矩阵的满秩分解知识讲解
第四章 矩阵分解
定理1.2：若 A BC B1C1 均为A的满秩分解，那么
(1)存在 CrrR , 使得B B1 , C 1C1 (2)C H (CC H )1 (BH B)1 BH C1H (C1C1H )1 (B1H B1 )1 B1H
4.2 矩阵的正交分解 （UR、QR分解）
证明：
AAH 是正规矩阵，所以存在酉矩阵使得
H U H AAH U 0
0 0
U U1 U2
U1 U mr
U2 U m( mr )
0 0
U1H H H H AA U1 U 2 0 U 2
U1H H H H AA U1 U 2 0 U 2
则称 i
i (i 1,2,, n) 为 A 的奇异值．
本书中只考虑i=1,3,…,r时非零奇异值
1 0 3 2 5 17 H A 1 1 例如，对于 ，A A 2 2 的特征值是 1 2 ， 1 1
A UR
U U rmr
R 是 r 阶正线上三角阵
推论2.2：设 A Crrn ， 则 A 可以唯一的分解为
A LU
U U rrn
L 是 r 阶正线下三角阵
mn A C 推论2.3：设 ， 则 A 可以分解为 r A U1R1L2U 2 R1 是 r 阶正线上三角阵 U1 Urmr L2 是 r 阶正线上三角阵 U U rn
nn 定理2.1：设 A Cn ， 则 A 可以唯一的分解为
A UR
A RU 1 1
nn
R 是正线上三角阵
U , U1 U
证明：
R1 是正线下三角阵
2-1 满秩、LU、QR分解
满秩分解反映出关于矩阵A的秩的信息。 应用：当r远小于m和n时，利用满秩分解可以去 除掉A中的冗余信息，节省存储量和运算量。
2. LU分解
设矩阵A∈Rn×n，如果存在上三角矩阵L，下三角 矩阵U，使得A=LU，则称之为A的LU分解。 如果存在单位上三角矩阵L，单位下三角矩阵U， 对角矩阵D，使得A=LDU，则称之为LDU分解。
定理：矩阵A的LDU分解存在唯一(或LU分解存在)
的充要条件是A的顺序主子式Dk≠0。
LU分解的实现过程实际上就是Gauss消去法。
应用：求解线性方程组Ax=b。
3. QR分解
设矩阵A∈Rn×n，且非奇异，则存在正交矩阵Q， 非奇异上三角矩阵R，使得A=QR，称之为QR分 解(QR decomposition)，且此时分解唯一。
QR分解的实现方式：GS/MGS，Givens变换， Hous会怎样？
第二章 矩阵分解
2.1 矩阵的分解 2.2 标准型
2.1 矩阵的分解
1. 满秩分解 2. LU分解 3. QR分解
1. 满秩分解
设矩阵A∈Rm×n，且rankA=r(r≤m,r≤n)， 则存在矩阵分解：
A=FG， 其中F∈Rm×r，且rankF=r(列满秩)， G∈Rr×n，且rankG=r(行满秩)。称为满秩分解。
矩阵的满秩分解
§矩阵的满秩分解本节讨论一个n m ⨯复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。
定义设n m ⨯复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得FG A =，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。
当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。
定理设n m ⨯复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解。
证：因为0>=r rankA ，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0G B ， 其中G 为n r ⨯矩阵，并且0>=r rankG ；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积，记作P ，有B PA =，或者B P A 1-=，将矩阵1-P 分块为()S F P =-1 ，其中F 为r m ⨯矩阵，S 为)(r n m -⨯矩阵，并且r rankF =，r n rankS -=。
则有()FG G S F B P A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-01 ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。
▌但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。
这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有G F G D FD FG A ~~))((1===-。
例1、 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=122211212101A 的满秩分解。
解：对矩阵A 进行初等行变换()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0111000001130200012101100122201011210012101G B I A 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30202101G 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000030202101B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111011001P ；而()S F P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1120110011，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121101F 由此可见，所以有()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-12110101FG G S F B P A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-30202101。
满秩矩阵及满秩矩阵的应用
满秩矩阵及满秩矩阵的应用专业：通信与信息系统姓名：李娜学号：6120140151目录一、满秩矩阵及满秩矩阵在矩阵分解方面的应用 (2)1.1矩阵的秩 (2)1.2满秩矩阵 (2)1.3满秩矩阵的性质 (3)1.3.1行(列)矩阵的一些性质 (4)1.4 行(列) 满秩矩阵在矩阵分解方面的应用 (6)二、满秩矩阵在保密通信中的应用 (8)2.1 基于满秩矩阵的保密通信模型 (8)2.1.1加密保密通信模型 (8)2.2.2满秩矩阵的应用 (8)2.2密钥的生成 (10)2.2.1加密密钥的生成 (10)2.2.2解密密钥的生成 (10)2.3其它问题 (10)2.3.1明文矩阵的选择 (10)2.3.2加密矩阵的选择 (11)2.3.3算法优化 (11)一、满秩矩阵及满秩矩阵在矩阵分解方面的应用引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是现代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数学的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语，而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。
1.1矩阵的秩设A是一组向量，定义A的最大无关组中向量的个数为A的秩。
定义1 在m n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2 A=(a ij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作r(A），或rank（A）或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显R（A）≤min(m,n)易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在R(A)<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵,不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
矩阵的满秩分解
为 r ( B), r (C ) ≤ r ，但若 r ( B) < r 或 r (C ) < r ，则 r ( A) = r ( BC ) ≤ min(r ( B), r (C )) < r ， 矛盾！ 从定理的证明可以看出， 可以通过对矩阵进行初等变换， 化为行阶梯形矩阵， 从而得到满秩分解。先求得可逆矩阵 P ，使得 PA 为行阶梯形矩阵，再求得 P −1 ， 而后分块即可。 P 的求得很容易，只要将 ( A, I ) 化为行阶梯形矩阵，则右边的一 块即为 P 。我们也可以通过矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系来直接求得 P −1 ，好处在于可以避免复杂的求逆运算。
⎛1 0 0⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟， ⎜ −1 0 1 ⎟ A = ⎜ 0 0 −1⎟ ⎜ 2 1 −3 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎜ 2 1 −3 ⎟ ⎝ ⎠
−1
⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ 0 0 −1⎟ = ⎜1 3 1 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ = ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ ⎠ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜1 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
为满秩分解。
法二
⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1 1 0 ⎟× ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟× ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 1⎟ ⎟ ⎜ 3 ⎝ ⎠
矩阵论 11 满秩分解与奇异值分解
第十一讲 满秩分解与奇异值分解一、矩阵的满秩分解1. 定义：设m n r A C (r 0)⨯∈>，若存在矩阵m r r F C ⨯∈及r nrG C ⨯∈，使得 A FG =，则称其为A 的一个满秩分解。
说明：（1）F 为列满秩矩阵，即列数等于秩；G 为行满秩矩阵，即行数等于秩。
（2）满秩分解不唯一。
r rrD C ⨯∀∈（r 阶可逆方阵），则 1111A FG F(DD )G (FD)(D G)F G --====，且m r r n1r 1rF C ,G C ⨯⨯∈∈ 2. 存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩矩阵证明：采用构造性证明方法。
设m nr A C ⨯∈，则存在初等变换矩阵m mmE C ⨯∈， 使 G r EA B .......O (m r)⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦行行， 其中r nr G C ⨯∈ 将A 写成1A E B -=，并把1E -分块成[]1r (m r)E F |S --=列列，其中m rrF C ⨯∈ .G A F .S ....FG .O ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦E 是满秩分解。
3. Hermite 标准形（行阶梯标准形）设m nr B C (r 0)⨯∈>，且满足（1） B 的前r 行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后(m r)-行的元素全为零（称为零行）；（2） 若B 中第i 行的第一个非零元素（即1）在第i j 列(i 1,2,...,r)=，则 12r j j ...j <<<;（3） 矩阵B 的第1j 列，第2j 列，…,第r j 列合起来恰为m 阶单位方阵m I 的前r 列（即12r j ,j ,...,j 列上除了前述的1外全为0）则称B 为Hermite 标准形。
例1 561356120013001022B C 000111000000000000⨯⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 为Hermite 标准形452245010200013B C 0000000000⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 也是Hermite 标准形4. 满秩分解的一种求法设m nr A C ⨯∈，（1） 采用行初等变换将A 化成Hermite 标准形，其矩阵形式为EA B =，其中B 为Hermite 标准形定义中给出的形状；（2） 选取置换矩阵1 P 的第i 列为i j e ，即该列向量除第i j 个元素为1外，其余元素全为零(i 1,2,...,r)=,其中i j 为Hermite 标准形中每行第一个非零元素（即1）所在的列数；2 其它(n r)-列只需确保P 为置换矩阵即可（P 的每一行，每一列均只有一个非零元素，且为1）；3 用P 右乘任何矩阵（可乘性得到满足时），即可得该矩阵的第i j 列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第i 列 4 令[]1r (n r)P P |*-=列列，即12r n r1j j j rn rP e e ...e C ⨯⨯⎡⎤=∈⎣⎦（3）令G B =的前r 行r n n C ⨯∈，m r1rF AP C ⨯=∈则A FG = 证明：G EA B O ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，[]1G A E B F |S FG O -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦则m r r F C ⨯∈，r nrG C ⨯∈，G 已知，但F ?=，当然可以通过求出1E,E -再将1E -分块得到，但这样G 就没必要采用Hermite 标准形形式，注意到r 1I BP O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则[]1r 11I AP E BP F |S F O -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦证毕例1 1230A 02111021⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦求其满秩分解解：（1）首先求出A 的秩。
满秩分解
例1
化矩阵A为Hermite 标准形
1 0 2i i 0 4 2i 2 A 0 0 0 3 6 3 3i , i 1 0 2 1 1 4 4i 1
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 i r1 ( 2 ) 0 0 0 3 6 3 3i 0 2 1 1 4 4i 1
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 r3 2r1 0 0 0 3 6 3 3i 0 0 0 1 2 1 i
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 r2 3r3 2 1 i H 0 0 0 1 r2 r3 0 0 0 0 0 0
y1 x1 0,0,2T ,
y 2 x2
y 3 x3
( x2 , y1 ) ( y1 , y1 )
T y1 x 2 1 y 3 , 4 , 0 2 1
( x3 , y2 ) ( y2 , y2 )
( x3 , y1 ) ( y1 , y1 )
y1
1 8 6 y 2 x3 y1 y 2 , ,0 5 5 5
矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决 矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重 要作用。
主要内容： 1· 矩阵的QR分解-- Schmidt正交化方法 2· 矩阵的QR分解-- Householder变换、 Givens变换（略）
nn 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵 A C . 定义:设
满秩分解定理：设 A C rmn r 0, 且A的Hermite 标准形H为
k1 0 0 H 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 * 0 0 0 * 0 0 0 k2 0 1 0 0 0 * * * 0 * * 0 0 0 0 1 0 0 kr * * * 0 * * * 第r行 0 0 0
矩阵论学习-(矩阵的分解)-1
0 ｗ
.
0
故有 A = 0 .
(2 ) A2 = A, 则 A 的特征值为 1 或 0 , 假定 r ( A) = r ; A 可酉对角化为 :
UH AU =
Ir
0 , ( UH AU) H =
Ir
0H , UH AH U =
Ir 0
00
00
00
可得 AH = A .
λ1
λ21
( 3 ) A3 = A2 , 且 UH AU =
t11 t12 … t1 n
UH AU =
t2 2 ｗ
, tij = 0 , 且 tii = λi . i > j,
tnn
UH AH AU =
n
∑ | ti1 | 2
i =1
＊
n
∑ | ti2 | 2 i= 1
ｗ
＊ ,
n
∑ | tin |2
i =1
所以 , 有
n
n
n
n
n
∑∑ ∑ ∑ ∑ | aij | 2 = t r( AH A) = t r( UH AH AU) =
等价地 : Hermite 矩阵 A , 必存在酉矩阵 U , 使得
λ1
UH AU =
ｗ
.
λn
定理 1 .5 Hermite 二次型正定 ( A 正定 ) 的等价命题如下 . (1 ) Hermite 二次型 f = XH AX 正定 ( 即 ＂ X≠0, 恒有 XH AX > 0 ) . ( 2 ) f = XH AX 的正惯性指数为 n . (3 ) 存在可逆矩阵 P , 使得 PH AP = I .
nn
例 3 .1－6 A = ( ai j ) n × n , λ1 , λ2 , … , λn 为 A 的 特 征 值 , 若 ∑ ∑ | aij | 2 = i=1 j =1
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矩阵的满秩分解
§4.3矩阵的满秩分解
本节讨论一个n m ⨯复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。
定义4.3.1设n m ⨯复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得FG A =，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。
当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。
定理4.3.1设n m ⨯复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解。
证：因为0>=r rankA ，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0G B ， 其中G 为n r ⨯矩阵，并且0>=r rankG ；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积，
记作P ，有B PA =，或者B P A 1-=，将矩阵1-P 分块为()S F P =-1 ，其中F 为r m ⨯矩阵，S 为)(r n m -⨯矩阵，并且r rankF =，r n rankS -=。
则有()FG G S F B P A =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-01 ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。
▌
但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。
这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有
G F G D FD FG A ~~))((1===-。
例1、 求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=122211212101A 的满秩分解。
解：对矩阵A 进行初等行变换
()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0111000001130200012101100122201011210012101G B I A 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30202101G 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000030202101B ，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=111011001P ；而()S F P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1120110011，其中⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=121101F
由此可见，所以有()⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-12110101FG G S F B P A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-30202101。
定义4.3.2设n m ⨯复矩阵H 的秩为r ()0>r ，并且满足以下条件：
1）矩阵H 的前r 行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后r m -行的元素均为零；
2）如果矩阵H 的第i 行的第一个不为零的元素1在第i j 列()r i ,,2,1 =， 则r j j j <<< 21；
3）矩阵H 的r j j j ,,,21 列是单位矩阵m I 的前r 列； 则称矩阵H 为Hermite 标准形(最简型)。
由此定义可见，对于任意一个秩为r 的n m ⨯复矩阵A ，均可以经过初等行变换将其化为Hermite 标准形H ，而且矩阵H 的前r 列元素组成的列向量组线性无关。
定义4.3.3以n 阶单位矩阵n I 的n 个列向量n e e e ,,,21 为列构成的n 阶矩阵()n j j j e e e P ,,,21 =叫做置换矩阵。
其中n j j j ,,,21 是n ,,2,1 的一个全排列。
定理4.3.2设n m ⨯复矩阵A 的秩为r ()0>r ，矩阵A 的Hermite 标准形为H ，则在矩阵A 的满秩分解FG A =中，可以取矩阵F 为A 的r j j j ,,,21 列构成的r m ⨯列矩阵，G 为H 的前r 行构成的n r ⨯列矩阵。
例2、求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=122211212101A 的满秩分解。
解：先求出矩阵A 的Hermite 标准形
H A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0000230102101122211212101，H 的第1列与第2列构成3I 的
前两列，所以矩阵F 为A 的第1列与第2列构成的23⨯矩阵，G 为H 的前2行
构成的42⨯矩阵，即⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=222101F ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=230102101G ， 所以⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==222101FG A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-230102101。
对比例1，可以看出矩阵A 的满秩分解不唯一。