人教版八上数学第十五章分式(小结复习课时1)
用式子表示： a c a c b d bd
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式 相乘.
用式子表示： a c a d a d b d b c bc
知识梳理
分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方.
知识梳理
负整数指数幂：一般地，当n是正整数时，a-n a1n（a≠0）.这就是说 a-n（a≠0）
是 a n 的倒数.
负整数指数幂的三个常用结论：
（1）an与a-n互为倒数；
（3）a -n b-m
bm an
.
（2）( a )-n ( b )n ； ba
当指数为负整数或 0 时，一定要保证底数不为 0 .
所以x=2，原式=0.
注意：代入原分式的值 必须使原分式有意义.
深化练习 2
先化简，再求值：(x -1 3 - 3x ) x2 - x ，其中x的值从不等式组 x 1 x 1
2-x≤3 2x-4<1 的整数解中选取.
解：原式 [(x -1)(x 1) 3(1- x)] x(x -1)
x 1
x 1 x 1
x2 -1 3- 3x x 1 x 1 x(x -1)
A. b b c a ac
B. b b2 a a2
C. bc b ac a
D. b bc a ac
解析：根据分式的基本性质可知A、B选项错误； 选项C是分子、分母同时除以c，c在左边的分子、分母中，说明c不为0； 选项D是分子、分母同时乘c，但是没有说明c是否为0.
重点解析 3
计算：
（1）
深化练习 1
计算：
（1）( 1 a
1)2 b
1 (a2
-
1 b2
)
（2） (3x2 4y
)2
2y 3x
x2 2y2
2y2 x
解：（1）原式
(b a)2 ab
b2 - a2 ( a2b2 )
(b a)2 a2b2
(b a)(b a2b2
-
a)
(b a)2 a2b2 a2b2 (b a)(b - a)
1 x 1
重点解析 3
计算：
（1）
x2 2x x3 2x2
-8 x
(
x
x
2
x x
4) 1
（2） ( a2 - b2 ) (a b)3 ( a )2
ab
a-b
解：（2）原式
(a
b)3 (a a3b3
- b)3
(a
b)3
a2 (a - b)2
(a b)3(a - b)3 1
a2
a3b3
(x -1)(x - 2) x 1 x 1 x(x -1)
x-2 x
深化练习 2
先化简，再求值：(x -1 3 - 3x ) x2 - x ，其中x的值从不等式组 x 1 x 1
2-x≤3 2x-4<1 的整数解中选取.
解：解不等式组得：-1 x 5 .
2
则不等式组的整数解有-1、0、1、2 当x=1、-1、0时，原分式无意义.
x2 - 4
（1）分式 (x -1)( x - 2)有意义的条件是__x_≠_1__且__x_≠__2_，值为零的条件是_x__=__-_2_. x
（2）分式 x - 3 无意义的条件是____x_=_±__3___，值为零的条件是___x_=_0___.
重点解析 2
下列等式从左到右变形一定正确的是（ C ）
B
B
分式必须满足三个条件：①形如 A 的式子；②A、B都是整式；③分母B中含 B
有字母. 三个条件缺一不可.
判断一个式子是否为分式，不能将其化简后再判断，只需看原式的本 来“面目”是否符合分式的概念.
知识梳理
分式有意义的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式 的分母不能为0，即当B≠0时，分式 A才有意义.
x2 2x x3 2x2
-8 x
(
x
x
2
x x
4) 1
（2） ( a2 - b2 ) (a b)3 ( a )2
ab
a-b
解：（1）原式
(x - 2)(x 4) x(x2 2x 1)
(x - 2)(x 4) x(x 1)
(x - 2)(x 4) x(x 1) x(x 1)2 (x - 2)(x 4)
当分式的分子、分母是多项式时，不要把分子或分母第一项的符号分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去， 叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
约分不改变分式的值，但可能改变分式中字母的取值范围，因此在确定 分式中字母的范围时，不能进行约分.
(a b)3 (a - b)2
a-b ab3
重点解析 4
计算：
（1）
24 x2 -16
4
3 -
x
（2） a 2 - a2 a-2
解：（1）原式 24 3 (x 4)(x - 4) - (x - 4)
24
- 3(x 4)
(x 4)(x - 4) (x 4)(x - 4)
24 - 3(x 4) (x 4)(x - 4)
用式子表示： a c ad cb ad cb b d bd bd bd
知识梳理
分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；若有括号，则先算 括号里面的；同级运算，按从左到右的顺序进行计算.
分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分 子或分母的系数（或首项的系数）是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.
- 3(x - 4) (x 4)(x - 4)
- 3 x4
重点解析 4
计算：
（1）
24 x2 -16
4
3 -
x
（2） a 2 - a2 a-2
解：（2）原式 (a 2)(a - 2) - a2 a-2 a-2
(a 2)(a - 2) - a2 a-2
a2 - 4- a2
a-2 -4
a-2 - 4
a-2
重点解析 5
用科学记数法表示下列各数：
（1）0.00001 （3）0.000000301
（2）0.000000567 （4）-0.0023
解：（1）0.00001=1×10-5 （2）0.000000567=5.67×10-7 （3）0.000000301=3.01×10-7
（4）-0.0023=-2.3×10-3
B 分式无意义的条件：分式的分母为0，即当B=0时，分式 A 无意义.
B
分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的 值为0.
知识梳理
分式的基本性质
基本性质
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的 值不变.
式子表示
A AC ， A A C (C≠0)，其中A，B，C是整式. B BC B BC
知识梳理
用科学记数法表示小于1的正数：小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的 形式，其中1≤a<10，n是正整数.
科学记数法是一种记数方法，不改变此数的性质和大小，用科学记数法 表示一个负数时，不要忘了前面带“-”号，用科学记数法表示一个带有单位的 数时，其表示结果也应带有单位.
重点解析 1
注意事项
(1)分子和分母同时做“乘法（或除法）”运算； (2)乘（或除以）的对象必须是同一个不等于0的整式.
用途
进行分式的恒等变形
知识梳理
分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身这三处的正负号，同时改变两处， 分式的值不变.
用式子表示： A - - A - A - A B B -B -B - A-A A --A B B -B -B
ba b-a
深化练习 1
计算：
（1）( 1 a
1)2 b
1 (a2
-
1 b2
)
（2） (3x2 4y
)2
2y 3x
x2 2y2
2y2 x
解：（2）原式
9x4 16 y 2
2y 3x
x2 2y2
2
x y
2
3x3 8y
x3 4y4
3x3 y3 2x3 8y4 8y4
3x3 y3 2x3 8y4
分式
小结
知识梳理-重点解析-深化练习 人教版-数学-八年级上册
知识梳理
分式及分式的性质 分 式
分式的运算
分式的概念、分式有意 义、无意义的条件
分式的基本性质、约分 及通分
分式的乘除、乘方、 加减运算
分式的混合运算
知识梳理
分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 A 叫
做分式. 分式 A 中，A叫做分子，B叫做分母.
知识梳理
分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分 式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母， 这样的分母叫做最简公分母.
在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出 现的字母及其指数.
知识梳理
用式子表示：( a )n b
an bn
（n为正整数）.
a，b分别表示分子与分母，它们可以是单项式，也可以是多项式.
知识梳理
同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
用式子表示： a b a b cc c
异分母分式的加减法法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式， 再加减.
八年级数学上册 第十五章分式小结与复习课件1-5
第十五章分式小结与复习
要点梳理一、分式
1.分式的概念：
一般地，如果A 、B 都表示整式，且B 中含有字母，那么称
为分式.其中A 叫做分式的分子，B 为分式的分母.
2.分式有意义的条件：
对于分式：当_______
时分式有意义；当_______
时无意义.B≠0B=0
3.分式值为零的条件：
当___________
时，分式的值为零.
A =0且
B ≠04.分式的基本性质：0A A
C A A C C B B C B B C
（）,.⋅÷==≠⋅÷
约分的基本步骤
(1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
(2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．。
八年级数学人教版上册第15章分式15.2.2分式的加减(图文详解)第1课时
= 5a2b 3 3a2b 5 8 a2b ab2
= a2b ab2
=
a b
把分子看作一 个整体，先用 括号括起来！
注意：结果要化 为最简分式！
八年级上册第15章分式
1.直接说出运算结果
(1) m x
y x
c x
m y x
c
(2)
m 2abc
n 2bca
d 2cab
八年级上册第15章分式
3.猜一猜, 同分母的分式应该如何加减? 【同分母的分数加减法的法则】 同分母的分数相加减，
分母不变,把分子相加 减. 【同分母的分式加减法的法则】 同分母的分式相加减， 分母不变,把分子相加减. 即： a b a b cc c
八年级上册第15章分式
例1 计算：
xy
八年级上册第15章分式
（ 2）
1 2 a 1 1 a2
解：原式
1 2 a 1 a2 1
1
2
a 1 (a 1)(a 1)
a 1
2
(a 1)(a 1) (a 1)(a 1)
a 1 (a 1)(a 1)
1 a1
八年级上册第15章分式
例2 计算 （1） 解：原式
八年级上册第15章分式
（2）a22a
4
a
1
2
a2 -4 能分解 :
解：原式
(a
2a 2)(a
2)
(a
a2 2)(a
2)
2a (a 2) (a 2)(a 2)
2a a 2 (a 2)(a 2)
八年级上册第十五章分式知识点总结及练习[1]
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为八年级上册第十五章分式知识点总结及练习(word版可编辑修改)的全部内容。
12第十五章 分式一、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式。
其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件:分母不等于0。
3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式,分式的值不变.4。
约分：把一个分式的分子和分母的公因式（不为1的数)约去,这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6。
最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时,一般将一个分式化为最简分式。
7。
分式的四则运算:⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用字母表示为：a b a b c c c±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±=3⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a dad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则:分子、分母分别乘方.用字母表示为:n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8。
人教版八年级上册数学15.2.1分式的乘除第1课时分式的乘除课件
分数
概念 意义
基本 性质
加减乘 除运算
应用
数
般
类
类
类
类
类式
方 法
比
一 般
分式
比
概念 意义
比
基本 性质
比
加减乘 除运算
比通 性
应用
探究新知
知识点1 分式的乘法 问题1 一个长方体容器的容积为V，底面的长为a，宽为b，
当容器内的水占容积的 m 时，水面的高度为多少？ n
V 长方体容器的高为___a_b_____.
b
C. ab
D. a
知识点2 分式的除法 问题2 大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
大拖拉机的工作效率为 a hm2/天； m
小拖拉机的工作效率为 b hm2/天. n
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 a b 倍. mn
例2 计算（1）：
a2 4a 4
a2 2a 1
a 1 a2 4
a 22 a 12
a
a 1
2 a
2
分子、分母是多 项式时，先分解 因式便于约分.
xx
a 22 a 1
a 12 a 2 a 2
a
a2
1 a
2
< 针对训练 >
计算 a2
b a3
的结果为（
D）
A. b B. -b
【选自教材P138 练习 第2题】
(2)12xy 8x2 y 5a 3 10ax
(4) x y y x x y x y
1
3. 计算：
【选自教材P138 练习 第3题】
最新人教版初中八年级上册数学【第十五章 第15章小结(1)】教学课件
a2 1 a 12 (a 1)
注意：分式 通分的依据 也是分式的 基本性质， 分式通分， 首先要找到 两个分式的 最简公分母。 两个分式的 最简公分母 就是两个分 式分母的最
小公倍式
练习1
1.如果分式
x2 x
1 1
的值为0，那么x的值为
1
.
x 2.如果把分式 x y 中的x和y的值都扩大为原来
解：原式
(a1)(a1)
(a1)2
(a
1)
a1 a1
注意：这里(a 1)作
为整体时，添括号要 记得变号！
注意：在 a取 值时，要考虑 分母不为零！
由题意得a1 0,a1 0
(a(a(aa1111))(a(a1a)(1a)11aa))11aa11
a 2，a为非负整数
a 0时，原式=2.
(aa11)a(a12()aa1)1 a1 a1aa11 a1a1
a2.
谢谢观看
的3倍，则分式的值（ B ）
A.扩大为原来的3倍
1
C.缩小为原来的 3
B.不变
1
D.缩小为原来的6
问题3 如何利用分式的加、减、乘、除的运算法 则例进4 行计算计算？
(1)( x )2 3x2 y ; 2y 2 x2
解：原式 x2 3x2 y 4y2 2 x2
(2)
2a a2
4
2
1 a
.
八年级—人教版—数学—第15章
分式的性质与运算复习小结
学习目标
1.理解分式、最简分式、最简公分母的概念.
2.熟练掌握分式的基本性质、分式运算法则；准确熟练地进行分式 的运算.
问题1 当x是怎样的实数时，分式在实数范围内有意义？分式值何时为零？
最新人教版初中八年级上册数学第十五章《分式》精品教案(小结复习)
24 - 3(x 4) (x 4)(x - 4)
- 3(x - 4) (x 4)(x - 4)
- 3 x4
本题源自《教材帮》
重点解析 4
计算：
（1）
24 x2 -16
4
3 -
x
（2） a 2 - a2 a-2
解：（2）原式 (a 2)(a - 2) - a2 a-2 a-2
(a 2)(a - 2) - a2 a-2
分式
小结
知识梳理-重点解析-深化练习 人教版-数学-八年级上册
知识梳理
分式及分式的性质 分 式
分式的运算
分式的概念、分式有意 义、无意义的条件
分式的基本性质、约分 及通分
分式的乘除、乘方、 加减运算
分式的混合运算
知识梳理
分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 A 叫
做分式. 分式 A 中，A叫做分子，B叫做分母.
x2 - 4
（1）分式 (x -1)( x - 2)有意义的条件是__x_≠_1__且__x_≠__2_，值为零的条件是_x__=__-_2_. x
（2）分式 x - 3 无意义的条件是____x_=_±__3___，值为零的条件是___x_=_0___.
重点解析 2
下列等式从左到右变形一定正确的是（ C ）
(1)分子和分母同时做“乘法（或除法）”运算； (2)乘（或除以）的对象必须是同一个不等于0的整式.
用途
进行分式的恒等变形
知识梳理
分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身这三处的正负号，同时改变两处， 分式的值不变.
用式子表示： A - - A - A - A B B -B -B - A-A A --A B B -B -B
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳(无答案)
分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算 （一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义 ：A一般地，如果 A ，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式，A 为分子,BB 为分母。
i-y ，是分式的有: x y题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为 0（ B 0） 分式无意义：分母为 0（ B 0） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义（1）—（2）-3^ （ 3）（4）（ 5）丄x4x 22 x 21| x| 3x1x题型三：考查分式的值为 0的条件分式值为0:分子为0且分母不为0 （ A 0）B 0【例1】当x 取何值时， 下列分式的值为0.（1）Jx 3（2）|x| 2 x 242（3） x 22x 3x 5x 6【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零:题型四：考查分式的值为正、负的条件分式值为正或大于 0:分子分母冋号（A或A 0 ）B 0B 0【例1】下列代数式中:（1）5 |x 1 | x 4（2） 2^5 xx 6x 5x 1 -，2x分式值为负或小于0：分子分母异号（A °或八°）B 0 B0【例"（1）当x为何值时，分式为正;（3）当x为何值时，分式工为非负数.【例2】解下列不等式（1）1古 °（2）U题型五：考查分式的值为1，-1的条件分式值为1 :分子分母值相等（A=B）分式值为-1 :分子分母值互为相反数（A+B=°）【例1】若也L上的值为1,-1，则x的取值分别为________________________ x 2思维拓展练习题：a b1、若a>b>0, a2+ b2—6ab=0,则一a b2、一组按规律排列的分式：b2 b5 b8b11,2 , 3, 4 , L L ( ab 0),则第n个分式为a a a a（2）当x为何值时，分式5 x23 (x 1)2为负;A3、已知x23x 1 0,求X2 -2的值。
八年级数学上册第十五章分式章节考点复习与小结 新人教版
◆考点突破 ◆考前过三关 （ 整◎理第课一件关 ◎第二关 ◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ 整◎理第课一件关 ◎第二关 ◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ 整◎理第课一件关 ◎第二关 ◎第三关 ）
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人教版八年级数学上册第十五章 分式知识点总结和题型归纳
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一）分式的定义及有关题型考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B为分式。
例1：下列代数式中是分式的有：(x- y)/(2x+ y)，π/(2x- y)，(x+ y)/(a+ b)。
考查分式有意义的条件：分式有意义：分母不为0 (B≠0)分式无意义：分母为0 (B=0)例1：当x有何值时，下列分式有意义：1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件：分式值为：分子为A且分母不为0 (A/B) 例1：当x取何值时，下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2：当x为何值时，下列分式的值为零：1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件：分式值为正或大于0：分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0：分子分母异号 (A/B<0) 例1：(1) 当x为何值时，分式4/(8-x)为正；2) 当x为何值时，分式5-x/(5+x)为负；3) 当x为何值时，分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2：解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1，-1的条件：分式值为1：分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1：分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1：若分式|x-2|/(x+2)的值为1，-1，则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题：1、若a>b>0,a2＋b2－6ab=0，则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式：-b/2.5/b。
-8/b。
11/b。
则第n 个分式为(3n-1)/b。
人教版数学八年级上册 第十五章 分式(小结与复习)课件
ab
4.计算：
（1）
x
2
4
4
x
1
2
原式=
4 ( x 2) x2 4
= 1
x2
（2）
x
2
x2
y2 2x
1
3x2 x
3 xy 1
原式= ( x y)( x y)· x 1
( x 1)2
3x( x y)
=
x y 3x( x 1)
= x y
3x2 3x
解得 : x 1 2
经检验，x 1
2
是原原分式方程的解;
练一练
(2)某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到机场 的轻轨铁路．实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提 前5个月完成这一工程．求原计划完成这一工程的时间是多少个月．
解：设原计划完成这一工程的时间为x个月，则
练一练
1.
已知
x y
2 3
，
求 x2
x2 y2 2xy
y2
xy y2 2x2 2xy
的值.
解:
由
x2 y3
，得
x2y 3
，
x2 y2 xy y2 x2 2xy y2 2x2 2xy
(x
y)(x (x y)2
y)
2x(x y) y(x y)
本题还可以由已知 条件x=2m， y=3m.
(1 20%) 1 1 x x5
，解得: x=30.
经检验，x=30是原方程的根．
答：原计划完成这一工程的时间是30个．
专题复习
专题五 本章数学思想和解题方法
主元法
例5.(1)已知： 2a b 3 a 2b 14