× ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟× ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 1⎟ ⎟ ⎜ 3 ⎝ ⎠
矩阵的分解分析范文
矩阵的分解分析范文矩阵的分解分析是一种重要的数学方法，被广泛应用于多个领域，包括线性代数、数值分析、图论、统计学等。
矩阵分解可以将一个矩阵拆分成几个特定形式的矩阵相乘的形式，从而使得对原矩阵的分析更加简单和高效。
本文将从矩阵的分解基本概念开始，分析常见的矩阵分解方法，并介绍它们在实际问题中的应用。
在矩阵的分解分析中，最基本的概念是矩阵的秩。
矩阵的秩是指矩阵中的线性无关行或列的最大个数。
矩阵的秩与矩阵的特征值和特征向量密切相关。
其中，特征值是矩阵所特有的一个数值，而特征向量则是与特征值相关联的向量。
通过特征值和特征向量的分析，可以得到矩阵的谱分解，也就是将矩阵分解成特征值和特征向量构成的矩阵相乘的形式。
在实际问题中，矩阵的分解分析经常运用到矩阵的对角化。
矩阵的对角化是指将一个矩阵通过合适的相似变换（相似变换指矩阵的相似矩阵和原矩阵的乘积等于乘法交换律）转换为对角矩阵的过程。
而对于对称矩阵，可以通过正交相似变换将其对角化为对角矩阵，即正交对角化。
对称矩阵的正交对角化可以通过求解特征值和特征向量来实现，其中特征向量用来构造正交矩阵。
在实际问题中，特别是在机器学习和数据挖掘中，矩阵的分解分析被广泛应用于协同过滤推荐算法、图像处理、文本分析等领域。
其中，协同过滤推荐算法利用矩阵的分解将用户对物品的评分矩阵分解为低秩的用户矩阵和物品矩阵，从而实现个性化推荐。
图像处理中的奇异值分解可以对图像进行降噪和特征提取，从而辅助图像识别和图像分析。
文本分析中的矩阵分解可以对文档进行主题建模和文档相似性计算，从而实现对大规模文本数据的分析和处理。
总之，矩阵的分解分析是一种重要的数学方法，其应用领域广泛，如线性代数、数值分析、图论、统计学等。
通过矩阵的分解分析，可以简化对矩阵的分析和处理，从而实现对复杂问题的计算和求解。
无论是在理论研究还是在实际应用中，矩阵的分解分析都起着重要的作用，对于提高计算效率和解决实际问题都具有重要意义。
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A行
B
0
0 0
1 0 0
0 1 0
1 1 0
2
5 0
因此,这里 rankA 3 j1 1, j2 2, j3 3 ,根据定理2.8, A
的前三列组成矩阵
1 4 1
F
2 1 1
0 2 2
0
4 1
而B的前三个非零行组成矩阵
1 0 0 2 3 G 0 1 0 1 2 于是, 的最大秩分解为 0 0 1 1 5
1
A
FG
2 1 1
4 0 2 2
1 0
14
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2 1 1
3 2 5
最后需要指出, （2.40）给出的最大秩分解 A FG
不是唯一的.事实上，任取一个r阶非奇异矩阵D，则
A (FD)( D 1G) F~G~ 也是A的满秩分解。
下面将针对“行”的论述改为针对“列”，可得求的最大秩
定理2.7
设
A
C
mn r
(r
0)
,则必存在
F
C
mr和
r
G
C
rn r
,使得
A FG
证 当 rankA r 时,可通过初等行变换将A化为阶梯形矩阵B,
即存在有限个m阶初等矩阵的乘积P,使得
PA
B
GO
, G
C rn r
, 或者 A P 1B
把 P 1改写为分块阵 P 1 F
S
,F
C
mr r
,
初等矩阵P.
1 0 1. 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0
A
E
1
2
1
1
0 1 0 0
20
31
1
0
2 2 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1
最后有
1 A FG 1
2
110
1 0
0 2
1 0
2 3
求矩阵满秩分解的初等行变换法的缺点是必须求出 P和P 1 ，下面介绍一个不需求出 P和P 1简便方法.
S
C m(nr ) nr
则有 A P 1B F S GO FG
其中F是列满秩阵,G是行满秩阵.
(证毕)
这个定理的证明过程给出了求矩阵满秩分解的初等行变换法.
例:用初等行变换法求矩阵
1 0 1 2 A 1 2 1 1
2 2 2 1
的满秩分解.
解 对A E 进行初等行变换,当A变成阶梯阵B时，E就变成
列构成的矩阵. 证毕.
定理2.8所提供的求矩阵最大秩的方法,我们称为 Hermite行标
准形法.
例:用Hermite 行标准形法求矩阵 1 4 1 5 6
的最大秩分解.
A
2 1 1
0 2 2
0 4 1
0 0 1
14
1 6
解 用初等行变换将A化为 Hermite行标准形
1 0 0 2 3
j2 ,
,
jr
列为单位矩阵I
的前r列.
m
那么称B为 Hermite 行标准形.
定义2.13 称n阶矩阵 P (e j1 , e j2 , , e jn )
为置换矩阵,其中 e1 , e2 , , en 是单位矩阵的从左至右的n个
列向量, j1, j2 , , jn 是 1,2, , n 的一个排列 .
定义2.12
如果
B
C
mn r
(r
0),并且满足条件:
(1) B的前r行中每一行至少有一个非零元素,且从左到右第一个
非零元素等于1;
(2) B的后m-r行元, 素都等于零;
(3) B的第i行的第一个非零元素1位于第 ji (i 1,2, , r) 列,
j1 j2 jr ;
(4) B的
j1 ,
定理2.8
设
A
C
mn r
(r
0)的
Hermite
行标准形为B(如定义
2.12), 令A的 j1, j2 , , jr 列构成的 m r 矩阵为F,
B的前r行构成的 r n矩阵为G 则A的满秩分解为
.
A FG
证 由条件知,存在m阶可逆矩阵P,使得
PA
B
G O
,
G
C
rn r
,
或者
A P 1B
根据定理2.7 ,设 P 1的分块阵为 P 1 F
S
,F
C
mr r
,
S
C m(nr) nr
,可得最大秩分解 A FG .
设A.B的分块矩阵为 A (a1, a2 , , an ), B (b1, b2 , , bn )
,对应A的 Hermite 行标准形B,构造阶置换矩阵
P1 (e j1 , e j2 , , e jr , e jr1 e jn )
§3 矩阵的最大秩分解
前面两节介绍了n阶矩阵的几种分解，现在开始介绍几种长
方阵的分解。本节介绍矩阵的最大秩分解，它在广义逆矩阵的
讨论中是十分重要的.
定义2.11
设是一个
m
n
阶秩为r>0的复矩阵,记为
A
C
mn r
(r
0)
,如果存在矩阵
F
C
mr r
和
G
C
rn r
, 使得
A FG (2.40)
则称式(2.40)为A的最大秩分解（满秩分解）.
分H解e的rmite 列标准形法.
例:用 Herm列it标e 准形法求前例中矩阵的最大秩分解.
1 0 0 0 0
A
列
B~
0
0 1
1
0 3
0 0 0
1 3
0 0
0
0
5 10 5
因此,这里 rankA 3, i1 1, i2 2, i3 3 ,A 的前三行组成矩阵
G~
1 2
4 1 5 6 0 1 0 14
1 2 0 0 1
而B的前三个非零列组成矩阵
1 0 0
F~
0
0 1
1
0 3
0
1 3
于是, 的最大秩分解为
5 10 5
1
A
F~G~
0
0 1
0
1
0 3
0 0
1
4 1 5
6
1 3
2 1
0 2
1 0
0 0
14 1
5 10 5
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
,则有
AP1 (a j1 , , a jr , a jr1 , , a jn )
BP1
(b j1 ,
, b jr
, b jr1 ,
, b jn
)
Er O
B12 O
,
B C r(nr)
再根据 A P 1B，得
AP1 P 1 (BP1 ) F
S
Er O
B12 O
F
FB12
上式表明F是AP1的前r列构成的矩阵,即F是A的 j1, j2 , , jr