北京四中高一数学同步复习集合与函数知识讲解奇偶性提高,必修1
高一必修一数学奇偶性知识点
高一必修一数学奇偶性知识点在高一必修一的数学学习中，奇偶性是一个非常重要的知识点。
奇偶性在数学中具有广泛的应用，不仅在解方程、证明等数学题目中有用，还在实际生活中有很多应用。
下面我们将详细介绍高一必修一数学中与奇偶性相关的知识点。
一、整数的奇偶性整数的奇偶性是指整数的性质，可以判断一个数是奇数还是偶数。
整数的奇偶性是通过整除2来确定的。
当一个整数除以2的余数为0时，它是一个偶数；当余数为1时，它是一个奇数。
二、四则运算中的奇偶性在四则运算中，奇数与奇数相加、相乘，结果仍为奇数；偶数与偶数相加、相乘，结果也是偶数。
而奇数与偶数相加、相乘，结果则是偶数。
三、幂的奇偶性在幂的运算中，奇数的任意次幂都是奇数，而偶数的任意次幂都是偶数。
四、多项式的奇偶性对于多项式来说，奇次幂项的系数的奇偶性与整体多项式的奇偶性相同；偶次幂项的系数的奇偶性与整体多项式的奇偶性相反。
五、函数的奇偶性在函数的奇偶性中，如果对于任意的x，函数f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数；如果对于任意的x，函数f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数。
六、图形的奇偶性在几何图形中，奇函数的图形关于坐标原点对称，偶函数的图形关于y轴对称。
七、应用举例1. 在解一元二次方程时，可以根据方程中各项的系数的奇偶性，来判断方程的根的奇偶性，从而简化解题过程。
2. 在证明数学命题时，奇偶性也经常被用到。
通过分析题目中给出的条件和结论的奇偶性，可以选择合适的方法进行证明。
3. 在计算机科学中，奇偶性也常常被用于数据校验，如奇偶校验位、CRC校验等。
综上所述，高一必修一数学中的奇偶性知识点涉及整数、四则运算、幂、多项式、函数和图形等方面。
掌握奇偶性的规律和应用，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题，提高数学思维能力和解题能力。
因此，我们要认真学习和掌握这一知识点，为接下来的学习打下良好的基础。
北京四中高中数学 函数及其表示方法基础知识讲解 新人教A版必修1
函数及其表示方法【学习目标】(1)会用集合与对应的语言刻画函数，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：<<= {x|a≤x≤b}=[a，b]；{|}(,);x a x b a b(]x a x b a b≤<=；{|},{|},x a x b a b<≤=；[)(][)≤=∞≤=+∞.x x b b x a x a{|}-,; {|},要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a 叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.4.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.5.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.【典型例题】类型一、函数的概念例1：下列式子是否能确定y是x的函数？（1）222;+=x y（21;（3）y=【答案】（1）不能（2）能（3）不能【解析】（1）由222,x=时，由它所确定的y x y+=得y=y是x的函数，如当1值有两个，即y=1±.（2）1,=得2(11y =+，∴当x 在{}|1x x ≥中任取一个值时，由它可以确定唯一的y 值与之对应，故由它可以确定y 是x 的函数.（3）由20,10x x -≥⎧⎨-≥⎩得x ∈∅， 故由它不能确定y 是x 的函数.【总结升华】判断由一个式子是否能确定y 是x 的函数的程序是：对于由式子有意义所确定的x 的取值的集合中任意一个x 的值，由式子是否可确定唯一的一个y 的值与之对应，也可以看由式子解出的x 的解析式是否唯一.也就是“取元的任意性，取值的唯一性” .即自变量在定义域内取任意一个值，其函数值必须对应着唯一的值.【高清课程：函数的概念与定义域 356673 例2】例2．下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，为什么？（1）0)1x ()x (f -=；1)x (g =（2）x )x (f =；2x )x (g =（3）2x )x (f =；2)1x ()x (g +=（4）|x |)x (f =；2x )x (g =【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是【解析】(1) ()()f x g x 与的定义域不同，前者是{}|1,x x x R ≠∈，后者是{}|0,x x x R ≠∈，因此是不同的函数；(2)()||g x x =，因此()()f x g x 与的对应关系不同，是不同的函数；(3) ()()f x g x 与的对应关系不同，因此是不相同的函数；(4) ()()f x g x 与的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.【总结升华】函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则f ，其中核心是对应法则f ，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：【变式1】判断下列命题的真假(1)y=x-1与1x 1x y 2+-=是同一函数； (2)2x y =与y=|x|是同一函数； (3)233)x (y )x (y ==与是同一函数；(4)⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=)0x (x x )0x (x x )x (f 22与g(x)=x 2-|x|是同一函数. 【答案】(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.类型二、函数定义域的求法例3.求下列函数的定义域(用区间表示). (1)2-1()-3x f x x =；(2)()f x =(3)()f x =. 【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. (1)是分式，只要分母不为0即可；(2)是二次根式，需根式有意义；(3)只要使得根式和分式都有意义即可．【答案】（1）(,()-∞⋃⋃+∞（2）8,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）(]6,2-【解析】 (1)21()3x f x x -=-的定义域为x 2-3≠0，(,()x ∴≠∴-∞⋃⋃+∞定义域为：；(2)88()-80,,33f x x x ⎡⎫=≥≥∴+∞⎪⎢⎣⎭3得，定义域为；(3)(]202() 6,260-6x x f x x x -≥≤⎧⎧=∴-⎨⎨+>>⎩⎩得定义域为. 【总结升华】使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x 有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）： (1)3f (x)|x 1|2=--；(2)1f (x)x 1=-；（3）()f x =【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）[)3,1(1,)-⋃+∞；（3）[]0,1．【解析】(1)当|x-1|-2=0，即x=-1或x=3时，3|x 1|2--无意义，当|x-1|-2≠0，即x ≠-1且x ≠3时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；(2)要使函数有意义，须使x 10x 3x 1x 30-≠⎧≥-≠⎨+≥⎩，即且，所以函数的定义域是[)3,1(1,)-⋃+∞； (3)要使函数有意义，须使1x 0,x 0.-≥⎧⎨≥⎩，所以函数的定义域为[]0,1.【总结升华】小结几类函数的定义域：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.类型三、求函数的值及值域例4. 已知f(x)=2x 2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x 2-46x+40，4x 2-6x-55．【解析】(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x 2-46x+40；g(f(x))=g(2x 2-3x-25)=2×(2x 2-3x-25)-5=4x 2-6x-55.【总结升华】求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为()(())g f x g x f g x −−→−−→，类似的g(f(x))为()(())f g x f x g f x −−→−−→，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.例 5. 求值域(用区间表示)：(1)y=x 2-2x+4，①[]4,1x ∈--；②[]2,3x ∈-；2-2(2)()-23; (3)()3x f x x x f x x =+=+. 【答案】（1）[7，28] [3，12]；（2）)2,⎡+∞⎣；（3）(-∞，1)∪(1，+∞)．【解析】(1)法一：配方法求值域． 2224(1)3y x x x =-+=-+，①当[]4,1x ∈--时，max min 28,7y y ==，∴值域为[7，28]；②当[]2,3x ∈-时，max min 12,3y y ==，∴值域为[3，12]．法二：图象法求值域二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为1x =，所以函数在区间(],1-∞上单调递减，在区间[)1,+∞上单调递增．所以①当[]4,1x ∈--时，值域为[7，28]；②当[]2,3x ∈-时，值域为[3，12]．(2))22-23(-1)22,2,y x x x ⎡=+=+≥+∞⎣值域为； (3)-23-5551-,0,13333x x y y x x x x +===≠∴≠++++Q ，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).【总结升华】（1）求函数的值域问题关键是将解析式作变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出函数的值域．（2）求函数的值域没有固定的方法和模式，要靠自己经验的积累，掌握规律．求函数的值域不但要重视对应关系（解析式）的作用，而且要注意定义域对值域的制约作用．别忘了，函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．举一反三：【变式1】 求下列函数的值域：（1）1y =；（2）213x y x +=-；（3）2211x y x -=+；（4）y = 【答案】（1）[)1,+∞；（2）{}|2y y ≠；（3）(]1,1-；（4）[]0,3．【解析】（1）0,11≥Q，即所求函数的值域为[)1,+∞； （2）213x y x +=-2672(3)772333x x x x x -+-+===+---，703x ≠-Q ，2y ∴≠，即函数的值域为{}|2y y ≠； （3）2211x y x -=+2211x =-++ Q 函数的定义域为R22211,021x x ∴+≥∴<≤+，221111x ∴-<-+≤+，(]1,1y ∴∈-，即函数的值域为(]1,1-．（4）y ==Q20(2)99x ≤--+≤Q∴所求函数的值域为[]0,3．类型四、映射与函数【高清课程：函数的概念与定义域 例1】例6. 判断下列对应哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些是从集合A 到集合B 的函数？（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x ，y ）|,x R y R ∈∈}，对应法则是：A 中的点与B 中的（x ，y ）对应．（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；（3）A=N ，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f ：2x y x =→（5）A={0，1，2}，B={0，1，12}，对应法则是f ：x 1y x =→ 【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A 中任意”和“B 中唯一”．【解析】(1)是映射，不是函数，因为集合A 、B 不是数集，是点集；(2)是映射，集合A 中的任意一个元素(三角形)，在集合B 中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数．(3)是映射，也是函数，函数解析式为0,(2)()1,(21)x n f x x n =⎧=⎨=+⎩．（4）是映射，也是函数．（5）对于集合A 中的元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合B 中没有元素与它对应，所以不是映射，也不是函数．【总结升华】判断一个对应是不是映射和函数，要根据映射和函数的定义去判断，函数一定是映射，反过来，映射不一定是函数，从数集到数集的映射才是函数．举一反三：【变式1】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x →y=(-1)x ；(2)A=N ，B=N +，f ：x →y=|x-3|；(3)A=R ，B=R ，;x1x 1y x :f -+=→ (4)A=Z ，B=N ，f ：x →y=|x|；(5)A=N ，B=Z ，f ：x →y=|x|；(6)A=N ，B=N ，f ：x →y=|x|.【解析】(1)、(4)、(5)、(6)是从A 到B 的映射也是从A 到B 的函数，但只有(6)是从A 到B 的一一映射；(2)、(3)不是从A 到B 的映射也不是从A 到B 的函数.类型五、函数解析式的求法例7. 求函数的解析式(1)若2()2f x x x =+，求(21)f x +；(2)若2(1)21f x x +=+，求()f x ；(3)已知1()2()32f x f x x -=+，求()f x ．【答案】（1）2()483f x x x =++；（2）2()243f x x x =-+；（3）2()2f x x x=---． 【解析】求函数的表达式可由两种途径.(1)用代入法，22(21)(21)2(21)483f x x x x x +=+++=++．(2)法一：换元法令1t x =+，则1x t =-，所以22()2(1)1243f t t t t =-+=-+即：2()243f x x x =-+.法二：凑配法 2(1)21f x x +=+=22(1)4(1)3x x +-++，所以2()243f x x x =-+．(3)Q 1()2()32f x f x x -=+ ①，用1x 代替上式中的x ，得13()2()2f f x x x -=+ ② 由①②联立，消去1()f x，得 2()2f x x x=--- 故所求的函数为2()2f x x x=---．【总结升华】（1）由()y f x =求[]()y f g x =，一般使用代入法；（2）凑配法和换元法有时可以并用，而换元法更具有一般性，同时，在使用换元法时一定要注意新元的取值范围；（3）若解析式中的两个变量具有互为倒数或互为相反数的特征，可联立方程组用消元法解出()y f x =的解析式．举一反三：【变式1】已知f(x+1)=x 2+4x+2，求f(x)．【答案】f(x)=x 2+2x-1【解析】(1)(法1)f(x+1)=x 2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1∴f(x)=x 2+2x-1；(法2)令x+1=t ，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t 2+2t-1∴f(x)=x 2+2x-1；(法3)设f(x)=ax 2+bx+c 则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x 2+4x+21x 2x )x (f 1c 2b 1a 2c b a 4b a 21a 2-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=∴；【总结升华】求函数解析式常用方法：(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.类型六、函数的图象例8.作出下列函数的图象.（1）1({21012})y x x =-∈--，，，，；（2）211x y x+=-；（3）2|2|1y x x =-+． 【思路点拨】先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象。
高中数学必修1集合与函数知识点总结
高中数学必修1知识点总结第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N*或N +表示正整数集，Z表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集B{x A A =∅=∅ B A ⊆ B B ⊆Bx B ∈A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇1()U A =∅ð2()U A A U =ð【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法）含绝对值的不等式的解法 解集0)【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念)()()U U B A B =?)()()U U B A B =?①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值③判别式法：若函数()y f x=可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2()()()0a y xb y xc y++=，则在()0a y≠时，由于,x y为实数，故必须有2()4()()0b y a yc y∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:f A B→．②给定一个集合A到集合B的映射，且,a Ab B∈∈．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法o②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[,0)、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M是函数()f x 作max ()f x M =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
北京四中高中数学 集合的含义及表示知识讲解(B) 新人教A版必修1
集合及集合的表示（B层）【学习目标】1.了解集合的含义，会使用符号“∈”“∉”表示元素与集合之间的关系．2.能选择自然语言、图象语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等．【要点梳理】集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.要点一、集合的有关概念1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.3．关于集合的元素的特征(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.4．元素与集合的关系：(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作a∈A∉(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作a A5．集合的分类(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：∅.(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.6．常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作N正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R要点二、集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，….3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.4.图示法：图示法主要包括Venn 图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn ）图法. 如下图，就表示集合{}1,2,3,4.【典型例题】类型一：集合的概念及元素的性质例1 集合A 由形如3(,)m n m Z n Z +∈∈23-A 中的元素？ 答案：是解析：由分母有理化得，2323=-.由题中集合A 可知2,1,m n ==均有,m Z n Z ∈∈，∴23A 23A -. 点评：（1）解答本题首先要理解∈与∉的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，23-23-A 中的元素.（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.举一反三：【变式1】设S={x|x=m+2n,m,n Z}∈(1)若a ∈Z ，则是否有a ∈S ？(2)对S 中任意两个元素x 1，x 2，则x 1+x 2，x 1·x 2，是否属于集合S ？解：(1)若a ∈Z ，则有a ∈S ，即n=0时，x ∈Z ，∴a ∈S ；(2)∀x 1，x 2∈S ，则1112221122x =m +2n ,x =m +2n (m ,n ,m ,n Z)∈1212121212()2()(,)x x m m n n S m m Z n n Z ∴+=++∈+∈+∈12112212121221x x =(m +2n )(m +2n )=m m +2n n +2(m n +m n )⋅⋅∵m 1，n 1，m 2，n 2∈Z ，∴m 1m 2+2n 1n 2∈Z ，m 1n 2+m 2n 1∈Z∴x 1·x 2∈S.类型二：元素与集合的关系例2.用符号“∈”或“∉”填空．1，2，3，4(1)23|11}32|4}x x x x <>， ；(2)223___{|1}5___{|1}N N x x n n x x n n ++=+∈=+∈，， ，；(3)22(11)___{|}(11)___{()|}.y y x x y y x -=-=，， ，， 解析：给定一个对象a ，它与一个给定的集合A 之间的关系为a A ∈，或者a A ∉，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a 的结构，弄清A 的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性. (1) 23121123{|11}x x =>∴<，； 321816432{|4}x x =>=∴>，；(2)令231n =+，则223{|1}N N n x x n n ++=±∴∉=+∈，，；令251n =+，则2225{|1}N N n x x n n ++=±∈∴∈=+∈，其中，，； (3) ∵(-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x 2， ∴22(11){|}(11){()|}.y y x x y y x -∉=-∈=，， ，， 点评：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合2{|1}N x x n n +=+∈，这个“口袋”中是装了些x 呢？还是装了些n 呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“｜”左边的元素组成的，符号“｜”右边的部分表示x 具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合2{|}y y x =这个“口袋”是由y 构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合2{()|}x y y x =，是由抛物线2y x =上的所有点构成的，是一个点集. 举一反三：【变式1】 用符号“∈”或“∉”填空 （1）若A=Z ,则12-A ；-2 A . （2）若{}2B |210,x x x =--=则12- B ；-2 B . 答案：（1）∉，∈ （2）∈，∉类型三：集合中元素性质的应用例3.设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的,a b S ∈，对于有序元素对（a,b ）,在S 中唯一确定的元素*a b 与之对应），若对任意的,a b S ∈，有*(*)a b a b =，则对任意的,a b S ∈，下列等式中不恒成立的是（ ）A. (*)*a b a a =B. [*(*)]*(*)a b a a b a =C. *(*)b b b b =D. (*)*[*(*)]a b b a b b =答案： A解析：抓住本题的本质(*)*a b a b =恒成立. ,a b 只要为S 中元素即可有*a b S ∈. B 中由已知即为*(*)b a b a =符合已知条件形式.C 中a b =即可.D 中*a b 相当于已知中的a 也正确.只有A 不一定正确. 点评：本题应紧紧抓住关系式(*)*a b a b =，即关系式中有三个数，其中有两个数相同且分别在两边，此时关系式等于中间的数，只要分析出这个特点即可解决.举一反三：【变式1】定义集合运算：{}|(),,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈.设集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B 的所有元素之和为A. 0B. 6C. 12D. 18答案： D解析：{}|(),,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，∴当{}{}0,1,2,3A B ==时， {}0,6,12A B =，于是A B 的所有元素之和为0+6+12=18.点评：这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.例4. 6M={a Z,|N}5-a∈∈，则M=( ) A. {2，3} B. {1，2，3，4} C. {1，2，3，6} D. {-1，2，3，4}答案：D解析：集合中的元素满足是整数，且能够使65-a 是自然数，所以0665-a ≤≤ 由a ∈Z ，所以-1≤a≤4当a=-1时，16=N 5-(-1)∈符合题意； 当a=0时，65∉6=N 5-0不符合题意； 当a=1时，63512∉-=N 不符合题意； 当a=2时，652=2N ∈-符合题意；当a=3时，6=3N 5-3∈符合题意； 当a=4时，6=6N 5-4∈符合题意. 故a=-1，a=2，a=3，a=4为M 中元素，即M={-1，2，3，4}，选项D 正确.■高清课程：集合的表示及运算 例1例5. 设集合A ={x R ∈|2210ax x ++=}，当集合A 为单元素集时，求实数a 的值.答案：0，1解析：由集合A 中只含有一个元素可得，方程ax 2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a 的值，可求得为a=1.故a 的取值为0，1.例6.已知集合{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A ∈，求实数a 的值及集合A .答案：0a =，{}1,2,3A =解析：（1）若21,a +=则1a =-.所以{}1,0,1A =，与集合中元素的互异性矛盾，则1a =-应舍去.（2）若2(1)1a +=，则0a =或2a =-，当0a =时，{}2,1,3A =满足题意；当2a =-时，{}0,1,1A =，与集合中元素的互异性矛盾，则2a =-应舍去.（3）若2331++=a a ，则1a =-或2a =-，由上分析知1a =-与2a =-均应舍去.综上，0a =，集合{}1,2,3A =.点评：本题中由于1和集合A 中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习中引起足够的重视.举一反三：【变式1】已知集合{}22,2A a a =++，3A ∈，求实数a 的值答案：1a =-解析：当21a +=，即1=-a 时，{}1,3=A ，满足题意；当223,a +=即1a =±，1a =时，{}3,3A =，与集合的概念矛盾，不满足题意舍去， 1a =-时， 由上面知，满足题意故 1a =-例7．设A 是实数集，且满足条件：若,1a A a ∈≠，则11A a ∈-. （1）若2A ∈，则A 中必还有另外两个元素；（2）集合A 不可能是单元素集；（3）集合A 中至少有三个不同的元素.答案：（1）11,2- （2）略 （3）略 解析：（1）若2A ∈，则1112A =-∈-，于是111(1)2A =∈--，故集合A 中还含有11,2-两个元素. （2）若A 为单元素集，则11a a =-，即210a a -+=，此方程无实数解，∴11a a ≠-，∴a 与11a -都为集合A 的元素，则A 不可能是单元素集.（3）由已知1111111a a A A A a a a-∈⇒∈⇒=∈----.现只需证明11a a a a --1-、、三个数互不相等. ①若2110,1a a a a =⇒-+=-方程无解，∴11a a≠-； ②若2110a a a a a -=⇒-+=-，方程无解，1a a a-∴≠-； ③若211101a a a a a -=⇒-+=--，方程无解，111a a a-∴≠--， 故集合A 中至少有三个不同的元素. 点评：集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点.类型四：集合的表示方法例8．试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程230x -=的所有实数根组成的集合；(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合. 答案：{33}-，；{}16,17,18,19,20,21,22,23,24。
北京四中高考数学总复习 函数的基本性质(基础)知识梳理教案
【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】【考点梳理】 1．单调性（1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。
（2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。
（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据定义下结论。
复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。
如下表：()u g x =()y f u =[()]y f g x =增增增函数的基本性质 奇 偶 性单 调 性周 期 性增 减 减 减 增 减 减减 增导数证明法设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数），则'()0('()0)f x f x ≥≤。
高一数学必修一函数奇偶性和周期性基础知识点及提高练习
函数的奇偶性与周期性提高精讲 奇函数 偶函数 定义如果对于函数fx 的定义域内的任意一个x 都有f －x ＝－fx ,那么函数fx 是奇函数 都有f －x ＝fx ,那么函数fx 是偶函数 特点 图象关于原点对称 图象关于y 轴对称1.函数fx ＝0,x ∈R 既是奇函数又是偶函数2.奇偶函数常用结论：1两个偶函数相加所得的和为偶函数.2两个奇函数相加所得的和为奇函数.3一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.4两个偶函数相乘所得的积为偶函数.5两个奇函数相乘所得的积为偶函数.6一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.3.周期函数：对于函数y ＝fx ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有fx ＋T ＝fx ,那么就称函数y ＝fx 为周期函数,称T 为这个函数的周期．4.周期函数常见结论：1若fx ＋a ＝fx －a ,则函数的周期为2a .2若fx ＋a ＝－fx ,则函数的周期为2a .3若fx+a =()x f 1a>0,则函数的周期为2a . 4若fx ＋a ＝－()x f 1,则函数的周期为2a . 5.对称函数如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-,则函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称.练习：1.设fx 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,fx ＝2x 1－x ,则f ＝________.2.若函数fx ＝为奇函数,则a ＝3.已知fx ＝ax 2＋bx 是定义在a －1,2a 上的偶函数,那么a ＋b 的值是A ．－BD ．－ 难点一奇偶性与不等式1.若函数fx ＝是奇函数,则使fx >3成立的x 的取值范围为A ．－∞,－1B ．－1,0C0,1 D ．1,＋∞难点二求解析式1.若定义在R 上的偶函数fx 和奇函数gx 满足fx ＋gx ＝e x ,则gx ＝A．e x－e－e x＋e－x e－x－e x De x－e－x2.若函数fx＝x ln x＋为偶函数,则a＝________.3.已知fx是定义在R上的奇函数,当x>0时,fx＝x2－4x,则不等式fx>x的解集用区间表示为________．4.设偶函数fx满足fx＝x3－8x≥0,则{x|fx－2>0}＝A．{x|x<－2或x>4}B{x|x<0或x>4}C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}难点三奇偶性与周期性综合1.已知fx是定义在R上的偶函数,且对任意x∈R都有fx＋4＝fx＋f2,则f2014等于A0B．3C．4 D．62.已知定义在R上的奇函数fx满足fx＋1＝－fx,且在0,1上单调递增,记a＝f,b＝f2,c ＝f3,则a,b,c的大小关系为A a>b＝c B．b>a＝c C．b>c>a D．a>c>b3.设fx是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f2>1,f2014＝,则实数a的取值范围是________．难点四奇偶性、对称性、周期性1.已知函数fx是－∞,＋∞上的奇函数,且fx的图象关于x＝1对称,当x∈0,1时,fx＝2x－1,则f2013＋f2014的值为A．－2B．－1C．0 D12.定义在R上的函数fx满足f－x＝－fx,fx－2＝fx＋2,且x∈－1,0时,fx＝2x＋,则f log220＝A－C．1 D．－终极难度定义证明、赋值法、求参数1.定义在R上的函数fx对任意a,b∈R都有fa＋b＝fa＋fb＋kk为常数．1判断k为何值时fx为奇函数,并证明；2设k＝－1,fx是R上的增函数,且f4＝5,若不等式fmx2－2mx＋3>3对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围．2.已知函数fx对任意实数x,y恒有fx＋y＝fx＋fy,且当x>0时,fx<0,又f1＝－2.1判断fx的奇偶性；2求证：fx是R上的减函数；3求fx在区间－3,3上的值域；4若x∈R,不等式fax2－2fx<fx＋4恒成立,求a的取值范围．跟踪练习1.已知函数=-=+-=)(.)(.11lg)(a f b a f x x x f 则若 A ．b B ．－b C ．b 1 D ．－b1 2.已知函数)(x f y =在R 是奇函数,且当0≥x 时,x x x f 2)(2-=,求：0<x 时,)(x f 的解析式3.定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数,且是奇函数,若0)54()1(2>-+--a f a a f ,求实数a 的范围.。
最新-北京市2021学年高一数学上册必修1第01章 集合章末复习课件01 精品
且
B
∁UA，求实数
a
的取值范围.
[解析] 如图所示． ∵U＝R，A＝{x|x>1}， ∴∁UA＝{x|x≤1}． ∵x＋a<0，x<－a，∴B＝{x|x<－a}．
又∵B
∁UA，∴－a≤1，∴a≥－1.
例 2 已知集合 A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x－m<0}. (1)若 A∩B＝∅，求实数 m 的取值范围； (2)若 A B ，求实数 m 的取值范围．
第一章 集合与函数的概念
章末复习 （第一课时 集合）
知识归纳
专题一 学好集合的关键是把握“五个三”
1．集合元素的三性 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，尤其是互异
性不可忽视．
设集合 M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使 M∪N＝M 成立
的 a 的值是( )
A．－1
B．0
Hale Waihona Puke C．1D．1 或－1专题二 数轴分析法
• 对数集进行交集、并集、补集运算时，往 往由于运算能
• 力差或考虑不全面而极易出错．利用数轴 来解决数集的运算，即数轴分析法能把复 杂问题直观化，能够顺利决问题．要注意 端点是实心还是空心，以免产生增解或漏 解．
例 1 设全集 U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，
D．∅
3．已知集合 A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝ n，n∈A}，则 A∩B
的子集的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．16
谢谢观看
下课
a＋1≥－2， 当 B≠∅时，则有2a－1≤5，
a＋1≤2a－1，
解得 2≤a≤3.
北京四中高考数学总复习 函数及表示知识梳理教案
【考纲要求】1. 了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3. 了解简单的分段函数，并能简单应用．【知识网络】【考点梳理】1、映射的定义设,A B 是两个非空的集合，如果按照对应法则f ，对于集合A 中的 任意一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射， 记作:f A B →。
映射允许多对一，一对一，但是不允许一对多，允许集合B 中的元素在集合A 中没有元素和它对应。
2、函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一的值与它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：)(x f y =.其中x 叫做自变量 ，y 叫做函数，自变量x 的取值范围（数集A ）叫做函数的定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，所有函数值构成的集合{}(),C y y f x x A ==∈叫做这个函数的值域。
3、函数的三要素函数的三要素是定义域、值域、对应法则，在这三要素中，由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函 数只有两个要素。
4、两个函数能成为同一函数的条件当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。
映射函数及其表示函数三要素 函数的表示5、区间的概念和记号设,a b R ∈，且a b <，我们规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a 。
（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a 。
（3）满足不等式a x b ≤<或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半闭半开区间，分别表示为),[b a 和],(b a 。
这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点。
【全国百强校】北京市第四中学人教版高中数学必修一课件：1.1.2集合间的基本关系 (共11张PPT)
课堂练习：
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课时小结
本节课学习了以下内容：
1．概念：子集、集合相等、真子集 2．性质：（1）空集是任何集合的子集。Φ A （2）空集是任何非空集合的真子集。Φ A （A≠Φ） （3）任何一个集合是它本身的子集。
（4）含n个元素的集合的子集数为 2n ；
非空子集数为 2n 1 ； 真子集数为 2n 1 ； 非空真子集数为 2n 2 。
符号语言： 记作：A
若A B，同时B A，则A B
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3、如果集合 A B，但存在 x B,且x A, 则称集合 A是集合B的真子集。
注：由此可见，集合A是集合B 的子集，包含了A是B的真子集和
A 与B 相等两种情况。与实数中的关系类比是：
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观察下面的例子，找一下它们的共同点
(1)、A {x | x2 1 0, x R}
（2）A
（{ x,
y）|
x x
y y
1} 4
(3){临沂市中考成绩超过800分的学生}
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4、把不含任何元素的集合叫做空集，记为
规定：空集是任何集合的子集。
辨析：0，{0}， ， {} 的关系
0{0} ， 0 ， {0} ， { } ，
空集是任何非空集合的真子集。
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总结：集合与集合之间的关系用包含，相等，真包含来描述。
结论：1、反身性：任何集合是它自身的子集，即
A A
2、传递性：如果A是集合B的子集，集合B是集合C的子集 那么集合A 是集合C的子集。即
若A B，且B பைடு நூலகம் C，则A C
3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。即
北京四中高考数学总复习 集合的概念和运算知识梳理教案
【考纲要求】1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。
【知识网络】【考点梳理】1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性； （2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。
如数集{y|y=x 2}，表示非负实数集，点集{(x ，y)|y=x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； （3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；②描述法。
2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A ⊆B 时，称A 是B 的子集；当A ≠⊂B 时，称A 是B 的真子集。
3、集合运算（1）交，并，补，定义：A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}，A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}，C U A=｛x|x ∈U ，且x ∉A ｝，集合U 表示全集；（2）运算律，如A ∩（B ∪C ）=（A ∩B ）∪（A ∩C ），C U （A ∩B ）=（C U A ）∪（C U B ）， C U （A ∪B ）=（C U A ）∩（C U B ）等。
集 合集 合 表 示 法集 合 的 关 系集 合 的 运 算描 述 法图 示 法列 举 法 相 等包 含 交 集并 集 补 集子集、真子集【典型例题】类型一：集合的概念、性质与运算 例1、已知集合{1,1}M =-，11{|24,}2x N x x Z +=<<∈，则M N =（ ）A ．{-1，1}B ．{0} c ．{-l} D ．{-l ，0} 答案：C解析：集合112{|222,}{|21,}{1,0}x N x x Z x x x Z -+=<<∈=-<<∈=-，所以{1}MN =-，选C 。
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函数的奇偶性编稿：丁会敏 审稿： 王静伟【学习目标】1.理解函数的奇偶性定义；2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤1．函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)()f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠，； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性.若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数；若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立即可.（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称. （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相同的单调性，即已知()f x 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相反的单调性，即已知()f x 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是减函数（增函数）.【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性：(1)()(f x x =+； (2)f(x)=x 2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)()f x = (5)22-(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩； (6)1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈ 【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．【解析】(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2-4|x|+3为偶函数 ；(3)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (4)[)(]2-1x 11-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22≤≤⎧≥⎧∴∴∈⋃⎨⎨≠≠≠±⎩⎩且()f x ∴==(-)-()f x f x ∴===，∴f(x)为奇函数； (5)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (6)11(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22f xg x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数. 【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（5）中若不研究定义域，在去掉|2|x +的绝对值符号时就十分麻烦.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1)23()3x f x x =+； (2)()|1||1|f x x x =++-； (3)222()1x x f x x +=+； (4)22x 2x 1(x 0)f (x)0(x 0)x 2x 1(x 0)⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩.【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．【解析】(1)()f x 的定义域是R ， 又223()3()()()33x x f x f x x x --==-=--++，()f x ∴是奇函数． （2）()f x 的定义域是R ，又()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴是偶函数．（3）22()()()11f x x x x x -=-+-+=-+ ()()()()f x f x f x f x ∴-≠--≠且，∴()f x 为非奇非偶函数．（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x 2-2x-1=-(-x 2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x 2-2x+1=-(x 2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x ∈R 时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】【变式3】设函数()f x 和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （ ）.A ．()f x +|g(x)|是偶函数B ．()f x -|g(x)|是奇函数C ．|()f x | +g(x)是偶函数D ．|()f x |- g(x)是奇函数【答案】A例2.已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=+，判断()f x 的奇偶性.【答案】奇函数【解析】因为对于任何实数,a b ，都有()()()f a b f a f b +=+，可以令,a b 为某些特殊值，得出()()f x f x -=-.设0,a =则()(0)()f b f f b =+，∴(0)0f =.又设,a x b x =-=，则(0)()()f f x f x =-+，()()f x f x ∴-=-，()f x ∴是奇函数.【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断()f x -与()f x 之间的关系，因此需要先求出(0)f 的值才行.举一反三：【变式1】 已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数12,x x ，都有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=⋅，判断函数()f x 的奇偶性.【答案】偶函数【解析】令120,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +-=，令210,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +=由上两式得：()()()()f x f x f x f x +-=+，即()()f x f x -=∴()f x 是偶函数.类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例3. f(x)，g(x)均为奇函数，()()()2H x af x bg x =++在()0,+∞上的最大值为5，则()H x 在（-,2∞）上的最小值为 ．【答案】 -1【解析】考虑到(),()f x g x 均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求()H x 与()H x -的关系．()H x +()H x -=()()2()()2af x bg x af x bg x +++-+-+()(),()()f x f x g x g x -=--=-，()()4H x H x ∴+-=．当0x <时，()4()H x H x =--，而0x ->，()5H x ∴-≤，()1H x ∴≥-∴()H x 在(,0)-∞上的最小值为-1．【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现()()af x bg x +也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题．过程如下：0x >时，()H x 的最大值为5，0x ∴>时()()af x bg x +的最大值为3，0x ∴<时()()af x bg x +的最小值为-3，0x ∴<时，()H x 的最小值为-3+2=-1．举一反三：【变式1】已知f(x)=x 5+ax 3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).【答案】-26【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x 5+ax 3-bx 为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题(2)g 便能迎刃而解.例4. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-，求()f x 的解析式． 【答案】2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，当0x <时，0x ->，2()()()3()1f x f x x x ⎡⎤∴=--=--+--⎣⎦=231x x -++又奇函数()f x 在原点有定义，(0)0f ∴=．2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ⎧+->⎪∴==⎨⎪-++<⎩【总结升华】若奇函数()f x 在0x =处有意义，则必有(0)0f =，即它的图象必过原点（0，0）．举一反三：【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例3】【变式1】（1）已知偶函数()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--， 求()f x 的解析式.（2）已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x>时2()21g x x x =+-，求()g x 的解析式. 【答案】（1）2231(0)()31(0)x x x f x x x x ⎧+->⎪=⎨--≤⎪⎩；（2）2221(0)()0021(0)x x x g x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩ （） 例 5. 定义域在区间[－2，2]上的偶函数()g x ，当x ≥0时，()g x 是单调递减的，若(1)()g m g m -<成立，求m 的取值范围．【思路点拨】根据定义域知1－m ，m ∈[―1，2]，但是1―m ，m 在[―2，0]，[0，2]的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复杂，若注意到偶函数()f x 的性质：()()(||)f x f x f x -==，可避免讨论． 【答案】1[1,)2-．【解析】由于()g x 为偶函数，所以(1)(1)g m g m -=-，()(||)g m g m =．因为x ≥0时，()g x 是单调递减的，故|1|||(1)()(|1|)(||)|1|2||2m m g m g m g m g m m m ->⎧⎪-<⇔-<⇔-≤⎨⎪≤⎩，所以222121222m m m m m ⎧-+>⎪-≤-≤⎨⎪-≤≤⎩，解得112m -≤<． 故m 的取值范围是1[1,)2-． 【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1―m ，m 转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同导致1―m 与m 大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化．另外，需注意的是不要忘记定义域．类型三、函数奇偶性的综合问题例6. 已知()y f x =是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数2(1)f x -的单调递增区间．【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。