满秩分解
一种实现矩阵满秩分解的简单方法
Ｏ 引言
众 所周知 ， 一 个 矩 阵分 解 为两 个 低 阶 的 较 将 为简单 的 同秩 矩 阵的乘 积 ， 仅在理论 研究 上 ， 不 还
是 在实 际应用 （ 别 在 矩 阵广 义 逆 的计 算 ） ， 特 中 有
究．
维普资讯
第５ 期
郭 晓斌 等 ： 种 实现 矩 阵 满 秩 分 解 的 简 单 方 法 一
Ａ — ＢＤ 。
２ 方 法 的构 造
定 理 ３ 设 ∈ 是 Ａ∈ 的 Ｈｅｍｉ ｒ ｔ ｅ
其 中 Ｂ一 （ ｆ’ ２ … ， 为 Ａ∈ １ ＇ ∞ ） ｆ ｉ ｉ， ，， 向量构 成． ， … ｉ列 。
…
０
Ｏ １
Ｏ Βιβλιοθήκη Ｏ；Ｏ ０
・・ ・
０
显然 Ｒ ｎ ） ， ａ ｋ 一ｒ矩阵 有 —ｒ 为全零行． 行
即 Ｒａ ｋ Ａ ）一 ３ ｎ （ ，
其次 ， 分析 矩 阵 的 列 向 量 组 ， ， ， …
的线 性表 出关 系． 由引理 １ 在 的列 向量 组 中 ， ，
尽管利 用 ［ ］ 可 以将 求 初 等 变换 矩 阵 Ｐ， ３， Ｑ 的工作 简化 ． 其作 法是 直接 通过初 等变换
收 稿 日期 ：０ ８０—０ ２０ —５２ ．
的列 ｒ Ｎ量组 ，
一， 有完 全 相同 的线性关 系．
作 者 简 介 ： 晓 斌 （ ９ ２）男 ， 郭 １ ７一 ， 甘肃 武 都 人 ， 北 师 范 大 学 数 学 与信 息 科 学 学 院 讲 师 ， 西 主要 从 事 矩 阵理 论 及 其 应 用 研
Ｖｏ ． ２ Ｎｏ ５ Ｉ２ ．
第四章 矩阵分解
定理1.2：若 A BC B1C1 均为A的满秩分解，那么
(1)存在 CrrR , 使得B B1 , C 1C1 (2)C H (CC H )1 (BH B)1 BH C1H (C1C1H )1 (B1H B1 )1 B1H
4.2 矩阵的正交分解 （UR、QR分解）
证明：
AAH 是正规矩阵，所以存在酉矩阵使得
H U H AAH U 0
0 0
U U1 U2
U1 U mr
U2 U m( mr )
0 0
U1H H H H AA U1 U 2 0 U 2
U1H H H H AA U1 U 2 0 U 2
则称 i
i (i 1,2,, n) 为 A 的奇异值．
本书中只考虑i=1,3,…,r时非零奇异值
1 0 3 2 5 17 H A 1 1 例如，对于 ，A A 2 2 的特征值是 1 2 ， 1 1
A UR
U U rmr
R 是 r 阶正线上三角阵
推论2.2：设 A Crrn ， 则 A 可以唯一的分解为
A LU
U U rrn
L 是 r 阶正线下三角阵
mn A C 推论2.3：设 ， 则 A 可以分解为 r A U1R1L2U 2 R1 是 r 阶正线上三角阵 U1 Urmr L2 是 r 阶正线上三角阵 U U rn
nn 定理2.1：设 A Cn ， 则 A 可以唯一的分解为
A UR
A RU 1 1
nn
R 是正线上三角阵
U , U1 U
证明：
R1 是正线下三角阵
矩阵满秩分解的一些应用
矩阵满秩分解的一些应用第35卷第5期2005年9月中国海洋大学PERIoDICALoFoCEANUNIVERSITY oFCHINA35(5):761～762Sept.,2005矩阵满秩分解的一些应用姚增善,刘新国(中国海洋大学数学系,山东青岛266071)摘要:把矩阵的满秩分解用于分析广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵,得到了新的特征刻画.关键词:广义投影矩阵;Moore-Penrose广义逆;Hermite矩阵中图法分类号:O172.1文献标识码:A文章编号:1672—5174(2005)05—761—020引言首先给出有关的定义.定义1设K为7/阶复方阵,记K为矩阵K的共轭转置.(1)如果K2=K=K,则称K为正交投影矩阵;(2)如果存在/./阶方阵K,使KK及KK都是Hermite矩阵,且满足KKK=K及KKK=K,则称K为矩阵K的Moore—Penrose广义逆.Moore-Penrose广义逆和正交投影矩阵都是代数学中的基本概念.前者在最zb--乘法等问题中有许多应用;而后者用来刻画子空间与投影矩阵的一一对应性,从而把有关子空间的定量研究转化为矩阵分析.1997年,Grofl和Trenkler[推广正交投影矩阵而引入了下面的广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵.定义2设K为n阶复方阵,K和K分别为矩阵K的共轭转置及Moore—Penrose广义逆.(1)如果K2=K,则称K为广义投影矩阵;(2)如果K2=K,则称K为双曲广义投影矩阵.最近,Baksalary和Xiao—jiLiu等详细地讨论了定义2给出的这两类矩阵[2-3J.本文继续他们的讨论.但使用的方法不同,本文的基本工具是矩阵的满秩分解_4J:任何秩为r的m×7/矩阵A都可分解为A=BC其中,B和c分别为m×r和7/×r的列满秩矩阵.为了叙述方便,文中使用了下述记号:c表示7/阶复方阵所成的线性空间,矩阵A的列向量张成的线性空间记为R(A).上标及+分别表示共轭转置及Moore—Penrose广义逆,I表示适当阶数的单位阵.1主要结果及其证明设K是秩为r的n阶复方阵,本节考虑下述集合:收稿日期:2005.06.01;修订日期:2005.07.07作者简介:姚增善(1963.),男,硕士,副教授.Tel:(0532)85901953 c={KIK∈C,K:K);cP』={KiK∈c,K=K};c={KIK∈C,K:K);c={KIK∈C,KK=KK);c={KIK∈C,K=K);c={KIK∈c,KKKK=KKKK).显见,cGP为广义投影矩阵构成的集合,c为双曲广义投影矩阵构成的集合.易知cGPc,而且c口P还有下述重要的子集c={KIK∈C,K=K).同时,K为正交投影矩阵当且仅当K:K,K=K,还易知,K为正交投影矩阵的充要条件为K=K= K.因此,广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵确实是正交投影矩阵的推广.首先给出c的特征.考虑K的满秩分解K=BC,那么K=K甘B(CB)0C=BC错(CB)0=I.命题1K∈c当且仅当K的满秩分解K=BC满足(CB).=I.接下来考虑cP』.记K=BC,则K=C(CC)I1(BB)I1B.从而K=K错CB=C(CC)(BB)B甘(BB)(CC)=I.再作B和C的极分解B=QlHl,C=Q2H2,这里Hl 和H2为Hermite正定矩阵,且QQl=QQ2=I.则BB=H},CC=H;.总结上述,有命题2cP』={QlQIQl,Q2为竹×r阵,QQl=QQ2=I}.再考虑cGP.考虑K的特殊满秩分解K=BC,cC=I,,那么中国海洋大学K2=K甘BCBC=CB,这说明R(B)=R(C).从而存在r阶可逆方阵G,使B=CG.且K2=K甘(CGC)(CGC)=CGC甘G=G.又由Schur分解,G可分解为G=Q0R0Q,Q0为酉阵,R.为上三角阵,而G=G甘R8=R甘R0=diag(dl,dE,…,d).其中,dj(j=1,2,…,r)为三次单位根,即d;=1,d=d.综上所述,有命题3c?e={QDQIQ为×r阵,QQ=J,D=diag(dI'2,…,d),d=1}.注:三次单位根集合为{?,一号一,/5吉+譬}o再讨论c.令K=BC为满秩分解,那么KK=KK甘BB=CC甘C=BG.这里G=BC为r×r可逆方阵.因此有命题4={QGQIQ为×r阵,QQ=I,G为r×r可逆阵}.再分析cW.考虑K的满秩分解变形K=QlGQ,其中,G为r×r可逆方阵,Ql,Q2为×r矩阵,QQl=QQ2=J.那么K=K甘QlGQQlGQ=Q2G-1Q,从而R(Q1)=R(Q2).因此,不妨取Ql=Q2,此时K=QlGQ.又K=K甘QlGQ=QlG一Q甘G=G一甘G.=J,而G.=J甘G=Q0diag(dl,2,…,d)Q,QQ0=J,d;=1.命题5cW={QDQIQ为×r阵,QQ=I,,D=diag(dI'2,…,d),d=1}.最后考虑cUe.令K=BC,记PK=KK,PK=KK,贝0有PK=BB,PK=CC.可见K∈cUe甘BBCC=CCBB.注意到,PK和PK?为正交投影矩阵且为Hermite阵,上式表明PK和PK.可交换,因而存在酉阵Q,使BB=Qdiag(aI'a2,…,a)Q,CC=Qdiag(卢l,卢2,…,卢)Q,这里ai和取0或1.取R(B)nR(C)的标准正交基(为列)构成矩阵Q,Q适当排列后可用分块阵表示为Q=[QI'Q')],这样BB=[QI'QB],CC=[Ql,Qc],而[Ql,QB,Qc]是列规范正交阵.这表明B=[Ql,QBJGB,C=【QI'QcJGc,其中GB,Gc为r阶可逆阵.从而K=[QI'QB]?G[Ql,Qc],G为可逆阵.易知K∈cW,故有下述结论:命题6cUe=I[QI'Q2]G[QI'Q3]_[QI'Q2,Q3]列规范正交,G为可逆阵}.本文得到的结果大部分是新的,使用的基本工具是矩阵的满秩分解.Baksalary等人使用Jordan分解或Schur分解以及奇异值分解,分析了G及G中矩阵的谱特征,得到的结果很有趣.不难看出,本文的结论可以很容易地导出他们得到的大部分结果.而且,作者认为,从应用的角度看这里得到的结论更便于应用.参考文献:Gro口J,TrenklerG.Generalizedandhypergeneralizedproiectors [J].LinAlgAppl,1997,264:463—474.BaksalaryJK.Baksalary0M.LIUXiao—ji.Furtherpropertiesof generalizedandhypergeneralizedprojectors[J].LinAlgAppl, 2004,389:295—303.BaksalaryJK,LIUXiao-Ji.Analternativecharacterizationofgener—alizedprojectors[J].LinAlgAppl.2004,388:61—65.北京大学数学系编.高等代数第二版[M].北京:高等教育出版社.1988.SomeApplicationsoftheFull-RankDecompositionofMatricesY AOZeng—Shan,LIUXin—Guo(DepartmentofMathematics,OceanUniversityofChina,Qingdao266071,China) Abstract:Inthispaper,thefull—rankdecompositionofmatricesisusedtoanalysegeneralizedprojectionma—tricesandhypergeneralizedprojectionmatrices,andsomenewcharacteristicdescriptionsar eobtained.Keywords:Orthogonalprojectionmatrix;Moore—Penrosegeneralizedinverse;HermitematrixAMSSubjectClassifications:15A23。
矩阵的满秩分解
§矩阵的满秩分解本节讨论一个n m ⨯复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。
定义设n m ⨯复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得FG A =，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。
当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。
定理设n m ⨯复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解。
证：因为0>=r rankA ，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0G B ， 其中G 为n r ⨯矩阵，并且0>=r rankG ；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积，记作P ，有B PA =，或者B P A 1-=，将矩阵1-P 分块为()S F P =-1 ，其中F 为r m ⨯矩阵，S 为)(r n m -⨯矩阵，并且r rankF =，r n rankS -=。
则有()FG G S F B P A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-01 ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。
▌但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。
这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有G F G D FD FG A ~~))((1===-。
例1、 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=122211212101A 的满秩分解。
解：对矩阵A 进行初等行变换()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0111000001130200012101100122201011210012101G B I A 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30202101G 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000030202101B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111011001P ；而()S F P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1120110011，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121101F 由此可见，所以有()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-12110101FG G S F B P A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-30202101。
矩阵的满秩分解
为 r ( B), r (C ) ≤ r ，但若 r ( B) < r 或 r (C ) < r ，则 r ( A) = r ( BC ) ≤ min(r ( B), r (C )) < r ， 矛盾！ 从定理的证明可以看出， 可以通过对矩阵进行初等变换， 化为行阶梯形矩阵， 从而得到满秩分解。先求得可逆矩阵 P ，使得 PA 为行阶梯形矩阵，再求得 P −1 ， 而后分块即可。 P 的求得很容易，只要将 ( A, I ) 化为行阶梯形矩阵，则右边的一 块即为 P 。我们也可以通过矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系来直接求得 P −1 ，好处在于可以避免复杂的求逆运算。
⎛1 0 0⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟， ⎜ −1 0 1 ⎟ A = ⎜ 0 0 −1⎟ ⎜ 2 1 −3 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎜ 2 1 −3 ⎟ ⎝ ⎠
−1
⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ 0 0 −1⎟ = ⎜1 3 1 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ = ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ ⎠ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜1 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
为满秩分解。
法二
⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1 1 0 ⎟× ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟× ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 1⎟ ⎟ ⎜ 3 ⎝ ⎠
第二章矩阵分解3_矩阵的最大秩分解案例
G r n PA B , G C r O
把 P 1 改写为分块阵 P 1 F 则有 G 1
, 或者 A P 1 B
S , F C
m r r
,S C
m ( n r ) nr
A P B F
S O FG
1 0 0 2 0 1 0 1 A 行 B 0 0 1 1 0 0 0 0 j1 1, j 2 2, j 3 3 ,根据定理2.8, A
4 1 0 2 F 1 2 1 2 而B的前三个非零行组成矩阵
1 0 4 1
1 0 1 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 A E 1 2 1 1 0 1 0 0 2 0 3 1 1 0 2 2 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1
.
最后有
1 0 1 0 1 2 A FG 1 1 0 2 0 3 2 1
于是, 的最大秩分解为
1 0 0 2 3 G 0 1 0 1 2 0 0 1 1 5
4 1 1 1 0 0 2 3 0 0 2 A FG 0 1 0 1 2 1 2 4 0 0 1 1 5 1 2 1
B12 AP1 P ( BP1 ) F F FB12 O 上式表明F是AP1的前r列构成的矩阵,即F是A的 j1 , j2 , , jr
列构成的矩阵. 证毕.
Er S O
定理2.8所提供的求矩阵最大秩的方法,我们称为 准形法. 例:用 Hermite 行标准形法求矩阵 1
A P 1 B
满秩分解
例1
化矩阵A为Hermite 标准形
1 0 2i i 0 4 2i 2 A 0 0 0 3 6 3 3i , i 1 0 2 1 1 4 4i 1
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 i r1 ( 2 ) 0 0 0 3 6 3 3i 0 2 1 1 4 4i 1
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 r3 2r1 0 0 0 3 6 3 3i 0 0 0 1 2 1 i
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 r2 3r3 2 1 i H 0 0 0 1 r2 r3 0 0 0 0 0 0
y1 x1 0,0,2T ,
y 2 x2
y 3 x3
( x2 , y1 ) ( y1 , y1 )
T y1 x 2 1 y 3 , 4 , 0 2 1
( x3 , y2 ) ( y2 , y2 )
( x3 , y1 ) ( y1 , y1 )
y1
1 8 6 y 2 x3 y1 y 2 , ,0 5 5 5
矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决 矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重 要作用。
主要内容： 1· 矩阵的QR分解-- Schmidt正交化方法 2· 矩阵的QR分解-- Householder变换、 Givens变换（略）
nn 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵 A C . 定义:设
满秩分解定理：设 A C rmn r 0, 且A的Hermite 标准形H为
k1 0 0 H 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 * 0 0 0 * 0 0 0 k2 0 1 0 0 0 * * * 0 * * 0 0 0 0 1 0 0 kr * * * 0 * * * 第r行 0 0 0
非负矩阵非负满秩分解的程序实现
与 Ｌｎｏ对算 法进 行程 序 实现 ， 以为非 负矩 阵分 解应 用研 究提 供 一些参 考 。 ｉｇ 可
关 键 词 ： 负矩 阵 ； 秩 分 解 ； 负矩 阵 非 负 满秩 分 解 ；ｉｇ ； Ｃ ． 非 满 非 Ｌｎｏ Ｖ ６０
中 图 分 类 号 ：Ｐ ０ ． Ｔ３１ ４ 文献标 识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ２ ７ ０ （０ ０ ０ — ０ ２ ０ １７ — ８ ０ ２ １ ） ２ ０ ３ — ２
２湖北水利 水 电职业技 术 学院 机 电工程 系 ， ． 湖北 武 汉 ４ ０ ７ ） ３ ０ ０
摘 要 ： 用 欧 几 里 得 距 离衡 量 非 负矩 阵 非 负 满 秩 分 解 的 近 似 度 ， 其 转 化 为 最 小 二 乘 法 求 最 优 问 题 。 并 用 Ｖ ６０ 利 将 Ｃ．
以 矩 阵 的 满 秩 分 解 理 论 为 基 础 ， 合 最 小 二 乘 法 提 出 了非 负 矩 结
阵 的非负 满秩 分解 方 法 ，实现 了 Ｌｎｏ与 Ｖ ６０的动态 链 接 ， ｉｇ Ｃ．
并 给 出 了 一 种 程 序 实 现 方 法 ， 成 了 图 形 界 面 的 设 计 ． 运 算 完 使 操作 简单 便 捷 ， 大减 少 了人 工 计算 量 ． 在 为一 些应 用 提供 大 旨 参 考
对 于非 负矩 阵 的非 负满 秩分解 ． 无论 是精 确分 解还是 近似 分 解 ， 可 以通过 控 制近 似度 来 实现 ， 文利 用欧 几里 得 距离 都 本
ｌ — ｃｌ 来衡量其近似度 ， Ｂ Ｉ Ａ ｌ 将其转化为利用最小二乘法求最
优 问题 ． 即
ｓ：ｍ
１ 非 负矩 阵的 非 负 满秩 分 解
２１ 利 用 Ｌｉｇ ． ｎ ｏ软 件 实 现 单 次 循 环
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定义:设ACnn. 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵 R，使得 A QR 则称之为A的QR分解或酉三角分 当 A Rnn 时，则解称为A的正交三角分解
QR分解定理 •任意一个满秩实(复）矩阵A，都可唯一地分解A = QR ，其中Q为正交（酉）矩阵，R是具有正对角元的上三角矩 阵 证。明
第四节 满秩分解
本节讨论将一个非零矩阵（长方形）分解成一 个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积问题. 主要内容： 1·矩阵的Hermite标准型 2·利用Hermite标准型进行矩阵的满秩分解
满秩分解定理
设A Crmn r 0,则存在B Crmr ,C Crrn，使
A BC
(1)
（1）式称为矩阵A的满秩分解.
例1：利用Schmidt正交化方法求矩阵的QR分解A
0 0
3 4
1 2
2 1 2
设 x1 0,0,2T , x2 3,4,1T , x3 1,2,2T , 则 x1, x2 , x3
线性无关，首先将它们正交化得：
y1 x1 0,0,2T ,
y2
x2
(x2 , y1) ( y1, y1)
2 A 1
1
4 2 2
1 1 2
1
2 1
r1 r2
1 2 1
2 4 2
1 1 2
2 1 1
r2 2r1
r3 r1
1 0
2 0
1 3
2
r2
1 3
1
3 0
2 0
1 1
2 1
1 0
2 0
0 1
1 1 H
0 0 3 3 r3r2 0 0 0 0 0 0 0 0
(
i 2
)
0
0
0
3
6
3 3i
0
2
1
1
4 4i
1
0
1
1 2
0 1 2i
i 2
r3 2r1 0 0 0 3 6 3 3i
0
0
0
1
2
1 i
r2
3r3
0 0
1 0
1 2
0
0 1
1 2i 2
i 2
1i H
r2
r3
0
0
0
0
0
0
满秩分解定理：设 ACrmn r 0, 且A的Hermite 标准形H为
设A是一个实满秩矩阵, A的n个列向量为 x 1,x 2, …,x n 由于x 1,x 2, …,x n 线性无关，将它们用Schmidt正交
化方法得标准正交向量e 1,e 2, …,e n
x1 b11e1 x2 b12e1 b22e2
其中 bii 0 , i 1,2, , n
xn b1ne1 b2ne2 bnnen
1 2 0 1 0 0 1 1 H 0 0 0 0
可见 k1 1, k2 3 故A的满秩分解为
2 A 1
1
1 1 2
1 0
2 0
0 1
11
注1、 矩阵A的满秩分解是不唯一的
设 A BC, B Crmr , D Crrn
则
D Crrr ,
A (BD)(D1C) B1C1
k1
k2
kr
0 0 1 * * 0 * * 0 *
0 0 0 0 0 1 * * 0 *
H 0 0 0 0 0 0 * 0 1 *
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
* *
* 第r行
0
0
则取A的第 k1, k2 , , kr 列构成矩阵B，取H的前r行构成矩阵
说明：当A为满秩矩阵（列满秩或行满秩），A可分 解为一个因子为单位矩阵，另一个因子为A本身，称 此满秩分解为平凡分解。
为了说明矩阵满秩分解定理以及满秩分解方法， 先介绍Hermite 标准形（或行最简形）。
定义矩阵 AC的rmHn ermite 标准形H为
1)前r行中，每行至少有一个非0元，且第一个非 零元为1，而后m-r行全为0； 2）若H中第i行的第一个非零元1位于第ki （i=1,2,…,r)列,则有k 1<k 2< …<k r; 3) k 1,k 2, …,k r列为单位矩阵I m的前r列.
化为Hermite 标准形H，且H的前r行线性无关。
采用矩阵的说法就是，存在 S Cmmm,
使得 SA H.
例1 化矩阵A为Hermite 标准形
0 2i i 0 4 2i 1
A 0 0 0 3 6 3 3i, i2 1
0 2 1 1 4 4i 1
0
1
1 2
0
1 2i
i 2
r1
即有：
k1
k2
kr
0 0 1 * * 0 * * 0 * 0 0 0 0 0 1 * * 0 *
H 0 0 0 0 0 0 * 0 1 *
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
* *
* 第r行
0
0
定理：任何一个非零矩阵都可通过初等行变换
从而有
b11 b12 b1n
x1 x2 xn e1 e2 en
b22 b2n bnn
b11 b12 b1n
令Q e1 e2
则QTQ I
en
,
R
b22 b2n bnn
唯一性略
说明：该定理的证明过程给出了利用Schmidt正交化方法求可 逆矩阵QR分解的方法。
C，则A=BC即为矩阵A的满秩分解
满秩分解的步骤
1）求矩阵A的Hermite 标准形H； 2）取矩阵C为H的前r个非0行； 3）取矩阵B为A的对应于H的r个单位向量的列； 则A=BC
例：求矩阵
2 A 1
4 2
பைடு நூலகம்
1 1
1 2
的满秩分解
1 2 2 1
首先利用行初等变换求A的Hermite 标准形H：
e1
1 2
y1
0,0,1T
注2、 矩阵A的满秩分解虽然不唯一的，但对不同的 分解：A=BC，乘积C H (CC H )1(BH 保B)持1 B不H 变。
第五节 QR分解
QR分解也称为正交三角分解
矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决 矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重 要作用。
主要内容：
1·矩阵的QR分解-- Schmidt正交化方法
y1
x2
1 2
y1
3,4,0T
y3
x3
(x3, y1) ( y1, y1)
y1
(x3, y2 ) ( y2 , y2 )
y2
x3
y1
1 5
y2
8 , 6 ,0T 5 5
再单位化：e1
1 2
y1
0,0,1T
,
e2
1 5
y2
3 5
,
4 5
,0T
,
e3
1 2
y3
4 5
,
3 ,0T 5
,
于是： x1 y1 2e1