用折纸法三等分任意角
尺规作图三等分任意角
尺规作图三等分任意角（0°<α≤180°）黑龙江省巴彦县兴隆镇第二中学谭忠仁邮编：151801电话：150****5590目录关于三等分角的由来 (1)三等分任意角（0°<α≤180°） (2)已知：∠AOB (2)求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD (2)作法： (2)证明： (2)关于三等分角的由来众所周知，三等分角是著名的几何作图三大问题之一（另外两个问题是化圆为方、倍立方体），近两千年来，几十代人为这三大问题绞尽脑汁，希腊人的巧思、阿拉伯人的学识、文艺复兴时期大师们的睿智都曾倾注于此，却均以失败告终。
1837年范兹尔首先证明三等分角与倍立方体不能有限次使用尺规作出。
1895年，克莱因给出三大问题有限次使用尺规作图不可能的简单而清晰的证明，阿基米德在几何学上的造诣是很深的，从他的著作里可以看到他对三等分角问题的研究，他先采用在直尺上标注一个点的方法，然后把一个角三等分，显然，这一方法取消了直尺上无刻度的限制，此外，喜庇亚斯借助割圆曲线、尼克曼得斯借助于蚌线、巴普士借助于双曲线、帕斯卡借助于蚶线，解决了三等分角的问题，但所有这些曲线都不能仅用尺规来完成。
综上所述，尺规作图三等分任意角尚无先例，本人自1971年参加工作后，任初中数学教师，由于专业的需要、兴趣及其爱好，使我涉猎了大量数学方面的资料和相关知识，下决心研究三等分角问题，历尽40年时间，苦心钻研，现终得一法，并且给出了科学、严谨的证明，借此恳请数学专家和导师予以审核、验证，并提出宝贵意见。
注：本文所举资料，请详见《陕西中学数学》1991年第二期谭忠仁2011年5月10日三等分任意角（0°<α≤180°）已知：∠AOB求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD作法：1、以O为圆心，以任意长为半径作⊙O，交射线OA于A，交射线OB于B；2、连结AB，引直径EE1，并且使EE1⊥AB，垂足为H；3、连结BE，以B为圆心，以BE的长为半径画弧，交AB于F；4、连结EF并延长，交⊙O于G1，交BE1的延长线于T；5、以T为圆心，以TB的长为半径画弧，交⊙O于C1，连结TC1，交⊙O 于G；6、在⌒AB上截取⌒BC2，使⌒BC2=2⌒E1G；7、连结BC2，作BC2的垂直平分线T1D2，垂足为H2，交TB于T1，，连结T1 C2；8、作射线TP，在射线TP上依次截取TP1= P1P2= P2P3，连结T1P3，作T2P1∥T1P3，交TT1于T2；9、以T2为圆心，以T2B的长为半径画弧，交⊙O于C，连结T2C，交⊙O 于G2；10、连结BC，作BC的垂直平分线T2D，交⊙O于G3、D，垂足为H3，（T2D 必经过圆心O、必经过等腰三角形T2BC的顶角的顶点T2）；11、作射线OC，则射线OC、OD即为所求作的∠AOB的两条三等分射线。
任意角三等分图1、图2[1]
![任意角三等分图1、图2[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/5e3e8577844769eae109ed6c.png)
第一部分:解说原理(如图1)
一，取任意直线L1、L2，相交于A点，取直线L6线为A角的角平分线
二，在直线L6上取任意点O，以点O为圆心，作O圆，要求与直线L1、L2相切，
三，在直线L2上取任意点D（很有意思的点）, 过点D，作O圆的切线L3，交直线L1于点H
四，连接点D、点O为L4线并两端延长，交L1线为点E，过点E作O圆的切线L8 ，交直线L3于点F,交直线L6为点K 五，连接点F、点O作直线L5，交直线L1于点G（很有意思的点），过点G作O圆的切线L7，交直线L3于点C,
六，连接点C、点O作直线L9, 交直线L8为点J
第二部分“任意角的三等分的尺规作法”(如图2)
一，取大O圆，取直径分别交大O圆于点A、点B，再任取直径分别交大O圆于点C、点D，角AOC为任意角
二，取直线L1为角AOD的角平分线，直线L2为角DOB的角平分线，交大O圆于点E，
三，连接点E、点C为直线，并交直线AB为点G，过点G作直线L2的平行线，交直线L1为点H，连接点C、点H 为直线并延长交直线L2为点K，交大O圆为点J, 连接点J、点O ,则角CJO=六分之一角AOC，角JCE＝12分之一角AOC（图中的黑点)。
立足折纸实验，导向几何本质——以《用正方形纸折30°角》一课为例
立足折纸实验，导向几何本质——以《用正方形纸折30°角》一课为例发布时间：2021-02-04T10:55:50.120Z 来源：《中小学教育》2021年2月1期作者：金晓强[导读]金晓强浙江省嘉兴海宁市丁桥镇初级中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2021）02-041-02新课标指出，数学教学必须注意从学生的生活情境和感兴趣的事物出发，为他们提供参与的机会，使他们体会到数学就在身边，对数学产生亲切感。
这就要求教师有一双善于发现的眼睛，挖掘身边的数学资源，为学生提供一个有趣的、与自身息息相关的学习内容，使学生在探究、发现的过程中，提升观察力、创造力。
在数学实验中，学生能够学习自己需要的、喜欢的数学，在学中玩，在玩中学，真正体现“学为中心”的理念。
一、问题缘起几何学习是初中数学学习的一大难点，但也是学生热爱数学的一个关键点。
然而现今的数学教育中，应试教育占据绝对主导，课堂上唯解题论、课外唯分数论的现象比比皆是，忽略了学生数学素养的培养，学生真正的能力得不到培养。
有许多学生平时解题能力很强，但在综合性考试中成绩却不尽如人意，原因无非是成为了“解题机器”，不具备相应的数学能力，面对从未谋面的新题型就无从下手。
基于这样的数学现状，笔者通过深入研究《用正方形纸折30°角》这节拓展课，试图从身边的几何入手，教学生一种数学思维、一种解决问题的方法。
二、教学实践这节课是在八年级学习完教材“全等三角形的判定”、“等腰三角形”等知识后，拓展研究的一个课题。
教材内容如下：1.生活中的折纸引入课题。
2.引例：用正方形纸片折30°角的三种方案，其中第一种方案是直接三折，操作时只能通过尝试折叠；第二种方案是先对折，再把一条边折到折痕上；第三种方案是对折后，把另一条边折到折痕中，实质跟方案二无异。
然后分别证明其正确性，篇幅较大。
3.两个关于折叠问题的证明和计算题，与引例没有直接联系。
三等分任意角的折纸作法
三等分任意角的折纸作法
三等分任意角的折纸作法，非常简单。
首先，将一张正方形纸对
角线折叠成两个三角形，并确保折叠线上的交点在纸的中心位置。
然后，将纸的一个边角对齐，使其与折叠线呈现一条直线。
接下来，将
另一个边角对折，并确保其与前一次折叠线的交点重合。
最后一次折
叠时，将纸的边角对折，使其与前两次折叠线的交点重合。
此时，你
会发现纸被折叠成三个相等的角，并且这些角将任意角平分为三等份。
这是一个简单而有趣的几何学折纸技巧。
折纸这是个数学问题
折纸这是个数学问题没有3D打印机怎么办？其实只用一张纸，也能创造大千世界——大家还记得以前大脸兔介绍过的折纸达人刘通吗？区区一张方形纸，不剪不裁不拼贴，却能被他折出万千造型。
他是怎么做到的？如果栗子君说是“算”出来的，你信吗？强大的折纸几何学拆开一件折纸作品，将其还原为一张纸，可以看到纸上布满一条条折痕，构成许多几何图形。
这其中蕴含着大量数学概念和原理，例如你学过的相似、轴对称、点对称、全等、比例，以及将来可能要学的迭代、递归等等。
据说在8世纪中期，阿拉伯人就懂得运用几何知识来折纸，同时他们也用折纸来研究几何问题。
到19世纪，欧洲人也开始将折纸用于数学和科学研究。
折着折着，人们发现，折纸能解决的数学问题比想象的多得多。
在几何作图方面，折纸甚至能甩尺规作图几条街，许多任务，比如作正七边形、三等分任意角、求2的立方根等，尺规作图没法完成的，折纸都能搞定。
至于将一张纸等分成13、15、17……份，对刘通这样的折纸玩家来说，不过是基础的入门技能。
这还不算，还有更猛的——跟刘通同为世界顶级折纸大师的美国大叔罗伯特·朗，竟然开发出两个折纸软件TreeMake和ReferenceFinder。
依靠7條折纸公理，这两个软件可以计算出用户想要的任何造型的折痕展开图，以及正确的折叠顺序！什么公理这么逆天？不用说，它就是咱们今天的教学重点——藤田—羽鸟公理中国人发明的折纸，自隋朝传入日本后就立刻受到热烈追捧，最后还成了日本的国粹。
上世纪70年代，日本人又把眼光投向了折纸中的数理问题，掀起一股经久不衰的研究热潮。
其中影响最深远的成果，大概就是“藤田—羽鸟公理”。
这一组公理共7条，其中6条由日裔意大利数学家藤田文章于1991年提出。
藤田指出了折纸过程中的6种基本操作，用来定义纸张如何折叠。
10年后，另一位数学家羽鸟公士郎又补充了一种操作。
于是这7种操作被合称为“藤田—羽鸟公理”。
经罗伯特·朗证明，它们涵盖了折纸过程中的全部折法。
数学史和数学文化(五)
∴射线 BQ，BT 是∠SBC 的三等分线．
(2)若将图 1 中的点 S 与点 D 重合，重复材料中的操作过程得到图 4，请利用图 4， 直接写出 tan 15°＝ 2－ 3 .(不必化简)
图4
【提示】由(1)可知：射线 BQ，BT 是∠DBC 的三等分线，过点 T 作 TJ⊥BC 于点 J，如解图所
图1
图2
图3
下面是证明 BQ，BT 是∠SBC 三等分线的部分过程：
证明：过点 T 作 TK⊥BC 于点 K，则四边形 EBKT 为矩形． 根据折叠，得 EB＝QT，∠EBT＝∠QTB，BT＝TB， ∴△EBT≌△QTB(SAS)． ∴∠BQT＝∠TEB＝90°. ∴BQ⊥PT. …
学习任务： (1)将剩余部分的证明过程补充完整． 解：剩余的证明过程如下： ∵ME＝PQ，EB＝QT，ME＝EB， ∴PQ＝QT. ∴BP＝BT. ∴∠PBQ＝∠TBQ. ∵TK＝BE，∴TK＝TQ.
正方形 ABCD，则矩形 DCGF 是否为黄金矩形？是，请予以证明；不是，请说明理由． 解：留下的矩形 DCGF 是黄金矩形． 理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝DC＝AD．
又∵AABF＝ 52－1， ∴AADF＝ 52－1.
即点 D 是线段 AF 的黄金分割点，FADD＝ 52－1. ∴FCDD＝ 52－1. ∴矩形 DCGF 是黄金矩形．
示，则∠TBJ＝13∠DBC．∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠DBC＝45°.∴∠TBJ＝15°.由折叠性质，
得 BH＝HT，∴∠TBJ＝∠HTB＝15°.∴∠THJ＝30°.设 BC＝4，则 BE＝1.∵将正方形 ABCD 对 折，折痕记为 MN，再将矩形 MBCN 对折，折痕记为 EF，TJ⊥BC，∴四边形 EBJT 为矩形．∴TJ ＝BE＝1.在 Rt△THJ 中，∠THJ＝30°，∴HT＝2TJ＝2，HJ＝cos 30°·HT＝ 23×2＝ 3.∴BJ ＝BH＋HJ＝HT＋HJ＝2＋ 3，tan∠TBJ＝BTJJ＝2＋1 3＝2－ 3.即 tan 15°＝2－ 3.
用折纸法三等分任意角
用折纸法三等分任意角
唐亮
【期刊名称】《数学教学通讯：教师阅读》
【年(卷),期】1995(000)002
【摘要】“折纸”不是尺规作图,中学生去搞“三等分角”不足为训,但方法简单有趣,故予介绍.
【总页数】1页(P41-41)
【作者】唐亮
【作者单位】江北县广厦中学95级二班 631120
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.尺规作图三等分一个给定的任意角 [J], 吴兴建
2.小精灵三等分任意角 [J], 鹤侠
3.三等分任意角挑战世界 [J], 方和生; 方祖旺
4.三等分任意角探究 [J], 岳斌
5.三等分任意角的作法探讨 [J], 蔡长青
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第1部分 第5章 数学文化和数学史(五)
根据上述叙述完成下题： (1)若MN＝4. ①图3中AB＝ 2 5 ； ②图4中的黄金矩形为 BCDE ．
【提示】①由折叠，得BF＝12BM＝12MN＝2，在Rt△ABF中，AF＝MN＝4，∴AB
＝
AF2＋BF2 ＝2
5 .②∵AD＝AB＝2
5 ，∴CD＝AD－AC＝2(
5
－1)．∴
CD BC
＝
∵AQ⊥BD， ∴OA＝OQ. ∴四边形ADQB是平行四边形．
∵AB＝AD，
∴四边形ADQB是菱形．
∴AB＝BQ＝a. 根据勾股定理，得AB2＝BF2＋AF2， ∴a2＝BF2＋(2BF)2.
∴BF＝ 55a.
∴FQ＝BF＋BQ＝
55a＋a＝1＋
55a，AF＝2BF＝2
5
5 a.
根据勾股定理，得AQ2＝FQ2＋AF2＝1＋ 55a2＋2 5 5a2＝25＋5 5a2. ∵AQ·BD＝c， ∴BD＝AcQ. ∵AQ＋BD＝b， ∴AQ＋AcQ＝b. ∴AQ2＋AcQ2 2＝b2－2c.
最佳的视觉美感，都采取了黄金矩形的设计，如：古希腊时期的巴特农神庙、法国的
巴黎圣母院、名画《蒙娜丽莎》外相框等．某数学兴趣小组通过下列操作得到黄金矩
形，将一矩形纸片按图1－图4方式折叠：
图1
图2
图3
图4
第一步：在矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图3中所示的AD处； 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图4中就会出现黄金 矩形．
解：留下的矩形DCGF是黄金矩形．
理由：∵四边形ABCD是正方形，