尺规作图三等分任意角

尺规作图三等分任意角（0°<α≤180°）黑龙江省巴彦县兴隆镇第二中学谭忠仁邮编：151801电话：150****5590目录关于三等分角的由来 (1)三等分任意角（0°<α≤180°） (2)已知：∠AOB (2)求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD (2)作法： (2)证明： (2)关于三等分角的由来众所周知，三等分角是著名的几何作图三大问题之一（另外两个问题是化圆为方、倍立方体），近两千年来，几十代人为这三大问题绞尽脑汁，希腊人的巧思、阿拉伯人的学识、文艺复兴时期大师们的睿智都曾倾注于此，却均以失败告终。

1837年范兹尔首先证明三等分角与倍立方体不能有限次使用尺规作出。

1895年，克莱因给出三大问题有限次使用尺规作图不可能的简单而清晰的证明，阿基米德在几何学上的造诣是很深的，从他的著作里可以看到他对三等分角问题的研究，他先采用在直尺上标注一个点的方法，然后把一个角三等分，显然，这一方法取消了直尺上无刻度的限制，此外，喜庇亚斯借助割圆曲线、尼克曼得斯借助于蚌线、巴普士借助于双曲线、帕斯卡借助于蚶线，解决了三等分角的问题，但所有这些曲线都不能仅用尺规来完成。

综上所述，尺规作图三等分任意角尚无先例，本人自1971年参加工作后，任初中数学教师，由于专业的需要、兴趣及其爱好，使我涉猎了大量数学方面的资料和相关知识，下决心研究三等分角问题，历尽40年时间，苦心钻研，现终得一法，并且给出了科学、严谨的证明，借此恳请数学专家和导师予以审核、验证，并提出宝贵意见。

注：本文所举资料，请详见《陕西中学数学》1991年第二期谭忠仁2011年5月10日三等分任意角（0°<α≤180°）已知：∠AOB求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD作法：1、以O为圆心，以任意长为半径作⊙O，交射线OA于A，交射线OB于B；2、连结AB，引直径EE1，并且使EE1⊥AB，垂足为H；3、连结BE，以B为圆心，以BE的长为半径画弧，交AB于F；4、连结EF并延长，交⊙O于G1，交BE1的延长线于T；5、以T为圆心，以TB的长为半径画弧，交⊙O于C1，连结TC1，交⊙O 于G；6、在⌒AB上截取⌒BC2，使⌒BC2=2⌒E1G；7、连结BC2，作BC2的垂直平分线T1D2，垂足为H2，交TB于T1，，连结T1 C2；8、作射线TP，在射线TP上依次截取TP1= P1P2= P2P3，连结T1P3，作T2P1∥T1P3，交TT1于T2；9、以T2为圆心，以T2B的长为半径画弧，交⊙O于C，连结T2C，交⊙O 于G2；10、连结BC，作BC的垂直平分线T2D，交⊙O于G3、D，垂足为H3，（T2D 必经过圆心O、必经过等腰三角形T2BC的顶角的顶点T2）；11、作射线OC，则射线OC、OD即为所求作的∠AOB的两条三等分射线。

证明：作BC3⊥TE，交⊙O于G3，垂足为H1、BC3与EE1交于N，与T2D交于N1，延长ET，交DT2的延长线于M，连结BC1，作BC1的垂直平分线TD1（TD1必经过圆心O，必经过等腰三角形TBC1的顶角的顶点T），作OH4⊥TB，H4为垂足，作OH5⊥T2C，H5为垂足，作OH6⊥TC1，H6为垂足。

1、由TC1=TB，可知△TC1B是等腰三角形，又由D2T1是C2B的垂直平分线，可知T1C2=T1B，△T1C2B也是等腰三角形，这两个等腰三角形顶角的顶点T和T1是线段TT1的两个端点，底角的顶点C1和C2是⌒C1C2的两个端点，且腰TC1和T1C2相交于⊙O内。

因此，当我们在线段TT1上任意取一点，以这点为圆心，以这点到B点的距离为半径画弧，必与⌒C1C2相交（因受两个底角的顶点C1和C2的局限），将交点分别与TT1上所取的那个任意一点连结、与B点连结，就可以作出（如同等腰三角形TC1B、等腰三角形T2CB、等腰三角形T1C2B）又一个等腰三角形，显然，TT1上有多少个点，就可以做出多少个这样的等腰三角形，就有多少个等腰三角形底角的顶点在⌒C1C2上。

反之，当我们在⌒C1C2上任意取一点，将这点与B点连结，作连线的垂直平分线，必与TT1相交（因受TD1和T1D2的局限），就可以得到（如同T、T2、T1）又一个交点，显然⌒C1C2上有多少个点，就有多少条连线，就有多少条垂直平分线，就有多少个与TT1相交的交点。

因此，TT1上点的个数、上述等腰三角形底角的顶点在⌒C1C2上的个数、⌒C1C2上点的个数、上述垂直平分线与TT1相交的交点个数，四个量相互制约，故TT1上点的个数与⌒C1C2上点的个数必相等。

为叙述方便起见，不妨设线段TT1上有n个点，则⌒C1C2上也有n个点与之相对应。

下面，我们用反证法证明这个命题：假设⌒C1C2点的个数不是n点，则会出现两种可能：1、⌒C1C2大于n点，2、⌒C1C2小于n点。

当⌒C1C2大于n点时，这些点与B点的连线大于n条，这些连线的垂直平分线也大于n条，这些垂直平分线与线段TT1的交点也大于n点，这与TT1上点的个数是点相矛盾（这里提请注意：因TD 1、T 2D 、T 1D 2等所有的垂直平分线都经过圆心O ，都交于圆心O ，故垂直平分线与TT 1的交点和交点根本不能再重合）。

当⌒C 1C 2小于n 点时，因TT 1上有n 个点，就有对应的n 个等腰三角形，就有相对应的n 个等腰三角形底角的顶点在⌒C 1C 2上，这与⌒C 1C 2小于n 点，显然也是矛盾的（这里提请注意：因TC 1、T 2C 、T 1C 2等所有等腰三角形的左腰都两两相交于⊙O 内，故所有等腰三角形左侧底角的顶点与顶点也根本不能重合）。

因此，假设不成立，⌒C 1C 2上点的个数既不能大于n 点，也不能小于n 点，只能等于n 点。

因为线段TT 1上点的个数是n 个点，⌒C 1C 2上点的个数也是n 个点，所以，线段TT 1上的点与⌒C 1C 2上的点一一对应，又因T 和C 1是对应点，T 2和C 是对应点，所以TT 2对应⌒C 1C ，TT 2上的点与⌒C 1C 上的点一一对应。

2、T 2P 1∥T 1P 3 =>TP 1=P 1P2=P 2P 3 因TT 1上有n 个点，可知TT 2上有13n个点，又因TT 2上点的个数与⌒C 1C 上点的个数一一对应，故⌒C 1C 上点的个数也是13n ，加之⌒C 1C 2上点的个数已推出为n ，所以有⌒C 1C ⌒C 1C 2=13nn=13，即⌒C 1C =13⌒C 1C 2；易知：⌒CC 2=23⌒C 1C 2。

T 2B=T 2C T 2D ⊥BCTB=TC 1 TD 1⊥BC 1=> TT 2TT 1=13 => TT 2=13TT 1OH 5=OH 6=>CG 2=C 1G=>⌒CG 2=⌒C 1G=>⌒CG +⌒GG 2=⌒C 1C +⌒CG =>⌒GG 2=⌒C 1C⌒C 1C =13⌒C 1C 2=>⌒CC 2=2⌒GG 23、 ⌒BC 2=2⌒E 1G⌒CC 2=2⌒GG 2=>⌒DB =⌒E 1G 2∠CT 2D 12（⌒CD −⌒G 2G 3)∠BT 2D 12（⌒DB −⌒G 3E 1)∠CT 2D=∠BT 2D⌒CD =⌒DB4、 BE=BF BH 1⊥EFOE ⊥AB=>⌒AE =⌒EB =>⌒AE =12⌒AB∠EH 1N=∠BHN=90°∠ENH 1=∠BNH =>⌒E 1G 1=14⌒AB⌒=12⌒m = m = =>∠ABC 3=∠EBC 3=>⌒AC 3=⌒C 3E =>⌒AC 3=12⌒AE=>⌒AC 3=14⌒AB=>∠NEH 1=∠NBH=>∠E 1EG 1=∠C 3BA=>⌒E 1G 1=⌒AC 3=>⌒BE =2⌒E 1G 1 ⌒DB =2⌒G 3E 15、∠MH 1B=∠MH 3B=90° ∠MN 1H 1=∠BN 1H 3=>12（⌒ED -⌒G 1G 3）=12⌒C 3C=>⌒ED =⌒G 1G 3+⌒C 3C ⌒ED =2⌒G 1G 36、⌒CD =⌒C 3D -⌒C 3C ⌒C 3D =⌒C 3E +⌒ED=>⌒AC =⌒CD =⌒DB=>∠AOC=∠COD=∠DOB =>⌒BE -⌒DB =2⌒E 1G 1-2⌒G 3E 1=2（⌒E 1G 1-⌒G 3E 1）=2⌒G 1G 3=>⌒ED =2⌒G 1G 3 =>∠M=∠N 1BH3=>∠M=∠C 3BC∠M 12（⌒ED -⌒G 1G 3）∠C 3BC 12⌒C 3C=>⌒ED =2⌒C 3C m = m= =>⌒CD =⌒C 3E +⌒ED -⌒C 3C ⌒ED =2⌒C 3C=>⌒CD =⌒C 3E +⌒C 3C⌒AC =⌒AC 3+⌒C 3C⌒AC 3=⌒C 3E => ⌒AC =⌒CD⌒CD =⌒DB。