指数函数指数与指数幂的运算
2019A新高中数学必修第一册：2.1.1 指数与指数幂的运算
1 3
);
x-
1 2
y
2 3
)(-4
x
1 4
y
2 3
);
(7)
(2
x
1 2
+
3
y-
1 6
)(2
x
1 2
-
3
y
- 16
);
(8)
4
x
1 4
(-3
x
1 4
y-
1 3
)
(-6
x
- 12
y-
2 3
).
解:
(1)
13 7
a 3a4a12
=
a
13+
3 4
+172
=
a
5 3
.
(2)
23
a3a4
5
a6
=
a
32+
43-
3. 分数指数幂
我们将下面根式变形:
10
a>0 时, 5 a10 = 5 ( a2 )5 = a2 = a 5 .
12
a>0 时, 4 a12 = 4 ( a3 )4 = a3 = a 4 .
m
规定: a n = n am (a 0, m, nN *. 且n1).
a-
m n
=
1
m
(a 0,
m,
解:
(1)
原式
=
x3
y2(-
27
1 x3
y31)
=
-
1 27 y
.
(2) 原式 = 4(- 32)a2-(-1)b-1-(-1)= -6a3.
(3)
原式
指数函数公式运算法则
指数函数公式运算法则指数函数是一种常见的数学函数，其公式形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数在数学中有着广泛的应用，因此掌握指数函数的运算法则对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍指数函数的运算法则，包括指数函数的加减乘除、指数函数的幂函数、指数函数的对数函数等内容。
一、指数函数的加减乘除1. 指数函数的加法当两个指数函数相加时，如果它们的底数相同，则可以将它们的指数相加，即a^x + a^y = a^(x+y)。
例如，2^3 + 2^4 =2^(3+4) = 2^7。
2. 指数函数的减法同样地，当两个指数函数相减时，如果它们的底数相同，则可以将它们的指数相减，即a^x - a^y = a^(x-y)。
例如，3^5 - 3^3 = 3^(5-3) = 3^2。
3. 指数函数的乘法当两个指数函数相乘时，如果它们的底数相同，则可以将它们的指数相加，即(a^x) * (a^y) = a^(x+y)。
例如，2^3 * 2^4 =2^(3+4) = 2^7。
4. 指数函数的除法当两个指数函数相除时，如果它们的底数相同，则可以将它们的指数相减，即(a^x) / (a^y) = a^(x-y)。
例如，3^5 / 3^3 =3^(5-3) = 3^2。
二、指数函数的幂函数指数函数的幂函数是指数函数的一种特殊形式，其公式为f(x) = (a^x)^n，其中a为底数，x为指数，n为幂次。
当计算指数函数的幂函数时，可以将指数函数的指数与幂次相乘，即(a^x)^n =a^(x*n)。
例如，(2^3)^2 = 2^(3*2) = 2^6。
三、指数函数的对数函数指数函数的对数函数是指数函数的逆运算，其公式为y =log_a(x)，其中a为底数，x为指数，y为对数。
对数函数的作用是求解指数函数的指数，即log_a(x) = y 等价于 a^y = x。
例如，log_2(8) = 3 等价于 2^3 = 8。
指数与指数幂的运算
在经济学中，指数函数和指数幂运算可以用于描 述商品价格和需求量之间的关系。
人口增长
在研究人口增长时，指数函数和指数幂运算可以 用于描述人口随时间的变化趋势。
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指数与指数幂的运算
$number {01} 汇报人：
2023-12-28
目录
• 指数幂的定义与性质 • 指数的性质与运算 • 指数幂的运算 • 复合指数幂的运算 • 指数与指数幂的应用
01
指数幂的定义与性质
定义
指数幂的定义
指数幂是一种数学运算方式，表示一 个数以另一个数为底数的幂次方。例 如，a^b表示a的b次方。
详细描述
在复合指数幂的运算中，需要遵循幂的乘法法则、除法法则、乘方和开方等基本 运算规则。例如，a^(m^n) = (a^m)^n，a^(mn) = (a^m)^n 等。
复合指数幂的简化
总结词
简化复合指数幂的过程主要是通过提 取公因子、合并同类项和化简表达式 等方式。
详细描述
在简化复合指数幂时，可以提取公因 子，将同类项合并，化简表达式，使 其更易于理解和计算。例如， a^(m+n) = a^m * a^n，a^(m-n) = a^m / a^n 等。
指数幂的性质
指数幂具有一些基本性质，如 a^(m+n)=a^m×a^n，a^(mn)=（ a^m）^n等。
性质
1 3
非零数的0次幂为1
对于任何非零数a，有a^0=1。
任何数的1次幂等于它本身
2
对于任何数a，有a^1=a。
负数的偶次幂为正，奇次幂为负
对于任何负数a，有a^(2n)=（a^2）^n＞0，a^(2n+1)=（a^2）^n＜0（n为自然数）。
幂函数与指数函数的运算
幂函数与指数函数的运算幂函数与指数函数是高中数学中常见的函数类型，它们具有各自的特点和运算规律。
本文将详细讨论幂函数与指数函数的运算，并给出相关例题和解答。
一、幂函数的定义及运算规律1. 幂函数的定义：幂函数是指函数y=x^a，其中a为常数，且a≠0。
在幂函数中，x称为底数，a称为指数。
2. 幂函数的运算规律：（1）相同底数幂相乘：若x不等于0时，x^a * x^b = x^(a+b)。
（2）相同底数幂相除：若x不等于0时，x^a / x^b = x^(a-b)。
（3）幂的幂：(x^a)^b = x^(a*b)。
（4）零幂：任何非零数的0次幂等于1，即x^0 = 1（x≠0）。
（5）负指数的幂：x^(-a) = 1 / x^a。
二、指数函数的定义及运算规律1. 指数函数的定义：指数函数是指函数y=a^x，其中a为常数，且a>0且a≠1。
在指数函数中，a称为底数，x称为指数。
2. 指数函数的运算规律：（1）指数相加：若a>0且a≠1，a^x * a^y = a^(x+y)。
（2）指数相减：若a>0且a≠1，a^x / a^y = a^(x-y)。
（3）指数的幂：(a^x)^y = a^(x*y)。
（4）指数函数的倒数：(1/a)^x = a^(-x)。
三、幂函数与指数函数的运算1. 幂函数与幂函数的运算：若x不等于0时，(x^a)^(x^b) = x^(a*b)。
2. 幂函数与指数函数的运算：（1）指数函数作为底数与幂函数的乘法：(a^x) * x^b = (a^x*b)。
（2）指数函数作为底数与幂函数的除法：(a^x) / x^b = (a^x/b)。
例题1：计算并化简下列表达式：2^3 * 2^(-2)。
解：根据幂函数的运算规律，2^3 * 2^(-2) = 2^(3-2) = 2^1 = 2。
例题2：计算并化简下列表达式：3^(2x) / 3^x。
解：根据指数函数的运算规律，3^(2x) / 3^x = 3^(2x-x) = 3^x。
指数的运算与指数函数
指数的运算与指数函数4.1指数的运算【知识梳理】1. 整数指数幂1）定义：我们把n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。
在上述定义中，n 为整数时，这样的幂叫做整数指数幂。
2）整数指数幂的运算法则：（1）n m a a = （2）=n m a )(（3）=n maa （4）=m ab )(3)此外，我们作如下规定：零次幂：)0(10≠=a a ； 负整数指数幂：),0(1+-∈≠=N n a a a nn； 2. 根式：1）n 次方根：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *。
注：①当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a -，n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在；②当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数；负数的n 次方根是一个负数，都表示为na ；③0的任何次方根都是0，记作00=n。
2）正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算数根。
当na 有意义时，n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．注：当n 是奇数时，a a nn =；当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn ；3. 有理指数幂1）我们进行如下规定： n na a=1 （0>a ）那么，我们就将整数指数幂推广到分数指数幂。
此外，下面定义也成立： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm注：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数幂。
3)有理指数幂的运算性质：（1）r a ·sr r aa +=),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>> 题型一 根式与幂的化简与求值 【例1】.求下列各式的值：（1）223223-++ （2）347246625-+--+【例2】.计算下列各式的值： （1）()[]75.0343031162)87(064.0---+-+-- （2）()()()012132232510002.0833-+--+⎪⎭⎫⎝⎛----【例3】.化简下列各式：（1）()0,0332>>b a b a ab ba （2）212121211111a a a a a ++------【过关练习】1.求值：（1）335252-++ （2）3332332313421248a a b a ab b ba a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷++-2.化简：（1）111113131313132---+++++-x xx x x x x x（2）()()14214214433332)1()1(1))((----------++-++-++-+a a a a a a a a a a a a a a a a3.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是_____.())0()4)(0()1()3();0()2();0()1(434334316221>=>=<=>-=--a a a a x xxy y y x x x题型二 含附加条件的求值问题 【例1】（1）若3193=⋅ba，则下列等式正确的是（ ） A. 1-=+b a B. 1=+b a C. 12-=+b a D.12=+b a（2）若,123-=++x x x 则2827211227281x x x x x x x x ++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++----的值是_____.【例2】（1）已知,32,21==y x 求yx y x y x y x +---+的值； （2）已知b a ,是方程0462=+-x x 的两个根，且0>>b a ，求ba ba +-的值.【过关练习】 1.已知.88(22的值常数），求x x xxa --+=+2.已知32121=+-a a ，求21212323----aa a a 的值.3. 已知122+=xa ，求xx xx aa a a --++33的值题型三 解含幂的方程与等式的证明 【例1】解下列方程 （1）x x )41(212=+ （2）03241=-++x x【例2】已知433cz by ax ==，且1111=++zy x ，求证31313131222)(c b a cz by ax ++=++【过关练习】 1. 解下列方程（1）2291381+⎪⎭⎫⎝⎛=⨯x x （2）0123222=-⨯++x x2.设c b a ,,都是正数，且cb a 643==，求证ba c 122+=.4.2 指数函数及其性质【知识梳理】1. 指数函数 函数 )1,0(≠>=a a a y x叫做指数函数. 2. 指数函数的性质（1）定义域 :实数集合R ； （2）值域 ：0>y ;（3） 奇偶性：指数函数是非奇非偶函数（4）单调性：1>a 时，函数 )1,0(≠>=a a a y x在),(+∞-∞上为增函数；10<<a 时，函数)1,0(≠>=a a a y x 在),(+∞-∞上为减函数；（5）函数值：0=x 时，1=y ,图象恒过点（0，1）；（6）当0,1>>x a 时1>y ；0,1<>x a 时，10<<y .当10<<a ,0>x 时，10<<y ;0,10<<<x a 时，1>y .题型一 指数函数的概念例1 .已知指数函数)3)(2(--+=a a a y x的图像经过点（2,4），求a 的值.【过关练习】.若指数函数)(x f 的图像经过点（2,9），求)(x f 的解析式及)1(-f 的值.题型二 指数型复合函数的定义域和值域 【例1】.求下列函数的定义域和值域 （1） xy 31-= （2）412-=x y（3）xy -=)32( （4）32221--⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y【例2】.求函数[]2,2,221341-∈+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xx 的值域.【例3】.如果函数[]1,1-)1,0(122在且≠>-+=a a a a y x x上有最大值14，试求a 的值.【过关练习】1.求函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛-=211的定义域和值域.2.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+R x y y A x,)21(12,则满足B B A =⋂的集合B 可以是（ ）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21,0 B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x C.{}11≤≤-x x D.{}0>x x 3.函数22212+-=+x xy 的定义域为M ，值域[]2,1P ，则下列结论一定正确的个数是（ ）。
指数与指数函数
47 .
方法总结
指数幂运算的一般原则
1.有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算.
2.先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
3.底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数.底数是带分数
的,先化成假分数.
4.若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运
为选项C.
考点三
指数函数的性质及应用
◉角度(一) 比较指数式的大小或解不等式
例3
(1)(2024·吉林白山模拟)已知 a ＝0.310.1， b ＝0.310.2， c ＝
0.320.1，则(
D )
A. a ＞ b ＞ c
B. b ＞ a ＞ c
C. c ＞ b ＞ a
D. c ＞ a ＞ b
由 y ＝0.31 x 单调递减可知0.310.1＞0.310.2，即 a ＞ b ；
即b＜a＜c.
C )
6.
2 −4
1
不等式 3
＞ 的解集为
27
−∞，1 ∪ 3，＋∞
2 −4
1
由3
＞ ＝3－3，所以 x 2－4 x ＞－3，即
27
＜1或 x ＞3.
.
− 1 − 3 ＞0，解得 x
7. 函数 y ＝
1
1
－
＋1在区间[－3，2]上的值域是
4
2
因为 x ∈[－3，2]，所以若令 t ＝
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 幂的运算
1. 指数与指数运算
高中数学公式大全指数与对数的幂运算与对数运算公式
高中数学公式大全指数与对数的幂运算与对数运算公式数学是一门具有广泛应用的学科，不论是在学术研究还是实际生活中，数学公式都扮演着重要的角色。
在高中数学中，指数与对数是两个重要的概念，它们的公式在解题过程中经常被用到。
本文将为您提供高中数学公式大全，重点介绍指数与对数的幂运算与对数运算公式。
1. 指数与幂运算公式指数与幂运算是指数函数的基本运算法则，它包括以下几个公式：1.1 指数幂运算法则（1）指数相同，底数相乘：a^m × a^n = a^(m+n)。
例子：2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。
（2）幂相同，底数相乘：a^m × b^m = (a × b)^m。
例子：2^3 × 3^3 = (2 × 3)^3 = 6^3。
（3）指数的乘方：(a^m)^n = a^(m×n)。
例子：(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12。
（4）幂的乘方：(a × b)^m = a^m × b^m。
例子：(2 × 3)^4 = 2^4 × 3^4 = 16 × 81。
1.2 指数的乘法法则（1）指数相加：a^m × a^n = a^(m+n)。
例子：2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。
（2）底数相乘：(a × b)^m = a^m × b^m。
例子：(2 × 3)^4 = 2^4 × 3^4 = 16 × 81。
2. 对数运算公式对数是指数的逆运算，它有以下几个重要的运算公式：2.1 对数幂运算法则（1）底数相同，幂相加：loga(x × y) = loga(x) + loga(y)。
例子：log2(4 × 8) = log2(4) + log2(8)。
（2）幂的乘方：loga(x^m) = m × loga(x)。
指数函数与幂函数运算.ppt
记作 x n a (n为奇数），或 n a (a 0，n为偶数）.
例如:
3 27 3，5 32 2，3 a6 a 2 ， 4 16 2 .
正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根
是负数，用符号 n a 表示.
正数的偶次方根是两个互为相反数的数，用 符号 n a (a 0) 表示. 负数没有偶次方根. 0的任何次方根都是0， 记作 n 0 0 .
an
0 的正分数指数幂等于 0，
0 的负分数指数幂没有意义.
整数指数
有理数指数
有理数指数幂的运算性质：
（1）'•a •r a s a rs•，••a •r a s a rs ( a 0，r，s Q )，
(2)' (a r )s a rs ( a 0，r，s Q )，
(3)'
(a b)r
a
(a > 0)，
这就是说，当根式的被开方数的指数能 被根指数整除时，根式可以表示为分数指数 幂的形式.
那么，当根式的被开方数的指数不能被 根指数整除时，根式是否也可以表示为分数
指数幂的形式呢？
2. 分数指数幂：
能否把下列根式写为：
2
3 a2 a 3 ( a > 0)，
1
b b 2 ( b > 0)，
归纳：
（1）若 xn a ，
则
x
n
a ，(n为奇数），
n a，(a 0，n为偶数）.
(2)(n a )n a .
(3) 当n为奇数时，n an a .
当n为偶数时，n
an
|
a
|
a
a
(a 0)， (a 0).
指数与指数函数
指数与指数函数1.1指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 当n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：na =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈例题精讲【例1】求下列各式的值：（1（*1,n n N >∈且）； （2. 解：（1）当n3π-； 当n|3|3ππ-=-. （2||x y -.当x y ≥x y =-；当x y <y x =-.【例2】已知21na =+，求33n nn na a a a --++的值.解：332222()(1)1111n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a ------++-+==-+=+-=++. 【例3】化简：（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2a ＞0，b ＞0）； （3）.解：（1）原式=2111150326236[2(6)(3)]44a bab a +-+-⨯-÷-==.（2）原式=1312322123[()](/)a b ab ab b a ⋅⋅=1136322733a b a b a b⋅=104632733a b a b=a b.）原式22111144336444(33)(3)(3)33=⨯=⨯=⨯=.点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.【例4】化简与求值：（1（2）++⋅⋅⋅解：（1）原式=22（2）原式=+⋅⋅⋅+=112-⋅⋅⋅=11)2.练习：1.2指数函数及其性质（4）指数函数¤例题精讲：题型一：求函数的定义域【例1】求下列函数的定义域： （1）132xy -=； （2）51()3xy -=； （3）1010010100x x y +=-.解：（1）要使132xy -=有意义，其中自变量x 需满足30x -≠，即3x ≠. ∴ 其定义域为{|3}x x ≠.（2）要使51()3xy -=有意义，其中自变量x 需满足50x -≥，即5x ≤. ∴ 其定义域为{|5}x x ≤.（3）要使1010010100x x y +=-有意义，其中自变量x 需满足101000x -≠，即2x ≠. ∴其定义域为{|2}x x ≠.题型二：求函数的值域【例2】求下列函数的值域：（1）2311()3x y -=； （2）421x x y =++解：（1）观察易知2031x ≠-， 则有203111()()133x y -=≠=. ∴ 原函数的值域为{|0,1}y y y >≠且.（2）2421(2)21x x x x y =++=++. 令2x t =，易知0t >. 则22131()24y t t t =++=++.结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到213()24y t =++在0t >上为增函数，所以221313()(0)12424y t =++>++=. ∴ 原函数的值域为{|1}y y >.【例3】函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A ．1,0a b >< B ．1,0a b >> C ．01,0a b <<> D ．01,0a b <<<解：从曲线的变化趋势，可以得到函数()f x 为减函数，从而0<a <1；从曲线位置看，是由函数(01)x y a a =<<的图象向左平移|-b |个单位而得，所以-b >0，即b <0. 所以选D.点评：观察图象变化趋势，得到函数的单调性，结合指数函数的单调性，得到参数a 的范围. 根据所给函数式的平移变换规律，得到参数b 的范围. 也可以取x =1时的特殊点，得到01b a a -<=，从而b <0.【例4】已知函数23()(0,1)x f x a a a -=>≠且.（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.解：（1）当230x -=，即23x =时，2301x a a -==. 所以，该函数的图象恒过定点2(,1)3.（2）∵ 23u x =-是减函数，∴ 当01a <<时，()f x 在R 上是增函数；当1a >时，()f x 在R 上是减函数.【例5】按从小到大的顺序排列下列各数：23，20.3，22，20.2.解：构造四个指数函数，分别为3x y =，0.3x y =，2x y =，0.2x y =，它们在第一象限内，图象由下至上，依次是0.2x y =，0.3x y =，2x y =，3x y =. 如右图所示.由于0x ，所以从小到大依次排列是：，，点评：利用指数函数图象的分步规律，巧妙地解决了同指数的幂的大小比较问题. 当然，我们在后面的学习中，可以直接利用幂函数的单调性来比较此类大小.【例6】已知21()21x x f x -=+. （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）讨论()f x 的单调性.解：（1）()f x 的定义域为R . ∵ 21(21)21221()()21(21)21221x x x x x x x x x x f x f x ---------====-=-++++.∴ ()f x 为奇函数.（2）设任意12,x x R ∈，且12x x <，则121212*********(22)()()2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++.由于12x x <，从而1222x x <，即12220x x -<.∴ 12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <. ∴ ()f x 为增函数.点评：在这里，奇偶性与单调性的判别，都是直接利用知识的定义来解决. 需要我们理解两个定义，掌握其运用的基本模式，并能熟练的进行代数变形，得到理想中的结果.【例7】求下列函数的单调区间：（1）223x x y a +-=； （2）10.21x y =-.解：（1）设2,23u y a u x x ==+-.由2223(1)4u x x x =+-=+-知，u 在(,1]-∞-上为减函数，在[1,)-+∞上为增函数. 根据u y a =的单调性，当1a >时，y 关于u 为增函数；当01a <<时，y 关于u 为减函数. ∴ 当1a >时，原函数的增区间为[1,)-+∞，减区间为(,1]-∞-； 当01a <<时，原函数的增区间为(,1]-∞-，减区间为[1,)-+∞. （2）函数的定义域为{|0}x x ≠. 设1,0.21x y u u ==-. 易知0.2x u =为减函数. 而根据11y u =-的图象可以得到，在区间(,1)-∞与(1,)+∞上，y 关于u 均为减函数. ∴在(,0)-∞上，原函数为增函数；在(0,)+∞上，原函数也为增函数题型：指数函数相关的函数图像例题一：函数331x x y =-的图象大致是( )．题型二：指数函数性质的应用练习：例1、若231++<x x a a()1,0≠>a a 且，求：x 的取值范围。
指数与指数幂的运算必修一
04 复杂指数幂运算技巧
同底数幂相乘相除法则
同底数幂相乘
当底数相同时，指数相加， 即$a^m times a^n = a^{m+n}$。
同底数幂相除
当底数相同时，指数相减， 即$a^m div a^n = a^{m-n}$。
特别注意
当指数为0时，任何非零数 的0次幂都等于1，即 $a^0=1$（a≠0）。
06 总结与拓展
知识点总结回顾
指数幂的定义和基本性质
包括同底数幂的乘法、除法，幂的乘方和积的乘方等基本运算法 则。
指数函数的图像与性质
掌握指数函数的图像特征，了解指数函数的单调性、过定点等性质。
对数与对数运算
理解对数的概念，掌握对数的基本运算法则，如换底公式等。
典型例题分析讲解
指数幂运算的例题
02
对数在科学计算中的作用
讲解对数在科学计算中的重要作用，如地震震级、声音分贝等。
03
指数与对数在其他数学分支中的应用
简要介绍指数与对数在微积分、概率论等其他数学分支中的应用。
学习建议和方法分享
重视基础，打好根基
强调指数与对数基础知识的重要性，建议学生多做基础练习，巩 固基础。
善于归纳，总结规律
鼓励学生在学习过程中善于归纳总结，发现指数与对数的运算规 律。
最值问题
对于某些函数，如二次函数，可以通 过观察其图像顶点位置来判断函数的 最值。
利用函数图像解决不等式问题
不等式求解
对于形如$f(x)>0$或$f(x)<0$的不等式，可以通过观察函数图像与$x$轴的交 点来求解。
不等式组求解
对于由多个不等式组成的不等式组，可以通过分别观察每个不等式的解集，再 求其交集来求解。
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第六讲指数函数
——指数与指数幂的运算
知识点一、根式
1
叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数（平方根，立方根，n 次方根的概念）。
0的任何次方根都等于0
2、两个等式：A 、n>2时，且n N +∈
时，n a =
B 、n
a =；n
00a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
L L L L 知识点二、分数指数幂
1
、正数的正分数指数幂的意义：0,,,1)m n a a m n N n +=>∈>
2
、正数的负分数指数幂的意义：1
0,,,1)m
n m
n a a m n N n a -+==>∈>
3、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
知识点三、分数指数幂的运算性质
1、对任意的有理数r ，s 均有如下性质：
A 、(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈
B 、()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈
C 、()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =⋅>>∈
D 、()(0,0,)r a a r a b r Q r b b
=>>∈ E 、(0,,)r
a r s a a r s Q s
a -=>∈ 2、简化过程：①先括号内，再括号外；②先乘除，后加减；③有根号的，按从内到外的顺序计算；④采用同一种形式；⑤结果要最简。
巩固习题
1、如果0,0,,a b m n >>都是有理数，下列各式错误的是（）
A 、()m n mn a a --=
B 、m n m n a a a --⋅=
C 、()n n n a a b b
-=⋅D 、m n m n a a a ++= 2、,x y R ∈时，下列各式恒成立的是（）
A
、6x y =-B
22x y =+C
x y =-D
、x y =+
3、下列各式运算错误的是（）
A 、222378()()a b ab a b -⋅-=-
B 、2332333()()a b ab a b -÷-=
C 、322366()()a b a b -⋅-=
D 、322331818[()()]a b a b ⋅-=-
4、计算1221
21(2)()2()48
n n n n N +++-⋅∈⋅的结果为（） A 、416B 、252n +C 、2262n n -+D 、271()2
n - 5、计算1
020.5231(2)2(2)(0.01)54
--+⋅-6
7、若102,103m n ==，求3210
m n
-的值。
8
9、已知1
1
223a a -+=，求下列各式的值。
（1）1a a -+（2）22a a -+（3）33221
1
22a a
a a ----
10已知11()212
x f x =
+-，试判断()f x 的奇偶性。
知识点四、指数函数的概念。
1、一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠叫做指数函数，定义域为R ，值域为(0,)+∞
2、在x y a =表达式中，任何部位发生改变后都不是指数函数：1x y a +=，1x y a =+等叫“类指数函数”
知识点五、指数函数的图象
（1）一般地，(0,1)x y a a a =>≠的图象分两种情况，即1a >和01a <<的图象。
作法：对x y a =的图象的作法有三个关键点：1(1,),(0,1),(1,)a a
- 例题1、如图是指数(1)x y a =(2)x y b =(3)x y c =(4)x y d =的图象，
试比较a 、b 、c 、d 的大小关系（）
A 、1c a d b <<<<
B 、1a c b d <<<<
C 、1d b c a <<<<
D 、1b d a c <<<<
例题2、函数11(0,1)x y a a a +=+>≠中，无论a 取什么值，恒过一个定点，此定点的坐标为____________。
例题3、比较下列各组数的大小
例题4、若01,1a b <<<-，则函数x y a b =+的图象不过（）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
例题5、已知1010()1010x x
x x
f x ---=+，求()f x 的值域 巩固习题：
1、2()(1)x f x a =-在R 上是减函数，则a 满足的条件为（）
A 、1a >
B 、a <
C 、a >、1a <<2、已知
111()()1222
b a <<<，则（） A 、1a b >>B 、01b a <<<C 、1b a >>D 、01a b <<< 3、()x f x a =在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，()f x 在[0,1]上为增函数，则a=（）
A 、12
B 、2
C 、4
D 、14
4、若函数(1)(0,1)x y a b a a =-+>≠的图象在第一、三、四象限，则有（）
A 、1a >且0b <
B 、1a >且0b >
C 、01a <<且0b >
D 、01a <<且0b <
5、不等式2821()33
x x -->的解集是_____________________________________。
6、已知0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===，则a 、b 、c 的大小关系为
_____________________________________。
7、函数382(0)x y x -=-≥的值域为_____________________________________。
8、若1x y >>，01a <<，那么正确的结论是（）
A 、x y a a >
B 、1x a >
C 、1x a -<
D 、x y a a -->
9、若10.225x ≤≤，则实数x 的取值范围为_____________________________________。
10、函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系为__________。
11、求2121
x x y -=+的定义域和值域 12、若关于x 的函数123()35x a a +=-有负根，求a 的取值范围。