三等分任意角
千古谜题--伽罗瓦的解答.
求方程根的问题！
（1）三等分任意角:设已知某角的角度为 3，得cos(3 ) a
则 cos(3 ) 4cos 3 3cos a 令 cos x
即问题转化为解方程： 4 x3 3 x a（, a为已知数）
（2）倍立方
x3 2
x3 2
（3）化圆为方
x2
x
花拉子米
早在古巴比伦时代,人们已经 掌握了解一次、二次方程的方法：
公元９世纪
“代数学”algebra） 这个词来源于花拉 子米所著的一本书
系统研究二次方程的一般解法并给出了求根公式
悲观派 乐天派
1494年,意大利数学家 帕西奥利
根本不可能
意大利波伦大学 教授费罗
x3 + mx n
数学史上称三次方程的求根公式为：
“卡尔达诺”公式
• 一位颇受欢迎的医生
• 哲学家和数学家， • 占星术家
塔尔塔利亚
卡尔达诺
撰写代数著作《大术》
1545年卡尔达诺出版《大术》一书，将三次方程解 的解法公诸于众，从而使自己在数学界声名鹊起。
ax2 + bx + c 0(a 0)
a( x + b )2 + 4ac b2 0
群的概念：
设G是一个集合，集合内的元素之间可以定义一个二元运算﹡
如果G满足如下的四条性质：
（1）（封闭性）集合中任意两个元素的积仍属于该集合
（2）（结合性）运算满足结合律，即 (a b) c a (b c)
e （3）（存在单位元）集合中存在单位元 ，对集合中任意元素 a
满足 ea ae a
用x 系数三分之一的三次方加上方程常数一半的平方；求这整个算
利用渐开线三等分任意角的方法和证明
利用渐开线三等分任意角的方法和证明
要求：如果所示，以园心为A，半径为AC的园的渐开线作为辅助线，现在要把∠CAB三等分。
操作：利用渐开线三等分任意角∠CAB的尺规作图步骤：
1、以B点做切线，和渐开线相交于E；
2、在BE线段上做三等分点F，即BF=BE/3；
3、以A点为圆心，AF长为半径，相交渐开线于G；
4、以G点为圆心，BF长为半径，相交基圆于D；
5、连接AD，∠CAD即为∠CAB的三等分角。
证明：
1、先证明△BAF与△DAG全等
根据作图，BE是垂直于AB的圆上点B的切线，所
以∠FBA是直角，BF2=FA2-AB2，DG是垂直于AD的圆上点D的切线，所以∠ADG是直角，DG2=GA2-AD2,其中，AB=AD为园A的半径，且AF=AG，所
以BF=DG，△BAF与△DAG全等。
2、根据渐开线的性质，直线BE的长度=园弧BDC的长度，直线DG的长度 =园弧DC的长度，又因为DG=BF=BE/ 3，所以园弧DC的长度=园弧BDC的长度/3，因
此，∠CAD即为∠CAB的三等分角
总结：
伽罗瓦所证明的是，在不使用任何辅助线或用到除尺规外其他工具的前提下，不能在有限次操作内，使用尺规作图法三等分任意角，也就是说这三个限制只要有一个不成立，那么不能三等分任意角就不成立。
实际上只要引入渐开线，在有限次操作内，使用尺规作图法N等分任意角都是可行的，而且这种方法也同样可以解决化圆为方的问题。
这样，通过引入渐开线就一举解决的三大几何作图问题中的两个“不可能”的难题，并且渐开线在物理上是很容易得到的，它的本质是绕基圆展开的线，或者说大家常用的卷尺，就是渐开线所对应的物理实物。
关于三等分任意角尺规作图的方法步骤(作者：张爱献)
关于三等分任意角尺规作图的方法步骤
作者：张爱献
（铁铁道部四局三处，1990年于山西沁水）
已知一任意角∠SOT用尺规作图法三等分该角的作图方法步骤
1、作角∠SOT。
2、以O为圆心以任意长为半径画弧，交∠SOT的两边于A、B两点得弧AB。
3、以A、B为圆心以大于1/2AB长为半径画弧交于一点，以O为起点过交点作射线，交弧AB于C点（简称作AB的平分线得C点）。
4、连AC并过C点作射线AC，在射线AC上截取AD=2AC。
5、将AD线段三等分（利用平行线截得成比例线段定理），得AH=1/3AD。
6、过H点作AD的垂线交弧AB于E点。
7、以A点为圆心，以AE长为半径画弧交AD线段于I点。
8、将HI线段九等分（利用平行线截得成比例线段定理），得HK=5/9HI。
9、过K点作AB线段的垂线交弧AB于F点。
10、以AF长为定长三等分弧AB，得三等分点F点和Y点。
11、以O点为起点过F点、Y点作射线，并去掉所有多余的辅助作图线。
说明：
1、作图中的第4条和第7条将线段三等分和9等分利用三角形中平行线截得成比例例线段定理进行等分，不再详细讲解等分步骤。
2、对于90度以下的锐角来说：因H点和I点近似重合，也可近似以E点作为等分点进行等分，（视分割精度要求而定）。
作者简介:张爱献（1964—）男河南省民权县高级工程师
4。
角三等分
角三等分和平前言一百多年来，国内外数学界一致认为用尺规（尺指的是不带刻度的直尺，规指的是圆规，简称为尺规）作图将一任意角三等分已被证明了这是一个“作图不能问题”的结论是完全正确的。
其实这个结论肯定是错误的，我就能，肯定能推翻这个错误的结论。
下面我用角三等分和剖析角三等分及解两种不同的解题方法中的一种方法即角三等分来证明用尺规作图可将一任意角三等分，並对大小各不相等的角进行角三等分尺规作图达2470多次，装订成册24本，验证了这个理论是完全正确的。
让角三等分无解的结论彻底破灭，也为角的其他等分的解决打下基础，角三等分也是角尺规等分法中的一部分。
由于本人水平有限，如有错误和缺欠，恳请给以指正。
2011-4-3 和平一角三等分∠α为任意一个角，用尺规作图将∠α三等分。
以∠α角顶点o为圆心，以任意长为半径画圆为A圆（图中只画圆的一部分），见图3-1，A 圆交∠α两边分别是A点和B点，在A圆上作∠AOB=∠BOC=∠AOD=∠α=1/3∠DOC,设∠OCD=∠β,2∠β+3∠α=180°.如果3∠α大于或等于180°时，先将∠α缩小偶数倍的角再扩大3倍的角小于180°为止。
连接CD交OA线上G点，作∠AOB角平分线OH,∠AOH=∠HOB=1/2∠AOB=1/2∠α，连接BD交OH 线上H1点，连接BG並延长交OD线上P点，连接AP交CD线上F点，连接BF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、H1A、AD、AB、BC,求证：∠H1Gb2=1/3×1/2∠α=1/3∠GOH1=1/3×1/2∠AOB。
在△OGH1中，分别作OG和GH1边的垂直平分线交于O2点，连接O2O, 以O2点为圆心，以O2O为半径经过O、G、H1三点的圆为B圆（图中只画圆的一部分）,GD=GB,ABGD为菱形，H1A=H1G=H1B，证明省略，B圆也经过B点，∠H1GB=∠H1BG=∠GBD=1/2∠α，∠DH1G=∠H1GB+∠H1BG=∠α=∠GOB,∠DH1G=∠GOB, ∠GOB+∠GH1B=180°，O、G、H1、B四点共圆，又∵O、G、H1三点可确定一个圆均在B圆上，∴B点也在B圆上。
苏科版-数学-九年级上册-知识拓展 “三等分角仪”的制作原理是什么？
初中-数学-打印版
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“三等分任意角”属于几何作图三大名题（也是难题）之一．
数学上已经证明，仅用圆规、直尺三等分任意角是不可能的．使用量角器三等分任意角的方法简便易行，但准确性太差．
在工程作图中，为了提高工作效率，适应施工的需要，制图的工具不受圆规、直尺的限制．利用圆的切线的有关性质，可以制作一个三等分任意角的工具——三等分角仪，能把任意一个角分成三等分．
把板材（纸板、木板、金属板、塑料板等）制成图中阴影部分的形状，使AB 与半圆的半径CB 、CD
相等，PB 垂直于AD （即PB 与半圆相切，切点为B ）．这便做成了一个“三等分角仪”．
如果要把∠MPN 三等分时，可将三等分角仪放在∠MPN 上，适当调整它的位置，使PB 通过角的顶点P ，使A 点落在角的PM 边上，使角的另一边与半圆相切于E 点．最后通过B 、C 两点分别作两条射线PB 、PC ，则∠MPB ＝∠BPC ＝∠CPN ．
证明：连结CE ，则CE ⊥PN ．
∵Rt △PAB ≌Rt △PCB ≌Rt △PCE ，
∴∠APB ＝∠BPC ＝∠CPE ＝13
∠MPN ． 注：在“三等分角仪”的制作和应用过程中，涉及了圆的切线的下列性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心；
（6）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．。
三等分角
题目：三等分任意角地点：北京师大二附中 主讲人：徐超主持人：我们从上午九点四十到下午三点钟结束，在整个报告过程中，因为我了解到今天参加报告的同学大部分是高一的，在听报告过程中有些地方会觉得稍稍困难些，但是我们学数学的就是这样的，我们会经历些我们感觉会比较困难的过程，我们只要坚持下去，就会在数学中发现许多乐趣，发现数学内在让我们感动的东西，希望大家能够珍惜我们今天讲座的机会，认真的体会，在听的过程中会有些问题留下来，将来通过大家的努力，一定能很好的解决。
下面我们就有请徐超先生。
徐超：三等分任意角教科书上写清楚是不可能的，我们今天给出严格的证明是不可能的，而且这个证明是高一学生所能接受的。
在过去在没有找到这个证明之前所有人都认为是大学二年级学完所谓的抽象代数这门课后才能理解为什么是不可能的，实际这个证明可以很初等的给出来，为什么三等分角这件事情惹了这么多麻烦呢？我举一个例子，我是1956年到的中科院数学研究所，这个时候，不断的有各个地方的人写信来，说我解决了三等分角，这种信每个月都有一沓，作者当初给的证明实际上是错的，实际上他要证明三等分任意角都可以，他以为用平面几何的知识就可以解决，但实际上很难，这个问题偶尔到现在还能收到所谓的人民来信说他解决了三等分角，原因在哪里？就是一直没有一个初等证明使得能说服他，现在讲的证明是从分析三等分角究竟是怎么回事开始的。
那么我从历史讲起。
三等分角是什么意思呢？首先我们先讲尺规作图。
先下定义，尺规作图就是用不带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，用的这两个东西不能量大小，不能够我给你60度的角，量一量画出两条线，这是不允许的，所以说一般的直尺和圆规不带刻度有限次作图，给它画出来。
什么叫作图，举个例子给了一条直线BB ’和线外一点A ，作它的平行线，这就叫作图。
那么怎么作呢？以B 为圆心以r （r 可以为任意长度）为半径画圆，连接BA 并延长至C ，再以A 为圆心r 为半径画圆，用圆规在A 点作'CAA ∠，令'2CAA ∠=∠，使21∠=∠，利用同位角相等可以知道'//'AA BB 。
尺规三等分任意角画法和证明
〈〈用直尺和圆规把一个任意角分成三个相等的小角的画法和证明〉〉（1）在图[1]中，圆心角AOB，圆心是O，边OA=OB是半径，弧AB。
（2）在AB弧上任意截取一段AC弧，再任意截取一段BD弧，令BD弧=2AC 弧，剩余一段CD弧；剩余CD弧=AB弧-AC弧-BD弧=AB弧-3AC弧，（BD弧=2AC弧），请看图[1]。
（3）连C点和D点，CD线段为剩余弧CD的弦；因为剩余弧CD很短与CD 弦重合成一段线段，所以，我们只要把CD弦三等分，剩余弧CD也就被三等分了，请看图[1]。
（4）大家知道CD弦是一段线段，我们用“平行线等分线段定理”把CD弦等分成三段：CH=HK=KD，因为，剩余弧CD很短与CD弦重合成一段线段，所以，CD弧也被同时三等分为：CH弧=HK弧=KD弧，请看图[1]，H点和K点便是CD 弦上的两个三等分点同时也是剩余弧CD上的两个三等分点，所以，剩余弧CD=3CH 弧（CH弧=HK弧=KD弧），请看图[1]。
（5）因为，AB弧=AC弧+BD弧+CD弧=3AC弧+3CH弧（BD弧=2AC弧，剩余弧CD=3CH弧），所以，AB弧=3（AC弧+CH弧）=3AH弧，请看图[1]。
所以，1/3AB弧=AH弧，请看图[1]，所以，H点是AB弧上的一个三等分点，请看图[1]。
（6）以H点为原点、以HA弧长为标准长在BH弧上截取一段弧HM，截点为M，则M点和H点便是AB弧上的两个三等分点，所以，AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧，请看图[1]。
（7）连OH和OM，OH和OM把圆心角AOB分成三个小圆心角：小圆心角AOH、小圆心角HOM和小圆心角MOB，请看图[1]。
（8）在圆心角AOB中，依据圆心角、弧、弦的关系定理：因为：小圆心角AOH对应AH弧，小圆心角HOM对应HM弧，小圆心角MOB对应MB弧，AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧，所以：小圆心角AOH=小圆心角HOM=小圆心角MOB=1/3圆心角AOB（依据圆心角、弧、弦的关系定理，等弧对等角），请看图[1]，所以，任意角AOB被尺规三等分了。
三等分任意角的作法探讨
㊀㊀㊀㊀㊀１４０数学学习与研究㊀２０２０ １０三等分任意角的作法探讨三等分任意角的作法探讨Һ蔡长青㊀（咸丰县中等职业技术学校，湖北㊀咸丰㊀４４５６００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 三等分角 是古希腊几何中尺规作图的名题，和化圆为方㊁倍立方问题并列为古代数学的三大难题，２４００多年以来，不少学者进行了无数次尝试，都未能找到好的解决方法，笔者经过４０余载的不断探索，吸取前人的数学智慧，突破传统思维，找到简单易行的求作三等分角的方法，该方法可以广泛应用到几何教学或工程技术领域．ʌ关键词ɔ三等分；任意角；作法；证明１９７９年的九月，进入咸丰一中学习的第一堂数学课上，满头银发的数学老师文渊不但满怀激情地介绍了高中三年数学学习的目标和学习方法，还向大家抛出了古代数学的三大难题，即用尺规作图法求作三等分任意角㊁化圆为方以及倍立方问题，从此笔者与三等分角问题结下了不解之缘．三等分角是号称古希腊三大几何问题之一，该问题的完整叙述为：只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分．该问题自公元前４８０年以来，不少学者进行了长期的探索，甚至不少著名数学家从不同角度论证了用尺规作图法不可能解决 三等分角 问题，本着吸取前人数学智慧㊁传承文明㊁尊重科学的治学态度，本人就解决使用 尺规作图法 三等分任意角问题进行了长期的探索，现将偶有所得分享给大家，希望起到抛砖引玉的作用．一㊁关于三等分任意角的历史溯源１．三等分任意角问题产生的历史背景根据历史记载，公元前４８０年，古希腊和当时的波斯国在当时的雅典郊外萨尼克湾展开了一场惨烈的海战，古希腊大获全胜，从此雅典作为古希腊的政治㊁文化㊁经济中心逐渐走向繁荣．社会分工逐渐细化，一部分人从繁重的体力劳动中解放出来，出现了专门传授学问㊁研究学问的辩论师或称智者，也就是现代的职业教师．这些人为古希腊文明做出了巨大的贡献，其中在几何学上亦留下了三大难题供后人进行研究和探讨：给你一把圆规和直尺（无刻度），经过有限次的步骤，能否：①对任意角作三等分？②作已知立方体的二倍体积的立方体图形？③作与已给的圆面积相等的正方形？以上三个问题分别称为三等分角问题㊁倍立方问题和化圆为方问题，也称古希腊三大几何难题，这些问题看起来很简单，但是，２４００多年来，不少数学家或数学爱好者为了解决这三个问题，耗费了许多心血，都没有取得成功．２．三等分任意角可能无法用 尺规作图法 求解１６３７年笛卡儿（ＲｅｎｅＤｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６ １６５０）创立了解析几何学后，有数学家依据解析几何，认为找到了通过尺规作图法不能解决三等分任意角问题的依据．１８３７年法国数学家旺策尔（ＰｉｅｒｒｅＬａｕｒｅｎｔＷａｎｔｚｅｌ，１８１４ １８４８）首先证明了 倍立方 和 三等分任意角 不可能用尺规作图解决．１８７３年埃尔米特（ＣｈａｒｌｅｓＨｅｒｍｉｔｅ，１８２２ １９０１）证明了ｅ是超越数；１８８２年德国数学家林德曼（Ｌｉｎｄｅｍａｎｎ，１８５２ １９３９）证明了π也是超越数，从而 变圆为方 的不可能性也得以确立．１９６５年以前，数学家华罗庚曾写文章告诫青少年 用直尺和圆规三等分任意角是不可能的，不要为这道难题花费精力．２００１年华中师范大学数学系的王中华亦在‘数学通讯“上发文并证明使用尺规作图 三等分任意角 是不可能的．二㊁ 三等分任意角 仍有研究的价值１．高中数学教学的需要为了加强普通高中的数学教学，在新版的‘普通高中数学课程标准“中增加了 三等分角与数域扩充 问题，让三等分角问题真正进入我国高中数学教学领域，有利于扩展学生的数学视野，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题㊁分析问题的能力．２．可以促进人的数学思维的发展古希腊的三大几何难题，几千年来尽管耗费了历代数学家不少的心血，但是在解决这类问题的过程中，不仅促进了数学思想的发展，而且在人类其他思想史上亦具有重大意义．三㊁预备知识１． 尺规作图法关于尺规作图法，以科学出版社出版的‘数学大辞典“中的规定为主要参考依据：尺规作图法又称初等几何作图法或欧几里得作图法．仅用直尺（无刻度）和圆规（两脚足够长）两种工具按照下述步骤进行有限次的组合来完成的几何作图方法．（１）过两点可画一条直线（或一条射线），连接两点成一线段．（２）延长线段成一条直线或射线．（３）以定点为圆心定长为半径可画圆或圆弧．２．初等几何知识本文涉及的初等几何知识，我们还是沿用科学出版社出版的‘数学大辞典“中的相关论述：（１）关于角的分类平角：两边组成一条直线的角，或一条射线在平面内绕㊀㊀㊀１４１㊀数学学习与研究㊀２０２０ １０着它的端点旋转，转到和原来位置构成一条直线时所形成的角．１平角＝１８０ʎ．直角：平角的一半，一直角＝９０ʎ．锐角：大于０ʎ小于直角的角．钝角：大于直角小于平角的角．（２）关于三角形和圆的几个基本知识等腰三角形的定义及性质：两边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等．三角形外角定理：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．圆心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．显然，同弧所对的圆心角等于圆周角的２倍．３．关于图学的几点相关知识的说明（１）图学是几何学与行为科学有机结合的综合性学科．图学一开始就是由理论几何学与行为科学有机构成的．从平面几何开始，发展到画法几何㊁工程图㊁地形图等，人们在制图过程中总要依据几何原理，经过人的科学行为（制图）表达完成各类制图工作．（２）图学是理论与实践相结合的科学，图学允许可逆．无论 同时行为 还是 第三度行为 ，都是在允许行为可逆基础上进行的，行为本身就是四维的运动（时间维㊁空间维），允许可逆自然是在四维时空中进行的．四㊁三等分任意角的作图方法以锐角为例，使用 尺规作图法 三等分任意角的作图步骤如下：第１步：给定任意角øＡＯＢ．第２步：作边ＯＡ的反向延长线ＯＣ．第３步：以Ｏ点为圆心，Ｒ为半径长画☉Ｏ，圆弧与边ＯＢ交于Ｆ点．第４步：在☉Ｏ上，以Ｅ点为圆心，Ｒ为半径长画☉Ｅ，☉Ｅ与ＯＡ的反向延长线交于Ｄ点，配合使用圆规和直尺，确保圆心Ｅ与Ｄ，Ｆ三点在同一直线上．第５步：连接ＯＥ，最终形成如图所示的几何图形．需要特别说明的是在作图过程中，第４步圆心的确认很关键，有可能需要 多次逼近 才能确定．五㊁三等分任意角的证明通过以下两种方法分别证明前面的作图方法可以三等分任意角．方法一：在☉Ｅ中，因为øＯＤＦ为圆周角，øＯＥＦ为圆心角所以øＯＥＦ＝２øＯＤＦ．因为ＯＥ＝ＯＦ，所以әＥＯＦ为等腰三角形，øＥＦＯ＝øＯＥＦ＝２øＯＤＦ，øＡＯＢ＝øＯＤＦ＋øＥＦＯ＝３øＯＤＦ，故有øＯＤＦ＝１３øＡＯＢ．方法二：在әＤＥＯ中，因为ＤＥ＝ＯＥ，所以әＤＥＯ为等腰三角形，所以øＯＤＥ＝øＥＯＤ，øＯＥＦ＝２øＯＤＥ，因为ＯＥ＝ＯＦ，所以әＥＯＦ为等腰三角形，所以øＥＦＯ＝øＯＥＦ＝２øＯＤＦ，øＡＯＢ＝øＯＤＦ＋øＥＦＯ＝３øＯＤＦ，故有øＯＤＦ＝１３øＡＯＢ．六㊁结㊀论通过以上的作图和证明，我们有理由认为对 三等分任意角 的作法有革命性的突破．１．作图过程中严格遵守 尺规作图法 的要求，且在有限的步骤内准确三等分角．２．通过初等几何理论对所作图形进行了严密的证明，结果正确．３．整个作图过程符合图学是理论与实践相结合的科学观点：图学允许可逆，无论 同时行为 还是 第三度行为 ，都是在允许行为可逆基础上进行的．路曼曼其修远兮，吾将上下而求索．ʌ参考文献ɔ［１］娄桐城．中学数学词典［Ｍ］．北京：知识出版社，１９８４．［２］王元．数学大辞典［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１０．［３］熙国维．运动论［Ｍ］．北京：海洋出版社，１９９３．［４］Ｒ．柯良（ＲｉｃｈａｒｄＣｏｕｒａｎｔ），Ｈ．罗宾（ＨｅｒｔｂｅｒｔＲｏｂｂｉｎｓ）．什么是数学［Ｍ］．左平，张饴慈译．上海：复旦大学出版社，２００８．［５］欧几里得．几何原本［Ｍ］．邹忌译．重庆：重庆出版社，２０１８．［６］（日）远山启著．吕砚山㊁李诵雪㊁马杰㊁莫德举译著．数学与生活［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，２０１４．［７］王中华．用尺规作图不可能三等分任意角［Ｊ］．数学通讯，２００１（１９）．４８．。
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三等分任意角”是数学史上一个著名问题．已知一个角∠MAN 设1
MAN 3
α∠=∠
（Ⅰ）当∠MAN =690
时，α∠的大小为 ▲ （度）；
（Ⅱ）如图，将∠MAN 放置在每个小正方形的边长为1cm 的网格中，角的一边AM 与水平方向的网格线平行，另一边AN 经过格点B ，且AB =2.5cm ．现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出α∠，并简要说明作法（不要求证明） ▲ ．
2012天津市8分）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．
月使用
费/元
主叫限定
时间/分
主叫超时
费/（元/
分）
被叫
方式一 58 150 0.25 免费 方式二
88
350
0.19
免费
设一个月内使用移动电话主叫的时间为t 分（t 为正整数）， 请根据表中提供的信息回答下列问题： （Ⅰ）用含有t 的式子填写下表：
t ≤150
150＜t ＜350
t =350
t ＞350
方式一计费/元 58 108 方式二计费/元
88
88
88
（Ⅱ）当t 为何值时，两种计费方式的费用相等；
（Ⅲ）当330＜t ＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）（2012天津市10分）已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B ′和折痕OP ．设BP =t ． （Ⅰ）如图①，当∠BOP =300
时，求点P 的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB ′上，得点C ′和折痕PQ ，若AQ =m ，试用含有t 的式子表示m ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C ′恰好落在边OA 上时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）．
温馨提示：
若选用方式一，每月固定交费58元，当主动打出电话月累计时间不超过150分，不再额外交费；当超过150分，超过部分每分加收0.25元．
已知直线l 与⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AD ⊥l 于点D .
（Ⅰ）如图①，当直线l 与⊙O 相切于点C 时，若∠DAC ＝30°，求∠BAC 的大小； （Ⅱ）如图②，当直线l 与⊙O 相交于点E 、F 时，若∠DAE ＝18°，求∠BAF 的大小.
甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费.设小红在同一商场累计购物x 元，其中x ＞100.
（Ⅰ）根据题意，填写下表（单位：元）：
130 290 … x 在甲商场 127 … 在乙商场
126
…
（Ⅱ）当x 取何值时，小红在甲、乙商场的实际花费相同？
（Ⅲ）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际的花费少？
在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A -，点(0,4)B ，点E 在OB 上，且∠OAE ＝∠OBA . （Ⅰ）如图①，求点E 的坐标； （Ⅱ）如图②，将
AEO 沿x 轴向右平移得到A E O ''' ，连接A B BE ''、.
①设AA m '=，其中02m <<，试用含m 的式子表示2
2
A B BE ''+，并求出使2
2
A B BE ''+取得最小值时点E '的坐标；
图①
图②
l
l
D E
F
B
D
C
B
O
O
A
A
累计购物
实际花费
第（22）题
②当A B BE ''+取得最小值时，求点E '的坐标（直接写出结果即可）．
已知一次函数1y x b =+（b 为常数）的图象与反比例函数2k
y x
=
（k 为常数，且0k ≠）的图象相交于点()31P ，．
（Ⅰ）求这两个函数的解析式；
（Ⅱ）当3x >时，试判断1y 与2y 的大小，并说明理由．
（22）（本小题8分）
已知AB 与O ⊙相切于点C ，OA OB =，OA OB 、与O ⊙分别交于点D E 、． （Ⅰ）如图①，若O ⊙的直径为8，10AB =，求OA 的长（结果保留根号）； （Ⅱ）如图②，连接CD DE 、，若四边形ODCE 为菱形，求
OD
OA
的值___________________________．
某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？ 设每件商品降价x 元、每天的销售额为y 元．
（Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，用含x 的式子填表：
原价 每件降价1元 每件降价2元 … 每件降价x
元
每件售价（元） 35 34 33 … 每天销量（件）
50
52
54
…
（Ⅱ）
（由以上分析，用含x 的式子表示y ，并求出问题的解）
x
y x
y O'
E'A
E O
A
E
O
B
B
A'。