湖南省岳阳市高一下学期第一次月考数学试题
湖南省岳阳市高一下学期第一次月考数学试题
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共4题；共8分)
1. （2分）若复数是纯虚数，则的值为（）
A . -7
B .
C . 7
D . 或
2. （2分）已知a∈（,），sina=,则tan（）等于（）
A . －7
B . －
C . 7
D .
3. （2分）下列各组函数是同一函数的是（）
①与；②与；
③与；④与。
A . ①②
B . ①③
C . ②④
D . ①④
4. （2分）已知﹣＜α＜，且sinα+cosα=，则α的值为（）
A . -
B .
C . -
D .
二、填空题 (共14题；共14分)
5. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为________
6. （1分） (2016高三上·莆田期中) 若α是第三象限角，则180°﹣α是第________象限角．
7. （1分）(2017·成都模拟) 已知α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且，则x的值是________．
8. （1分） (2017高一上·红桥期末) 在0°～180°范围内，与﹣950°终边相同的角是________．
9. （1分） (2019高一下·菏泽月考) 化简：的结果为________．
10. （1分）(2017·北京) 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= ，则sinβ=________．
11. （1分）若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是________
12. （1分） (2018高一上·西宁期末) 已知，则 ________．
13. （1分）， ln2，tan三个数中最大的是________
14. （1分）cos300°的值是________
15. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知，则的值为________.
16. （1分） (2016高三上·焦作期中) 定义在区间[﹣， ]上的函数f（x）=1+sinxcos2x，在x=θ时取得最小值，则sinθ=________．
17. （1分） (2019高一下·上海月考) 在中，若则角 ________．
18. （1分） (2020高三上·黄浦期末) 已知为第二象限的角, ,则 ________.
三、解答题 (共5题；共40分)
19. （15分） (2019高三上·汉中月考) 已知函数的图象经过点
，函数的部分图象如图所示.
（1）求，；
（2）若，求 .
20. （10分） (2019高一下·绵阳月考) 中，分别是角所对的边且 .
（1）求的值；
（2）若，当角最大时，求的面积．
21. （5分） (2017高一上·无锡期末) 如图，正方形ABCD中边长为1，P、Q分别为BC、CD上的点，△CPQ 周长为2．
（1）求PQ的最小值；
（2）试探究求∠PAQ是否为定值，若是给出证明；不是说明理由．
22. （5分） (2019高一下·上海月考) 若角的终边上有一点，且 . （1）判断实数符号，并说明理由；
（2）求的值.
23. （5分） (2017高一下·郴州期中) 已知tanα=﹣3，且α是第二象限的角，求sinα和cosα．
参考答案一、单选题 (共4题；共8分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
二、填空题 (共14题；共14分)
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题 (共5题；共40分) 19-1、
19-2、
20-1、
20-2、21-1、21-2、
22-1、
22-2、23-1、。
湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题(含答案)
2024年6月高一数学月考试题一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1．已知复数，则z 在复平面内对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知l ，m ，n 表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ）．A ．若，且，则B ．若，，，则C ．若，且，则D ．若，，，则3．已知向量，，且，则（ ）．A ．B ．C ．D ．4．若，且，则的值为（ ）．AB ．C ．D ．5．已知某扇形的周长是24，则该扇形的面积的最大值是（ ）．A ．28B ．36C ．42D ．506．在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面ABCD 所成角的正弦值为（ ）．A ．BCD7．已知D 是的边AB 的中点，且所在平面内有一点P ，使得，若，则（ ）．A ．B ．C ．8D ．168．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列结论中不正确的是（ ）．A ．为偶函数B ．()()13i 2i z =-+αβγl α∥m α∥l m ∥αβ⊥m α∥n β⊥m n ∥m l ∥m α⊥l α⊥m n ⊥m α⊥n β∥αβ⊥()2,1a =-()1,3b = ()a kab ⊥+ k =15-54-1554π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos tan 22sin ααα=-sin α1213141111ABCD A B C D -2AB =1111A A A B ==1BB 13ABC △ABC △PD AC PD BC ⋅=⋅4AB =PA AB ⋅=16-8-()()sin 0f x x ωω=>π2()g x ()01g =()g x π02g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．当时，在上恰有2个零点D ．若在上单调递减，则二、多选题（共4小题，每题5分，共20分）（多选）9．下列说法错误的是（）．A ．棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体B ．圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的C ．棱台的所有侧棱交于同一点D ．用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台（多选）10．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则（ ）．A ．当时，，，为直角三角形B ．当，，时，最大角与最小角之和为C ．当，，时，D ．当时，为锐角三角形（多选）11．在中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且，点D 在边BC 上，，，则（ ）．A ．B ．C ．D ．的最小值是18（多选）12．在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（）．A ．异面直线与所成的角大小为B ．四面体的每个面都是直角三角形C ．二面角的大小为D ．正方体5ω=()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦1ω=ABC △4a =2b =π3C =ABC △5a =7b =8c =ABC △2π3a =4b =2π3A =π6B =cos cA b<ABC △ABC △()2cos cos 0b c A a C ++=1AD =AB CD BD AC ⋅=⋅π3A =b c bc+=ABC △28b c +1111ABCD A B C D -1BD 1B C 90︒1D DBC 11D BC B --30︒1111ABCD A B C D -三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．在三棱台中，和的面积分别为S 和，若，则__________．14．已知__________．15．已知复数，且，则的最小值是__________．16．在等腰梯形ABCD 中，，，点P 为BC 中点，点Q 是边AB 上一个动点，则的取值范围为__________．四、解答题（共5小题，共70分）17．如图，这是由一个半圆柱和一个长方体组合而成的几何体，其中，．（15分）（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积．18．如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转得到的，P 是上的中点，Q 是AC 的中点，BP 与CE 交于点O ．（15分）（1）求证：平面ABEF ；（2）求证：．19．在中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且，．（10分）（1）求的值；（2）求的值．20．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD ，，，P 为棱SA 上一点，．（15分）111ABC A B C -ABC △111A B C △1S 112AB A B =1S S =sin 3cos αα+=sin α=()i ,z a b a b =+∈R 2z =453a z z a -+-+24AB CD ==60ABC ∠=︒()PQ PA PD ⋅+12AB AA ==6AD =120︒ CE OQ ∥AP CE ⊥ABC △sin sin 2sin B C A +=87b a =sin B ()sin A B -S ABCD -SA ⊥AB CD ∥60CDA ∠=︒22244AB AD CD AP PS =====（1）证明：平面PBD ；（2）求二面角的大小；（3）求点A 到平面PBD 的距离．21．对任意两个非零向量，，定义：．（15分）（1）若向量，，求的值；（2）若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值；（3）若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围．SC ∥S DC A --m n2m n m n n ⋅⊗=()5,3a =()3,2b =- ()2a a b ⊗+ a b ()()5216a b a b +⊗-= a a b -a b 3a b ≥ a b ()4b a ⊗ a b ⊗参考答案与试题解析一、选择题（共8小题）1．D 2．C 3．C 4．D 5．B 6．B 7．B 8．C二、多选题（共4小题）9．ABD10．ABC11．BCD12．ABD三、填空题（共4小题）13．41415．116．四、解答题（共5小题）17．解：（1）长方体的体积为，半圆柱的底面积为，半圆柱的体积为，该几何体的体积为．（2）长方体去掉上底面后的表面积为，由（1）得半圆柱的底面积为，半圆柱的侧面积为，所以该几何体的表面积为．18．证明：（1）连接AE ，∵P 是上的中点，∴O 是EC 的中点，又Q 是AC 的中点，∴，∵平面ABEF ，平面ABEF ，∴平面ABEF ．（2）由题意，，，又AB ，平面ABP ，且，∴平面ABP ，而平面ABP ，∴．[]3,2-22624⨯⨯=22112πππ22222AB ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ63π22AD ⨯=⨯=243π+2622226244⨯+⨯⨯+⨯⨯=π212π66π22AB ⨯⨯⨯=π4426π447π2+⨯+=+ CEOQ AE ∥AE ⊂OQ ⊄OQ ∥AB CE ⊥BP CE ⊥BP ⊂AB BP B ⋂=CE ⊥AP ⊂AP CE ⊥19．解：（1）根据，由正弦定理得，由，得，可得，根据余弦定理得，因为，所以（舍负）．（2）由，可得，所以，根据，，由余弦定理得，所以．20．解：（1）证明：连接AC 交DB 于点O ，连接OP ．在底面ABCD 中，因为，且，由∽，可得，因为，即，所以在中，，所以，又因为平面PBD ，平面PBD ，所以平面PBD ．（2）设CD 的中点为M ，连接AM 、SM ，因为，，所以为等边三角形，所以，又平面ABCD ，平面ABCD ，sin sin 2sin B C A +=2b c a +=87b a =78b a =928c a b a =-=22222297814912886464cos 9923284a a a a cb B ac a a ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭====⋅()0,πB ∈sin B ===87b a =8sin 7sin B A =88sin sin 77A B ===78b a =98c a =2222224981116464cos 79221288a a abc a A bc a a +-+-===⨯⨯()211sin sin cos cos sin 321A B A B A B -=-=-=AB CD ∥2AB CD =ABO △CDO △2AO ABCO CD==2AP PS =2APPS=CAS △2AO APOC PS==OP CS ∥OP ⊂SC ⊄SC ∥60CDA ∠=︒2AD CD ==CDA △AM CD ⊥SA ⊥CD ⊂所以，，SA ，平面SAM ，所以平面SAM ，平面SAM ，所以，所以为二面角的平面角，平面ABCD ，平面ABCD ，所以，在中，所以，所以，即二面角的大小为．（3）因为，，所以，所以，在中，，，所以，即，所以，设点A 到平面PBD 的距离为d ，则，即，即，即点A 到平面PBD．21．解：（1）因为，，所以，所以，故的值为．（2）因为向量、是单位向量，所以，，由，SA CD ⊥SA AM A ⋂=AM ⊂CD ⊥SM ⊂CD SM ⊥SMA ∠S DC A --SA ⊥AM ⊂SA AM ⊥Rt SMA △3SA SP AP =+=AM =tan SASMA AM∠==60SMA ∠=︒S DC A --60︒AB CD ∥60CDA ∠=︒120DAB ∠=︒11sin 2422ABD S AD AB DAB =⨯∠=⨯⨯=△PBD △PD ===PB ===BD ===222PD PB BD +=PD PB ⊥1122PBD S PB PD =⨯=⨯=△A PBD P ABD V V --=1133PBD ABD S d S PA ⋅=⨯△△ABD PBD S PA d S ⨯===△△()5,3a =()3,2b =- ()21,7a b +=- ()()()()()222251378225172a a b a a b a b⋅+⨯-+⨯⊗+===-++()2a a b ⊗+825a b 1a =1b = ()()5216a b a b +⊗-=可得，解得，由，可得，则故向量与（3）设向量与的夹角为，由题意可知，则，因为，所以，，因为，所以，因为是整数，所以，所以，，而，所以，因为，又，所以，故的取值范围为．()()()2222222151644542a b a b a a b b a b a a b b a b a b+⋅-+⋅-⋅+===-⋅+-⋅- 14a b ⋅= ()222322a ba ab b -=-⋅+= a b -==()2cos ,a a b a a b a a b aa b a a b⋅--⋅-====--a ab -a bθπ02θ<<0cos 1θ<<3a b ≥ 103b a <≤ 10cos 3b a θ<< 2cos bb a b a a aθ⋅⊗==()4043b a <⊗< ()4b a ⊗ ()41b a ⊗=14b a ⊗= 14cos b a θ= 103b a <≤3cos 14θ≤<22cos 4cos a a b a b b bθθ⋅⊗=== 29cos 116θ≤<944a b ≤⊗< a b ⊗9,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭。
岳阳市第十六中学高一数学月考试卷(精编版)
岳阳市第十六中高一月考数学试卷一、选择题（每小题5分，满分60分）1．角α的终边过点（﹣2，4），则cosα=（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系xOy中，以x的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于点A，B，已知A的横坐标为，B的纵坐标为，则2α+β=（）A．πB．πC．πD．π3．等比数列{a n}中，S n是其前n项和，若S5=3，S10=9，则S15的值为（）A．27 B．21 C．18 D．154．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足b cos C=a，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形5．设ω∈N*且ω≤15，则使函数y=sinωx在区间[，]上不单调的ω的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．96．已知A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为（）A．ω=2，φ=B．ω=2，φ=C．ω=，φ=D．ω=，φ=7．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A．3 B．4 C．5 D．6 8．设S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，若a5=2b5，则=（）A．2 B．3 C．4 D．6 9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，=a，a=2，若b∈[1，3]，则c的最小值为（）A．2 B．3 C．2D．210．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里11．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．12．如图①，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，螺旋由一系列直角三角形组成（图②），第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形，以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边，另一个直角边为1．将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为α1，α2，α3，…，则与α1+α2+α3+α4最接近的角是（）参考值：tan55°≈1.428，tan60°≈1.732，tan65°≈2.145，A．120°B．130°C．135°D．140°二.填空题（每题5分，共20分）13．设α为锐角，若cos（）=，则sin （α﹣）=．14．已知cos （x +）=，＜x＜，则=．15．已知数列{na n}的前n项和为S n，且a n=2n，则使得S n﹣na n+1+50＜0的最小正整数n的值为．16．设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有4S n=a n2+2a n，其中S n为数列{a n}的前n项和，则数列{a n}的通项公式为a n=．三.解答题（共6题，共70分）17．（10分）已知=（sin x，cos x），=（cosφ，sinφ）（|φ|＜）．函数f（x）=•且f（﹣x）=f（x）．（1）求f（x）的解析式及单调递增区间：（2）将f（x）的图象向右平移单位得g（x）的图象，若g（x）+1≤ax+cos x在x∈[0，]上恒成立，求实数a的取值范围．18．（12分）等差数列{a n}中，其前n项和为S n，且，等比数列{b n}中，其前n项和为T n，且，（n∈N*）（1）求a n，b n；（2）求{a n b n}的前n项和M n．19．（12分）已知函数f（x）=sinωx sin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sin A）与向量=（3，sin B）共线，求a，b的值．20．（12分）已知二次函数f（x）=x2+x．数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）在二次函数y=f（x）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n a n+1cos[（n+1）π]（n∈N*），数列{b n}的前n项和为T n，若T n≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围；（Ⅲ）在数列{a n}中是否存在这样一些项：，，a，…，a这些项都能够构成以a1为首项，q（0＜q＜5）为公比的等比数列{a}？若存在，写出n k关于k的表达式；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=2sin x cos x+2cos2x（x ∈R）．（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分另为a、b、c，且f（A）=2，b=2，，求△ABC的面积S的值．22．（12分）已知数列{a n}、{b n}满足：a，a n+b n=1，b；（1）求b1、b2、b3、b4；（2）求证：数列{}是等差数列，并求{b n}的通项公式；（3）设S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1，若不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．参考答案,仅供参考，如有错误，请谅解一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．B【解析】角α的终边过点（﹣2，4），，所以，2．D【解析】由题意可得，A的纵坐标为，B的横坐标为，即A（，）、B（，），∴tanα=2，tanβ=，可得α∈（，），β∈（0，），∴2α+β∈（，）．∵tan2α==﹣，∴tan（2α+β）==﹣1，∴2α+β=，3．B【解析】若q=1，则S10=9≠2S5，则不成立，则q≠1，则S5，S10﹣S5，S15﹣S10，成等比数列，即3，6，S15﹣9，成等比数列，则S15﹣9=12，解得S15=12+9=21，4．C【解析】在△ABC中，∵b cos C=a，∴由余弦定理可得：cos C==，整理可得：a2+c2=b2，∴利用勾股定理可得△ABC的形状是直角三角形．5．C【解析】根据正弦函数图象及性质：对称轴方程为ωx=+kπ，（k∈Z）．解得：x=+，（k∈Z）．∵函数y=sinωx在区间[，]上不单调，∴＜+＜，（k∈Z），解得：1.5+3k＜ω＜2+4k，（k∈Z）．由题意：ω∈N*且ω≤15，当k=0时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取；当k=1时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取：5；当k=2时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取：8，9；当k=3时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取：11，12，13；当k=4时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取：14，15；∴ω∈N*且ω≤15，y=sinωx在区间[，]上不单调时，ω可以4个数，即5，8，9，11，12，13；14，15．6．B【解析】因为A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，所以T=4×（）=π，所以ω=2，因为，所以0=sin（﹣+ϕ），0＜ϕ＜，ϕ=．7．A【解析】由题意设塔顶有a盏灯，由题意由上往下数第n层就有2n﹣1•a盏灯，∴共有（1+2+4+8+16+32+64）a=381盏灯，即．解得：a=3．8．A【解析】根据题意：====2．9．B【解析】由=a，可得：，即：3cos C=sin C，可得：tan C=，故：cos C=，所以：c=（b﹣）2+9，因为：b∈[1，3]，所以：当b=时，c取得最小值3．10．C【解析】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得=378，解得a1=192，∴第此人二天走192×=96步11．B【解析】∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f （x）=2f（x+2），∴f（x+2）=f（x），∴f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x+6）=f （x+4）=f（x），…f（x+2n）=f（x）设x∈[2n﹣2，2n），则x﹣（2n﹣2）∈[0，2）∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．∴f[x﹣（2n﹣2）]=﹣2[（x﹣（2n﹣2）]2+4[x﹣（2n ﹣2）]．∴=﹣2（x﹣2n+1）2+2∴f（x）=21﹣n[﹣2（x﹣2n+1）2+2]，x∈[2n﹣2，2n），∴x=2n﹣1时，f（x）的最大值为22﹣n∴a n=22﹣n∴{a n}表示以2为首项，为公比的等比数列∴{a n}的前n项和为S n==12．C【解析】由题意可得，α1、α2、α3、α4最都是锐角，且α1=45°，tanα2==，tanα3==，∴α3=30°，tanα4==，∴α1+α3=75°．又tan（α2+α4）===≈1.87≈tan60°，故（α2+α4）接近60°，故与α1+α2+α3+α4最接近的角是75°+60°=135°，二.填空题（每题5分，共20分）13．【解析】∵α为锐角，cos（）=为正数，∴α+是锐角，sin（α+）=，∴sin（α﹣）=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=﹣=，故答案为：．14．﹣【解析】∵cos（x+）=（cos x﹣sin x）=，∴cos x﹣sin x=，两边平方得：cos2x+sin2x﹣2sin x cos x=1﹣2sin x cos x=，即2sin x cos x=，∵cos x+sin x=sin（x+），且＜x+＜2π，∴cos x+sin x＜0，∴（cos x+sin x）2=1+2sin x cos x=，开方得：cos x+sin x=﹣，则原式===﹣=﹣．故答案为：﹣15．5【解析】由a n=2n，得a n+1=2n+1，na n=n•2n，则，∴，两式作差得：=，∴，则由S n﹣na n+1+50＜0，得（n﹣1）•2n+1+2﹣n•2n+1+50＜0，即2n+1＞52，∴n+1＞5，则n＞4．∴最小正整数n的值为5．故答案为：5．16．2n【解析】当n=1时，由4S1=a12+2a1，a1＞0，得a1=2，当n≥2时，由4a n=4S n﹣4S n﹣1=（a n2+2a n）﹣（a n﹣12+2a n﹣1），得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，因为a n+a n﹣1＞0，所以a n﹣a n﹣1=2，故a n=2+（n﹣1）×2=2n．故答案为：2n．三.解答题（共6题，共70分）17．解：（1）∵f（x）=•=sin x cosφ+cos x sinφ=sin （x+φ），再由f（﹣x）=f（x）可知函数f（x）的图象关于直线x=对称，∴+φ=+kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=∴f（x）=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，∴函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z；（2）由图象平移易知g（x）=sin x，即sin x+1≤ax+cos x 在x∈[0，]上恒成立．也即sin x﹣cos x≤ax﹣1在x∈[0，]上恒成立令h（x）=sin x﹣cos x=sin（x﹣），x∈[0，]；φ（x）=ax﹣1如下图：h（x）的图象在φ（x）图象的下方，则：a≥k AB==，故a≥18．解：（1）法1：由，a1=1 又，所以a2=3或﹣1因为a2=﹣1时，=1，故a2=﹣1舍去所以等差数列{a n）的公差d=a2﹣a1=2∴a n=2n﹣1，同样可得b1=1，b2=3或﹣1因为b2=3时，，故b2=3舍去又{b n}为等比数列，所以法2：，a1=1…1分，，（n≥2）（a n﹣a n﹣1）（a n+a n﹣1）﹣2（a n+a n﹣1）=0（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n+a n﹣1）=0，因为{a n}为等差数列，所以a n﹣a n﹣1﹣2=0，又a1=1∴a n=2n﹣1，又{b n}为等比数列，所以易得（2）法一：M n=a1•b1+a2•b2+…+a n•b n=1﹣3+5﹣7+…+（﹣1）n﹣1（2n﹣1）若n为偶数，则M n=所以M n=﹣n…（10分）若n为奇数，则结合上边情况可得M n=﹣（n﹣1）+（2n﹣1）=n综上可得M n=（﹣1）n﹣1•n…（12分）法二：M n=1×（﹣1）0+3×（﹣1）1+5×（﹣1）2+…+（2n﹣1）×（﹣1）n﹣1…①﹣M n=1×（﹣1）1+3×（﹣1）2+5×（﹣1）3+…+（2n ﹣1）×（﹣1）n…②①﹣②得：2M n=1+2×（﹣1）1+2×（﹣1）2+2×（﹣1）3+ (2)（﹣1）n﹣1﹣（2n﹣1）×（﹣1）n2M n=M n=n×（﹣1）n﹣119．解：（Ⅰ）f（x）=sinωx sin（+ωx）﹣cos2ωx ﹣=sinωx cosωx﹣﹣=sin2ωx﹣cos2ωx﹣1=sin（2ωx）﹣1∵其图象两相邻对称轴间的距离为．∴最小正周期为T=π，∴ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（x）=sin（2x）﹣1 ∴sin（2C﹣）=1∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，即C=由已知∥可得sin B﹣3sin A=0，在△ABC中，由正弦定理可得b﹣3a=0①由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2ab cos C，又已知c=∴7=a2+b2﹣ab②由①②联立，可解得：a=1，b=3．20．解：（Ⅰ）由题意可知，S n=n2+n，（n∈N*）．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=；当n=1时，a1=S1=1适合上式．数列{a n}的通项公式为（n∈N*）；（Ⅱ）∵b n=a n a n+1cos[（n+1）π]=（﹣1）n﹣1a n a n+1，∴T n=b1+b2+…+b n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1．由（Ⅰ）可知，数列{a n}是以1为首项，公差为的等差数列．①当n=2m（m∈N*）时，T n=T2m=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1，=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）=﹣（a2+a4+…+a2m）=﹣××m=﹣（8m2+12m）=﹣（2n2+6n）②当n=2m﹣1（m∈N*）时，T n=T2m﹣1=T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2m a2m+1=﹣（8m2+12m）+（16m2+16m+3）=（8m2+4m+3）=（2n2+6n+7），∴T n=要使T n≥tn2对n∈N*恒成立，只要使﹣（2n2+6n）≥tn2（n为正偶数）恒成立，即使﹣（2+）≥t对n为正偶数恒成立．∴t≤﹣．故实数t的取值范围是（﹣∞，﹣]；（Ⅲ）由a n=知数列{a n}中每一项都不可能是偶数．①如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{}（k∈N*），此时{}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{}；②当q=1时，显然不存在这样的数列{{}；当q=3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{}（k∈N*），则=1，（n1=1），=3k﹣1=，n k=，即存在满足条件的数列{}，且n k═，（k∈N*）．21．解：（1）f（x）=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1．∴f（x）的值域为[1﹣，1+]．（2）∵f（A）=sin（2A+）+1=2，∴sin（2A+）=．∵＜2A+＜，∴2A+=，即A=．∴S△ABC===1．22．（1）解：依题意，b1=1﹣a1=1﹣=，b2===，a2=1﹣b2=1﹣=，==，a3=1﹣b3=1﹣=，==；（2）证明：∵，a n+b n=1，∴b n+1﹣1=﹣1=﹣1=，两边同时取倒数，得：==﹣1=﹣1=﹣1=﹣1，∴数列{}是等差数列，又∵==﹣4，∴=﹣4﹣（n﹣1）=﹣（n+3），∴数列{b n}的通项公式b n=1﹣=；（3）解：由（2）可知b n=，∴a n=1﹣b n=，a n a n+1==﹣，∴S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1=﹣+﹣+…+﹣=﹣=，∵不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，∴不等式4a•＜对任意n∈N*恒成立，∴a＜=1+，∵随着n的增大而减小，且=0，∴a≤1．。
2019-2020学年岳阳一中高一(下)第一次月考数学试卷(含解析)
2019-2020学年岳阳一中高一(下)第一次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 高二1班有50名学生，随机编的学号为1，2，....，50，现用系统抽样方法，从中选出5名学生，则这5名学生的学号可能是( )A. 6、16、26、36、46B. 5、12、24、36、48C. 7、17、23、31、45D. 2、12、26、31、442. 用秦九韶算法在计算f(x)=2x 4+3x 3−2x 2+4x −6时，要用到的乘法和加法的次数分别为( )A. 4，3B. 6，4C. 4，4D. 3，43. 把18化为二进制数为( )A. 1010(2)B. 10010(2)C. 11010(2)D. 10011(2)4. 有以下五组变量：①某商品的销售价格与销售量；②学生的学籍号与学生的数学成绩；③坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；④气温与冷饮销售量；⑤电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量.其中两个变量成正相关的是( )A. ①③B. ②④C. ②⑤D. ④⑤5. 如果数据x 1、x 2、…、x n 的平均值为x ，方差为s 2，则3x 1+5、3x 2+5、…、3x n +5的平均值和方差分别为( )A. x 和s 2B. 3x +5和9s 2C. 3x +5和s 2D. 3x +5和9s 2+30s +256. 袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是89的是( )A. 颜色全相同B. 颜色不全相同C. 颜色全不相同D. 颜色无红色7. 一个样本数据：1，1，2，3，3，3，3，4，5，5的平均数和众数分别是( )A. 3、5B. 4、5C. 3、3D. 3、不存在 8. 已知事件A ，B ，若P(A)=15，P(B)=13，P(A ∪B)=815，则A ，B 之间的关系一定为( )A. 两个任意事件B. 互斥事件C. 非互斥事件D. 对立事件9.为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是()A. 56B. 58C. 59D. 6010.如图所示的答案，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为20，则称该图案是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为14.现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图案为“和谐图形”的概率为()A. 310B. 15C. 110D. 32011.下面为一个求50个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为()S=0i=1DOINPUT xS=S+xi=i+1LOOP UNTIL__________a=S/20PRINT aENDA. i>50B. i<50C. i>=50D. i<=5012.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为4，俯视图(外围)为正方形，则该几何体的体积为()A. 323B. 643C. 32D. 64二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.盒中装有2个白球和3个黑球，从中任取两个，则取出1个白球1个黑球的概率为_________．14.三个数324，243，135的最大公约数______ ．15.如图所示，该程序框图输出的结果是______．16.甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张(不放回)，则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为____．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求下列函数的定义域．(1)y=x+1；x2−4(2)y=1；√|x|−2(3)y=√x2+x+1+(x−1)0．18.已知函数f(x)=2x2−1(Ⅰ)用定义证明f(x)是偶函数；(Ⅱ)用定义证明f(x)在(−∞,0)上是减函数．19.如图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．(1)求证：AE⊥平面BCE；(2)求证：AE//平面BFD；20.已知圆C：x2+y2−8y+12=0，直线l经过点D(−2,0)，(1)求以线段CD为直径的圆E的方程；(2)若直线l与圆C相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，求直线l的方程．21.为调查民营企业的经营状况，某统计机构用分层抽样的方法从A、B、C三个城市中，抽取若干个民营企业组成样本进行深入研究，有关数据见表：(单位：个)(1)求x、y的值；(2)若从城市A与B抽取的民营企业中再随机选2个进行跟踪式调研，求这2个都来自城市A的概率．22.从某次知识竞赛中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在区间[55,65),[65,75)，[75,85]内的频率之比为4:2:1．(1)求这些分数落在区间[55,65]内的频率；(2)用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2个分数，求这2个分数都在区间[55,75]内的概率．【答案与解析】1.答案：A解析：利用系统抽样，推导出号码间隔为10.本题考查所选学生学号的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．解：利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取一个，号码间隔为10，由此得到B、C、D均错误，A正确．故选A．2.答案：C解析：解：∵f(x)=2x4+3x3−2x2+4x−6=(((2x+3)x−2)x+4)x−6，∴用到的乘法的次数为4次，用到的加法的次数为4次．故选C．由秦九韶算法能够得到f(x)=2x4+3x3−2x2+4x−6=(((2x+3)x−2)x+4)x−6，由此能够求出结果．本题考查秦九韶算法的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：B解析：解：18÷2=9 09÷2=4 (1)4÷2=2 02÷2=1 01÷2=0 (1)故18(10)=10010(2)故选：B．利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．4.答案：D解析：本题考查两个变量的相关性，仔细理解分析即可．解：①某商品的销售价格与销售量，可知为负相关，价格越低销量越高，②学生的学籍号与学生的数学成绩，可知两个变量无关，③坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数，可知为负相关，人数越多，患胃病人数则越少，④气温与冷饮销售量，可知为正相关，气温越高，冷饮销售量越高，⑤电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量，可知为正相关，重量越大，耗电越大．故选D．5.答案：B解析：解：由定义知：x=x1+x2+⋯+x nn ，s2=(x1−x) 2+(x2−x) 2+⋯+(x n−x) 2n所以3x1+5、3x2+5、…、3x n+5的平均值=(3x1+5)+(3x2+5)+⋯+(3x n+5) n =3×x1+x2+⋯+x nn+5=3x+5；方差=[(3x1+5)−(3x+5)] 2+[(3x2+5)−(3x+5)] 2+⋯+[(3x n+5)−(3x+5)] 2n=9×(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2n=9s2．故选：B．先根据平均值和方差的定义表示出数据x1、x2、…、x n的平均值x和方差s n，然后分别表示出3x1+5、3x2+5、…、3x n+5的平均值和方差，整体代入可得值．考查学生会求一组数据的平均值和方差，会利用整体代入的数学思想解决数学问题．6.答案：B解析：本题考查等可能事件概率的计算，属于中档题．注意有放回与无放回抽样的区别，其次还要注意求解时，结合对立事件、相互独立事件的概率公式，可以简化计算．解：有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种，其概率为327=19；颜色不全相同的结果有24种，其概率为2427=89；颜色全不相同的结果有6种，其概率为627=29；无红球的情况有8种，其概率为827．故选B．7.答案：C解析：解：平均数是：1×2+2+3×4+4+5×210=3，众数是：3，故选：C．根据平均数，众数的定义，分别求出即可．本题考查了众数，平均数问题，是一道基础题．8.答案：B解析：本题考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题目．利用事件A、B互斥⇔P(A)+P(B)=P(A∪B)可得解．解：因为P(A)+P(B)=15+13=815=P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件，故选B．9.答案：D解析：本题主要考查了频率分布直方图，同时考查了学生的读图能力，属于基础题．解：根据直方图中各个矩形的面积之和为1，第4和第5组的频率和为(0.0375+0.0125)×5=0.25，可知前3个小组的频率之和为1−0.25=0.75，∵从左到右的前3个小组的频率之比为1︰3︰5，∴第2组的频率为0.75×31+3+5=0.25，而第2小组的频数为15，所以样本容量为150.25=60，故选D．10.答案：B解析：本题考查古典概型的计算，属基础题．使用列举法或排列组合知识即可得知从1，2，3，4，5中任取两个数的不同标法种数，以及符合和写数要求的标法种数，然后可得概率．解：现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，共有标注方法A52=5×4=20种，且每种标注结果都是等可能的，恰好使该图形为“和谐图形”的必须使新标的两个数之和为20−14=6，即为(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)四种不同的标注方法，∴恰好使该图形为“和谐图形”的概率为420=15．故选B．11.答案：A解析：本题主要考查程序框图的应用，熟悉循环结构是解答本题的关键，属于基础题．解：由程序的功能是求50个数的平均数，则循环体共需要执行50次，由循环变量的初值为1，步长为1．故当循环50次时，此时循环变量的值为51，应退出循环，又因直到型循环是满足条件退出循环，本题即i>50时退出循环．故选A．12.答案：B解析：根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题．解：由三视图知几何体为四棱锥，且其中一条侧棱垂直于底面，其直观图如图所示；∵正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为4，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为4，∴该四棱锥的体积为13×42×4=643．故选：B．13.答案：35解析：本题考查等可能事件的概率公式，本题解题的关键是写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，再用公式求解．依题意，由组合数公式可得摸出两个球与两球1白1黑情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案解：袋中共有5个球，摸出两个球共有方法C52=10种，袋中装有2个白球和3个黑球，则1个白球1个黑球有C21⋅C31=6种．∴取出1个白球1个黑球的概率为610=35，故答案为35．14.答案：27解析：解：∵324=243×1+81，243=81×3+0，∴324与243的最大公约数为81，又135=81×1+54，81=54×1+27，54=27×2+0，∴81与135的最大公约数为27，∴三个数324，243，135的最大公约数为27，故答案为：27利用辗转相除法，求出三个数的最大公约数即可．此题考查了用辗转相除计算最大公约数，熟练掌握辗转相除法是解本题的关键．15.答案：15解析：本题主要考查了程序框图和算法，依次得到每次循环x，y的值是解题的关键，属于基础题．模拟执行框图，依次写出每次循环得到的x，y值，直到满足条件退出循环，输出y的值．解：模拟执行程序框图，可得①y=20−1=19，x=20+19=39，②y=18，x=39+18=57；③y=17，x=57+17=74；④y=16，x=74+16=90>90不成立；⑤y=15，x=90+15=105>90成立，所以输出15；故答案为15．16.答案：13解析：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都未抽到标有数字3的卡片的基本事件的个数，由此能求出概率．解：甲、乙两人各抽取1张的基本事件有12，13，23，31，32，21共6个，其中两人均未抽到标有数字3的卡片12，21共2个，故所求的概率P =26=13．故答案为13． 17.答案：解：(1)要使函数y =x +1x2−4有意义，应满足x 2−4≠0，∴x ≠±2，∴定义域为{x ∈R|x ≠±2}．(2)函数y =有意义时，|x|−2>0，∴x >2或x <−2．∴定义域为{x ∈R|x >2或x <−2}．(3)∵x 2+x +1=(x +12)2+34>0，∴要使此函数有意义，只须x −1≠0，∴x ≠1，∴定义域为{x ∈R|x ≠1}．解析：定义域即使得函数有意义的自变的取值范围，根据分母不能为零，负数不能开偶次方根，0的0次幂没有意义等，即可得出答案．本题主要考查定义域的求法，注意分式函数，根数函数和一些基本函数的定义域的要求．18.答案：(Ⅰ)证明：函数f(x)的定义域为R ，对于任意的x ∈R ，都有f(−x)=2(−x)2−1=2x 2−1=f(x)，∴f(x)是偶函数．(Ⅱ)证明：在区间(−∞,0]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则有f(x 1)−f(x 2)=(2x 12−1)−(2x 22−1)=2(x 12−x 22)=2(x 1−x 2)⋅(x 1+x 2)，∵x 1，x 2∈(−∞,0]，x 1<x 2，∴x 1−x 2<0，x 1+x 2<0，即(x 1−x 2)⋅(x 1+x 2)>0∴f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x)在(−∞,0)上是减函数．解析：(Ⅰ)由偶函数的定义即可证明；(Ⅱ)根据定义法证明单调性的步骤即可证明．本题考查函数奇偶性与单调性的证明，属于基本概念与基本方法考查题，此类题要求熟练掌握，保证不失分．19.答案：解：(1)证明：∵AD⊥平面ABE，AD//BC，∴BC⊥平面ABE，而AE⊂平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，而AE⊂面ACE，则AE⊥BF，BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE．(2)证明：依题意可知：G是AC中点，连结FG，∵BF⊥平面ACE，CE在面ACE内，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．在△AEC中，FG//AE，又FG⊂平面BFD，AE⊄平面BFD，∴AE//平面BFD．解析：(1)根据AD⊥平面ABE，AD//BC可得BC⊥平面ABE，根据线面垂直的性质可知AE⊥BC，根据BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，而BC∩BF=B，满足线面垂直的判定定理，从而证得结论；(2)依题意可知G是AC中点，根据BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，从而F是EC中点，根据中位线定理可知FG//AE又FG⊄平面BFD，AE⊄平面BFD，满足线面平行的判定定理的三个条件，从而得证．本题主要考查了线面垂直的判定，以及线面平行的判定和线面垂直的性质，同时考查了推理论证的能力，属于中档题．20.答案：解：(1)将圆C的方程x2+y2−8y+12=0配方得标准方程为x2+(y−4)2=4，则此圆的圆心为C(0,4)，半径为2．所以CD的中点E(−1,2)，可得|CD|=√22+42=2√5，∴r=√5，得圆E的方程为(x+1)2+(y−2)2=5；(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y−0=k(x+2)⇔kx−y+2k=0，∵|CA|=2，且△ABC为等腰直角三角形，∴圆心C到直线l的距离d=√k2+1=√22|CA|=√2．解之得k=1或k=7，所求直线l的方程为：x−y+2=0或7x−y+14=0．解析：本题求圆的方程和直线l的方程，着重考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式和两点间的距离公式等知识，属于中档题．(1)将圆C化成标准方程，得圆心为C(0,4)，半径为2.从而得到CD的中点E(−1,2)，得所求圆心坐标，再根据两点的距离公式算出半径r=√5，即得以线段CD为直径的圆E的方程；(2)设直线l的方程为：y−0=k(x+2)，利用点到直线的距离公式建立关于k的等式，解之可得实数k的值，得到直线l的方程．21.答案：解：(1)由题意得x 4=28y=846，∴x=56，y=2．(2)记从城市A所抽取的民营企业编号分别为a，b，c，d，从城市B抽取的民营企业编号分别为1，2．则从城市A、B抽取的6个中再随机选2个进行跟踪式调研的基本事件有ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12，共15个，都是等可能的，记“这2个都来自城市A”为事件X，来自城市A：ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6个．∴P(X)=615=25．故这2个都来自城市A的概率为25．解析：本题考查抽样的性质，列举法求古典概型概率，属于中档题．(1)直接利用抽样的性质求x、y的值即可；(2)设从城市A所抽取的民营企业编号分别为a，b，c，d，从城市B抽取的民营企业编号分别为1，2.列举所有基本事件，利用古典概型概率公式计算即可．22.答案：解：(1)设区间[75,85)内的频率为x，则区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x和2x．依题意得(0.004+0.012+0.019+0.030)×10+4x+2x+x=1，解得x=0.05.所以区间[55,65]内的频率为0.2．(2)由(1)得，区间[45,55)，[55,65)，[65,75)内的频率依次为0.3，0.2，0.1．用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，则在区间[45,55)内应抽取6×0.30.3+0.2+0.1=3个，记为A1，A2，A3．在区间[55,65)内应抽取6×0.20.3+0.2+0.1=2个，记为B1，B2．在区间[65,75)内应抽取6×0.10.3+0.2+0.1=1个，记为C．设“从样本中任意抽取2个分数，这2个分数都在区间[55,75]内”为事件M，则所有的基本事件有：{A1,A2}，{A1,A3}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A1,C}，{A2,A3}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A2,C}，{A3,B1}，{A3,B2}，{A3,C}，{B1,B2}，{B1,C}，{B2,C}，共15种．事件M包含的基本事件有：{B1,B2}，{B1,C}，{B2,C}，共3种．所以这2个分数都在区间[55,75]内的概率为315=15．解析：本题考查频率分布直方图，考查分层抽样，考查古典概型概率公式，属于中档题．(1)由题意，利用分数落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4：2：1，即可求出分数落在区间[55,65]内的频率；(2)用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，利用列举法确定基本事件，从而求出概率．。
2020-2021学年湖南省岳阳市县友爱中学高一数学理月考试卷含解析
2020-2021学年湖南省岳阳市县友爱中学高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设A={x|x≤4}，a=，则下列结论中正确的是（）A．{a} A B．a?A C．{a}∈A D．a?A参考答案：D【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】容易判断，∴a?A，所以D正确．【解答】解：4=，，即，∴a?A．故选D．【点评】考查元素元素与集合的关系，以及描述法表示集合．2. .已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.参考答案：C试题分析：因为双曲线的离心率为,所以,又因为双曲线中,所以,而焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为,所以此双曲线的渐近线方程为,故选C.考点：1、双曲线的离心率；2、双曲线渐近方程.3. 函数的定义域为（）A． B． C．D．或参考答案：C略4. 下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是 ( )A．①②B．①④C．②③D．③④参考答案：A略5. 若角是第四象限角，则是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角参考答案：C【分析】已知是第四象限的角，由是将的终边逆时针旋转，得到角终边所在的位置.【详解】角是第四象限角.，则故是第三象限角.故选C.【点睛】本题考查的知识点是象限角，熟练掌握象限角的定义是解题的关键.6. （5分）对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线参考答案：C考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：分类讨论．分析：由题意分两种情况判断①l?α；②l?α，再由线线的位置关系的定义判断．解答：对于任意的直线l与平面α，分两种情况①l在平面α内，l与m共面直线，则存在直线m⊥l或m∥l；②l不在平面α内，且l⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l；若l于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m垂直于它的射影，则m与l垂直；若l∥α，则存在直线m⊥l．故选C．点评：本题主要考查了线线及线面的位置关系，利用线面关系的定义判断，重点考查了感知能力．7. 为了使y=sinωx（ω＞0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值，则ω的最小值是（）A98π B C D100π参考答案：解析：B 49×T≤1，即×≤1，∴ω≥8. 下列图像中，是函数图像的是（）A. (1) (2)B.(2)(3) C.(2)(4) D.(1) (3)参考答案：D 9. 实数x，y满足条件，目标函数z＝3x＋y的最小值为5，则该目标函数z＝3x＋y 的最大值为( )A．10 B．12 C．14 D．15参考答案：A10. 已知集合，则A. B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定_____参考答案：不共线12. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（）的部分图象如图所示，那么ω=，φ= ．参考答案：2,.【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】数形结合；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数图象确定函数的周期以及函数过定点坐标，代入进行求解即可．【解答】解：函数的周期T=﹣=π，即，则ω=2，x=时，f（）=sin（2×+φ）=，即sin（+φ）=，∵|φ|＜，∴﹣＜φ＜，则﹣＜+φ＜，则+φ=，即φ=，故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的图象确定函数的周期是解决本题的关键．13. 已知函数，若存在，，使成立，则实数的取值范围是_______________.参考答案：或略14. 如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若，则折痕l的长度=cm．参考答案：【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据图形判断直角三角形，利用直角三角形求解AE=GEcos2θ=lsinθcos2θ，由AE+BE=lsinθcos2θ+lsinθ=6，求解即可．【解答】解：由已知及对称性知，GF=BF=lcosθ，GE=BE=lsinθ，又∠GEA=∠GFB=2θ，∴AE=GEcos2θ=lsinθcos2θ，又由AE+BE=lsinθcos2θ+lsinθ=6得：l===．故答案为：．15. 下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000. 在样本中记月收入在，,的人数依次为、、……、．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则样本的容量；图乙输出的．（用数字作答）参考答案：,6000.16. 已知, 则的值为______参考答案：【分析】 先由求出，再对所求式子化简整理，即可求出结果.【详解】因为，所以，因此，所以.故答案为【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值问题，熟记公式即可，属于常考题型.17. f(x)=，则f(x)＞的解集是 ．参考答案：（﹣1，1]∪（3，+∞） 【考点】分段函数的应用．【分析】根据指数函数的图象和性质，分析偶函数f （x ）的单调性，结合f （x ﹣1）＜f （2），可得|x ﹣1|＜2，解得答案．【解答】解：当x≤1时，f （x ）=2x 为增函数，，可得：2x，可得1≥x ＞﹣1；故当x ＞1时，f （x ）=log 9x ，，可得：log 9x，可得x ＞3；解得：x ∈（3，+∞），故答案为：（﹣1，1]∪（3，+∞）．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
湖南省岳阳市岳阳县2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题含答案
2024年09月高一数学月考试题（答案在最后）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,4U M ==，则U M =ðA.U B.{}1,3,5 C.{}2,4,6 D.{}3,5,6【答案】D 【解析】【详解】试题分析：因为{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,4U M ==，所以，{}3,5,6U M =ð故选D.考点：集合的运算.2.已知集合A={x|x (x+4)=0}，则下列结论正确的是（）A.0∈AB.-4∉A C .4∈AD.2∈A【答案】A 【解析】【分析】首先求出集合A ，即可判断元素与集合的关系；【详解】解：∵A={x|x (x+4)=0}={0，-4}，∴0∈A.故选：A【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题.3.设命题:p n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为（）.A.N n ∀∈，22n n >B.N n ∀∈，22n n ≤C.n ∃∈N ，22n n >D.n ∃∈N ，22nn ≤【答案】B 【解析】【分析】根据全称命题和特称命题互为否定，即可得到结果.【详解】因为命题:p n N ∃∈，22n n >，所以p ⌝为N n ∀∈，22n n ≤.故选：B.4.已知集合M={-1，0，1，2}和N={0，1，2，3}的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示的集合是（）A.{0}B.{0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2，3}【答案】C 【解析】【分析】利用交集的定义求解.【详解】由题图可知：阴影部分对应的集合为M ∩N={0，1，2}，故选：C .【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.5.下列函数中与函数y x =是同一函数的是（）A.2y =B.2n m n=C.y =D.u =【答案】D 【解析】【分析】根据同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数y x =的定义域为R ，对于A 中，因为函数2y =的定义域为[0,)+∞，所以两函数的定义域不同，不是同一函数，所以A 不符合题意；对于B 中，因为函数2n m n=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，所以两函数的定义域不同，不是同一函数，所以B 不符合题意；对于C 中，由函数y x ==的定义域为[0,)+∞，所以两函数对应关系都不相同，不是同一函数，所以C 不符合题意；对于D 中，因为u v ==的定义域为[0,)+∞，则两函数的定义域和对应关系都相同，所以两函数是同一函数，所以D 符合题意.故选：D.6.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合平行四边形与正方形的定义，利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”，但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”，故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.7.设R x ∈，则“2430x x -+<”是“220x x +->”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出两个不等式对应的解集，根据解集的关系，结合充分与必要条件的概念判断即可．【详解】设{}{}{}2430(1)(3)0||13|A x x x x x x x x -+<-=-=<=<<{}{}{}2(1)(2)012|20||B x x x x x x x x x =+->==-+>><-或∴x A x B ∈⇒∈，但x B ∈推不出x A∈∴“2430x x -+<”是“220x x +->”的充分而不必要条件．故选：A ．8.命题∃x ∈R,x +1＜0的否定是A.∃x ∈R,x +1≥0 B.∀x ∈R,x +1≥0C.∃x ∈R,x +1＞0． D.∀x ∈R,x +1＞0【答案】B 【解析】【分析】根据存在性命题的否定写结果.【详解】∵∃x ∈R,x +1＜0∴∀x ∈R,x +1≥0故选：B二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.下列说法正确的是（）A.QB.若A B A B ⋃=⋂，则A B =C.若A B B = ，则B A ⊆D.若,a A a B ∈∈，则∈ a A B【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，由集合间的关系以及集合的运算，对选项逐一判断，即可得到结果.是无理数，Q 为有理数集，故A 错误；若A B A B ⋃=⋂，则必有A B =，故B 正确；若A B B = ，则有B A ⊆，故C 正确；如果有一个元素既属于集合A 又属于集合B ，则这个元素一定属于A B ⋂，故D 正确；故选：BCD10.已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，其中0m >，则以下选项正确的有（）A.0a < B.0c >C.20cx bx a ++<的解集为11x x nm ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ D.20cx bx a ++<的解集为1x x n ⎧<⎨⎩或1x m ⎫>⎬⎭【答案】AD 【解析】【分析】由题可得,m n 是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，利用韦达定理表示出,b c ，即可求解不等式.【详解】因为不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，所以,m n 是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，故A 正确，则b m n a c mn a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(),b m n a c mna =-+=，因为0m >，则0n >，所以0c mna =<，故B 错误；不等式20cx bx a ++<化为()20mnax m n ax a -++<，即()210mnx m n x -++>，即()()110mx nx -->，因为0m n <<，所以11m n >，则不等式的解集为1x x n ⎧<⎨⎩或1x m ⎫>⎬⎭，故C 错误，D 正确.故选：AD.11.已知,0,260x y x y xy >++-=，则（）A.xy 的最大值为B.2x y +的最小值为4C.x y +的最小值为3-D.22(2)(1)x y +++的最小值为16【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，对不等式变形为26x y xy +=-，利用基本不等式得到6xy -≥，求出xy 的最大值；B 选项，将不等式变形为()62xy x y =-+，利用基本不等式得到()()22628x y x y +-+≤，求出2x y +的最小值；C 选项，对不等式变形为()()16y x x y +=-+，利用()()2114y x y x +++≤求解x y +的最小值；D 选项，不等式变形为()()218x y ++=，利用基本不等式求出和的最小值.【详解】由260x y xy ++-=得：26x y xy +=-，因为,0x y >，所以260x y xy +=->，所以06xy <<，由基本不等式可得：2x y +≥当且仅当2x y =时，等号成立，此时6xy -≥，解得：18xy ≥或2xy ≤，因为6xy <，所以18xy ≥舍去，故xy 的最大值为2，A 错误；由260x y xy ++-=得：()62xy x y =-+，因为,0x y >，所以()620x y -+>，所以026x y <+<，由基本不等式可得：()2224x y xy +≤，当且仅当2x y =时等号成立，即()()22628x y x y +-+≤，解得：24x y +≥或212x y +≤-，因为026x y <+<，所以212x y +≤-舍去，故2x y +的最小值为4，B 正确；由260x y xy ++-=变形为()16x y y x +++=，则()()16y x x y +=-+，由基本不等式得：()()2114y x y x +++≤，当且仅当1y x =+时等号成立，此时()()2164y x x y ++-+≤，令()0x y t t +=>，则由()2164t t +-≤，解得：3t -≥或3t -≤（舍去）所以x y +的最小值为3-，C 正确；由260x y xy ++-=可得：()()218x y ++=，从而22(2)(1)2(2)(1)2816x y x y +++≥++=⨯=当且仅当21x y +=+时，即2x =-，1y =-等号成立，故22(2)(1)x y +++最小值为16.故选：BCD ，12.已知有限集{}()12,,,2,n A a a a n n =⋅⋅⋅≥∈N ，如果A 中元素()1,2,3,,i a i n =⋅⋅⋅满足1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯，就称A 为“完美集”下列结论中正确的有（）A.集合{11---不是“完美集”B.若1a 、2a 是两个不同的正数，且{}12,a a 是“完美集”，则1a 、2a 至少有一个大于2C.2n =的“完美集”个数无限D.若*i a ∈N ，则“完美集”A 有且只有一个，且3n =【答案】BCD 【解析】【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定A 错误，B 和C 正确；设A 中123n a a a a <<<⋅⋅⋅<，得到121n a a a n -⋅⋅⋅<，分2n =和3n =，两种情况分类讨论，可判定D 正确.【详解】对于A 中，((112-+-+=-，(112--+=-，集合{11--+是“完美集”，所以A 错误；对于B 中，若1a 、2a 是两个不同的正数，且{}12,a a 是“完美集”，设12120a a a a t +=⋅=>，根据根和系数的关系1a 和2a 相当于20x tx t -+=的两根，由240t t ∆=->，解得4t >或0t <（舍去），所以124a a ⋅>，所以1a 、2a 至少有一个大于2，所以B 正确；对于C 中，由B 知，一元二次方程20x tx t -+=，当t 取不同的值时，12,a a 的值是不同的，所以二元“完美集”有无穷多个，所以所以C 正确；对于D 中，不妨设A 中123n a a a a <<<⋅⋅⋅<，由1212n n n a a a a a a na ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+<，得121n a a a n -⋅⋅⋅<，当2n =时，即有12a <，所以11a =，于是221a a +=，2a 无解，即不存在满足条件的“完美集”；当3n =时，123a a <，故只能11a =，22a =，求得33a =，于是“完美集”A 只有一个，为{}1,2,3．当4n ≥时，由()1211231n a a a n -⋅⋅⋅≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-，即有()1231n n >⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-，事实上，()()()()221231123222n n n n n n n n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-≥--=-+=--+>，矛盾，所以当4n ≥时不存在完美集A ，所以D 正确．故选：BCD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.设()1+,>0=0,=0π,<0x x x f x x x x⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，则(π)f -的值为__________．【答案】-1【解析】【分析】根据解析式求解即可.【详解】π(π)==1πf ---.故答案为：−114.命题“0x ∃∈R ，2007210x x -+≤”的否定是_____________．【答案】x ∀∈R ，27210x x -+>【解析】【分析】由存在性命题的否定可直接得到结果.【详解】由存在性命题的否定可得原命题的否定为：x ∀∈R ，27210x x -+>.故答案为：x ∀∈R ，27210x x -+>.15.若2x >，则2242x x y x -+=-的最小值为__________．【答案】6【解析】【分析】化简22442222x x y x x x -+==-++--，然后利用基本不等式求解即可【详解】因为2x >，所以()()22222424422222x x x x y x x x x -+-+-+===-++---26≥=，当且仅当422x x -=-即=4x 时，取等号，故2242x x y x -+=-的最小值为6，故答案为：616.不等式32x x-<的解集为_______【答案】{|1x x <-或}03x <<【解析】【分析】将不等式化为2230--<x x x，则(1)(3)0x x x +-<，再根据高次不等式得解法即可得解.【详解】解：由32x x-<，得2230--<x x x，即(1)(3)0x x x +-<，解得1x <-或03x <<，所以原不等式的解集为{|1x x <-或}03x <<．故答案为：{|1x x <-或}03x <<.四．解答题（共6小题，满分70分）17.已知{}{},,1,2,3,5,0,2,4,8,A B A C B C ⊆⊆==求A ．【答案】{}2或φ【解析】【分析】,A B A C ⊆⊆，则A B C ⊆ ，可得集合A ．【详解】{}{}1,2,3,5,0,2,4,8B C ==，则{}2B C ⋂=，则{}2A =或A φ=．18.已知全集为R ，集合{}2=12+200P x x x -≤，集合{}=<>2+1(>0)M x x a x a a 或．（1）若x P ∈是x M ∈成立的充分不必要条件，求的取值范围；（2）若()R P M =∅ ð，求的取值范围．【答案】（1）10,(10,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）10,(10,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得，集合P 是集合M 的真子集，由此即可求解；（2）先求出R M ð，再求出满足()R P M =∅ ð时的取值范围即可．【小问1详解】因为x P ∈是x M ∈成立的充分不必要条件，所以集合P 是集合M 的真子集，因为{}{}2=12+200=210P x x x x x -≤≤≤，集合{}=<>2+1(>0)M x x a x a a 或，所以10a <或221a >+，解得102a <<或10a >，故的取值范围为10,(10,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】因为集合{}=<>2+1(>0)M x x a x a a 或，所以{}R =2+1(>0)M x a x a a ≤≤ð，又因为()R P M =∅ ð，所以10a >或212a +<，解得102a <<或10a >，故的取值范围为10,(10,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．19.（1）已知1x >，求1411x x ++-的最小值；（2）已知01x <<，求()43x x -的最大值．【答案】（1）9；（2）43．【解析】【分析】（1）由于10x ->，则()114141511x x x x ++=-++--，然后利用基本不等式求解即可，（2）由于01x <<，变形得()()()1433433x x x x -=⋅⋅-，然后利用基本不等式求解即可.【详解】（1）因为1x >，所以10x ->，所以()11414155911x x x x ++=-++≥+=--，当且仅当()1411x x -=-，即32x =时取等号，所以1411x x ++-的最小值为9．（2）因为01x <<，所以()()()2113434433433323x x x x x x +-⎛⎫-=⋅⋅-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当343x x =-，即23x =时取等号，故()43x x -的最大值为43．20.科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润()p x （单位：万元）与投入的月研发经费x （1540x ≤≤，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，()2189010p x x x =-+-；当投入月研发经费高于36万元时，()0.454p x x =+．对于企业而言，研发利润率()100%p x y x =⨯，是优化企业管理的重要依据之一，y 越大，研发利润率越高，反之越小．（1）求该企业生产此设备的研发利润率y 的最大值以及相应月研发经费x 的值；（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费x 的取值范围．【答案】（1）200%，30（2）{}|2536x x ≤≤【解析】【分析】（1）根据题意，利用基本不等式和函数的单调性，分别求得来年两段上最大值，比较即可得到结论；（2）由（1）得到190810 1.9x x--+≥，结合一元二次不等式的解法，即可求得x 的范围，得到答案.【小问1详解】解：由题意知，当1536x ≤≤时，2189019010810x x y x x x -+-==--+82≤-=，当且仅当19010x x =，即30x =时取等号；当3640x <≤时，0.454540.4x y x x +==+，540.4y x =+ 在(]36,40上单调递减，540.4 1.936y ∴<+=.又2 1.9> ，∴当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%.【小问2详解】由（1）可知，此时月研发经费1536x ≤≤，于是，令190810 1.9y x x=--+≥，整理得2619000x x -+≤，解得：2536x ≤≤．因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是{}|2536x x ≤≤．21.求函数1(0)y x x x=+<的最值.【答案】最大值为−2，没有最小值【解析】【分析】由基本不等式求解即可【详解】0x <Q 10,0x x∴->->，12x x ⎛⎫∴-+-≥= ⎪⎝⎭(当1x =-取到等号)，112x x x x ⎛⎫∴+=---≤- ⎪⎝⎭，故函数1(0)y x x x=+<的最大值为2-，没有最小值.22.已知p s px m x =++．若a ，b 均为正数，且0c d >>>，则当d x c ≤≤时，(0)b ax x x +>的最大值为b ad d +与b ac c +中的较大者．（1）若=4p ，J0，522x ≤≤，求3s x -的最小值；（2）若2217t x m x =+++，对任意m ∈R 和任意12x ≤≤，都有2212s t +≥恒成立，求实数P 的取值范围．【答案】（1）4；（2）4p ≤或5p ≥.【解析】【分析】（1）把=4p ，J0代入，利用均值不等式直接求解作答.（2）根据给定条件，变形给定的不等式，结合一元二次不等式恒成立列式，再分离参数求解最值作答.【小问1详解】当=4p ，J0时，44s x x =+，而522x ≤≤，则443=4+3=+s x x x x x x --≥，当且仅当4x x=，即=2x 时取等号，所以3s x -在=2x 处取得最小值4．【小问2详解】当p s px m x =++，2217t x m x =+++时，2222221()(7)p s t px m x m x x +=++++++，则有2222222221122()()2(7)(7)1122p p s t m px m px m x x x x x x +=+++++++++--+22222221122[()(7)]()(712)p p m px x m px x x x x x =++++++++-++，因对任意m ∈R ，都有2212s t +≥，即22102s t -+≥恒成立，因此恒有2222222111Δ=4[(++7)+(+)]8[(++7)+(+)]02p p x px x px x x x x --≤成立，整理得：2221(71p x px x x ++--≥，即有22171p x px x x ++--≥或22171p x px x x++--≤-，又12x ≤≤，于是得22161x x p x x ++≤+或22181x x p x x++≥+恒成立，令1(12)u x x x =+≤≤，有522u ≤≤，则2216441x x u u x x ++=+≥+，当且仅当2u =，即=1x 时取等号，221861x x u u x x++=++，而522≤≤，当2u =时，65u u +=，当52u =时，64910u u +=，当且仅当2u =，即=1x 时，22181x x x x +++取最大值5，所以实数P 的取值范围为4p ≤或5p ≥.。
湖南省岳阳市岳阳县2019-2020学年高一数学3月月考试题_高一数学试题(精校版)
湖南省岳阳县一中2019-2020学年第二学期3月考试高一数学时量120分钟 满分150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内。
） 1、下列关系式中正确的是（ ） A. 0∈∅ B. {0}⊂∅≠ C. 0{0}⊆ D. 0{0}∈ 2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )．3、下列各命题正确的是 （ ）A ．终边相同的角一定相等；B ．第一象限的角都是锐角；C ．锐角都是第一象限的角；D ．小于090的角都是锐角。
4．若01690,α=θ与α的终边相同，且00360θ<<，则θ=（ ）A 、300B 、250C 、200D 、1505、已知角α的终边经过点(3,4)P -，则sin α的值等于（ ） A 、35- B 、35 C 、45- D 、456、已知cos 0α<，sin 0α>，那么α的终边所在的象限为（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限7、已知1cos()3πα+=，2παπ<<，则sin α的值是（ ）A 、3-B 、3C 、23- D 、238、把函数sin(2)3y x π=-的图象向右平移3π个单位得到的函数解析式为（ ）A 、sin(2)3y x π=- B 、sin(2)3y x π=+ C 、cos 2y x = D 、sin 2y x =-9、若(cos )sin 3f x x =，则(sin 30)f =（ ）A ．－1 B. 0 C. 1 D.2110、长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )．A.7π B．14π C．56π D．64π11、下面给出的四个式子中，其中值不一定为0的是（ ）A.AB BC CA ++B.OA OC BO CO +++C.AB AC BD CD -+-D.NQ QP MN MP ++-12、对于函数()sin(2)6f x x π=+,下列说法中①函数图象关于直线12x π=-对称; ②函数图象关于点(125π,0)对称; ③函数图象可看作是把sin 2y x =的图象向左平移个6π单位而得到; ④函数图象可看作是把sin()6y x π=+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)而得到;其中正确的说法的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考(3月)数学试题
湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．ABC V 的三内角A B C ，，所对边分别为a b c ，，，若222a b c ab +-=，则角C 的大小（ ）．A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π32．已知,R a b ∈，i 是虚数单位，若i 2i a b +=-，则()2i a b +=（ ） A ．34i -B ．3+4iC ．54i -D ．54i +3．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（ ） A ．22cmB ．24cmC ．26cmD ．28cm4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1a =，b 6A π=，则B =A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π5．化简()()cos 2sin 2cos 25sin 2πααππαπα⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅-⋅-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．sin αB ．2sin αC ．sin α-D ．2sin α-6．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形7．已知向量()1,2a =r，()1,3b =-r ，则下列命题中错误的是（ ）A ．()a b a +⊥r r rB ．与向量a r垂直的一个单位向量是( C．a b +=r r D ．向量a r 在向量b r上的投影向量是8．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，b ccosA =，12ABC S ∆=，点P为线段AB 上一点，CACB CP x y CA CB=+u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v ，则xy 的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、多选题9．已知复数02i z =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为P 0，复数z 满足3z =，下列结论正确的是（ ） A ．P 0点的坐标为（2，1）B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点P 0关于虚轴对称C ．复数z 对应的点P 在一条直线上D ．P 0与复数z 对应的点P 间的距离的最小值为310 ） A ．sin15cos15︒︒B ．22cos 15sin 15︒︒- C ．2tan 301tan 30︒︒-D ．1tan151tan15︒︒+-11．已知函数()sin f x x x =，则（ ）A ．()f x 的最大值为2B ．函数()y f x =的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．直线5π6x =是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．函数()y f x =在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是ABC V 内一点，BOC V ，AOC V ，AOB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r．设O 是锐角ABC V 内的一点，BAC ∠、ABC ∠、ACB∠分别是的ABC V 三个内角，以下命题正确的有（ ）A ．若230OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则::1:2:3A B C S S S =B ．若2OA OB ==u u u r u u u r ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则92ABC S =VC ．若O 为ABC V 的内心，3450OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则π2C ∠=D ．若O 为ABC V 的垂心，230OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则cos AOB ∠=三、填空题13．已知复数ππsini cos 33z =+，则z =． 14．已知向量()2,3a =r ，(),6b m =-r ，若a b r r∥，则m=．15．设锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2B A =，则b ca+的取值范围是.16．将函数()π4cos 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象与直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…n A ，若P 点坐标为（0，1），则12n PA PA PA ++⋅⋅⋅+=u u u r u u u u r u u u u r ．四、解答题17．已知复数2(1),z m m m i m =+-+∈R ，i 为虚数单位． （1）当z 是纯虚数时，求m 的值；（2）当1m =时，求2iz． 18．已知平面向量,a b rr 满足=4,8,a b a =r r r 与b r 的夹角为2π3．(1)求a b -r r ；(2)当实数k 为何值时，()()a kb ka b +⊥-r rr r ．19．如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B 位于小岛A 北偏东75o 距离60海里处，小岛B 北偏东15o 距离30海里处有一个小岛 C .(1)求小岛A 到小岛C 的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A 出发到小岛 C ，求游船航行的方向. 20．已知函数()21cos sin cos 2f x x x x =+-．(1)求()f x 的最小正周期；(2)将()f x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求不等式()0g x …的解集．21．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC V 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC V 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos2cos2cos21B C A +-= (1)求A ；(2)若2bc =，设点P 为ABC V 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .22．定义非零向量(),OM a b =u u u u r的“相伴函数”为()()sin cos f x a x b x x =+∈R ，向量(),OM a b =u u u u r称为函数()()sin cos f x a x b x x =+∈R 的“相伴向量”（其中O 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．(1)设()()ππ3cos 63h x x x x ⎛⎫⎛⎫++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，请问函数()h x 是否存在相伴向量OM u u u u r ，若存在，求出与OM u u u u r共线的单位向量；若不存在，请说明理由．(2)已知点(),M a b 满足：(ba∈，向量OM u u u u r 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值，求0tan 2x 的取值范围．。
湖南省岳阳一中高一(下)3月月考数学试卷
2015-2016学年湖南省岳阳一中高一（下）3月月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内．）1．下列关系式中正确的是（）A．0∈∅ B．0∈{0}C．0⊆{0}D．{0}⊊∅2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．3．下列各命题正确的是（）A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角都是锐角C．锐角都是第一象限角D．小于90度的角都是锐角4．若α=1690°，θ与α的终边相同，且0°＜θ＜360°，则θ=（）A．300°B．250°C．200°D．150°5．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（）A．﹣B．C．D．﹣6．已知cosα＜0，sinα＞0，那么α的终边所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．已知cos（π+α）=，π＜α＜2π，则sinα的值是（）A．﹣B．C．﹣D．8．把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x+）C．y=cos2x D．y=﹣sin2x9．若f（cosx）=sin3x，则f（sin30°）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．10．一个长方体相邻的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A．B．14πC．56πD．64π11．下面给出的四个式子中，其中值不一定为的是（）A．B．C．D．12．对于函数f（x）=sin（2x+），下列命题：①函数图象关于直线x=﹣对称；②函数图象关于点（，0）对称；③函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位而得到；④函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍．（纵坐标不变）而得到；其中正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是．14．若直线x+ay﹣a=0与直线ax﹣（2a﹣3）y﹣1=0互相垂直，则a的值是．15．函数y=3sin（2x﹣）+2的单调递减区间是．16．下面的几个命题：①若||=||，则与共线；②长度不相等、方向相反的两向量一定是共线向量；③若，满足||且与同向，则；④由于方向不定，故不能与任何向量平行；⑤对于任意向量，有||﹣||≤|+|≤||+||其中正确命题的序号是：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜4}，（1）若a=，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．18．已知角α的终边过点P（5a，﹣12a），a＜0．求：（1）tanα；（2）sinα+cosα．19．已知圆C的圆心坐标为（3，2），且过定点O（0，0）．（1）求圆C的方程；（2）P为圆C上的任意一点，定点Q（8，0），求线段PQ中点M的轨迹方程．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为a正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC中点，AC与BD交于O点．（1）求证：BC⊥平面PCD；（2）求点C到平面BED的距离．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的一段图象如图所示，（1）求函数的解析式．（2）解不等式f（x）＞1．22．设a是实数，f（x）=a﹣（x∈R），（1）若f（x）是奇函数，求a及f（x）的值域（2）若不等式f（x）+a＜0恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年湖南省岳阳一中高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内．）1．下列关系式中正确的是（）A．0∈∅ B．0∈{0}C．0⊆{0}D．{0}⊊∅【考点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．【分析】直接利用元素与集合的关系以及集合与集合的关系判断选项即可．【解答】解：对于A、空集不包含任何元素，不能用0∈∅，所以不正确；对于B，0是集合中的一个元素，表述正确．对于C，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确．对于D，是两个集合的关系，用{0}⊋∅表示，所以D不正确；故选B．2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．【考点】平面图形的直观图．【分析】根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的，由此得出原来的图形是什么．【解答】解：根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的，∵O′C′=1，O′A′=，∴OC=O′C′=1，OA=2O′A′=2；由此得出原来的图形是A．故选：A．3．下列各命题正确的是（）A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角都是锐角C．锐角都是第一象限角D．小于90度的角都是锐角【考点】任意角的概念；象限角、轴线角．【分析】明确终边相同的角、锐角、第一象限角、小于90°的角的定义，通过举反例排除某些选项，从而选出答案．【解答】解：∵30°和390°是终边相同的角，但30°≠390°，故可排除A．第一象限角390°不是锐角，故可排除B．﹣30°是小于90°的角，但它不是锐角，故可排除D．锐角是第一象限角是正确的，故选C．4．若α=1690°，θ与α的终边相同，且0°＜θ＜360°，则θ=（）A．300°B．250°C．200°D．150°【考点】终边相同的角．【分析】直接利用终边相同角的概念，把1690°写成4×360°+θ的形式，则答案可求．【解答】解：∵1690°=4×360°+θ．∴在0°～360°范围内，θ=250°．故选：B．5．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，由此求得sinα=的值．【解答】解：∵已知角α的终边经过点P（﹣3，4），由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，∴sinα==，故选C．6．已知cosα＜0，sinα＞0，那么α的终边所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数线．【分析】利用三角函数线，直接判断角所在象限即可．【解答】解：cosα＜0，sinα＞0，那么α的终边所在的象限为第二象限．故选：B．7．已知cos（π+α）=，π＜α＜2π，则sinα的值是（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】先根据诱导公式求得cosα，进而利用同角三角函数基本关系求得sinα．【解答】解：∵cos（π+α）=，∴cosα=﹣∵π＜α＜2π，∴sinα＜0∴sinα=﹣．故选：A．8．把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x+）C．y=cos2x D．y=﹣sin2x【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】三角函数的平移原则为左加右减上加下减．直接求出平移后的函数解析式即可．【解答】解：把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为：y=sin=sin（2x﹣π）=﹣sin2x．故选D．9．若f（cosx）=sin3x，则f（sin30°）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【考点】函数的值．【分析】由诱导公式得f（sin30°）=f（cos60°），由此利用f（cosx）=sin3x，能求出结果．【解答】解：∵f（cosx）=sin3x，∴f（sin30°）=f（cos60°）=sin180°=0．故选：B．10．一个长方体相邻的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A．B．14πC．56πD．64π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：因为一个长方体相邻的三个面的面积分别是2，3，6，∴长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，2，1，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的体对角线的长是：球的半径是：这个球的表面积：4 =14π11．下面给出的四个式子中，其中值不一定为的是（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的运算法则即可得出．【解答】解：B.=，不一定等于．故选B．12．对于函数f（x）=sin（2x+），下列命题：①函数图象关于直线x=﹣对称；②函数图象关于点（，0）对称；③函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位而得到；④函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍．（纵坐标不变）而得到；其中正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】①把x=﹣代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误；②把x=，代入函数，函数值是否为0，即可判定正误；③函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定；④函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的表达式是否相同，即可判定正误．【解答】解：①把x=﹣代入函数f（x）=sin（2x+）=0，所以，①不正确；②把x=，代入函数f（x）=sin（2x+）=0，函数值为0，所以②正确；③函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数为f（x）=sin（2x+），所以不正确；④函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数f（x）=sin（2x+），正确；二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．【解答】解：由，解得：﹣．∴函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．故答案为：（﹣，1）．14．若直线x+ay﹣a=0与直线ax﹣（2a﹣3）y﹣1=0互相垂直，则a的值是a=0或a=2．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由题设条件，可利用两直线垂直的条件建立方程1×a+a×=0，解此方程即可得出a 的值．【解答】解：∵直线x+ay﹣a=0与直线ax﹣（2a﹣3）y﹣1=0互相垂直∴1×a+a×=0，解得a=0或a=2故答案为a=0或a=215．函数y=3sin（2x﹣）+2的单调递减区间是hslx3y3h+kπ，π+kπ+kπ，π+kπ+kπ，π+kπ1，hslx3y3h18．已知角α的终边过点P（5a，﹣12a），a＜0．求：（1）tanα；（2）sinα+cosα．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意可得x=5a，y=﹣12a，r=﹣13a，利用任意角的三角函数的定义，即可得到结论．【解答】解：由题意可得x=5a，y=﹣12a，r=﹣13a，（1）tanα==﹣；（2）sinα=，cosα=﹣，∴sinα+cosα=．19．已知圆C的圆心坐标为（3，2），且过定点O（0，0）．（1）求圆C的方程；（2）P为圆C上的任意一点，定点Q（8，0），求线段PQ中点M的轨迹方程．【考点】轨迹方程．【分析】（1）求出圆心与半径，即可求圆C的方程；（2）利用代入法，求线段PQ中点M的轨迹方程．【解答】解：（1）圆心坐标为C（3，2），又半径r=|OC|=，则所求圆的方程是（x﹣3）2+（y﹣2）2=13．（2）设线段PQ的中点M（x，y），P（x0，y0）M为线段PQ的中点，则x0=2x﹣8，y0=2y．P（2x﹣8，2y）代入圆C中得（2x﹣8﹣3）2+（2y﹣2）2=13，即线段PQ中点M的轨迹方程为（x﹣）2+（y﹣1）2=．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为a正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC中点，AC与BD交于O点．（1）求证：BC⊥平面PCD；（2）求点C到平面BED的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）先由已知得：PD⊥面ABCD推得PD⊥BC，再结合ABCD是正方形对应的BC⊥CD即可证：BC⊥面PCD；（2）运用等体积法，即可求出点C到平面BED的距离．【解答】（1）证明：由已知得：PD⊥面ABCD∴PD⊥BC∵ABCD是正方形∴BC⊥CD又PD∩CD=D∴BC⊥面PCD；（2）解：等体积法，设点C到平面BED的距离为h．=，∵DE=a，BD=a，BE=a，∴∠BED=90°∴S△BDE=，∵S△EDC由等体积法，可得，∴h=a，∴点C到平面BED的距离为a．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的一段图象如图所示，（1）求函数的解析式．（2）解不等式f（x）＞1．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）直接由函数图象求得A，T，由周期公式求得ω，利用五点作图的第二点求φ，则答案可求．（2）由已知可求sin（2x+）＞，利用正弦函数的图象可得2kπ+＜2x+＜2kπ+，k∈Z，进而解得不等式f（x）＞1的解集．【解答】（本题满分13分）解析：（1）解：由图可知，A=2，T=2（+）=π，∴ω===2．由五点作图的第二点可知，2×（﹣）+φ=．解得：φ=．∴函数解析式为：f（x）=2sin（2x+）…（2）∵f（x）=2sin（2x+）＞1．∴sin（2x+）＞．∴2kπ+＜2x+＜2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，∴不等式f（x）＞1的解集是：（kπ﹣，kπ+），k∈Z…22．设a是实数，f（x）=a﹣（x∈R），（1）若f（x）是奇函数，求a及f（x）的值域（2）若不等式f（x）+a＜0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值域．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，求出a的值，从而求出f（x）的值域即可；（2）问题转化为a＜恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，即a=1，∴f（x）=1﹣∈（﹣1，1）；（2）由题意x∈R时，2a﹣＜0恒成立，即x∈R时，a＜恒成立，∵2x+1＞1，∴0＜＜1，故：a≤0．2016年10月27日。
湖南省岳阳一中2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试卷
2016-2017学年湖南省岳阳一中高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．从学号为1号至50号的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．1，2，3，4，5 B．5，15，25，35，45C．2，4，6，8，10 D．4，13，22，31，402．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（）A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，53．将51转化为二进制数得（）A．100111（2）B．110011（2）C．110110（2）D．110101（2）4．有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗l升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量；其中两个变量成正相关的是（）A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤5．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002B． +100，s2+1002C．，s2D． +100，s26．从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是（）A．B．C．D．7．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a8．对于两随机事件A，B若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A，B的关系是（）A．互斥且对立B．互斥不对立C．既不互斥也不对立D．以上均有可能9．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为（）A．64 B．54 C．48 D．2710．在两个袋内，分别写着装有1，2，3，4，5，6六个数字的6张卡片，今从每个袋中各取一张卡片，则两数之和等于9的概率为（）A．B．C．D．11．当x=2时，下面的程序段结果是（）A．3 B．7 C．15 D．1712．如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．口袋内有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为．14．三个数390，455，546的最大公约数是．15．在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是．16．有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，k+1，其中k=0，1，2，…，19．从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10）不小于14”为A，则P（A）=．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．求下列函数的定义域：（1）；（2）．18．证明：函数f（x）=x2+1是偶函数，且在[0，+∞）上是增加的．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面B1CD．20．直线l经过两点（2，1），（6，3）．（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程．21．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．22．某培训班共有n名学生，现将一次某学科考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示其中落在[80，90）内的频数为36．（1）请根据图中所给数据，求出a及n的值；（2）从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，求在第一组、第五组（从左到右）中分别抽取了几名学生的成绩？（3）在（2）抽取的样本中的第一与第五组中，随机抽取两名学生的成绩，求所取两名学生的平均分不低于70分的概率．2016-2017学年湖南省岳阳一中高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．从学号为1号至50号的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．1，2，3，4，5 B．5，15，25，35，45C．2，4，6，8，10 D．4，13，22，31，40【考点】B4：系统抽样方法．【分析】计算系统抽样的抽取间隔，由此可得答案．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，由此可得所选5名学生的学号间隔为10，由此判定B正确，故选：B．2．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（）A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，5【考点】E3：排序问题与算法的多样性．【分析】把所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，结果有6次乘法运算，有6次加法运算，本题也可以不分解，直接从最高次项的次数直接得到结果．【解答】解：∵f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1=（3x5+4x4+5x3+6x2+7x+8）x+1=[（3x4+4x3+5x2+6x+7）x+8]+1={{{[（3x+4）x+5]x+6}x+7}x+8}x+1∴需要做6次加法运算，6次乘法运算，故选A．3．将51转化为二进制数得（）A．100111（2）B．110011（2）C．110110（2）D．110101（2）【考点】EM：进位制；W1：整除的定义．【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：51÷2=25 (1)25÷2=12 (1)12÷2=6 06÷2=3 03÷2=1 (1)1÷2=0 (1)=110011（2）故51（10）故选B．4．有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗l升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量；其中两个变量成正相关的是（）A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤【考点】BG：变量间的相关关系；BH：两个变量的线性相关．【分析】①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系；②平均日学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关；③某人每日吸烟量和其身体健康情况是负相关的关系；④正方形的边长和面积的倒数的关系是函数关系；⑤汽车的重量和百公里耗油量是正相关的；【解答】解：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系；②平均日学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关；③某人每日吸烟量和其身体健康情况是负相关的关系；④正方形的边长和面积的倒数的关系是函数关系；⑤汽车的重量和百公里耗油量是正相关的．故两个变量成正相关的是②⑤．故选C．5．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002B． +100，s2+1002C．，s2D． +100，s2【考点】BC：极差、方差与标准差；BB：众数、中位数、平均数．【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．【解答】解：由题意知y i=x i+100，则=（x1+x2+…+x10+100×10）=（x1+x2+…+x10）=+100，方差s2= [（x1+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）2+…+（x10+100﹣（+100）2]= [（x﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2．1故选：D．6．从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是（）A．B．C．D．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】根据已知中从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任意取两个数，由C62种结果，及列举出满足条件两个数都是偶数的基本事件个数，代入概率公式，即可得到答案．【解答】解：从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任意取两个数，共有C62=15种结果，其中满足条件两个数都是偶数的有（2，4），（2，6），（4，6）共3种情况不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率P==故选D．7．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】先由已知条件分别求出平均数a，中位数b，众数c，由此能求出结果．【解答】解：由已知得：a=（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7；b==15；c=17，∴c＞b＞a．故选：D．8．对于两随机事件A，B若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A，B的关系是（）A．互斥且对立B．互斥不对立C．既不互斥也不对立D．以上均有可能【考点】C4：互斥事件与对立事件．【分析】通过理解互斥与对立事件的概念，核对四个选项即可得到正确答案．【解答】解：若是在同一试验下，由P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，说明事件A 与事件B一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，但事件A和B也不见得对立，所以事件A与B的关系是不确定的．故选：D9．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为（）A．64 B．54 C．48 D．27【考点】B8：频率分布直方图．【分析】通过图形求出前两组中的频数，求出第三组频数．通过最大频率为0.32，求出a的值．【解答】解：前两组中的频数为100×（0.05+0.11）=16．∵后五组频数和为62，∴前三组频数和为38．∴第三组频数为22．又最大频率为0.32，故频数为0.32×100=32，∴a=22+32=54，故选B．10．在两个袋内，分别写着装有1，2，3，4，5，6六个数字的6张卡片，今从每个袋中各取一张卡片，则两数之和等于9的概率为（）A．B．C．D．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】首先计算从两个袋中各取一张卡片的取法数目，再列举其中和为9的情况，可得其数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：从两个袋中各取一张卡片，每个袋中有6张卡片，即有6种取法，则2张卡片的取法有6×6=36种，其中和为9的情况有（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），共4种情况，则两数之和等于9的概率为=，故选C．11．当x=2时，下面的程序段结果是（）A．3 B．7 C．15 D．17【考点】EA：伪代码．【分析】由程序段可以得出，此程序的作用是对S进行乘2加1的运算，共进行了四次，由此计算出最终结果即可选出正解选项【解答】解：由程序段知，本题的循环体共进行了四次，对S施加的运算规则是乘2加1，S的值依次为1，3，7，15故选C12．如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．1【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】此题为一三棱锥，且同一点出发的三条棱长度为1，可以以其中两条棱组成的直角三角形为底，另一棱为高，利用体积公式求得其体积．【解答】解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，右图为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC．则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积，故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．口袋内有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为0.32．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】因为口袋内有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.23，所以可求出口袋内白球数．再根据其中有45个红球，可求出黑球数，最后，利用等可能性事件的概率求法，就可求出从中摸出1个球，摸出黑球的概率．【解答】解：∵口袋内有100个大小相同的红球、白球和黑球从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.23，∴口袋内白球数为32个，又∵有45个红球，∴为32个．从中摸出1个球，摸出黑球的概率为=0.32故答案为0.3214．三个数390，455，546的最大公约数是13．【考点】WE：用辗转相除计算最大公约数．【分析】利用辗转相除法，先求出其中二个数390，455；455，546的最大公约数，之后我们易求出三个数390，455，546的最大公约数．【解答】解：455=390×1+65390=65×6∴390，455的最大公约数是65546=455×1+91455=91×5故455，546的最大公约数为91又65，91的最大公约数为13三个数390，455，546的最大公约数是13故答案为：13．15．在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是6．【考点】EF：程序框图；E7：循环结构．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S＞50，跳出循环体，确定输出的i的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=2×1+2=4，i=3；第三次循环S=2×4+3=11，i=4；第四次循环S=2×11+4=26，i=5；第五次循环S=2×26+5=57，i=6，满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6．故答案为：6．16．有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，k+1，其中k=0，1，2，…，19．从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10）不小于14”为A，则P（A）=．【考点】C7：等可能事件的概率；D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】求任取一卡片，该卡片上两个数的各位数字之和不小于14的概率，可以求其反面任取一张其各位数字之和小于14的概率，分为2情况求得后，用1减去它即可得到答案．【解答】解：卡片如图所示．共20张．任取一张“其各位数字之和小于14”的分两种情况：①两个1位数从到共有7种选法；②有两位数的卡片从和共8种选法，故得P（A）=1﹣=1﹣=．故答案为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．求下列函数的定义域：（1）；（2）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】（1）根据负数不能开偶次方根求解，即根下的数大于等于零，两个根式函数分别求得结果后取交集．（2）分母不能为零，要注意绝对值的解法．【解答】解：（1）根据题意有：解得：故定义域为：（2）根据题意：|x+2|﹣1≠0解得：x≠﹣1，x≠﹣3∴定义域是：{x|x∈R，且x≠﹣1且x≠﹣3}18．证明：函数f（x）=x2+1是偶函数，且在[0，+∞）上是增加的．【考点】3K：函数奇偶性的判断；3E：函数单调性的判断与证明．【分析】结合已知条件，检验函数的定义域关于原点对称，检验f（﹣x）=（﹣x）2+1=f（x），进而可证明f（x）是偶函数，利用函数的单调性的定义，只要证明当任意x1＜x2∈[0，+∞）都有f（x1）＜f（x2）证明函数的单调性【解答】证明：∵f（x）的定义域为R，∴它的定义域关于原点对称，f（﹣x）=（﹣x）2+1=f（x）所以f（x）是偶函数．任取x1，x2且x1＜x2，x1与x2∈[0，+∞）则f（x1）﹣f（x2）=x12+1﹣（x22+1）=x12﹣x22=（x1﹣x2）（x1+x2）＜0∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）在[0，+∞）上是增加的．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面B1CD．【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，【分析】即可证得AC⊥BC1；（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，而AC1⊂平面B1CD，利用线面平行的判定定理即可得证．【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1∴AC⊥BC1．（2）设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB的中点，∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，又∵AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD．20．直线l经过两点（2，1），（6，3）．（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程．【考点】IG：直线的一般式方程；J1：圆的标准方程．【分析】（1）先求出直线l的斜率，再代入点斜式然后化为一般式方程；（2）由题意先确定圆心的位置，进而求出圆心坐标，再求出半径，即求出圆的标准方程．【解答】解：（1）∵直线l经过两点（2，1），（6，3），∴直线l的斜率k==，∴所求直线的方程为y﹣1=（x﹣2），即直线l的方程为x﹣2y=0．（2）由（1）知，∵圆C的圆心在直线l上，∴可设圆心坐标为（2a，a），∵圆C与x轴相切于（2，0）点，∴圆心在直线x=2上，∴a=1，∴圆心坐标为（2，1），半径r=1，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．21．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）A，B，C三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k==，故A地区抽取的商品的数量为：×50=1；B地区抽取的商品的数量为：×150=3；C地区抽取的商品的数量为：×100=2；（Ⅱ）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区”为事件A，则这2件商品可能都来自B地区或C地区，则A中包含=4种不同的基本事件，故P（A）=，即这2件商品来自相同地区的概率为．22．某培训班共有n名学生，现将一次某学科考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示其中落在[80，90）内的频数为36．（1）请根据图中所给数据，求出a及n的值；（2）从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，求在第一组、第五组（从左到右）中分别抽取了几名学生的成绩？（3）在（2）抽取的样本中的第一与第五组中，随机抽取两名学生的成绩，求所取两名学生的平均分不低于70分的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；B8：频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布表各频率和为1的特点易得第4组的频率，进而可得a 和n的值；（2）由（1）可知第一组，第五组分别抽到的2个分数，3个分数，分别记作A1，A2，和B1，B2，B3由列举法可得答案．【解答】解：（1）由频率分布表可得第4组的频率为：1﹣0.05﹣0.225﹣0.35﹣0.075=0.3∴a==0.03，n==120（2）由分层抽样的特点可得：第一组应抽0.05×40=2个，第五组应抽0.075×40=3个（3）设第一组抽到的2个分数记作A1，A2，第五组的3个记作B1，B2，B3从这两组中抽取2个有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3共10种，其中平均分不低于70分的有9种，故所求的概率为：P=2017年5月29日。
湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题
湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期6
月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
四、解答题
17．如图，这是由一个半圆柱和一个长方体组合而成的几何体，其中1
2AB AA ==，
6AD =．
(1)求该几何体的体积；(2)求该几何体的表面积．
18．如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以
AB 边所在直线为旋
转轴旋转120°得到的，点P是弧CE的中点，Q是AC的中点，BP与CE交于点O.
(1)求证：OQ∥平面ABEF；
(2)求证：
AP CE
^
.
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sin sin2sin
B C A
+=，
87
b a
=
．
(1)求sin B的值；
(2)求()
sin A B
-的值．
20．如图所示，在四棱锥S ABCD
-中，SA^平面ABCD，//
AB CD，60
CDA
Ð=o，P为棱SA上一点，22244
AB AD CD AP PS
=====.
(1)证明：//
SC平面PBD；
选项，由圆柱的定义，是由一个长方形绕着它的一条边旋转得到的图形，故选项，由棱台的结构特征值知，棱台的
选项，当截面与圆锥底面不平行时，底面与截面之间的部分不是圆台，故故选：ABD.
10．ABC
（3）因为//
AB CD，60
Ð=°
CDA。