2018年高考数学热门考点与解题技巧考点7不等式Word版含解析

题型1 不等式的性质及大小比较例1 (1)若a ，b ∈R ，下列命题中：①若|a|＞b ，则a 2＞b 2；②若a 2＞b 2，则|a|＞b ；③若a ＞|b|，则a 2＞b 2；④若a 2＞b 2，则a ＞|b|. 其中正确的是________．(2)已知四个条件：①b>0>a ；②0>a>b ；③a>0>b ；④a>b>0，能推出1a <1b 成立的是________．变式1.（2014 四川理 4）若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）. A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 解析：方法一：不妨令a =3，b =1，c =−3，d =−1，则ac =−1,bd =−1，∴A 、B 不正确； ad =−3,bc =−13，∴C 不正确，D 正确。

解法二：∵c <d <0，∴−c >−d >0，∵a >b >0，∴−ac >−bd ，∴−accd >−bdcd ，∴ad <bc . 选D. 变式2.（2016全国丙理6）已知432a =，233b =，1325c =，则（ ）. A.b a c << B.a b c << C.b c a << D.c a b <<解析：选A. 由423324a ==，233b =，得a b >，由1223332554c ==>，则c a >因此c a b >>.故选A.变式3.（2016全国乙理8）若101a b c >><<，，则（ ）.A.cca b < B.ccab ba < C.log log b a a c b c < D.log log a b c c <对于选项C ，要比较log b a c 与log a b c 的大小关系，只需比较ln ln c b b 与ln ln ca a的大小，即比较ln b b 与ln a a 的大小.构造辅助函数()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+.令()0f x '=，得1ex =.函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因此，若1a b >>，得l n l n a a b b >，故11ln ln a a b b<. 又ln 0c <，所以ln ln ln ln c c a a b b >，即ln ln ln ln b c a ca b>，得log log a b b c a c >.故选项C 正确； 对于选项D ，比较log a c 与log b c 的大小，只需比较ln ln c a 与ln ln cb 的大小，即比较ln a 与ln b 的大小.又1a b >>，得ln ln 0a b >>，所以11ln ln a b <.又ln 0c <，得ln ln ln ln c ca b>，即lo g lo g a bc c >.故选项D 不正确. 综上可得，故选C.例2 （2015全国2理24）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+. 证明：(1) 若ab cd >>(2)>||||a b c d -<- 的充要条件.解析：（1）因为2a b =++2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >，得22>，>（2）( i)若a b c d -<-，则()()22a b c d -<-，即()()2244a b ab c d cd +-<+-.因为a b c d +=+，所以ab cd >>( ii)>22>，即a b ++c d >++因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是()()()()222244a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-，因此a b c d -<-.>a b c d-<-的充要条件.变式1 . (1)设x<y<0，试比较(x 2＋y 2)(x －y)与(x 2－y 2)(x ＋y)的大小． (2)比较a ＋m b ＋m 与ab (其中实数b>a>0，实数m>0)的大小．(3)已知a>0，b>0，且a ≠b ，试比较a bab与2()a b ab +的大小．（3）22()()a b a ba b a b a bab -+=， ①若a>b>0，则a b >1，a －b>0.由指数函数的性质(ab )a －b 2>1.②若b>a>0，则0<a b <1，a －b<0.由指数函数的性质(ab )a －b 2>1.∴21()a ba b a b ab +>，∴2()a b a ba b ab +>.题型2 利用不等式的性质求代数式的取值范围例3 已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)方法二：令⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b2，y ＝a －b 2.∴2x －3y ＝2⎝⎛⎭⎫a ＋b 2－3⎝⎛⎭⎫a －b 2＝－a 2＋52b ∈(3，8)．方法三：由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y<4，2<x －y<3确定的平面区域如图阴影部分．目标函数z ＝2x －3y 可化为y ＝23x －z3，由线性规划知识可求出z ＝2x －3y 的取值范围是(3，8). 【解题技巧】 (1)由a<f 1(x ，y)<b ，c<f 2(x ，y)<d ，求g(x ，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设g(x ，y)＝λf 1(x ，y)＋μf 2(x ，y)，求得λ，μ，再利用不等式的性质求出g(x ，y)的范围．(2)本例若先分别求x ，y 的取值范围，再求2x 和－3y 的范围，从而得2x －3y 的范围，则会导致取值范围扩大，错误．变式1. 设f(x)＝ax 2＋bx ，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．解析：方法一：由已知⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b≤2，2≤a ＋b≤4.①②设4a －2b ＝m(a －b)＋n(a ＋b)(m ，n 为待定系数)，即4a －2b ＝(m ＋n)a －(m －n)b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得m ＝3，n ＝1. 由①×3＋②×1，得5≤4a －2b≤10.即5≤f(－2)≤10，方法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝f （－1），a ＋b ＝f （1），得⎩⎨⎧a ＝12[f （1）＋f （－1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）].∴f(－2)＝4a －2b ＝3f(－1)＋f(1)，后面同方法一．题型3 不等式的解法 例4 求下列不等式的解集(1)－x 2＋8x －3>0；(2)x 2－4x －5≤0；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0；(3)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x>1. 若a<0，则原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x<1a 或x>1. 若a>0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解； ②当a>1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x<1； ③当0<a<1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x<1a .综上所述：当a<0时，解集为{x|x<1a 或x>1}；当a ＝0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为{x|1<x<1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为{x|1a <x<1}． 【解题技巧】一元二次不等式的解法 (1)解一元二次不等式的一般步骤：①对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c>0(a>0)，ax 2＋bx ＋c<0(a>0)； ②计算相应的判别式；③当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； ④根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．例5 （1） (2017·辽阳统考)不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(－1，2)B ．[－1，2]C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞]D ．(－1，2]（2）设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为(－1，13)，则ab 的值为( ) A ．－6B ．－5C ．6D ．5变式1.已知关于x 的等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，求关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集.解析：解法一：由关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，得0a <，20ax bx c --->，1252b b x x a a -+=-=-=--，121c x x a =-=，则521b ac a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得52b a =，c a =（(0)a <，关于x 的不等式2502aax x a -+>可变形为22520x x -+<，故解集为1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 解法二：因为方程20ax bx c ++=与方程20ax bx c -+=的根互为相反数，若不等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，所以0a <，且方程20ax bx c ++=的两根为1212,2x x =-=-，因此方程20a x b x c -+=两根''1212,2x x =-=-，不等式20a x b x c -+>的解集为1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭题型4 二元一次不等式组表示的平面区域例6 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ (3)求所围平面区域的面积．结合图中可行域得x ∈[－52，3]，y ∈[－3，8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎨⎧－x≤y≤x ＋5，－2≤x≤3，且x ∈Z.当x ＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点． ∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)． (3)由(1)知，x ∈[－52，3]，y ∈[－3，8]，∴S ＝12(3＋52)(3＋8)＝1214.【解题技巧】 (1)确定Ax ＋By ＋C≥0表示的区域有两种方法：①试点法，一般代入原点；②化为y≥kx ＋b(y≤kx ＋b)的形式．不等式y≥kx ＋b 表示的区域为直线y ＝kx ＋b 的上方，不等式y≤kx ＋b 表示的区域为直线y ＝kx ＋b 的下方．(2)在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x ＝m 逐条分段统计．题型5 求解目标函数的取值范围或最值 例7 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x －3y≤－4，3x ＋5y≤30.(1)求目标函数z ＝2x －y 的最大值和最小值； (2)求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值和最小值；(3)若目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，求实数a 的值；(4)求z ＝y ＋5x ＋5的取值范围；(5)求z ＝x 2＋y 2的取值范围．【解析】作出不等式组表示的可行域如图：(2)作直线l ：2x ＋y ＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A 点时，z 取得最小值；当平移直线过可行域内的B 点时，z 取最大值，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －3y ＝－4，得A(1，53)． 解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－4，3x ＋5y ＝30，得B(5，3)．∴z max ＝2×5＋3＝13，z min ＝2×1＋53＝113.(4) z ＝y ＋5x ＋5＝y －（－5）x －（－5），可看作区域内的点(x ，y)与点D(－5，－5)连线的斜率．由图可知，k BD ≤z ≤k CD . ∵k BD ＝3－（－5）5－（－5）＝45，k CD ＝275－（－5）1－（－5）＝2615，∴z ＝y ＋5x ＋5的取值范围是[45，2615]．(5)z ＝x 2＋y 2，则z 为点(x ，y)与原点(0，0)的距离，结合不等式的区域，易知A 点到原点距离最小为343，最大值为|OB|，|OC|，原点O 到直线3x ＋5y ＝30距离三者之一，计算得，最大值为|OC|＝7545.∴x 2＋y 2的取值范围为[349，75425]． 【解题技巧】目标函数最值的求法(1)求z ＝ax ＋by 的最值时，一般先化为y ＝－a b x ＋z b 的形式.z b 为直线y ＝－a b x ＋zb 在y 轴上的截距，当b>0时将直线上移z 变大，当b<0时将直线下移z 变大．(2)代数式(x －a)2＋(y －b)2为点(x ，y)与点(a ，b)距离的平方；y －b x －a 为点(x ，y)与点(a ，b)连线的斜率；|Ax ＋By ＋C|表示点(x ，y)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍．变式1. (2017北京理4)若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y +的最大值为（ ）.A.1B. 3C.5D.9解析 作出不等式组的可行区域，如图所示，令2z x y =+，则22x zy -=+.当过A 点时z 取最大值，由()3,3A ，故max 369z =+=.故选D.变式2.（2017全国1理14）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则32z x y =-的最小值为 .变式 3.（2015全国1理15）若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩………，则yx 的最大值为 .解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点()1,3A与原点连线的斜率最大，故y x的最大值为3.变式4．（2016江苏12）已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩………，则22x y +的取值范围是 ．4=0=0题型6 基本不等式例8（2017江苏10）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ．解析 一年的总运费与总存储费用之和为6003600644x x x x⨯+=+240=…，当且仅当36004x x=，即30x =时取等号．故填30．【高考真题链接】1.（2015安徽理3）设:1<<2p x ，:21xq >，则p 是q 成立的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析 由0212x >=得0x >，所以p q ⇒，但q p ⇒/，所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ．2.（2015湖北理8）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加 (0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）． A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >3.（2015陕西理9）设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a bq f +=， 1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）． A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q =>解析 解法一：依题意，()()()()111ln ln ln ln 222p ab a b f a f b r ===+=+=，ln2a bq p +=>=，所以p r q =<.故选C.解法二：令1,9a b ==，ln 3p ==，19lnln 52q +==，()1ln1ln 9ln 32r =+=， 所以p r q =<.故选C.4.（2015天津理7）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）. A.a b c << B ．a c b << C ．c a b << D.c b a << 解析 因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 21213123a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭，()()2log 502log 52142(0)210b f c f m f ==-====-=，. 所以c a b <<.故选C.5.(2017北京理13)能够说明“设a b c ，，是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a b c ，，的值依次为__________________．解析 由题知，取一组特殊值且,,a b c 为整数，如1a =-，2b =-，3c =-. 6.（2017山东理7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（ ）. A.()21log 2a b a a b b +<<+ B.()21log 2a b a b a b <+<+ C.()21log 2a ba ab b +<+< D.()21log 2a b a b a b +<+<7. (2013安徽6）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为1<1>2x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或，则()10>0x f 的解集为（ ）.A. {}<1>lg2x x x --或B. {}1<<lg2x x -- C. {}>lg2x x - D. {}<lg2x x - 解析：D8.（2013广东9）不等式220x x +-<的解集为 ． 解析：{|21}x x -<<9.（2016上海理1）设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_____________.解析 由题意131x -<-<，即24x <<，则解集为()2,4.故填()2,4.10.（2015天津理2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩……… ，则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）.A. 3B.4C.18D. 4011.（2015湖南理4）若变量x ，y 满足约束条件1211x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩………，则3z x y =-的最小值为（ ）. A. 7- B.1- C. 1 D. 2解析 画出满足线性约束条件的可行域如图所示，由图可知，当直线3y x z =-过点A 时，纵截距最大，即此时z 有最小值. 联立11x y y +=-⎧⎨=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，即()2,1A -. 所以()min 3217z =⨯--=-. 故选A.12.（2015北京理2）若x，y满足1x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2z x y=+的最大值为（）.A. 0B. 1C. 32D. 2解析不等式组表示的可行域如图所示.因此，可知目标函数在()0,1处取得最大值2. 故选D.13.（2015福建理5）若变量,x y满足约束条件20220x yx yx y+⎧⎪-⎨⎪-+⎩………，则2z x y=-的最小值等于（）.A．52-B．2-C．32-D．2x-14.（2015广东理6）若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩…剟剟，则32z x y =+的最小值为（ ）. A ．4 B ．235 C ．6 D ．315即min 42331255z =⨯+⨯=．故选B ．415.（2015全国2理14）若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩………，则z x y =+的最大值为______．解析 根据题意，画出可行域，如图所示，将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，当z 取到最大值时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到点1(1,)2D 处，则z x y =+有最大值32．16.（2016全国丙理13）若x，y满足约束条件1020220x yx yx y-+⎧⎪-⎨⎪+-⎩………则z x y=+的最大值为_____________.27.32解析可行域如图所示.当直线z x y=+经过11,2C⎛⎫⎪⎝⎭时，z取最大值为32.17.(2016北京理2)若,x y满足203x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y+的最大值为（）.A.0B.3C.4D.5x +y =318.（2017全国2理5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最小值是（ ）. A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 解析 目标区域如图所示，当直线2y =x+z -过点()63--，时，所求z 取到最小值为15-．故选A.(6,319.（2017全国3理12）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为__________．20.（2017山东理4）已知x ，y 满足3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值是（ ）.A. 0B. 2C.5D.6解析 由303+5030x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪+⎩………，作出可行域及直线20x y +=，如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+取最大值为m a x 3245z =-+⨯=.故选C.y=-3x-5y=-x 221.(2017浙江理4)若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则2z x y =+的取值范围是（ ）. A.[]0,6 B.[]0,4 C.[)6,+∞ D.[)4,+∞解析 如图所示，22x z y =-+在点()2,1取到z 的最小值为2214z =+⨯=，没有最大值，故[)4,z ∈+∞．故选D ．22. (2015山东理6) 已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，若z ax y =+的最大值为4，则a =( ). A ．3B ．2C ．2-D ．3-则2a =，经检验，符合题意．故选B ．23.（2016全国乙理16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元，该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A ，产品B 的利润之和的最大值为 元.联立536000.390x y x y +=⎧⎨+=⎩，得60100x y =⎧⎨=⎩，即()60,100A .移动目标函数73900z y x =-+，可得到当其经过点()60,100A 时，z 有最大值216000.故填216000.24.（2016上海理10）设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是 ．解析 解法一：即线性方程组表示两条平行的直线，故由条件1ab =，且1a b ≠≠，所以2a b +>=．故填()2,+∞．解法二：将方程组中的①式化简得1y ax =-，代入②式整理得()11ab x b -=-， 方程组无解应该满足10ab -=且10b -≠，所以1ab =且1b ≠，所以由基本不等式得2a b +>=．故填()2,+∞．25.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是 .解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=…成立；当0a t <…时，()05f t a t a t =-+-=…成立； 当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+…成立，即 4.5a ….则a 的取值范围是(],4.5-∞.26. （2015湖南理16-3）设0a >，0b >，且11a b a b+=+. （1）2a b +…；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立. 解析 证明： 由abba b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得 1=ab（1）由基本不等式及1=ab ，有2a b +=…，即2a b +….（2）假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ；同理，10<<b ，从而10<<ab ，这与1=ab 相矛盾. 故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.。