高考数学等比数列知识点总结
高考数学复习 等比数列
高考数学复习 等比数列高考要求：1、 理解等比数列的概念，2、 掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，3、 并能解决简单的实际问题． 考点回顾：1．定义：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.2．通项公式11-=n n q a a ,推广形式:mn m n q a a -=,变式),,(*-∈>=N n m m n a a q mn mn3．前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--==)10(11)1()1(111q q q q a a qq a q na S n nn 且注:应用前n 项和公式时,一定要区分11≠=q q 与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 4．等比中项:若a 、b 、c 成等比数列,则b 是a 、c 的等比中项,且ac b ±=5．在等比数列{}n a 中有如下性质: (1)若q p n m a a a a N q p n m q p n m ⋅=⋅∈+=+*则,,,, (2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续若干项的和也构成等比数列. 6．证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若{}为等比数列数列n nn a N n q a a ⇔∈=*+)(1(2)等比中项法:若{}为等比数列数列且n n n n n n n a a a a N n a a a ⇔≠∈⋅=++*++)0(21221 (3)通项法:若{}为等比数列数列的常数均是不为n n n a N ，n q c cq a ⇔∈=*)0,( (4)前n 项和法:若{}为等比数列数列且为常数n nn a q q ，q A A Aq S ⇔≠≠-=)1,0,( 7．解决等比数列有关问题的常见思维方法(1)方程的思想(“知三求二”问题) (2)分类的思想①运用等比数列的求和公式时,需要对11≠=q q 和讨论 ②当{}为递增数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<<>>()1(111-=--+q q a a a n n n ){}为递减数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<>><考点解析：考点1、关于基本量的计算EG1．数列{}n a 为等比数列,求下列各值, (1)已知.,2118367463n a a a a a n 求==+=+ (2) .,15367382q a a a a 求公比已知=+= (3) .),21(15,218a S q 求已知-=-=思维分析:运用等比数列的基本公式和基本性质”知三求二”问题 解(1)21,36,18)(63636374=∴=+=+=+=+q a a a a q q a q a a a 9212)21(3232,36)1(833333333363=∴====∴=∴=+=+=+---n q a a a q a q a a a a n n n n (2) ,03615,,1536273738273两根是方程=+-∴=+==x x a a a a a a a a222414,3,1212,3447373±=±=∴==∴====∴q q q q a a a a 或或或 (3)1)21()21()21(1521)15(21])2(1[11818=+⋅--=∴-=+-=+--=a a a SB1-1.设一个等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),其前n 项和为80,而其中最大的一项为54,又其前2n 项和是6560,求a 和q.思维分析:运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类讨论思想, 解:若q=1,则na=80,∴2na=160矛盾,1≠∴q于是)3(541,081)1()2()2(65601)1()1(801)1(11211==∴>∴>=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=---n n n nn q a a q q q q q a qq a 又得 3,2548111)3)(1(81==∴=-=-=q a q a qaq n 及得代入 B1-2、设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 3+S 6=2S 9,求数列的公比q.答案:243-=q B1-2 已知等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，求a n .剖析：利用等比数列的基本量a 1，q ，根据条件求出a 1和q . 解：设{a n }的公比为q ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=++,8,721112111q a q a a q a q a a解得⎩⎨⎧==2,11q a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.21,41q a ∴a n =2n －1或a n =23－n.评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.2.关于等比数列的证明EG2.已知数列{}n a ,S n 是它的前n 项和,且1),(2411=∈+=*+a N n a S n n (1)设)(21*+∈-=N n a a b n n n ,求证:数列{}n b 是等比数列(2)设nn na c 2=,,求证:数列{}n c 是等差数列思维分析:证明数列是等差数列还是等比数列.应紧扣定义式;而数列的前n 项和S n 已知可求a n 解:(1) n n n n n n n n n n n a a a a a S S a S a S 444424,2412112121-=-=-⇒+=+=++++++++即n n n n n n n n n b b a a b a a a a 22),2(2211112=∴-=-=-⇒+++++而,由此可得{}n b 是等比数列且首项112123,2,32-⋅=∴==-=n n b q a a b 公比(2)43223222,2111111=⋅==-=-∴=+-++++n n n n n n n n n n n n n b a a c c b c 可知{}n c 是首项43,21211===d a c 公差的等差数列,4143-=∴n c n B2-2、数列{}{}n n b a ,的通项公式分别是,23,2+==n b a n nn 它们公共项由小到大排列的数列是{}n c ,①写出{}n c 的前5项 ②证明{}n c 是等比数列思维分析:容易证明{}n c 是等比数列,由定义式,只需找出{}n c 中任意相邻两项关系即可. 解(1) {}n c 的前5项为:8、32、128、512、2048（2）设1)12(3)23(222,232,1++⋅=+=⋅=+==∴==+p p a p c c b a mm mn n p m 而{}{}中在又中不在bn a p p a b a m m m n m 221,2)24(3)23(424,+++∴++⋅=+⋅=⋅=∴{}{}是等比数列故项中的项即是n n n n n m c c c c c a ,4,112=∴∴+++B2-3 已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1k ，a 2k ，…，a n k ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n .剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得a n k ，然后列方程求得k n .解：设｛a n ｝的首项为a 1，∵a 1k 、a 2k 、a 3k 成等比数列，∴（a 1＋4d ）2＝a 1（a 1＋16d ）. 得a 1＝2d ，q ＝12k k a a ＝3.∵a n k ＝a 1＋（k n －1）d ，又a n k ＝a 1·3n －1，∴k n ＝2·3n －1－1.∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2（1＋3＋…＋3n －1）－n＝2×3131--n －n ＝3n－n －1.评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于k n 的方程是解题的关键，转化时要注意：a nk 是等差数列中的第k n 项，而是等比数列中的第n 项.B2-4 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列，lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n 、b n .剖析：由等比中项、等差中项的性质得a n +1=1+⋅n n b b 递推出a n =n n b b ⋅-1（n ≥2）. 解：∵5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列， ∴（5n b ）2=5n a ·51+n a ，即2b n =a n +a n +1.①又∵lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列，∴2lg a n +1=lg b n +lg b n +1，即a n +12=b n ·b n +1.②由②及a i ＞0，b j ＞0（i 、j ∈N *）可得a n +1=1+⋅n nb b .③ ∴a n =n n b b 1-（n ≥2）.④将③④代入①可得2b n =n n b b ⋅-1+1+⋅n n b b （n ≥2）， ∴2n b =1-n b +1+n b （n ≥2）. ∴数列{n b }为等差数列. ∵b 1=2，a 2=3，a 22=b 1·b 2，∴b 2=29. ∴n b =2+（n －1）（29－2） =21（n +1）（n =1也成立）.∴b n =2)1(2+n . ∴a n =n n b b ⋅-1=2)1(222+⋅n n =2)1(+n n （n ≥2）. 又当n =1时，a 1=1也成立.∴a n =2)1(+n n .评述：由S n 求a n 时要注意验证a 1与S 1是否一致.方法归纳：1．涉及等差比数列的基本概念的问题，常用基本量q a ,1来处理；2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论；3．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似．4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． 实战训练1．等比数列{a n }中，如果817643=⋅⋅⋅a a a a ，则a 1a 9的值为A ．3B ．9C ．±3D ．±92．在等比数列{a n }中，100992019109,),0(a a b a a a a a a +=+≠=+则等于（ ）A ．89abB ．9)(abC ．910abD ．10)(ab3．已知821,,,a a a 是各项均为正数的等比数列，且公比q ≠1，则A=与81a a +B=54a a + 的大小关系是 （ ） A ．A>B B ．A<BC ．A=BD ．不确定，由公比q 的取值而定4．无穷等比数列｛a n ｝的前n 项的和S n ＝a －(21)n，则所有项的和是[ ] A ．1 B ．21 C ．－21D ．任意实数 5.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是A.arccos215-B.arcsin215- C.arccos 251-D.arcsin251- 解析：设Rt △ABC 中，C =2π，则A 与B 互余且A 为最小内角.又由已知得sin 2B =sin A ，即cos 2A =sin A ，1－sin 2A =sin A ，解之得sin A =215-或sin A =215--（舍）.答案：B6.设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于A.210B.220C.216D.215解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3=（q a 3）3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30=（1030963qa a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅）3.又q =2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30=220.答案：B7.某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为A.5B.10C.14D.15解析：由题意列式（1－20%）n＜5%，两边取对数得n ＞2lg 3112lg -+≈13.4.故n ≥14.答案：C8.（2004年全国，文14）已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =___________________.解析：由已知得q 7=aa 10=128=27，故q =2.∴a n =a 3·q n －3=3·2n －3. 答案：3·2n －39.如下图，在杨辉三角中，从上往下数共有n （n ∈N *）行，在这些数中非1的数字之和是___________________.1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1……解析：观察可知，第n （n ∈N *）行中有n 个数，从左向右依次是二项式系数C 01-n ，C 11-n ，C 21-n ，…，C 11--n n ，故当n ≥3时，除了1外，第n 行各数的和为a n =C 11-n +C 21-n +…+C 21--n n =2n －1－2.又前两行全部为数字1，故前n 行非1的数字之和为a 3+a 4+…+a n =21)21(42---n －2（n －2）=2n －2n .12、无穷等比数列{a n }的前项和S n ，公比1≠q ，已知1是221S 和331S 的等差中项，6是2 S 2和3 S 3的等比中项。
高考数学复习知识点讲解教案第36讲 等比数列及其前n项和
探究点一 等比数列的基本运算
例1（1）
[2023·全国甲卷] 设等比数列{ }的各项均为正数，前项和为 ，
若1 = 1，5 = 53 − 4，则4 =(
15
A.
8
65
B.
8
C
)
C.15
D.40
［思路点拨］（1）根据题意列出关于公比的方程,求出,注意 = 1时的情况，
1,3,9或9,3,1
等比数列为______________.
+
+
=
13,
=
3,
= 3,
1 或ቊ
[解析] 设这个等比数列为 ，，，则൞
解得൝
= 3,
=
⋅ ⋅ = 27,
3
∴ 这个等比数列为1,3,9或9,3,1.
题组二 常错题
◆ 索引：忽视项的符号的判断;忽视对公比的讨论;对等比数列的性质不熟导致出错.
2
∗
⋅
若 + = + = 2 , , , , ∈ ，则 ⋅ =_________=____.
（2）
（3）若数列{ }，{ }（项数相同）是等比数列，则{ }
{ ⋅
}，{ }仍然是等比数列.
≠0
1
2
，{ }，{ }，
所以数列{ − 1}是首项为1，公比为2的等比数列.
∗
.
（2）
1
求证：
1
+
1
2
+ ⋯+
1
2025年高考数学一轮复习课件第六章数列-6.3等比数列
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3.设正项等比数列{ }满足4 − 3 = 36，2 = 6，则1 =(
C.2
√
1
2
A.3
B.
)
1
3
D.
解：设等比数列{ }的公比为， > 0.
2
2
则4 − 3 = 2 − 2 = 36，即6 − 6 = 36，解得 = 3.则1 =
2
6
3
否则可能漏解或增解.
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变式1（1） （2023年全国甲卷）已知正项等比数列{ }中，1 = 1, 为{ }的前项
和，5 = 53 − 4，则4 =(
A.
15
8
65
8
2 + 3
B.
解：由题意,知1 + +
)
C.15
√
D.40
+ 4 = 5 1 + + 2 − 4,即 3 + 2 − 4 − 4 = 0,即
解：设等比数列{ }的公比为， > 0.
1 + 2 + 3 = 14 ⇒ 1 + 1 + 1 2 = 14①.
又5 = 33 + 41 ，所以1 4 = 31 2 + 41 ②.
由①②,解得 = 2，1 = 2.则 = 1 −1 = 2 .
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2.重要关系
（1）若{ }是各项均为正数的等比数列，则{log }( > 0且 ≠ 1)必为等差数
列;若{ }为等差数列，则{ }( > 0且 ≠ 1)必为等比数列.
（2）若 = + ≠ 0, ≠ 0,1 ，则{ }是等比数列⇔ + = 0.
高中数学等比数列综合讲义(知识点+高考所有题型解析)
高中数学等比数列综合讲义（知识点+高考所有题型解析）一、理解概念L1：概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这样的数列就叫做等比数列L2：上位是：数列 L3：特殊之处：［两项之间］每一项与它的前一项的比等于同一个常数 L4：举例：1.数列 1，2，4，8···; 2.数列 1，3，9，27···;二、研究概念Y1：背景：棋盘上放麦粒的故事定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示）（其中可表示为2,),0(*1≥Ν∈=≠−n n q a a q n nY2：构成： [项] },,,,,{4321""""n a a a a a [首项] }{1a[奇项] },,,,,{127531""""−n a a a a a [偶项] },,,,,{28642""""n a a a a a [质数] },,,,{7532""a a a a [合数] },,,,{9864""a a a a [子数列] },,,,{131211""+++k k k a a a a },,,,{232222""+++k k k a a a a #},,,,{32""m k m k m k m a a a a +++[本质]： ()q a a a a a a a a n n =====−13423121"" ())(2去分母的项数的次数为分子的项数减q q a a m n mn−= ()1123+−•=k k ka a a ，k n k n na a a −+⋅=2, mm n n mn m n a a a ）()()(=−+ ()q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+则若,4重要组成部分：⎩⎨⎧≥)2(1n a a nY3：分类： [q] 常数数列（q=1）非常数数列 （q 1≠） 极限不存在 （q 1>且无限）极限为零 （q<1且无限） [1a ] 首项为1的数列 ;11;1qq S qa nn n n −−==−首项不为1的数列 ;1)1(;111qq a S qa a n n n n −−=⋅=− [0,1,,1a q ] 时递增数列或10,01,011<<<>>q a q a 。
高考数学-等差数列、等比数列与数列求和
（4）{an}是等差数列则{Sn/n}也是等差数列，首项与 相同，公差是 的1/2
2．数列求和的常用方法
(1)公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
①等差数列的前n项和公式：
Sn＝ ＝na1＋ d；
②等比数列的前n项和公式：
(2)等差数列{bn}的各项为正，其前和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.
【考点3】裂项相消法求和
【例3】在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S ＝an .
(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝ ，求{bn}的前n项和Tn.
[方法总结]使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
(1)若qk＝2(k∈N*)，求a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1；
(2)若对任意的k∈N*，a2k，a2k＋1，a2k＋2成等差数列，其公差为dk，设bk＝ .
求证：{bk}是等差数列，并指出其公差；
【变式】数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．
(1)求{an}的通项公式；
15．已知数列{an}是首项为a1＝ ，公比q＝ 的等比数列，设bn＋2＝3log an(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝an·bn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.
16．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．
高考数学等比数列
解：由 3S1，2S2，S3 成等差数列，得 4S2＝3S1＋S3， 即 3S2－3S1＝S3－S2，也即 3a2＝a3，得公比 q＝3，所以 an － － － ＝a1qn 1＝3n 1.故填 3n 1.
类型一
等比数列的判定与证明
(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1＋λan， 其中 λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 31 (2)若 S5＝ ，求 λ. 32
自 查 自 纠： 1．比 常数 公比 2．等比中项 ab ± ab 3．(1)a1q
n－1
am q
n－m
n－m a n－m a n n ± am am
a1 a1 (2) y＝ q qx q 4．na1 a1（1－qn） a1－anq a1 乘公比，错位相减 1－q 1－q q－1
1 q1 5．(2) q1 q1q2 q1 q2 (3)qm (4)qn (5)①q＞1 0＜q＜1 ②0＜q＜1 q＞1 ③q＝1 ④q＜0
2 设首项为 1，公比为 的等比数列{an}的前 n 3 项和为 Sn，则 ( ) A．Sn＝2an－1 C．Sn＝4－3an B．Sn＝3an－2 D．Sn＝3－2an
2 1－ an n－1 3 2 2 1 － an ＝3－2an.故选 D. 解：an＝ 3 ，Sn＝ ＝3 3 2 1－ 3
2 已知等比数列{an}的公比为正数，且 a3·a9＝2a5 ， a2＝1，则 a1＝( )
1 A. 2
2 B. 2
C. 2
D．2
解： 因为 a3· a9＝2a2 则由等比数列的性质有： a3· a9 5，
2 2 a a 6 6 2 2 ＝a2 ＝ 2 a ， 所以 ＝ 2 ， 即 ＝ q ＝2.因为公比为正数， 2 6 5 a a5 5
高考数学《等差数列、等比数列》复习
(1)等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)等差数列前 n 项和公式：Sn＝n
a1＋an 2
＝na1＋n
n－ 2
d．
(3)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2).
2.等比数列
(1)等比数列通项公式：an＝a1qn－1.
na1 q＝
(2)等比数列前n项和公式：Sn＝ a1 －qn 1－q
高考数学《等差数列、等比数列》复习
高考考点
1. 等差（比）数列的基本运算 2. 等差（比）数列的判断与证明 3. 等差（比）数列的性质
考点解读
1. 在等差（比）数列中， a1,an, Sn,n,d(q) 这五个量中已知其中的三个量， 求另外两个量 2. 考查等差（比）数列的通项公式，前n项和公式， 考查方程的思想以及运算能力
(2)等差数列中连续 k 项的和成等差数列，即 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列， 公差为 k2d．
5．若 A2n－1，B2n－1 分别为等差数列{an}，{bn}的前 2n－1 项的和， 则an＝A2n－1．
bn B2n－1
解题技巧
判断或证明数列是否为等差或等比数列， 一般是依据等差数列、等比数列的定义， 或利用等差中项、等比中项进行判断．
A.15
B.30
C.45
√D.60
S100 a1 a2 a100 90 ,设 S a1 a3 a99 ,则 2S a2 a4 a100 ,S 2S S100 90,S 30 , 故 a2 a4 a100 2S 60 .故选 D.
1.不能忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时， 注意各项都不为零的条件． 2.不能漏掉等比中项：正数a，b的等比中项是±，不能漏掉－． 3.对等比数列的公比的讨论： 应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公式q是否等于1
等比数列 2025年高考数学基础专项复习
>
m
>.
/m
（2）若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如： <
0<
>
m
>， <
/m
0<
>
m
>， <
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0<
>
m
>， <
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⋯<
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/m
说明 当 <
> 0<
>
m
>且 <
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≠ 1<
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m
>时， <
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=
>
m
1
⋅ <
>可以看成函数 >
/m
1 1−22
= 2.由2 = 9 ，得
1−2
=9
1 − 2 1 + 2 = 9 1 − 2 ,因为 ∈ ∗ ，所以1 − 2 ≠ 0，所以1 + 2 = 9，解得 = 3，故选B．
变式3 变条件已知等比数列{ }的各项满足+1 > ，2 = 3，且32，23 ，4 成等差数列.
>
m
>
/m
− + <
> ≠ 0, ≠ 0, ≠ 1 <
m
>.由此可知，数列 <
/m
{ }<
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m
>的图象是函数 <
/m
= − + <
>
m
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2019年高考数学等比数列知识点总结
1、会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列一些简单问题；提高分析、解决实际问题的能力。
2、通过公式的灵活运用，进一步渗透分类讨论的思想、等价转化的思想。
一、课前导入
1、等比数列的前n项和公式：
当时，①或②
当q=1时，
当已知，q，n时用公式①；当已知，q，时，用公式②
2、目前学过哪些数列的求和方法?
二、反馈纠正
例1、在等比数列中，为前n项的和，若=48，=60，求。
例2、在等比数列共有2n项，首项a1=1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数2n。
例3、数列满足a1=1，a2=2，且是公比为q的等比数列，设bn=a2n-1+a2n(n=1，2，3，)
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题，方法很简单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言
警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。
这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。
语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章，还有不少名家名篇。
如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落，对提高学生的水平会大有裨益。
现在，不少语文教师在分析课文时，把文章解体的支离破碎，总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲，学生头疼。
分析完之后，学生收效甚微，没过几天便忘的一干二净。
造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。
常言道“书读百遍，其义自见”，如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文，或细读、默读、跳读，或听读、范读、轮读、分角色朗读，学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧，可以在读中自然加强语感，增强语言的感受力。
久而久之，这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中，就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。
(1)求证：数列是等比数列；
要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确
模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
(2)求前n项的和。