三等分角
阿基米德三等分角的证明
阿基米德三等分角的证明
阿基米德三等分角的证明是通过构造一个特殊的逆时针旋转等边三角形来实现的。
以下是详细的证明过程：
证明过程：
1.首先，构造一个等边三角形ABC，其中AB=BC=AC。
2.然后，以A为圆心，AB为半径画一条圆弧，与AC相交于D点。
3.再以B为圆心，BC为半径画一条圆弧，与AB相交于E点。
4.连接DE，延长DE与BC相交于F点。
5.观察三角形DEF，可以发现DF与BC平行，并且由于DE与AC相交，根据平行线的性质可知∠BDE=∠C。
6.接下来我们需要证明∠B=∠CDF。
7.由于DF与BC平行，△FBC与△DCF相似。
根据相似三角形的性质，可得BD/BC = CD/CF。
8.由三角形ABC的等边性质可知BD=CD=BC，代入上述等式可得BC/BC = CD/CF。
9.进一步化简可得，1 = CD/CF，即CD=CF。
10.由三角形CDF的等腰性质可知∠CDF=∠CDF，即∠B=∠CDF。
11.通过以上证明可以得出，∠C=∠B=∠CDF。
12.所以，由三角形DEF的角度平分定理可知
∠CDE=∠EDF=∠FDC=1/3∠C。
综上所述，通过构造特殊的逆时针旋转等边三角形，我们成功地证明了阿基米德三等分角。
三等分角
三等分角的出现
调研方法
古希腊的三大几何难题
三等分角问题
立方倍积问题
化圆为方问题
第一部分
将任一个 Electrical and Mechanical 给定的角 三等分。
My class one, our home
作一立方体 的边，使该 立方体的体 积为给定立 方体的两倍
作一正方形 使它的面积 和已知圆的 面积相等。
调研方法
纪元前五、六百年间希腊 的数学家们就已经想到了二等 分任意角的方法，正像我们在 几何课本或几何画中所学的： 以已知角的顶点为圆心，用适 当的半径作弧交角两的两边得 两个交点，再分别以这两点为 圆心，用一个适当的长作半径 画弧，这两弧的交点与角顶相 第一部分 连就把已知角分为二等分。二 等分一个已知角既是这么容易， Electrical很自然地会把问题略变一下： and Mechanical My class one, our home 三等分怎么样呢？这样，这一 个问题就这么非常自然地出现 了。
第一部分 三等分角的起源
第二部分 三等分角的解法
Origin of the three uniform Angle
Three equal Angle of the solution
第一个意识到这一点的就是希皮亚斯。希皮亚 斯（Hippias, 460?～400? B.C.）是活跃于公元前5 世纪后半叶的辩士学派成员。他是伯罗奔尼撒的厄 里城人，是苏格拉底（Socrates）的同代人。在柏 拉图的对话中，有关于他的许多信息。例如，他曾 经夸口说，自己赚的钱比辩士学派中别的的成员更 多。据说他著述颇丰，涉及数学和演讲术；但都失 传了。他有着惊人的记忆力，知识十分渊博，且有 很好的手工技术。苏格拉底则将他描述成“英俊、 博学、自大、肤浅”。
古希腊三个著名问题之一的三等分角
古希腊三个著名问题之一的三等分角，现在美国就连许多没学过数学的人也都知道．美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年总要收到许多“角的三等分者”的来信；并且，在报纸上常见到：某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题．这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个，因为二等分角是那么容易，这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢？用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简单的事；也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时，提出了三等分角问题；也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的，在那里，要三等分一个60°角．在研究三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem)问题．任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角．考虑过B点的一条线，它交CA于E，交DA之延长线于F，且使得EF=2(BA)．令G为EF之中点，则EG=GF=GA=BA，从中得到：∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC，并且BEF三等分∠ABC．因此，这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间，作一给定长度2(BA)的线段EF，使得EF斜向B点．如果与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段E’F’=2(BA)，然后调整直尺的位置，使得它过B点，并且，E’在AC 上，F’在DA的延长线上；则∠ABC被三等分．对直尺的这种不按规定的使用，也可以看作是：插入原则(the insertion principle)的一种应用．这一原则的其它应用，参看问题研究4．6．为了解三等分角归结成的斜向问题，有许多高次平面曲线已被发现．这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线．设c为一条直线，而O为c外任何一点，P为c上任何一点，在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k．于是，当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上，只是该蚌线的一支)．设计个画蚌线的工具并不难①，用这样一个工具，就可以很容易地三等分角．这样，令∠AOB 为任何给定的锐角，作直线MN垂直于OA，截OA于D，截OB于L(如图32所示)．然后，对极点O和常数2(OL)，作MN的蚌线．在L点作OA的平行线，交蚌线于C．则OC三等分∠AOB．借助于二次曲线可以三等分一个一般的角，早期希腊人还不知道这一方法．对于这种方法的最早证明是帕普斯(Pappus，约公元300年)．利用二次曲线三等分角的两种方法在问题研究4．8中可以找到．有一些超越(非代数的)曲线，它们不仅能够对一个给定的角三等分，而且能任意等分．在这这样的曲线中有：伊利斯的希皮阿斯(Hippias，约公元前425年)发明的割圆曲线(quadratrix)和阿基米得螺线(spiral of Archimeds)．这两种曲线也能解圆的求积问题．关于割圆曲线在三等分角和化圆为方问题上的应用，见问题研究4．10．多年来，为了解三等分角问题，已经设计出许多机械装置、联动机械和复合圆规．①参看R．C．Yates．The Trisection Prolem．其中有一个有趣的工具叫做战斧，不知道是谁发明的，但是在1835年的一本书中讲述了这种工具．要制做一个战斧，先从被点S和T三等分的线段RU开始，以SU为直径作一半圆，再作SV垂直于RU，如图33所示．用战斧三等分∠ABC时，将这一工具放在该角上，使R 落在BA上，SV通过B点，半圆与BC相切于D．于是证明：△RSB，△TSB，△TDB都全等，所以，BS和BT三等分给定的角．可以用直尺和圆规在描图纸上绘出战斧，然后调整到给定的角上．在这种条件下，我们可以说用直角和圆规三等分一个角(用两个战斧，则可以五等分一个角)．欧几里得工具虽然不能精确地三等分任意角，但是用这些工具的作图方法，能作出相当好的近似的三等分．一个卓越的例子是著名的蚀刻师、画家A．丢勒(Albrecht Durer)于1525年给出的作图方法．取给定的∠AOB为一个圆的圆心角(参看图34)，设C为弦AB的靠近B 点的三等分点．在C点作AB的垂线交圆于D．以B为圆心，以BD为半径，作弧交AB于E．设令F为EC的靠近E点的三等分点，再以B 为圆心，以BF为半径，作弧交圆于G．那么，OG就是∠AOB的近似的三等分线．我们能够证明：三等分中的误差随着∠AOB的增大而增大；但是，对于60°的角大约只差1〃，对于90°角大约只差18〃．只要放弃「尺规作图」的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。
角三等分
角三等分和平前言一百多年来，国内外数学界一致认为用尺规（尺指的是不带刻度的直尺，规指的是圆规，简称为尺规）作图将一任意角三等分已被证明了这是一个“作图不能问题”的结论是完全正确的。
其实这个结论肯定是错误的，我就能，肯定能推翻这个错误的结论。
下面我用角三等分和剖析角三等分及解两种不同的解题方法中的一种方法即角三等分来证明用尺规作图可将一任意角三等分，並对大小各不相等的角进行角三等分尺规作图达2470多次，装订成册24本，验证了这个理论是完全正确的。
让角三等分无解的结论彻底破灭，也为角的其他等分的解决打下基础，角三等分也是角尺规等分法中的一部分。
由于本人水平有限，如有错误和缺欠，恳请给以指正。
2011-4-3 和平一角三等分∠α为任意一个角，用尺规作图将∠α三等分。
以∠α角顶点o为圆心，以任意长为半径画圆为A圆（图中只画圆的一部分），见图3-1，A 圆交∠α两边分别是A点和B点，在A圆上作∠AOB=∠BOC=∠AOD=∠α=1/3∠DOC,设∠OCD=∠β,2∠β+3∠α=180°.如果3∠α大于或等于180°时，先将∠α缩小偶数倍的角再扩大3倍的角小于180°为止。
连接CD交OA线上G点，作∠AOB角平分线OH,∠AOH=∠HOB=1/2∠AOB=1/2∠α，连接BD交OH 线上H1点，连接BG並延长交OD线上P点，连接AP交CD线上F点，连接BF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、H1A、AD、AB、BC,求证：∠H1Gb2=1/3×1/2∠α=1/3∠GOH1=1/3×1/2∠AOB。
在△OGH1中，分别作OG和GH1边的垂直平分线交于O2点，连接O2O, 以O2点为圆心，以O2O为半径经过O、G、H1三点的圆为B圆（图中只画圆的一部分）,GD=GB,ABGD为菱形，H1A=H1G=H1B，证明省略，B圆也经过B点，∠H1GB=∠H1BG=∠GBD=1/2∠α，∠DH1G=∠H1GB+∠H1BG=∠α=∠GOB,∠DH1G=∠GOB, ∠GOB+∠GH1B=180°，O、G、H1、B四点共圆，又∵O、G、H1三点可确定一个圆均在B圆上，∴B点也在B圆上。
关于三等分任意角的方法探究
三等分任意角的方法探究西工大附中孙开锋三等分任意角的方法探究摘要：三等分角是古希腊几何三大作图问题之一，本文关键词：只准用直角和圆规，你能将一个任意的角进行两等分吗？这可太简单了，几千前的数学家们就会做。
纸上任意画一个角，以其顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出弧与角的两边的交点，分别命名为A和B。
然后分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，这个半径要大于A、B之间距离的一半。
找出两段弧的相交点C，用直尺把O和C连接起来，那么直线OC就将角AOB平分成了两部分。
用同样的方法，我们可以把一个角任意分成4等分、8等分、16等分……，也就是说，只要你有耐心，可以把任意一个角等分为2的任意次方。
但是，如果只用直尺和圆规，并且，这直尺还不能有刻度，你能将任意一个角三等分吗？早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。
很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。
直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。
但是，如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，不妨举几个例子以共享。
一、利用工具三等分任意角如图1所示，叫做“三等分仪”吧 ，CE=EG=DG,ME ⊥CD,弧ED 是以G 为圆心的半圆，故ME 与半圆G 相切于点E.具体操作：将该仪器置于 ∠AOB 的内部，使得点C 落在OA 上，ME 经过点O,半圆G 与OB 相切于点F,则OE,OG 为∠AOB 的三等分线。
数理证明：分别连接OG,GF,故GF ⊥OB,而EG ⊥OE,所以易证：△GOE ≌△GOF;同理可证△GOE ≌△COE;故可得到：∠COE=∠GOE=∠FOG.所以，OE 、OG 为∠AOB 的三等分线。
二、中考中的三等分角题目：（广东佛山市）三等分一任意角是数学史上一个著名的问题，用尺规不可能“三等分一任意角”。
角的三等分做法
角的三等分（尺规）
如图，一个角三等分就等 于将一条线段三等分 于是先将其中的线段三等 分了
以角的顶点为圆心做弧线 AB使圆心到点A和点B的距 圆心做 BC=AB。在分别以点A和点C为圆 心、AC长为半径做圆交与点D。使 得△ACD为等边△。再连接点D和 点B使△ADB≌△CDB
用尺规作图作出∠DAB的平分线交DB于点E 再作出∠AEB的平分线交AB于点F 最后以BF为半径、点A为圆心做弧交AF于点G 至此点G和点F为线段AB的三等分点
阿基米德三等分角方法
阿基米德三等分角方法
标题:阿基米德三等分角方法
正文:
阿基米德是一位古代希腊数学家和物理学家,他在公元前3世纪时提出了一种三等分角的方法。
这种方法被称为阿基米德三等分角方法,是一种简单而有效的方法,适用于各种形状的角。
阿基米德三等分角方法的步骤如下:
1. 将一个角分成三个相等的部分。
2. 将其中一个部分旋转180度,使其与另外两个部分重合。
3. 将旋转后的部分与原角再次重合,并将重合部分三等分,得到三个等角。
下面是阿基米德三等分角方法的示例:
假设一个角为120度,我们需要将其分成三个相等的部分。
首先将这个角分成三个60度的部分,然后将其旋转180度,使其与另外两个部分重合。
最后,将重合部分三等分,得到三个等角,每个角为60度÷ 3 = 20度。
这种方法可以用于各种形状的角,例如直角、锐角、钝角等。
此外,阿基米德三等分角方法还可以应用于其他领域,例如物理学和工程学。
拓展:
阿基米德三等分角方法的应用不仅局限于数学和物理学领域,还可以应用于其他领域。
例如,在工程学中,可以使用阿基米德三等分角方法来测量某个角的度数,或者将其用于设计建筑物和道路等。
尺规三等分角是什么意思
尺规三等分角是什么意思
1、把一个角用2条线将它3等分，那么那两条线就是三等分线。
三等分角线是可以用来三等分任意角的曲线。
若只用标准的尺规作图，不配合曲线或是有刻度的直尺，“三等分一个已知角”在历史上已证明是尺规作图所不能解决的问题，但仅用尺规作出某一个三角形，并作出各角的三等分角线是可以做到的。
2、三等分角线（Trisectrix）是可以用来三等分任意角的曲线。
若只用标准的尺规作图，不配合曲线或是有刻度的直尺，“三等分一个已知角”在历史上已证明是尺规作图所不能解决的问题，但仅用尺规作出某一个三角形，并作出各角的三等分角线是可以做到的。
有许多的曲线可以作为三等分角的辅助，而进行三等分角的方式也各有不同。
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题目：三等分任意角地点：北京师大二附中 主讲人：徐超主持人：我们从上午九点四十到下午三点钟结束，在整个报告过程中，因为我了解到今天参加报告的同学大部分是高一的，在听报告过程中有些地方会觉得稍稍困难些，但是我们学数学的就是这样的，我们会经历些我们感觉会比较困难的过程，我们只要坚持下去，就会在数学中发现许多乐趣，发现数学内在让我们感动的东西，希望大家能够珍惜我们今天讲座的机会，认真的体会，在听的过程中会有些问题留下来，将来通过大家的努力，一定能很好的解决。
下面我们就有请徐超先生。
徐超：三等分任意角教科书上写清楚是不可能的，我们今天给出严格的证明是不可能的，而且这个证明是高一学生所能接受的。
在过去在没有找到这个证明之前所有人都认为是大学二年级学完所谓的抽象代数这门课后才能理解为什么是不可能的，实际这个证明可以很初等的给出来，为什么三等分角这件事情惹了这么多麻烦呢？我举一个例子，我是1956年到的中科院数学研究所，这个时候，不断的有各个地方的人写信来，说我解决了三等分角，这种信每个月都有一沓，作者当初给的证明实际上是错的，实际上他要证明三等分任意角都可以，他以为用平面几何的知识就可以解决，但实际上很难，这个问题偶尔到现在还能收到所谓的人民来信说他解决了三等分角，原因在哪里？就是一直没有一个初等证明使得能说服他，现在讲的证明是从分析三等分角究竟是怎么回事开始的。
那么我从历史讲起。
三等分角是什么意思呢？首先我们先讲尺规作图。
先下定义，尺规作图就是用不带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，用的这两个东西不能量大小，不能够我给你60度的角，量一量画出两条线，这是不允许的，所以说一般的直尺和圆规不带刻度有限次作图，给它画出来。
什么叫作图，举个例子给了一条直线BB ’和线外一点A ，作它的平行线，这就叫作图。
那么怎么作呢？以B 为圆心以r （r 可以为任意长度）为半径画圆，连接BA 并延长至C ，再以A 为圆心r 为半径画圆，用圆规在A 点作'CAA ∠，令'2CAA ∠=∠，使21∠=∠，利用同位角相等可以知道'//'AA BB 。
（注意这两个圆的半径是一样的） 21这就叫圆规直尺作图，现在教科书中关于作图题极少，关于作图题几乎是没有的，我念中学的时候作图是重要的，最后讲的一个作图题和一个轨迹题，平面几何的。
尺规作图就是用不带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，有限次作图，在给出基础点以后画图做出来。
尺规作图有多少年历史呢？有四千年历史，提出三个问题，这三个问题在历史上是可以查出来的。
中国是发明造纸的，希腊是把草压扁了在上面写，就叫做草书。
两千五百年前草书上，记载的三大问题，尺轨作图的三大问题。
刚才我已经把尺规作图的定义讲清楚了。
第一个问题：倍立方问题第二个问题：化圆为方第三个问题：任意角三等分（注意是任意角，不是讲特殊角的）什么叫倍立方问题，在公元前很长时间，那个时候是很迷信的，讲究的是要搞一些仪式造一个台作法事，原来做好一个这样的台，那个台是个立方体，长宽高都一样。
当时的皇帝提出来这个立方体要做成体积加一倍，比如说本来立方长度是１，体积是311=。
我现在要加一倍就是3212⨯=。
我约定原理立方体的边长是１，现在要造一个新的立方体，它的的边长是ｘ，那么就有3321x =⋅，也就是要求这个多项式的实根x 。
用尺规作图求这个实根，工匠做不来，他就去请教数学家，数学家也做不来，这个时候的数学跟现在的很不一样，所以数学家没办法了，说这是神对你们的惩罚，结果倒过来怪这个工匠没本事，这个问题现在是可以解决了，但证明做不到。
倍立方问题就是用尺规作图画出x 。
第二个是化圆为方，什么是化圆为方了，就是给你一个圆，要画一个正方形，要跟它面积相等，那么圆的面积是多少了。
我有一个圆设它的半径是１，那么它的面积是π，现在我要造一个正方形，它的边长是x ，它的面积是2x π=，要求x ，这也是做不出来的,这也是不可能的，注意π是圆周率，是个无穷无尽的数。
第三个问题是任意角可不可以三等分，给了一个圆O ，给了一个任意角BOA θ∠=，求它的三等分角设为ϕ，设''B OA ϕ∠=，即3ϕθ=，现在求ϕ。
约定圆的半径是1过B 作垂线BA x ⊥轴于点A ，过'B 作垂线''B A x ⊥轴于点'A ,则cos OA θ=，sin BA θ=，现在就是要用圆规直尺作图定出点'A ，或者把'B 这点定出来也可以。
那么这个'A 是什么呢？'cos OA ϕ=，''sin B A ϕ=。
换句话说就是已知cos ,sin θθ，用尺规作图求出cos ,sin ϕϕ就达到目的了。
好，我把这个换成数学公式。
我现在用i e θ来表示，cos sin i e i θθθ=+，i =()33cos3sin 3i i e e i θθθθ==+ ()3322233cos3sin 3cos 3cos sin 3cos sin sin i i i i θθθθθθθθ+=+++cos3sin3i θθ=+，i =21i =-原式变为：3223cos 3cos sin 3cos sin sin cos3sin 3i i i θθθθθθθθ+--=+利用实部与虚部分别相等，可得：32cos 3cos (1cos )cos3θθθθ--=233(1sin )sin sin sin 3θθθθ--=这就得到cos3θ与sin3θ的公式，算出来结果就是：34cos 3cos cos3θθθ-= 34sin 3sin sin3θθθ-+= 我这是用复数来写，这就是所谓的德摩根定律。
我现在不用这个，你们不是没有学过复数吗？下面用两角和的三角函数公式来推导： sin()sin cos cos sin θϕθϕθϕ+=+ （1）cos()cos cos sin sin θϕθϕθϕ+=- （2）令2ϕθ=代入，可得：sin(2)sin cos 2cos sin 2θθθθθθ+=+cos(2)cos cos 2sin sin 2θθθθθθ+=-将其中的2θ的三角函数令公式（1）（2）中ϕθ=展开就能得到三倍角公式了。
三倍角公式死算就算出来了。
有了这个以后，们的图画出来结果是什么呢？所谓任意角三等分就是说我给了cos θ，用尺规作图求点'A 。
就转化成求公式34cos 3cos cos3θθθ-=和34sin 3sin sin3θθθ-+=的解。
对应图及已知就变为34c o s 3c o s c o s 33θθθ-=和34sin 3sin sin 33θθθ-+=，也可以写为：343sin X X θ-=-或343cos Y Y θ-=，已知cos ,sin θθ，求方程的实根。
我把这两个方程改一改，将整个式子乘以2，变为：3862sin X X θ-=-或3862cos Y Y θ-=，也可写为：3(2)322sin 0X X θ-⨯+=或3(2)322cos 0Y Y θ-⨯-=。
所以任意角三等分的问题就是用尺规作图求多项式330x x a -+=的实根，其中a 为已知实数。
这样作图问题就变成了代数问题。
其中a 的绝对值范围是在0到2之间。
这样的问题在古代是不可能做到的，是个很难的问题，但这个问题对数学的发展起了推动作用，在公元前五百年，当时首先用文字提出这三个问题是在希腊，是希腊的私人学派，当时按照规定，必须用尺规作图，可是尺规作图做不出来，然后他们就从空间出发，即考虑圆锥，是正圆锥（顶点在底面的投影是底面的圆心的圆锥就是正圆锥）用平行于正圆锥底面的平面截出来是圆，用斜的来切截出来是椭圆，跟中轴线平行的截出来是抛物线。
总之，正圆锥体上截出的图像是圆锥曲线，就是高中要学的椭圆、双曲线，抛物线。
他没有办法用尺规作图做，就用尺规作图在加上可以作出双曲线就解决了三等分角问题。
当然并没有解决原始问题，尽管如此，但对数学的发展起来很大的推动作用，由于这种关系就建立了解析几何，就是大家高中三年要学的，为三等分问题奠定基础，以后就往下发展。
有很多几何问题这个问题长期以来困扰着数学家，他们没法解决。
首先跨出第一步的是谁？是笛卡尔（１５９６－１６９０）笛卡尔本人不是专职的数学家，笛卡尔是著名的哲学家，他写了一本哲学书，这本哲学书的附录叫《问几何学》本来这和哲学没关系，他没地方放，就放在附录里，英文直接翻译过来是《几何论》，《几何论》就三页，数学不在乎你写几百篇论文，在乎你写的论文对数学的发展起了多大的作用，数学史每次都要提笛卡尔，他就做了这么一件事，写了这篇论文，这篇论文就几页，而且在他的哲学书里面，《几何论》的第一卷名称是“仅仅使用直线或圆的作图问题”，即我讲的尺规作图问题，他也是从三等分角开始的，他给出了仅仅使用尺规作图究竟变成了一个什么样的代数问题，他首先明确这一点，第二卷内容叫“曲线的性质”，这一节更重要，曲线的性质建立了坐标系，大家学的坐标系在高等数学里面叫作笛卡尔坐标系，他定出了坐标系，就将坐标系上的点（ａ，ｂ）与实数建立了一一对应，点可以用一对数来表示，因此平面上的直线曲线都可以用方程来表示，这是很大进步，所以第二卷的内容就是建立坐标系。
第三卷就不说了，相对来说比较次要。
前两卷连起来就告诉我们三等分角的问题不要小看它，它推动了数学的发展。
刚才说的发现圆锥曲线为的就是研究三等分角 发现了圆锥曲线，数学因此就继续往前发展。
那么笛卡尔弄清楚了尺规做图究竟是个什么问题，然后他又建立了坐标系，这样就使得数学大大的往前发展了，正因为有了坐标系，才有了微积分，才有函数论，利用坐标系建立了函数论与几何学的关系，函数()y f x =就表示一条曲线，坐标就是(,)x y ，一样以来就推动了数学的大大发展，正因为他把平面与一对实数对应起来，因此就会考虑把ｎ个实数（n 为任意的数）,把这n 个实数看成一点，因此空间的概念就推广了，就扩充了。
扩充以后对物理学有了很大的好处。
举个例子，爱因斯坦的《相对论》大家都知道，这个在物理上是非常了不起的一项工作。
那么，爱因斯坦的《相对论》跟牛顿的力学有什么差别呢？牛顿力学只考虑三维空间，就是普通我们生活空间，比如盖房子要用牛顿力学，清华大学的建筑系开始就学牛顿力学，弄清楚哪儿受力如何。
而相对论考虑的空间呢是四维的，也就是四个坐标(,,,)x y z t ，前三个坐标就是空间普通的坐标，ｔ是时间，他把时间加进去做了一个坐标，因此爱因斯坦的《相对论》讲的是四维空间的几何学，因此物理就有了很大的发展，现在的物理的很多规律依赖很多因素，每个因素看成个自变量，有ｎ个因素就有ｎ个自变量，从而形成ｎ维空间，所以数学对物理起很大的作用。