高二数学(理)周末练习(第五周)

高二数学（理）周末练习（第五周）

一、选择题：

1.曲线在点（－1，－3）处的切线方程是（ ） A . B.

C.

D.

2．若

是( ).

A ．纯虚数

B ．实数

C ．虚数

D ．不能确定

3．两个正数1、9的等差中项是，等比中项是，则曲线12

2=+b

y a x 的离心率为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．与

4．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM =x OA +21OB +3

1

OC ，则x 的值为（ ）

A 、61

B 、3

1

C 、21

D 、0

5．已知A 和B 是两个命题，如果B A ??

成立，则A 是B ?的 ( )

(A) 充分条件 (B) 必要条件

(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

6．已知双曲线1642

2

=-y x ，则过)1,2(P 且与双曲线有且仅有一个公共点的直线有 ( ) 条

A 、1

B 、2

C 、3

D 、 4 7.已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211n

n n n +++++=-++-+-

时，若已假设2(≥=k k n 为偶 数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）

A ．1+=k n 时等式成立

B ．2+=k n 时等式成立

C ．

22+=k n 时等式成立

D ．)2(2+=k n 时等式

成立

8.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f '(x)可能为（ ）

二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）

9．(1)命题”若0xy =，则0x =或0y =”的否命题是____________________

(2) 命题的否定是 2(0,2),22x x x ?∈++＞0

10.已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>与直线1x y +=交于M,N 两点,且OM ON ⊥,(O 为

原点),

当椭圆的离心率2

e ∈时,椭圆长轴长的取值范围是 . 11.已

知为一次函数，

且，

则

=______ .

12.若

21

()ln(2)2

f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是

13.若数列{}n a 是等差数列，对于)(1

21n n a a a n

b +++=

，

则数列{}n b 也是等差数列。类比上述性质，若数列{}n c 是各项都为正数的等比数列，对于0>n d ，则n d = 时，数列{}n d 也是等比数列。

14.已知二次函数2

()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都

有()0f x ≥，则(1)

'(0)

f f 的最小值为 解答题：

15.设函数2

()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）求()f x 在区间3144

??-????

，的最大值和最小值．

A

B

C

D

B

A 1

B 1

C 1

N

A

C

M

16. 已知点P 是⊙O ：229x y +=上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ,动点Q 满足

2

3

DQ DP =

。 （1）求动点Q 的轨迹方程；

（2）若过点(1,1)E 的直线交动点Q 的轨迹于M 、N 两点，且E 为线段MN 的中点，求直线

MN 的方程。

17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中,1,AC BC AC BC CC ⊥==，111M N A B B C 、分别是、的中点． （1）求证：1A BC MN ⊥平面；

（2）求直线11BC A BC 和平面所成角的大小．

18.（本小题满分14分）

一个动圆与圆()112

2

=+-y x 外切，同时与圆()912

2

=++y x 内切

(1) 求此动圆圆心P 的轨迹E 的方程

(2) 若点M 是圆()13:2

2

=-+y x C 上的动点，点F 是轨迹E 的一个焦点，求

PF PM +的最大值

19．（本题满分14分）

已知函数2

(),()ln a f x x g x x x x

=+=+，其中0a >。 （1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；

（2）若对任意的[]12,1,x x e ∈（e 为自然对数的底数）都有12()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围。

20.设点P 在曲线2x y =上，从原点向A （2，4）移动，如果直线OP ，曲线2x y =及直线x=2所围成的面积分别记为1S 、2S 。 （Ⅰ）当21S S =时，求点P 的坐标；

（Ⅱ）当21S S +有最小值时，求点P 的坐标和最小值。

答案

CDDAB BBD

9.(1) 否命题：若xy ≠0则x ≠0且y ≠0；(2) “2(0,2),22x x x ?∈++≤0”

10.

【解析】 由22

22

1

1x y a b x y ?+=???+=?

,可得02)(2222222=-+-+b a a x a x b a ① 由OM ON ⊥得12120x x y y +=,即12122()10x x x x -++=,将222

212b a a x x +=+,

2221222

a a

b x x a b -=+代入得22112a b +=,即22112b a =-,

因为32c a ≤≤,得 2211132b a ≤-≤,得2212

23

b a ≤≤,有2231(2)22a a ≤?-≤,

2a ≤≤11. 1-

12.

1b ≤-

14. 2

15. 解：

（Ⅰ）224622(21)(1)()2232323

x x x x f x x x x x ++++'=+==+++．………………3分 当312x -

<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当1

2

x >-时，()0f x '>． ……………………………………………………………………………………………6分

从而，()f x 分别在区间3

12??-- ???，，12??-+ ???，∞单调增加，在区间112??

--

???

，单调减少． …………………………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144??-????，的最小值为11

ln 224f ??

-=+ ???

．……………10分

又31397131149ln

ln ln 1ln 442162167226f f ??

????

--=+--=+=- ? ? ???????

0<． 所以()f x 在区间3144??

-????

，的最大值为11

7

ln 4162f ??

=+ ???．…………………………13分

16. 15、解：（1）设()00(,),,P x y Q x y ，依题意，则点D 的坐标为0(,0)D x ……………

1分

∴00(,),(0,)DQ x x y DP y =-= (2)

分

又 23D Q D P = ∴ 000002332x x x x

y y y y -==??????==????

即 ………………………3分

∵ P 在⊙O 上，故2

2

009x y += ∴ 22

194

x y += (4)

分

∴ 点Q 的轨迹方程为22

194

x y += ………………5分

（2）假设椭圆22

194

x y +=上存在两个不重合的两点()1122(,),,M x y N x y 满足

因为(1,1)E 是线段MN 的中点，且有12

121212122

212

x x x x y y y y +?=?+=????++=??=??即…6分

又 ()1122(,),,M x y N x y 在椭圆22

194

x y +=上

∴ 22

112222194

1

9

4x y x y ?+=????+=?? 两式相减，得 ()()()()12121212094x x x x y y y y -+-++=…………8分

∴ 12124

9

MN y y k x x -=

=-- ∴ 直线MN 的方程为 49130x y +-=

∴ 直线MN 的方程为 49130x y +-= ……………………10分

17. 解：

（1）据题意CA 、CB 、CC 1

两两垂直，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1

所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．

设AC ＝BC ＝CC 1＝a ，

则11(0,,0),(0,,),(,0,0),(0,0,0),(0,0,)B a B a a A a C C a

1(,0,)A a a ，(,,),(0,,)2222

a a a a

M N a ．……………1分

所以1(,,)BA a a a =-，1(,0,)CA a a =

(,0,)22

a a

MN =-．…………… 2分

于是10MN BA ?=，10MN CA ?=， 即MN⊥BA 1，MN⊥CA 1． …………… 3分 又1

11BA CA A =，故MN⊥平面A 1BC ．………… 5分

（2）因为MN⊥平面A 1BC ，则MN 为平面A 1BC 的法向量，……………6分 又1(0,,)BC a a =-，

则21111cos ,2

||||

a BC MN

BC MN BC MN ?<>=

=

=， 所以1,60BC MN <

>=． …………… 9分 故直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30o． …………… 10分 取值范围是有限集1{0,,}22

±

±。 ……10分

18. 解：()1()9122=++y x 和()112

2=+-y x 的圆心的分别为

()0,11-F 和()0,12F ，设动圆半径为r,则

12+=r PF ，r PF -=31 ……………2分

21214F F PF PF >=+

故轨迹E 是以1F 和2F 为焦点的椭圆 ……………4分

由于42=a ，1=c ，322=-=a c b

故轨迹E 的方程为13

42

2=+y x 除去点（2，0）。 …………7分 ()2不妨设点F 是椭圆的右焦点2F ，依据椭圆的定义124PF PF -=

51122+-=++≤+PF PC PF PC PF PM …………10分

当P 是1CF 的延长线与椭圆交点时，1PF PC -取最大值101=CF …………13分

510511+=≤+-CF PF PC

故PF PM +的最大值为510+ …………14分

19.()1解：()x x a x x h ln 2:2

++= ，其定义域为()+∞,0

()x x

a x h 1

222'

+-=∴

1=∴x 是函数()x h 的极值点，()03,01'2=-=∴a h 即

3,0=∴>a a -----------------3分

经检验当3=

a 时，1=x 时是函数()x h 的极值点

3=∴a ----------------4分

()2对任意[]e x x ,1,21∈都有()()21x f x f ≥成立等价于对任意[]e x x ,1,21∈

都有()[]()[]max min x g x f ≥

当[]

()011,1'

>+=∈x

x ，g e x 时

∴函数()x x x g ln +=∴在[]，e 1上是增函数

()[]()1max +==∴e e g x g ---------------6分

()()()2

22'

1x a x a x x a x f -+=-= 且[]0,,1>∈a e x --------------7分 ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()2

0x a x a f x x +-'=

>，

∴函数()2

a f x x x

=+在［1，e ］上是增函数，

∴()()2

min 11f x f a ==+????.

由2

1a +≥1e +，得a

又01a <<，∴a 不合题意． ……………………9分 ②当1≤a ≤e 时， 若1≤x ＜a ，则()()()2

0x a x a f x x +-'=

<，

若a ＜x ≤e ，则()()()2

0x a x a f x x +-'=

>．

∴函数()2

a f x x x

=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．

∴()()min 2f x f a a ==????. 由2a ≥1e +，得a ≥1

2

e +， 又1≤a ≤e ，∴

1

2

e +≤a ≤e ． ……………………11分 ③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()2

0x a x a f x x +-'=

<，

∴函数()2

a f x x x

=+在[]1e ，上是减函数．

∴()()2

min

a f x f e e e

==+????.

由2

a e e

+≥1e +，得a

又a e >，∴a e >．……………………13分 综上所述，a 的取值范围为1,2e +??

+∞??

??

． ……………………14分 20. 解：（Ⅰ）设点P 的横坐标为t(0

t t ，

直线OP 的方程为y tx = …………2分

302

161)(t dx x tx S t

=-=?，32226

1

238)(t t dx tx x S t +-=-=? …………6分

因为21S S =，所以3

4=t ，点P 的坐标为)916

,34( …………7分

（Ⅱ）3

8

231612386132321+-=+-+=+=t t t t t S S S …………8分

22-='t S ，令S ＇=0得022=-t ，2=t …………9分

因为20<0 …………11分 所以，当2=

t 时，3

2

48min -=

S ,P 点的坐标为 )2,2( …………12分