高观点下的初等数学第一卷
高观点几何学
《高观点下的几何学》一一、填空题。
1．公理法的三个基本问题是（相容性问题）、（独立性问题）和（完备性问题）。
2．公理法的结构是（原始概念的列举）、（定义的叙述）、（公理的列举）和（定理的叙述和证明）。
3．仿射变换把矩形变成平行四边形4．仿射变换把平行线变成平行线5．仿射变换把正三角形变成三角形二、简答题。
1．试给一个罗氏几何的数学模型。
答：卡莱——克莱因模型2．试给一个黎曼几何的数学模型答：球面模型3．简述公理法的基本思想。
答：公理法的基本思想是若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。
全部元素的集合构成了这种几何的空间。
在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统——逻辑结构，这就是公理法思想。
4．简述公理系统的独立性答：公理系统的独立性：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这条公理在公理系统中是独立的。
如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。
5．试着陈述非欧几何是怎样产生的？答：在试证第五公设的过程中，著名的欧几里得几何评论家萨开里、伦伯特、勒让得等人都试图用反证法证明第五公设、试图从中找出与绝对几何命题相矛盾的结果，然而他们并没有得出什么矛盾结果，实际上这一系列的命题就是非欧几何的内容。
6．简述公理系统的完备性。
答：公理系统的完备性: 如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。
7．简述公理系统的相容性。
答：公理系统的相容性: 一个公理系统及其一切推论不含有矛盾命题时，称这个公理系统是相容的或无矛盾的。
三、选择题。
1．三角形内角和等于180度与（ A ）A欧氏平行公理等价B罗氏平行公理等价C椭圆几何平行公设等价D不可判定2．欧氏几何与非欧几何的本质区别为（ A ）A平行公设不同B结合公理相同C绝对公设不同D结合公理不同3．设点,,A B C，则',','A B C三点（ A ）A B C共线，且在仿射变换下分别变成',','A．共线 B．三角形顶点C．可能不共线 D．可能重合4．正方形在仿射变换下变成（ B ）A．正方形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形5．正方形的下列性质中哪些是仿射的( 14 )（1）对边平行；（2）四角相等；（3）四边相等；（4）对角线互相平分；（5）对角线互相垂直；（6）角被对角线平分；（7）对角线相等；（8）面积6．在仿射对应下，哪些量不变？（ C ）A．长度 B．角度C．单比 D．交比四、计算与证明题。
高观点下的的中学数学
高观点下的中学数学高观点下的的初等数学，这一重要思想发端于19世纪末，20世纪初的一场教育教学改革运动—克莱因·贝利运动．其中菲利克斯·克莱因不仅是一位伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人．他主张在现代数学观点指导下研究“高数”与“中数”之间的联系，高等数学中有许多方法，可以和中学数学相通，有些也可以迁移到中学数学中，高等数学的方法不仅可以使我们居高临下地观察初等数学问题，帮助我们确定解题思路，有时还能帮助我们发现某些初等问题的实质，寻求更一般、更简捷的解决问题的方法．（一）高观点下研究中学数学的必要性新一轮课程改革无论是从形式上还是从内容上，都对中学数学提出了许多新的课题，从内容上高等数学内容不断地下放到中学，从形式上，更强调教学活动的设计、开放性的教学和研究性的学习，更关注培养学生解决问题、分析问题的能力，以及所教知识的来龙去脉，这就使得高观点下研究中学数学，不仅是教学改革的迫切任务，也是新课改形势下中学数学教学改革的一个主流方向．具体表现为（１） 教学过程中，创设问题情境的需要． ◆例１：等差数列求和10012310010150S =++++=⨯L(1)(1)2123112(1)22n n n n n n S n n n n n ⎧+⎪+⎪=++++==⎨-+⎪++⎪⎩L 为奇数为奇数2(1)n S n n =+从高斯求和开始，再到一般等差数列的求和，从问题所呈现形式出发，引导学生积极思考倒写相加法是如何想到的，还原问题发生发展的过程。
把知识变得有血有肉，从而激发学生积极探索的兴趣． 例２ 数列的递推公式 ◆河内塔问题相传在越南的某寺庙中有一个用n 个带孔的大小不等的圆盘磊成的塔，僧侣们每天挪动一次圆盘，一次只能挪动一个，任何时候大盘不得在小盘之上，将全部ｎ个圆盘从Ａ处挪到Ｃ处，最少需要多少天？（可放回Ｂ处）AB C1231,3,7,.a a a ===L 121,21n n n n a a a +=+=-教师要有渊博的数学知识，这样才能让你的课堂变得更加充实．本例想说明两点，一是已知递推公式，可以求出数列的任何一项，二是在有些计数问题中，我们也可利用数列的递推公式求解，这实际上也是递推公式的应用，通过这样的教学手段，将是课本知识变得更加丰富，更有活力． ◆例 平面上ｎ条两两相交且无三条共点的直线可把平面分成几部分？11(1)2,1,12n n n n n a a a n a ++==++=+◆例 （Ｆ数列）有一儿童要上ｎ阶楼梯，他一步可上一阶也可上两阶，问有多少不同上法？12(3)n n n a a a n --=+≥( 2 ) 高考题和竞赛题经常会有高等数学的背景 ◆例１ 用四种不同颜色给图中区域染色，要求相邻区域不同色，，有多少不同染色方法？ 这是著名的四色问题解法Ⅰ加法原理和乘法原理4312124321214321111120⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=分１、4同色与1、4不同色（2、4同色与2、4不同色）解法Ⅱ 本例也可以利用递推方法， 当4n ≥时，113432,4n n n a a a --+=⨯⨯=！教师站的越高，才能更容易指导学生掌握知识，抓住问题的实质，学生才能用更少的时间掌握通性同法．( 3 ) 学生的求知欲对教师提出了更高的要求 当今学生接受知识的渠道越来越多，知识面越来越广，老师必须有一桶水，才能教给学生一碗水． ◆例 四人各写一张明信片，然后交换，每人都收到不是自己写的明信片，有多少种不同方法？（高考题）分析：这是组合数学中错排问题，因为数比较小，可简单的分类，利用两个原理来解决，但若学生提出１００人的错排，应如何解决呢？一般地，１，２，３，…，ｎ的全排列，其中ｉ（１≤ｉ≤ｎ）不在第ｉ位，这样的错排共有多少个？解 1 （容斥原理） 用i A 表示i 在第i 位的全排列（n i ,,2,1Λ=），则nn A A A D I ΛI I 21==∑∑∑-+++-n n j i i A A A A A A S I ΛI I ΛI 21)1(=!0)1()!2()!1(!21nn n n nC n C n C n -++-+--Λ=)!1)1(!31!2111(!n n n -++-+-Λ解2 （递推公式）设n a a a Λ,,21为n Λ,2,1的一个错排，显然i a a i≠≠,11，分两类（1） 第1a 位是1，共2-n D 种方法；（2）第1a 位不是1，有1-n D 种方法.又1a 有（1-n ）种取法，故))(1(21--+-=n n nD D n D 其中1,021==D D)!2(1)!1(1!21-+--=--n D n n D n n n D n n n 令!n D E nn=，则2111--+-=n n nE nE n n E !1)1()(1211n E E n E E n n n n n -==--=----Λ,又01=E!1)1(!31!21n E n n -++-=Λ，因此)!1)1(!31!21!111(!n n D n n -++-+-=Λ．◆例 2 过:,0:22221111=++=++c y b x a l c y b x a l 交点),(00y x P 的直线系0)()(22221111=+++++c y b x a c y b x a λλ),(),,(222111b a n b a n ==，1n 与2n 线性无关，可作为二维空间的一组基底，由平面向量基本定理可知该直线包含过),(00y x P 的任何直线．而0)()(222111=+++++c y b x a c y b x a λ表示的直线系不含2l ，原因是21n n λ+与2n 不共线． （二）排列组合的有关问题（1）多重复的排列和组合◆例1，一排七盏路灯，关掉其中互不相邻的三盏，且不关两端的路灯，有多少种方法？分析：4个a ，3个b 的全排列，要求b 互不相邻且不在两端的方法有34C◆例2：100=++z y x 的正整数解的个数？方法Ⅰ：98+97+…+1=299C方法Ⅱ：对应于97///=++z y x 非负整数解个数，又可转化为97个球与两个竖线的全排列方法数299C(也可理解为{a,b,c}的一个97可重组合，97个相同的球放入三个不同的盒子中的方法数).古典组合数学的主要原理有： ①两个基本原理 ②容斥原理③一一对应，和中学要求一致.（2）分配问题（k n ≥）◆例：4人分配到3个工厂，每个工厂至少1人的方法数为 3324A C .一般地，n 个人分配到k 个工厂，（n ≥k ）,每个工厂至少1人的方法数？解：用i A 表示第i 个工厂空的方法数，（i =1,2…k ）kk n A A A S k ⋅⋅⋅=⋅I I 21!=n k k k n k n k n k k C k C k C k )()1()2()1(21--+⋅⋅⋅--+--现代组合数学工具还有母函数和Fevver 图，在数学竞赛中经常看到，例如解决整数的分拆. （三）有关根据递推公式，求通项公式 （1）)(1n f a a n n =-+型与)(1n f a a n n •=+型.利用累加法与累乘法. （2）q pa a n n +=+1型.◆例：,1,1211=+=+a a a n n 求?=na解：)1(211+=++n n a a ，令}{,1n n n b a b +=是等比数列，n n b 2= 12-=n n a（3）)(1n f pa a n n +=+◆例：,1,3211=+=+a a a n n n 求n a解：)3(2311n n n n a a -=-++ 令}{,3n n n n b a b -=是等比数列，n n b 2-= 所以n n n a 23-=.也可化为(1)型(2)型 ◆例: ,1,211=+=+a n a a n n 求n a 解: ),1(21)1(1++=++++n a n a n n 1231--⨯=-n a n n(4) 11-++=n n n qa pa a 型解:特征方程:02=--q px x ,若有两个不相等实根βα,,则n n n a βλαλ21+=, 若有两个相等实根βα=,则n n n a αλλ)(21+=,若无实根,周期数列. ◆例: F 数列,)3(,1,12121≥+===--n a a a a a n n n ,求 n a解:特征方程: 251,012±==--x x x , nn n a )251()251(21-++=λλ 21,λλ 由21,a a 确定. (注:也可以化为一阶递推公式,再求通项公式) (5)分数型递推公式)(,)(1n n a f a dcx bax x f =++=+构造数列}{n a 当x x f =)(有两个不等实根βα,时,(即)(x f 有两个不动点),则k a a k a a n n n n (11βαβα--⋅=--++为常数). 当x x f =)(有两个相等实根0x 时,(即)(x f 有唯一不动点),则存在常数k 使得k x a x a n n +-=-+00111.当x x f =)(无不动点时,往往是周期数列. 此种形式的数列,有时也可采用倒数法或三角换元. ◆例: 2,1111=-+=+a a a a nnn 求 n a解: x xx f -+=11)(, 方程x xx =-+11无实根,则数列{n a }是一周期数列,(周期是4).+===θθtan(,tan 221a a л/4)…,)1(tan[-+=n a n θ л/4](6)生成函数,例F 函数由递推公式求通项公式,往往是通过构造新数列,把递推公式变形成等差或等比数列,通过求新数列通项公式,再求原数列通项,差分方程中有太多这样的例子.以上只是我对这两部分的一些简单认识,其余章节也有一些类似的问题.。
克莱因高观点下的初等数学的读后感
英文回答：Upon delving into the discourse on elementary mathematics through the lens of Klein's pedagogical approach, I am deeply captivated by his emphasis on the primacy of intuition and visualprehension in the acquisition of mathematical knowledge. Klein's advocacy for the utilization of geometric and intuitive methodologies in the instruction of foundational mathematical concepts resonates profoundly with me, as I am of the conviction that such strategies facilitate a more profound assimilation of the subject matter. By prioritizing visualization and intuition, students can attain a moreprehensive grasp of the fundamental principles of mathematics and, subsequently, apply them to address more intricate problems. This approach not only engenders a more enjoyable and accessible experience of learning mathematics, but also establishes a robust groundwork for the pursuit of advanced mathematical pursuits.在通过克莱因教学方法的透镜深入探讨关于基础数学的论述时，我深深地被他强调直觉和视觉理解在获得数学知识中的首要地位所吸引。
《高观点下的初等数学》
《高观点下的初等数学》在数学教学中，吴正宪老师以其独特的视角和深入浅出的教学方式，引领学生从高观点审视周长的本质。
他在执教《认识周长》一课时，通过生动活泼的互动和引人入胜的实例，使学生不仅掌握了周长的基本概念，更重要的是理解了周长背后的数学思想和实际应用。
吴老师在课程开始时，以一个问题情境引导学生进入周长的学习：“大家有没有注意到，我们每天生活的环境中，有很多形状各异的物体，它们都有自己的边界？这个边界就是我们今天要学习的‘周长’。
”他通过展示日常生活中的实例，如树叶、奖牌、瓷砖等，使学生对周长有了直观的认识。
接着，吴老师引导学生进一步思考：“周长是什么？它与什么有关？如何计算？”他通过一系列精心设计的活动，如测量、计算、观察等，帮助学生理解周长的概念及其计算方法。
在这个过程中，吴老师不仅教授了数学知识，更重要的是引导学生主动思考，培养他们的数学思维和问题解决能力。
在课程的最后阶段，吴老师将周长的学习与实际生活相，通过解决实际问题如土地测量、树叶面积计算等，使学生了解到周长在实际生活中的应用。
他鼓励学生将所学的知识应用到实际中，培养他们的实践能力和创新思维。
通过吴正宪老师的这堂《认识周长》课程，学生们不仅掌握了周长的基本概念和计算方法，更重要的是理解了周长背后的数学思想和实际应用。
吴老师的“高观点”引领使得这堂课程充满了探究与发现的气氛，他以其丰富的教育经验和深厚的数学素养为学生们展现了一个生动有趣的数学世界。
在小学数学教学中，高观点视角下的课堂教学设计是提升教学质量和培养学生思维能力的关键。
尤其是在《平行四边形的面积》这一经典内容中，如何从高观点视角驱动课堂教学，培养学生的数学思维和实践能力，是每位数学教师需要深入思考的问题。
高观点视角下《平行四边形的面积》教学设计的意义从高观点视角出发，重新审视《平行四边形的面积》这一经典教学内容，不仅可以优化课堂教学结构，更能有效提升教学质量。
高观点视角下的教学设计，旨在引导学生通过观察、比较、分析、推理等数学思维过程，自主发现平行四边形面积的计算方法，培养他们的探究意识和解决问题的能力。
高观点下的初等几何问题的研究.
高观点下的初等几何问题的研究数学系高秀娟一．公理法的几何学一般说来，数学的公理法就是选取若干个不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的对基本概念加以制约的若干规定（公理）作为出发点，再以严格的逻辑推演使某一数学分支成为演绎系统的一种方法。
1.欧氏几何以欧几里得（古希腊最伟大的一位几何学家，公元前330-275年）平行公理为基础的几何学，称为欧几里得几何，简称欧氏几何。
我国明代徐光启翻译了几何原本，并将Geometry一词译为几何学。
《几何原本》的基本结构是定义，公设和公理的系统，其中的五条公设如下：1.从每个点到每个别的点必定可以引直线；2.每条直线都可以无限延长；3.以任意点为中心可以用任意半径作圆周；4.所有的直角都相等；5.若一条直线与另外两条直线相交，当有一侧的两个同侧内角之和小于两直角时，则这两条直线就在这侧相交。
欧几里得到《几何原本》是历史上第一部几何学著作，但是从现代教学观点来看，它的几何逻辑结构在严谨方面还存在着许多缺陷。
所以，在欧几里德以后长达两千年以上的时间里，数学家们都注意到并且试图消除几何原本中在逻辑上存在的缺陷。
欧几里得几何原本中的第五公设的试证，引起了人们的极大关注。
原因是前四个公设含义简明，而第五个叙述比较复杂，而且在几何原本里使用较晚，这样就引起人们对它的怀疑。
恰恰是在对第五公设的漫长的推证过程中，推导出了一系列等价命题，并且最终导致了非欧几里德几何学的发现和现代几何公里法定建立。
在重新建立几何学基础结构的工作中，最有成就的是希尔伯特的著作《几何基础》，他在著作里提出了欧氏几何完备的公理系统，从这个系统可以用逻辑推导出欧氏几何的全部内容。
2.非欧几何在证明第五公设的漫长努力过程中，问题其实并未得到根本解决。
于是，俄国数学家罗巴切夫斯基（1792-1856）在试证过程中，否定了第五公设的等价命题“在一平面上，通过已知直线外一点，最多能作一条直线与已知直线不相交。
初等数学研究第一章到第十三章全部答案
习题一1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为：（1）B A ⊂（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。
（4）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。
数系扩展的方式有两种：（1）添加元素法。
（2）构造法。
2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则（1）,;a b ac bc ==若则（2）,;a b ac bc <<若则（3）,a b ac bc >>若则；证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。
a b,a a 1,b b 1,P13(1),(1)a 111,a ac a c ac a bc b c bc b b Mc M c bc==⋅=⋅=+=+=+=+''∴⋅=⋅∴∈∈= （规定）假设即ac ,ac a c .bc a ba bcbc bc M ==∴+=+∴=''∴∈' 又 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。
（2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9）由（1）有()bc a k c =+a c kc =+ac bc ∴< （P17.定义9）或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ ()ac ac kc a k c bc ∴<+=+=.ac bc ∴=（3）,,.a b a b k k N >=+∈若则有a ().cb kc bc kc =+<+ac bc ∴>3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则（1）,;ac bc a b ==若则（2）ac bc a b <<若，则；（3）ac bc a b >>若，则。
100个著名初等数学问题.历史和解.德.H.德里.上海科学技术.1982
100个著名初等数学问题第01题阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7.在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.问这牛群是怎样组成的？第02题德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac 一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.问这4块砝码碎片各重多少？第03题牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cowsa头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了；a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；求出从a到c"9个数量之间的关系？第04题贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens在下面除法例题中，被除数被除数除尽：* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * ** * * * * ** * * * * 7 ** * * * * * ** 7 * * * ** 7 * * * ** * * * * * ** * * * 7 * ** * * * * ** * * * * *用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？第05题柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置.第07题欧拉关于多边形的剖分问题Euler's Problem of Polygon Division可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas' Problem of the Married Couplesn对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的妻子并坐，问有多少种坐法？第09题卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam's Binomial Expansion当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂.第10题柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值.第11题伯努利幂之和的问题Bernoulli's Power Sum Problem确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np.第12题欧拉数The Euler Number求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值.第13题牛顿指数级数Newton's Exponential Series将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数.第14题麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator's Logarithmic Series不用对数表，计算一个给定数的对数.第15题牛顿正弦及余弦级数Newton's Sine and Cosine Series不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数.第16题正割与正切级数的安德烈推导法Andre's Derivation of the Secant and Tangent Series在n个数1，2，3，…,n的一个排列c1，c2，…，cn中，如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间，则称c1，c2，…，cn为1，2，3，…,n 的一个屈折排列.试利用屈折排列推导正割与正切的级数.第17题格雷戈里的反正切级数Gregory's Arc Tangent Series已知三条边，不用查表求三角形的各角.第18题德布封的针问题Buffon's Needle Problem在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面上，问针触及两平行线之一的概率如何？第19题费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem每个可表示为4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示.第20题费马方程The Fermat Equation求方程x2－dy2=1的整数解，其中d为非二次正整数.第21题费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem证明两个立方数的和不可能为一立方数.第22题二次互反律The Quadratic Reciprocity Law（欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式（p/q）·（q/p）=（－1）[(p-1)/2]·[(q-1)/2].第23题高斯的代数基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根.第24题斯图谟的根的个数问题Sturm's Problem of the Number of Roots求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数.第25题阿贝尔不可能性定理Abel's Impossibility Theorem高于四次的方程一般不可能有代数解法.第26题赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零.第27题欧拉直线Euler's Straight Line在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.第28题费尔巴哈圆The Feuerbach Circle三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上.第29题卡斯蒂朗问题Castillon's Problem将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆.第30题马尔法蒂问题Malfatti's Problem在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切.第31题蒙日问题Monge's Problem画一个圆，使其与三已知圆正交.第32题阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius.画一个与三个已知圆相切的圆.第33题马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem.证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出.第34题斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出.第35题德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边.第36题三等分一个角Trisection of an Angle把一个角分成三个相等的角.第37题正十七边形The Regular Heptadecagon画一正十七边形.第38题阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the Number Pi设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv，便依次得到多边形周长的阿基米德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中av+1是av、bv的调和中项，bv+1是bv、av+1的等比中项. 假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项. 这个方法叫作阿基米德算法.第39题富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.（注：一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）第40题测量附题Annex to a Survey利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置.第41题阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形.第42题由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆.第43题在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram,在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点.第44题由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents已知抛物线的四条切线，作抛物线.第45题由四点作抛物线A Parabola from Four Points.过四个已知点作抛物线.第46题由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points.已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线.第47题范·施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是什么？第48题卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem.一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？第49题牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem.确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹.第50题彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹.第51题作为包络的抛物线A Parabola as Envelope从角的顶点，在角的一条边上连续n次截取任意线段e，在另一条边上连续n 次截取线段f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，…，n 和n，n－1，…，2，1，0.求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线.第52题星形线The Astroid直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络. 第53题斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid确定一个三角形的华莱士（Wallace）线的包络.第54题一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilateral一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？第55题圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections确定一个圆锥曲线的曲率.第56题阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola 确定包含在抛物线内的面积.第57题推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola确定双曲线被截得的部分所含的面积.第58题求抛物线的长Rectification of a Parabola确定抛物线弧的长度.第59题笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues' Homology Theorem (Theorem of Homologous Triangles)如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上.反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶点连线通过一点.第60题斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素.第61题帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上.第62题布里昂匈六线形定理Brianchon's Hexagram Theorem求证外切于圆锥曲线的六线形中，三条对顶线通过一点.第63题笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶.*一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4和它们的六条连线交点23，14，31，24，12，34；其中23与14、31与24、12与34称为对边（对顶点）.第64题由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements求作一个圆锥曲线，它的五个元素——点和切线——是已知的.第65题一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交，求作它们的交点.第66题一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线，作出从该点列到该曲线的切线.第67题斯坦纳的用平面分割空间Steiner's Division of Space by Planesn个平面最多可将整个空间分割成多少份？第68题欧拉四面体问题Euler's Tetrahedron Problem以六条棱表示四面体的体积.第69题偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines 计算两条已知偏斜直线之间的角和距离.第70题四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径.第71题五种正则体The Five Regular Solids将一个球面分成全等的球面正多边形.第72题正方形作为四边形的一个映象The Square as an Image of a Quadrilateral证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象.第73题波尔凯-许瓦尔兹定理The Pohlke-Schwartz Theorem一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点，可认为是与一个已知四面体相似的四面体的各隅角的斜映射.第74题高斯轴测法基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry正轴测法的高斯基本定理：如果在一个三面角的正投影中，把映象平面作为复平面，三面角顶点的投影作为零点，边的各端点的投影作为平面的复数，那么这些数的平方和等于零.第75题希帕查斯球极平面射影Hipparchus' Stereographic Projection试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法.第76题麦卡托投影The Mercator Projection画一个保形地理地图，其坐标方格是由直角方格组成的.第77题航海斜驶线问题The Problem of the Loxodrome确定地球表面两点间斜驶线的经度.第78题海上船位置的确定Determining the Position of a Ship at Sea利用天文经线推算法确定船在海上的位置.第79题高斯双高度问题Gauss' Two-Altitude Problem根据已知两星球的高度以确定时间及位置.第80题高斯三高度问题Gauss' Three-Altitude Problem从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔，确定观察瞬间，观察点的纬度及星球的高度.第81题刻卜勒方程The Kepler Equation根据行星的平均近点角，计算偏心及真近点角.第82题星落Star Setting对给定地点和日期，计算一已知星落的时间和方位角.第83题日晷问题The Problem of the Sundial制作一个日晷.第84题日影曲线The Shadow Curve当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时，确定在一天过程中由杆的一点投影所描绘的曲线.第85题日食和月食Solar and Lunar Eclipses如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知，确定日食的开始和结束，以及太阳表面被隐蔽部分的最大值.第86题恒星及会合运转周期Sidereal and Synodic Revolution Periods确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期.第87题行星的顺向和逆向运动Progressive and Retrograde Motion of Planets 行星什么时候从顺向转为逆向运动（或反过来，从逆向转为顺向运动）？第88题兰伯特慧星问题Lambert's Comet Prolem借助焦半径及连接弧端点的弦，来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间.第89题与欧拉数有关的斯坦纳问题Steiner's Problem Concerning the Euler Number如果x为正变数，x取何值时，x的x次方根为最大？第90题法格乃诺关于高的基点的问题Fagnano's Altitude Base Point Problem 在已知锐角三角形中，作周长最小的内接三角形.第91题费马对托里拆利提出的问题Fermat's Problem for Torricelli试求一点，使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小.第92题逆风变换航向Tacking Under a Headwind帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行？第93题蜂巢（雷阿乌姆尔问题）The Honeybee Cell (Problem by Reaumur)试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱，使所得的这一个立体有预定的容积，而其表面积为最小.第94题雷奇奥莫塔努斯的极大值问题Regiomontanus' Maximum Problem在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？（即在什么部位，可见角为最大？）第95题金星的最大亮度The Maximum Brightness of Venus在什么位置金星有最大亮度？第96题地球轨道内的慧星A Comet Inside the Earth's Orbit慧星在地球的轨道内最多能停留多少天？第97题最短晨昏蒙影问题The Problem of the Shortest Twilight在已知纬度的地方，一年之中的哪一天晨昏蒙影最短？第98题斯坦纳的椭圆问题Steiner's Ellipse Problem在所有能外接（内切）于一个已知三角形的椭圆中，哪一个椭圆有最小（最大）的面积？第99题斯坦纳的圆问题Steiner's Circle Problem在所有等周的（即有相等周长的）平面图形中，圆有最大的面积.反之：在有相等面积的所有平面图形中，圆有最小的周长.第100题斯坦纳的球问题Steiner's Sphere Problem在表面积相等的所有立体中，球具有最大体积.在体积相等的所有立体中，球具有最小的表面.。
从射影几何视角分析北京高考解析几何试题
8中学数学研究2021年第4期(上)从射影几何视角分析北京高考解析几何试题北京市第五中学通州校区(101101)田朋朋何伟摘要从射影几何视角分析了2020年高考北京数学卷、2018年高考北京数学文科卷,2018年高考北京数学理科卷、2017年高考北京数学理科卷中的解析几何试题，介绍了射影几何中极点极线、中心射影理论知识在高考解析几何中的命题思路，揭示了四道高考试题的统一命制背景以及高考命题人站在较高的观点下高考试题命制思路.关键词射影几何;极点极线；中心射影;命题思路近年来，各地高考试题中以射影几何中极点极线、中心射影理论为背景的圆锥曲线题目层岀不穷.本人在文［1］中分析了2019年北京高考数学文科解析几何试题命制的背景为射影几何中极点极线理论下的反演变换.本人在文［2］中借助射影几何中的极点极线、中心射影理论揭示了一类圆锥曲线中三直线斜率等差性质的本质，并推广岀十个优美结论.分析试题背后的命题思路，有助于学生对试题结果进行猜想和假设，从而更好的书写过程和运算结果.同样对于教师，如果了解试题命制背后的思维逻辑，可以通过对高考试题进行横向、纵向研究，命制与高考相似的变式训练,对学生进行有针对性的思维训练,提高学生的逻辑思维能力.1射影几何相关理论1.1点列交比和分割点A,B,或称点A,B与点C,D调和共轭,A,B,C,D 为调和点列.如图1.特别地有：(1)最左(右)侧点到同侧三点的线段成调和关系:AB11----------AC+AD•(2)一线段被它的中点和这直线上的无穷远点调和分割.A CB D图11.2线束交比若a,b,c,d是共点的四条直线，则(ab,cd)== Sm(a,c)Sm(b,d)叫做a,b,c,d的交比.若四直线a,b,c,d满sin(b,c)sin(a,d)足(ab,cd)=—1,则称a,b,c,d调和共轭.如图2.特别地有：(1)如果任意一条直线s截a,b,c,d四条直线于点A,B,C,D,则有(ab,cd)=(AB,CD).(2)若公共点记为P,习惯上将(ab,cd)记为P(AB,CD).若A,B,C,D四点共线，则这四点A,B,C,D的交⑶若共点四直线a,b,c,d的斜率分别为k1,k2,k3,k4,比(AB,CD)定义为四条有向线段的比：(AB,CD)(ABC) (ABD)AC•BDBC-AD则(ab,cd)=若(AB,CD)=—1,则称点C,D调(k1—k3)(k2—k4)伙2—k3)(k1—k4)(4)交比经中心射影后不变.七、反客为主，变换主元例9(2015年高考全国新课标I卷文科第21题节选)设2函数f(x)=e2x—a ln x.证明:a>0时,f(x)22a+a ln-.e2x2a证明要证原不等式只需证明—ln--ln x-2>0,aae2x2将左式看成关于a的函数，令g(a)=------ln——ln x一2.aaa_e2x则g'(a)=匚A，因此g(a)在(0,e2x)上单调递减；在a2(e2x,+8)上单调递增，故g(a)min=g(e2x)=2x-ln x—2x1 ln2—1.令h(x)=2x—ln x—ln2—1,贝」h'(x)=-------,x则h(x)在(0,1)上单调递减;在(2,+8)上单调递增，因此h(x)min=h(2)=0,证毕.本文所选择的部分例题可以用笔者给岀的“七种武器”里面的其它武器解决，感兴趣的读者可以自行尝试.另外需要指岀的是，没有哪种解题策略是可以解决所有的问题的,当面对具体的问题时，我们还需具体分析，选择最适合的方法解题.参考文献［1］黄贤锋.分离诚可贵转化价更高一-对《分离ln x法解一类函数问题》的补遗［J］.中学数学研究(上)(华南师范大学版)，2019(1)：20+26.［2］黄贤锋，曾永发.一道导数压轴题的解法探究与拓展［J］.中学生数学.2020(1)：19-20.中学数学研究9 2021年第4期(上)1.3极点极线理论如图3,给定二次曲线C,如果两点P,Q(P,Q不在曲线C上)的连线与二次曲线交于两点M1,M2,且(M1M2,PQ)=—1,则称P,Q关于二次曲线C调和共轭,或称点Q与点P关于二次曲线C互为共轭点.不在二次曲线上的一个定点关于一条二次曲线调和共轭点的轨迹是一条直线.若定点P关于二次曲线的共轭点的轨迹是一条直线，这条直线叫做点P关于此二阶曲线的极线,P点叫做这条直线关于此二次曲线的极点.若点P在二次曲线上，则点P的极线即为二次曲线在P点处的切线.图3图4如图4,P为不在二次曲线上的点，过点P引两条割线依次交二次曲线于点E,F,G,H,连接EH,FG交于点N,连接EG,FH交于点M,则MN为点P对应的极线.特别地，若P是二次曲线上的点,则过点P的切线即为极线.同理直线PN为点M对应的极线，直线PM为点N对应的极线.在《高等几何》3］中，点P(x o,y o)关于二次曲线C:即(2Ax o+By o+D)x+(Bx o+2Cy o+E)y+Dx o+Ey o+ 2F=0.特别地有：22(1)对于椭圆勒+琴=1,与点P(x o,y o)对应的极线方程为x°x+y oy a1.万程为市十市=1；x2y2(2)对于双曲线勒—y=1,与点P(x o,y o)对应的极线方程为弩—=1；a2b2(3)对于抛物线y2=2px,与点P(x o,y o)对应的极线方程为y o y=p(x o+x)；(4)圆锥曲线的焦点与准线是一对特殊的极点与极线.限于文章篇幅，上述1.1中的⑴和⑵；1.2中的⑶和⑷；1.3中的(1-4)在此不做证明，证明过程请参见文［4］.2命题背景分析试题1(2020年高考北京卷第20题)已知椭圆x2y2C:—y+^2=1过点A(—2,—1),且a=2b,(1)求椭圆C的方程；⑵过点B(—4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MN,MA分别交直线x=—4于点P,Q,求際｝的值.l BQx2y2分析如图5,因为椭圆方程为x+y=1,所以82—2Qa2=8,点B(—4,0)的极线为x=—j=—j=—2,可知定点A(—2,—1)在点B(—4,0)的极线x=—2上,设极线x=—2与线段MN交于点D,由极点极线的定义可知A(BD,MN)=—1,又因为交比在中心射影下不变,所以有A(BD,MN)=A(BB g,PQ)=—1(B TC为点B的无穷远点).即线段PQ被点B和点B的无穷远点调和分割，所以 点B为线段PQ的中点，因此憶=1.图5图6试题2(2018年北京卷文科第20题)已知椭圆m:+y=1(—>b>0)的离心率为仝,焦距为2/2,斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B,(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P(—2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和点71Q(-4,4)共线，求k.分析本题与试题1有着相同的几何背景，都是以椭圆为基础的中心射影结构.如图5,将本试题中椭圆上的四个点A,B,C,D退化为三个点(点B,D,E重合)后,就是图5的几何结构.只不过试题2是在解决以点E为中心射影的四条直线斜率关系问题，试题1是在解决同一中心射影下交比不变的问题.具体分析过程如下：因为椭圆方程为彳+y21,所以a2=3,点P(—2,0)的极线为xa23,2，2如图6,连接AD与BC交于点G,连接AB,CD交于点E,连接EG交AC于点H,则EH为点P的极线,3即有得E(PH,CA)=—1,设点E坐标为(—,y E),则10中学数学研究2021年第4期(上) (I ep I eh,I ec I eb)=(k EP k EH,k EC k EB)=—1,因此匕(k EP-k EC)(k EH-k EB)一_](k EH—k EC)(k EP—k EB)又因为直线EH垂直于x轴，所以可认为k EH=8,则有、:EH f EB]=1,艮卩k EP—k EC=k EB—k EP,艮卩(k EH—k EC)2y E一4(y E一1)=k一2y E,解得k=1.试题3(2018年高考北京卷理科第19题)已知拋物线C:y2一2px经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线I与拋物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.(1)求直线l的斜率的取值范围；⑵设o为原点,丙一入QO,—N-“QO,求证：1+1入卩为定值.分析从射影几何的眼光下看,椭圆、双曲线、拋物线可看作圆在某一平面上的投影，三种曲线的各自定义、统一定义及其几何性质有着密切的联系.本试题与试题1有着相同的几何背景,只不过将试题1中的椭圆换成拋物线、x轴上的图7定点B(—4,0)换成y轴上的定点Q(0,1).具体分析过程如下：如图7,连接OP交AB于点C,则直线OP方程为y一2x.因为拋物线的方程为y2一4x,所以点Q(0,1)的极线为y一2x,即为直线OP.所以有P(AB,CQ)一—1,又因为交比在中心射影下不变,所以有P(MN,OQ)一P(AB,CD)-—1,即点M,N调和分割点因此有QM+QN一QO，所以X+|一2.试题4(2017年高考北京卷理科第18题)已知拋物线C:y2一2px过点P(1,1).过点(0,j作直线l与拋物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求拋物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；⑵求证：A为线段BM的中点.分析本题与试题3的几何背景完全一致,只不过本题中第二条截线为过点M且垂直于x轴的垂线；试题3中第二条截线为y轴.根据交比在中心射影下的不变性,本题第(2)问的结论又与试题1完全一致.图8具体分析如下：如图8,连接OP交MN于点C,则直线OP方程为y一x.因为拋物线的方程为y2一x,所以点D(0,》的极线为y一x,即为直线OP.所以有P(DC,MN)一—1.并且当点D,C,M,N为一组调和点列时，以点P为中心的线束中直线的交比等于以点O为中心的线束之中直线的交比，即P(DC,MN)一O(DC,MN)一—1.又因为交比在中心射影下不变,所以有O(DC,MN)一O(A^A,MB)一-1(A宅为点A的无穷远点)，即线段MB被点A和点A的无穷远点调和分割，所以点A为线段BM的中点.3结语由此可见，近几年高考北京卷解析几何试题的几何背景完全一致，都是在射影几何背景下，由一些特殊的点、线关系造成的定点、定值问题.本人认为此类试题备受青睐的原因有：一、圆锥曲线可以看作平面内点的运动轨迹，在体现着运动变化思想的同时，也蕴藏着运动变化过程中保持的某种“不变性”.二、定点、定值类问题不但结论美观，覆盖知识面广，而且符合数学抽象与直观想象能力、逻辑推理与数学运算能力的考察要求.三、圆锥曲线中的椭圆、双曲线、拋物线可看作圆在某一平面上的投影，三种曲线之间存在着相同的几何性质，为命题者设计圆锥曲线问题中的“不变”提供了思路与方向.作为一名高中教师，了解一些与射影几何相关的理论,可以登高望远，以较高的观点去认识与看清高考解析几何试题,有利于中学数学的教学.克莱因也认为：基础数学的教师应该站在更高的视角来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了简单⑸.参考文献[1]田朋朋.射影几何背景下的2019年北京高考解析几何试题[J].中学生数学,2019(19)：41-43.[2]田朋朋.三直线斜率等差性质的本质与推广[J].数学通讯,2019(21)：21-24.⑶周兴和，杨明升•高等几何(第三版)[M].北京：科学出版社,2015.[4]田朋朋•基于射影几何背景下的圆锥曲线定点定值问题研究[D].北京：首都师范大学,2020.[5]F-克莱因著，舒湘芹,陈义章译.高观点下的初等数学(第一卷)[M].上海：复旦大学出版社,2017.。
初等数学研究 第1章答案
习题二答案1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数bi a +.2（略）3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集.为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集.4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'⊃；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'⊃，所以)(C A ⋃)(D B ⋃⊃所以集合C A ⋃的基数c a +大于集合D B ⋃的基数d b +，所以d b c a +>+.5（1）解：按照自然数序数理论加法定义，1555555155155)25(2535''=++=++⋅=+⋅=+⋅=⋅=⋅（2）解：按照自然数序数理论乘法定义87)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+6证明：︒1当2=n 时，命题成立.（反证法）()()()()()()()01121,1111111,111101111111,,2,1,0111,,2,1,0)2(212122121212121212122221212122111112111212222121≥++-+⇒≥++-++≥+-+-≥++++∴≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->-=-++-+-=+++++=>+=≥+++=+++=>≥=︒+++++++++++++++++k k k k k k k k k k k k k k k i k k k k k k i k k i a k a k k a k k a k k a k a a k a a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a k i a k n ka a a a a a k i a k k n ，即要证由归纳假设，得，且得，，且时，由当。
用高等数学的观点理解初等数学的内容
用高等数学的观点理解初等数学的内容发布时间：2021-04-20T02:08:32.489Z 来源：《学习与科普》2021年1期作者：郝雪丽[导读] 因此，以高等数学的观点去理解初等数学的内容，对于有效提高学习效率、帮助突破重难点、领会数学思想方法、提高数学素养有着重要意义。
沈阳师范大学辽宁沈阳 110034摘要：初等教育阶段的数学内容是高等教育阶段数学内容的基础，而高等教育阶段的数学内容又是初等教育阶段数学内容的概括与深化。
因此，以高等数学的观点去理解初等数学的内容，对于有效提高学习效率、帮助突破重难点、领会数学思想方法、提高数学素养有着重要意义。
关键词：高等数学；初等数学；数学素养初等数学大多是数学中的一些结论的应用，而针对各个数学结论的证明比较少，而高等数学在初等数学的基础上，除了对数学知识进行应用以外，更侧重对数学知识的证明。
因此，用高等数学的观点去理解初等数学的内容就是在了解了各种概念定理的来源以后，进一步深入的理解初等数学。
作为学生而言，初等教育阶段的数学学习要求学生达到了解、理解、掌握、运用等程度，将数学知识内化以后，运用数学知识求解实际问题。
而作为教师而言，除了要熟练掌握这些初等知识以外，更要明确数学知识的来龙去脉，数学知识背后蕴含的思想方法等等，要将高等数学学习中获取的知识，用于加工初等数学内容，将抽象复杂的数学知识，以学生能够理解和接受的形式呈现，并在对学生进行初等数学教学的同时，渗透高等数学的相关内容，为学生进一步学习高等数学奠定基础。
高等数学中的数集·确界原理，是在高中集合的基础上增加了邻域和确界的原理。
从初等数学的学习到高等数学学习两个阶段，一个通过强化训练解题，一个通过对定义的理解解题，虽然两种方式都能正确完成高中教材中子集、交集和并集的习题，但前者在面对大学教材中确界证明习题时就会遇到障碍，二者之间正是存在着逻辑思维能力和对数学语言翻译能力的差异。
因此，在学习完高等数学中的数集·确界再去回头看初等数学中的集合的相关知识，就将之前初等数学中解题的机械式训练转变为在具备较高的抽象概括思维的基础上充分理解定义进行解题，学生的学习方式有所改变，逻辑思维、抽象概括能力也能得到发展。
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齐民友
除了数学的工作之外，克莱因的数学史至今仍是19 世纪数学史上的重要的标准著作，作为当时的领袖数 学家，他的许多观点至今仍然对数学家、数学史家有 所启迪。他的《高观点下的初等数学》反映了他对数 学的许多现点，是一本译为多种文字的通俗读物，影 响至今不衰。
胡作玄
菲利克斯·克莱因教授是德国有名的数学研究家，他也是 一位循循善诱的教师。他以罕见的天才，集一切数学领域 的知识于一身，并善于领悟这一切领域之间的相互关系。 他认为使学生了解数学并不是孤立的各门学问，而是一个 有机的整体，是他作为一个教师的明显职责。他对中学数 学教学有浓厚的兴趣，不仅关心应该教些什么内容，而且 关心怎样教才是最有效的方法……他一贯努力缩短中学和 大学之间的差距，从传统的漠不关心中激起中学教师对高 等数学的兴趣，把中学数学教学引向健康发展的方向；同 时也努力扭转大学的态度及教学方向，使之承认中学的正 常地位，使数学教育前后一贯……《高观点下的初等数学》 是一本无比珍贵的著作，同样可作为大学教师和中学教师 的参考书。无论就材料安排的巧妙或就讨论方式的引人入 胜来说，目前都没有一本书可以同这本书相比。
第三章 关于整数的特殊性质
整数的性质解题思路及程序 数论与方程
Байду номын сангаас四章 复数
§4.1 通常的复数 §4.2 高阶复数，特别是四元数 §4.3 四元数的乘法——旋转和伸展 §4.4 中学复数教学 附：关于数学的现代发展及一般结构
数与数系的发展 数学史概论 复数的概念 数系的扩充与复数的引入
特色：数学科学的整体 性和数学教育的连续性
高观点 教室应是多面手 数学发展的历史 公里体系 尺规作图和费尔玛大定理
启发
中学教师的发展方向 初等数学教育现代化问题 大学数学系的任务 大学数学教育的改革 数学热门课题
算术
第一章 自然数的运算
回忆：学校里数的概念的引入
要使学生应用运算规则可靠无误，应以智力发展平衡 为基础，而不必特别考虑逻辑关系。 问题1：小学数学教学中“数的概念的引入”的教学 过程是什么样的。
问题2：甲、乙两车从A、B两地相向而行，相遇后继 续前行，到A、B两地后折返继续前行，第二次相遇 距B地400米，时间是第一次相遇的2倍，求A、B两地 的距离。
运算的基本定律
加法 1对加法封闭 2单值 3结合率 4交换率 5单调率
乘法
1对乘法封闭 2单值 3结合率 4交换率 5单调率 6分配率
整数运算的逻辑基础
直觉主义的观点 形式主义的观点 数学教学的目的 1科学的概述数学的系统结构 2掌握处理数值问题及作图问题的一定技巧 3认识数学思想对于自然科学和现代文化的重大意义
第二章 数的概念的第一个扩张
§2.1 负数 §2.2 分数 §2.3 无理数 问题3如何证明下式成立：
ab bc
高观点下的初等数学
100312
吴大任
《高观点下的初等数学》一书，至今读来仍然感到十 分亲切。这是因为，其内容主要是基础数学，其观点 蕴含着真理，而当时德国数学教育中的不少问题，在 今日之我国也仍然存在。克莱因声称本书是为中学教 师和成熟的大学生写的，但按其内容，所有对数学有 一定了解的人都可以从中获得教益和启发……现代数 学已发生了极大变化，新成果、新概念、新观点、新 学科层出不穷。我热切希望我国高水平的数学多面手 会写出更结合我国实际的、现代化的《高现点下的初 等数学》。这样一本书的出版将是我国数学教育史上 的一件大事。