高三数学知识点总结35之23：等比数列
(完整版)等比数列知识点总结
等比数列知识梳理：1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n mn m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na =（2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列（3）通项公式：()0{}nn n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n nn n a a a q q A B A B q-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ；②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A qq q q--==-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q 。
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质等比数列是数学中常见的一种数列，又被称为等比数列或几何数列。
在高中数学中，等比数列的概念及其性质是学习数列的重要一环。
本文将对等比数列以及等比数列的性质进行总结和讨论。
1. 等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
假设数列的首项为a，公比为r，那么等比数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)其中，an为数列的第n项。
2. 等比数列的性质等比数列有许多特殊的性质，下面将逐一介绍。
2.1 等比数列的公比公比r是等比数列中非常重要的一个概念，它决定了数列的增长或衰减趋势。
当|r|>1时，等比数列呈现增长趋势，此时数列的绝对值逐项增大；当|r|<1时，等比数列呈现衰减趋势，此时数列的绝对值逐项减小；当|r|=1时，等比数列的绝对值保持不变。
2.2 等比数列的通项公式的推导等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)可以通过递推关系式得出。
首先可以得到数列的第二项：a2 = a * r。
推导出来的通项公示能够方便我们计算等比数列中各项的大小。
同时，通过改变公比，我们可以观察等比数列的特点。
2.3 等比数列前n项和的计算等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式进行计算：Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)这个公式也可以通过递推关系式的推导得出。
等比数列前n项和的计算在实际问题中具有重要的应用，可以帮助我们求解等比数列求和问题。
3. 等比数列的应用举例3.1 高度问题假设一个球从一定的高度往下落，每次反弹高度都是之前一次的一半。
如果求第n次反弹的高度，我们可以建立等比数列来描述这个过程。
首项为球的初始高度，公比为1/2，利用等比数列的通项公式即可求解。
3.2 利息问题在金融领域中，利息的计算经常涉及到等比数列。
例如，一笔钱每年按照固定的利率计算利息，那么每年的本金和利息的总额就构成了一个等比数列。
等比数列知识点归纳及总结公式
等比数列知识点归纳及总结公式等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的定义是指一个数列中，从第二项起，每一项都是前一项与一个固定的非零常数的乘积。
在学习等比数列时，我们需要了解其定义、性质、求和公式等相关知识点。
本文将对等比数列的常见知识点进行归纳总结，并提供相应的公式。
一、等比数列的定义等比数列可以通过以下定义来进行理解：在数列$a_1,a_2,a_3,...,a_n$ 中，若对于任意的正整数 $n$ ，都有$\frac{{a_{n+1}}}{{a_n}}=r$ 成立（常数 $r$ 称为等比数列的公比），则称这个数列为等比数列。
通常我们用 $a_1$ 表示等比数列的首项。
二、等比数列的性质1. 公比与首项的关系：等比数列的公比 $r$ 与首项 $a_1$ 之间存在以下关系：$a_2=a_1 \cdot r$，$a_3=a_2 \cdot r=a_1 \cdot r^2$，以此类推，可得第 $n$ 项为 $a_n=a_1 \cdot r^{n-1}$。
2. 通项公式：根据等比数列的性质1，可推导出等比数列的通项公式为 $a_n=a_1 \cdot r^{n-1}$。
3. 首项与公比的关系：若已知等比数列的首项 $a_1$ 和第 $n$ 项$a_n$，则公比 $r$ 可以通过 $r=\sqrt[n-1]{\frac{{a_n}}{{a_1}}}$ 来求解。
4. 等比数列的倒数列：等比数列的倒数列也是一个等比数列，其公比为原数列公比的倒数。
即若 $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ 是一个等比数列，且公比为 $r$，则其倒数列为$\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},\frac{1}{a_3},...,\frac{1}{a_n}$，且其公比为 $\frac{1}{r}$。
5. 前 $n$ 项和公式：等比数列的前 $n$ 项和可以通过以下公式来求解：$S_n=a_1\frac{{1-r^n}}{{1-r}}$，其中 $S_n$ 表示前 $n$ 项和。
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列和等比数列是数学中的两个重要概念，它们在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结：
等差数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个数列被称为等差数列。
2. 通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。
3. 求和公式：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d]$，其中 $S_n$ 是前$n$ 项的和。
4. 等差中项：任意两项的算术平均值等于第三项。
5. 等差数列的性质：如果两个数列都是等差数列，那么它们的和也是一个等差数列。
等比数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的比是一个常数，这个数列被称为等比数列。
2. 通项公式：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。
3. 求和公式：对于 $q \neq 1$，有 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$；对于 $q = 1$，有 $S_n = na_1$。
4. 等比中项：任意两项的几何平均值等于第三项。
5. 等比数列的性质：如果两个数列都是等比数列，那么它们的乘积是一个等比数列。
以上是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结。
在学习这些内容时，可以通过做练习题来加深理解和巩固知识。
等比数列知识点归纳总结图文
等比数列知识点归纳总结图文在数学中，等比数列是一种特殊的数列。
它是指从第二项开始，每一项与它的前一项的比相等的数列。
本文将对等比数列的相关知识点进行归纳总结，并以图文形式展示，帮助读者更好地理解和掌握等比数列的概念和性质。
1. 等比数列的定义等比数列是指从第二项开始，每一项与它的前一项的比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，数列的通项公式为an=a×r^(n-1)。
其中，n表示数列中的第n项。
2. 等比数列的性质（1）通项公式：等比数列的通项公式是an=a×r^(n-1)，其中a表示首项，r表示公比，n表示项数。
（2）前n项和公式：等比数列的前n项和公式是Sn=a×(1-r^n)/(1-r)，其中a表示首项，r表示公比，n表示项数。
（3）比值性质：等比数列中，任意两项的比值都为常数，即an/an-1=r。
（4）倒数性质：等比数列中，任意两项互为倒数，即an与1/an-1互为倒数。
3. 等比数列的图文示例下面通过图文形式对等比数列进行示例，以加深对等比数列的理解和记忆。
（插入示例图片）图1是一个等比数列的示例图，首项a=2，公比r=3/2。
根据等比数列的通项公式an=a×r^(n-1)，我们可以计算出数列的前几个项如下：a1=2a2=2×(3/2)^1=3a3=2×(3/2)^2=4.5a4=2×(3/2)^3=6.75...由此可见，该数列每一项与前一项的比相等，且比值为3/2。
（插入示例图片）图2展示了等比数列的前n项和的计算过程，首项a=10，公比r=0.5。
根据等比数列的前n项和公式Sn=a×(1-r^n)/(1-r)，我们可以计算出数列的前几项和如下：S1=10S2=10×(1-(0.5)^2)/(1-0.5)=15S3=10×(1-(0.5)^3)/(1-0.5)=19.5S4=10×(1-(0.5)^4)/(1-0.5)=21.75...可以看出，数列的前n项和随着项数的增加而增加。
等比数列知识点总结
等比数列知识点总结在数学学习中，等比数列是一种非常重要的数列形式。
它具有独特的特点和应用，是数学领域中必须深入了解和掌握的知识点之一。
本文将对等比数列的定义、通项公式、首项、公比、求和公式等知识点进行总结和讨论。
一、等比数列的定义等比数列，指的是数列中的每一项与其前一项的比相等的数列。
其中，比值称为公比，用字母q表示。
如果等比数列的首项为a1，公比为q，则数列的通项可以表示为：an = a1 * q^(n-1)其中，n表示数列的第n项。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中an表示等比数列的第n项，a1表示等比数列的首项，q表示等比数列的公比。
通过等比数列的通项公式，可以方便地计算数列中任意一项的数值。
例如，当等比数列的首项a1为2，公比q为3时，可以得到该数列的通项公式为：an = 2 * 3^(n-1)。
通过代入不同的n值，可以求得等比数列的不同项的数值。
三、等比数列的首项和公比等比数列的首项指的是数列中的第一项，用字母a1表示。
根据等比数列的定义，可知第二项a2 = a1 * q，第三项a3 = a2 * q = a1 * q^2，以此类推，第n项可以表示为an = a1 * q^(n-1)。
公比q则是指每一项与前一项的比值，用数值表示。
例如，当等比数列的首项为1，公比为2时，数列中的一些项可以表示为：a1 = 1，a2 = 1 * 2 = 2，a3 = 1 * 2^2 = 4，a4 = 1 * 2^3 = 8，以此类推。
首项和公比是等比数列中两个重要的参数，可以通过它们来确定数列的性质和变化规律。
四、等比数列的求和公式等比数列的求和公式是通过对数列中的每一项进行求和，得到数列的总和。
由于等比数列是无穷数列，求和公式对于计算有限项的总和非常有用。
等比数列的求和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示等比数列的前n项的和。
等比数列知识点总结
等比数列知识点总结等比数列是数学中常见的数列之一，它的特点是每个数都是前一个数乘以同一个常数，这个常数被称为公比。
接下来我们来总结一下与等比数列相关的一些重要知识点。
1. 等比数列的定义等比数列是指数列中的每一项与它的前一项的比都相等的数列。
换句话说，对于等比数列 {a1, a2, a3, ...}，对于任意项 ai，都有 ai+1/ai=d，其中 d 是公比。
2. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式用来表示数列中的任意一项。
对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，通项公式为 an = a1 * r^(n-1)，其中 a1 是首项，r 是公比，n 是项数。
3. 等比数列前 n 项和的公式等比数列的前 n 项和常用的公式是 Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)，其中Sn 是前 n 项的和。
4. 公比的取值范围公比的取值范围决定了等比数列的性质。
当公比 r 大于 1 时，数列递增；当公比 0<r<1 时，数列递减。
当 r 等于 1 时，数列退化成一个等差数列。
5. 等比中项的求解等比中项指的是等比数列中位于首项和末项之间的项。
通过等比数列的通项公式和前 n 项和的公式，我们可以求解等比数列中的中项。
6. 连续等比数列的求和连续等比数列是指等比数列中取任意项相邻的若干项组成的子数列。
对于连续等比数列，我们可以利用等比数列的前 n 项和的公式，将整个数列的和拆分成若干个连续子数列的和，从而求解整个数列的和。
7. 应用举例等比数列在实际问题中有广泛的应用。
例如，经济增长、人口增长、利润增长等都可以使用等比数列来进行建模和分析。
通过等比数列的性质和公式，我们可以更好地理解这些现象，并进行预测和决策。
总结：等比数列作为数学中常见的数列之一，具有重要的概念和公式。
深入理解等比数列的性质和应用对于解决和理解各种实际问题非常有帮助。
希望以上对于等比数列知识点的总结能够对你的学习和理解有所帮助。
等比数列知识点归纳总结讲解
等比数列知识点归纳总结讲解等比数列是数学中重要的一种数列，具有很广泛的应用。
本文将对等比数列的定义与性质、求和公式、通项公式等进行归纳总结与讲解。
一、定义与性质等比数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项的比相等。
设等比数列的首项为 a，公比为 r，则第 n 项的公式为 an = a * r^(n-1)。
其中，n 为项数，a_1 为首项。
1. 公比 r 的取值：- 当 r > 1 时，等比数列是递增的；- 当 0 < r < 1 时，等比数列是递减的；- 当 r = 1 时，等比数列的所有项都相等，即为常数数列。
2. 等比数列的性质：- 等比数列中任意两项的比值相等，即 a(n+1) / an = r；- 等比数列中的任意项与它之后的项的比值相同；- 等比数列的任意项可以表示为它前一项乘以公比的 n 次方。
二、求和公式求等比数列的前 n 项和是解决等比数列问题中常用的方法之一。
根据数列的性质和推导，可以得到等比数列的求和公式如下：等比数列的前 n 项和 Sn = a(1-r^n) / (1-r)，其中 a 为首项，r 为公比。
三、通项公式通项公式是指通过等比数列给出的某一项与它的位置之间的关系，可以求解该等比数列的各项的值。
根据等比数列的定义，可以得到等比数列的通项公式如下：等比数列的第 n 项 an = a * r^(n-1)，其中 a 为首项，r 为公比。
四、应用举例等比数列在实际问题中具有广泛的应用。
以下举两个例子加以说明：例1：一个微生物培养基中的细胞数量，每天增加一倍。
已知初始时刻有 1000 个细胞，求第 6 天的细胞数量。
解：根据已知条件，我们可以得知初始时刻（第 1 天）的细胞数量a = 1000，公比 r = 2。
根据通项公式 an = a * r^(n-1)，我们可以求得第6 天的细胞数量为 a6 = 1000 * 2^(6-1) = 32000。
例2：某公司每年的销售额都是前一年的 80%，已知第一年销售额为 500 万元，求五年后的销售额。
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等比数列
1.等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，即).(1*+∈=N n q a a n
n 2.等比数列的通项公式：设等比数列}{n a 的首项为,1a 公比为,q 则它的通项.11-=n n q a a
注：公式推广：).,(*-∈⋅=N m n q a a m n m n
3.等比中项：若b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项且ab G ±=. 注意：等比数列}{n a 的,,00≠≠q a n 等比数列的奇数项和偶数项分别同号.
例：等比数列}{n a 中，,9,462==a a 则=4a ________.答：6.
4.等比数列的前n 项和公式
等比数列的公比为),0(≠q q 其前n 项和为,n S 当1=q 时，=n S 1na ；
当1≠q 时，=n S q q a n --1)1(1=q
q a a n --11. 注意（1）在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对1=q 与1≠q 分类讨论.
（2）因为等比数列的前n 项和比较复杂，通项公式比较简单，所以能将“和”化“项”能简化运算，这也是一种重要的解题方法.
例：等比数列}{n a 中，n S 是数列}{n a 的前n 项和，,333a S =则公比=q ______.答：1,2
1-
. 5.等比数列的判定方法 （1）定义法：对于数列{}n a ，若q a a n
n =+1，则数列{}n a 是等比数列. （2）等比中项法：对于数列{}n a ，若n
n n n a a a a 112+++=，则数列{}n a 是等比数列. 6.等比数列的常用性质
（1）等积性质:若}{n a 为等比数列，且),,,,,(2*
∈=+=+N s n m l k s n m l k 则 .2s n m l k a a a a a =⋅=⋅
（2）片段和性质：等比数列}{n a 的前n 项和为,n S 则n n n n n S S S S S 232,,--仍为等比数列，
其公比为.n q （注意：此结论要求任意的,0≠n S 如公比为1-的等比数列不满足这个性质.)
（3）隔项成等比：若}{n a 成等比数列，公比为,q 则),(,,,2*++∈N m k a a a m k m k k 成公比
为m q 的等比数列.（4）单调性：当⎩⎨⎧>>101q a 或⎩⎨⎧<<<1001q a 时，}{n a 为递增数列；当⎩⎨⎧<<>1
001q a 或⎩⎨⎧><101q a 时，}{n a 为递减数列.（5）奇偶性质：{}n a 是等比数列且项数是偶数，则.q S S =奇
偶 7.一种设法：（1）若三个数成等差数列，则可设为d a a d a +-,,；若四个数成等差数列，
则可设为.3,,,3d a d a d a d a ++--（2）若三个数成等比数列，则可设为aq a q
a ,,. 8.等差数列与等比数列的联系
（1）若数列}{n a 是等差数列，则数列}{n a
b 是等比数列，公比为,d b 其中b 是常数且0>b 且1≠b ，d 是}{n a 的公差.
（2）若数列}{n a 是等比数列，且,0>n a 则数列}{log n b a 是等差数列，公差为,log q b 其中b 为常数且0>b 且1≠b ，q 是}{n a 的公比.
（3）若数列}{n a 既是等差数列又是等比数列，则}{n a 是非零常数列.
1：集合与常用逻辑用语与不等式的性质；2：一元二次不等式；3：基本不等式；4：函数的概念和求函数解析式；5：函数的定义域和值域；6：函数的单调性；7：奇偶性；8：函数的图像和周期性；9：二次函数和幂函数；10：指数函数与对数函数；11：函数与方程；12：导数；13：平面向量；14：平面向量的数量积；15：复数；16：任意角的三角函数和同角关系；17：诱导公式，两角和与差的三角函数，几个三角恒等式；18：三角求值问题归类；19：三角函数的图像和性质；20：三角函数的图像和性质2+题目；21：解三角形；22：数列的概念和等差数列；23：等比数列；24：数列通项；25：数列求和；26：立体几何；27：空间向量；28：直线方程和两条直线的位置关系；29：圆的方程和直线与圆的位置关系；30：椭圆；31：双曲线；32：抛物线；33：统计；34：概率；35：排列组合和二项式定理。