教案 初三 圆的概念及性质
初三九年级上册_圆的概念和性质辅导讲义(学生版)
初三九年级上册_圆的概念和性质辅导讲义知识图谱圆的相关概念知识精讲知识精讲一．圆的相关概念1.圆的概念（1）描述性定义:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径；（2）集合性定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径；（3）圆的表示方法:用符号 表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O”，读作“圆O”；（4）同圆、同心圆、等圆：①圆心相同且半径相等的圆叫同圆；②圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；③能够重合的两个圆叫做等圆．2.弦与弧的相关概念：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍；（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的圆弧记作 AB，读作弧AB；（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角与圆周角（1）圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角；①将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧；②圆心角的度数和它所对的弧的度数相等；（2）圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．三点剖析一．考点：圆的相关概念二．重难点：1.圆的两种定义的理解；2.弦心距、优弧、圆周角等陌生概念的理解与记忆．三．易错点：1.圆是一条封闭曲线并不包含所围成图形内部部分；2.弓形只是由弧和弦所构成不包含半径；3.同圆、等圆、同心圆的联系与区别．圆的相关概念例题例题1、判断：（1）直径是弦，弦是直径（）（2）半圆是圆弧（）（3）长度相等的弧是等弧（）（4）能够重合的弧是等弧（）（5）圆弧分为优弧和劣弧（）（6）优弧一定大于劣弧（）（7）半径相等的圆是等圆（）例题2、设想有一根铁丝套在地球的赤道上，刚好拉紧后，又放长了15米，并使得铁丝均匀地离开地面．则下面说法中比较合理的是（）A.你只能塞过一张纸 B.你只能塞过一只书包C.你能钻过铁丝 D.你能直起身体走过铁丝随练随练1、下列说法中，结论错误的是（）A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧随练2、过圆上一点可以做出圆的最长弦的条数是（）A.1条 B.2条 C.3条D.无数条随练3、如图，O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE OB =，74AOC ∠=︒，则E ∠=．垂径定理知识精讲一．垂径定理1.定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2.推论1：（1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．补充说明：做题过程中，定理与推论1（1）可以直接使用，而推论1（2）、（3）需证明后再使用．三点剖析一．考点：垂径定理二．重难点：利用垂径定理求圆的半径、弦长和弦心距．三．易错点：对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题垂径定理例题例题1、在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm ，则油的最大深度为（）A.40cmB.60cmC.80cmD.100cm例题2、如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于E ，1CE =寸，10AB =寸，则直径CD 的长为（）A.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸例题3、如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分．如果M 是O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交O 于点E ，并且4CD =，6EM =，求O 的半径．例题4、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm ，水面最深地方的高度为2cm ，则该输水管的半径为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm例题5、⊙O 的半径为10，两平行弦AC ，BD 的长分别为12，16，则两弦间的距离是（）A.2B.14C.6或8D.2或14随练随练1、如图，⊙O 的弦AB 垂直半径OC 于点D ，∠CBA=30°，OC=3cm ，则弦AB 的长为（）A.9cmB.3cmC.cmD.cm随练2、如图，ABC ∆内接于O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五个结论AB DE AE BE OD DE AEO C ⊥==∠=∠①，②，③，④， 12AE AEB=⑤，正确结论的是随练3、如图，当圆形桥孔中的水面宽度AB 为8米时，弧ACB 恰为半圆．当水面上涨1米时，桥孔中的水面宽度A B ''为（）15米 B.215米 C.217米 D.不能计算随练4、如图，在梯形ABCD 中，AB DC ∥，AB BC ⊥，2cm AB =，4cm CD =．以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离是多少？弧，弦，圆心角之间的关系知一推二知识精讲一．圆心角、弧、弦之间的关系1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弧也相等．若AOB A OB ''∠=∠，则 AB A B ''=，AB A B ''=，AM A M ''=．2.推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．二．应用1.在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答；2.有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距；3.在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角；4.有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：（1）连过弧中点的半径；（2）连等弧对的弦；（3）作等弧所对的圆心角三点剖析一．考点：弧、弦、圆心角、弦心距的关系二．重难点：弧、弦、圆心角、弦心距的关系三．易错点：1.两条弧存在倍数关系，但所对应的弦并不是存在相同的倍数关系；2.判断题中，注意题中前提条件，必须是在等圆或同圆中．弧，弦，圆心角之间的关系知一推二例题例题1、下列说法中正确的是（）①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦相等；③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．A.①③ B.②④ C.①④ D.②③例题2、如图，以ABC ∆的边BC 为直径的O 分别交AB AC 、于点D E 、，连结OD OE 、，若65A ∠=︒，则DOE ∠=．例题3、如图，AB 、CD 为⊙O 的直径， AC CE=，（1）试说明BD CE =；（2）若连结BE ，问BE 与CD 平行吗？请说明理由．随练随练1、如图所示，点D 是弦AB 的中点，点C 在⊙O 上，CD 经过圆心O ，则下列结论中不一定正确的是（）A.CD ⊥ABB.∠OAD=2∠CBDC.∠AOD=2∠BCDD.弧AC=弧BC随练2、如图，A ，B ，C ，D 均为⊙O 上的点，且AB CD =，则下列说法不正确的是（）A.AOB COD ∠=∠B.AOC BOD ∠=∠C.AC BD =D.OC CD=随练3、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC ，则∠ABC=___________．拓展拓展1、如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A.45（）cm B.9cm C.45 D.62cm拓展2、下列说法正确的有（）①在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；②在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合；③度数相等的弧叫做等弧；④优弧大于劣弧；⑤直角三角形的外心是其斜边中点．A.①②③④⑤B.①②⑤C.①②③⑤D.②④⑤拓展3、如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围为____cm≤OP≤____cm．拓展4、如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点（不与A、B重合），当PA=时，△PAD为等腰三角形．拓展5、在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，^^^AC CD BD==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是__________．拓展6、如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm．拓展7、在⊙O 中，点C 是劣弧AB 的中点，则线段AB 和线段AC 的大小为（）A.2AB AC =B.2AB AC >C.2AB AC< D.无法确定拓展8、如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是弧ACB 上一点，D 、E 是弧AB 上不同的两点（不与A 、B 两点重合），则D E ∠+∠的度数为（）A.mB.1802m︒-C.902m ︒+D.2m 拓展9、如图，在半径为2的⊙O 中，弦AB=2，⊙O 上存在点C ，使得弦AC=22BOC=______________°．拓展10、如图9A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是弧 AB 的中点，求证四边形OACB 是菱形．图9。
人教版九年级数学上第24章24.1圆的基本性质教案
圆基本性质1、圆的定义(1)圆的定义点集定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．定点称为圆心，定长称为半径．(2)弦与直径①弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦．②直径：经过圆心弦，称为直径．（注意：直径是最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径．）(3)弧、优弧、劣弧、半圆①弧：圆上任意两点问的部分叫做圆弧，简称弧，用“⌒”表示．②半圆．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．③优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．2、圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．注意：圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．3、垂径定理及推理定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧．4、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．5、圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量分别相等．注意：(1)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对圆心角相等”，“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”等．(2)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(3)结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这几个概念与“所对”一词的含义．(4)若无特殊说明，定理推论中“弧”一般指劣弧．6、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．二、重难点知识归纳重点：垂径定理、三组量之间的关系、圆周角定理．难点：以上定理的综合应用．三、典例剖析例1、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．已知AB=2DE，∠E=18°．求∠AOC的度数．例2、如图，AB、CD是⊙O的弦，∠A=∠C．求证：AB=CD．例3、已知圆内接△ABC中，AB=AC，圆心O到BC距离为6cm，圆的半径为10cm．求腰AB的长．例4、要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h=8mm(如图)，求此小孔的直径d．例5、已知，如图，AD=BC．求证：AB=CD．例6、已知：如图，A点是半圆上一个三等份点，B点是的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值是多少？例7、如图，半圆O的直径是AB，CF⊥AB，弦AC的垂直平分线交CF于点D，连结AD并延长AD交半圆O于点E，相等吗？请证明你的结论．例8、如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，且对角线AC⊥BD，OE⊥BC于E．求证：．例9、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，作∠BAC的外角平分线AE交⊙O于点E，连结DE．求证：DE=AB．课堂练习与作业：圆：1、已知，⊙O的半径为3cm，P是⊙O内一点，OP=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是______cm，最大距离是_________cm．2、如图，已知OA、OB是圆的两条半径，∠OAB=45°，OA=8cm，则AB=__________．3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则∠ACD=__________．4、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，分别以A、B为圆心，AC、BC为半径画弧，交斜边于E、F，则EF的长是__________．图2图3图4图65、平面直角坐标系中有一个点M（2，3），⊙M的半径为r，若⊙M上的点不全在第一象限内，则r的取值范围是（）A．r=2 B．r=3 C．r≥2 D．r≥36、如图，点C在以AB为直径的半圆上，O是圆心，连接OC，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形 C．直角三角形D．不能确定7、如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式正确的是（）A．a＞b＞c B．a=b=c C．c＞a＞b D．b ＞c＞a8、如图，BD、CE分别是△ABC的两条高，试说明点E、B、C、D四点在同一个圆上，并画出这个圆．9、如图所示，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3千米内的水域为危险区域．有一渔船误入与A距离2千米的B处．为了尽快驶离危险区域，该船应怎样航行？并说明理由．垂径定理：1、如图，AB是⊙O的弦，圆心O到AB的距离OD=1，AB=4，则该圆的半径是__________．2、如图，水平铺设的圆柱形排水管的截面半径是0.5m，其中水面宽为AB=0.6m，则水的最大深度为_____m．3、如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF=__________．4、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，那么⊙O 的半径是（）5、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm图1图2图3图4图65、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm6、如图所示，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变 B．位置不变 C．平分 D．随点C的移动而移动7、如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长．8、离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感疫区，如图所示，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米．问这条公路在免疫区内有多少千米？9、如图，⊙O中的弦AB、CD互相垂直于E，AE=5cm，BE=13cm，O到AB的距离为．求⊙O的半径及O到CD的距离．10、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．弧、弦、圆心角：1、如果⊙O的半径为R，则⊙O中60°的圆心角所对的弦长为_______，90°的圆心角所对的弦长为_____．2、如图，AB、CD是⊙O的直径，弦DE∥AB，则AC与AE的大小关系是__________．3、如图，D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE．则的大小关系是________．4、如图，在半径为2cm的⊙O内有长为的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为（）A．60°B．90° C．120° D．150°图2图3图4图55、如图，在⊙O中，，则下列结论正确的是（）A．AB＞2CD B．AB=2CD C．AB＜2CD D．以上都不正确6、AD是⊙O的直径，弦AB、AC交于A点，且AD平分∠BOC，则下列结论不一定成立的是（）A．AB=AC B． C．AD⊥BC D．AB=BC9、如图，以⊙O的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙O于D、E，求证：BD=DE=EC．10、已知：如图，P为直径AB上一点，EF、CD为过点P的两条弦且∠DPB=∠EPB，求证：（1）CD=EF；（2）．圆周角：1、如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=40°，则∠ABO等于__________度．2、如图，△ABC的顶点都在⊙O上，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为__________cm．3、如图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、A、B不重合），则∠OAB=__________，∠OPB=__________．4、如图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=__________cm．5、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC=__________．6、如图，BD是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则下列结论不成立的是（）A．∠ABD=∠ACD B． C．∠BAE=∠BDC D．∠ABD=∠BDC图1图2图3图4图5图6图77、如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（）A．80°B．50° C．40°D．20°8、如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长到C，使BD＝DC，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．9、如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CN为⊙O的直径，CM⊥AB，交⊙O于M，点F 为的中点．求证：（1）；（2）CF平分∠NCM．10、如图（1），已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．（1）求证：△DOE是等边三角形；（2）如图（2），若∠A=60°，AB≠AC，则（1）的结论是否成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由．。
圆的定义初中教案
圆的定义初中教案教学目标：1. 让学生理解圆的概念，掌握圆的定义和性质。
2. 培养学生观察、思考和解决问题的能力。
3. 培养学生的合作意识和团队精神。
教学重点：1. 圆的定义和性质。
2. 圆的画法。
教学难点：1. 圆的性质的理解和应用。
2. 圆的画法的掌握。
教学准备：1. 圆的模型或实物。
2. 圆规和直尺。
3. 白色board或黑板。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生展示一些圆的实物，如圆形的糖果、硬币等，让学生观察并猜测这些物体的共同特征。
2. 引导学生发现这些物体的共同特征是它们的形状都是圆形。
二、新课（20分钟）1. 圆的定义：圆是平面上所有点到一个固定点的距离相等的点的集合。
这个固定点称为圆心，距离称为半径。
2. 圆的性质：a. 圆心到圆上任意一点的距离都相等，这个距离就是半径。
b. 圆上任意两点之间的弧长都相等。
c. 圆的周长和直径的比值是一个常数，称为圆周率，用符号π表示。
3. 圆的画法：a. 准备圆规和直尺。
b. 将圆规的一只脚放在圆心位置，另一只脚放上铅笔。
c. 调整圆规的距离，使其等于半径。
d. 固定圆规的位置，旋转圆规一周，就可以画出完整的圆。
三、练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些关于圆的定义和性质的练习题。
2. 让学生分组合作，用圆规和直尺画出不同半径的圆，并测量它们的周长和直径，计算圆周率。
四、总结（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的圆的定义和性质。
2. 让学生分享他们在练习中的发现和问题。
教学反思：本节课通过展示实物的圆形物体，引导学生发现圆形的共同特征，从而引入圆的定义。
通过讲解和练习，让学生掌握圆的性质和画法。
在练习环节，让学生分组合作，培养他们的合作意识和团队精神。
在总结环节，让学生回顾所学内容，巩固知识。
整个教学过程流畅，学生反应积极，达到了预期的教学效果。
九年级下册《圆》教案
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解圆的定义、圆心、半径等基本概念；（2）掌握圆的周长、面积的计算公式及应用；（3）学会用圆规和直尺画圆。
2. 过程与方法：（1）通过观察、思考、讨论，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力；（2）运用合作探究的学习方式，提高学生解决问题的能力；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生勇于探索、积极向上的精神风貌；（3）培养学生团队协作、相互帮助的良好品质。
二、教学内容1. 圆的定义及基本概念；2. 圆的周长、面积的计算公式及应用；3. 用圆规和直尺画圆的方法。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）圆的定义及基本概念；（2）圆的周长、面积的计算公式及应用；（3）用圆规和直尺画圆的方法。
2. 教学难点：（1）圆的周长、面积公式的推导过程；（2）圆规和直尺画圆的技巧。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究圆的相关知识；2. 利用多媒体辅助教学，直观展示圆的定义和画圆的过程；3. 采用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题；4. 实践操作法，让学生动手操作，加深对圆的认识和理解。
五、教学步骤1. 导入新课：（1）复习相关平面几何知识，如点、线、角等；（2）提问：我们生活中有哪些物体是圆形的？引发学生对圆的思考。
2. 自主学习：（1）学生自主阅读教材，了解圆的定义及基本概念；（2）学生通过观察、思考，总结圆的特点。
3. 课堂讲解：（1）讲解圆的定义及基本概念；（2）推导圆的周长、面积公式；（3）演示用圆规和直尺画圆的方法。
4. 课堂练习：（1）学生独立完成教材中的相关练习题；（2）学生互相讨论、交流，解决练习题中的问题。
5. 拓展与应用：（1）学生运用圆的知识解决实际问题；（2）学生进行小组讨论，分享解题心得。
6. 课堂小结：（1）教师总结本节课的主要内容；（2）学生分享学习收获。
圆的有关性质教案
圆的有关性质教案教案一：圆的有关性质教学目标：1.了解圆的基本定义和符号表示。
2.掌握圆的半径、直径和弧长的概念。
3.理解圆的直径和半径的关系。
4.学会计算圆的周长和面积。
教学准备：1.教师准备圆的模型或幻灯片。
2.学生准备纸和铅笔。
3.学生准备直尺和量角器。
教学步骤：Step 1：导入新知识（5分钟）教师出示圆的模型或幻灯片，引导学生观察，让学生描述圆的形状和特点。
然后问学生，你们对圆有什么了解？Step 2：学习圆的定义（15分钟）教师向学生解释圆的定义：圆是由平面上所有距离中心点相等的点组成的图形。
然后，教师引导学生用纸和铅笔练习画圆。
学生按照以下步骤画圆：1.在纸上选择一个中心点，用铅笔描绘出这个点。
2.用量角器画出一个角度为360度的圆心角。
3.用铅笔在圆心角的两边画出弧线。
4.用直尺连接中心点和圆的弧线上的两个点。
Step 3：学习圆的基本概念（25分钟）教师向学生解释圆的基本概念：1.圆的半径：从圆心到圆上的任意一点的距离，用符号r表示。
2.圆的直径：通过圆心的两个相对点之间的距离，用符号d表示。
3.圆的弧：圆上的一段曲线。
4.圆的弦：两个圆上的点之间的线段。
然后，教师分发纸和铅笔给学生，让学生实践测量圆的半径和直径。
学生按照以下步骤进行操作：1.选择一个圆。
2.用量角器测量圆心角的度数。
3.用直尺测量圆心到圆上的点之间的距离，即半径。
4.用直尺测量通过圆心的两个相对点之间的距离，即直径。
Step 4：讨论圆的直径和半径的关系（15分钟）教师和学生一起讨论圆的直径和半径的关系。
指出直径是半径的两倍，即d=2r，让学生确认这个关系。
然后，教师给学生一些练习题，让他们在纸上解答。
Step 5：学习圆的周长和面积（20分钟）教师向学生解释圆的周长和面积的概念：1.圆的周长：沿着圆的边界走一圈，所经过的路程。
2.圆的面积：圆内部的所有点组成的区域。
然后，教师给学生一些公式，让他们计算圆的周长和面积：1.圆的周长公式：C=2πr2.圆的面积公式：A=πr²教师解释公式的含义并给予示范。
九上数学《圆的概念(教案)》
九上数学《圆的概念(教案)》一、教学目标：知识与技能：1. 理解圆的定义，掌握圆的基本性质；2. 学会使用圆规和量角器画圆；3. 了解圆与直线、圆与圆的位置关系。
过程与方法：1. 通过观察、操作、探究等活动，培养学生的动手能力和观察能力；2. 利用几何画板或实物模型，引导学生直观地理解圆的概念和性质；3. 学会用圆的方程表示圆，并运用圆的性质解决实际问题。
情感态度价值观：1. 激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的审美情感；2. 培养学生合作交流、归纳总结的能力；3. 渗透转化思想，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学重点与难点：重点：1. 圆的定义及其基本性质；2. 圆的方程及其应用。
难点：1. 圆的位置关系的理解；2. 圆的方程的求解。
三、教学方法：情境教学法、问题驱动法、合作学习法、直观演示法。
四、教学准备：教师准备：教材、PPT、圆规、量角器、几何画板、实物模型等。
学生准备：笔记本、尺子、圆规、量角器等。
五、教学过程：1. 导入新课：利用生活中的实例，如车轮、地球等，引导学生思考圆的特征，引发对圆的兴趣。
2. 自主学习：让学生自学教材，了解圆的定义和基本性质，归纳圆的特征。
3. 课堂讲解：讲解圆的定义、圆心和半径的概念，引导学生掌握圆的基本性质；通过PPT或板书，展示圆的性质示意图，帮助学生直观理解。
4. 动手实践：让学生使用圆规和量角器画圆，观察和总结画圆的方法和技巧。
5. 合作交流：分组讨论圆与直线、圆与圆的位置关系，引导学生用圆的性质解释实际问题。
6. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调圆的定义、性质和位置关系的重要性。
7. 课后作业：布置有关圆的练习题，巩固所学知识，提高运用能力。
六、教学反思：课后，教师应认真反思本节课的教学效果，从学生的掌握情况、课堂互动、教学方法等方面进行总结，发现问题并及时调整教学策略，以提高教学质量。
七、课堂评价：1. 学生课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答、合作交流等情况，评价学生的学习态度和效果。
圆的概念及性质_教案
专利名称：防脱悬绳器
专利类型：实用新型专利
发明人：吴洪洋,陈剑波,杨青山,于长林申请号：CN200520081076.8
申请日：20050202
公开号：CN2777179Y
公开日：
20060503
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：一种防脱悬绳器，由长方形悬绳器、止推轴承座、止推轴承、锁紧套、锁紧帽、毛辫子、光杆和圆孔组成，其特征在于在悬绳器中心孔上边安装一个止推轴承，止推轴承座固定在悬绳器上，止推轴承座上面设有凹台，在止推轴承中心插有一个锁紧套，并穿过悬绳器，锁紧套上部设有公螺纹，与锁紧帽配合锁紧锁紧套，并压在止推轴承上，光杆上部卡上方卡子，下部穿过锁紧套，通过井口与抽油杆相连接，方卡子压在锁紧套上；在悬绳器中心孔两边对称的圆孔下边，各自安装一个止推轴承，轴承座各自固定在悬绳器的下边，在止推轴承中心各自插有一个锁紧套，并穿过悬绳器，在锁紧套下部设有公螺纹，与锁紧帽配合将锁紧套限位在止推轴承上；两根毛辫子各自一端灌有铅帽，其外径大于锁紧套内径，两根毛辫子的另一端各自穿过锁紧套，固定在抽油机驴头的悬点上。
申请人：于长林
地址：257055 山东省东营市东二路锦华小区40号1单元8号
国籍：CN
代理机构：东营双桥专利代理有限责任公司
代理人：王锡洪
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初中圆的定义教案
初中圆的定义教案教学目标：1. 让学生理解圆的基本概念和特征。
2. 让学生掌握圆的半径、直径、弧、弦等基本术语。
3. 让学生能够运用圆的性质解决实际问题。
教学重点：1. 圆的定义和基本性质。
2. 圆的半径、直径、弧、弦等基本术语。
教学难点：1. 圆的性质的理解和应用。
教学准备：1. 圆的模型或图片。
2. 直尺、圆规等绘图工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生展示一些圆的模型或图片，让学生观察并描述它们的特点。
2. 引导学生思考：什么是圆？圆有哪些特征？二、新课（15分钟）1. 给出圆的定义：圆是平面上所有到定点距离相等的点的集合。
2. 解释圆的半径：连接圆心和圆上任意一点的线段。
3. 解释圆的直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段。
4. 解释弧：圆上任意两点之间的部分。
5. 解释弦：圆上任意两点之间的线段。
6. 引导学生通过观察和绘图，验证圆的性质。
三、练习（15分钟）1. 让学生绘制一个圆，并测量其半径、直径、弧、弦的长度。
2. 让学生根据给定的半径或直径，计算圆的面积。
3. 让学生解决一些实际问题，如：一辆自行车轮的直径为60厘米，求其周长和面积。
四、总结（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结圆的定义、性质和基本术语。
2. 强调圆在实际生活中的应用。
五、作业（5分钟）1. 让学生完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 让学生观察生活中的圆，并描述它们的特征。
教学反思：本节课通过引导学生观察、思考和动手操作，让学生掌握了圆的定义、性质和基本术语。
在教学过程中，注意让学生充分参与，发挥他们的主观能动性，提高他们的动手能力和思维能力。
同时，结合实际问题，让学生体会圆的应用，增强他们的实践能力。
但在教学过程中，也发现部分学生对圆的性质的理解和应用还存在困难，需要在今后的教学中加强引导和练习。
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教师教案学生教师班主任学科日期课时教学内容圆的概念与性质教学重难点圆的相关概念，圆心角定理的应用，垂径定理及应用2.1圆知识点1：圆的概念及与圆的相关概念1.圆的概念2.与圆有关的概念典型例题考点1：命题判定例1以下命题：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤圆心相同的圆是同心圆．其中正确的命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个例2下列命题中是真命题的有 ( )①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③长度相等的弧是等弧；④半径相等的圆是等圆；⑤直径是最大的弦；⑥半圆所对的弦是直径．A．3个B．4个C．5个D．6个考点2：圆的性质应用例1 如图，CD是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，DC、EB的延长线相交于点A．若∠A＝20°，AB＝OC，求∠EOD 的度数．考点3：利用圆的性质进行证明例1 如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE＝DF．试说明∠OEF与∠OFE的关系．例2 如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE点C为AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．求证：CD＝CE．知识点2：点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。
设⊙o的半径为r，点P到圆心O的距离为d，用图形表示点与圆的位置关系如图所示。
典型例题考点1：利用数量关系判断点与圆的位置关系例1 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心、PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B，C均在圆P内考点2：利用点与圆的位置关系求圆的半径范围例1已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，若以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是( )A．r>15 B．15<r<20 C．15<r<25 D．20<r<25能力提优题型1：圆的性质和矩形性质综合例1 如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c．则下列各式正确的是( )A．a>b>c B．a＝b＝c C．c>a>b D．b>c>a题型2：点与圆的位置关系中分类讨论思想例1 若⊙O所在平面上的一点P到⊙O上的点的最大距离是10，最小距离是2，则此圆的半径为题型3：利用圆的定义与直角三角形的性质综合进行证明例1已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点，试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．例2如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．求证：A、E、C、F四点共圆；2.2圆的对称性知识点1：圆的对称性圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆也是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线。
注意：（1）圆的对称轴有无数条。
（2）圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任何角度后，仍与自身重合。
典型例题考点：命题判定例1下列说法正确的是（）A.直径是圆的对称轴B.经过圆心的直线是圆的对称轴C.与圆相交的直线是圆的对称轴D.与半径垂直的直线是圆的对称轴知识点2：圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
典型例题考点1：利用圆心角性质和推论求角度=，∠1＝25°，则∠2＝_______．例1 如图，在⊙O中，AC BD=，∠A＝30°，则∠ABC＝_______．例2如图，在⊙O中，AB AC例3 如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，CE的度数为70°，则∠AOC＝_______．考点2：利用圆心角性质和推论求弦长和线段长，若AC=3，则BD=__________．例1如图，在☉O中，AD BC例2如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，AB＝6 cm，∠ABC＝∠BAC，AB与OC相交于点M，求AM的长．考点3：利用圆心角性质和推论进行证明例1 如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB＝CD．求证：∠AOC＝∠BOD．例2如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE＝DF．试问：(1) OE等于OF吗？(2)AC与BD有怎样的数量关系？例3如图，AB是⊙O的直径．(1)若OD//AC，CD与BD的大小有什么关系？为什么？(2) 把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由．知识点3：圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系1.︒1的弧：将顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是︒1的角。
因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把︒1的圆心角所对的弧叫做︒1的弧。
2.圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
注意：（1）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，不是指角与弧相等（角与弧是两个不同的图形）（2）度数相等的角为等角，但度数相等的弧不一定是等弧。
典型例题考点：求圆心角例1如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，CE的度数为40°，则∠AOC＝_______°．例2 ☉O的一条弦AB把圆分成2：3两部分，则弦所对的圆心角为__________0．能力提优题型1：利用圆心角性质和推论比较弦长和弧长的大小例1 如图，在同圆中，若∠AOB＝2∠COD，则AB与2CD的大小关系是( )A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB＝2CD D．不能确定例2 如图，在同圆中，若AB＝2CD，则AB与2CD的大小关系是( )A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB＝2CD D．不能确定题型2：圆心角性质和推论与综合证明例1 如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE//CD交⊙O于点E，连接BD，DE．求证：BD＝DE.例2 如图，点O在∠MPN的平分线上，☉O分别交PN、PM于点A、B和点C、D．求证：∠PCO=∠NAO．知识点4：垂径定理及垂径定理的推论1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
定理的条件：（1）直径，弦（2）直径垂直弦定理的结论：（1）弦被直径平分（2）弦所对的两条弧被平分2.垂径定理的推论如果一条直线具有：（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（非直径的弦）；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧这五个性质中的任意两个，那么这条直线就具有余下的三个性质，简称“知二推三”。
注意：在垂径定理推论中，一定不能忽视“弦不是直径”这一条件。
因为一个圆的任意两条直径都能互相平分，但未必垂直。
典型例题考点1：命题判定例1下列说法中，不成立的是 ( )A ．弦的垂直平分线必过圆心B ．弧的中点与圆心的连线垂直平分这条弧所对的弦C ．垂直于弦的直线经过圆心，且平分这条弦所对的弧D ．垂直于弦的直径平分这条弦例2下列四个命题中，叙述正确的是 ( ) A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D ．平分一条弦的直线必经过这个圆的圆心考点2：利用垂径定理求弦长和半径例1 （2013潍坊）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为 ．例2 （2015•黔西南州）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB 于点E ，已知CD =4，AE =1，则⊙O 的半径为 ．例3如图，已知⊙O 的半径为r ，弦AB 垂直平分半径OC ，则弦AB 的长为 ( ) A ．23r B ．3r C ．23r D ．43r 例4如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22，BD ＝3，求AB 的长．考点3：垂径定理解决平行弦问题例1 ⊙O 的半径为17 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝30 cm ，CD ＝16 cm ，求AB 和CD 之间的距离．考点4：垂径定理与三角形性质综合应用例1如图，∠C＝90°，⊙C与AB相交于点D，AC＝5，CB＝12，则AD＝_______．例2如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为 ( ) A．10 B．23 C．32 D．13考点5：垂径定理在实际中的应用例1工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径．假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是_________mm．例2 某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3 m、船舱顶部高出水面2 m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗?写出你的结论，并说明理由。
能力提升题型1：垂径定理应用例1 如图，P为半径为5的⊙O内一点，且PO＝3，在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦有 ( )A．2条B．3条 C．4条 D．5条例2 一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽为1.6米，则这条管道中此时水最深为________米．题型2：圆中翻折求折痕例1如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为_______．题型3：圆中求最短距离例1如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，点P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP 的最小值为________．例2（2014•张家界）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN 于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为________．题型4：圆与三角函数结合例1已知⊙O的半径OA为1，弦AB的长为2，若在⊙O 上找一点C，使AC =3，则∠BAC＝▲°.题型5：圆与一次函数图像结合例1 （2014•四川泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（2，a）（a>2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是________．早规划、早行动、努力多一天！！！第 十一 页 题型6：探究圆中动点问题例1 已知半径为2的⊙O 与直线l 相交于点A ，且过圆心的直径BA ⊥l ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 相交于点D ，连接PA 、PB ，且∠PAC ＝∠PBA ，设PC 的长为x （2<x<4）．(1)当x ＝94时，求弦PA 、PB 的长度； (2)当x 为何值时，PD ·CD 取最大值？并求出此最大值．课后作业教研组审批签字时间。