浅谈泰勒公式及其应用

论文提要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具，它的用途很广泛，本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。

即应用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明中值公式，判断函数敛散性，证明不等式，判断函数的极值，求幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值。

浅谈泰勒公式及其应用摘 要： 本文介绍了泰勒公式及几个常见函数的展开式，针对泰勒公式的应用讨论了八个问题.即应用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明中值公式，判断函数敛散性，证明不等式，判断函数的极值，求幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值.关键词：泰勒公式泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算，其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用，所以，本文会以大量的例题进行讲解说明.1 预备知识定义 1.1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()n n f x T x T x ==+()0no x x +,即()()()()()()()()()().!!2000200000n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-+⋯+-''+-'+=为⑴式.⑴式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，()()()x T x f x R n n -=称为泰勒公式的余项，形如()nx x o 0-的余项称为佩亚诺型余项.所以⑴式又称为带有佩亚诺余项的泰勒公式.当00=x 时，得到泰勒公式：()()()()()()()n n x o n f x f x f f x f ++⋯+''+'+=!0!20002.它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式.定义1.2 若函数f 在[]b a ,上存在直至n 阶的连续导函数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的x ，[]b a x ,0∈,至少存在一点()b a ,∈ξ,使得()()()()()()()()()()()()()100100200000!1!!2++-++-+⋯+-''+-'+=n n n n x x n x fx x n x f x x x f x x x f x f x f 为⑵式.⑵式同样称为泰勒公式，它的余项为()()()()()()()()1001!1++-+=-=n n n n x x n x f x T x f x R ， ()00x x x -+=θξ ()10<<θ，称为拉格朗日型余项.所以⑵式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.当00=x 时，得到泰勒公式()()()()()()()()()112!1!0!2000+++++⋯+''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ.它也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式. 常见函数的展开式：⑴()n xx xx o n n x e ++⋯+++=!!221； ⑵()()m m m x o m x x x x x 212153)!12(1!5!3sin +--+⋯++-=--；⑶()()12242)!2(1!4!21cos ++-+⋯++-=m m m x o m xx x x ；⑷()()()n nn x o nx x x x x +-+⋯++-=+-1321321ln ; ⑸()()()n nax o x n n a a a a a axx ++-⋯-+⋯+++=+!)1()1(!2111； ⑹()n n x o x x x x++⋯+++=-2111.2.泰勒公式的应用2.1利用泰勒公式求极限为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数极限转化为类似多项式有理式的极限，就能简捷地求出.例2.1 求 0lim→x xx x x 3sin )cos (sin -. 证 设()()x x f sin =, ()x x g cos =用泰勒公式在0=x 处展开 它们的导数是有规律的分别按x cos ,x sin -,x cos -,x sin 和x sin -,x cos -,x sin , x cos 循环.f 在0=x 处的1,2,……阶导数分别为1,0,1-,0,1……（循环）；g 在0=x 处的1,2,……阶导数分别为1,0,1-,0,1……（循环）；()()⋯⋯-+-+=-+=∑∞=!5!3!10!0)0(0sin 530x x x i f x f x i i i()()⋯⋯-+-=-+=∑∞=!4!21!0)0(0cos 420x x i g x g x i i ii f ,i g , f ,g 为i 的阶导数代入所求式中原式0lim x →= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯+---32353!31!11)!51!41()!31!21(）（x x x x 20231111()()2!3!4!5!lim 111!3!x x x →⎡⎤---+⋯⋯⎢⎥⎣⎦=⎡⎤-+⋯⋯⎢⎥⎣⎦（）112!3!=- 13=2.2 利用泰勒公式证明中值公式例2.2 设)(x f 在[]b a ,上三次可导，试证：∃(,)c a b ∈使得3)())((241)(2)()(a b c f a b b a f a f b f n -+-⎪⎭⎫⎝⎛+'+= ①证（待定常数法）设k 为使下式成立的实数0)(241)(2)()(3=---⎪⎭⎫⎝⎛+'--a b k a b b a f a f b f ② 这时，我们的问题回归为证明：),(b a c ∈∃使得)(c f k '''= ③令 3)(241))(2()()()(a x k a x x a f a f x f x g ---+'--= ④ 则0)()(==b g a g根据罗尔定理，),(b a ∈∃ξ，使得,0)(='ξg 有④式，即：()028222)(2=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+''-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'-'ξξξξξk a a f a f f ⑤这是关于k 的方程，注意到()ξf '在点2ξ+a 处的泰勒公式； ()2221222⎪⎭⎫⎝⎛-'''-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+''+⎪⎭⎫ ⎝⎛+'='a f a a f a f f ξξξξξ ⑥其中()b a c ,∈，比较⑤，⑥可得③式证毕2.3利用泰勒公式判断函数敛散性当要求判断极限的敛散性且条件出现有二阶和二阶以上导数时，考虑用泰勒公式展开判断极限敛散性.例2.3设)(x f 在点0=x 的某一邻域内具有二阶连续导数，且()0lim=→xx f x .证明：级数)1(1∑∞=n nf 绝对收敛. 分析：可以先用泰勒公式求出)(x f 在点0=x 处的二阶导数，利用二阶导数判断0→x 时)(x f 的趋势.证 由()0lim=→xx f x ，又)(x f 在0=x 的邻域内具有二阶连续导数，可以推出0)0(=f ，0)0(='f .将)(x f 在0=x 的邻域内展开成一阶泰勒公式：=)(x f ()()2221!21)0()0(x f x f f f ξξ''=''+'+，其中ξ在0与x 之间. 由于题设，()x f ''在邻域内包含原点的一个小闭区间上连续，因此，0>∃M 使得M x f ≤'')(，于是：222)(21)(x M x f x f ≤''=ξ. 令n x 1=，则212)(n M x f ⋅≤.因为∑∞=121n n 收敛，所以∑∞=1)1(n n f 绝对收敛.2.4 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物，不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往使证明方便简捷.例2.4 当0≥x 时，证明≥x sin -x 361x . 证 取()x f 361sin x x x +-=, 00=x ，则 ()00=f ，()00='f , ()00=''f , ()='''0f x cos 1-, ()0)(n f ≥0.带入泰勒公式，其中3=n ,得()3!3cos 1000x x x f θ-+++=,其中10<<θ. 故 当0≥x 时，≥x sin 361x x -.2.5利用泰勒公式判断函数的极值例2.5（极值的第二充分条件）设f 在0x 的某邻域()δ;0x U 内一阶可导，在=x 0x 处二阶可导，且()00='x f ， ()00≠''x f . （ⅰ）若()00<''x f ,则f 在0x 取得极大值. （ⅱ）若()00>''x f ,则f 在0x 取得极小值.证 由条件，可得f 在0x 处的二阶泰勒公式()()()()()()()22002000!2o x x o x x x fx x x f x f x f -+-+-'+= .由于()00='x f ，因此()()=-0x f x f ()()()20012x x o x f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡+''. ① 又因()00≠''x f ,故存在正数δδ≤'，当x ()δ'∈;0x U 时，()021x f ''与 ()()1210o x f +'' 同号.所以，当()00<''x f 时，①式取负值，从而对任意()δ'∈;0o x U x 有 ()()00<-x f x f ， 即 f 在0x 取极大值.同样对()00>''x f ，可得f 在0x 取极小值. 2.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些比较复杂的初等函数的幂级数展开式.例2.6 求函数x e x -1在0=x 处的幂级数展开式，并确定它收敛于该函数的区间.解 由于()=++⋯+++=n xx xx o n n x e !!221∑∞=0!n nn x ()+∞∞-∈,x 而=-x11∑∞=0n nx()1,1-∈x ,则=-xe x1=∑∞=0nn!x n n n x n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+++0!1!21!111 ()1,1-∈x , 2.7 利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用()x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为()()()()()()nn x n f x f x f f x f !0!20002+⋯+''+'+≈,其误差是余项()x R n .例2.7 计算8.1ln 2.1ln +， 误差小于001.0.8.1ln 2.1ln +()()2.012.01ln -+= ()04.01ln -=()--=04.0()()⋯--+-304.0204.032由于第二项已经001.0<，所以只取前两项即可 结果是0408.00008.004.0-=--.2.8利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值如果)(x f 泰勒公式已知，其通项中的加项n x x )(0-的系数正是)(!10)(x f n n ，从而可反过来求高阶导数数值，而不必再依次求导.例2.8求函数x e x x f 2)(=在1=x 处的高阶导数)1()100(f .解 设1+=u x ，则e e u e u u g xf u u ⋅+++==+2)1(2)1()1()()(，)0()1()()(n ug f =， 0=u e u 在的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998u o u u u u e u++++⋯++=， 从而))(!100!99!981)(12()(10010099982u o u u u u u u e u g ++++⋯++++=， 而)(u g 中的泰勒展开式中含100u的项应为()100100!100)0(u g ，从)(u g 的展开式知100u 的项为100)!1001!992!981(u e ++，因此 ())!1001!992!981(!100)0(100++=e g ，()10101)0(100⋅=e g ，()().10101)0()1(100100e g f ==本文主要介绍了泰勒公式以及它的八个应用，使我们对泰勒公式有了更深一层的理解.怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识，只要在解题训练中注意分析，研究题设条件及其形式特点并把握上述处理规则，就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献[1]华东师范大学数学系，数学分析（第三版）[M]高等教育出版社1981.[2]陈传章金福林：《数学分析》（下）北京：高等教育出版社，1986.[3]张子兰崔福菊：《高等数学证题方法》陕西：陕西科学出版社，1985.[4]王向东：《数学分析的概念和方法》上海：上海科学技术出版社，1989[5]同济大学数学教研室主编：高等数学[M].北京：人民教育出版社，1999.[6]刘玉琏傅沛仁：数学分析讲义[M].北京：人民教育出版社，2000.。