八上培优6 等边三角形与全等三角形
八年级数学全等三角形(培优、数学竞赛)
北京四中八年级培优班数学全等三角形复习题1．如图1，已知在等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于P ，则∠APE 的度数是 。
图1B 图2BA图32．如图2，点E 在AB 上，AC ＝AD ，BC ＝BD ，图中有 对全等三角形。
3．如图3，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝60°，∠C ＝25°，则∠BED 等于 度。
4．如图4所示的2×2方格中，连接AB 、AC ，则∠1＋∠2＝ 度。
图4B图5AB图6CB5．如图5，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。
（ ）①AE ＝AD ；②AB ＝AC ；③OB ＝OC ；④∠B ＝∠C 。
6．如图6，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝21AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。
（1）求证：DF ＝BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：AG ＝DG 。
7．如图7，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB ＞AD ，下列结论正确的是（ ）A. AB －AD ＞CB －CDB. AB －AD ＝CB －CDC. AB －AD ＜CB －CDD. AB －AD 与CB －CD 的大小关系不确定图7BD图8CB8．In Fig. 8, Let △ABC be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and ∠BFC=120°, then the magnitude relation between AD and CE is ( )A. AD>CEB. AD<CEC. AD=CED. indefinite（英汉小词典：equilateral 等边的；intersection 交点；indefinite 不确定的；magnitude 大小，量） 9．如图9，在△ABC 中，AC ＝BC ＝5，∠ACB ＝80°，O 为△ABC 中一点，∠OAB ＝10°，∠OBA ＝30°，则线段AO 的长是 。
八上全等三角形经典培优习题汇集-学而思
全等三角形经典习题汇集第一讲全等三角形的性质及判定【例1】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【补充】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．【例2】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【补充】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【补充】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．FEDCBA【例3】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：FEDCBADCBA F E O D CB AO D CBAAC BD ∥．OF E DCBA【补充】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．F E CBA【例4】 如图，90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=︒=⊥⊥，，，，垂足分别为A B ，，试说明AD AB BE +=EDCBA【例10】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【例11】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．PFEDCBAF DC BA【补充】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．GA BC DEF【例12】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．【补充】如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．A BCD EF【例13】 （1）如图，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？GFEDCB AMEDC BA【例14】 如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，D 是AC 上一点，且CD CB AB ==，DE AC ⊥交AB于E 点．求证：AD DE EB ==．CB DEA【例15】 ABC ∆中，90B ∠=︒，M 为AB 上一点，使得AM BC =，N 为BC 上一点，使得CN BM =，连AN 、CM 交于P 点．试求APM ∠的度数，并写出你的推理证明的过程．图3P DM N B C A【例16】 如图，I 是ABC △的内心，且CA AI BC +=．若80BAC ∠=︒，求ABC ∠和AIB ∠的大小．AB CI【例17】 已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．PDQCBEA【例18】 ⑴ 如左下图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC CE =，F 为AE 的中点．求证：BF FD ⊥．⑵ 如右下图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，DM EF ⊥于M ．求证：FM EM =．F EDCBAMFED CB A18.补充：如图，已知60ABD ACD ∠=∠=︒，且1902ADB BDC ∠=︒-∠．求证：ABC ∆是等腰三角形．【例19】 如图，ABC ∆为边长是1的等边三角形，BDC ∆为顶角()BDC ∠是120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒角，角的两边分别交AB 于M ，AC于N ，连接MN ，形成一个AMN ∆．求AMN ∆的周长．AM NBCD【习题1】 已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =． 求证：AB DE =．FEDC B A【习题2】 已知：△DEF ≌△MNP ，且EF ＝NP ，∠F ＝∠P ，∠D ＝48°，∠E ＝52°，MN ＝12cm ，求：∠P 的度数及DE 的长.【习题3】如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩形周长为16，且CE EF =，求AE 的长．EDCBF A【习题4】在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ．求证：当BE 是B ∠的角平分线时，有AD BC AB +=．【备选1】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．月测备选家庭作业CE O【备选2】 如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．【备选3】 如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF . （1）求证：BG ＝CF .（2）请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由.FE DCBAG第二讲 全等三角形与中点问题版块一 倍长中线【例1】 在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【补充】已知：ABC ∆中，AD 是中线．求证：1()2AD AB AC <+．C D B ABBC【例2】 已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【例3】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．【例4】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【例5】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．F E D C BAB C FED CBA【例6】 如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．【例7】 如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．【例8】 已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【例9】 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？B F G E DC B AF E A B D CA【例10】 已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．GEDCBA【例11】 如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．(勾股定理的内容，选做)NMDCBA【例10】 在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．【习题1】 如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．【习题2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？【习题3】 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．A家庭作业图 6G EF D B C A F ED C BAD FE C B A【备选1】如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．求证：∠E=∠F【备选2】如图，ABC∆中，AB AC=，90BAC∠=︒，D是BC中点，ED FD⊥，ED与AB交于E，FD 与AC交于F．求证：BE AF=，AE CF=．第三讲全等三角形与角平分线问题【例1】在ABC∆中，D为BC边上的点，已知BAD CAD∠=∠，BD CD=，求证：AB AC=．D CBA【例2】已知ABC∆中，AB AC=，BE、CD分别是ABC∠及ACB∠平分线．求证：CD BE=．EDCBA【例3】如图，在ABC∆中，60B∠=︒，AD、CE分别平分BAC∠、BCA∠，且AD与CE的交点为F．求证：FE FD=．AB CDEFFBEDCA【例4】 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．【补充】如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【例5】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBA【例6】 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．E DC B A4321AOCB A B CD E O【例7】 如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．PDBOCA【例8】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B【例10】 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？EDCBA【补充】长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于F ，则EF =__________．FEDCBA【补充】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．CD B PA【例11】 如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．DC B A【例12】 如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．AB CD【巩固】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．【例13】 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．MD CBACB【例14】 如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE⊥于E ．求证：AD AE =．HG D AB C E【例15】 如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．EDCB A【习题2】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．DC B A家庭作业【习题3】AD是ABC∆的角平分线，BE AD⊥交AD的延长线于E，EF AC∥交AB于F．求证：AF FB=．DECFBA【习题4】如图所示，AD平行于BC，DAE=EAB∠∠，ABE=EBC∠∠，AD=4，BC=2，那么AB=________．【习题5】ABC∆中，D为BC中点，DE BC⊥交BAC∠的平分线于点E，EF AB⊥于F EG AC⊥于G．求证：BF CG=．EGFDCBA【备选1】在ABC∆中，AD平分BAC∠，AB BD AC+=．求:B C∠∠的值．CDBA月测备选【备选2】如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA【备选3】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B∠的平分线时，有AD BC AB +=．EBCDA第四讲 全等三角形与旋转问题【例1】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．（1）求证：AN BM =．A C（2）求证：CD=CE(3) 求证：CF 平分∠MCN（4） 求证：DE ∥AB【例2】 如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG ．AAC BA CG FEDCBA【例3】 如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．DECBA【例4】 如图，D 是等边ABC ∆内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．PDC BA【例5】 如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF+为定值．OB ECF A【补充】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．54321OHBE DKG CF A【例6】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA AF ⊥． 求证：DE BF =．FED CBA【补充】如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD的面积是16，求DP 的长．PDCBA【例7】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．⑴求证：AF DF BE =+．⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．FEDC BA【补充】(1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ．求证：EF ＝BE +FD ;FED CBAC HF E D BA(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．FEDCB A【习题1】 如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD+相等的理由．EDCBA【习题2】 (湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．FEDCBA【习题3】 在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，E 是AD中点，试判断EC 与EB 的位置关系，并写出推理过程．家庭作业CD【习题4】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆ 的高．求证：CG CH =．HG NM CBA【备选1】 在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．【备选2】 如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．FEDCBA月测备选APMCQ B【备选3】 等边ABD ∆和等边CBD ∆的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是CD 上一点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ∆的形状．DFE CBA第五讲 轴对称和等腰三角形【例1】 在ABC ∆中，AB AC =，BC BD ED EA ===．求A ∠．【补充】在ABC ∆中，AB AC =，BC BD =，AD ED EB ==．求A ∠．EDCB A【例2】 ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．【例3】 如图，点O 是等边AO AD =内一点，110AOB ∠=，BOC α∠=．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转19060αα-=-∴°°得ADC △，连接OD ，则COD △是等边三角形；当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？【例4】 如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，D 在BC 上，50BAD ∠=，在AC 上取一点E ，使得ADE AED ∠=∠，求EDC ∠的度数．【例5】 如图，ABC ∆为等边三角形，延长BC 到D ，又延长BA 到E ，使AE BD =，连接,CE DE ，求证：CDE ∆为等腰三角形．E D C B A O D C B AAB CD EE【例6】 如图，在ABC ∆中，B ∠，C ∠为锐角，,,M N D 分别为边AB 、AC 、BC 上的点，满足AM AN =，BD DC =，且BDM CDN ∠=∠．求证：AB AC =．板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例7】 已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．【例8】 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA【例9】 如图，45AOB ∠=︒，角内有点P ，在角的两边有两点Q 、R (均不同于O 点)，求作Q 、R ，使得PQR ∆的周长的最小．ABCD MNPl【补充】如图，M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN ∆的周长最短．【例10】 已知如图，点M 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA 的边的距离和最小．【补充】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．【补充】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||BM AM -最大．【例11】 如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．M BO A lBA NM D A【补充】例题中的条件不变，求DN MN -的最小值与最大值．【补充】如图，已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且2DM =，N 是AC 上的一个动点，则DN MN +的最小值是MD CBA【习题1】 (2007双柏中考)等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 ． 【习题2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边的长为( )A ．17cmB ．5cmC ．17cm 或5cmD ．无法确定【习题3】 已知等腰三角形的周长为20，腰长为x ，求x 的取值范围．【习题4】 (2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【习题5】 判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼家庭作业【备选1】 ABC ∆的一个内角的大小是040，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是( )A ．140︒B ．80︒或100︒C ． 100︒或140︒D ． 80︒或140︒【备选2】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两部分，求腰长和底长． 【备选3】 (四川省竞赛题)如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB 上求作一点P 使得PC PE +长度之和最小．PECBA【备选4】 在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE =，1CE =，P 在BD 上，求PE 和PC 的长度之和的最小值．E PDCB AE‘E PDCB A月测备选第六讲 全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【例3】 AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( )A . aB . kC .2k h+ D . h MDCBA【例4】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .D OECB ANEB M A DF DA【例5】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．FABCDEOOEDCBA【例6】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例7】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDEN MDCB A板块二、全等与角度【例10】 如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【例11】 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.CEDB AD CBAD E CBA。
2020年人教版八年级数学上册《全等三角形》单元培优(含答案)
2020年人教版八年级数学上册《全等三角形》单元培优一、选择题1.如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA2.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（）A.1B.2C.3D.43.如图，已知OQ平分∠AOB，点P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，点M为OB上一点，若∠PNO+∠PMO=180°，则PM和PN的大小关系是（）A.PM＞PNB.PM＜PNC.PM=PND.不能确定4.在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）。
A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定5.如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC．若PD=PE=PF，∠BAC=70°，则∠BPC的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°6.如图,在△ABC中,∠C=900,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论:①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是（）A.1B.2C.3D.48.如图,在正方形ABCD中,AB=2,延长BC到点E,使CE=1,连接DE,动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当△ABP和△DCE全等时,t的值为（）A.3B.5C.7D.3或7二、填空题9.如图EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（填序号）．10.如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是．11.如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=38°，则∠AEB= .12.在平面直角坐标系中,点A（2,0），B（0,4），作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C坐标为 .13.在△ABC中,AB=8,AC=10,则BC边上的中线AD的取值范围是．14.如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD=5，则△ABC 的面积= .15.如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（请将所有正确结论的序号都填上）．三、解答题16.如图，已知AB=AC，AD=AE，BD=CE，求证：∠3=∠1＋∠2.17.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.18.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．19.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB 和∠CAP的度数．20.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B.21.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC.求证：∠A+∠C=180°．22.如图,已知在△ABC中,∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN垂直于AB于点N,PM垂直于AC于点M,BN和CM有什么数量关系？请说明理由．参考答案1.D2.C3.C4.C5.C6.C.7.D.8.D9.答案为：①②③．10.答案为：相等或互补．11.答案为：128°.12.答案为：（-2,0），（-2,4），（2,4）；13.答案为：1＜AD ＜9．14.答案为：50.15.答案为：①②④．16.证明：在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SSS).∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2.∵∠3=∠BAD ＋∠ABD ，∴∠3=∠1＋∠2.17.证明：（1）∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC ，即∠EAC=∠BAF ，在△ABF 和△AEC 中，∵，∴△ABF ≌△AEC （SAS ），∴EC=BF ；（2）如图，根据（1），△ABF ≌△AEC ，∴∠AEC=∠ABF ，∵AE ⊥AB ，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM （对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°，所以EC⊥BF.18.证明：因为∠CEB=∠CAB=90°所以：ABCE四点共元又因为：∠ABE=∠CBE所以：AE=CE所以：∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG所以：∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA所以：∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB所以：△AEC≌△AGB所以：EC=BG=DG所以：BD=2CE19.答案为：80°，50°；20.证明:延长AC至E,使CE=CD,连接ED∵AB=AC+CD∴AE=AB∵AD平分∠CAB∴∠EAD=∠BAD∴AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD∴△ADE≌△ADB∴∠E=∠B且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B即∠C=2∠B21.证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．22.证明：如图，连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．。
八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版含解析)
八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1.如图，在菱形ABCD中，ZABC=120° , AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B f C为顶点的三角形是等腰三角形，则P, A（P, A两点不重合）两点间的最短距离为____________ c m .【答案】1OJJ-1O【解析】解：连接3D,在菱形A3CD中，T Z ABC=120° , AB=BC=AD=CD=10 , :. Z A=Z C=60° ,二△ ABD , △ BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：①若以边8C为底，则3C垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了"直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短"，即当点P与点D重合时，必最小，最小值^4=10 ；②若以边P3为底，ZPCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧3D （除点8外）上的所有点都满足APBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP 最小，最小值为lOjJ-10 ；③若以边PC为底，ZPBC为顶角，以点3为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点&与点D均满足APBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，必最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，必的最小值为10>/3-10 （cm）.故答案为：10x/I—10 .点睹：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.2.在等腰△遊中，肋丄肚交直线％于点以若妙丄万G则△磁的顶角的度数为【答案】30。
或150。
或90°【解析】试题分析：分两种情况：①3C为腰，②BC为底，根据直角三角形30。
角所对的直角边等于斜边的一半判断岀ZACD=3O°,然后分AD在^ABC内部和外部两种情况求解即可.解：①BC为腰，VAD丄 BC 于点D t AD= - BC f2:.ZACD二30。
2022年人教版八年级上册数学同步培优小专题(六) 全等三角形中的“一线三等角”模型
小专题(六) 全等三角形中的“一线三等角”模型
变式3 钝角型(△APC≌△BDP)
● 模型展示
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小专题(六) 全等三角形中的“一线三等角”模型
3.如图,已知B,C,D三点共线,∠ABC＝∠ACE＝∠CDE,AC＝ CE. 求证:BD＝AB＋DE.
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小专题(六) 全等三角形中的“一线三等角”模型
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小专题(六) 全等三角形中的“一线三等角”模型
变式2 直角型(△ABC≌△CDE)
● 模型展示
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小专题(六) 全等三角形中的“一线三等角”模型
2.如图,∠ACB＝90°,AC＝BC,AE⊥CE于点E,BD⊥CE于点D. 若AE＝5 cm,BD＝2 cm,则DE的长是( C ) A.8 cm B.5 cm C.3 cm D.2 cm
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小专题(六) 全等三角形中的“一线三等角”模型
解:由题可知∠1＝∠2＝∠BAC＝50°, ∴∠BAD＋∠CAE＝50°,∠BAD＋∠ABD＝50°, ∴∠CAE＝∠ABD.又 ∵∠ADB＝∠AEC,AB＝AC, ∴△ACE≌△BAD(AAS),∴S△ACE＝S△BAD, ∴S△ACE＋S△BDF＝S△BAD＋S△BDF＝S△ABF. ∵CF＝2BF,∴S△ABF＝13S△ABC＝5, ∴S△ACE＋S△BDF＝5.
证明:∵∠BCE是△CDE的外角, ∴∠BCE＝∠CDE＋∠CED, 即∠ACB＋∠ACE＝∠CDE＋∠CED. 又∵∠ACE＝∠CDE,∴∠ACB＝∠CED. ∵AC＝CE,∴△ABC≌△CDE(AAS), ∴AB＝CD,BC＝DE, ∴BD＝BC＋CD＝AB＋DE.
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变式1 锐角型(△APC≌△BDP)
● 模型线三等角”模型
人教版八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)
人教版八年级上册数学全册全套试卷（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．（1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；（2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．【解析】【分析】（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN=60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC．（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．【详解】解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD与△ECD中，∵BD CDMBD ECD BM CE，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，在△DMN与△DEN中，∵MD DEMDN EDN DN DN，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．理由：在CA上截取CE=BM．∵△ABC是正三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠DCE=90°，在△BMD和△CED中∵BM CEMBD ECD BD CD，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DM= DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，在△MDN和△EDN中∵ND NDEDN MDN ND ND，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析【解析】【分析】（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，2EF；（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB 于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=12AD，EC=MF=12AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．【详解】（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE＝2FE；解法1：∵∠AED＝∠ACB＝90°∴B、C、D、E四点共圆且BD是该圆的直径，∵点F是BD的中点，∴点F是圆心，∴EF＝CF＝FD＝FB，∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE，∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°∴∠ECF＝45°＝∠CEF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE＝2EF．解法2：易证∠BED＝∠ACB＝90°，∵点F是BD的中点，∴CF＝EF＝FB＝FD，∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，∴∠DFE＝2∠ABD，同理∠CFD＝2∠CBD，∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，即∠CFE＝90°，∴CE＝2EF．（2）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDF＝∠GBF，又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，∴△EDF≌△GBF，∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，∵AC＝BC，∴CE＝CG，∴∠EFC＝90°，CF＝EF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∴CE＝2FE；解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，又点F是BD的中点，∴FA＝FB＝FD，而AC＝BC，CF＝CF，∴△ACF≌△BCF，∴∠ACF＝∠BCF＝12∠ACB＝45°，∵FA＝FB，CA＝CB，∴CF所在的直线垂直平分线段AB，同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，又DA⊥BA，∴EF⊥CF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝2EF．（3）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，∵DF＝BF，∴FM∥AB，且FM＝12 AB，∵AE＝DE，∠AED＝90°，∴AM ＝EM ，∠AME ＝90°，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°∴CN=AN=12AB ，∠ANC ＝90°， ∴MF ∥AN ，FM ＝AN ＝CN ，∴四边形MFNA 为平行四边形， ∴FN ＝AM ＝EM ，∠AMF ＝∠FNA ，∴∠EMF ＝∠FNC ，∴△EMF ≌△FNC ，∴FE ＝CF ，∠EFM ＝∠FCN ，由MF ∥AN ，∠ANC ＝90°，可得∠CPF ＝90°，∴∠FCN+∠PFC ＝90°，∴∠EFM+∠PFC ＝90°，∴∠EFC ＝90°，∴△CEF 为等腰直角三角形，∴∠CEF ＝45°，∴CE ＝2FE ．【点睛】本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．3．在ABC ∆中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点,B C 重合），以AD 为腰作等腰直角DAF ∆，使90DAF ∠=︒，连接CF ．（1）观察猜想如图1，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为__________；②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________（提示：可证DAB FAC ∆≅∆）（2）数学思考如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；（3）拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线时，将DAF ∆沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE CF 、，若4,CD BC AC ==CE 的长．（提示：做AH BC ⊥于H ，做EM BD ⊥于M ）【答案】（1）①BC ⊥CF ；②BC ＝CF ＋DC ；（2）C ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC ，证明详见解析；（3）【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质得，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC （SAS ）；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质可得到=CF BD ，ACF ABD ∠=∠ ，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，证明ADH DEM △≌△ ，推出3EM DH == ，2DM AH == ，推出3CM EM == ，即可解决问题．【详解】（1）①正方形ADEF 中，AD AF =∵90BAC DAF ==︒∠∠∴BAD CAF ∠=∠在△DAB 与△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DAB FAC SAS △≌△∴B ACF ∠=∠∴90ACB ACF +=︒∠∠ ，即BC CF ⊥ ；②∵DAB FAC △≌△∴=CF BD∵BC BD CD =+∴BC CF CD =+（2）BC ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC证明：∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形∴AB ＝AC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAB ≌△FAC （SAS ）∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°∴∠ABD ＝180°－45°＝135°∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝135°－45°＝90°，∴CF ⊥BC∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF∴DC ＝CF ＋BC（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，∵90BAC ∠=︒，AB AV ==∴1422BC AH BH CH BC ======， ∴114CD BC == ∴3DH CH CD =+=∵四边形ADEF 是正方形∴90AD DE ADE ==︒，∠∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥，，∴四边形CMEN 是矩形∴NE CM EM CN ==，∵90AHD ADC EMD ===︒∠∠∠∴90ADH EDM EDM DEM +=+=︒∠∠∠∠∴ADH DEM =∠∠在△ADH 和△DEM 中ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADH DEM △≌△∴32EM DH DM AH ====，∴3CM EM ==∴CE ==【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键．4．如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动，速度为 1 个单位/秒，点F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点D 作 DE⊥AC，连结DF 交射线 AC 于点 G(1)当 DF⊥AB 时，求 t 的值；(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。
八年级数学培优资料(全套)
八年级数学培优资料（全套）目录第01讲全等三角形的性质与判定6经典·考题·赏析6演练巩固·反馈提高10培优升级·奥赛检测12第02讲角平分线的性质与判定14经典·考题·赏析15培优升级·奥赛检测18第3讲轴对称及轴对称变换19经典·考题·赏析19演练巩固·反馈提高23培优升级·奥赛检测24第4讲等腰三角形27经典·考题·赏析27培优升级·奥赛检测34第五讲等边三角形36经典考题赏析36巩固练习反馈提高39第06讲实数41经典·考题·赏析41演练巩固反馈提高43培优升级奥赛检测44第7讲变量与函数45经典·考题·赏析46演练巩固·反馈提高49第8讲一次函数的图象与性质50经典·考题·赏析51演练巩固·反馈提高54培优升级·奥赛检测57第9讲一次函数与方程、不等式58经典·考题·赏析58演练巩固·反馈提高61第10讲一次函数的应用62经典·考题·赏析62演练巩固反馈提高69第11讲幂的运算72经典·考题·赏析72演练巩固反馈提高73培优升级奥赛检测74第12讲整式的乘除75经典·考题·赏析76演练巩固·反馈提高78第13讲因式分解及其应用80经典·考题·赏析80演练巩固反馈提高83培优升级奥赛检测84第14讲分式的概念•性质与运算85经典•考题•赏析86演练巩固反馈提高89培优升级奥赛检测90第15讲分式的化简求值与证明91经典•考题•赏析92演练巩固反馈提高96培优升级奥赛检测97第16讲分式方程及其应用99经典·考题·赏析99演练巩固·反馈提高102培优升级·奥赛检测104第17讲反比例函数的图象与性质106经典·考题·赏析106演练巩固·反馈提高110培优升级·奥赛检测113第18讲反比例函数的应用115经典·考题·赏析115演练巩固反馈提高119培优升级奥赛检测120第19讲勾股定理122经典·考题·赏析122演练巩固·反馈提高127培优升级•奥赛检测129第20讲平行四边形131经典•考题•赏析131演练巩固反馈提高135培优升级奥赛检测137第21讲菱形与矩形139经典·考题·赏析139演练巩固反馈提高141培优升级奥赛检测143第22讲正方形145经典•考题•赏析145演练巩固·反馈提高150培优升级·奥赛检测152第23讲梯形154经典•考题•赏析154演练巩固反馈提高. 155培优升级奥赛检测158第24讲数据的分析161经典·考题·赏析161演练巩固·反馈提高165培优升级·奥赛检测166模拟测试卷（一）169模拟测试卷(二) 172模拟测试卷（三）174A F CEDB B AC DE F第01讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中 AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF =⎧⎨=⎩∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C .【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．502.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .AE第1题图A BCDEBCDO第2题图A B C D O FE A C EFBD点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠F AC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠F AC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA 【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P ∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90° D ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.EFB ACDG第2题图B （E ）OC F 图③DA【例４】（第21高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高， ∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ， ∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠P AD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠P AD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D21ABC PQ E F D演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC 05将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ） A . △ABE ≌△CBD B . ∠ABE ＝∠CBD C . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______第1题图 a αc ca50° b72°58°10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____.11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，Pcm /s , Qcm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D .⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E . ⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB 垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌D A C .QP.BD B AC EFAE BF D CA EF C D B △A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE ,则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .F 第6题图 21A B C E N M 321 A D E B C F A D E CO AE O BF C D 第1题图 B 第2题图 第3题图 A B CD A 1 B 1C 1D 1A B C DEAE B D C 09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
2024年湘教版八年级上册数学期末培优训练第6招全等三角形判定的三种类型
∴△ BDF ≌△ CEF (AAS).
∴ BF ＝ CF ， DF ＝ EF .
∴ BF ＋ EF ＝ CF ＋ DF ，即 BE ＝ CD .
∠＝∠，
在△ ABE 和△ ACD 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ ABE ≌△ ACD (AAS).
∴ AB ＝ AC . ∴△ ABC 是等腰三角形.
定出全等三角形.本题图中没有三角形，只有连接 AC ，
将∠ B 和∠ D 分别放在两个三角形中，通过三边对应相等
证明两个三角形全等来证明∠ B 和∠ D 相等.
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典例剖析
证明：如图，连接 AC .
＝，
在△ ABC 和△ ADC 中，ቐ＝，
＝，
∴△ ABC ≌△ ADC (SSS).∴∠ B ＝∠ D .
个三角形已经具备的条件，然后以其为基础，结合已知的
其他条件，分析推导得出需要的条件.
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典例剖析
如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ， CB ＝ CD . 求
证：∠ B ＝∠ D .
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典例剖析
判定三角形全等时，需要三对相等的对应边或角
(至少有一对对应边)，因此我们可以先根据题目的条件确
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分类训练
已知一边一角型
方法1一次全等型
1. 如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边上一点，连接 AD ，过点
B 作 BE ⊥ AD 于点 E ，过点 C 作 CF ⊥ AD 交 AD 的延长
线于点 F ，且 BE ＝ CF .
求证： AD 是△ ABC 的中线.
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分类训练
∴△ ACB ≌△ ACD .
八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)
八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．【答案】4【解析】【分析】由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.【详解】（1）当点P在x轴正半轴上，①如图，以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP＝45°，OA＝22，当∠AOP为顶角时，OA=OP=22，当∠OAP为顶角时，AO=AP，∴OPA=∠AOP=45°，∴∠OAP=90°，∴OP=2OA=4，∴P的坐标是（4，0）或（22，0）.②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴∠AOP=45°，∵AP=OP，∴∠OAP=∠AOP=45°，∴∠OPA=90°，∴OP=2，∴P点坐标为（2，0）.（2）当点P在x轴负半轴上，③以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴OA＝22，∴OA＝OP＝22，∴P的坐标是（﹣22，0）．综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（22，0）或（﹣22，0）．故答案为：4．【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．∥，2．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC++=____cm．PF AC∥，若ABC的周长为12cm，则PD PE PF【答案】4【解析】【分析】先说明四边形HBDP是平行四边形，△AHE和△AHE是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．【详解】∥解：∵PD AB，PE BC∴四边形HBDP是平行四边形∴PD=HB∵ABC为等边三角形,周长为12cm∴∠B=∠A=60°,AB=4∥∵PE BC∴∠AHE=∠B=60°∴∠AHE=∠A=60°∴△AHE是等边三角形∴HE=AH∵∠HFP=∠A=60°∴∠HFP=∠AHE=60°∴△AHE是等边三角形，∴FP=PH∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm故答案为4cm．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．3．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．【答案】363【解析】【分析】分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可；【详解】解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°∵∠C ＝45° ∴∠AME ＝∠C又∵∠AME ＞∠C∴这种情况不成立；②若AE ＝EM∵∠B ＝∠AEM ＝45°∴∠BAE+∠AEB ＝135°，∠MEC+∠AEB ＝135°∴∠BAE ＝∠MEC在△ABE 和△ECM 中，B BAE CENAE EII C ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ECM （AAS ），∴CE ＝AB ＝6，∵AC ＝BC ＝2AB ＝23，∴BE ＝23﹣6；③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45°∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＝45°∴AE 平分∠BAC∵AB ＝AC ，∴BE ＝12BC ＝3． 故答案为23﹣6或3．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．4．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG ．其中正确的结论是______．【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．【详解】∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ，故①正确；若∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ， ∵∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，∴∠ABF=∠EBD ，∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ，又∵∠BAD=∠C ，∴∠AFE=∠AEF ，∴AF=AE ，故③正确；∵AG 是∠DAC 的平分线，AF=AE ，∴AN ⊥BE ，FN=EN ，在△ABN 与△GBN 中，∵90ABN GBNBN BNANB GNB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABN≌△GBN（ASA），∴AN=GN，又∵FN=EN，∠ANE=∠GNF，∴△ANE≌△GNF（SAS），∴∠NAE=∠NGF，∴GF∥AE，即GF∥AC，故④正确；∵AE=AF，AE=FG，而△AEF不一定是等边三角形，∴EF不一定等于AE，∴EF不一定等于FG，故⑤错误．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．5．如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=43，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为_____．53【解析】试题分析：如图所示，由△ABC是等边三角形，BC=433，∠ABG=∠HBD=30°，由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°，由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°，由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4．由GE为边作等边三角形GEF，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE是等边三角形；S△ABC=12AC•BE=12AC×EH×3EH=13BE=13×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=3．S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣S △FIN =223314231442⨯-⨯-⨯⨯=53，故答案为53．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．6．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得出OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP ，12POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，求出△COD 是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图示：连接OC ，OD ，∵点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，∴OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，∵OP=5cm，∴12COA AOP COP，12POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，∵△PEF的周长是5cm，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，∴CD=OD=OD=5cm，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴11122230 AOB AOP BOP COP DOP COD，故答案为：30．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)【答案】4【解析】 【分析】 ①连接NP ，MP ，根据SSS 定理可得△ANP ≌△AMP ，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB 的度数，再由AD 是∠BAC 的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC =60°；③根据∠1=∠B 可知AD =BD ，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD =12AD ，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】 ①连接NP ，MP ．在△ANP 与△AMP 中，∵AN AM NP MP AP AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ANP ≌△AMP ，则∠CAD =∠BAD ，故AD 是∠BAC 的平分线，故此选项正确；②∵在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，∴∠CAB =60°．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB =30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC =60°，故此选项正确；③∵∠1=∠B =30°，∴AD =BD ，∴点D 在AB 的中垂线上，故此选项正确；④∵在Rt △ACD中，∠2=30°，∴CD =12AD ，∴BC =BD +CD =AD +12AD =32AD ，S △DAC =12AC •CD =14AC •AD ，∴S △ABC=12AC •BC =12AC •32AD =34AC •AD ，∴S △DAC ：S △ABC =1：3，故此选项正确． 故答案为①②③④．【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．8．如图，已知30AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，14OD DP ==，点E ，F 在边OB 上，PE PF =.若6EF =，则OF 的长为____.【答案】18【解析】【分析】由30°角我们经常想到作垂线，那么我们可以作DM垂直于OA于M，作PN垂直于OB 于点N，证明△PMD≌△PND，进而求出DF长度，从而求出OF的长度.【详解】如图所示，作DM垂直于OA于M，作PN垂直于OB于点N.∵∠AOB=30°，∠DMO=90°，PD=DO=14，∴DM=7，∠NPO=60°，∠DPO=30°，∴∠NPD=∠DPO=30°，∵DP=DP，∠PND=∠PMD=90°，∴△PND≌△PMD，∴ND=7，∵EF=6，∴DF=ND-NF=7-3=4，∴OF=DF+OD=14+4=18.【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.9．已知，∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A7B7A8的边长为______．【答案】64a【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到A2B2=2B1A2，进而得出A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2…从而得到答案．【详解】∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°．∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°．又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°．∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=a，∴A2B1=a．∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2=16a，以此类推：A7B7=64B1A2=64a．故答案为：64a．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题的关键．10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____．【答案】9.6．【解析】【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD 垂直平分BC ，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长．在△ABC 中，利用面积法可求出BQ 的长度，此题得解．【详解】∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 垂直平分BC ，∴BP ＝CP ．过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长，如图所示．∵S △ABC 12=BC •AD 12=AC •BQ ，∴BQ 12810BC AD AC ⋅⨯===9.6． 故答案为：9.6．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC +PQ 的最小值为BQ 是解题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1,0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上.则这样的P点有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】D【解析】【分析】本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，P是动点，所以要分情况讨论：以AP、AB为腰、以AP、BP为腰或以BP、AB为腰．则满足条件的点P可求．【详解】由题意可知：以AP、AB为腰的三角形有3个；以AP、BP为腰的三角形有2个；以BP、AB为腰的三角形有2个．所以，这样的点P共有7个.故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．12．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（）个．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC=AB，②若BC=BA，③若CA=CB）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】①若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC =BA ，则以点B 为圆心，BA 为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A 点除外）； ③若CA =CB ，则点C 在AB 的垂直平分线上．∵A （0，0），B （2，2），∴AB 的垂直平分线与坐标轴有2个交点．综上所述：符合条件的点C 的个数有8个．故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．13．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（ ）A ．9个B ．7个C ．6个D ．5个【答案】B【解析】【分析】先以Rt ABC ∆三个顶点分别为圆心，再以每个顶点所在的较短边为半径画弧，即可确定等腰三角形的第三个顶点；也可以作三边的垂直平分线确定等腰三角形的第三个顶点即得．【详解】解：①如图1，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，则∆BCD 就是等腰三角形；②如图2，以A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点E ，则∆ACE 就是等腰三角形； ③如图3，以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于M ，交AC 于点F ，则∆BCM 、∆BCF 是等腰三角形；④如图4，作AC 的垂直平分线交AB 于点H ，则∆ACH 就是等腰三角形；⑤如图5，作AB 的垂直平分线交AC 于点G ，则∆AGB 就是等腰三角形；⑥如图6，作BC 的垂直平分线交AB 于I ，则∆BCI 就是等腰三角形．故选：B ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定的应用，通过作垂直平分线或者画弧的方法确定相等的边是解题关键．14．如图所示，等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，其中1(0,1)A ，()21,13A --，()31,13A -，4(0,2)A ，()52,223A --，……，按此规律排下去，则2019A 的坐标为（ ）A ．(673,6736733-B ．(673,6736733--C ．(0,1009)D ．(674,6746743- 【答案】A【解析】【分析】根据等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，及点的坐标特征，每三个点一个循环，2019÷3=673，A2019的坐标在第四象限即可得到结论．【详解】∵2019÷3=673，∴顶点A2019是第673个等边三角形的第三个顶点，且在第四象限．第673个等边三角形边长为2×673=1346，∴点A2019的横坐标为12⨯1346=673．点A2019的纵坐标为673-134632⨯=673﹣6733．故点A2019的坐标为：()673,6736733-．故选：A．【点睛】本题考查了点的坐标、等边三角形的性质，是点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质，确定出点A2019所在三角形是解答本题的关键．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【详解】解：根据题意，∵△PAB为等腰三角形，∴可分为：PA=PB，PA=AB，PB=AB三种情况，如图所示：∴符合条件的点P共有4个；故选择：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据等腰三角形的判定定理解答．16．如图，点D，E是等边三角形ABC的边BC，AC上的点，且CD=AE，AD交BE于点P，BQ⊥AD于点Q，已知PE=2，PQ=6，则AD等于( )A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【解析】【分析】由题中条件可得△ABE≌△CAD，得出AD=BE，∠ABE=∠CAD，进而得出∠BPD=60°．在Rt△BPQ中，根据30度角所对直角边等于斜边的一半，求出BP的长，进而可得结论．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°．又∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，AD=BE，∴∠BPD=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2×6=12，∴AD=BE=BP+PE=12+2=14．故选C．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，证明∠BPD=60°是解答本题的关键．17．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正确结论的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正确；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ （ASA），所以AP=BQ；故②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性质可得∠AOE=120°，可知⑤正确；【详解】①∵△ABC和△CDE为等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，故①正确；由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°∴△CQB≌△CPA（ASA），∴AP＝BQ，故②正确；∵△CQB≌△CPA，∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，故③正确，∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，∴PD≠CD，∴DE≠DP，故④DE＝DP错误；∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠BED，∵∠CBE＝∠DAE，∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，∴∠AOE＝120°，故⑤正确，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．18．如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R。
2024-2025学年八年级上册期中押题重难点检测卷(范围：三角形、全等三角形、轴对称)(含解析)
期中押题重难点检测卷（培优卷）【考试范围：三角形、全等三角形、轴对称】注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。
答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）窗花是中国古老的民间艺术之一，下列窗花作品中为轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（23-24七年级下·全国·单元测试）一块三角形玻璃板不慎被小强同学碰破，成了如图所示的四块，聪明的小强经过仔细地考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃板，你认为可行的方案是（ ）A ．带其中的任意两块去都可以B ．带 ①②或②③去就可以了C ．带 ①④ 或③④去就可以了D ．带①④或①③去就可以了3．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）若三角形的三边长分别是2，8，m ，则m 的取值可能是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．104．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知ABC DCB ∠=∠，下列判断中，错误的是（ ）A ．若添加条件AB DC =，则ABC DCB △≌△B ．若添加条件AC DB =，则ABC DCB △≌△C ．若添加条件AD ∠=∠，则ABC DCB △≌△D ．若添加条件ACB DBC ∠=∠，则ABC DCB △≌△5．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中30,45,90B E C ADE °°°∠=∠=∠=∠=，若20EDB ∠=°，则BAE ∠的度数为（ ）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°6．（23-24七年级下·江苏南京·期末）在ABC 中，90C ∠=°，若10BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，且:3:2BD CD =，则点D 到线段AB 的距离DE 为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．67．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，三角形纸片中，12cm AB =，9cm AC =，16BC cm =．沿过点C 的直线折叠这个三角形，使点A 落BC 边上的点E 处，折痕为CD ，则DBE 的周长是（ ）A ．19cmB ．20cmC ．2lcmD ．22cm8．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在五边形ABCDE 中，146BAE =°∠，90B E ∠=∠=°，AB BC =，AE DE =．在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得AMN 的周长最小时，则AMN ANM ∠+∠的度数为（ ）A ．68°B ．76°C ．84°D ．96°9．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在ABC 中，已知AB AC =，90BAC ∠= ，10cm BC =，直线CM BC ⊥，动点D 从点C 开始沿射线CCBB 方向以每秒3cm 的速度运动，动点E 也同时从点C 开始在直线CM 上以每秒2cm 的速度运动，连接AAAA ，AE ，设运动时间为t 秒．当ABD ACE ≌△△时，t 的值应为（ ）A ．2或5B ．5或12C ．2或10D ．5或1010．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以AB AC ，为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG （正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接CE BG ，和EG EG ，与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG CE =；②BG CE ⊥；③AM 是AEG △的中线；④EAM ABC ∠=∠．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）11．（24-25八年级上·全国·单元测试）若从一个n 边形的一个顶点出发，最多可以引9条对角线，则n = ． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在ABC 中，已知ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点F ，过F 作DE BC ∥，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若3,2BD CE ==，则线段DE 的长为 ．13．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，90B C ∠=∠=°，DE ，AE 分别平分ADC ∠，BAD ∠，8BC =，10AD =，则ADE 的面积为 ．14．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，21x −，1y +，若这两个三角形全等，则x y +的值是 ．15．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）淇淇用正方形、正五边形和正六边形纸片组成如图所示的图形（正五边形和正六边形有1个顶点重合，正方形的两个顶点分别在正五边形和正六边形的边上），若12110∠+∠=°，则3∠的度数为 ．16．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，AD 是ABC 的角平分线，CE AD ⊥，垂足为F ，若30CAB ∠=°，50B ∠=°，则BDE ∠的度数为 ．17．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知30MON ∠=°，点123A A A …，，，在射线ON 上，点123B B B …，，，在射线OM 上．112223334A B A A B A A B A … ，，，均为等边三角形，若14OA =，则667A B A 的边长为 ．18．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，平面直角坐标系中，()0,2A ，点B 是x 轴上的动点，ABC 是等边三角形，连接OC ，则OC 的最小值是 ．三、解答题（8小题，共66分）19．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）已知一个三角形的两条边长分别为4cm ，8cm ．设第三条边长为cm x ．(1)求x 的取值范围．(2)若此三角形为等腰三角形，求该等腰三角形的周长．20．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，已知AB CE =，A C ∠=∠，DA 和DE 分别是BDE ∠和ADC ∠的平分线，点B 、C 、D 在同一直线上．(1)求证：ABD CED ≌△△；(2)若6AB =，7AD =，5DE =，求BC 的长．21．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，ABC 中，90ACB ∠=°，延长AC 到点F ，过点F 作FE AB ⊥于点E ，FE 与BC 交于点D ，若DE DC =．(1)求证： BD DF =；(2)若35AC cm AB cm ==，， 求CCCC 的长度．22．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）小强为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．如图，CD DB AB DB ⊥⊥，，测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角36DPC ∠=°，测楼顶A 视线PA 与地面夹角54APB ∠=°，且CD PB =．(1)证明：CPD PAB △≌△；(2)1036CD DB ==，，求大楼AB 的高．23．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在ABC 中，BD ，CD 分别是ABC ∠，ACB ∠的内角平分线，交于点D ，BP ，CP 分别是ABC ∠，ACB ∠的外角平分线，交于点P ．若50A ∠=°．(1)求BDC ∠；(2)如果A α∠=，直接用α表示出BPC ∠的度数．24．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线相交于点P ．(1)如图1，如果80A ∠=°，那么BPC ∠=______°；(2)如图1，请猜想A ∠与BPC ∠之间的数量关系，并说明理由；(3)如图2，作ABC 的外角MBC ∠，NCB ∠的平分线交于点Q ，试探究Q ∠与BPC ∠的数量关系．25．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】（1）如图1，在四边形ABCD 中，90AB AD B ADC ∠∠===°，，E ，F 分别是BC CD ，上的点，且EF BE FD =+，探究图中BAE FAD EAF ∠∠∠，，之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =．连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌,可得出结论,则他的结论应是________．【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD 中，180AB AD B D E F =∠+∠=°，，，分别是BC CD ，上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD 中，180ABC ADC AB AD ∠+∠=°=，，若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，且仍然满足EF BE FD =+，请直接写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系．26．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）在ABC 中，5AB =，3AC =．若点D 在BAC ∠的平分线所在的直线上．(1)如图1，当点D 在ABC 的外部时，过点D 作DE AB ⊥于E ，作DF AC ⊥交AC 的延长线于F ，且BE CF =． ①求证：点D 在BC 的垂直平分线上；②BE =________；(2)如图2，当点D 在线段BC 上时，若90C ∠=°，BE 平分ABC ∠，交AC 于点E ，交AD 与点F ，过点F 作FG BE ⊥，交BC 于点G ．①DFG ∠=________；②若4BC =，43EC =，求GC 的长度； (3)如图3，过点A 的直线l BC ∥，若90C ∠=°，4BC =，点D 到ABC 三边所在直线的距离相等，则点D 到直线l 的距离是________．期中押题重难点检测卷（培优卷）【考试范围：三角形、全等三角形、轴对称】注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。
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八上培优6 等边三角形与全等三角形
20190920
一．选择题（共6小题）
1．如图，已知等边△ABC和等边△BPE，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于M，连BM．若∠ABM=40°，则∠APB=（）
A．40°B．45°C．50°D．60°
2．如图，已知等边△ABC和等边△PAF，过P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连接PQ交AC边于D，当PA=CQ，AB=1时，DE的长（）
A．B．C．D．不能确定
3．如图，设△ABC和△CDE都是等边三角形，若∠AEB=70°，则∠EBD的度数是（）
A．115°B．120°C．125°D．130°
4．如图，设△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD=65°，则∠AEB的度
数是（）
A．115°B．120°C．125°D．130°
5．如图，OE是等边△AOB的中线，OB=4，C是直线OE上一动点，以AC为边在直线AC下方作等边△ACD，连接ED，下列说法正确的是（）
A．ED的最小值是2 B．ED的最小值是1
C．ED有最大值D．ED没有最大值也没有最小值
6．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE=CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB=（）
A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°
二．填空题（共3小题）
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，分别交AB、AD、AC于点E、M、F，交BC的延长线于点G，给出下列四个等式：①∠1=（∠2+∠3）；
②∠1=（∠3﹣∠2）；③∠4=（∠3﹣∠2）；④∠4=∠1．其中，正确的是（填序号）．
8．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM 的周长最小值为cm．
9．如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．当t=秒时，△DFE与△DMG全等．
三．解答题（共14小题）
10．如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB=16cm，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向B点运动，动点G以1cm/s 的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
（1）求：AM=cm，=；
=2S△DGC；
（2）求证：在运动过程中，无论t取何值，都有S
△AED
（3）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；
（4）若BD=8，则CD=cm．
11．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．
（1）如图1，若∠BAC=60°，点F与点C重合，求证：AF=AE+AD；
（2）如图2，若AD=AB，求证：AF=AE+BC．
12．已知，点D、E分别是等边△ABC的边BC、AB上的点，∠ADE=60°．（1）如图1，当点D是BC的中点时，求证：AE=3BE；
（2）如图2，点M在AC上，满足∠ADM=60°，求证：BE=CM；
（3）如图3，作CF∥AB交ED的延长线于点F，探究三条线段BE、CF、CD 之间的数量关系，并给出证明．
13．已知△ABC中，AC=BC，
（1）如图1，分别过A、B做AM⊥BC，BN⊥AC，垂足分别为点M、N，AM 与BN相交于点P，求证：AP=BP；
（2）如图2，分别在AC的右侧、BC的左侧做等边△ACE和等边△BCD，AE 与BD相交于点F，连接CF并延长交AB于点G，求证：点G是AB的中点；（3）在（2）的条件中，当∠ACB的大小发生变化时，设直线CD与直线AE相交于H点，当∠ACB等于度时，使得AH=CD．
14．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．
15．如图，在等腰三角形△ABC中，AC=BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE=∠A．
（1）如图①，若BC=BD，求证：CD=DE；
（2）如图②，过点C作CH⊥DE，垂足为H，若CD=BD，EH=1，求DE﹣BE 的值．
16．在边长为4的等边△ABC中．
（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=18°，求∠AQB的度数；
（2）点P、Q在BC边上的两个动点（不与点B、C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM、PM，依题意将图2补全，并求证：PA=PM．
（3）在（2）中，当AM的值最小时，直接写出CM的长．
17．在等边△ABC中，
（1）点E在AB上，点D在CB的延长线上，∠EDC=∠ECD，如图1，试确定线段AE与DB之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E在AB上，AE=3BE，连接CE，作∠BCM=∠AEC，CM=CE，连接AM交BC于P点，求BP：CP的值；
（3）如图3，△ABC的边长为6，点E在AB上，点D在BC上，以DE为边作等边△DEF，若点F在△ABC外，BE=x（3＜x＜6），连接CF，且有CF⊥BC，直接写出CD的长，（用含有x的式子表示）
18．如图1，△ABC是边长为8cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A方向在线段BA上以acm/s的速度运动，点E从C点出发沿C→B方向在线段CB 上以bcm/s的速度运动，D，E两点同时出发，运动时间为ts，当点D到达点A 后，D，E两点停止运动．
（1）如图2，若a=b=1，连接AE，CD，相交于点F，连BF
①求∠AFC的度数；
②当AF=2CF时，求t的值
（2）如图3，若a=2，b=1，连接DE，以DE为边作等边△DEM，使M，B在DE的两侧，点O为AC的中点，连接OM，求OM的最小值．
19．已知在△ABC中，AB=AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC 于点G、H．
（1）如图1，若∠ABC=60°，∠MBN=30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．
①求证：∠1=∠2；
②如图2，若BF=2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；
（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE=∠BAC=2∠CFE，求的值．
20．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（b，0），C（0，c），且|a+b|+（c﹣a）2=0，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动．连接PA，PB．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）设点P运动的时间为t秒，D为AC上的动点（不与A、C两点重合）问：当t为何值时，DP与DB垂直相等？并直接写出此时点D的坐标．
（3）如图2，若PA＞AB，以PA为边作等边△APQ，使△APQ与△ABP位于AP的同侧，直线BQ与y轴、直线PA交于点E、F，请找出线段PE，EQ，OE 之间的数量关系（等量关系），并说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），点B在第一象限，△OAB为等边三角形，OC⊥AB，垂足为点C．
（1）直接写出点C的横坐标；
（2）作点C关于y轴的对称点D，连DA交OB于E，求OE的长；
（3）P为y轴上一动点，连接PA，以PA为边在PA所在直线的下方作等边△PAH．当OH最短时，求点H的横坐标．
22．如图△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点．
（1）如图，若OC=5，求BD的长度；
（2）设BD交x轴于点F，求证：∠OFA=∠DFA；
（3）如图，若正△AOB的边长为4，点C为x轴上一动点，以AC为边在直线AC下方作正△ACD，连接ED，求ED的最小值
23．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO=a，AB=b，BO与x轴正方向的夹角为150°，且a2﹣b2+a﹣b=0．
（1）试判定△ABO的形状；
（2）如图1，若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的中点，AC、BD交于E，求证：AE=BE+CE；
（3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延
长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系？试证明你的结论．。