几类特殊矩阵的满秩分解及其应用.doc

目录0 引言 (1)1 预备知识 (1)2 几类特殊矩阵满秩分解 (2)2.1酉对称矩阵的满秩分解 (2)2.2行（列）对称矩阵的满秩分解 (3)2.3行（列）反对称矩阵的满秩分解 (4)2.4全对称矩阵中具有轴对称结构矩阵的满秩分解 (4)2.5广义延拓矩阵的满秩分解 (5)3 矩阵的满秩分解的应用 (6)3.1利用矩阵A的满秩分解求广义逆矩阵 (6)3.1.1 利用矩阵A的满秩分解求广义逆矩阵-A (6)3.1.2 利用矩阵A的满秩分解求M-P广义逆矩阵 A (7)3.2线性方程组的极小最小二乘问题 (8)参考文献致谢赵爱霞（天水师范学院数学与统计学院, 甘肃天水741001）摘要介绍了五类特殊矩阵，即酉对称矩阵、行（列）对称矩阵、行（列）反对称矩阵、全对称矩阵及广义延拓矩阵，的满秩分解和求解方法，并说明了满秩分解在求广义逆中的应用. 关键词酉对称矩阵;行（列）对称矩阵; 行（列）反对称矩阵;全对称矩阵;广义延拓矩阵;广义逆矩阵;满秩分解.Full Rank Decomposition and Application forsome kinds of Special MatrixZHAO Aixia(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741001)Abstract The formulas and methods, for full rank decompositions of five kinds of special matrices, such as unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, are given, Moreover, we show the importance of the full rank decomposition in finding generalized inverse of matrix,Key words unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, generalized inverse matrix, generalized continuation matrix, full rank decomposition.0 引言自20世纪50年代以来矩阵的理论和计算方法的研究取得了长足的发展,矩阵理论的应用日益广泛.矩阵已成为人们探索新理论的工具,矩阵分解的应用也越来越受到人们的重视,例如在文献[]5,4,3,2中都有不同的研究.在数值线性代数中,我们常常需要将数域P 上的某个已知矩阵写成若干满足一定条件的特殊类型的矩阵之和或矩阵之积的形式,并把这种矩阵表示成为矩阵分解.矩阵分解中有一类特殊的矩阵的分解,即矩阵的满秩分解,矩阵的满秩分解及其相关行满秩列满秩矩阵的定义和相关性质都有广泛的应用,本文给出几类特殊矩阵的满秩分解的公式和快速算法.1 预备知识定义[1]1.1(满秩分解)设A 是秩为>0r(r ）的m n ⨯矩阵,若存在m r ⨯列满秩矩阵F 和r n ⨯行满秩矩阵G ,使得=A FG (1) 则称（1）式为矩阵A 的满秩分解.定义[2]1.2(行酉对称矩阵)令m n A C ⨯∈为任意给定的负矩阵,k 为任意给定的正整数.定义*12k 1R -（A;G ,G ,,G ）为*12k 1011T km n k RC ⨯--∈（A;G ,G ,,G ）=(A ,A ,,A ),其中0,,i i i A A A G A G ==⋅为酉变换矩阵,1,2,1.i k =-矩阵*12k 1R -（A;G ,G ,,G ）称为A 的k 次行酉对称矩阵.定义[2]1.3(列酉对称矩阵)令m n A C ⨯∈为任意给定的负矩阵,k 为任意给定的正整数.定义*12k 1C -（A;G ,G ,,G ）为*12k 1011m kn k C C ⨯--∈（A;G ,G ,,G ）=(A ,A ,,A ),其中0,,i i i A A A A G G ==⋅为酉变换矩阵,1,2,1.i k =-矩阵*12k 1C -（A;G ,G ,,G ）称为A 的k 次列酉对称矩阵. 定义[3]1.4设=a m n ij A ⨯∈（）R ,矩阵A 的行转置与列转置矩阵分别为12(1)1(1)2(1)2212211112m m mn m m m n R n n a a a a a a A a a a a a a ---⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11(1)121122(1)2221(1)(_1)(1)(1)2(1)1(1)21n n nn C m n m n m m m n mnm m a a a a a a a a A a a a a a a a a --------⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭若()R C A A A A ==,则称A 为行（列）对称矩阵; 若()R C A A A A =-=-,则称A 为行（列）反对称矩阵.定义[4]1.5设m n A ⨯∈R ,若(),T B A -=则称A 为全转置阵,记为0B A =;若0A A =,则称A 为全对称矩阵.定义[5]1.6(广义行延拓矩阵)设m n A C ⨯∈,可逆矩阵121,,,m n k P P P C k ⨯-∈为任意为给定的正整数.定义12k 1R -（A;P ,P ,,P ）为12k 1011T km n k R C ⨯--∈（A;P ,P ,,P ）=(A ,A ,,A ),其中0,,i i A A A P A ==⋅1,2, 1.i k =-矩阵12k 1R-（A;P ,P ,,P ）称为A 的广义行延拓矩阵. 定义[5]1.7(广义列延拓矩阵)设m n A C ⨯∈,可逆矩阵121,,,m n k P P P C k ⨯-∈为任意为给定的正整数.定义12k 1-C(A;P ,P ,,P ）为12k 1011m kn k C ⨯--∈C(A;P ,P ,,P ）=(A ,A ,,A ),其中0,,i i A A A A P ==⋅1,2,1.i k =-矩阵12k 1-C(A;P ,P ,,P ）称为A 的广义列延拓矩阵. 2 几类特殊矩阵满秩分解 2.1 酉对称矩阵的满秩分解酉对称矩阵有两种形式分别为行酉对称矩阵和列酉对称矩阵,下面对这两种矩阵的满值分解做出介绍.首先,给出行酉对称矩阵的满秩分解.定理 2.1.1 设(0)m n r A C r ⨯∈>,存在,m r r n r r F C G C ⨯⨯∈∈使.A FG =令**121,(;,,,),T k G G F F G F G F G F -==则〈1〉**,G F 分别是行满秩矩阵和列满秩矩阵;〈2〉***12k 1=RG -⋅（A;G ,G ,,G ）F . 对于列酉对称矩阵,其满秩分解同行酉对称矩阵的满秩分解很是相似.定理 2.1.2 设(0)m n r A C r ⨯∈>,存在,m r r n r r F C G C ⨯⨯∈∈使.A FG =令**121,(;,,,),T k F F G G GG GG GG -==则〈1〉**,G F 分别是行满秩矩阵和列满秩矩阵;〈2〉***12k 1=C G -⋅（A;G ,G ,,G ）F . 2.2行（列）对称矩阵的满秩分解本小节主要介绍行列对称矩阵的满秩分解,首先介绍行对称矩阵的满秩分解.定理 2.2.1 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，，n r r r m r ,⨯⨯∈∈=R G R F FG B 则行对称矩阵n m R B J B A ⨯∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2r m 的满秩分解为 .G F J F A m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=这是偶数行的对称矩阵的满秩分解.下面介绍奇数行的对称矩阵的满秩分解. 定理 2.2.2 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为,,n r r r m r αβ=∈∈=⨯⨯G R G R F FG B ，，n11,⨯⨯∈∈R R r αβ则行对称矩阵n m r m R B J B A ⨯+∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)12(α的满秩分解为.m G F J F A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=β上面已经对行对称矩阵给出了满秩分解,接下来将介绍列对称矩阵的满秩分解,类似的有,偶数列对称矩阵和奇数列对称矩阵的满秩分解.定理 2.2.3（偶数列对称矩阵的满秩分解） 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，，n r r r m r ,⨯⨯∈∈=R G R F FG B 则列对称矩阵()n m n R BJ BA 2r ⨯∈=的满秩分解为)(n GJ G F A =.定理 2.2.4（奇数列对称矩阵的满秩分解） 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，，n r r r m r ,⨯⨯∈∈=R G R F FG B 11r ,⨯⨯∈∈=m R R F αβαβ，则列对称矩阵())12(r n +⨯∈=n m R BJ B A α的满秩分解为)(n GJ G F A β=.前面已经给出了行列对称矩阵的满秩分解,现在我们仿照它来研究各种形式的行列反对称矩阵的满秩分解.2.3行（列）反对称矩阵的满秩分解定理 2.3.1 (偶数行反对称矩阵) 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，，n r r r m r ,⨯⨯∈∈=R G R F FG B 则行反对称矩阵nm R B J B A ⨯∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2r m -的满秩分解为 .-G F J F A m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=定理 2.3.2 (奇数行反对称矩阵)设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，n r r ,⨯⨯∈∈=R G R F FG B r m r 则行反对称矩阵nm r m R B J B A ⨯+∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)12(-0的满秩分解为.-0m G F J F A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=定理 2.3.3（偶数列反对称矩阵） 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，，n r r r m r ,⨯⨯∈∈=R G R F FG B 则列对称矩阵()n m n R BJ B A 2r ⨯∈-=的满秩分解为)(n GJ G F A -=.定理 2.3.4（奇数列反对称矩阵） 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为,FG B =，，n r r r m r ⨯⨯∈∈R G R F 则列对称矩阵())12(r 0+⨯∈-=n m n R BJ B A 的满秩分解为)0(n GJ G F A -=.下面我们来介绍另一类特殊矩阵——全对称矩阵中具有轴对称结构矩阵的满秩分解,同样地,有比较多的形式.2.4全对称矩阵中具有轴对称结构矩阵的满秩分解定理 2.4.1 (偶数行偶数列全对称矩阵) 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为,FG B =，，n r r r m r⨯⨯∈∈R G RF 则矩阵nm n mR BJ J BJBJ BA 22rm n ⨯∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=的满秩分解为 .(n ）GJ G F J F A m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 定理 2.4.2 (偶数行奇数列全对称矩阵) 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，，，1r n r r r m r ,,⨯⨯⨯∈=∈∈=R F R G R F FG B ββα则矩阵)12(2+⨯∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n m r n m m m n R BJ J J B J BJ BA αα的满秩分解为 ().n m GJ G F J F A β⎪⎪⎭⎫⎝⎛=定理 2.4.2 (奇数行偶数列全对称矩阵) 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，r m r ,⨯∈=R F FG B ，n r r ⨯∈R G ，1r ,⨯∈=R G ααβ则矩阵n m r R J BJ BA 2)12(n m mn n BJ J B J ⨯+∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ββ的满秩分解为 ().n m GJ GF J F A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=α定理 2.4.2 (奇数行奇数列全对称矩阵)设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，r m r ,⨯∈=R F FG B ，n r r ⨯∈R G ，，n 1r 1,⨯⨯∈∈=R R G βαβα则矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n m n 000BJ J B J J BJ BA mn ββ)12(12+⨯+∈n m r R ）（的满秩分解为().0n m GJ G F J F A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=α定理 2.4.2 (奇数行奇数列全对称矩阵)设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，r m r ,⨯∈=R F FG B ，n r r ⨯∈R G 1m 1r ⨯⨯∈∈=R R F αβαβ，，,则矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n m m n 000BJ J J B J BJ BA mαα)12(12+⨯+∈n m r R ）（的满秩分解为 ().0n m GJ G F J F A β⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2.5广义延拓矩阵的满秩分解定理 2.5.1 (广义行延拓矩阵) 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，r m r ,⨯∈=R F FG B ，n r r ⨯∈R G 则广义行延拓矩阵n k m r 1k 21),,;(⨯-∈=R P P P B R A ，的满秩分解为 .),,;(1k 21G P P P F R A -= ，定理 2.5.2 (广义列延拓矩阵) 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，r m r ,⨯∈=R F FG B ，n r r ⨯∈R G 则广义列矩阵n m r 1k 21),,;(k R P P P B C A ⨯-∈= ，的满秩分解为 ).,,;(1k 21-=P P P G FC A ，3 矩阵的满秩分解的应用3.1 利用矩阵A 的满秩分解求广义逆矩阵广义逆矩阵概念早在1920年就被提出,但是没有受到人们的关注.至到1955年R.Penrose 通过线性方程组的研究来定义广义逆矩阵,这才受到关注. 3.1.1 利用矩阵A 的满秩分解求广义逆矩阵-A在这里首先介绍最一般的广义逆矩阵的概念,并利用矩阵的满秩分解来求解一个矩阵A 的广义逆矩阵.-A定义 ]6[1.1.1.3（广义逆矩阵-A ）设n m ⨯∈C A ,若存在m n ⨯∈C G ,使得A AG =A则称G 是A 的广义逆矩阵,并记为.-=A G有了矩阵的满秩分解和广义逆矩阵-A 的定义,现在给出对矩阵A 利用矩阵的满秩分解求广义逆矩阵-A 的算法定理 3.1.1.1设n C A ⨯∈m r ,{}n m ,m in r rank <=A ,且存在可逆矩阵n n m C Q C P ⨯⨯∈∈,m 使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rI PAQ ,A 有满秩分解FG A =, 则有 .000,rP I Q A F G A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==----或 例 3.1.1.1 试利用矩阵的满秩分解求如下矩阵A 的一个广义逆矩阵-A ..111100011200⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 解 显然2rank =A ，先求A 的满秩分解:.000000100011111100011200⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100011G ,从而FG A F =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，得11100120. 再求:,--G F.12145162111110210106112)(11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==---HH F F F F⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==--100210212002100101)(11-H H GG G G 于是.242-851-62-51-62-2211214516211110021021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==---F G A 3.1.2 利用矩阵A 的满秩分解求M-P 广义逆矩阵+A接下来将介绍由Moore 和Penrose 研究出的M-P 广义逆,并研究利用矩阵满秩分解来求解一个矩阵A 的M-P 广义逆矩阵.+A定义]6[1.2.1.3（广义逆矩阵+A ）设n m ⨯∈C A ,若存在m n ⨯∈C G ,使得⑴;A A =AG ⑵;G GAG =⑶;)(AG AG H =⑷;)(GA GA H =则称G 是A 的P M -广义逆矩阵,并记为.+=A G定理 3.1.2.2 设n C A ⨯∈m r ,且FG A =是A 的满秩分解,则有,)()(11H H H H B B B DD D G --=就是A 的一个P M -广义逆矩阵，+A 并且+A 是惟一的.特别地, 对于行满秩和列满值秩矩阵,我们有⑴设n m C F ⨯∈是一个行满秩矩阵,则有;)(1-+=H H FF F F ⑵设n m C G ⨯∈是一个列满秩矩阵,则有.)(1H H G G G G -+=例3.1.2.1 设矩阵A 为,55444411⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=A 求A 的P M -广义逆矩阵.+A解 取[],5441,11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=G F 则A FG A 是=的满秩分解,由引理可得[])11()1111(11-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--+HH F F F F ）（⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2121, [],544158154415441544111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--+）（H HGG G G于是==+++F G A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1165291291116111652912911161212154415813.2 线性方程组的极小最小二乘问题在高等代数中,对于给定的矩阵n n ⨯∈C A ,向量n C b ∈,存在矩阵n n C G ⨯∈使得Gb x =是线性方程组b =Ax 有解的充要条件是1-=A G .同样的，对于相容线性方程组）)(b (,b A R Ax ∈=的解与广义逆矩阵-A 也有类似结果:对于给定的矩阵n m ⨯∈C A ,对任何)(A R b ∈,存在矩阵m ⨯∈n C G 使得b G x =是线性方程组b =Ax 相容的充要条件是.-=A G 进而, 线性方程组b =Ax 相容的充要条件是.b b AA =-事实上,由上面得到的结论b A x -=是b =Ax 的解,于是.b b AA =-另外,令b b AA A b A x ===--00x ,则,这说明方程组b =Ax 有解即)(A R b ∈，故线性方程组b =Ax 相容.现在利用线性方程组b =Ax 的系数矩阵A 的广义逆矩阵-A 可以给出相容线性方程组b =Ax 的通解.由于b -A x =是相容线性方程组b =Ax 的一个特解,并根据非其次线性方程组的解的结构可以得到,b =Ax 的通解是由它的特解和齐次线性方程组0=Ax 的通解)(,n 为任意向量）（y y AA I x --=组成.定理 3.2.1 设矩阵n m ⨯∈C A ,则相容线性方程组b =Ax 的通解为)(,b n 为任意向量）（y y AA I A x ---+=.例 3.2.1 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+103233x 3212131x x x x x x 的通解.解 因对 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=103b ,111032301A有2),(rank rank ==b A A ，方程组相容.先求-A 得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-000101001A于是所给方程组的通解为33213123023y 1002003-0002-3b y y y yAA I A x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=--）（现在,假设线性方程组b =Ax 是不相容的,即它是矛盾方程组.虽然它在一般意义下无解,但是在实际问题中所遇到的线性方程组都是不相容的.在这种情况下,实际应用要求我们找到一个近似解n 0C x ∈使得它的误差范数最小,即{}n C x A A ∈=,b -x min b -x 0并将这样的近似解称为不相容线性方程组的最小二乘解.然而,对于一般的不相容线性方程组的最小二乘解并不唯一,通常将其中范数最小二乘解称为极小最小二乘解,并且它是唯一的.定理 3.2.2对于给定的矩阵n m ⨯∈C A ,对任何)(A R b ∉,存在矩阵m ⨯∈n C G 使得b G x =是线性方程组b =Ax 相容的充要条件是，+=A G 且极小最小二乘解为b +=A x .例 3.2.2 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+=+=++3642x 122x 0x 332x 3213131321x x x x x x 的极小最小二乘解.解 因对 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3101b ,642202101321A 有3),(rank 2rank ==b A A ，而,所以所给方程组不相容.先求+A 得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+221148-4-22-1051-301A , 故方程组的极小最小二乘解为.3211013101221148-4-22-1051-3010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+bA x参考文献[1] 程云鹏. 矩阵论[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2000: 220-225.[2] 魏洪增. 矩阵理论与方法[M]. 北京: 电子工业出版社, 2006: 250-280.[3] 蔺小林,蒋耀林. 酉对称矩阵的QR分解及其算法[J]. 计算机学报. 2005. 28: 817-822.[4] 邹红星,王殿军,戴琼海. 行（或列）对称矩阵的QR分解[J]. 中国科学. 2009. 32（9）: 842-849.[5] 郭伟. 全对称矩阵的满秩分解及其Moore-Penrose逆[J]. 四川师范大学学报. 2009. 32（4）: 454-457.[6] 许成峰,刘智秉. 广义延拓矩阵的QR分解[J]. 九江学院学报. 2009. 29（6）: 78-78.[7]黄延祝,钟字铭,李正良. 矩阵理论[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003: 182-208.致谢光阴似箭，日月如梭，转眼间我的大学生涯即将结束了。