关于任意角的三等分问题
利用渐开线三等分任意角的方法和证明
利用渐开线三等分任意角的方法和证明
要求：如果所示，以园心为A，半径为AC的园的渐开线作为辅助线，现在要把∠CAB三等分。
操作：利用渐开线三等分任意角∠CAB的尺规作图步骤：
1、以B点做切线，和渐开线相交于E；
2、在BE线段上做三等分点F，即BF=BE/3；
3、以A点为圆心，AF长为半径，相交渐开线于G；
4、以G点为圆心，BF长为半径，相交基圆于D；
5、连接AD，∠CAD即为∠CAB的三等分角。
证明：
1、先证明△BAF与△DAG全等
根据作图，BE是垂直于AB的圆上点B的切线，所
以∠FBA是直角，BF2=FA2-AB2，DG是垂直于AD的圆上点D的切线，所以∠ADG是直角，DG2=GA2-AD2,其中，AB=AD为园A的半径，且AF=AG，所
以BF=DG，△BAF与△DAG全等。
2、根据渐开线的性质，直线BE的长度=园弧BDC的长度，直线DG的长度 =园弧DC的长度，又因为DG=BF=BE/ 3，所以园弧DC的长度=园弧BDC的长度/3，因
此，∠CAD即为∠CAB的三等分角
总结：
伽罗瓦所证明的是，在不使用任何辅助线或用到除尺规外其他工具的前提下，不能在有限次操作内，使用尺规作图法三等分任意角，也就是说这三个限制只要有一个不成立，那么不能三等分任意角就不成立。
实际上只要引入渐开线，在有限次操作内，使用尺规作图法N等分任意角都是可行的，而且这种方法也同样可以解决化圆为方的问题。
这样，通过引入渐开线就一举解决的三大几何作图问题中的两个“不可能”的难题，并且渐开线在物理上是很容易得到的，它的本质是绕基圆展开的线，或者说大家常用的卷尺，就是渐开线所对应的物理实物。
任意锐角的三等分
任意锐角的三等分【摘要】：任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，数学家们认为用尺规三等分任意角是不可能的.本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的.角有锐角和钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以，本文先从锐角的等分开始进行了研究.【关键词】三等分；圆周角；圆心角；弦切角任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，两千八百年来，数学家们都认为用尺规三等分任意角是不可能的（特殊角除外），认为这是一个“作图不能”的问题.近百年来，数学界的老前辈们还是认为只要是任意角，仅用尺规三等分是不可能的.这些前辈们是用解析几何作解的（即用公式做题）.为什么用解析几何作解呢？是因为“惊讶之处是初等几何没能对此问题提供解答” ，所以“我们必须求助于代数和高等分析”（引自：高等教育出版社出版，丘成桐主编《初等几何的著名问题》2005 年版第2 页）.实际上，如果用上述数学方法解几何问题，有些问题只能以近似的方式来解决•比如，以a为直径作一个圆，会容易做出来；但如果是计算一下周长S,这时候问题就来了，因为我们要使用n值来计算，所以计算出来的周长S计只能是S~ S计且S z S计，或表示为S=S计土8 , 3可以很小，但是毕竟是个“差”呀.再比如，1 m=3 市尺，那么1尺等于多少厘米呢？计算不出来，只能表示为：1市尺=33 cm，而这是一个近似值.计算不出来，如何分开呢？但用几何的方法就分开了.所以用几何的方法解决几何问题，才是真正的可行之道.本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的. 在作图之前，首先要明确一下任意角的概念：任意角是指0° < a < 360 °,不包含负角和超过360 °的角.另外，角有锐角和钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以我先从锐角的等分开始进行了研究.下面即将以初等几何知识以及纯几何的手工操作，通过尺规作图来三等分任意锐角.题给条件：0< a = / xOy<90 °（参照图1）.求解：三等分a .一、作图（参照图2）（1 ）在Ox 边上任取一点A ，然后在Ox 边上取OA=AA2=A2A3.（2）以O 为圆心，以OA 为半径，作AB ，此时OA=OB同圆半径），以O 为圆心，以OA2 为半径，作A2B2 ，此时OA2=OB2 （同圆半径），以O 为圆心，以OA3 为半径，作A3B3 ，此时OA3=OB3 （同圆半径）.（3）作/ a的平分线OP.①以A3 为圆心，以OA3 为半径作弧lA ；②以B3 为圆心，以OA3 为半径作弧lB ，交lA 于P；③连接OP,交AB于C,交A2B2于C2,交A3B3于C3，此时，/ xOP= / POy= / AOC= / COB= / A2OC2= / C2OB2= / A3OC3= / C3OB3.•••同一圆内等角对等弧，••• AC=CB，A2C2=C2B2，A3C3=C3B3.（4）连接弦A2C2，在C3B3上按照取弦A2C2的长度取弦A3W3=V3B3=A2C2 ，连接A3W3 ，V3B3.（5）连接OW3，OV3，此时，OA3=OW3=OC3=OV3=OB3 （同圆半径），贝y OW3 , OV3 三等分/ a ,即/ A3OW3= / W3OV3= /V3OB3.二、证明1.作辅助图（参照图3）.( 1)连接A3V3 交OW3 于KW.(2)以OKW为直径作O R.①以OKW 为半径，以O为圆心作弧101 ,102，以OKW 为半径，以KW为圆心作弧IK1交101于M，作弧IK2交102 于N.②连接MN交OKW 于R,则MN是OKW 的垂直平分线，R 是垂足.••• 0W3是OKW 所在的直线段，•••0W3丄MN.③以R为圆心，以RO (=RKW )为半径，作O R,交MN 于m, n,交0A3 于O, a,交0W3 于0, KW，交0V3 于0, E,交0B3 于O, b,交A3V3 于KW , KW 是A3V3 与O R 的唯一公共点.2.证明.(1)根据以上所作辅助图(参照图3)可知：O R交A3V3于KW，即KW 是A3V3与O R的唯一公共点.根据圆的切线定义：如果一条直线与一个圆只有一个公共点,则这条直线叫作这个圆的切线,该公共点叫作切点, 可以得出结论：A3V3是O R的一条切线；另根据圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径，可以得出结论：A3V3丄RKW. v 0W3是RKW 所在的直？段，••• A3V3丄0W3 , KW 是垂足.（2）在Rt △ OKWA3 与Rt △ OKWV3 中，•/ A3V3 丄OW3 , •••/ OKWA3= / OKWV3=90 ° ,v 同圆半径，OA3=OV3 , OKW 为共有直角边，根据HL定理，Rt△ OKWA3 ◎ Rt△ OKWV3.〔•对应边相等，. A3KW=KWV3.（3）在Rt△ W3KWA3 与Rt△ W3KWV3 中，T A3V3 丄OW3 ,•••/ W3KWA3= / W3KWV3=90。
探索尺规三等分任意角
1
2、以A点为圆心，取任意长r为半径画圆，交AB于D点，交AC于E点。
3、作外角∠DAE的角平分线AF。
4、作角∠FAE的角平分线AG。
5、作角∠FAG的角平分线HI，分别交圆⊙A于N点，J点两点。
6、作角∠HAG的角平分线AK，交圆⊙A于L点。
7、连接JL并延长JL至M点。
8、过A点，作HI的垂线OP，交JM于Q点。
9、以A点为圆心，等于AQ长为半径画圆弧，交AH于R点。
10、作角∠HAK的角平分线AU。
11、以N点为圆心，等于NA长为半径画圆弧，交NH于S点。
12、以R点为圆心，等于RS长为半径画圆弧，交AU于T点。
13、连接JT交圆⊙A于V点。
14、以V点为圆心，等于JV长为半径画圆弧，交JM于W点。
15、以A点为圆心，等于AW长为半径画圆，交AB于Y点，交AC于Z点。
16、以W点为圆心，等于WZ长为半径画圆弧，交弧⌒YW于X点。
17、连接AX，连接AW，得角∠YAX=角∠XAW=角∠WAZ=1/3角∠BAC=110°角。
研究员：中国化学工程第七建设有限公司---------泸州分公司---------木工---------王建华
2014.6.25。
论用圆规和直尺能将一个角三等分(续文)
论用圆规和直尺能将一个角三等分（续文）对于此题的证明，是在通过具体解题过程得出解题结果之后，对于这一具体解题结果的正确与否所进行的证明。
通过本人的不懈努力，在三十多年的证明研究过程中，经过了数百次的反复纠改，终使这一结果得到了严谨的理论证实。
解题步骤：参见图1，以任意角的顶点O为原点，以任意长为单位，分别在角的两个边上连续截取三个相等的单位，令第一个单位上的点分别为E、F，令第三个单位上的点分别为P、Q。
以P点为圆心，以E、F两点距离为半径在角内划弧，再从E、F两点引出切线与该弧相切，两条切线相交于点B，以同样的方法以Q点为圆心，可得另一交点C。
B、C两点就是角的三等分线所经过的点。
以O点为圆心，以OB或OC的长度为半径在角内划弧，分别交角的两边于A、D两点。
连接AB、BC和CD，若能证明出AB=BC，或BC=CD，则说明B、C两点，就是角的三等分线所经过的点。
因为OE=OF，OA=OD，OP=OQ，AB=CD，所以，EF、AD、PQ、BC都是关于角平分线对称的点。
证明过程：参见图2，首先连接P、Q，交EB于点H，交FC于点R。
因为OP=3OE，OQ=3OF，所以，PQ=3EF，所以PH=HR=RQ。
连接AD，便得AD∥BC，且AD ∥EF。
连接ER，交AD于N，再连接FH交AD于M。
因此M、N两点也是关于角平分线对称的点，所以MB=NC，同时便得出一个等腰梯形NMBC，则有BN=MC。
因为EF∥=RQ，所以ND∥=RQ，所以ND∥=BC，所以四边形NBCD是一个平行四边形，若证明出四边形NBCD为菱形，就可以说明BC两点就是角的三等分线所经过的点。
参见图3，以N点为圆心，以BC长为半径画弧，交AM于W点；连接WB 并延长到等于一倍WB长的一点Z，则有WB∥=NC，BZ∥=NC，所以，WB=MB （等量代换）。
过M点作NC的平行线，交BN于K，交BC于G，则有BZ∥=MG，再以B点为圆心，以WB长为半径划弧，交由M点所作的与NC相平行的线于T点，连接BT则有WB=MB=BZ=BT，连接ZT和TC以后，若能证明Z、T、C三点是在同一直线上的点，整个问题就可以应刃而解。
2020年中考数学 任意角三等分图1、图2[1]
![2020年中考数学 任意角三等分图1、图2[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/935ddd00fe4733687e21aa94.png)
第一部分:解说原理(如图1)
一，取任意直线L1、L2，相交于A点，取直线L6线为A角的角平分线
二，在直线L6上取任意点O，以点O为圆心，作O圆，要求与直线L1、L2相切，
三，在直线L2上取任意点D（很有意思的点）, 过点D，作O圆的切线L3，交直线L1于点H
四，连接点D、点O为L4线并两端延长，交L1线为点E，过点E作O圆的切线L8 ，交直线L3于点F,交直线L6为点K 五，连接点F、点O作直线L5，交直线L1于点G（很有意思的点），过点G作O圆的切线L7，交直线L3于点C,
六，连接点C、点O作直线L9, 交直线L8为点J
第二部分“任意角的三等分的尺规作法”(如图2)
一，取大O圆，取直径分别交大O圆于点A、点B，再任取直径分别交大O圆于点C、点D，角AOC为任意角
二，取直线L1为角AOD的角平分线，直线L2为角DOB的角平分线，交大O圆于点E，
三，连接点E、点C为直线，并交直线AB为点G，过点G作直线L2的平行线，交直线L1为点H，连接点C、点H 为直线并延长交直线L2为点K，交大O圆为点J, 连接点J、点O ,则角CJO=六分之一角AOC，角JCE＝12分之一角AOC（图中的黑点)。
青岛版初中数学七年级下册知识拓展：用折纸法三等分任意角
青岛版初中数学
重点知识精选
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用折纸法三等分任意角
在《三分角问题》一文中，我们已证明过，利用尺规作图是不能三等分任意角的．但是，利用折纸法是可以三等分任意角的．其步骤是：
（1）在一个正方形纸片上折出给出的角∠PBC，将ABCD对折记折痕为EF；再将EBCF对折，折痕为GH（如图（1））；
（2）翻折左下角使B重合在GH上记为B′，且使E重合BP上记为E′，点G折后的点记为G′，折痕记为XY（见图（2））；
（3）折B、G’和B、B’，则BB’、BG’为∠PBC的三等分线（见下图（3））．
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维可以让他们更理性地看待人生。
尺规三等分任意角画法和证明
〈〈用直尺和圆规把一个任意角分成三个相等的小角的画法和证明〉〉（1）在图[1]中，圆心角AOB，圆心是O，边OA=OB是半径，弧AB。
（2）在AB弧上任意截取一段AC弧，再任意截取一段BD弧，令BD弧=2AC 弧，剩余一段CD弧；剩余CD弧=AB弧-AC弧-BD弧=AB弧-3AC弧，（BD弧=2AC弧），请看图[1]。
（3）连C点和D点，CD线段为剩余弧CD的弦；因为剩余弧CD很短与CD 弦重合成一段线段，所以，我们只要把CD弦三等分，剩余弧CD也就被三等分了，请看图[1]。
（4）大家知道CD弦是一段线段，我们用“平行线等分线段定理”把CD弦等分成三段：CH=HK=KD，因为，剩余弧CD很短与CD弦重合成一段线段，所以，CD弧也被同时三等分为：CH弧=HK弧=KD弧，请看图[1]，H点和K点便是CD 弦上的两个三等分点同时也是剩余弧CD上的两个三等分点，所以，剩余弧CD=3CH 弧（CH弧=HK弧=KD弧），请看图[1]。
（5）因为，AB弧=AC弧+BD弧+CD弧=3AC弧+3CH弧（BD弧=2AC弧，剩余弧CD=3CH弧），所以，AB弧=3（AC弧+CH弧）=3AH弧，请看图[1]。
所以，1/3AB弧=AH弧，请看图[1]，所以，H点是AB弧上的一个三等分点，请看图[1]。
（6）以H点为原点、以HA弧长为标准长在BH弧上截取一段弧HM，截点为M，则M点和H点便是AB弧上的两个三等分点，所以，AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧，请看图[1]。
（7）连OH和OM，OH和OM把圆心角AOB分成三个小圆心角：小圆心角AOH、小圆心角HOM和小圆心角MOB，请看图[1]。
（8）在圆心角AOB中，依据圆心角、弧、弦的关系定理：因为：小圆心角AOH对应AH弧，小圆心角HOM对应HM弧，小圆心角MOB对应MB弧，AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧，所以：小圆心角AOH=小圆心角HOM=小圆心角MOB=1/3圆心角AOB（依据圆心角、弧、弦的关系定理，等弧对等角），请看图[1]，所以，任意角AOB被尺规三等分了。
三等分角的问题
三等分角的问题一、研究动机：古代数学几何作图有三大难题，一是化圆为方，一是倍立方体，另一个则是三等分角，其中又以三等分角看起来最为容易。
可是这三大难题难倒了数学家好几个世纪，现代数学证明了用几何原本所规定的标尺作图法，是无法解出这三道难题，但是如果不限于标尺作图的话，是否可以把这三道问题解决呢？于是便开始了我们的研究路程。
二、研究目的：在这三道问题中，我们选择三等分角来进行研究。
三等分角顾名思义是把一个任意角分成三个相等的角，虽然有些特殊角很容易，比如直角，但其他的角度就无法适用。
现在我们利用所有可以采用的工具来作图，以便把我们想要的角分成三个等分，其中包括我们常用可以量刻度的直尺和圆规。
三、研究设备器材：直尺、圆规、三角板、木板、雕刻刀四、研究过程或方法：我们分三个方向来进行：1.拜近来科技的发达，透过因特网，寻找所有别人已经发现三等分角的方法，再重新整理一遍。
2.利用学校及附近的图书馆，找寻有关于三等分角的几何书籍，以资参考。
3.将国中所教到的几何观念以及所找到的数据，做出三等分角的方法。
最后将所有找到以及做出的八种方法详细整理与证明。
五、研究结果：这次研究总共找出了八种将一个角分成三分之一的方法，兹将这八种方法详列如后：∫是任意數1.标度尺(一)在一根直尺上，标出P、R两点，两点间距离是2∫，在∠AOB的一边上截取一点B，使OB =2∫，再从OB的中点C做两条直线，一线垂直OA，另一线则平行OA，移动尺使O 点在尺的边上，而P 、R 两点分别在所做的垂直及并行线上，沿着尺画线，就可把角AOB 三等分。
证明:以M 表PR 的中点，则∵∠PCR 为直角 ∴OC MC MR PM ====∫ ∵CR 平行OA∴∠AOR =∠MRC = ∠MCR = 21∠PMC =21∠MOC ∴∠AOR =31∠AOB2.标度尺(二)做一半圆，圆心O ，A 、B 在圆周上，使得∠AOB 为圆心角，在直尺上标记P 、R 两点，距离与半径等长，现移动直尺，让P 、R 分别落在BO 及圆周上，而A 在直尺边上，则∠RPO =31∠AOB证明：A BOC PRMBAPRO∠RPO = ∠ROP =21∠ARO = 21∠RAO 又∠AOB = ∠RAO + ∠RPO∴ ∠RPO =31∠AOB3.三连器利用上面的方法可做出种简单的三等分角的工具，如下图：OE 、OF 、CD 代表三根木条，OE = OF ，F 可沿着CD 中的沟槽移动。
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关于任意角的三等问题数学与计算机科学学院数学与应用数学专业105012007016 张成娇【摘要】本文立足于对高中数学《课标》选修系列3的《三等分角与数域扩充》中三等分角的探究，分别从三等分角的发展历史、证明、可三等分的特殊角及在数学教学中的课题研究等四个主要方面进行探究.【关键词】三等分角；数域；特殊角；课题研究；一、前言《三等分角与数域扩充》是高中数学新增加的内容，它所处的是《课标》中选修系列3,选修系列3的专题，主要是以通俗易懂的语言，深入浅出地介绍各专题的基本数学内容及其基本思想，用以开阔学生视野.三等分角、倍立方积、化圆为方、等分圆周等尺规作图问题，都是古希腊著名的作图问题，经过了长达几千年的时间才得以解决．解决这类问题的思想方法不仅在数学上，而且在人类思想史上都具有重大意义．本文从三等分角的发展历史、证明、可三等分的特殊角及在教学中的研究性学习与数学实验等四个主要方面进行说明.二、关于任意三等分角的历史在欧洲巴尔干半岛的南端，有一个濒临地中海的文明古国——希腊，古希腊人在几何学的形成和发展上作出了巨大的贡献，人们习惯上把希腊称为几何学的故乡.古希腊人鄙视任何不明确或模棱两可的东西.他们认为，没有任何东西能够像直线和圆那样，明确得使人无可挑剔!况且这两者的获得又最为容易:用一个边缘平直的工具,便能随心所欲的画出一条直线;而用一端固定,另一端旋转的工具,便能得到一个圆.所以古希腊人认为,几何作图只许用直尺和圆规,这是天经地义的.大约在公元前六至四世纪,古希腊人,仍然热衷于三个貌似简单的作图题:给你一把圆规和直尺（无标记）,经过有限次的步骤,能否:①将一个给定角三等分?②作一个立方体使它的体积是已知立方体体积的两倍？③作一个正方形使它的面积等于已知圆的面积？以上三个问题分别称为三等分角问题、倍立方积问题和化圆为方问题，这就是几何作图的三大问题.其实这三个问题,于19世纪就被严格证明为不可能用直尺、圆规,经有限次的作图步骤来解决的问题. 自1637年笛卡尔(Rene Descartes ,1596 - 1650 )创立了解析几何学之后,尺规作图的可能性就有了判定准则. 1837 年万泽尔( Pierre hanrent Wantzel ,1814 - 1848)首先证明了“立方倍积”和“三等分任意角”不可能尺规作图. 1873 年埃尔米特(Charles Hennite ,1822 - 1901)证明了e 是超越数.1882年林德曼(Lindeman ,1852 - 1939) 证明了π也是超越数. 从而“变圆为方”的不可能性也得以确立.1895年克莱因( Felix Klein ,1849- 1925) 总结了前人的研究成果,给出三大几何问题不可能用尺规作图的简明证法,从而彻底地解决了这三个古老的问题.三、用数域扩充的方法证明对于任意角不能三等分证明有许多的方法，如：1801年数学家高斯的证明方法：作圆的n 等分，当n 满足如下特征j1k km 1jn=2p p 其中，m 为非负整数，1p 、2p 、j p 为互不相同的费马素数（前5个费马素数为3,5,17,257,65537），i k 01i j = 或（=1、2、、）才可三等分角360n︒.在此主要是考虑到中学生的数学知识水平以及课程标准中对数域的要求，因而用采用数域扩充的方法来证明.1.预备知识(1)尺规作图的公法:①从任意一点到另一点,可作一直线;②任意有限长的线段,可顺着延长;③ 由一已知点及定距离,可作一个圆(说明的是圆规的用法).(2)可构作的概念: 经过平面上的两点，用直尺可以画一直线；经过一点用圆规可以画一个半径等于给定线段的圆，直线与直线、直线与圆和圆与圆都可能相交，这样的交点称为是用尺规可以构作的点，若交点在数轴上，也称对应的长度(实数)是可以构作的. (3)相关定理、概念定理1 设F 是R 的一个子域，则实数a 可由F 构作的充要条件是存在R 的子域链，使得0F F =，a F ∈ 且i i+1[F :F ]=2, i=12n 、、、. 推论2 设F 是R 的一个子域， a R ∈，如果a 可由F 构作，则必存在整数r ≥0，使得[F(a):F]=2r.定理3 设θ是一个角，另cos a θ=，则角θ可用尺规三等分的充要条件是多项式3()32()[]f x x x a Q a x =--∈，在()[]Q a x 中是可约的．2.证明证: 设θ是一个经过原点以x 轴为一条边的角，过原点作一半径为1的圆，圆与角的另一条边的交点的横坐标为cos θ∴ 角θ可构作的充要条件是实数cos θ可构作令3θϕ=,cos a θ=,2cos b ϕ=，则问题化为能否由()Q a 构作b有三倍角公式: 3cos 4cos 3cos θϕϕ=-∴ b 是多项式3()32()[]f x x x a Q a x =--∈的一个根假设()f x 在()[]Q a x 中可约,则由于b 是()f x 的根,而()f x 是3次的,所以()b Q a ∈或是()Q a 上的一个二次不可约多项式的根.若是前者,显然b 可以由()Q a 构作;若是后者, 则有[()():()]2Q a b Q a =,于是b 是可以由()Q a 构作的∴ 当()f x 在()[]Q a x 中可约时, b 可以由()Q a 构作的,从而θ可构作假设()f x 在()[]Q a x 中不可约,则()f x 就是b 在()Q a 上的极小多项式,从而有[()():()]3Q a b Q a =∴ b 不可由()Q a 构作,即θ不可构作 ∴ 三等分任意角是不可能的3.举例说明例如,角3π是不能用尺规三等分的,因为此时12a =,3()31f x x x =--在[]Q x 中不可约四、可三等分的特殊角用尺规将三等分一个任意角是不可能的, 但对于一些特殊角则可以利用尺规三等分，例说如下：1. 180︒可以三等分简析：根据上述的证明过程，因为此时cos 1a θ==-,32()32(1)(2)f x x x x x x =-+=-+-在[]Q x 中可约,从而可三等分.这时把一平角三等分，每一份的度数是60︒而等边三角形的每一内角是60︒，故可以利用作等边三角形的方法把平角三等分．作法:（1）如图1，A O B ∠为平角，分别在角的两边O A 、O B 上取两点C D 、. (2)分别以O O C D 、为边,作两个等边三角形(E C O FD O ∆∆、).则O E O F 、为平角A O B ∠的三等分线,即O E O F 、把平角A O B ∠三等分.2. 45︒角三等分简析: 因为把一个45︒的角三等分,每一份是15︒,而15︒恰好是30︒的一半，或者是604515︒-︒=︒，故仍可采用先作等边三角形的方法把45︒的角三等分.作法:(1)如图2, 45A O B ∠=︒.在O A 上任取一点C,以O C 为边,在A O B ∠内部作等边三角形O C D ∆.(2)作D A O ∠的平分线OE. (3)作E A O ∠的平分线OF. 则OE 、OF 把45︒的A O B ∠三等分3. 90︒角三等分简析: 根据上述的证明过程，因为此时cos 0a θ==, 32()3(3)f x x x x x =-=-在[]Q x 中可约,从而可三等分.此时把一直角三等分,每一份的度数是30︒,而906030︒-︒=︒,可用作等边三角形的方法把直角三等分.4. 还有135︒、36︒等可转化为形如180n ︒(n不为3的倍数, *n N∈)的角都可以三等分.此为俄国数学家罗巴切夫斯基经过多年努力得到的结论.因此根据这个结论也可以得到60︒、120︒等是不可三等分的.五、在高中数学教学中的研究课题现今的教育要求丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学追求的基本理念.独立自主、自主探索、动手实践、合作交流等都是学习数学的重要方式.随着三等分角这部分内容进入高中数学课程，这使得三等分角成为一个很好的研究课题.下面简述两个.1. 在已有的数学知识水平上开展研究性学习比如参考文献[5]中对三等分角的研究，该文中作者在学生学了二倍角公式并逆用二倍角公式推得半角公式后，让学生推导三倍角公式.利用三倍角公式，从特殊的60︒角的三等分角20︒的可作性来尝试三等分角的问题．作者将课题分为4步：探索1 能否用尺规三等分60︒角?探索2 在0︒～180︒的几个特殊角中有哪些是可三等分?哪些是不可三等分?探索3 探索0︒～180︒的几个特殊角中可三等分角与不可三等分角的特点，能得出什么结论?探索4 证明形如180()kk N︒∈形式的角中，若k是3的倍数，则不可以三等分；否则就可以三等分．通过对三等分角的研究，让学生体会了其中蕴含的数学思想方法，从一般到特殊，再从特殊到一般，提高了分析问题和解决问题的能力．同时通过以上四个探索，可使同学们感到“三等分角”问题不再是那么的神秘、高不可攀，更不会再在三等分任意角的问题上作徒劳的努力．2. 将“三等分角问题”与数学实验相结合参考文献[6]一文中,作者试着从三等分角问题出发，在前人研究的基础上，结合自己的想法，设计了一个三等分角演示仪. 作者通过五个步骤:步骤1 研读课标,确定研究题目;步骤2搜寻课题的有关资料和研究现状;步骤3 确定研究题目的基本原理;步骤4 认真分析并解决遇到的问题;步骤5 动手操作设计三等分角演示仪;在进行实验的过程中,不仅了解了三等分角的相关知识,并将三等分角应用于数学实验中,激发了学生的学习兴趣和强烈的动手制作愿望，而且能使学生在学会知识的同时，掌握分析问题，解决问题的方法.既促进了学生自身的发展，也带动了数学实验的发展.六、结束语任意角的三等分问题是几何作图三大问题之一，并且在课改中，《三等分角与数域扩充》成为了高中数学选修系列3的一部分内容.选修系列3的内容相对新颖前沿，反映了某些重要的数学思想，并且具有一定的挑战性.可见对该问题的学习有利于扩展学生的数学视野，提高学生对数学的科学价值，文化价值，应用价值的认识，并且在培养学生的思维能力，数学素养等方面有着重要作用.参考文献[1]王忠华.用尺规作图不可能三等分任意角[J].数学通讯，2001年第19期[2]曹亮吉.三等分任意角可能吗?[J].科学月刊，1978年第4期[3王美香.高中《三等分角与属于扩充》的数学探讨[J].中学数学杂志，2009年第7期[4]侯国兴.尺规作图三等分角[J].今日中学生，上旬版，2007年第12期[5]楼许静.我把嫦娥请下凡——一堂三等分角的研究课[J].高中数学教与学，2008年第6期[6]田晓娟.从“三等分角问题”浅谈数学实验[J].科学教育，2008年第3期[7]郭熙汉.数学知识探源[M].武汉:湖北教育出版社,1999[8]唐忠明.抽象代数基础[M].北京:高等教育出版社,2005。