浙江省绍兴市上虞区2019届高三第二次(5月)教学质量调测数学试题 Word版含答案

2018-2019学年第二学期高三第二次教学质量调测数学试卷（2019.5）参考公式：球的表面积公式24S R π=； 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集，集合，则集合是2．已知,a b R ∈，则“0a b >>”是“11a b ->-”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3．若复数1a iz i+=-（i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 A ．2- B ．1- C.1 D ．24．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222c b a =+，则角C 的取值范围 A ．06π⎛⎤ ⎥⎝⎦， B ．64ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦， C ．03π⎛⎤ ⎥⎝⎦， D ．43ππ⎛⎤⎥⎝⎦，5．设函数21sin 2)(x x x x f -++=的最大值为M ，最小值为N ，则N M +的值是 A ．0 B ．1 C.2 D ． 46. 已知双曲线2221(0)2y x a a -=>5，若以(2,1)-为圆心，r 为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径=r A ． 5B ．554C ．553D ．55 7．如图，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为边AC AB ,上的点，当APQ ∆的周长为2时，则PCQ ∠的大小是DCBA侧视方向ABCA1B1C1A．030 B．045 C．060 D．0758．已知棱长都为2的正三棱柱111ABC A B C-的直观图如图，若正三棱柱111ABC A B C-绕着它的一条侧棱1AA所在直线旋转，则它的侧视图可以为9．(1)将k个小球随机地投入编号为1,2...,1k+的1k+个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为1ξ；(2)将1k+个小球随机地投入编号为1,2...,2k+的2k+个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记2k+号盒子中小球的个数为2ξ，则A.)()(21ξξEE<)()(21ξξDD< B.)()(21ξξEE<)()(21ξξDD>C.)()(21ξξEE>)()(21ξξDD< D.)()(21ξξEE>)()(21ξξDD>10.已知数列{}na是公比为(1)q q≠±的等比数列，且1a>，则下列叙述中错误的是A．若2413ln lna a a a+=+，则1q< B．若1423a aa a e e+=+，则1q<-C．若2413a aa e a e=，则2(1)(1)0a q<++ D．若1423ln lna a a a=，则3()(1)0a e q>--第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。

11.《莱因德纸草书》是世界上最古老的的数学著作之一.书中有这样的题目：把100个面包分给5个人（注：每个面包可以分割），使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的71是较小的两份之和，则最小1份是，公差为 .12．已知实数yx,满足121050xx yx y≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则x的范围为，42xyz=的最大值为 .13．6)1)(2(x x a -+关于x 的展开式中，常数项为2,则=a ；2x 的系数是 .14. 已知函数m x x x f ++=2cos 22sin 3)(（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ）的最大值是6，则实数=m ，函数)(x f 的单调减区间是 .15．某市举办全运会开幕式．现从A 、B 、C 、D 、E 5个节目中任选3个节目进行开幕式表演，若3个节目中有A 和B 时，A 需排在B 的前面出场（不一定相邻），则不同的 出场方法有 种.16．已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f ，若1)(-≥ax x f ，则实数a 的取值范围是 .17．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，090C ∠=，2AC =,两顶点,A C 分别在,x y 正半轴（含原点O ）上运动，,P Q 分别是,AC AB 的中点，则OP OQ OQ⋅的取值范围是 .三、解答题：本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，且sin 2sin b C c B =． （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）若3sin()35B π-=，求sin A 的值. 19．（本题满分15分）已知等腰直角三角形ABC ，090=∠C ，E D ,分别是AB AC ,的中 点，沿DE 将ADE ∆折起（如图），连接AB AC ,. (Ⅰ)设点P 为AC 的中点，求证：⊥DP 面ABC ； (Ⅱ)设Q 为BE 的中点，当ADE ∆折成二面角 B DE A --为060时，求CQ 与面ABC 所成 角的正弦值.20．（本题满分15分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21=a ,n n a m n S )(3+=,R m ∈.（Ⅰ）求m 的值及{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n b 满足n b a n n =， {}n b 前n 项和为n T ，若存在*∈N n ，使得nn T T 2≥+λ成立，求实数λ的最小值.21．（本题满分15分）已知椭圆1:22221=+bx a y C （0>>b a ）和抛物线h x y C +=22:.椭圆1C 的左顶点为)0,1(-A ，过1C 的焦点且垂直于长轴的弦长为1. （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设P 为抛物线2C 上任一点，过点P 作切线交椭圆1C 于点N M ,， 问线段AP 的中点与弦MN 的中点连线是否平行于x 轴？若平 行，求出h 的取值范围；若不平行，请说明理由．22．（本题满分15分）已知x aex f x+=-)(与),(21)(2R b a b x x x g ∈-+=. （Ⅰ）若)(),(x g x f 在2=x 处有相同的切线．求b a ,的值；（Ⅱ）设)()()(x g x f x F -=，若函数()F x 有两个极值点)(,2121x x x x >，且 0321≥-x x ，求实数a 的取值范围．2018学年第二学期高三第二次教学质量调测数学参考答案（2019.5）一、选择题：每小题4分，共40分. 1-10 BDCCD CBBAD二、填空题：多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11．53, 556； 12． []1,3, 16 ； 13． 2, 60； 14． 3, [,]62ππ； 15．51； 16．[]4,0- ； 17．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,22． 三、解答题：本大题共5小题，共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本题满分14分）（Ⅰ）由sin 2sin b C c B =，根据正弦定理，得 2sin sin cos sin sin B C C C B =， …………2分因为sin 0,sin 0B C >>，所以1cos 2C =， …………4分 又(0,)C π∈，所以3C π=. …………6分（Ⅱ）因为3C π=，所以2(0,)3B π∈，所以(,)333B πππ-∈-， 且3sin()35B π-=，所以24cos()1sin ()335B B ππ-=--=. …………9分又23A B π+=，即23A B π=-，所以2sin sin()3A B π=- sin(())sin cos()cos sin()333333B B B ππππππ=--=--- …………11分 3413433252510=-⨯=. …………14分 19．(本题满分15分) 解：（Ⅰ）由题意可知，DE ∥BC ，即090=∠=∠CDE ADE ，于是CD DE AD DE ⊥⊥,，⊥∴DE 面ADC ，从而⊥BC 面ADC ， 因此DP BC ⊥. …………3分另一方面，由P DC DA ,=是中点得：AC DP ⊥. …………5分⊥∴DP 面ABC . …………7分 （Ⅱ）不妨设等腰直角三角形的直角边长为4.由二面角B DE A --为060可知 ACD ∆是等边三角形，32=DP . …………9分因为DE ∥BC ，故DE ∥面ABC ，即点E 到面ABC 的距离等于点P 到面ABC 的距离.而Q 为BE 之中点，于是点Q 到面ABC 的距离为23. …………11分 计算得：10=CQ ， …………13分所以CQ 与面ABC 所成角的正弦值为2030. …………15分 20．（本题满分15分）（Ⅰ）因为3()n n S n m a =+，11133(1)S a m a ∴==+，解得2m =.…………2分3(2)n n S n a ∴=+，①，当2n 时，113(1)n n S n a --=+，②，由①-②可得13(2)(1)n n n a n a n a -=+-+， 即1(1)(1)n n n a n a --=+，∴111n n a n a n -+=-， …………4分 ∴2131a a =，3242a a =，4353a a =，⋯，122n n a n a n --=-，111n n a n a n -+=-，累乘可得(1)n a n n =+. …………7分 经检验12a =符合题意，(1)n a n n ∴=+，*n N ∈. …………8分 （Ⅱ）因为n n a b n =，11n b n ∴=+…………10分令21112321n n n B T T n n n =-=++⋯++++， …………11分 则1340(22)(23)(2)n n n B B n n n ++-=>+++，∴数列{}n B 为递增数列，113n B B ∴=， …………13分 由存在*n N ∈，使得2n n T T λ+成立，113B λ∴=，故实数λ的最小值为13.…………15分21．（本题满分15分）（Ⅰ）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=12,12ab b ， …………2分解得⎩⎨⎧==12b a . …………4分 因此，所求的椭圆方程为1422=+x y . …………5分 （Ⅱ）设),(11y x M ，),(22y x N ，),(2h t t P +（0≠t ），则抛物线2C 在点P 的切线斜率为t ytx 2'==.直线MN 的方程为：h t tx y +-=22. …………7分 将上式代入椭圆方程得：04)()(2)1(222222=--+--+t h t y h t y t .因为直线MN 与椭圆有两个不同的交点，于是0)4)2(2(422421>+-++-=∆h t h t t . ①设线段MN 的中点纵坐标为3y ，1223+-=t t h y . …………9分设线段PA 的中点的纵坐标是4y ，224ht y +=. …………10分令43y y =，得0)3(24=-++h t h t ， ②004)3(22≥=++=∆h h ，解得：1-≥h 或9-≤h . …………12分当9-≤h 时，01<∆，舍去； 当01<≤-h 时，②式无解； 当0=h 时，解得0=t ，不符合要求； 当0>h 时，方程②有解，且满足条件①.综上所述，h 的取值范围是),0(+∞. …………15分 也可以一下求解：显然12≠t ，于是22413t t t h -+=，令m t =-21（1< m 且0≠m ），则54-+=mm h ，所以9-≤h 或0>h .所以h 的取值范围是),0(+∞. 22．（本题满分15分）解：（Ⅰ）解答：'()1xf x ae-=-+,'()1g x x =+. …………2分由于)(),(x g x f 在2=x 处有相同的切线，得'(2)'(2)(2)(2)f g f g =⎧⎨=⎩，即221324ae ae b --⎧-+=⎪⎨+=-⎪⎩，…………4分解得224a e b ⎧=-⎨=⎩. …………6分（Ⅱ）21()2x F x x b ae -=+-，则'()x F x ae x -=--，其中12,x x 是方程0x ae x ---=的两根. …………7分0x x ae x a xe ---=⇔=-，设()x p x xe =-，则'()(1)x p x x e =-+，可知()xp x xe =-在(,1),(1,)-∞-↑-+∞↓，画图像可得211(0,),10a x x e∈<-<<…………9分设21=x t x ，可得21x tx =，由12303x x t -≥⇒≥. 1212xx ae x ae x --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，两式相除代入可得1221x x x e x -=，代入可得，1(1)t x e t -=，两边取对数可得，1ln 1t x t =-.设ln ()1t h t t =-，则21ln '()(1)t t t h t t --=-，再设1()ln t g t t t-=-,则21'()t g t t -=当213,'()0t t g t t -≥=>即1()ln t g t t t -=-在[3,)+∞单调递增，所以2()(3)ln303g t g ≥=->， 则21ln '()0(1)t t t h t t --=>-,所以ln ()1t h t t=-在[3,)+∞单调递增，且当,()0t h t →+∞→.则ln ()[(3),0),1th t h t=∈-即11[ln3,0)2x ∈-. …………14分由于11xa x e =-，又()xp x xe =-在(1,)-+∞↓ 当11[ln3,0)2x ∈-，1()(0,]6p x ∈，即a ∈.…………15分。