MathStudio36 阿基米德螺线与三等分任意角
《阿基米德螺线》课件
具有哪些特性
阿基米德螺线是一种连续的等角曲线，其每个点 距离中心的距离与角度成正比。
阿基米德螺线的绘制方法
构建极坐标系
使用极坐标系来绘制阿基米德螺线，可以更好地描 述其特性和形状。
根据参数方程绘制阿基米德螺线
通过确定参数方程的值，可以绘制出阿基米德螺线 的曲线图形。
阿基米德螺线的应用
1
与物理、工程的联系
1 阿基米德螺线的变形
通过改变参数方程的参数，可以得到阿基米 德螺线的不同变形。
2 其它类型的螺线的介绍
除了阿基米德螺线外，还存在很多其他类型 的螺线，如对数螺线和斯普拉勒螺线。
结论
总结阿基米德螺线的特点及应用价值
阿基米德螺线具有一系列独特的特点和应用价值，在几何学、物理学、工程学和数学等领域 中发挥着重要作用。
《阿基米螺线》PPT课 件
阿基米德螺线PPT课件介绍了阿基米德螺线的定义和相关历史知识，以及螺线 的绘制方法、应用和变形。课件总结了阿基米德螺线的特点及其应用价值， 并展望了螺线研究的发展前景。
什么是阿基米德螺线
定义及相关历史知识
阿基米德螺线是一种由古希腊数学家阿基米德研 究的曲线，具有很多有趣的特性。
展望螺线研究的发展前景
随着科学技术的不断发展，螺线研究将继续深入，可能会有更多新的发现和应用。
参考文献
• 相关论文一 • 相关论文二 • 相关资料一 • 相关资料二
2
阿基米德螺线的形状和特性在物理和工程
领域中有着广泛的应用，如涡轮机、螺旋
桨等。
3
在几何图形的绘制中的应用
阿基米德螺线常被用于绘制一些特殊的几 何图形和曲线，如花瓣形状和螺旋形状。
数学分析及其它领域的应用
尺规作图三等分任意角
尺规作图三等分任意角（0°<α≤180°）黑龙江省巴彦县兴隆镇第二中学谭忠仁邮编：151801电话：150****5590目录关于三等分角的由来 (1)三等分任意角（0°<α≤180°） (2)已知：∠AOB (2)求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD (2)作法： (2)证明： (2)关于三等分角的由来众所周知，三等分角是著名的几何作图三大问题之一（另外两个问题是化圆为方、倍立方体），近两千年来，几十代人为这三大问题绞尽脑汁，希腊人的巧思、阿拉伯人的学识、文艺复兴时期大师们的睿智都曾倾注于此，却均以失败告终。
1837年范兹尔首先证明三等分角与倍立方体不能有限次使用尺规作出。
1895年，克莱因给出三大问题有限次使用尺规作图不可能的简单而清晰的证明，阿基米德在几何学上的造诣是很深的，从他的著作里可以看到他对三等分角问题的研究，他先采用在直尺上标注一个点的方法，然后把一个角三等分，显然，这一方法取消了直尺上无刻度的限制，此外，喜庇亚斯借助割圆曲线、尼克曼得斯借助于蚌线、巴普士借助于双曲线、帕斯卡借助于蚶线，解决了三等分角的问题，但所有这些曲线都不能仅用尺规来完成。
综上所述，尺规作图三等分任意角尚无先例，本人自1971年参加工作后，任初中数学教师，由于专业的需要、兴趣及其爱好，使我涉猎了大量数学方面的资料和相关知识，下决心研究三等分角问题，历尽40年时间，苦心钻研，现终得一法，并且给出了科学、严谨的证明，借此恳请数学专家和导师予以审核、验证，并提出宝贵意见。
注：本文所举资料，请详见《陕西中学数学》1991年第二期谭忠仁2011年5月10日三等分任意角（0°<α≤180°）已知：∠AOB求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD作法：1、以O为圆心，以任意长为半径作⊙O，交射线OA于A，交射线OB于B；2、连结AB，引直径EE1，并且使EE1⊥AB，垂足为H；3、连结BE，以B为圆心，以BE的长为半径画弧，交AB于F；4、连结EF并延长，交⊙O于G1，交BE1的延长线于T；5、以T为圆心，以TB的长为半径画弧，交⊙O于C1，连结TC1，交⊙O 于G；6、在⌒AB上截取⌒BC2，使⌒BC2=2⌒E1G；7、连结BC2，作BC2的垂直平分线T1D2，垂足为H2，交TB于T1，，连结T1 C2；8、作射线TP，在射线TP上依次截取TP1= P1P2= P2P3，连结T1P3，作T2P1∥T1P3，交TT1于T2；9、以T2为圆心，以T2B的长为半径画弧，交⊙O于C，连结T2C，交⊙O 于G2；10、连结BC，作BC的垂直平分线T2D，交⊙O于G3、D，垂足为H3，（T2D 必经过圆心O、必经过等腰三角形T2BC的顶角的顶点T2）；11、作射线OC，则射线OC、OD即为所求作的∠AOB的两条三等分射线。
阿基米德原理公式推导过程三等分角器
阿基米德原理公式推导过程三等分角器阿基米德原理是物理学中非常重要的一个原理，而三等分角器则是数学中一个有趣的工具。
让咱们先来聊聊阿基米德原理的公式推导过程。
话说有一天，我正在教室里给学生们讲阿基米德原理。
我拿了一个装满水的大玻璃缸，还有一个金属块。
我先问学生们：“你们猜猜把这个金属块放进水里，会发生啥？”学生们七嘴八舌地说开了，有的说水会溢出来，有的说金属块会沉下去。
然后我就把金属块慢慢地放进水里，果然，水溢出来了一些。
这时候我就告诉他们，溢出来的水的体积就等于金属块的体积。
这就是阿基米德原理的一个小起点。
咱们再深入一点，假设一个物体浸没在液体中。
这个物体受到了向下的重力 G 物，还受到了向上的浮力 F 浮。
根据力的平衡原理，如果物体处于静止状态，那么重力 G 物就等于浮力 F 浮。
那浮力 F 浮到底咋算呢？这就得从液体对物体的压力说起啦。
液体内部的压强是随着深度增加而增大的。
所以物体在液体中不同深度的表面受到的压力是不一样的。
想象一下，这个物体是一个规则的长方体。
它的上下表面面积相等，深度不同。
下表面受到的压力 F 下就比上表面受到的压力 F 上大。
那浮力 F 浮不就是这两个压力的差嘛！经过一番推导，咱们就能得出阿基米德原理的公式：F 浮= ρ 液 gV 排。
其中，ρ 液是液体的密度，g 是重力加速度，V 排是物体排开液体的体积。
再来说说三等分角器。
有一次我在办公室里研究三等分角器，想得那叫一个入神。
旁边的老师都笑我，说我太较真儿了。
三等分角器的原理其实挺巧妙的。
它利用了一些几何图形的特性和比例关系。
比如说，通过构建特定的三角形或者线段比例，来实现角的三等分。
但是呢，三等分角问题在只用尺规作图的情况下是没法完成的。
可这并不妨碍我们通过其他工具或者方法来实现它。
就像在学习和生活中，有时候我们觉得一个问题没法解决，可能只是我们的思路被限制住了。
当我们换个角度，或者借助一些新的工具和方法，说不定就能找到答案。
古希腊三大几何作图问题
古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规，这种作图工具的限制使得三大几何作图问题成为数学史上的难解之题．三等分角问题即将任意一个角进行三等分．1837年，法国数学家旺策尔第一个证明了三等分角问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．但如果放宽作图工具的限制，该问题还是可以解决的．阿基米德创立的方法被誉为最简单的方法，他仅利用只有一点标记的直尺和圆规就巧妙地解决了这个问题．三等分角问题的深入研究导致了许多作图方法的发现及作图工具的发明．倍立方体问题即求作一个立方体，使其体积是已知一立方体的两倍，该问题起源于两千年希腊神话传说：一个说鼠疫袭击提洛岛（爱琴海上的小岛），一个预言者宣称己得到神的谕示，须将立方体的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息；另一个说克里特旺米诺斯为儿子修坟，要体积加倍，但仍保持立方体的形状．这两个传说都表明倍立方体的问题起源于建筑的需要．1837年，洁国数学家旺策尔证明了倍立方体问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．倍立方体问题的研究促进了圆锥曲线理论的建立和发展．化圆为方问题即求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积．这是历史上最能引起人们强烈兴趣的问题之一，早在公元前5世纪就有许许多多的人研究它．希腊语中甚至有一个专门名词表示“献身于化圆为方问题”．1882年，德国数学家林德曼证明了化圆为方问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题，从而解决了2000多年的悬案．如果放宽作图工具的限制，则开始有多种方法解决这个问题，其中较为巧妙的是文艺复兴时期的著名学者达·芬奇设计的：用一个底与己知圆相等，高为己知圆半径一半的圆柱在平面上滚动一周；所得矩形的面积等于已知圆面积，再将矩形化为等面积的正方形即化圆为方问题的研究促使人们开始用科学的方法计算圆周率的值，对穷竭法等科学方法的建立产生了直接影响．。
螺线角度的计算
螺线角度的计算阿基米德"论螺线"定义及其方程式的局限性(2009-08-2523:45:56)标签:阿基米德螺旋线渐开线论螺线凸轮齿轮卡盘杂谈阿基米德"论螺线"定义及其方程式的局限性(关键词:旋进线，旋进比，同步，等距螺线，通用极坐标方程式)阿基米德(Archimedes，约公元前287~前212)，古希腊著名的数学家、物理学家，静力学和流体静力学的奠基人。
《论螺线》，是阿基米德对数学的出色贡献。
《论螺线》中，明确了以其名字命名的"阿基米德螺线"的定义:"当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为"阿基米德螺线"。
它的极坐标方程式为:r=a*θ，螺线的每条臂间的距离永远相等于2π*a。
请注意定义中至为关键的一句"动射线OP"!也就是说阿基米德螺线仅限于沿动射线OP(过回转中心的直线)上点的轨迹。
只有在这条射线上螺线的每条臂间的距离永远相等于2πa。
我们将思维开放一些，跳出动射线OP这个限定条件，将动射线OP变换为任意直线，定义就变成"动点P沿任意直线以等速率运动的同时，这直线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为…螺线"?有人将阿基米德螺线形象地描述为:蚂蚁在均匀回转的唱片上等速的向中心爬去时的轨迹，就是阿基米德螺旋线。
那么蚂蚁不向中心爬，而是沿着任意方向的一条直线爬去，其轨迹会是什么螺线呢?出于论述需要，我把绕中心旋转并供动点沿其自身同步、定旋比运动的任意直线称为旋进线;把动点旋转运动与直线运动之间的比例关系称为旋进比(简称旋比)-即:动点旋转一周时相应在旋进线上移动的距离(螺距S)。
旋比ix=S/360(角度制-单位mm/度)，或ix=S/2π。
把动点旋转运动与直线运动之间的运动关系限定为同步，即两者的关系是随动关系，即你动我动、你快我快、你慢我慢、你停我停。
阿基米德三等分角方法
阿基米德三等分角方法
标题:阿基米德三等分角方法
正文:
阿基米德是一位古代希腊数学家和物理学家,他在公元前3世纪时提出了一种三等分角的方法。
这种方法被称为阿基米德三等分角方法,是一种简单而有效的方法,适用于各种形状的角。
阿基米德三等分角方法的步骤如下:
1. 将一个角分成三个相等的部分。
2. 将其中一个部分旋转180度,使其与另外两个部分重合。
3. 将旋转后的部分与原角再次重合,并将重合部分三等分,得到三个等角。
下面是阿基米德三等分角方法的示例:
假设一个角为120度,我们需要将其分成三个相等的部分。
首先将这个角分成三个60度的部分,然后将其旋转180度,使其与另外两个部分重合。
最后,将重合部分三等分,得到三个等角,每个角为60度÷ 3 = 20度。
这种方法可以用于各种形状的角,例如直角、锐角、钝角等。
此外,阿基米德三等分角方法还可以应用于其他领域,例如物理学和工程学。
拓展:
阿基米德三等分角方法的应用不仅局限于数学和物理学领域,还可以应用于其他领域。
例如,在工程学中,可以使用阿基米德三等分角方法来测量某个角的度数,或者将其用于设计建筑物和道路等。
阿基米德螺线和三等分角
阿基米德螺线和三等分角数学家对螺线的探索最早可以追溯到古希腊时代，阿基米德就在他的著作《论螺线》中对等速螺线的性质做了详细的讨论，于是后世的数学家们也把等速螺线称为“阿基米德螺线”。
（最早发现等角螺线的其实是阿基米德的老师柯农，在他死后阿基米德继承了他的工作。
）什么是阿基米德螺线呢？想象有一根可以绕着一点转动的长杆，有一只小虫沿着杆匀速向外爬去。
当长杆匀速转动的时候小虫画出的轨迹就是阿基米德螺线。
阿基米德螺线的方程写成极坐标形式就是ρ = aθ。
阿基米德螺线生活中随处可见。
在早期的留声机中，电机带动转盘上的唱片匀速转动，沿着一条直线轨道匀速向外圈移动的唱头在唱片上留下的刻槽就是阿基米德螺线。
同理，由匀速盘香机生产出来的盘状蚊香也是阿基米德螺线的形状。
等螺距的螺钉从钉头方向看去也是阿基米德螺线。
就连缝纫机中也有阿基米德螺线出没，一般的机械缝纫机中有一个凸轮，手轮旋转的时候用来带动缝纫针头直线运动，这个凸轮的轮廓就是把阿基米德螺线的一部分经过对称得到的。
一个很有趣的事情是，在阿基米德螺线的配合下，尺规就能完成三等分一个任意角θ。
步骤如下：1、将θ角的一边与极轴重合，顶点与原点O重合2、延长角的另一边与阿基米德螺线交于A3、尺规三等分OA得到三等分点B’、C’4、分别以OB’、OC’为半径，O为圆心画圆交螺线于B、C5、根据ρ=aθ 容易证得OB、OC三等分θ当然，只利用尺规是无法画出阿基米德螺线的，所以我们大可不必担心关于尺规三等分任意角不可能的证明就此被推倒。
渐开线和机械齿轮另一种有名的螺线叫做渐开线。
当一根绳沿着另一曲线绕上或脱下时，它描出一条渐伸线。
许多曲线都有自己的渐开线，把一条没有弹性的细绳绕在一个定圆上，拉开绳子的一端并拉直，使绳子与圆周始终相切，绳子端点的轨迹就是圆的渐开线。
与阿基米德螺线相比，渐开线在日常生活中出场的机会似乎要少一点，但仔细寻找还是能发现它的踪迹，例如棕榈等一些植物叶尖的轮廓就是渐开线。
三等分角知识点
12.3 数学视野
三等分角
三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”、“化圆为方问题”一起被称为“古代三大几何难题”. 两千多年来，从初学几何的青少年到经验丰富的学者，数以万计的人都曾经研究过“三等分角问题”，希腊数学家阿基米德（Archimedes，前287-前212年）曾用线条作图法宣称解决了“三等分角问题”；帕普斯(Pappus，约公元300年)在他有独创性的名著中曾证明用一固定双曲线也能解“三等分角问题”；希腊数学家尼科梅达斯(Nicomedes．公元前二世纪)称他的“蚌线法”也可三等分一个角. 直至1837年，法国数学家旺策尔（Wantzel，pierrela urene，1814-1848）才用代数的方法证明了尺规作图不可能（任意角三等分），但由于该问题历史长久，流传广泛，仍不断有人为之耗费精力，1936年8月18日《北京晨报》曾经发表一条消息说：郑州铁路站站长汪君，耗费了14年的精力，终于解决了“三等分角问题”，并将其尺规作法寄往各国，一时间引起国内外数学界的注意，可是不久，就有许多人陆续来信，指出他的作法是错误的.
直到1966年以前，中国科学院数学研究所每年都要接到不少研究“三等分角问题”的稿件. 后来，研究所只好在国家权威杂志《数学通报》上发表通告：三等分任意角用尺规作图是不可能的. 该命题也已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的.
现在三等分角个人研究的爱好者数量还是不少的，网页上陆陆续续地出现很多“我能尺规作图三等分角”的观点，一经发表几乎在最短的时间内被评论为是错误的，或者是违背了尺规作图的原理.
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（36）
阿基米德螺线与
三等分任意角
2016年6月16日
★三等分任意角是几何作图三大难题之一，不能只用直尺圆规三等分任意角是早有的定论。
★免除“只用尺规作图”的限制，就能三等分任意角吗？
★现在就探讨借助阿基米德螺线来三等分任意角吧
直线y=cx=7x c=7
X轴与直线夹角φ =tan-1(c)=tan-1(7)=1.4289
同心圆C1 ρ1=r1=0.5 r1=0.5
同心圆C2 ρ2=r2= 1 r2=1
同心圆C3ρ3=r3=1.5 r3=1.5
阿基米德螺线ρ=aθ
螺线与同心圆C1 的交点P1(x1,y1) , OP1与X轴夹角=θ1螺线与同心圆C2 的交点P2(x2,y2) OP2与X轴夹角=θ2螺线与同心圆C3 的交点P3(x3,y3) OP3与X轴夹角=θ3
θ3= φ =1.4289
a=ρ3/θ3=r3/tan-1(c)=1.5/1.4289=1.0498
计算得θ2=ρ2/a=θ3×ρ2/ρ3=θ3×1/1.5=θ3×2/3=0.9526
θ1=ρ1/a=θ3×ρ1/ρ3=θ3×0.5/1.5=θ3×1/3=0.4763
首先画出过极点斜率为7的直线其次画出以极点为中心的
3个同心圆
半径为0.5、1、1.5
即同心圆的半径比为1:2:3
在同一帧图里
再画出与3 个同心圆相交的
阿基米德螺线
a=r3/atan(c)=1.0498
P3
P
2
P
1
P3的数据
X3=0.211
Y3=1.486
θ3=1.429（弧度）
=1.429×180/π=81.9°
r3=sqrt(X32 +y32)
=sqrt(0.2112
+1.4862)
=1.5
O
P 2的数据X 2=0.579Y 2=0.816
θ2=0.953（弧度）
=0.953×180/π=54.603°
r 2=sqrt(X 22 +y 22)=sqrt(0.5792
+0.8162)=1P 2O
P 1的数据X 1=0.445Y 1=0.229
θ1=0.476（弧度）
=0.476×180/π=27.30°
r 1=sqrt(X 12 +y 12)=sqrt(0.4452
+0.2292)=0.5
θ1 : θ2 : θ3 = 27.3 : 54.6 : 81.9= 1 : 2 : 3
P 1O
MultiPlot 画出的图形放大图的Table得不到数据
从以上的例子，可以得出用MathStudio演示借助阿基米德螺线三等分任意角的方法
1. 以角定直线
待三等分的角φ（以弧度为单位），X轴为底边，另一边为
y=tan(φ) * x 的直线
2. 以直线定同心圆
3个以极点为圆心的同心圆半径比=3 : 2 : 1
r 3 =φ
r 2 =2φ/3
r 1 =φ/3
3. 以圆定螺线ρ=aθ
a = r 3/φ=1
4. 螺线与3个同心圆相交于3点，过极点画出与此3点连线
三等分任意角φ完成
下面再看直线在第2、第4象限的2个例子
角φ的另一边在第2象限
三个同心圆的半径分别为1、2、3
阿基米德螺线a=1
P 3的数据
X 3=-2.979Y 3=0.405θ3=3（弧度）
=3×180/π=171.89°r 3=sqrt(X 32 +y 32)=sqrt(-2.9792 +0.4052)=3
P 3
O
P 2的数据
X 2=-0.833Y 2=1.819θ2=2（弧度）
=2×180/π=114.59°r 2=sqrt(X 22 +y 22)=sqrt(-0.8332 +1.8192)=2
P 2
O
P 1的数据
X 1=0.538Y 1=0.850θ1=1（弧度）
=1×180/π=57.30°r 1=sqrt(X 12 +y 12)=sqrt(0.5382 +0.852)=1
O
P 1
θ1 : θ2 : θ3 = 57.3 : 114.6 :
171.9= 1 : 2 : 3
角φ的另一边在第4象限
三个同心圆的半径分别为2、4、6
阿基米德螺线a=1
P 1的数据
X 1=-0.833Y 1=1.819θ1=2（弧度）
=2×180/π=114.59°r 1=sqrt(X 12 +y 12)=sqrt(-0.8332 + 1.8192)=2
O
P 1
P 2的数据
X 2=-2.593Y 2=-3.057θ2=4（弧度）
=4×180/π=229.18°
r 2=sqrt(X 22 +y 22)=sqrt(-2.5932 +-3.0572)=4
O
P 2
P 3的数据
X 3=5.774Y 3=-1.649θ3=6（弧度）
=6×180/π=343.77°r 3=sqrt(X 32 +y 32)=sqrt(5.7742 + -1.6492)=6
O
P 3
θ1 : θ2 : θ3
= 114.6 : 229.2 : 343.8
= 1 : 2 : 3
PolarPlot 同一帧图里阿基米德螺线a=1
3个同心圆半径比=1:2:3步长=2 0点起
左列数据为x 值
右列数据为y值
红色框内
第1行x1, y1
第2行x2, y2
第3行x3, y3
与前图对照，基本符合
阿基米德螺线
三等分任意角
程序清单
输入待三等分的角度φ=13π/17
=2.402弧度
=137.647°
θ1=0.81弧度=46.41°手指触屏取值有时误差偏大
θ2=1.61弧度=92.25°
θ3=2.401弧度=137.57°
根据前面的演示，可以确信：借助阿基米德螺线三等分任意角是可以实现的。
那么，这是否推翻了“尺规作图不可能三等分任意角”的定论呢？
没有！因为阿基米德螺线是不能只用尺规作出的
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2016年6月26日。