尺规三等分任意角画法和证明
尺规作图三等分任意角
尺规作图三等分任意角（0°<α≤180°）黑龙江省巴彦县兴隆镇第二中学谭忠仁邮编：151801电话：150****5590目录关于三等分角的由来 (1)三等分任意角（0°<α≤180°） (2)已知：∠AOB (2)求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD (2)作法： (2)证明： (2)关于三等分角的由来众所周知，三等分角是著名的几何作图三大问题之一（另外两个问题是化圆为方、倍立方体），近两千年来，几十代人为这三大问题绞尽脑汁，希腊人的巧思、阿拉伯人的学识、文艺复兴时期大师们的睿智都曾倾注于此，却均以失败告终。
1837年范兹尔首先证明三等分角与倍立方体不能有限次使用尺规作出。
1895年，克莱因给出三大问题有限次使用尺规作图不可能的简单而清晰的证明，阿基米德在几何学上的造诣是很深的，从他的著作里可以看到他对三等分角问题的研究，他先采用在直尺上标注一个点的方法，然后把一个角三等分，显然，这一方法取消了直尺上无刻度的限制，此外，喜庇亚斯借助割圆曲线、尼克曼得斯借助于蚌线、巴普士借助于双曲线、帕斯卡借助于蚶线，解决了三等分角的问题，但所有这些曲线都不能仅用尺规来完成。
综上所述，尺规作图三等分任意角尚无先例，本人自1971年参加工作后，任初中数学教师，由于专业的需要、兴趣及其爱好，使我涉猎了大量数学方面的资料和相关知识，下决心研究三等分角问题，历尽40年时间，苦心钻研，现终得一法，并且给出了科学、严谨的证明，借此恳请数学专家和导师予以审核、验证，并提出宝贵意见。
注：本文所举资料，请详见《陕西中学数学》1991年第二期谭忠仁2011年5月10日三等分任意角（0°<α≤180°）已知：∠AOB求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD作法：1、以O为圆心，以任意长为半径作⊙O，交射线OA于A，交射线OB于B；2、连结AB，引直径EE1，并且使EE1⊥AB，垂足为H；3、连结BE，以B为圆心，以BE的长为半径画弧，交AB于F；4、连结EF并延长，交⊙O于G1，交BE1的延长线于T；5、以T为圆心，以TB的长为半径画弧，交⊙O于C1，连结TC1，交⊙O 于G；6、在⌒AB上截取⌒BC2，使⌒BC2=2⌒E1G；7、连结BC2，作BC2的垂直平分线T1D2，垂足为H2，交TB于T1，，连结T1 C2；8、作射线TP，在射线TP上依次截取TP1= P1P2= P2P3，连结T1P3，作T2P1∥T1P3，交TT1于T2；9、以T2为圆心，以T2B的长为半径画弧，交⊙O于C，连结T2C，交⊙O 于G2；10、连结BC，作BC的垂直平分线T2D，交⊙O于G3、D，垂足为H3，（T2D 必经过圆心O、必经过等腰三角形T2BC的顶角的顶点T2）；11、作射线OC，则射线OC、OD即为所求作的∠AOB的两条三等分射线。
利用渐开线三等分任意角的方法和证明
利用渐开线三等分任意角的方法和证明
要求：如果所示，以园心为A，半径为AC的园的渐开线作为辅助线，现在要把∠CAB三等分。
操作：利用渐开线三等分任意角∠CAB的尺规作图步骤：
1、以B点做切线，和渐开线相交于E；
2、在BE线段上做三等分点F，即BF=BE/3；
3、以A点为圆心，AF长为半径，相交渐开线于G；
4、以G点为圆心，BF长为半径，相交基圆于D；
5、连接AD，∠CAD即为∠CAB的三等分角。
证明：
1、先证明△BAF与△DAG全等
根据作图，BE是垂直于AB的圆上点B的切线，所
以∠FBA是直角，BF2=FA2-AB2，DG是垂直于AD的圆上点D的切线，所以∠ADG是直角，DG2=GA2-AD2,其中，AB=AD为园A的半径，且AF=AG，所
以BF=DG，△BAF与△DAG全等。
2、根据渐开线的性质，直线BE的长度=园弧BDC的长度，直线DG的长度 =园弧DC的长度，又因为DG=BF=BE/ 3，所以园弧DC的长度=园弧BDC的长度/3，因
此，∠CAD即为∠CAB的三等分角
总结：
伽罗瓦所证明的是，在不使用任何辅助线或用到除尺规外其他工具的前提下，不能在有限次操作内，使用尺规作图法三等分任意角，也就是说这三个限制只要有一个不成立，那么不能三等分任意角就不成立。
实际上只要引入渐开线，在有限次操作内，使用尺规作图法N等分任意角都是可行的，而且这种方法也同样可以解决化圆为方的问题。
这样，通过引入渐开线就一举解决的三大几何作图问题中的两个“不可能”的难题，并且渐开线在物理上是很容易得到的，它的本质是绕基圆展开的线，或者说大家常用的卷尺，就是渐开线所对应的物理实物。
角的三等分(尺规作图)
１ ． 以图 １中的 Ａ Ｏ为轴 ， 将 已三 等 分一 角 的 ＡＡ Ｏ Ｃ向
ＡＡ Ｏ Ｂ方 向旋转任意角度 Ｏ ｔ （ １ ８ ０ 。＞ Ｏ ｔ ＞０ 。 ） ， 连接 Ｂ Ｃ ， 即形
数 学 学 习与 研 究 ２ ０ １ ６ ． ２ ３
任意角被 三等分． Ｏ Ｆ 、 Ｏ Ｇ 为任意角的三等分线．
４ ． 证 明图 ２ 、 图 ３中的 ，点与 Ｆ 点、 Ｇ点与 Ｇ 点在 线段
． ．
Ａ Ｂ上分别为 同一 个 点 ， 从 而 逆推 证 明在平 面 图二 中 ， 用 尺
●
， ●
规作 图方法 三等分任意角的正确结论．
因图 ３ ＡＡ Ｂ Ｃ中， Ａ Ｃ、 Ａ Ｂ 的 长 度 及 Ｄ、 Ｅ两 点 在 Ａ Ｃ上 的
位置与图 ２ ＡＡ Ｂ Ｃ中的对应 部分相等 （ 旋 转后未发生 变化 ） ，
个三角形 中 Ｅ Ｆ ， Ｂ Ｃ、 ＤＧ ／ Ｂ Ｃ、 Ｅ Ｆ ｔ 力Ｂ Ｃ、 Ｄ Ｇ ｔ ／ Ｂ Ｃ ．
７ ． 连接 Ｏ Ｆ 、 Ｏ Ｇ， 所 得 ＬＡ Ｏ Ｆ（ １ ）＝ Ｆ Ｏ Ｇ （ ２ ）＝
Ａ Ｆ＝Ａ Ｆ ， Ｆ点与 Ｆ 点在 Ａ Ｂ上为 同一个点 ， 同理 ， Ａ Ｇ＝ Ａ Ｇ ， Ｇ点与 Ｇ 点在 Ａ Ｂ上为同一个点．
－Ｇ ／ Ｏ Ｂ（ ／ ＿ ３ ） ． Ｏ Ｇ、 Ｏ Ｆ为任意 ＬＡ Ｏ Ｂ三等分线 ， 任意 角被三
解 题 技 巧 与 方 法
◎ 栾鹤 臣
（ 黑 龙 江省 朗 乡林 区基 层 法 院 ， 黑龙 江
铁力
１ ５ ２ ５ １ ９ ）
【 摘 要】 用已 被 三等分 一角 的三角 形， 通 过平 行投 影 与
求解 的任 意角所在 的三角形重合 ， 三等分任 意角．
任意角三等分图1、图2[1]
![任意角三等分图1、图2[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/5e3e8577844769eae109ed6c.png)
第一部分:解说原理(如图1)
一，取任意直线L1、L2，相交于A点，取直线L6线为A角的角平分线
二，在直线L6上取任意点O，以点O为圆心，作O圆，要求与直线L1、L2相切，
三，在直线L2上取任意点D（很有意思的点）, 过点D，作O圆的切线L3，交直线L1于点H
四，连接点D、点O为L4线并两端延长，交L1线为点E，过点E作O圆的切线L8 ，交直线L3于点F,交直线L6为点K 五，连接点F、点O作直线L5，交直线L1于点G（很有意思的点），过点G作O圆的切线L7，交直线L3于点C,
六，连接点C、点O作直线L9, 交直线L8为点J
第二部分“任意角的三等分的尺规作法”(如图2)
一，取大O圆，取直径分别交大O圆于点A、点B，再任取直径分别交大O圆于点C、点D，角AOC为任意角
二，取直线L1为角AOD的角平分线，直线L2为角DOB的角平分线，交大O圆于点E，
三，连接点E、点C为直线，并交直线AB为点G，过点G作直线L2的平行线，交直线L1为点H，连接点C、点H 为直线并延长交直线L2为点K，交大O圆为点J, 连接点J、点O ,则角CJO=六分之一角AOC，角JCE＝12分之一角AOC（图中的黑点)。
关于三等分任意角尺规作图的方法步骤(作者：张爱献)
关于三等分任意角尺规作图的方法步骤
作者：张爱献
（铁铁道部四局三处，1990年于山西沁水）
已知一任意角∠SOT用尺规作图法三等分该角的作图方法步骤
1、作角∠SOT。
2、以O为圆心以任意长为半径画弧，交∠SOT的两边于A、B两点得弧AB。
3、以A、B为圆心以大于1/2AB长为半径画弧交于一点，以O为起点过交点作射线，交弧AB于C点（简称作AB的平分线得C点）。
4、连AC并过C点作射线AC，在射线AC上截取AD=2AC。
5、将AD线段三等分（利用平行线截得成比例线段定理），得AH=1/3AD。
6、过H点作AD的垂线交弧AB于E点。
7、以A点为圆心，以AE长为半径画弧交AD线段于I点。
8、将HI线段九等分（利用平行线截得成比例线段定理），得HK=5/9HI。
9、过K点作AB线段的垂线交弧AB于F点。
10、以AF长为定长三等分弧AB，得三等分点F点和Y点。
11、以O点为起点过F点、Y点作射线，并去掉所有多余的辅助作图线。
说明：
1、作图中的第4条和第7条将线段三等分和9等分利用三角形中平行线截得成比例例线段定理进行等分，不再详细讲解等分步骤。
2、对于90度以下的锐角来说：因H点和I点近似重合，也可近似以E点作为等分点进行等分，（视分割精度要求而定）。
作者简介:张爱献（1964—）男河南省民权县高级工程师
4。
角三等分
角三等分和平前言一百多年来，国内外数学界一致认为用尺规（尺指的是不带刻度的直尺，规指的是圆规，简称为尺规）作图将一任意角三等分已被证明了这是一个“作图不能问题”的结论是完全正确的。
其实这个结论肯定是错误的，我就能，肯定能推翻这个错误的结论。
下面我用角三等分和剖析角三等分及解两种不同的解题方法中的一种方法即角三等分来证明用尺规作图可将一任意角三等分，並对大小各不相等的角进行角三等分尺规作图达2470多次，装订成册24本，验证了这个理论是完全正确的。
让角三等分无解的结论彻底破灭，也为角的其他等分的解决打下基础，角三等分也是角尺规等分法中的一部分。
由于本人水平有限，如有错误和缺欠，恳请给以指正。
2011-4-3 和平一角三等分∠α为任意一个角，用尺规作图将∠α三等分。
以∠α角顶点o为圆心，以任意长为半径画圆为A圆（图中只画圆的一部分），见图3-1，A 圆交∠α两边分别是A点和B点，在A圆上作∠AOB=∠BOC=∠AOD=∠α=1/3∠DOC,设∠OCD=∠β,2∠β+3∠α=180°.如果3∠α大于或等于180°时，先将∠α缩小偶数倍的角再扩大3倍的角小于180°为止。
连接CD交OA线上G点，作∠AOB角平分线OH,∠AOH=∠HOB=1/2∠AOB=1/2∠α，连接BD交OH 线上H1点，连接BG並延长交OD线上P点，连接AP交CD线上F点，连接BF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、H1A、AD、AB、BC,求证：∠H1Gb2=1/3×1/2∠α=1/3∠GOH1=1/3×1/2∠AOB。
在△OGH1中，分别作OG和GH1边的垂直平分线交于O2点，连接O2O, 以O2点为圆心，以O2O为半径经过O、G、H1三点的圆为B圆（图中只画圆的一部分）,GD=GB,ABGD为菱形，H1A=H1G=H1B，证明省略，B圆也经过B点，∠H1GB=∠H1BG=∠GBD=1/2∠α，∠DH1G=∠H1GB+∠H1BG=∠α=∠GOB,∠DH1G=∠GOB, ∠GOB+∠GH1B=180°，O、G、H1、B四点共圆，又∵O、G、H1三点可确定一个圆均在B圆上，∴B点也在B圆上。
任意一个角三等分的尺规画法
龙源期刊网
任意一个角三等分的尺规画法
作者：李文贵
来源：《中学生数理化·教研版》2008年第08期
任意一个角二等分比较容易，而任意一个角三等分就比较困难，通常只能是用量角器量出角度算出，或用尺规近似画分.本人通过研究，总结出一种尺规画法，以供大家探讨.具体画法如下：
一、设∠ＡＯＢ为一任意角，使用一个扇形器（可用量角器代替，或用硬质纸板制作）放在∠ＡＯＢ上，使其圆心Ｏ′与∠ＡＯＢ的顶点Ｏ重合，设扇形器圆弧边与∠ＡＯＢ两射线的
交点为Ａ和Ｂ（在扇形器圆弧边上对应标记为Ａ′和Ｂ′，沿扇形器的圆弧边沿画一圆弧ＡＢ（如图１）.。
三等分任意角的作法探讨
㊀㊀㊀㊀㊀１４０数学学习与研究㊀２０２０ １０三等分任意角的作法探讨三等分任意角的作法探讨Һ蔡长青㊀（咸丰县中等职业技术学校，湖北㊀咸丰㊀４４５６００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 三等分角 是古希腊几何中尺规作图的名题，和化圆为方㊁倍立方问题并列为古代数学的三大难题，２４００多年以来，不少学者进行了无数次尝试，都未能找到好的解决方法，笔者经过４０余载的不断探索，吸取前人的数学智慧，突破传统思维，找到简单易行的求作三等分角的方法，该方法可以广泛应用到几何教学或工程技术领域．ʌ关键词ɔ三等分；任意角；作法；证明１９７９年的九月，进入咸丰一中学习的第一堂数学课上，满头银发的数学老师文渊不但满怀激情地介绍了高中三年数学学习的目标和学习方法，还向大家抛出了古代数学的三大难题，即用尺规作图法求作三等分任意角㊁化圆为方以及倍立方问题，从此笔者与三等分角问题结下了不解之缘．三等分角是号称古希腊三大几何问题之一，该问题的完整叙述为：只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分．该问题自公元前４８０年以来，不少学者进行了长期的探索，甚至不少著名数学家从不同角度论证了用尺规作图法不可能解决 三等分角 问题，本着吸取前人数学智慧㊁传承文明㊁尊重科学的治学态度，本人就解决使用 尺规作图法 三等分任意角问题进行了长期的探索，现将偶有所得分享给大家，希望起到抛砖引玉的作用．一㊁关于三等分任意角的历史溯源１．三等分任意角问题产生的历史背景根据历史记载，公元前４８０年，古希腊和当时的波斯国在当时的雅典郊外萨尼克湾展开了一场惨烈的海战，古希腊大获全胜，从此雅典作为古希腊的政治㊁文化㊁经济中心逐渐走向繁荣．社会分工逐渐细化，一部分人从繁重的体力劳动中解放出来，出现了专门传授学问㊁研究学问的辩论师或称智者，也就是现代的职业教师．这些人为古希腊文明做出了巨大的贡献，其中在几何学上亦留下了三大难题供后人进行研究和探讨：给你一把圆规和直尺（无刻度），经过有限次的步骤，能否：①对任意角作三等分？②作已知立方体的二倍体积的立方体图形？③作与已给的圆面积相等的正方形？以上三个问题分别称为三等分角问题㊁倍立方问题和化圆为方问题，也称古希腊三大几何难题，这些问题看起来很简单，但是，２４００多年来，不少数学家或数学爱好者为了解决这三个问题，耗费了许多心血，都没有取得成功．２．三等分任意角可能无法用 尺规作图法 求解１６３７年笛卡儿（ＲｅｎｅＤｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６ １６５０）创立了解析几何学后，有数学家依据解析几何，认为找到了通过尺规作图法不能解决三等分任意角问题的依据．１８３７年法国数学家旺策尔（ＰｉｅｒｒｅＬａｕｒｅｎｔＷａｎｔｚｅｌ，１８１４ １８４８）首先证明了 倍立方 和 三等分任意角 不可能用尺规作图解决．１８７３年埃尔米特（ＣｈａｒｌｅｓＨｅｒｍｉｔｅ，１８２２ １９０１）证明了ｅ是超越数；１８８２年德国数学家林德曼（Ｌｉｎｄｅｍａｎｎ，１８５２ １９３９）证明了π也是超越数，从而 变圆为方 的不可能性也得以确立．１９６５年以前，数学家华罗庚曾写文章告诫青少年 用直尺和圆规三等分任意角是不可能的，不要为这道难题花费精力．２００１年华中师范大学数学系的王中华亦在‘数学通讯“上发文并证明使用尺规作图 三等分任意角 是不可能的．二㊁ 三等分任意角 仍有研究的价值１．高中数学教学的需要为了加强普通高中的数学教学，在新版的‘普通高中数学课程标准“中增加了 三等分角与数域扩充 问题，让三等分角问题真正进入我国高中数学教学领域，有利于扩展学生的数学视野，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题㊁分析问题的能力．２．可以促进人的数学思维的发展古希腊的三大几何难题，几千年来尽管耗费了历代数学家不少的心血，但是在解决这类问题的过程中，不仅促进了数学思想的发展，而且在人类其他思想史上亦具有重大意义．三㊁预备知识１． 尺规作图法关于尺规作图法，以科学出版社出版的‘数学大辞典“中的规定为主要参考依据：尺规作图法又称初等几何作图法或欧几里得作图法．仅用直尺（无刻度）和圆规（两脚足够长）两种工具按照下述步骤进行有限次的组合来完成的几何作图方法．（１）过两点可画一条直线（或一条射线），连接两点成一线段．（２）延长线段成一条直线或射线．（３）以定点为圆心定长为半径可画圆或圆弧．２．初等几何知识本文涉及的初等几何知识，我们还是沿用科学出版社出版的‘数学大辞典“中的相关论述：（１）关于角的分类平角：两边组成一条直线的角，或一条射线在平面内绕㊀㊀㊀１４１㊀数学学习与研究㊀２０２０ １０着它的端点旋转，转到和原来位置构成一条直线时所形成的角．１平角＝１８０ʎ．直角：平角的一半，一直角＝９０ʎ．锐角：大于０ʎ小于直角的角．钝角：大于直角小于平角的角．（２）关于三角形和圆的几个基本知识等腰三角形的定义及性质：两边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等．三角形外角定理：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．圆心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．显然，同弧所对的圆心角等于圆周角的２倍．３．关于图学的几点相关知识的说明（１）图学是几何学与行为科学有机结合的综合性学科．图学一开始就是由理论几何学与行为科学有机构成的．从平面几何开始，发展到画法几何㊁工程图㊁地形图等，人们在制图过程中总要依据几何原理，经过人的科学行为（制图）表达完成各类制图工作．（２）图学是理论与实践相结合的科学，图学允许可逆．无论 同时行为 还是 第三度行为 ，都是在允许行为可逆基础上进行的，行为本身就是四维的运动（时间维㊁空间维），允许可逆自然是在四维时空中进行的．四㊁三等分任意角的作图方法以锐角为例，使用 尺规作图法 三等分任意角的作图步骤如下：第１步：给定任意角øＡＯＢ．第２步：作边ＯＡ的反向延长线ＯＣ．第３步：以Ｏ点为圆心，Ｒ为半径长画☉Ｏ，圆弧与边ＯＢ交于Ｆ点．第４步：在☉Ｏ上，以Ｅ点为圆心，Ｒ为半径长画☉Ｅ，☉Ｅ与ＯＡ的反向延长线交于Ｄ点，配合使用圆规和直尺，确保圆心Ｅ与Ｄ，Ｆ三点在同一直线上．第５步：连接ＯＥ，最终形成如图所示的几何图形．需要特别说明的是在作图过程中，第４步圆心的确认很关键，有可能需要 多次逼近 才能确定．五㊁三等分任意角的证明通过以下两种方法分别证明前面的作图方法可以三等分任意角．方法一：在☉Ｅ中，因为øＯＤＦ为圆周角，øＯＥＦ为圆心角所以øＯＥＦ＝２øＯＤＦ．因为ＯＥ＝ＯＦ，所以әＥＯＦ为等腰三角形，øＥＦＯ＝øＯＥＦ＝２øＯＤＦ，øＡＯＢ＝øＯＤＦ＋øＥＦＯ＝３øＯＤＦ，故有øＯＤＦ＝１３øＡＯＢ．方法二：在әＤＥＯ中，因为ＤＥ＝ＯＥ，所以әＤＥＯ为等腰三角形，所以øＯＤＥ＝øＥＯＤ，øＯＥＦ＝２øＯＤＥ，因为ＯＥ＝ＯＦ，所以әＥＯＦ为等腰三角形，所以øＥＦＯ＝øＯＥＦ＝２øＯＤＦ，øＡＯＢ＝øＯＤＦ＋øＥＦＯ＝３øＯＤＦ，故有øＯＤＦ＝１３øＡＯＢ．六㊁结㊀论通过以上的作图和证明，我们有理由认为对 三等分任意角 的作法有革命性的突破．１．作图过程中严格遵守 尺规作图法 的要求，且在有限的步骤内准确三等分角．２．通过初等几何理论对所作图形进行了严密的证明，结果正确．３．整个作图过程符合图学是理论与实践相结合的科学观点：图学允许可逆，无论 同时行为 还是 第三度行为 ，都是在允许行为可逆基础上进行的．路曼曼其修远兮，吾将上下而求索．ʌ参考文献ɔ［１］娄桐城．中学数学词典［Ｍ］．北京：知识出版社，１９８４．［２］王元．数学大辞典［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１０．［３］熙国维．运动论［Ｍ］．北京：海洋出版社，１９９３．［４］Ｒ．柯良（ＲｉｃｈａｒｄＣｏｕｒａｎｔ），Ｈ．罗宾（ＨｅｒｔｂｅｒｔＲｏｂｂｉｎｓ）．什么是数学［Ｍ］．左平，张饴慈译．上海：复旦大学出版社，２００８．［５］欧几里得．几何原本［Ｍ］．邹忌译．重庆：重庆出版社，２０１８．［６］（日）远山启著．吕砚山㊁李诵雪㊁马杰㊁莫德举译著．数学与生活［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，２０１４．［７］王中华．用尺规作图不可能三等分任意角［Ｊ］．数学通讯，２００１（１９）．４８．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
〈〈用直尺和圆规把一个任意角分成三个相等的小角的画法和证明〉〉
（1）在图[1]中，圆心角AOB，圆心是O，边OA=OB是半径，弧AB。
（2）在AB弧上任意截取一段AC弧，再任意截取一段BD弧，令BD弧=2AC 弧，剩余一段CD弧；剩余CD弧=AB弧-AC弧-BD弧=AB弧-3AC弧，（BD弧=2AC弧），请看图[1]。
（3）连C点和D点，CD线段为剩余弧CD的弦；因为剩余弧CD很短与CD 弦重合成一段线段，所以，我们只要把CD弦三等分，剩余弧CD也就被三等分了，请看图[1]。
（4）大家知道CD弦是一段线段，我们用“平行线等分线段定理”把CD弦等分成三段：CH=HK=KD，因为，剩余弧CD很短与CD弦重合成一段线段，所以，CD弧也被同时三等分为：CH弧=HK弧=KD弧，请看图[1]，H点和K点便是CD 弦上的两个三等分点同时也是剩余弧CD上的两个三等分点，所以，剩余弧CD=3CH 弧（CH弧=HK弧=KD弧），请看图[1]。
（5）因为，AB弧=AC弧+BD弧+CD弧=3AC弧+3CH弧（BD弧=2AC弧，剩余弧CD=3CH弧），所以，AB弧=3（AC弧+CH弧）=3AH弧，请看图[1]。
所以，1/3AB弧=AH弧，请看图[1]，所以，H点是AB弧上的一个三等分点，请看图[1]。
（6）以H点为原点、以HA弧长为标准长在BH弧上截取一段弧HM，截点为M，则M点和H点便是AB弧上的两个三等分点，所以，AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧，请看图[1]。
（7）连OH和OM，OH和OM把圆心角AOB分成三个小圆心角：小圆心角AOH、小圆心角HOM和小圆心角MOB，请看图[1]。
（8）在圆心角AOB中，依据圆心角、弧、弦的关系定理：
因为：小圆心角AOH对应AH弧，
小圆心角HOM对应HM弧，
小圆心角MOB对应MB弧，
AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧，
所以：小圆心角AOH=小圆心角HOM=小圆心角MOB=1/3圆心角AOB（依据圆心角、弧、弦的关系定理，等弧对等角），请看图[1]，
所以，任意角AOB被尺规三等分了。
博客地址：Htttp:///u/2530018671,我解开了《尺规三等分任意角》这道难题，我把画法和证明发在我的微博上，敬请广大《尺规三等分任意角》的爱好者批评指正，我的,邮箱：xbm66828@。
关注我的微薄！ .。