高三数学等比数列的性质
高三数学 第五模块 第3节等比数列的概念与性质课件 新人教A
(1)证明：由 a1＋S1＝1 及 a1＝S1 得 a1＝12. 又由 an＋Sn＝n 及 an＋1＋Sn＋1＝n＋1 得 an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1. ∴2(an＋1－1)＝an－1，即 2bn＋1＝bn. ∴数列{bn}是以 b1＝a1－1＝－12为首项，12为公比 的等比数列．
(2)∵{anan＋1}是公比为3的等比数列， ∴anan＋1＝3an－1an，即an＋1＝3an－1， ∴ a1 ， a3 ， a5 ， … ， a2n － 1 ， … 与 a2 ， a4 ， a6 ， … ， a2n，…都是公比为3的等比数列． ∴a2n－1＝2·3n－1，a2n＝3·3n－1， ∴bn＝a2n－1＋a2n＝5·3n－1.
解：要确定一个等比数列，只需求出它的首项a1和公 比q即可．利用已知条件，可得首项a1和公比q的两个方程， 解之可得数列{an}，从而S8可求得．
设数列{an}的首项为a1，公比为q，由已知条件得： a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24.(*) a3·a5＝(a1q3)2＝64.∴a1q3＝±8.
()
A．2
7 B.3
8 C.3
D．3
思路分析：观察题目的结构特点知，本题涉及S3，S6， S9之间的关系，可考虑用等比数列的前n项和的性质求解．
解析：根据等比数列的性质知，若 Sn 是等比数列 的前 n 项和(Sk≠0)，则 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(k∈N*)也 成等比数列，于是，S3，S6－S3，S9－S6 成等比数列．
考 纲 要 求
1.理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并 能用有关知识解决相应的问题．
4．了解等比数列与指数函数的关系．
2025届高三数学等比数列-一轮复习
2025届高三数学等比数列-一轮复习1.等比数列的概念(1)等比数列:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比都等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比常用字母q 表示(显然q ≠0),定义的表达式为a na n -1=q (n ∈N *,n ≥2)或a n+1a n =q (n ∈N *).(2)等比中项:若三个数a ,G ,b 成等比数列,则G 叫做a 与b 的等比中项,且有 .2.等比数列的有关公式(1)通项公式:a n = (n ∈N *);(2)前n 项和公式:S n ={na 1,q =1, ,q ≠1或S n ={na 1,q =1, ,q ≠1.3.等比数列的性质(1)通项公式的推广:a n =a m q n -m (n ,m ∈N *).(2)若数列{a n }为等比数列,且m +n =p +q ,则a m a n =a p a q (m ,n ,p ,q ∈N *).(3)若数列{a n }是等比数列,公比为q ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公比为q m 的等比数列.(4)如果等比数列{a n }的前n 项和为S n ,那么(S 2n -S n )2=S n (S 3n -S 2n ),如果公比q ≠-1或虽q =-1但n 为奇数时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列.不能认为在任何等比数列中,都有S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列（5）当等比数列{a n }的项数为偶数,公比为q 时,S 偶S 奇=q . 4、等比数列的单调性 当q >1,a 1>0或0<q <1,a 1<0时,{a n }是递增数列;当q >1,a 1<0或0<q <1,a 1>0时,{a n }是递减数列;当q =1时,{a n }是常数列;当q <0时,{a n }是摆动数列.常用结论 1.若数列{a n },{b n }为等比数列,则{λa n }(λ≠0),{|a n |},⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1,{a n 2},{a n b n },⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 仍为等比数列.2.若数列{a n }为公比不为1的等比数列,其前n 项和S n =A ·q n +B (A ≠0,B ≠0,q ≠0,q ≠1),则必有A +B =0;反之,若某一非常数列的前n 项和S n =A ·q n -A (A ≠0,q ≠0,q ≠1),则数列{a n }必为等比数列.3.若非零数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =ka n +b (k ≠0,k ≠1),则数列{a n }必为等比数列.题型一等比数列基本量的运算【例1】设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=().A.31B.32C.63D.64【对点1】在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.【对点2】已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84【对点3】若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+......+ln a20=.【对点4】等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=7,4 ,则a8=.S6=634题型二等比数列的性质【例2】(1)记S n为等比数列{a n}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=()A.120B.85C.-85D.-120(2)已知正项等比数列{a n}共有2n项,它的所有项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=.【对点1】已知{a n}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=_________. 【对点2】记S n为等比数列{a n}的前n项和,且1Sλ,则=5a=n⋅3-n___________.【对点3】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若6845,,3a a a 成等差数列，则=+6510a a S ___________. 【对点4】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,且436=S S ，则=69S S ___________.题型三等比数列的判定与证明【例3】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n +1=3a n -b n +4,4b n +1=3b n -a n -4.(1) 证明:{a n +b n }是等比数列【对点1】在数列{a n }中,a 1=1,且a n +1=2a n +n -1.（1）证明:数列{a n +n }为等比数列,并求出a n ;【对点2】已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1.(1)证明{a n +12}是等比数列,并求{a n }的通项公式;。
【全套】2021届新课改地区高三数学一轮专题复习——第35讲 等比数列(解析版)
为( )
A．－2＋ 2 2
B.－ 2
C. 2
D．－ 2或 2
(2)等比数列{an}的各项均为正数，且 a1a5＝4，则 log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________. 【答案】 (1)B (2)5 【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为 q，因为 a3，a15 是方程 x2＋6x＋2＝0 的两根，所以 a3·a15＝a29＝2，
1 (q4)3 1 (q4)2
1 23 1 22
7. 3
1 q
（2）：(基本量法) 设数列 an 的首项是 a1 ，公比为 q ，则由 a3 a2 4 ， a4 16 ，得
a1q a1q
2 3
a1q 16
4
解得
aq122 ， S3 a1 a2 a3 a1 a1q a1q2 2 4 8 14 .
项 a1＞0，公比 0<q<1 或首项 a1＜0，公比 q＞1，则数列为递减数列；若公比 q＝1，则数列为常数列；公比
q＜0，则数列为摆动数列．
1
an
(5)若{an}和{bn}均为等比数列，则{λan}(λ≠0)、{|an|}、an 、{a2n}、bn 、{manbn}(m≠0)仍为等比数列．
1 / 14
变式 2、 (1)[2018·如东中学]在等比数列{an}中，各项均为正值，且 a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则 a4＋a8＝
____； (2)[2016·常熟中学]等比数列{an}的首项 a1＝－1，前 n 项和为 Sn，若SS150＝3312，则公比 q＝___．
【答案】（1） 51（2）－1 2
解得
q＝1，代入①得 2
a1＝2，
高三数学等比数列的性质
恒大ems系统登录
[单选]下列不属于并励直流电动机（）。A.绕组导线截面小B.绕组匝数少C.励磁绕组和电枢绕组并联D.机械特性硬 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于疼痛康复治疗叙述不正确的是（）A.药物治疗是疼痛治疗中最基本、最常用方法B.物理治疗是疼痛治疗中最基本、最常用方法C.神经病理性疼痛是急性疼痛中治疗较差的疼痛D.神经病理性疼痛需要合并使用抗痉厥药和三环类抗抑郁药E.镇痛药是主要作用于中枢神经 [单选]将某个证据与本案其他证据联系起来进行综合对比分析，加以认证，这种证据的审查方法是（）。A.整合认证法B.资格确认法C.对照分析法D.比较取舍法 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于上运动神经元瘫和下运动神经元瘫的区别以下表述错误的是（）。A.上运动神经元瘫为痉挛性瘫，下运动神经元瘫为弛缓性瘫B.上运动神经元瘫肌张力升高，下运动神经元瘫肌张力减低C.下运动神经元瘫肌萎缩显著，且早期出现D.上运动神经元瘫有肌束颤动E.上运 [单选]旅客列车发生（）人以上食物中毒时，列车长应及时通知前方停车站和所在站的卫生防疫部门。A、4B、3C、1D、6 [单选]设L是以O（0，0）、A（1，0），B（0，1）为顶点的三角形的边界，则（x+y）ds的值为（）A.-B.1-2C.1+D.-1+ [填空题]早期商业票据的发展和运用几乎都在（），发行者主要是（）、（）、（）等非金融性企业。主要购买者（）。60年代得到迅速发展，现在已扩展到（）、（）、（）、（）、（）等。 [判断题]放射性脊髓炎和脑病病人，如有残余癌灶或局部复发，应再次使用放射治疗。A.正确B.错误 [单选,A2型题,A1/A2型题]心绞痛发作性胸痛部位在（）A.胸骨体中段或上段之后且向左肩、左臂内侧放射B.胸骨后且向左肩、左臂外侧放射C.胸骨上段且向右肩背部放射D.心尖区且向左肩、左臂内侧放射E.剑突附近向右肩、右臂内侧放射 [单选]大跨径劲性骨架混凝土拱桥拱圈浇筑前应进行()。A.施工观测B.加载程序设计C.施工组织设计D.方案调整 [单选]单手摇壶的操作要领是（）A.尽量使手腕用力，做到动作连贯B.摇动的力量要小，节奏要慢C.尽量使手臂用力，摇动的力量要小D.摇动的速度要慢，节奏要慢 [填空题]电气化铁路接触网停电检修时，禁止向停电区放行（）及动车组。司机发现不符合此项规定时，应立即降下受电弓并（）。 [问答题,简答题]什么是高效连铸机？ [配伍题,B1型题]治疗慢性贫血可首选（）</br>治疗脓毒症可首选（）A.浓缩白蛋白液B.新鲜冰冻血浆（FFP）C.浓缩红细胞D.浓缩粒细胞E.右旋糖酐 [单选]下列关于Hailey-Hailey病的描述，错误的是()A．是一种常染色体显性遗传病B．致病基因定位于3q21-q22C．预后常留有瘢痕D．一般10～30岁发病 [单选]信息处理的步骤不包括（）。A.信息筛选B.信息交流C.信息存储D.信息使用 [单选]论文的主题、对象应主要来源于（）A、实际B、书本C、个人想象 [单选,A2型题,A1/A2型题]破伤风抗毒素过敏试验阳性病员的处理是（）A.不能注射B.将破伤风抗毒素分四等份，分次注射C.将破伤风抗毒素分五等份，分次注射D.将破伤风抗毒素剂量逐渐递减，分次注射E.将破伤风抗毒素剂量逐渐递增，分次注射 [单选,A2型题,A1/A2型题]不符合β-地中海贫血杂合子的是（）A.β-R链合成减少B.HbA减少C.HbA2减少D.HbF增高E.以上都不是 [单选]VHFDSC的工作频率是156.525MHz，其波长是（）。A、1.9千米B、0.0019米C、1.9米D、无法计算 [单选]平面投影又称方位投影，其中透视点在球心的心射投影在航海上常被用来绘制（）。A．大圆海图B．大比例尺港湾图C．极区海图D．以上都是 [名词解释]临床药理学 [单选]采用同高并列式的催化裂化装置反应器压力与再生器压力相比（）。A、相近B、高C、低D、无法确定 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于湿热病邪（包括暑湿病邪）深入气分涉及病变部位的描述，错误的是？（）A.脾B.膜原C.胆腑D.肠腑E.心包 [单选]王女士，28岁，已婚，未孕，其子宫峡部长度约为（）。A.0.5cmB.1.0cmC.1.5cmD.2.0cmE.2.5cm [单选]痹证日久，肝肾亏损，首选方剂是（）A.蠲痹汤B.三痹汤C.桃仁饮D.独ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ寄生汤E.炙甘草汤 [单选]关于寰枢关节叙述正确的是（）A.可使头部做前俯、后仰和侧屈运动B.两侧关节间隙常不对称C.可使头部做旋转运动D.属于联合关节E.由寰椎两侧的下关节面与枢椎的上关节面构成 [多选]关于人身权与财产权之间的联系，正确的有（）。A.人身权是某些财产权取得的前提B.人身权可以转化为财产权C.可以对受到损害的人身权进行财产性补偿D.人身权属于非财产性权利，没有任何财产权的属性 [单选]手三阳的循行是（）A.从胸走手B.从头走手C.从手走胸D.从手走足E.从手走头 [单选,A2型题,A1/A2型题]根据面神经损伤的程度，面神经的病理生理改变不包括（）。A.神经失用B.神经外膜损伤C.轴索断伤D.神经痉挛E.神经断伤 [单选]当隧道顶部围堰中有缓倾夹泥结构面存在时，要特别警惕()。A.碎块崩落B.碎块坍塌C.墙体滑塌D.岩体塌方 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于原子核结构的叙述，错误的是（）A.原子均由核及核外电子组成B.电子沿一定轨道绕核旋转C.核外电子具有不同壳层D.K层最多容纳8个电子E.K层电子半径最小 [问答题,论述题]试述番茄高密度一穗果栽培要点。 [单选]公孙穴位于（）。A.第1跖骨小头后缘，赤白肉际处B.第1跖骨小头前缘，赤白肉际处C.第1跖骨趾关节部，赤白肉际处D.第1跖骨基底部前下缘，赤白肉际处E.第1跖骨基底部后下缘，赤白肉际处 [判断题]银行应当按照《个人外汇管理办法》规定为个人办理外汇收付、结售汇几开立外汇账户等业务，对个人提交的有效身份证件及相关证明材料的真实性进行审核。A.正确B.错误 [单选]外阴肿瘤中最常见的病理类型是（）A.恶性黑色素瘤B.基底细胞癌C.鳞状细胞癌D.汗腺癌E.前庭大腺癌 [多选]下列对安全技术交底主要内容的叙述，（）是正确的。A.安全负责人的电话B.针对危险部位采取的具体防范措施C.作业中应注意的安全事项D.作业人员应遵守的安全操作规程和规范 [单选]雨期填筑路堤需借土时，取土坑距离填方坡脚不宜小于()。A．0．8mB．1mC．2mD．3m [单选]褶皱构造是（）。A.岩层受构造力作用形成一系列波状弯曲且未丧失连续性的构造B.岩层受构造力作用形成一系列波状弯曲且丧失连续性的构造C.岩层受水平挤压力作用形成一系列波状弯曲而丧失连续性的构造D.岩层受垂直力作用形成一系列波状弯曲而丧失连续性的构造 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪项不是湿淫证的特点（）A.易阻遏气机B.多损伤阳气C.只能从寒化D.病程黏滞缠绵E.病性重浊趋下
3 第3讲 等比数列及其前n项和
第3讲 等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔G 2＝ab ．“a ，G ，b 成等比数列”是“G 是a 与b 的等比中项”的充分不必要条件． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)． 4．等比数列的单调性当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列； 当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列． 5．等比数列与指数函数的关系当q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n，可以看成函数y ＝cq x ，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( ) (3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (4)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (5)等比数列中不存在数值为0的项．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ [教材衍化]1．(必修5P54A 组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12，12×4＝48. 答案：12，482．(必修5P51例3改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝________．解析：由题意知q 3＝a 5a 2＝18，所以q ＝12.答案：123．(必修5P61A 组T1改编)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则{a n }的通项公式a n ＝________．解析：因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝－132，因为S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，所以q 5＝－132，q ＝－12，则a n ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝－⎝⎛⎭⎫－12n －1.答案：－⎝⎛⎭⎫－12n －1[易错纠偏](1)忽视项的符号判断； (2)忽视公比q ＝1的特殊情况； (3)忽视等比数列的项不为0.1．在等比数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝16，则a 3与a 7的等比中项为________．解析：设a 3与a 7的等比中项为G ，因为a 3＝4，a 7＝16，所以G 2＝4×16＝64，所以G＝±8.答案：±82．数列{a n }的通项公式是a n ＝a n (a ≠0)，则其前n 项和S n ＝________．解析：因为a ≠0，a n ＝a n ，所以{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时S n ＝a （1－a n ）1－a.答案：⎩⎪⎨⎪⎧n ，a ＝1，a （1－a n ）1－a，a ≠0，a ≠13．已知x ，2x ＋2，3x ＋3是一个等比数列的前三项，则x 的值为________． 解析：因为x ，2x ＋2，3x ＋3是一个等比数列的前三项， 所以(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)， 即x 2＋5x ＋4＝0， 解得x ＝－1或x ＝－4.当x ＝－1时，数列的前三项为－1，0，0， 不是等比数列，舍去． 答案：－4等比数列的基本运算(高频考点)等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中、低档题．主要命题角度有：(1)求首项a 1、公比q 或项数n ； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．角度一 求首项a 1、公比q 或项数n(1)已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19D ．－19(2)设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q ＝________． 【解析】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1，得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9， 又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.(2)当q ≠1时，a 1（1－q 3）1－q ＝3a 1q 2，解得q ＝1(舍去)或－12.当q ＝1时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 3也成立．【答案】 (1)C (2)1或－12角度二 求通项或特定项已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，则a n ＝________．【解析】 由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.【答案】12n－1角度三 求前n 项和(2020·温州模拟)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．【解析】 设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝1－2n1－2＝2n －1.【答案】 2n －1解决等比数列有关问题的三种常见思想方法(1)方程思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论思想：因为等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，所以当某一参数为公比进行求和时，就要对参数是否为1进行分类讨论．(3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n 或a 11－q当成整体进行求解．1．设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，由已知a 1＝1，a 3＝4，得q 2＝a 3a 1＝4.又{a n }的各项均为正数，所以q ＝2.而S k ＝1－2k1－2＝63，所以2k －1＝63， 解得k ＝6.2．(2020·绍兴市柯桥区高三期中考试)已知正数数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n 和2的等比中项等于a n 和2的等差中项，则a 1＝________，S n ＝________．解析：由题意知a n ＋22＝2S n ，平方可得S n ＝（a n ＋2）28，①由a 1＝S 1得a 1＋22＝2a 1，从而可解得a 1＝2.又由①式得S n －1＝（a n －1＋2）28(n ≥2)，②①－②可得a n ＝S n －S n －1＝（a n ＋2）28－（a n －1＋2）28(n ≥2)，整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0，因为数列{a n }的各项都是正数， 所以a n －a n －1－4＝0，即a n －a n －1＝4.故数列{a n }是以2为首项4为公差的等差数列， 所以S n ＝2n ＋n （n －1）2×4＝2n 2.当n ＝1时，S 1＝a 1＝2. 故S n ＝2n 2. 答案：2 2n 2等比数列的判定与证明(1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，a 3a 5＝4，则下列说法正确的是( )A ．{a n }是单调递减数列B ．{S n }是单调递减数列C ．{a 2n }是单调递减数列D ．{S 2n }是单调递减数列(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.①求a 4的值；②证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．【解】 (1)选C.由于{a n }是等比数列，则a 3a 5＝a 24＝4，又a 2＝12，则a 4＞0，a 4＝2，q 2＝16，当q ＝－66时，{a n }和{S n }不具有单调性，选项A 和B 错误；a 2n ＝a 2q 2n －2＝12×⎝⎛⎭⎫16n －1单调递减，选项C 正确；当q ＝－66时，{S 2n }不具有单调性，选项D 错误． (2)①当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4(1＋32＋54＋a 4)＋5⎝⎛⎭⎫1＋32＝8⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋1， 解得a 4＝78.②证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．因为 4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n ＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n＝2a n ＋1－a n2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．(变问法)在本例(2)条件下，求数列{a n }的通项公式． 解：由本例(2)的②知，a n ＋1－12a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1， 即a n ＋1⎝⎛⎭⎫12n ＋1－a n⎝⎛⎭⎫12n ＝4. 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ⎝⎛⎭⎫12n 是以a 112＝2为首项，4为公差的等差数列，所以a n⎝⎛⎭⎫12n ＝2＋4(n －1)＝4n －2，即a n ＝(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n －1.等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列的通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均为不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0，1)，则{a n }是等比数列．[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．(2020·瑞安市龙翔中学高三月考)各项为正的数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a 2nλ＋a n (n ∈N *)． (1)取λ＝a n ＋1，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是等比数列，并求其公比； (2)取λ＝2时令b n ＝1a n ＋2，记数列{b n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项之积为T n ，求证：对任意正整数n ，2n ＋1T n ＋S n 为定值．解：(1)由λ＝a n ＋1，得a n ＋1＝a 2na n ＋1＋a n ，所以a 2n ＋1－a n ＋1a n －a 2n ＝0.两边同除a 2n 可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2－a n ＋1a n －1＝0， 解得a n ＋1a n ＝1±52.因为a n >0，所以a n ＋1a n ＝1＋52为常数，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋1a n 是等比数列，公比为1＋52.(2)证明：当λ＝2时，a n ＋1＝a 2n2＋a n ，得2a n ＋1＝a n (a n ＋2)， 所以b n ＝1a n ＋2＝12·a na n ＋1.所以T n ＝b 1·b 2…b n ＝⎝⎛⎭⎫12·a 1a 2⎝⎛⎭⎫12·a 2a 3…⎝ ⎛⎭⎪⎫12·a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n a 1a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ＋11a n ＋1， 又b n ＝12·a n a n ＋1＝a 2n2a n a n ＋1＝2a n ＋1－2a n 2a n a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1a 1－1a n ＋1＝2－1a n ＋1，故2n ＋1T n ＋S n ＝2n ＋1·⎝⎛⎭⎫12n ＋11a n ＋1＋2－1a n ＋1＝2为定值．等比数列的性质(高频考点)等比数列的性质是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，其难度为中等．主要命题角度有：(1)等比数列项的性质的应用； (2)等比数列前n 项和的性质的应用． 角度一 等比数列项的性质的应用(1)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则a 1a 17a 9的值为( )A ．2 2B ．4C ．－22或2 2D ．－4或4(2)(2020·温州八校联考)数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，则使不等式a 21＋a 22＋…＋a 2n <5×2n＋1成立的n 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 (1)因为a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根， 所以a 3a 15＝8，a 3＋a 15＝6，易知a 3，a 15均为正，由等比数列的性质知，a 1a 17＝a 29＝a 3a 15＝8， 所以a 9＝22，a 1a 17a 9＝22，故选A. (2)因为a n ＝2n －1，a 2n ＝4n －1， 所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×（1－4n ）1－4＝13(4n －1)． 因为a 21＋a 22＋…＋a 2n <5×2n ＋1， 所以13(4n －1)<5×2n ＋1，因为2n (2n －30)<1，对n 进行赋值，可知n 的最大值为4. 【答案】 (1)A (2)C角度二 等比数列前n 项和的性质的应用等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5【解析】 法一：因为{a n }为等比数列，所以a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项，所以(a 5＋a 7)2＝(a 1＋a 3)·(a 9＋a 11)，故a 9＋a 11＝（a 5＋a 7）2a 1＋a 3＝428＝2.同理，a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项， 所以(a 9＋a 11)2＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)， 故a 13＋a 15＝（a 9＋a 11）2a 5＋a 7＝224＝1.所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3. 法二：在等比数列{a n }中， 得q 4＝a 5＋a 7a 1＋a 3＝12， 所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝q 8(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝14(8＋4)＝3.【答案】 C等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形； (2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．1．已知等比数列{a n }中，a 4＋a 8＝－2，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．－9解析：选A.a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2，因为a 4＋a 8＝－2，所以a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝4.2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D.558解析：选A.因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.3．(2020·杭州学军中学高三月考)已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a n ＋ma m＝a n ，则a 3＝________；{a n }的前n 项和S n ＝________． 解析：因为a n ＋ma m ＝a n ，所以a n ＋m ＝a n ·a m ，所以a 3＝a 1＋2＝a 1·a 2＝a 1·a 1·a 1＝23＝8； 令m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为a 1＝2，公比q ＝2的等比数列， 所以S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.答案：8 2n ＋1－2思想方法系列4 分类讨论思想求解数列问题等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1，得S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n (n ＋2)，则c n ＝⎩⎨⎧2n （n ＋2），n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即c n＝⎩⎨⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，所以T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋2（1－4n ）1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1)．分类讨论思想在数列中应用较多，常见的分类讨论有： (1)已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况． (2)等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论． (3)项数的奇、偶数讨论．(4)等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论．1．(2020·宁波模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选A.法一：当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＋λ. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此时a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2.因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝2，即44＋λ＝2，解得λ＝－2.故选A. 法二：依题意，a 1＝S 1＝4＋λ，a 2＝S 2－S 1＝4，a 3＝S 3－S 2＝8，因为{a n }是等比数列，所以a 22＝a 1·a 3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A.2．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0)∪[1，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：选D.设等比数列{a n }的公比为q ， 则S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝⎛⎭⎫1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q . 当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q＝3，当且仅当q ＝1时，等号成立； 当公比q <0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎫－q －1q ≤1－2（－q ）·⎝⎛⎭⎫－1q ＝－1，当且仅当q ＝－1时，等号成立．所以S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．[基础题组练]1．(2020·宁波质检)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：选B.在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.2．(2020·衢州模拟)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( )A.12B.1716 C ．2D ．17解析：选B.设{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B.3．(2020·瑞安四校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：选C.由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，所以a 21＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，所以a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211.4．(2020·丽水市高考数学模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，下列结论一定成立的是( )A ．a 1＋a 3≥2a 2B ．a 1＋a 3≤2a 2C ．a 1S 3>0D ．a 1S 3<0解析：选C.选项A ，数列－1，1，－1为等比数列，但a 1＋a 3＝－2<2a 2＝2，故A 错误；选项B ，数列1，－1，1为等比数列，但a 1＋a 3＝2>2a 2＝－2，故B 错误；选项D ，数列1，－1，1为等比数列，但a 1S 3＝1>0，故D 错误；对于选项C ，a 1(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 21(1＋q ＋q 2)，因为等比数列的项不为0，故a 21>0，而1＋q ＋q 2＝⎝⎛⎭⎫q ＋122＋34>0，故a 21(1＋q ＋q 2)>0，故C 正确．5．(2020·郑州市第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A ．(13，＋∞)B ．[13，＋∞)C ．(23，＋∞)D ．[23，＋∞)解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a na 1a 2a 3…a n －1＝2n 22（n －1）2＝2n2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列{1a n }是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列{1a n }的前n 项和等于12（1－14n ）1－14＝23(1－14n )<23，因此实数t 的取值范围是[23，＋∞)，选D.6．(2020·江南十校联考)设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，T n 是{a n }的前n 项之积，a 2＝27，a 3a 6a 9＝127，则当T n 最大时，n 的值为( )A ．5或6B ．6C ．5D ．4或5解析：选D.数列{a n }是各项均为正数的等比数列，因为a 3a 6a 9＝127，所以a 36＝127，所以a 6＝13.因为a 2＝27，所以q 4＝a 6a 2＝1327＝181，所以q ＝13.所以a n ＝a 2q n －2＝27×⎝⎛⎭⎫13n －2＝⎝⎛⎭⎫13n －5.令a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －5＝1，解得n ＝5，则当T n 最大时，n 的值为4或5.7．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 25＝a 10，得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q .又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2⎝⎛⎭⎫q ＝12舍去，所以a n ＝a 1·q n －1＝2n .答案：2n8．已知等比数列{a n }的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为________．解析：由题意得a 1＋a 3＋…＝85，a 2＋a 4＋…＝170， 所以数列{a n }的公比q ＝2，由数列{a n }的前n 项和公式S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，得85＋170＝1－2n1－2，解得n ＝8.答案：89．(2020·温州市十校联合体期初)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列， 则2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，若q ＝1，则S n ＝na 1，等式显然不成立，若q ≠1，则为2·a 1（1－q n ）1－q ＝a 1（1－q n ＋1）1－q ＋a 1（1－q n ＋2）1－q ，故2q n ＝q n ＋1＋q n ＋2， 即q 2＋q －2＝0， 因此q ＝－2. 答案：－210．(2020·台州市高考模拟)已知数列{a n }的前m (m ≥4)项是公差为2的等差数列，从第m －1项起，a m －1，a m ，a m ＋1，…成公比为2的等比数列．若a 1＝－2，则m ＝________，{a n }的前6项和S 6＝________．解析：由a 1＝－2，公差d ＝2，得a m －1＝－2＋2(m －2)＝2m －6， a m ＝－2＋2(m －1)＝2m －4，则a ma m －1＝2m －42m －6＝2，所以m ＝4；所以S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6 ＝－2＋0＋2＋4＋8＋16＝28. 答案：4 2811．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.解：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. (2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0， 解得q ＝－5，q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.12．(2020·瑞安市龙翔中学高三月考)已知数列{a n }是首项为2的等差数列，其前n 项和S n 满足4S n ＝a n ·a n ＋1.数列{b n }是以12为首项的等比数列，且b 1b 2b 3＝164.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意n ∈N *不等式1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≥14λ－12T n 恒成立，求λ的取值范围．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得4a 1＝a 1(a 1＋d )，解得d ＝2，所以a n ＝2n ，由b 1b 2b 3＝b 32＝164⇒b 2＝14， 从而公比q ＝b 2b 1＝12，所以b n ＝⎝⎛⎭⎫12n.(2)由(1)知1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ，所以对任意n ∈N *，1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≥14λ－12T n等价于32－1n ＋1－12n ＋1≥14λ，因为32－1n ＋1－12n ＋1对n ∈N *递增，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－12n ＋1min ＝32－12－14＝34，所以34≥14λ⇒λ≤3，即λ的取值范围为(－∞，3]．[综合题组练]1．(2020·丽水模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n ＞1的n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.因为{a n }是各项均为正数的等比数列且a 2a 4＝a 3，所以a 23＝a 3，所以a 3＝1.又因为q ＞1，所以a 1＜a 2＜1，a n ＞1(n ＞3)，所以T n ＞T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1＜1，T 2＝a 1·a 2＜1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2＜1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1＜1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6＞1，故n 的最小值为6，故选C.2．(2020·温州十校联合体期初)已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列(b n >0)．( )A ．若b 7≤a 6，则b 4＋b 10≥a 3＋a 9B ．若b 7≤a 6，则b 4＋b 10≤a 3＋a 9C ．若b 6≥a 7，则b 3＋b 9≥a 4＋a 10D ．若b 6≤a 7，则b 3＋b 9≤a 4＋a 10解析：选C.因为数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列(b n >0)， 在A 中，因为b 7≤a 6，b 4＋b 10≥2b 4b 10＝2b 7，a 3＋a 9＝2a 6，所以b 4＋b 10≥a 3＋a 9不一定成立，故A 错误； 在B 中，因为b 7≤a 6，b 4＋b 10≥2b 4b 10＝2b 7，a 3＋a 9＝2a 6，所以b 4＋b 10≤a 3＋a 9不一定成立，故B 错误； 在C 中，因为b 6≥a 7，所以b 3＋b 9≥2b 3·b 9＝2b 6，a 4＋a 10＝2a 7，所以b 3＋b 9≥a 4＋a 10，故C 正确；在D 中，因为b 6≤a 7，所以b 3＋b 9≥2b 3·b 9＝2b 6，a 4＋a 10＝2a 7，所以b 3＋b 9≤a 4＋a 10不一定成立，故D 错误．3．已知直线l n ：y ＝x －2n 与圆C n ：x 2＋y 2＝2a n ＋n 交于不同的两点A n ，B n ，n ∈N *，数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝14|A n B n |2，则数列{a n }的通项公式为________．解析：圆C n 的圆心到直线l n 的距离d n ＝|2n |2＝n ，半径r n ＝2a n ＋n ，故a n ＋1＝14|A n B n |2＝r 2n －d 2n ＝2a n ，故数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，故a n ＝2n －1(n ∈N *)．答案：a n ＝2n －1(n ∈N *)4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m ，n 都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n <a 恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：因为a m ＋n ＝a m ·a n ，令m ＝1得a n ＋1＝a 1·a n ，即a n ＋1a n ＝a 1＝13，所以{a n }为等比数列，所以a n ＝13n ，所以S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝12⎝⎛⎭⎫1－13n <12，所以a ≥12.故a 的最小值为12. 答案：125．(2020·温州瑞安七中高考模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1，2，…(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．解：(1)因为对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列，于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3. (2)证明：(必要性)：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q .由a n >0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是B （n ）A （n ）＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q （a 1＋a 2＋…＋a n ）a 1＋a 2＋…＋a n ＝q ，C （n ）B （n ）＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q （a 2＋a 3＋…＋a n ＋1）a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q ，即B （n ）A （n ）＝C （n ）B （n ）＝q ，所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列；(充分性)：若对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则 B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )，于是C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，即a n ＋2－a 2＝ q (a n ＋1－a 1)，亦即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1. 由n ＝1时，B (1)＝qA (1)， 即a 2＝qa 1，从而a n ＋2－qa n ＋1＝0. 因为a n >0，所以a n ＋2a n ＋1＝a 2a 1＝q .故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．6．(2020·杭州市七校高三联考)已知等比数列{a n }的公比为q (0<q <1)，且a 2＋a 5＝98，a 3a4＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·(log 2a n )，求{b n }的前n 项和T n ；(3)设该等比数列{a n }的前n 项和为S n ，正整数m ，n 满足S n －m S n ＋1－m <12，求出所有符合条件的m ，n 的值．解：(1)由等比数列的性质可知a 3a 4＝a 2a 5＝18，a 2＋a 5＝98，所以a 2，a 5是方程x 2－98x ＋18＝0的两根，由题意可知a 2>a 5， 解得a 2＝1，a 5＝18，由等比数列的性质可知a 5＝a 2·q 3，解得q ＝12，a n ＝a 2·⎝⎛⎭⎫12n －2＝⎝⎛⎭⎫12n －2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －2.(2)由(1)可知b n ＝a n ·(log 2a n )＝2－n 2n －2，{b n }的前n 项和T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2＋0＋⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－222＋⎝⎛⎭⎫－323＋…＋2－n 2n －2， 12T n ＝1＋0＋⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－223＋⎝⎛⎭⎫－324＋…＋2－n 2n －1， 两式相减可得12T n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋18＋…＋12n －2－2－n 2n －1＝1－12－12n －11－12－2－n 2n －1 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －2－2－n 2n －1＝12n －2－2－n 2n －1 ＝n2n －1， 所以T n ＝n 2n －2. (3)因为S n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ， 由S n －mS n ＋1－m <12⇒2<2n (4－m )<6， 2n (4－m )为偶数，因此只能取2n (4－m )＝4，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝24－m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝44－m ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2m ＝3.。
高三数学等比数列的性质
[名词解释]混响时间 [单选]石油钻井是一项复杂的系统工程，是（）油气田的主要手段。A.勘探B.开发C.勘探和开发D.评价 [名词解释]逆止门 [问答题,简答题]何为指示指标？何为有效指标？ [单选]目前，生产部门大量采用地球化学分析的方法，来（）认识生油气层。A.估计B.定性C.定量D.线性 [单选]低频信号发生器的频率波段钮在100～1KHz，“×1”钮在“4”，“×0.1”钮在“6”，“×0.01”钮在“5”则此时仪器输出信号的频率为（）。A、465HZB、465KHZC、46.5HZD、46.5KHZ [单选]以合同的成立是否以标的物的交付为必要条件为标准划分，合同可以分为（）。A.双务合同和单务合同B.诺诚合同和实践合同C.主合同和从合同D.有名合同和无名合同 [单选]平瓦屋面下，聚合物改性沥青防水垫层的搭接宽度为（）。A.60mmB.70mmC.80mmD.100mm [问答题,案例分析题]背景： [单选]正反转控制线路中，为避免正反转接触器同时得电动作，线路采取了（）。A.自锁控制B.联锁控制C.位置控制D.时间控制 [单选]下列不属于串励直流电动机的特点（）A.绕组导线截面粗B.绕组匝数少C.励磁绕组和电枢绕组串联D.需提供两个电源 [单选]以下治疗甲状腺危象的方案中，最完善的是（）A.抗甲状腺药物、强心药、镇静剂、抗生素B.抗甲状腺药物、强心药、镇静剂、β受体阻滞剂C.大剂量抗甲状腺药物、糖皮质激素、镇静剂D.大剂量丙硫氧嘧啶、大量复方碘溶液、糖皮质激素、β受体阻滞剂E.大剂量复方碘溶液、糖 [单选]承担自动喷水灭火系统中洒水喷头、水流指示器、压力开关、湿式报警阀等产品市场准入检验的检验机构是（）。A、国家固定灭火系统和耐火构件质量监督检验中心B、国家消防装备质量监督检验中心C、国家消防电子产品质量监督检验中心D、国家防火建筑材料质量监督检验中心 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列可引起局部水肿的是（）。A.黏液性水肿B.丝虫病C.重度烧伤D.肾病综合征E.肝硬化 [单选]下列哪一项是胎儿循环的遗迹A.镰状韧带B.肝十二指肠韧带C.肝静脉韧带D.冠状韧带E.以上都不是 [单选]下列各项肺功检查结果，哪项与阻塞性肺气肿不符合（）A.RV/TLC>40%B.MVV低于预计值的80%C.FEV/FVC<60%D.肺泡氮浓度>2.5%E.流速.容量曲线大致正常 [单选]以下哪一项不是牙髓退行性变()A．纤维性变B．脂肪性变C．牙内吸收D．牙髓钙化E．牙外吸收 [单选,A1型题]未经有关部门批准，医师擅自开办诊所，卫生行政部门可采取的措施不包括（）A.没收违法所得B.责令赔偿患者损失C.没收药品、器械D.吊销执业证书E.取缔 [问答题,简答题]写出香农公式，并说明其物理意义。当信道带宽为5000Hz，信噪比为30dB时求信道容量。 [多选]桥梁拆除施工应根据拆除工程施工现场作业环境，制定相应的消防安全措施，施工现场应设置（）等设施和器材。A.消防车通道B.消火栓C.报警器D.应急救援车E.灭火器材 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪项用当归四逆汤主治？（）A.手足厥，脉微细B.手足厥，脉洪大C.手足厥，脉细欲绝D.手足厥，脉沉紧E.手足厥，脉弦细 [单选]最常见的鼻咽部良性肿瘤是()A．纤维瘤B．血管瘤C．脂肪瘤D．鼻咽纤维血管瘤E．乳头状瘤 [单选]微波中继通信中继方式中，适于不需要上下话路的方式是（）.A.直接中继B.外差中继C.基带中继 [单选]应设立（）部门产值，第二信息部门等指标。A.第一信息B.第二信息C.第三信息D.第四信息 [单选]民航VHF收发信机的工作方式为（）。A.单工B.双工C.半双工 [填空题]客运经营者在旅客运输途中擅自变更运输车辆或者将旅客移交他人运输的，由（）责令改正，处1000元以上3000元以下的罚款；情节严重的，由原许可机关吊销《道路运输经营许可证》。 [单选,A1型题]建立医患关系的原则是（）。A.疾病性质和病人年龄B.疾病性质和病人的人格特征C.疾病病程和病人的经济状况D.病人的文化程度和情绪反应E.病人的社会地位和经济状况 [单选]颅底部横轴位MR扫描，图像前部出现半环形无信号区，可能为（）。A.化学位移伪影B.金属异物伪影C.卷褶伪影D.截断伪影E.搏动伪影 [多选]在台风威胁中，以下做法正确的为（）。A.自航施工船舶拆卸主机进行修理B.跟踪记录、标绘、分析台风动向C.召开防台会议，部署防台工作D.备足防台期间的粮食、肉菜以及足够的淡水、燃油E.施工船舶立即拆卸锚机进行紧急修理 [单选]关于阴道上段淋巴引流，下列哪项不正确？（）A.大部分汇入闭孔淋巴结与髂内淋巴结B.小部分汇入髂外淋巴结C.与阴道下段引流基本相同D.与宫颈引流基本相同E.不注入腹股沟淋巴结 [判断题]根据企业生产经营特点和管理要求，单步骤、大量生产的产品一般采用品种法计算产品成本。()A.正确B.错误 [单选,A2型题,A1/A2型题]面部色泽的变化可反映脏腑气血的变化，若面色白多为（）A.心血不足B.肾虚C.气虚D.气血两虚E.以上均不是 [单选]从下列药物中选出治疗耐甲氧西林金黄色葡萄球菌感染最为有效的药物()A．半合成青霉素B．二代头孢菌素C．三代头孢菌素D．碳氢酶烯类抗生素E．多肽类抗生素 [单选]行全子宫及单侧附件切除术时，切除下列哪项最不易损伤输尿管？（）A.骨盆漏斗韧带B.卵巢固有韧带C.子宫骶骨韧带D.子宫动脉E.主韧带 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于肝性脑病，正确的是（）A.一期脑电图轻度异常B.二期Babinski征阳性C.三期腱反射减弱或消失D.四期有扑翼样震颤E.一期患者出现精神症状 [单选,A1型题]下列关于汤剂服用量说法错误的是（）A.成人服用量一般每次约300ml，每日2～3次B.儿童服用量一般每次75ml，每日2次C.小儿服药，宜浓缩体积D.对病情危重者，应遵照医嘱服药E.小儿服药，以少量多次为好 [填空题]设备检修吹扫时间一般是：塔为（）小时，容器为（）小时。 [单选]女，29岁，头痛、头昏10年，伴记忆力下降，根据所提供图像，最可能的诊断是()A．胶样囊肿B．蛛网膜囊肿C．胶质瘤D．室管膜瘤E．表皮样囊肿 [名词解释]比模量与断裂长度 [填空题]不符合《中华人民共和国道路运输条例》第九条、第二十三条规定条件的人员驾驶道路运输经营车辆的，由县级以上道路运输管理机构责令改正，处200元以上（）元以下的罚款；构成犯罪的，依法追究刑事责任。
高三数学一轮复习精品教案――数列
城东蜊市阳光实验学校2021届高三数学一轮复习精品教案――数列〔附高考预测〕一、本章知识构造： 二、重点知识回忆 １．数列的概念及表示方法〔１〕定义：按照一定顺序排列着的一列数．〔２〕表示方法：列表法、解析法〔通项公式法和递推公式法〕、图象法．〔３〕分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．〔４〕n a 与n S 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．2．等差数列和等比数列的比较〔１〕定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数〔不为0〕的数列叫做等比数列． 〔２〕递推公式：110n n n n a a d a a q q n *++-==≠∈N ，·，，．〔３〕通项公式：111(1)n n n a a n d a a q n -*=+-=∈N ，，．〔４〕性质等差数列的主要性质：①单调性：0d ≥时为递增数列，0d ≤时为递减数列，0d =时为常数列．②假设m n p q +=+，那么()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．特别地，当2m n p +=时，有2m n p a a a +=．③()()nm a a n m d m n *-=-∈N ，．④232k k k k k S S S S S --，，，…成等差数列．等比数列的主要性质：①单调性：当1001a q <⎧⎨<<⎩，或者者101a q >⎧⎨>⎩时，为递增数列；当101a q <⎧⎨>⎩，，，或者者1001a q >⎧⎨<<⎩时，为递减数列；当0q <时，为摆动数列；当1q =时，为常数列．②假设m n p q +=+，那么()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··，，，．特别地，假设2m n p +=，那么2m n p a a a =·．③(0)n m nma q m n q a -*=∈≠N ，，． ④232k kk k k S S S S S --，，，…，当1q ≠-时为等比数列；当1q =-时，假设k 为偶数，不是等比数列．假设k 为奇数，是公比为1-的等比数列．三、考点剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质 例1.〔2021模拟〕数列.12}{2n n S n a nn -=项和的前〔1〕求数列}{n a 的通项公式；〔2〕求数列.|}{|n n T n a 项和的前解：〔1〕当111112,1211=-⨯===S a n时；、当.213])1()1(12[)12(,2221n n n n n S S a n n n n -=-----=-=≥-时，.213111的形式也符合n a -=.213}{,n a a n n -=的通项公式为数列所以、〔2〕令.6,,0213*≤∈≥-=n n n a n 解得又N当2212112||||||,6n n S a a a a a a T n n n n n -==+++=+++=≤ 时；当||||||||||,67621n n a a a a a T n++++++=> 时综上，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=.6,7212,6,1222n n n n n n T n点评：此题考察了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n ＝１时情况，在解题时经常会忘记。
2020届高三理数一轮讲义：6.3-等比数列及其前n项和(含答案)
[微点提醒] 1
1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}， an 也是等比数列. 2.由 an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证 a1≠0.
3.在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q＝1 与 q≠1 分类讨论，防止
② 得 1－q＝3，即 q＝－2，代入①式可得 a1＝1，
①
所以 a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.
(2)设数列{an}首项为 a1，公比为 q(q≠1)，
则
S3＝a1（11－－qq3）＝74， S6＝a1（11－－qq6）＝643，解得
a1＝14， q＝2，
所以 a8＝a1q7＝14×27＝32.
由 Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1， 得 an＋1＝λan＋1－λan， 即 an＋1(λ－1)＝λan， 由 a1≠0，λ≠0 得 an≠0，所以aan＋n1＝λ－λ 1.
因此{an}是首项为1－1 λ，公比为λ－λ 1的等比数列，
λ n－1 于是 an＝ 1 λ－1 .
1－λ
λn (2)解 由(1)得 Sn＝1－ λ－1 .
1－a (4)数列{an}为等比数列，则 S4，S8－S4，S12－S8 成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q≠0. (2)若 a＝0，b＝0，c＝0 满足 b2＝ac，但 a，b，c 不成等比数列. (3)当 a＝1 时，Sn＝na. (4)若 a1＝1，q＝－1，则 S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
率为( )
3
A. 2f
3
B. 22f
12
C. 25f
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[单选]申请跨省道路旅客运输班线经营的，如果相关省级道路运输管理机构对申请持不同意见且协商不成的，应当报（）决定。A、国务院交通主管部门B、同级人民政府C、同级人大常委会 [单选]现需要将数字2和7分别填入6个空格中的2个（每个空格只能填入一个数字），已知第1格和第2格不能填7，第6格不能填2，则共有（）种填法。A.12B.16C.17D.20 [多选,共用题干题]患者女，48岁，因“关节肿痛5个月，累及双手关节和双膝关节”来诊。查体：双膝关节肿胀，压痛（+），左腕关节肿胀，压痛（+），左手第二掌指关节（ⅡMCP）、右手ⅡMCP和近端指间关节（PIP）压痛（+）；实验室检查：红细胞沉降率10mm/1h，C-反应蛋白5mg/L（0～8m [单选,A1型题]湿热所致的腹泻、痢疾，胃热所致的呕吐均可选用的药物是（）A.黄芩B.黄连C.黄柏D.大黄E.龙胆草 [单选]鼻咽癌患者Ⅸ、Ⅹ、Ⅺ、Ⅻ脑神经受累的原因是()A．局部扩散B．血行转移C．脑转移D．种植转移E．转移淋巴结压迫所致 [单选]沙眼是由哪一种微生物所引起的传染性结膜角膜炎()A．细菌B．病毒C．立克次体D．螺旋体E．衣原体 [单选]光面爆破时，应尽可能减少周边眼间的起爆时差，相邻光面炮眼的起爆间隔时问不应大于（）。A．200msB．150msC．100ms [单选]下列哪项不是滴眼药水的注意事项()A．滴眼药前应洗净双手，防止交叉感染B．易沉淀的混悬液，滴药前要充分摇匀C．同时滴数种药时，两药之问不需间隔D．严格执行查对制度，防止滴错药E．正常结膜囊容量为0．02mL，点眼药每次1滴即可 [单选]在拟定沿岸航线选择转向物标时，应尽量避免选择下列哪种物标（）。A．立标B．平坦的岬角C．浮标D．B＋C [判断题]人们常说的动力电电压是220伏。A.正确B.错误 [单选,A2型题,A1/A2型题]以下疾病的胸片显示肺血减少的是（）A.二尖瓣关闭不全B.主动脉瓣关闭不全C.二尖瓣狭窄D.肺动脉瓣狭窄E.主动脉瓣狭窄 [单选]FMGS内部测试在何时自动进行：（）A、地面、计算机通电时B、2台计算机之间有偏差时C、在空中发生故障时D、在空中自动驾驶仪接通时 [单选]数字印刷的工艺过程中没有（）环节。A.原稿检核B.计算机直接制版C.图文输入D.图文处理 [单选]铁路平面无线调车B型号调车长台，直接发五车信号时用（）A.黄（0.5）B.黄（1.5）C."黄绿"D."黄红" [单选]关于妊娠合并心脏病孕妇在分娩期的处理，错误的是（）。A.剖宫产指征稍宽B.无论有元感染征象均使用抗生素C.肌内注射麦角新碱以防产后出血D.可使用吗啡镇静E.宫口开全后不能鼓励产妇屏气用力 [问答题,简答题]发电机强励值是多少？ [单选]以下哪一个不是主要影响胰腺的疾病A.胰腺炎B.胰腺假性囊肿C.胰腺癌D.库欣综合征 [单选]PC400—106P—IB—1L—1001中的零件是（）。A.船台散装件B.分段散装件C.经部件予装零件 [填空题]IT是InformationTechnology的简称，IIS是InternetInformationServer的简称，WWW是WorldWideWeb的简称，FTP是（）的简称。 [单选]哲学上的第二个伟大时期是（）。A、十一世纪起至十四世纪为止B、十世纪起至十三世纪为止C、十二世纪起至十五世纪为止 [问答题,论述题]试述减速器的日常检查检查方法。 [单选]被电击的非创伤心脏骤停患者中最常见的心律为（）A.心脏停搏B.有脉性室性心动过速C.心室颤动D.无脉性电活动E.心动过缓 [问答题,简答题]提升机运转中的注意事项有哪些？ [多选]下列换热器中，属于板片式换热器有（）等。A.填料函式列管换热器B.螺旋板式换热器C.板式换热器D.板翅式换热器 [单选,A1型题]细支气管不完全阻塞所致的阻塞性通气障碍可造成（）A.肺不张B.气胸C.支气管扩张D.肺纤维化E.肺气肿 [单选]不属于矿业工程项目工程量变更的条件的是（）。A.因设计局部修改B.因工程施工中客观条件变化而修改施工图设计C.超过本单位工程预备费率部分的"三材"D.因材料代用所增加的费用 [单选]新古典主义回潮理论建立在两种理论基础之上，这两种理论基础是（）A.传统的自由市场经济理论和新增长理论B.传统的自由市场经济理论和公共选择理论C.新增长理论和公共选择理论D.公共选择理论和市场失灵理论 [单选]关于数字微波通信的站距，叙述正确的是：（）.A.发射机功率越大，站距越长B.射频工作频率越高，站距越长C.传播环境条件越好，距离越长 [单选]下列各项中，属于事业单位资产的是（）。A．财政补助结余B．非财政补助结转C．应缴财政专户款D．财政应返还额度 [单选]关于惊恐发作的描述，正确的是（）A.无特殊恐惧对象时发生B.起病急骤，一般持续1小时左右C.发作期间可有意识障碍D.发作时心电图检查可见ST-T段改变E.长期预后欠佳 [多选]拱式明洞按荷载分布可分为（）。A.路堑对称型B.路堑偏压型C.半路堑偏压型D.半路堑单压型E.半路堑挡土型 [单选]成年妇女子宫体与子宫颈的比例为（）。A.1：1B.1：2C.1：3D.2：1E.3：1 [单选]当影响某饭店产品需求的是多种变数时，适宜采取（）来确定目标市场。A.单一变数细分法B.综合变数细分法C.系列变数细分法D.单一变数的深度细分法 [填空题]在冶炼、浇铸和钢水凝固过程中产生或混入的非金属相，一般称为（）。 [单选]￥15409.02，写成中文人民币大写应为（）。A.人民币壹万伍仟肆佰零玖元贰分B.人民币壹万伍仟肆佰零玖元零贰分C.人民币壹万伍仟肆佰零玖元零角贰分D.人民币壹万伍仟肆佰零玖元零贰分整 [多选]若买入价为bp、卖出价为sp、前－成交价为Cp，那么按照计算机撮合成交的原则下列成立的是（）。A．当bp≥sp≥Cp，则最新成交价＝CpB．当bp≥sp≥Cp，则最新成交价＝spC．当bp≥Cp≥sp，则最新成交价＝CpD．当Cp≥bp≥sp，则最新成交价＝bp [单选]健康城市是指（）。A.从城市规划、建设到管理各个方面都以人的健康为中心B.营造高质量的自然环境和更加舒适的生活环境C.保障广大市民健康生活和工作D.成为健康人群、健康环境和健康社会有机结合的人类社会发展整体E.以上都是 [配伍题,B1型题]一个昏迷病人被送到医院，医生对他进行处理，这种医患关系属于（）。</br>医生劝病人“你应该参加一些晨间锻炼”，这种医患关系属于（）。A.主动-被动型B.指导-合作型C.共同参与型D.强制-被动型E.指导-参与型 [单选]关于性接触和艾滋病感染关系的描述错误的是()A．同性或异性性接触均具有传染性B．同时患其他STD，可增加传染概率C．处于血清阳性期的患者传染性大D．肛交主动方受感染的几率大于被动方 [单选]以下带电作业方法为直接作业法的是（）。A、地电位作业B、等电位作业C、中间电位作业D、带电水冲洗