具有几何意义的最值问题例析

具有几何意义的最值问题例析
最值问题，综合性强，是高考的重要题型之一，也是教学的一个难点。

有些最值问题具有明显的几何意义，巧妙利用它，能使这类问题迅速得以解决。

分类例析如下：
１两点间距离的最值
例1，已知2x+y-2≥0x-2y+4≥03x-y-3≤0，求z=■的最值。

分析：z的几何意义是点（x，y）与点（０，０）之间的距离，其中点（x，y）在不等式组所表示的区域之中，画出图形，可求解。

略解：作出可行域如右图，利用z的几何意义结合图形知z的最大值为
｜ＣＯ｜；z的最小值为点Ｏ到直线2x+y-2＝０的距离d。

联立3x-y-3=0与x-2y+4=0可求得Ｃ（2，3），从而｜ＣＯ｜=■；d=■=■■所以z的最大值为■，z 的最小值为■■。

例2，已知点P在直线y=x-1上，点Q在圆x2+y2+4x-2y+4=0上，则|PQ|的最小值为。

分析：|PQ|是圆上一点与圆外一条直线上一点的距离，需求最小值。

由平面几何知识可知，圆心到直线的距离减去半径即为所求。

略解：由x2+y2+4x-2y+4=0得（x+2）2+（y-1）2=1，∴圆心为C（-2，1）半径为r=1；∴C到直线y=x-1的距离d=■=2■∴|PQ|的最小值为2■-1。

例3，已知A（－１，０），Ｂ（１，０）及圆Ｃ：（x-3）2+（y-4）=4上一点P，求|AP|2+|BP|2的最小值。

分析：如右图，连接PO，利用余弦定理|AP|2+|BP|2可转化为关于|OP|2的代数式，只需求这个代数式的最小值。

略解：由题意，|OA|=|OB|=1，∠AOP+∠BOP=π，由余弦定理|AP|2+|BP|2=|AO|2=|OP|2-2|AO|·|OP|·cos∠AOP+|BO|2+|OP|2-2|BO|·|OP|·cos∠BOP=2|OP|2+2。

只需求|PO|的最小值；由平面几何知识可知，|PO|的最小值为|OC|减去半径。

又C（3，4）所以|OC|=5又r=2，所以所求的最小值为2（5-2）2+2=20。

2 两点间距离之和的最小值
例4，函数y=■+■（x∈R）的最小值为（）
（A）2■ （B）2+4■ （C）6 （D）4+2■
分析：由■+■=■+■，y可以看作是点Ｐ（x，0）到两点Ａ（-3，4），Ｂ（１，２）距离之和，由平面几何知识，可先求出A关于x轴的对称点Ａ’（-3，-4），|Ａ’Ｂ|即为所求。

|Ａ’Ｂ|＝■＝２■.结果选A.
例5，函数y=｜x-2｜+|x-1|+|x+1|的最小值为（）
（A）0 （B）2 （C）3 （D）4
分析：因为|x-a|可以看作数轴上一点x到a的距离，所以y可以看作数轴上点x到2，1，-1的距离之和。

结合数轴知，当x=1时，函数有最小值3，选C.
例6，已知点Ｍ（■，１）在椭圆■+■=1内，P为椭圆上一点，F2为右焦点，求2|PE2|+|PM|的最小值并求出此时P点坐标。

分析：利用第二定义，把2
|PE2|转化为P到准线的距离，再利用垂线段最短可求解。

略解：由■+■=1知a＝２，b=■从而c=1，它的右准线为l:x=4，设点P到右准线距离为d，则■=■=■，d=2|PF2|，∴2|PE2|+|PM|=|PM|+d。

过M作MN⊥l 于N，由平面几何知识可知，此时|PM|+d=|MN|最小。

又Ｍ（■，１），∴|MN|=4-■=■，联立y=1和■+■=1可求得P（■■，１）。

例7，如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=■，P是BC1上一动点，则AP+PA1的最小值是。

分析：由平面几何知识，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一平面内（如图），连A1C，则A1C的长度即为所求。

由题意，△C1CB为直角三角形又BC=CC1=■；∴BC1=2，∠CC1B=45°；△AA1B为直角三角形，A1B2=AA12+AB2=AA12+AC2-BC2=6设∠A1C1P=θ，则sinθ=■，cosθ=■于是∠A1C1C=θ+45°，由余弦定理得A1C=■=■+1
3 点线距的最小值
例8，已知x，y满足x≥0y≥0x+y≥1，求z=|2x+y+2|的最小值。

分析：z=|2x+y+2|=■·■，z可以看作可行域内点（x，y）到直线2x+y+2=0的距离d的■倍，只需求出d的最小值即可。

略解：画出可行域（如右图），直线2x+y+2=0，观察可知，可行域中点Ａ（0，
1）到2x+y+2=0的距离最小，此时d＝■=■，从而z的最小值为■×■=3。

例9，已知A，B为抛物线y２＝２x上两个动点，｜ＡＢ｜=3，求ＡＢ的中点Ｐ到y轴距离的最小值。

分析：如右图，设PQ⊥y轴于Q，AC⊥y于C，BD⊥y于D，由中位线定理，|PQ|=■设焦点为F，由抛物线定义，|AC|+|BD|=|AA1|+|BB1|-p=|AF|+
|BF|-p，只需求出|AF|+|BF|的最小值即可。

略解：当AB不过F时，|AF|+|BF|>|AB|；而当AB过F时，|AF|+|BF|=3，∴|AF|+|BF|≥3，又p=1，∴|AF|+|BF|-p≥2，∴|PQ|=■=■≥1，∴所求的最小值为1。

４斜率的最值
例10，设Ｐ（x，y）是曲线C:x2+y2+4x+3=0上任意一点，则■的最大值为；最小值为。

分析：■可以看作是圆C上一动点Ｐ（x，y）与原点的连线OP的斜率。

结合斜率的定义和正切曲线的性质可知，切线l1的斜率是■的最小值，切线l2的斜率是■的最大值。

略解：设切线方程为y=kx，圆心为（－２，０），则d=■=1，解得k=±■，所以■的最大值为■，■的最小值为-■。

例11，求函数y=■的最值。

分析：由y=■得y=■■，从而y可以看作是动点P（sinx，cosx）与Ｑ（－２，０）连线的斜率的■倍，只需求PＱ斜率的最值。

略解：∵sin2x+cos2x=1，∴P是以原点为圆心单位圆上动点，结合图形分析可知切线P1Ｑ，P２Ｑ的斜率分别为■的最大值，最小值。

设过Q单位圆的切线为y=k（x＋２），则圆心（０，０）到它的距离d=■=1，解得k1=■，k2=-■，从而y的最大值为■k1=1，最小值为■k2=-1。