-新高二数学竞赛选拔试题
高二数学竞赛试题及答案广东
高二数学竞赛试题及答案广东高二数学竞赛试题及答案（广东）试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(x) \)在区间[-1,2]上的最大值和最小值。
2. 解方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。
答案：1. 函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)的导数为\( f'(x) = 4x - 3 \)。
令\( f'(x) = 0 \)得\( x = \frac{3}{4} \)。
在区间[-1, 2]上，\( f(x) \)在\( x = \frac{3}{4} \)处取得最小值\( f\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{8} \)，在区间端点\( x = -1 \)和\( x = 2 \)处分别取得最大值\( f(-1) = 4 \)和\( f(2) = 5 \)。
2. 方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)可以分解为\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)，解得\( x = 2 \)或\( x = 3 \)。
试题二：不等式1. 证明不等式\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4 \)在\( a, b > 0 \)时成立。
2. 解不等式\( |x - 1| + |x - 3| \geq 4 \)。
答案：1. 由于\( a, b > 0 \)，根据调和平均数与几何平均数的关系，有\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}} =2\sqrt{\frac{1}{ab}} \cdot 2 \geq 4 \)。
2. 根据绝对值的性质，\( |x - 1| + |x - 3| \)表示数轴上\( x \)到1和3两点的距离之和。
当\( x \)在区间[1, 3]之外时，距离之和大于4。
河北高二高中数学竞赛测试带答案解析
河北高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列各点中，在曲线x2-xy+2y+1=0上的点是（）A．（2，-2）B．（4，-3）C．（3，10）D．（-2，5）2.若点M到x轴的距离和它到直线y=8的距离相等，则点M的轨迹方程是（）A．x=-4B．x=4C．y=-4D．y=43.从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是（）．A．B．C．D．4.动点P到x轴，y轴的距离之比等于非零常数k，则动点P的轨迹方程是（）A．B．y=kx（x≠0）C．D．y=±kx（x≠0）5.把11化为二进制数为（）．A．1 011（2）B．11 011（2）C．10 110（2）D．0 110（2）6.已知x可以在区间[－t，4t]（t＞0）上任意取值，则x∈[－t，t]的概率是（）．A．B．C．D．7.执行下图中的程序，如果输出的结果是4，那么输入的只可能是（）A．B．2C．±2或－4D．2或－48.如图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况画出的茎叶图．从这个茎叶图可以看出甲、乙两名运动员得分的中位数分别是（）．A．31，26B．36，23C．36，26D．31，239.按照程序框图（如图）执行，第3个输出的（）．A．3B．4C．5D．6 10.方程4x2-y2+4x+2y=0表示的曲线是（）A．一个点B．两条互相平行的直线C．两条互相垂直的直线D．两条相交但不垂直的直线11.如图执行的程序的功能是（）．A．求两个正整数的最大公约数B．求两个正整数的最大值C．求两个正整数的最小值D．求圆周率的不足近似值12.已知n次多项式f（x）＝an x n＋an－1x n－1＋…＋a1x＋a，用秦九韶算法求f（x）的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是（）．A．n，n B．2n，n C．，n D．n＋1，n＋1二、填空题1.Rt△ABC的斜边AB的长度等于定值c，顶点A、B在x轴，y轴上滑动，则斜边AB的中点M的轨迹方程为。
高二数学竞赛(含答案)
高二数学竞赛试题一、选择题（本题满分60分，每题5分） 1．复数()()212z i i =++的虚部为()A. 2i -B. 2-C. 4iD. 42．已知集合A ＝{(x ，y)|x ＋a 2y ＋6＝0}，集合B ＝{(x ，y)|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝Ø，则a 的值是( ) A. 3或-1 B. 0 C. －1 D. 0或－1 3．()423a b c +-的展开式中2abc 的系数为（ ）A. 208B. 216C. 217D. 218 4.某公司在2013-2017年的收入与支出情况如下表所示：根据表中数据可得回归直线方程为0.8y x a ∧∧=+，依此估计如果2018年该公司收入为7亿元时的支出为( ) A. 4.5亿元 B. 4.4亿元 C. 4.3亿元 D. 4.2亿元5. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 的方程为20x y -= ）的点的个数的估计值为( )A. 5000B. 6667C. 7500D. 78546. 函数2cos 3sin cos y x x x =在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ） A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 122,3⎡-⎢⎣⎦C. 0,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 2,301⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”.已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断出得第一名的人是（ ）A. 小明B. 小马C. 小红D. 小方8.一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为收入x （亿元） 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 支出y （亿元）0.21.52.02.53.8A.94πB. 9πC. 4πD. π 9．我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202-1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的是（ ） 开始结束是,,n v x1i n =-0?i ≥输出v 1i i =-1v v x =⋅+否输入A ．5432222221+++++B ．5432222225+++++C ．654322222221++++++D ．43222221++++10．设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为（ ） A. 2 B. 3 C.32 D. 5311．已知抛物线C ： 22(0)y px p =>和动直线l ： y kx b =+（k ， b 是参变量，且0k ≠， 0b ≠）相交于()11,A x y ， ()22,B x y 两点，直角坐标系原点为O ，记直线OA ， OB 的斜率分别为OA k ， OB k ，若3OA OB k k ⋅=恒成立，则当k 变化时直线l 恒经过的定点为（ ）A. ()3,0B. ()23,0- C. 3p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.23,0p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭12. 已知函数13,1()22ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩（lnx 是以e 为底的自然对数，e=2.71828...），若存在实数m,n(m<n)，满足f(m)=f(n)，则n-m 的取值范围为( ) A.B.C.D.二、填空题 （本题满分20分，每题5分）13.已知实数,x y 满足约束条件222441 x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围为 .14. 如图，矩形ABCD 中，AB=2AD ，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则在ADE 翻折过程中，下列命题正确的是 ．（写出所有正确的命题的编号）①线段BM 的长是定值；②存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；③点M 的运动轨迹是一个圆；④存在某个位置，使 MB 平面A 1DE ．15. 已知双曲线22221x y a b -= （0a > ， 0b > ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线交双曲线右支于P ，Q 两点，且1PQ PF ⊥ ，若1512PQ PF =，则双曲线的离心率为__________ . 16．九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,...,a a a ，若13579a a a a a ++++是一个平方数，2468a a a a +++是一个立方数，则1239...a a a a ++++的最小值是 .三、解答题（本题满分70分）17．（本小题满分10分）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ；（2）若33ABC S ∆=+,求,a c .18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N *+=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：12231 (2)n n a a a na a a ++++<. 19．（本小题满分12分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，哈市面向全市征召《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在[]20,45的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示．（1）求图中x的值；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．20. （本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆，⊙O交BC于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）在（2）条件下，若CD=1，EH=3，求BF及AF长．21．（本小题满分12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，并且过点P（2，﹣1）（1）求椭圆C的方程；（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x1，y1），B（x2，y2），若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．22. （本小题满分12分）已知函数()ln mx nf x x x-=-，,m n R ∈. （1）若函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()f x 在区间[1,)+∞上最大值；（3）若1n =时，函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：122x x +>.高二数学竞赛试题参考答案1．D 2．D 3．B 4．B 5. B 6. C 7．A 8．A 9．A 10．B 11．D 12. C13. []1,6 14．①③ 1516．18000 17．解：(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-. ....................2分 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). ．即 2C A B =+, 得3C π=，所以.23B A π+=.................. 4分又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56B A π-=（舍去）得5,412A B ππ== ．.................. 6分(2)1sin 32ABC S ac B ∆===， 又sin sin a cA C =, 即22=， ．.................. 8分得a c == .................. 10分（1）由已知6B π=， 2220a ab b --=结合正弦定理得：22sin sin 10A A --=，于是sin 1A =或1sin 2A =-（舍）．因为0A π<<，所以2A π=， 3C π=．（2）由题意及余弦定理可知22196a b ab ++=，由（1）2220a ab b --=得()()20a b a b +-=即2a b =， 联立解得27b =， 47a = 所以， 1sin 1432ABC S ab C ∆==. 18．（1）∵.∴，∴是以为首项，2为公比的等比数列.∴，即................... 6分（2）证明：∵1121212112122112(21)2k k k n k k kn a a ++---=<==-⋅---，，∴................... 12分19．（1）根据频率分布直方图可得()0.010.020.040.0751x ++++⨯=，解得0.06x =.........2分（2）用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，.................. 4分 故X 的可能取值为0,1,2,3．()343101030C P X C ===， ()12643103110C C P X C ===， ()2164310122C C P X C ===， ()36310136C P X C ===．故X 的Y 0 1 2 3P130 310 12 16.................. 10分()13110123 1.8301026E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=．..................12分 20.证明：（1）如图，连接OE ． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠CBE=∠OBE ， ∵OB=OE ，∴∠OBE=∠OEB ， ∴∠OEB=∠CBE ， ∴OE ∥BC ，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC 是⊙O 的切线； ．..................3分（2）如图，连结DE ．∵∠CBE=∠OBE ，EC ⊥BC 于C ，EH ⊥AB 于H ， ∴EC=EH ．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE ．在△CDE 与△HFE 中，90CDE HFE C EHF EC EH ∠=∠∠=∠=⎪⎨⎩=⎧⎪， ∴△CDE ≌△HFE （AAS ）， ∴CD=HF ．．..................7分（3）由（2）得，CD=HF ．又CD=1 ∴HF ＝1在Rt △HFE 中，EF =2231+＝10 ∵EF ⊥BE ∴∠BEF =90°∴∠EHF =∠BEF =90° ∵∠EFH =∠BFE ∴△EHF ∽△BEF ∴EF HFBF EF =，即10110BF =∴BF =10∴152OE BF ==, 514OH =-=,∴在Rt △OHE 中， 4cos 5EOA ∠=,∴在Rt △EOA 中， 4cos 5OE EOA OA ∠==,∴545OA = ∴254OA =∴255544AF =-=. ．..................12分21．（1）解：由，得，即a 2=4b 2，∴椭圆C 的方程可化为x 2+4y 2=4b 2．又椭圆C过点P （2，﹣1），∴4+4=4b 2，得b 2=2，则a 2=8．∴椭圆C 的方程为；..................4分（2）证明：由题意，直线PA 斜率存在，设直线PA 的方程为y +1=k （x ﹣2），联立，得（1+4k 2）x 2﹣8（2k 2+k ）x +16k 2+16k ﹣4=0．∴，即．∵直线PQ 平分∠APB ，即直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数，设直线PB 的方程为y+1=﹣k （x ﹣2），同理求得． ..........8分又，∴y 1﹣y 2=k （x 1+x 2）﹣4k ．即=，.................. 10分∴直线AB 的斜率为．..................12分22.（1）由'2()n x f x x -=，'2(2)4n f -=，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，故214n -=，解得6n =. .................. 2分 （2）'2()(0)n xf x x x-=>，由'()0f x <时，x n >；'()0f x >时，x n <，所以①当1n ≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减，故()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)f m n =-；②当1n >，()f x 在[1,)n 上单调递增，在(,)n +∞上单调递减， 故()f x 在[1,)+∞上的最大值为()1ln f n m n =--；综上①当1n ≤时，()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)f m n =-；②当1n >，()f x 在[1,)+∞上的最大值为()1ln f n m n =--；.................. 6分（3）函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，则1211221211()ln 0,()ln 0mx mx f x x f x x x x --=-==-=， 可得121211ln ln m x x x x =+=+. 于是21221121ln ln ln x x x x x x x x -=-=. 令211x t x =>，则1111ln ,ln t t t x tx t t --==，于是21211(1)ln t x x x t t t-+=+=，.................. 8分∴21212(ln )22ln t t t x x t--+-=，记函数21()ln 2t h t t t -=-，因2'2(1)()02t h t t -=>， ∴()h t 在(1,)+∞递增，∵1t >，∴()(1)0h t h >=，又211x t x =>，ln 0t >，故122x x +>成立. .................. 12分。
高二数学竞赛试题及答案.doc
高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。
假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。
高二数学竞赛试题及答案
高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。
______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。
______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。
______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。
______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。
贵州高二数学竞赛试题及答案
贵州高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 4B. 2C. -2D. 02. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 +b^2 = c^2 \)，则此三角形是：A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形3. 已知\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)，求\( \cos 30^\circ \)的值。
A. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)B. \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)4. 将\( 1 \)升水倒入一个底面半径为\( 1 \)米的圆柱形容器中，水面高度是多少？A. 1米B. 0.5米C. 0.25米D. 0.1米二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( \sqrt{2} \)是一个无理数，那么\( \sqrt{2} + \sqrt{2} \)等于______。
6. 圆的周长为\( 2\pi r \)，其中\( r \)是半径，若圆的周长为\( 12\pi \)，则半径\( r \)等于______。
7. 已知等差数列\( 3, 7, 11, 15, \ldots \)的首项为\( a_1 \)，公差为\( d \)，求第\( n \)项\( a_n \)的表达式为______。
8. 若\( x \)轴上一点\( P \)到点\( A(-3, 4) \)和点\( B(3, 4) \)的距离相等，则点\( P \)的坐标为______。
三、解答题（每题15分，共60分）9. 证明：\( \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A\tan B} \)。
高二年级数学竞赛试题含答案
高二年级数学竞赛试题一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1. 已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，其中正确的是 （ ） (A) tan 1p x R x ⌝∃∈≠：，使(B) tan 1p x R x ⌝∃∉≠：，使 (C) tan 1p x R x ⌝∀∈≠：，使(D) tan 1p x R x ⌝∀∉≠：，使 2. 设a R ∈，则1a >是11a< 的 （ ） （A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3. 抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是 （ ） （A ）（a , 0） （B ）(－a , 0) （C ）（0, a ） （D ）（0, －a ）4（文）=∆∆--∆+→∆xx x f x x f 2)()(lim000x （ ）(A).)(210x f ' (B). )(0x f ' (C). )(20x f ' (D). )(-0x f ' 4（理）有以下命题：①如果向量,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面； ③已知向量,,是空间的一个基底，则向量,,-+也是空间的一个基底。
其中正确的命题是 （ ） （A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③ 5（文）已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（ ） （A ）e 1-（B ）e 1 （C ）e 2 （D ）e2- 5（理）已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）56（文） 设210,,k k k 分别表示正弦函数x y sin =在2,4,0ππ===x x x 附近的平均变化率，则（ ）(A ). 012k k k << (B). 120k k k << (C). 210k k k << ( D). 201k k k <<6（理）如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。
山东高二高中数学竞赛测试带答案解析
山东高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.求的值.2.在棱长为1的正四面体中，和分别是和的中点，求异面直线和之间的距离.3.设的三边长分别为，面积为，证明：.4.1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？5.过椭圆的右焦点的直线与圆相切于点，并与椭圆交于不同的两点，若，证明：椭圆的离心率为.6.设为三角形中的三边长，且，求证：.7.已知椭圆过点，两个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上的两个动点，①如果直线的斜率与的斜率之和为2，证明：直线恒过定点.山东高二高中数学竞赛测试答案及解析一、解答题1.求的值.【答案】2.【解析】利用题意结合所给三角函数式的特征构造两角和差正余弦公式计算可得三角函数式的值为2.试题解析：原式2.在棱长为1的正四面体中，和分别是和的中点，求异面直线和之间的距离.【答案】.【解析】将异面直线之间的距离转化为线面距离，然后利用体积相等结合题意可得异面直线和之间的距离是.试题解析：连接，取中点，连结，则，∴平面，∴异面直线和的距离就是到平面之间的距离，在中，，，，，∴，由，所以.3.设的三边长分别为，面积为，证明：.【答案】证明见解析.【解析】利用面积公式，结合所给不等式的特征，证得即可证得题中的结论.试题解析：4.1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？【答案】最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.【解析】将原问题转化为数列的递推关系的题目，然后结合递推关系式讨论可得最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.试题解析：假如我们设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为，得到一个数列，依题意，可知数列的递推公式：，即，整理变形，得.故是以为公比的等比数列，所以，欲使，应有，故最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.5.过椭圆的右焦点的直线与圆相切于点，并与椭圆交于不同的两点，若，证明：椭圆的离心率为.【答案】证明见解析.【解析】设出PQ的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理整理计算得到椭圆中a,b的齐次式，然后求解离心率即可.试题解析：设点，直线方程为，则由，得所以，，因直线与直线垂直，故有，得又直线与圆相切，所以所以，从而由，得点因点在圆上，所以有化简，得即再进一步利用韦达定理整理上式消去，得从而，故有.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．6.设为三角形中的三边长，且，求证：.【答案】证明见解析.【解析】构造三元函数，将其整理变形为，结合三角形的特征和均值不等式的结论即可证得最终结果.试题解析：记，则又为的三边长，所以，，，所以.另一方面，由于，所以，又所以不妨设，且为的三边长，所以.令，则所以从而当且仅当时取等号.7.已知椭圆过点，两个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上的两个动点，①如果直线的斜率与的斜率之和为2，证明：直线恒过定点.【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】(1)由题意得到a,b的值即可确定椭圆方程；(2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理分类讨论即可证得题中的结论.试题解析：（1）由题意可得：，则椭圆的方程为（2）设，直线方程为，，得：由韦达定理：，，由题意可知，即∴即∴或当时，直线方程恒过定点当时，直线方程恒过定点与点重合，不合题意舍去，综上所述，直线恒过定点.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
丽水高二数学竞赛试题及答案
丽水高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是无理数？A. πB. √2C. 0.1010010001...D. 22/72. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的顶点坐标是？A. (3/4, -1/8)B. (-3/4, 1/8)C. (3/2, -1/4)D. (-3/2, 1/4)3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的结果。
A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}4. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，第10项a10的值是多少？A. 29B. 32C. 35D. 425. 直线y = 2x - 4与x轴的交点坐标是？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (4, 0)D. (0, -4)二、填空题（每题4分，共20分）6. 圆的半径为5，圆心到直线x + 2y - 3 = 0的距离是_________。
7. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g'(x) = ________。
8. 已知等比数列的首项a1=8，公比q=2，求第5项a5的值是_________。
9. 抛物线y^2 = 4x的焦点坐标是_________。
10. 已知正弦函数y = sin(x)，求其在x=π/4处的导数值是_________。
三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。
12. 已知椭圆的方程为x^2/9 + y^2/4 = 1，求椭圆的长轴和短轴长度。
13. 解不等式：|2x - 1| + |x + 2| ≥ 5。
14. 已知函数f(x) = 3x^3 - 2x^2 - 5x + 6，求其极值点。
15. 已知向量a = (2, -1)，b = (-1, 3)，求向量a在向量b上的投影。
四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。
吉林省长春市第二实验中学2024-2025学年高二上学期学科竞赛数学试题
长春二实验中学高二年级学科竞赛数学试卷考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第三章~第三章3.1.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（ ）A.B.C.D.2.若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.3.直线被圆所截得的弦长为（ ）B.C.5D.104.已知直线经过两条直线的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（ ）A. B.C.D.5.若椭圆的两个焦点为，点在椭圆上，且，则（ ）A.B. C. D.6.已知点，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.7.已知圆和两点，若圆上存在点，使得0x y +=45 45- 60 1352242x y x y m +-+=m (),5∞--()0,∞+()5,∞-+(),0∞-30x y -+=22240x y x y ++-=l 12:2,:21l x y l x y +=-=l (3,2)v =-l 2350x y +-=2310x y -+=3250x y --=2310x y +-=22:196x y C +=12,F F P C 12PF =12F PF ∠=π6π32π35π6()()2,33,2A B -､()0,2P -l AB (),3Q m l m (]15,2,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭15,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦152,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦152,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦22:(6)(8)1C x y -+-=()()(),0,,00A m B m m ->C P，则的最大值为（ ）A.9B.10C.11D.128.若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，下列选项正确的是（ ）A.过点且垂直于直线的直线方程为B.直线过定点C.当时，D.当时，10.已知椭圆的左､右两焦点分别是，其中.过左焦点的直线与椭圆交于两点.则下列说法中正确的有（ ）A.的周长为B.若的中点为所在直线斜率为，则C.若的最小值为，则椭圆的离心率D.若，则椭圆的离心率的取值范围是11.已知动点的轨迹方程为，其中不同时为0，则（）A.该轨迹关于直线对称B.该轨迹围成的图形面积为C.若点在该轨迹上，则90APB ∠= m ()2221:(1)(2)0C x y rr ++-=>:43100l x y --=r ()3,∞+()5,∞+()3,5[]3,5()()()12:4340,:21250l x y l m x m y m m -+=+-+++=∈R ()1,2-1l 3450x y +-=2l ()3,1-1m =12l l ⊥2m =1l ∥2l ()2222:10x y C a b a b+=>>12F F ､122F F c =,A B 2ABF V 4aAB ,M AB k 22OMc k k a⋅=-AB 3c 13e =2123AF AF c ⋅= 12⎤⎥⎦E 22x y x y +=+,x y y x =π2+()00,x y 0x …D.若圆能覆盖该轨迹，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆和圆内切，则__________.13.如图，已知，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是__________.14.在平面直角坐标系中，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是__________；当取得最大值时，椭圆的焦距为__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程；（2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.16.（本小题满分15分）已知圆与圆相交于､两点.（1）求公共弦所在直线方程；（2）求过两圆交点，且过原点的圆的方程.17.（本小题满分15分）如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用圆形纸片按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是，在圆内（除去圆心）取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕.()2220x y r r +=>r ()222:(3)0C x y r r -+=>22:870D x y y +-+=r =()()4,0,0,4A B ()2,0P AB OB OB P xOy ()22:144y x C m m m +=>-(2,2)A -()0,2B -P 8PA PB +=m m ()()2,1,6,3A B --AB ()3,2P 221:230C x y x +--=222:4230C x y x y +-++=A B AB A B ､O F F这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸，如图所示.（1）以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）求经过点，且与直线夹角为的直线交椭圆于两点，求的面积.18.（本小题满分17分）如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线为切点，且有.（1）求点的轨迹方程，并说明点的轨迹是什么样的几何图形；（2）求的最小值；（3）以为圆心作圆，使它与圆有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程.19.（本小题满分17分）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为，当时，的面积为.（1）求的值；（2）为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点F O FO x FO M F FO π4,C D OCD V 22:4O x y +=()6,8A O P O ,PQ Q PQ PA =P P PQ P O F ()2222:10x y C a b a b+=>>O M MF 2+OM OF =MOF V 12baA B ､P 3AP PB =M ,A B MP C，直线交于点，求的最大值.N ,AM BN T ATB长春二实验中学高二年级学科竞赛数学试卷参考答案､提示及评分细则一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案DCBABDCC二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案ADADABC1.D 根据直线方程可知其斜率为，设直线倾斜角为，则，可得.故选D.2.C 方程化为标准方程为，有.3.B 圆即，故圆心为，显然圆心在直线上，故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为B.4.A 联立，解得，即直线的交点为，又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为，故直线的方程为，即，故选A.5.B 由题意得，则，在中，由余弦定理可得，所以，故选B.6.D 如图所示，是直线与直线交点的横坐标，当与重合时，取最大值，当与重合时，取最小值，所以的取值范围是.0x y +=1k =-θtan 1θ=-135θ= 22(2)(1)5x y m -++=+5m >-22240x y x y ++-=22(1)(2)5x y ++-=()1,2-30x y -+=221x y x y +=⎧⎨-=⎩11x y =⎧⎨=⎩12:2,:21l x y l x y +=-=()1,1l ()3,2v =-l 23-l ()2113y x -=--2350x y +-=3,a c ==24PF =12F PF V 121cos 2F PF ∠==12π3F PF ∠=m l 3y =l BP m 154l AP m 2-m 152,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7.C，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，又在圆上，所以两圆有交点，则，而，得.8.C 如图所示.设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为，，解得或，圆心到直线的距离为，圆到直线的距离为，由图可知，圆与直线相交，与直线相离，所以，即.9.AD 对于A ，垂直于直线的直线方程为，将点代入得，故所求直线方程为，A 正确；对于B ，直线化为：，由，求得直线过定点，故B 错误；90APB ∠= AB O OP m =P m P C 11m OC m -+……10OC==911m ……l l 430x y c -+=1=5c =-15c =-()11,2C -4350x y --=13d ()11,2C -43150x y --=25d 1C 4350x y --=43150x y --=12d r d <<35r <<4340x y -+=340x y m ++=()1,2-5m =-3450x y +-=2l ()()2250m x y x y -++-+=20250x y x y -+=⎧⎨-+=⎩2l ()3,1--对于C ，时有：，解得，故C 错误；对于D ，当时，，解得，故D 正确.故选AD.10.AD直线过左焦点的周长为，A 正确；设，则，点.由①-②得，故B 错误；当轴时，最小，令，解得，，整理得，即，解得或（舍去），故C 错误；，，，即，即，可得，则椭圆的离心率的取值范围是，D 正确.故选AD.11.ABC 对于A ，轨迹上任意一点满足，该点关于直线的对称点也满足，即轨迹上任意一点关于直线的对称点仍在该轨迹上，A 正确；12l l ⊥()()42310m m +++=117m =-1l ∥2l ()1225434m m m -+++=≠-2m = AB 12,F ABF ∴V 12124AF AF BF BF a +++=()()1122,,,A x y B x y 1212y y k x x -=-12121212,,22OM x x y y y y M k x x +++⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②()()()()()()2221212121212122222212121,,QM QMx x x x y y y y x x b y y b b k k abx x y y a k a a+-+-+-=-∴=-=-⋅∴⋅=--+AB x ⊥AB 2222,1c y x c a b =-+=2by a=±223b c a∴=222320c ac a +-=22320e e +-=12e =2-()111,AF c x y =--- ()211,,AF x y =--()()22222222212*********c AF AF c x c x y x y c x a c c a ∴⋅=---+=+-=+-= 22222222221120,,22c x a a c x a c a c a⎡⎤∈∴-+--⎣⎦ (2)222223a c c a c -- (2211)54c a ……12c e a ⎤=∈⎥⎦12⎤⎥⎦(),x y 22x y x y +=+y x =(),y x 22y x y x +=+(),x y y x =对于B ，点在该轨迹上，点也都在该轨迹上，则该轨迹关于轴，轴对称，当不同时为0时，该轨迹的方程为，表示以点为圆为半径的圆在直线上方的半圆（含端点），因此，该轨迹是四个顶点为，的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，所以该轨迹围成的图形面积是，B 正确；对于C ，点在该轨迹上，则，则有，即，解得，C 正确；对于D ，该轨迹上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖该轨迹，则不正确.故选ABC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.8圆，圆心，半径为，圆，圆心，半径，因为两圆内切，所以，解得.易得所在直线方程为，由于点关于直线的对称点坐标为，点关于轴的对称点坐标为，则光线所经过的路程即为与两点间的距离，于是14.； 因为点是椭圆内一点，所以，由，可得(),x y ()()(),,,,,x y x y x y ----x y 0,0,,x y x y (22)111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1x y +=()()1,0,0,1--()()1,0,0,1211224ππ222⨯⨯+⨯⨯=+()00,x y 2222000000111222x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⇔-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭201122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭…0x …0x …=()2220x y r r +=>min D r =()222:(3)0C x y r r -+=>()3,0C r 22:870D x y y +-+=()0,4D 3R =3CD r ==-8r =AB 4x y +=P AB ()14,2P P y ()22,0P -()14,2P ()22,0P -12PP ==(625⎤+⎦4()2,2A -4414m m +<-44144m m m ⎧+<⎪-⎨⎪>⎩.易知为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为，则.又，当且仅当三点共线时等号成立，所以，所以，所以，故.当取得最大值25时，椭圆的方程为，故其焦距为4.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.解：（1）线段的中点为，故线段的垂直平分线的方程为，即.（2）①当直线过原点时，所求直线方程为，②当直线不过原点时，斜率为，所求直线方程为：，即，由①②知所求直线方程为或.16.解：（1）①，②①-②得即公共弦所在直线方程为.（2）设圆的方程为，即.因为圆过原点，所以，所以所求圆的方程为17.解：（1）如图，设为椭圆上一点，由题意可知且，所以分别为椭圆的左､右焦点，长轴长，所以，所以椭圆的标准方程为.6m >+()0,2B -F PA PB PA PF +=+-||||||||2PA PF AF -=…,,P A F 22PA PB -++……282-……925m ……625m +<…m 2212521y x +=AB ()1312,1,262AB C k --==--AB ()122y x -=--250x y +-=23y x =1-()23y x -=--5y x =-+23y x =5y x =-+22230x y x +--=224230x y x y +-++=2260x y --=AB 30x y --=()2222234230x y x x y x y λ+--++-++=()()()2211242330x y x y λλλλλ+++-++-+=330,1λλ-+==2230x y x y +-+=P 4PF PO AO +==24FO =<,F O 24,22a c ==2222,1,3a c b a c ===-=22143x y +=（2）经过且与直线夹角为的直线的倾斜角为或，由对称性，不妨取倾斜角为，即，显然，直线.设，联立，消去得.解法1：解得上述值的互换不影响结果，不妨取，将的值分别代入，得，所以，所以.点到直线即的距离，故的面积.（也可以按此解法算得的坐标后，得，F FOπ4π43π4π41k =()1,0F -:1CD y x =+()()1122,,,C x y D x y 221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 27880x x +-=124477x x =-=-124477x x =-=-12,x x 124477x x =-=--12,x x 1y x =+123377y y =+=-4343,7777C D ⎛⎛-+- ⎝⎝247CD ==()1,0O :1CD y x =+10x y -+=d OCD V 12427OCD S =⨯=V 12y y ､12y y -=故.解法2：，且，所以.点到直线即的距离，故的面积.（也可以按此解法算得后，得，，故.18.解：（1）设点的坐标为，，由题意有，整理为：，故点的轨迹方程为，点的轨迹是斜率为，在轴上的截距为的直线.（2）由和（1），的最小值为点到直线的距离，最小值为.（3）由圆的性质可知，当直线与直线垂直时，以此时的点为圆心，且与圆相外切的圆为所求，此时的方程为，1211222OCD S FO y y =-=⨯=V 2Δ84782880=+⨯⨯=>121288,77x x x x +=-=-2247CD x =-===()1,0O :1CD y x =+10x y -+=d OCD V 12427OCD S =⨯=V 121288,77x x x x +=-=-12x x -===()()12121211y y x x x x -=+-+=-=1211222OCD S FO y y =-=⨯=V P (),x y 2222||44PA OP x y ==-=+-2222(6)(8)4x y x y -+-=+-34260x y +-=P 34260x y +-=P 34-y 132PQ PA =PQ A 34260x y +-=245=OP 34260x y +-=P O OP 43y x =联立方程解得点到直线的距离为，可得所求圆的半径为，故所求圆的标准方程为.19.解：（1）因为设椭圆的左焦点为，因为，所以.即，又，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以②，又③，由①②③，解得，所以.（2）由（1）可知椭圆的方程为，因为点满足，所以，设直线的方程为，联立，得，设，易得，则，直线的方程为，直线的方程为，4,334260,y x x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩78,25104,25x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O 34260x y +-=2652616255-=2278104256252525x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭max ||2MF a c =+=+E 12OM OF EF ==90EMF ∠= 2222||||4ME MF EF c +==2ME MF a +=222||24ME MF ME MF a ++=2222444ME MF a c b =-=22ME MF b =212MEF S ME MF b ==V 12MOF S =V 1MEF S =V 21b =222a b c =+224,3a c ==12b a =C 2214x y +=P 3AP PB = ()1,0P MN 1x my =+22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()224230m y my ++-=()()1122,,,M x y N x y Δ0>12122223,44m y y y y m m +=-=-++AM ()1122y y x x =++BN ()2222y y x x =--联立得，因为，所以，解得所以动点的轨迹方程为.由椭圆的对称性不妨设，直线的倾斜角分别为，因为，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，此时，所以的最大值为.()()()()12121212121122212222123y x y my my y y x x y x y my my y y -+---===+++++()121232my y y y =+()()121121221231321222339233222y y y y y x x y y y y y +-+-===++++4,x =T ()40x y =≠()4,,0T t t >,TA TB ,αβATB ∠βα=-()tan tan tan tan 1tan tan ATB βα∠βαβα-=-=+tan ,tan 62TA TB t t k k αβ====24426tan 1212126t t t ATB t t t t t∠-====++⋅+…t =(π4,,6T ATB ∠=ATB ∠π6。
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新高二数学竞赛选拔考试试题 满分100分 考试时间：90分钟
一、选择题(每小题5分，共40分)
1、当,x y 满足条件1x y +≤时,变量2+-=y x z 的取值范围是( ).
A. 22⎣⎦
B. ()1,3
C. []1,3
D.
22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
2、体育课下课后，老师要求体育委员把5个相同的篮球、3个相同的排球、2个相同的橄榄球排成一排放好，则不同的放法有（ ）
A. 420种
B. 1260种
C. 5040种
D. 2520种
3、设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时()f x 是严格单调函数,则满足
3
()(
)4
x f x f x +=+的所有x 之和为( ). A.3- B.-8 C. 3 D.8
4、若把函数sin y x x =-的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）.
A ．
π3 B ．2π3 C ．π6 D ．5π6
5、空间中一点P 到三条两两垂直的射线,,OA OB OC 且垂足分别为,,A B C ''',则三棱锥P A B C '''-的体积为( ).
B.
D. 6、已知直线)0(0>=-+k k y x 与圆422=+y x 交于不同的两点B A ,,O 为坐标原
≥
+，则k 的取值范围是( ). A. ),3(+∞ B. ),2[+∞ C. )22,2[ D. )22,3[ 7、设n a 为),2()3(N n n x n ∈≥+的展开式中x 的一次项系数，则
=++)333(2008
20092009
2009
3322a a a ( ). A. 18 B. 17 C. -18 D. 19 8、如图，在直角梯形ABCD 中，已知3,1,===⊥AB DC AD AD AB ，动点P 在以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆内运动，若),(R AB AD AP ∈+=βαβα，则βα+的取值范围是（ ）
A. )34,0(
B. )35,0(
C. )34,1(
D. )3
5,1(
二、填空题(每小题5分，共20分)
9、设函数⎩⎨⎧>≤--=-7
,7
,3)3()(6x a x x a x f x ，数列{}n a 满足(),n a f n n +=∈N ，且数列{}n a 是
递增数列，则实数a 的取值范围是
10、一个球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切，若该球的体积为
3
32π
，则该三棱柱的体积是_______________________
11、已知)2,(≥∈n N n n 是常数，且n x x x ,,,21 是区间]2
,
0[π
内任意实数，则函数
1322121cos sin cos sin cos sin ),,(x x x x x x x x x f n n ++=的最大值等于
12、不等式x a x a x cos 1cos sin 22+≥++对于一切R x ∈成立，则实数a 的取值范围是
三、解答题（本大题共4个小题，共40分）
13、(本小题满分10分) 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且
1
cos 2
a C c
b +=
(1)求角A 的大小.
(2)若1a =,求ABC ∆内切圆半径R 的最大值.
14、(本小题满分10分)已知数列{}n a 的首项14a =,前项和为n s , 且
13240(*)n n s s n n N +---=∈
(1)求数列{}n a 的通项公式. (2)设函数211()n n n f x a x a x a x -=++
+,()f x '是函数()f x 的导函数,令
)1('f b n =,求数列}{n b 的通项公式
X
Y O
D B
A 15、(本小题满分10分)已知点)2,1(A 是离心率为
2
2
的椭圆C ：)0(122
22>>=+b a a
y b x 上的一点．斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）ABD ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
16、(本小题满分10分)已知函数1ln )(-=
x
x
x f （1）试判断函数)(x f 的单调性；
（2）设0>m ，求)(x f 在]2,[m m 上的最大值； （3）试证明：对*∈∀N n ，不等式n
n
n n e +<
+1)1ln(。