等差、等比数列知识点总结

1 一、任意数列的通项na与前n项和nS的关系：)2()1(11nSSnSannn 二、等差数列 1、等差数列及等差中项定义

daann1

、211nnnaaa。

2、等差数列的通项公式：dnaan)1(1、dknaakn)( 当0d时，na是关于n的一次式；当0d时，na是一个常数。

3、等差数列的前n项和公式：2)(1nnaanS dnnnaSn2)1(1 4、等差数列}{na中，若qpnm，则qpnmaaaa 5、等差数列}{na的公差为d，则任意连续m项的和构成的数列mS、mmSS2、mmSS23、……仍为等差数列。 6、BAaAdBnAnSn122，， 7、在等差数列}{na中,有关nS的最值问题 利用nS（0d时，nS是关于n的二次函数）进行配方（注意n应取正整数） 三、等比数列 1、等比数列及等比中项定义：

qaann1、112nnnaaa

2、等比数列的通项公式： 11nnqaa knknqaa 3、等比数列的前n项和公式：当1q时，1naSn

当1q时，qqaSnn1)1(1 qqaaSnn11 4、等比数列}{na中，若qpnm，则qpnmaaaa 5、等比数列}{na的公比为q，且0nS,则任意连续m项的和构成的数列mS、mmSS2、

mmSS23、……仍为等比数列 6、0BABAqSnn，则 四、求数列}{na的最大的方法：

1-1nnnnaaaa

五、求数列}{na的最小项的方法：

1-1nnnnaaaa 例：已知数列}{na的通项公式为：32922nnan，求数列}{na的最大项。

例：已知数列}{na的通项公式为：nnnna10)1(9，求数列}{na的最大项。 2

数列求和方法总结 1、公式法 （1）等差数列

（2）等比数列

2、分组求和法 类型：数列{an}的通项公式形如an=bn±cn，而{bn}是等差数列，{cn}是等比数列。

例4：计算 的值

练习：求数列的前n项和Sn： 3、裂项相消法 常见裂项技巧：

(1)(2)13(3)11111122143181223132313231323121214121412234562121，，，…，，…；，，，…，，…；，＋，＋，…，＋＋＋…＋，…．()nnnnn









11)1)1(1111qqqaaq

qa

qnaSnn

n

4)]1([...321)4(23333nnn

6)12)(1(...321)3(2222nnnn

dnnnanaaSnn2)1(211

1111+3+5++(2-1)2482nn

;111)1(1)1(nnnn;111)2(nnnn



);121121(21)12)(12(1)3(nnnn

);121121(211)12)(12(11)12)(12()2()4(2nnnnnn

n 3

例5、化简 练习 4、倒序相加法 例5、 例6、1、已知2()22xxfx，

设123()()()()nnSffffnnnn，求nS 5、错位相减法 常应用于形如{an·bn}的数列求和,其中{an}为等差数列, {bn} 为等比数列.

例7、

练习：

练习：数列}{na的前n项和为nS，11a，121nnSa（1n） （1）求数列}{na的通项公式na （2）等差数列}{nb的各项为正数，且52b，又11ba，22ba，33ba成等比数列，求nb （3）求数列}{nnba的前n项和nT

.11341231121nn

.)12()12(1751531311的值求nnSn

...332211nnnaaaaaa特点：。89sin88sin3sin2sin1sin22222

1221-328252nnnS）（

12)21(1-3)21(82152nnnS）（

;321132112111)2(n

12413410474)3(nn）（ 4

数列通项公式方法总结 1、公式法 等差数列的通项公式： dnaan)1(1 dmnaamn)( 等比数列的通项公式： 11nnqaa

mnmnqaa

2、累加法

例1、 例2、 例3、

3、累乘法

例4、 练习：

))((1Nnnfaann类型：nnnaanaa求，,11211

nnnaanaa求，,12311nnnnaaaa求，,1311

))((1Nnnfaann类型：nnnnaaaa求，,3211

1111,,nnnnaaaan求

nnaS求、利用411 ,=1,2nnnSnaSSn







431,nnnSa例：求

))(1(31*NnaSnn练习：

.}{,,3,2,1,S311Sn}{)4(432n11n的通项公式的值及数列求，，且项和为的前、数列nnnaaaanaaa 5

5、取倒数 例6、已知数列{an}中，a1=1, an+1+3an+1an-an=0, 求数列{an}的通项公式. 6、取对数

例7、 7、构造法 主要用于形如an+1=c an+d的已知递推关系式求通项公式。 例8、a1=3,an+1=2an+3,求an

1nnnpaapqa类型：nnnnaaaaa求，、例,122511

1pnnaAa类型：nnnaaaa求,2,131

1111111,23 (2)691,nnnnnnaaaaaaaa

练习：(1)，求

，求

111,32nnnnaaaaa练习：，求

1122,1,nnnnaaaa求11123,1,nnnnaaaa求





111,,42(),1(1)2,;(2),.2nnnnnnnnnnnnasnsanNabaabacc





(5)、数列中是它的前和并且满足设求证是等比数列

设求证数列是等差数列

11(6)3,2(2)..nn

nnnnnaaansassna

、已知数列的首项通项与

前项和之间满足求数列的通项公式 6

8、特征根法 形如(其中p,q为常数)型

设pq，为实数，，是方程20xpxq的两个实根，数列{}nx满足1xp，22xpq，12nnnxpxqx



（34n，，…）． （1）证明：p，q；

（2）求数列{}nx的通项公式； （3）若1p，14q，求{}nx的前n项和nS．

111296,1,2,nnnnaaaaaa例、求11121044,1,2,nnnnaaaaaa例、求

121211,()nnnn

n

xxaAxBxxaABnx方法总结：若方程有两个根，则 若方程只有一个根，则+

111228,1,2,nnnnaaaaaa练习、求

111269,1,2,nnnnaaaaaa练习、求 7

1.若 ，求 11231{}1,23...(1)(2),__[1_.]__nnnnaaaaaanana

例已知数列满足

则

123123...(1)(2)nnaaaanan

1123223...(2)(3)nnaaaanan

11(1)(3)nnnaanan

1(3)nnanna

1 , 1 123, 22nnann







【例2】已知数列}{na、}{nb满足11a，32a，

)(2*1Nnbbnn，nnnaab1。

（1）求数列}{nb的通项公式；（2）求数列na的通项公式；（3）数列}{nc满足)1(log2nnac)(*Nn，

求13352121111nnnScccccc。

【解】（1）)(2*1Nnbbnn，又121312baa。所以数列}{nb是首项1b2，公比2q的等比数列。故112nnnbbq。

（2）*12()nnnaanN

112211()()...()nnnnnaaaaaaaa

122121122221nnnn。

（3）nacnnnn2log)112(log)1(log222，

212111111()(21)(21)22121nnccnnnn



13352121111nnnScccccc

111111(1)23352121nn



11(1)22121n

nn。