习题选讲
离散数学习题选讲
从 A − B 中选择那些向下可达 B 中每一个元素的结点，它们都是 B 的上界，其中的 最小元是 B 的最小上界，类似地可以确定 B 的最大上界。
离散数学习题选讲
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第五章 代数系统的一般性质
如果给定了两个以上的运算，在讨论封闭性时要分别对每个运算讨论。
容易验证本题中的 6 个函数全是实数集 R 上的二元运算，它们的可交换性、结合性、
幺元和零元的判别结果如下：
函数
交换
结合
么元
零元
f1
√
√
为0
×
f2
×
×
×
×
f3
√
√
为1
为0
f4
√
√
×
×
f5
√
√
×
×
f6
√
×
×
×
离散数学习题选讲
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第六章 几个典型的代数系统
有的结点检查完毕，就得
到 G′ 。以本题为例。图（1） 表示 R 的关系图 G 。依次
检查结点 1、2、3、4。从 1 出发，沿环走 2 步仍回
到 1。所以， G′ 中有过 1
的环。从 1 出发，经过 <1,1>和<1,4>，2 步可达
4。所以 G′ 中有从 1 到 4
的边。结点 1 检查完毕。 类似地检查其它 3 个结点。2 步长的路径还有 2→1→1，2→1→4,3→4→1,4→1→1,4→1→4。
前提引入
② ∃y(F ( y) → G( y))
①EG
计算机网络习题选讲三
(5)子网掩码由一连串的1和一连串的0组成，1代表网络号 和子网号，0对应主机号.255.255.0.255变成二进制形式是： 11111111 11111111 00000.可见，是一个有效的子网掩码， 但是不是一个方便使用的解决办法。
(6)194.47.20.129，C类。
(5) 192.4.153.90
试分别计算其下一站。
答：（1）接口0 （2）R2 （3）R4（4） R3 （5）R4
方法：用目标网络号和子网掩码相与，若 结果出现在目的网络中，则转发相应的下 一站，若没有出现在目的网络中，则转发 到默认站（R4）。
注：计算中注意IP地址和掩码最后一个字节 展开成二进制计算。
LAN2，91台主机
LAN3，150台主机
LAN4，3台对LAN3，主机数150，（27-2）<150+1<（28-2）， 所以主机位为8bit，网络前缀为24，分配地址块 30.138.118.0/24。（第24位为0） 对LAN2，主机数91，（26-2）<91+1<（27-2），所 以主机位为7bit，网络前缀为25，分配地址块 30.138.119.0/25。（第24，25位为1 0）
答：一个TCP报文段的数据部分最长为65495字 节。此数据部分再加上TCP首部的20字节，再加 上IP首部的20字节，正好是IP数据报的最大长度 （216-1=65535字节）。当然，若IP首部包含了选 项，则IP首部长度超过20字节，这时TCP报文段 的数据部分的长度将小于65495字节。 即使用户要传输的数据的字节长度超过TCP 报文段中的序号字段可能编出的最大序号，还可 以用TCP来传输。当今的Internet用户速率还不是 很高，且分组的生命期受限。由于TCP序号字段 有32位长，可以循环使用序号。这样，就可保证 当序号重复使用时，旧序号的数据早已通过网络 到达终点了。
线性代数--习题选讲
11111000c0 cc1c c 1111c1 1c0cc0 0 0 c 1 0 1 aabb11c111bb111c 0a0aaaabba0cb0b00c0b1b1bc1cca12aabc 1 1 0
00000b11b1ccc1caa a 111101 0b1bb1 a 1c a 0 1 1
10 1
a2 a1 x
证明 按第一列展开, 有
x 1
00
1 0
0x
00
x 1
Dn x 00
(1)n1 an
x 1
00
an1 an2
a2 a1 x
00
xDn1 an x 2 Dn2 an1 x an 右。
00 00
1 0 x 1
1 a1 1
(2)
1 Dn
1 a2
11
证明
1
1
n1
a1a2 an (1 i1 ai )
1
0
0
0
a1
1
0
0
a12
a2 a1
a3 a2
a4 a2
3
a14 (a22 a12 )(a2 a1 ) (a3 a2 ) aia j (a4 a2 )
aia j
i j1
i j1,2,4
D (a2 a1)(a3 a1)(a4 a1)(a3 a2 )(a4 a2 )
1
0
0
a0 0a 原式=a 00 00
00
00
00
a0
(1)n1 0 a
a0
0a n1
00
01 00 00
a0 n1
a0 0a 原式=a 00 00
00
00
00
习题选讲
3．矩形截面简支梁由圆形木材刨成，已知F=5KN， a =1.5m，[σ]= 10MPa，试确 定此矩形截面b/h的最优比值，使其截面的抗弯截面系数具有最大值，并计算所需 圆木的最小直径d。
Wbh2 b(d2b2)
6
6
令抗弯截面系数取最大值，则： dW 0
db
h/b 2
7.5KN•m
3d 2
2、图示等直杆，杆长为3a，材料的抗拉刚度为EA，受力 如图。杆中点横截面的铅垂位移有四种答案：( B )
（A）0；
（B）Fa/(EA);
F
（C）2 Fa/(EA);
（D）3 Fa/(EA)
2F
3、刚性杆AB的左端铰支，1、2两杆为长度相 等、横截面面积相等的直杆，其弹性横量分别 为E1 和E2，且有 E1 = 2 E2 ，平衡方程与补充方 程可能有以下四种：（ C )
FN1a2FN2a3Fa0FN12FN23F
2l1l22F EN 1A 1lF EN 2A 2lFN1FN2
4、图示平板，两端受均布载荷q 作用，若变形前在板面 划上两条平行线段AB和CD，则变形后：( A )
（A） AB//CD， a角减小；（B） AB //CD，a角不变 （C） AB //CD，a角增大 （D）） AB 不平行于CD
d3
b ,h d,W
3
3
93
m a x M W m a x [] W M [m ] a x d 393 M [m ] a x 0 .2 2 7 m
4、简支梁如图所示，试求梁的最低层纤维的总伸长。 M ( x ) 1 qx (l x ) 2
(x)
6M (x) bh2
应为 B
线性代数习题选讲__ 线性方程组的解的结构_
解 (1) 证明α1,α2,α3是线性无关的. 用反证法. 假设 α1,α2,α3是线性相关的, 那么存在不全为零的常数 k1, k2, k3, 使得
k1α1 k2α2 k3α3 0.
于是
α4 3α1 α2 5α3
与 4 (3 k1) 1 ( 1 k2) 2 (5 k3) 3
是α4表示为α1,α2,α3的线性组合的两种不同的表示方法. 这与题目的条件相矛盾. 因此, 1, 2, 3是线性无关的.
是AX 的解, 那么 A(c11 c22 ctt) c1Aγ1 c2Aγ2 ctAγt c1β c2β ctβ (c1 c2 ct).
因为AX β是非齐次方程组, 所以β 0. 因此,
c1 c2
ct 1.
反过来, 设 因为
c1 c2
ct 1.
A(c11 c22 ctt) c1A1 c2A2 ctAt c1β c2β ctβ (c1 c2 ct) ,
(2) 求方程组AX β的通解.
因为α4 3α1 α2 5α3, 所以向量组α1,α2,α3,α4是 是线性相关的. 又因为 1, 2, 3是线性无关的, 所以
r(A) r{α1,α2,α3,α4} 3. 由此可得, 方程组AX 的导出方程组AX 0的基础 解系由它的一个非零解向量构成.
第 10 讲 线性方程组的解的结构
题10.1 设A (α1,α2,α3,α4)是m4矩阵, α4可以表示 为 1, 2, 3的线性组合
α4 3α1 α2 5α3, 并且表示的方法是唯一的. (1) 证明α1,α2,α3是线性无关的.
(2) 如果β α1 α2 2α3 3α4, 求方程组AX β的通解.
因此,
1 3
1
1
c c
集合论习题选讲
证明：① 先证T具有自反性
x∈A, 由于R是A上自反关系, 所以<x,x>∈R 即<x,x>∈R ∧ <x,x>∈R
由T的定义知：<x,x>∈T 所以T具有自反性
8
② 再证T具有对称性 x,y∈A ,若<x,y>∈T 由T的定义知：<x,y>∈R ∧ <y, x>∈R 即 <y, x>∈R ∧ <x,y>∈R
3
12.设A、B为任意集合，证明：
Hale Waihona Puke (1) (2)P(A)∩P(B) = P(A∩B)
P(A)∪P(B) P(A∪B)
针对（2）举一反例，说明P(A)∪P(B) = P(A∪B)对 某些集合A和B是不成立的 证明：(1) ① 先证 所以 xA ∧ xB 所以 x A∩B, 即 x∈P(A∩B) P(A)∩P(B) P(A∩B) x∈P(A)∩P(B), 则 x∈P(A) ∧ x∈P(B)
6
(3) 举例：
令A={1},B={2} 则 A∪B={1，2} 则P(A)={，{1}}，P(B)={，{2}} 而P(A∪B)={，{1},{2},{1,2}}
显然P(A)∪P(B)= P(A∪B)不成立.
7
13.设R是A上的自反和传递关系，如下定义A上的关系T， 使得 x, y∈A <x, y>∈T <x ,y>∈R ∧ <y, x>∈R 证明：T是A上的等价关系。
5. A=且B≠，则BA= ?
6. 设A={a}，则{{φ},φ}P(P(A)) ？ 7. 设f：N×N→N,f(<x,y>)=xy,则f是满射的 ?
小学六年级上数学习题选讲--百分数
小学六年级上数学习题选讲1.（1）张华写了一本散文集的稿费3600元，按照个人所得税法规定，稿费收入超过800元的部分按20%交纳个人所得税，他应缴税多少元？解：（1）（3600-800）×20%，=2800×0.2，=560（元）；答：他应缴税560元．（2）2010年1月张叔叔将20000元存入银行，定期五年，年利率5.76%，到期后共可取多少元？（按5%缴纳利息税）（2）20000+20000×5.76%×5×（1-5%），=20000+5472，=25472（元）；答：到期后共可取25472元．2李老师要买150本笔记本．在甲商店，看到一种标价为8元的笔记本，李老师感到很满意，问营业员怎么买？营业员说：“每本8元，十本起，可打九折”．到了乙商店，看到同样的笔记本，营业员介绍说：“买十本送一本”．根据以上信息请你算一算，李老师到那家商店购买合算，为什么？解：甲商店：150×8×90%，=1200×90%，=1080（元）乙商店：因为买十本送一本，买137本送13本，所以买137本笔记本所需要的钱数：137×8=1096（元），因为1080元＜1096元，所以李老师到甲商店购买合算；答：李老师到甲商店购买合算．3有一台机器，使用了一种类型的零件1000个，一周内报废的零件在本周末换新零件．在新零件中有10%在第一周末报废，有30%在第二周报废，有60%在第三周末报废，没有能使用四周以上的零件．问（1）新机器中必须在第二周末换新的零件的个数是多少？（2）新机器中必须在第三周末换新零件的个数是多少？答案解：第一周报废：1000×10%=100（个）．第二周末换新的个数有：1000×30%+100×10%=310（个）．第三周末换新的零件有：1000×60%+100×30%+310×10%=661（个）．答：新机器中必须在第二周末换新的零件的个数是310个，新机器中必须在第三周末换新零件的个数是661个4们可以用“肥胖百分数”来表示一个人的胖瘦情况，“肥胖百分数”是用体重（千克）除以身高（分米）的平方．再乘以100%，即肥胖百分数=×100%，一般认为：肥胖百分数在18%～20%的人偏瘦．在20%～24%的人为基本正常，在24%～26%的人偏胖，小明的父亲身高18分米，体重80千克，试判断小明父亲的胖瘦情况．答案解：×100%，=×100%，≈25%；25%在24%～26%，属于偏胖的范围．答：小明的父亲偏胖．5按要求完成下面的任务．（1）把下面的百分数化成小数：56% 0.8% 130% 4% 43.7% 700% 75% 310% （2）把小数化成百分数：4.6 0.3 1.72 0.375 2.05 0.07 ⑩3.125 0.0005 （3）把下面的百分数化成分数：8% 2.5% 40% 60% 125% 150% 32% 45%（4）把下面的分数化成百分数： 1．答案解：（1）56%=0.56，0.8%=0.008，130%=1.3，4%=0.04，43.7%=0.437，700%=7，75%=0.75，310%=3.1；（2）4.6=460%，0.3=30%，1.72=172%，0.375=37.5%，2.05=205%，0.07=7%，3.125=312.5%，0.0005=0.05%；（3）8%=0.08，2.5%=0.025，40%=0.4，60%=0.6，125%=1.25，150%=1.5，32%=0.32，45%=0.45；（4）==5%，1≈1.667=166.7%，≈0.857=85.7%，==5%，=0.625=62.5%，==46%，=0.5=50%，=1.25=125%．6用4000千克大豆榨豆油1440千克，求大豆的出油率．答案解：1440÷4000×100%，=0.36×100%，=36%．答：大豆的出油率是36%．7六年级一班有男同学25名，女同学20名．答案解：根据题意连线如下：8、豆豆今年4岁，是妈妈年龄的．妈妈今年多少岁？解：4÷=26（岁），答：妈妈今年26岁．9花生仁的出油率为38%，要榨380千克花生油大约需要多少千克花生仁？答案解：380÷38%=1000（千克）；答：大约需要1000千克花生仁．10一种手表，原价每块108元，现价81元，便宜了百分之几？答案解：（108-81）÷108，=27÷108，=25%；答：便宜了25%．11一本书售价36元，利润是成本的20%，成本是多少元？答案解：36÷（1+20%），=36÷1.2，=30（元）；答：成本价是30元．12个书包的原价是45元，打八折后的价格是多少元？答案解：45×80%=36（元）；答：打八折后的价格是36元．13一件衣服降价20%出售，现价192元．降价了多少元？解：162÷（1-20%）×20%，=162÷80%×20%，=202.5×20%，=40.5（元）；答：降价了40.5元．14一台液晶电视，降价600元后，卖4400元．降价百分之几？答案解：600÷（600+4400），=600÷5000，=12%；答：降价12%．15实际参加“红色之旅”的学生人数比原计划增加了百分之几？答案解：（1200-1000）÷1000，=200÷1000，=0.2，=20%．答：实际参加“红色之旅”的学生人数比原计划增加了20%．。
量子力学习题选讲精选全文
可编辑修改精选全文完整版一、在以下两种情况下计算粒子在一维阶跃势()⎩⎨⎧><=0000x V x x v （00>V ）上的反射率R 与折射率T ：00)2,)1V E V E <>解：（1）ψψμE H U H=+∇-=ˆ,2ˆ22 0V E >：令()022V E Ek -==μαμ， 定态方程为 ()()00222<=+x x k dxx d ，ψψ ()()00222>=+x x dxx d ，ψαψ 其解为 ()0,1<+=-x Be e x ikx ikx ψ()0,2>=x Ae x x i αψ 由边界条件 ()()0021ψψ=，()()00'21ψψ=‘可得 ααα+-=+=k k B k k A ,2 反射率()()222αα+-==k k B R透射率()241αα+=-=k k R T（2）0V E <，()E V -=02μβ 定态方程为 ()()00222<=+x x k dxx d ，ψψ()()00222>=-x x dxx d ，ψβψ 其解为 ()0,1<+=-x Be e x ikx ikx ψ ()0,2>=-x Ae x x βψ由边界条件 ()()0021ψψ=，()()00'21ψψ=‘可得()()()k i k i B k i A βββ+-=+=1112，反射率12==B R ，透射率01=-=R T二、质量为μ的粒子被约束在半径为r 的圆周上运动。
（1）设立路障 ，进一步限制粒子在00ϕϕ<<的一段圆弧上运动πϕϕϕϕϕ2,0,0{)(00<≤∞<≤=V求解粒子能量本征值和本征函数；（2）设粒子处于情况（1）的基态，求突然撤去路障后，粒子仍然处于最低能量态的几率。
解 1、在路障内，定态Schroedinger 方程为)()(2222ϕψϕϕψE d d I =- （1） 其中2r I μ=，方程（1）的解为00)(ϕϕϕψϕϕ<<+=-ik ik Be Ae （2）其中22IEk =，由,0)0(=ψ得A B -=，代入（2）得 00sin )()(ϕϕϕϕψϕϕ<<=-=-k c e e A ik ik由,0)(0=ϕψ得0ϕπn k =， .,2,1,20222 ==n I n E ϕπ由归一化条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤==⇒=⎰πϕϕϕϕϕπϕϕϕψϕϕϕψϕ200sin 2)(21)(00002n c d2、设t =0时撤去路障，撤去路障后的定态波函数与定态能量为.,2,1,0,2,21)(22 ±±===m Im E e m im m ϕπϕψ 任意时刻的波函数为ϕπϕψim t E imm e eC t n 21),(-∑=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤==∑πϕϕϕϕϕπϕϕπϕψϕ200sin 22)0,(0000mim m e C其中系数⎰⎰===-0000002sin1sin 1ϕϕϕπϕπϕϕϕπϕπϕϕϕπϕπϕd C d e C im m粒子仍处于基态的几率为324πϕ=C 。
民事诉讼法习题选讲解
2019/1/31
1
单项选择题2019/1/312
1．下列哪项法律关系是民事诉讼法律关系? A.原告与其代理人之间的法律关系 B.证人与被告之间的法律关系 C.原告律师与被告律师之间的法律关系 D.人民法院与指定的鉴定人之间的法律关系
2019/1/31
3
解析：本题考民事诉讼法律关系的概念。按照 通说，民事诉讼法律关系是指受民事诉讼法调 整的，人民法院和一切诉讼参与人之间以诉讼 权利义务为内容的法律关系。可见，诉讼法律 关系的一方主体必然是法院。
2019/1/31
11
解析：《民事诉讼法》第41条第1款规定，人民法院 审理第二审民事案件，由审判员组成合议庭。合议庭 的成员人数，必须是单数。所以A项是正确的。第41 条第2款规定，发回重审的案件，原审人民法院应当 按照第一审程序另行组成合议庭。而第40条第1款规 定，人民法院审理第一审民事案件，由审判员、陪审 员共同组成合议庭或者由审判员组成合议庭。合议庭 的成员人数，必须是单数。所以B项内容是正确的。 第40条第2款规定，适用简易程序审理的民事案件， 由审判员一人独任审理。根据第142条的规定，基层 人民法院和它派出的法庭审理事实清楚、权利义务关 系明确、争议不大的简单的民事案件，适用本章规定。 所以D项内容是正确的。根据第161条的规定，依照 本章程序审理的案件，实行一审终审。选民资格案件 或者重大、疑难的案件，由审判员组成合议庭审理； 其他案件由审判员一人独任审理。所以C项内容是错 误的。故此本题的正确选项是C.
2019/1/31
7
解析：按照当事人诉讼请求的目的和内容的不 同，可以把诉分为确认之诉，给付之诉、变更 之诉。确认之诉是指原告请求法院确认与被告 之间是否存在某种民事法律关系的诉。确认之 诉的客体为法律关系。给付之诉，是指原告请 求法院判令被告向其履行某种特定给付义务的 诉讼。原告要求被告履行的给付义务既包括给 付一定数额的货币和财产，也包括为或不为某 种特定的行为。变更之诉又称形成之诉，是指 法院以判决改变或既存的某种法律关系的诉。 据此，本题中甲请求法院禁止乙的行为属于给 付之诉，因此C项正确。
组合数学习题选讲
n an A0 A1n A2 2
a0=1, a1=2, a2=4, A0=A1=A2=1。 所以 n
an 1 n 2 n n bn B0 B1n B2 bn=bn-1+an-1, 2 B3 3
其中k(1)=1,k(2)=2,k(3)=5,h(k)为河内塔数列。
可得特征方程：
解得 代入初值可解得
5 n 3 k (n) 2 7 7
6， 一书框中有m格，每格各放n册同类的书，不同格 放的书类型不同。现取出整理后重新放回，但不打乱 相同类。试问无一本放在原来位置的方案数应多少？ 解 设m层中有k层不在原来的层上，m-k层在原有 层上，但是每册都不在原来的位置。 m m mk N Dk (n!)k Dn k 2 k 还要注意，k = 0时，每层错排，所以答案是
n－m－1
( c ) 设Ai为m+l个元中取m+i个，含特定元素 a的方案集；Ni为m+l个元中取m+i个的方案 数．则： Ni＝( m+l ) m+ i | Ai |=( m+l－1 )， | Ai |=( m+l－1 ) m+ i m+ i－1 | Ai+1 |= | Ai |=( m+l－1 ) | Ai |= Ni－| Ai |
《组合数学》总复习
第一章
1，证明 nC(n-1,r)=(r+1)C(n,r+1)并给出组合意义。
证:
n 1 (r 1) n ! nC (n 1, r ) n r ! (n r 1)! (r 1) r ! (n r 1)! (r 1) n ! (r 1)C (n, r 1) (r 1)! (n r 1)!
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2 1 1 1 2 2 故得Crout分解：A = 4 3 1 3 6 12 1 1 1 2 1 1 1 2 2 LDM分解为：A = 2 1 3 1 3 3 4 1 1 1
r2 ↔ r3 r1 ↔ r2
10 − 7 0 7 → − 3 2 6 4 5 − 1 5 6
消元
消元
10 − 7 0 7 → 0 − 0.1 6 6.1 0 2 .5 5 2 .5
10 − 7 0 7 → 0 2.5 5 2.5 0 − 0.1 6 6.1
一.习题1（第10页） 习题1 10页
1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分 别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数. x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6×105. 解 绝对误差限分别为: ε1=0.5×10-3,ε2=0.5×10-4, ε3=0.5×10-5,ε4=0.5,ε5=0.5×104 . 相对误差限分别为: εr1=0.5×10-3/5.420=0.00923%, εr2=0.00923%,εr3=0.0923%,ε4=0.0083%,ε5=8.3%. 有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位. 1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有 几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032 解 有效数位分别为: 3位,1位,0位.
解
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 5 3 5 3 5 A = 1 3 2 → 2 2 2 ，所以 A = 2 1 2 2 2 2 1 3 1 3 3 3 1 1 2 2 1 5 3 2 5 5 2 2 5 5 y1 4 1 y1 4 1 解 2 1 y 2 = 6 ，得 y 2 = 4 1 3 1 y 5 y 3 2 5 3 3 5 2 1 1 x1 4 x1 1 5 3 再解 2 2 x 2 = 4 ，得 x 2 = 1 3 x 1 3 x3 5 3 5
1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位 有效数字? 解 因为101/2=3.162…=0.3162…×10,若具有n位有效 数字,则其绝对误差限为0.5 ×101-n ,于是有 εr=0.5×101-n/3.162…<0.5×101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623 1-4.求方程x2-56x+1=0的两个根,使它们至少具有四 位有效数字 ( 783 ≈ 27.982). 解 x1=28+27.982=55.982,x2=1/x1=0.017863
A
−1
(2)1≤||E||=||AA-1||≤||A||||A-1|| A A E AA
x=1.
2-8.用追赶法求解方程组:
x1 100 4 −1 −1 4 −1 x 2 0 x = 0 −1 4 −1 3 − 1 4 − 1 x 4 0 − 1 4 x 5 200
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组 A LDL GG Ax=b， Ax=b，其中
8 16 4 A= 4 5 − 4 8 − 4 22 1 , b = 2 3
解
2 8 4 11 2 2 16 4 − 3 A= 4 5 − 4 → 1 2 − 3 8 − 4 22 2 − 3 3 3
7 10 − 7 0 → 0 2.5 5 2.5 0 6.2 6.2 0
回代得解:
x3=1, x2=-1, x1=0
2-3(1).对矩阵A进行LU A LU分解,并求解方程组Ax=b Ax=b,其中 LU Ax=b
2 1 1 A = 1 3 2 1 2 2 4 , b = 6 5
习题2 二.习题 (第50页) 习题 第 页
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
− 3 2 6 x1 4 10 − 7 0 x 2 = 7 5 − 1 5 x 6 3
解
− 3 2 6 4 10 − 7 0 7 5 − 1 5 6
解
4 −1 4 − 11 4 4 15 15 4 4 − 1 44 − 15 15 −1 4 −1 56 56 → 15 − 1 15 − 15 −1 4 −1 15 56 56 56 209 − 1 −209 − 1 4 − 1 56 780 −1 −1 4 209
4 4 1 2 T 故得GG 分解：A = 1 2 2 − 3 2 − 3 3 3 1 16 1 1 1 4 2 1 T 3 LDL 分解为：A = 4 1 4 1 − 2 1 − 3 1 9 1 2 2
(2) 因为 ||x||=||(x-y)+y||≤||x-y||+||y|| 所以 ||x||-||y||≤||x-y|| ,同理可证 ||y||-||x||≤||x-y|| 于是有 |||x||-||y|||≤||x-y|| .
2-11.设||•||为一向量范数,P为非奇异矩阵,定义||x||p= P x ||Px 证明||x||p 也是一种向量范数. Px||, Px x 证明 (1)||x||p=||Px x Px||≥0,而且||Px Px||=0⇔Px 0⇔x=0 Px=0 x 0 Px Px Px (2)||αx||p=||P(αx)||=||αPx x Px||=|α|||Px Px||=|α|||x||p P x Px Px x (3)||x+y||p=||P(x+y x y x+y)||=||Px+Py Px Py x||p+||y||p Px+Py||≤||Px Py||=||x P x+y Px+Py Px||+||Py y 所以||x||p是一种向量范数. x 2-12.设A为对称正定矩阵,定义||x||A= x T Ax ,证明||•||A x 是一种向量范数. 证明 由Cholesky分解有A=GGT,所以||x||A = A=GG x
1 − 1 4 1 再解
4 − 15 1 − 15 56
1
x1 25 x1 27.051 x 2 6.6667 x 2 8.2052 x = 1.7857 , 得 x = 5.7693 3 3 56 − 209 x 4 0.47847 x 4 14.872 1 x 5 53.718 x 5 53.718
10 − 2 x + y = 1 x + y = 2
10 − 2 x + y = 1 ⇒ − 100 y = −100
回代得解:
y=1,
x=0.
x + y = 2 ⇒ y =1
再用列主元Gauss消元法
10 − 2 x + y = 1 x + y = 2
回代得解:
y=1,
2-10.证明下列不等式: (1)||x-y||≤||x-z||+||z-y||; || ||≤|| || || || 证明 (2)|||x||-||y|||≤||x-y||; || || || || ≤|| || (1)||x-y||=||(x-z)+(z-y)||≤||x-z||+||z-y||
4 − 1 15 4 56 − 1 15 解 − 1 209 56 −1
y1 25 y1 100 y 2 6.6667 y 2 0 y = 0 ，得 y = 1.7857 3 3 y 4 0.47847 y 4 0 y 53.718 780 y 5 200 209 5
2-4.对矩阵A进行LDM A LDM分解和Crout分解，其中 LDM
2 1 2 A = 4 5 6 6 15 15
解
1 2 1 2 2 11 11 22 2 2 2 A = 4 5 6 → 4 3 3 3 6 12 6 15 15 1
(G T x) T (G T x)
=||GTx||2,由上题结果知||x||A是一向量范数. x
2-16.对任意矩阵范数||•||,求证:
(1) E ≥ 1 ( 2) A
−1
1 ≥ A
(3) A −1 − B −1 ≤ A −1 B −1 A − B
证明
(1)因为||A||=||AE A||||E|| ,所以||E||≥1. A AE||≤||A E E AE ,故
2-6(1).给定方程组
10 − 2 x + y = 1 x + y = 2
a.用Cramer法则求其精确解. b.用Gauss消元法和列 主元Gauss消元法求解,并比较结果.(用两位浮点计算). 解 a.x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899 b.用Gauss消元法
y1 0.25 4 y1 1 解 1 2 y 2 = 2 ，得 y 2 = 0.875 2 − 3 3 y 3 y 1.7083 3 3 x1 − 0.5451 4 1 2 x1 0.25 再解 2 − 3 x 2 = 0.875 ，得 x 2 = 1.2916 x 0.5694 3 x3 1.7083 3