浅谈初等数学与高等数学的关系

浅谈初等数学与高等数学的关系
【摘要】初等数学是高等数学不可或缺的基础，高等数学是初等数学的继续和提高.高等数学解释了许多初等数学未能说清楚的问题，这对用现代数学的观点、原理和方法指导数学教学是十分有用的。

【关键词】初等数学；高等数学；关系
从数学这门学科的建立直至十七世纪这整个阶段，数学只能解释一些静止的现象和计算一些定量（例如，它只能用于计算直边所围成的面积，以及固定的高度和距离等）这个阶段被称为初等数学阶段。

初等数学远远不能满足社会发展的需要，因此人们寻求新方法，解释那些运动现象（例如，变速运动的瞬时速度、任意曲边所围成的面积等）于是建立了高等数学。

高等数学的出现，显示出了巨大威力，许多初等数学束手无策的问题，至此迎刃而解了。

本文介绍了初等数学与高等数学的一些相关内容及它们之间的关系。

1.初等数学简介及其研究内容
代数的最早起源可追溯到公元前1800年左右。

那时代的巴比伦数学文献里已经含有二次方程和某些很特殊的三次方程。

从那时直到15世纪的三千多年里，中国﹑印度﹑阿拉伯和欧洲都在不同的方面对代数学的发展作出了不同贡献。

特别是中国的代数获得了比较系统的﹑高水平的发展。

例如，约在公元前1世纪前后成书的《九章算术》，其中记载了“方程术”和“正负术”等重要成就。

到了13世纪后，中国数学在高次方程的数值解法﹑同余式理论以及高阶等差数列等方面又再放异彩，取得令人惊异的成就。

纵观数学发展的整个历史过程，大体上经历了初等代数的形成﹑高等代数的创建以及抽象代数的产生和发展三个阶段。

随着这门学科的不断发展，人们对于代数学的研究对象问题的认识也不断深化，逐步形成下面几个观点。

（1）代数学是研究方程解法和字母运算的科学
（2）代数学是研究多项式和线性代数的科学
（3）代数学是研究各种代数结构的科学
（4）代数是推动数学发展、解决科学问题的有利工具
初等数学中主要包含两部分：初等几何与初等代数。

初等几何是研究空间形式的学科，而初等代数则是研究数量关系的学科。

初等数学基本上是常量的数学。

1.1数的概念及其运算1.2解析式及其恒等变换1.3方程1.4不等式1.5函
数1.6 平面几何1.7立体几何
2.高等数学简介及其研究内容
16世纪以后，由于生产力和科学技术的发展，天文﹑力学﹑航海等方面都需要很多复杂的计算，初等数学已经不能满足时代发展的需要了，在此种情况下，高等数学随之应运而生。

高等数学是初等数学的进一步发展，它从更深的层次揭示了数学的本质。

高等数学含有非常丰富的内容，它主要包含：高等代数﹑解析几何﹑微积分﹑概率与数理统计等。

所有这些学科构成高等数学的基础部分，在此基础上建立了高等数学的宏伟大厦。

2.1高等代数（研究方程式的求根问题）
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称。

它包括很多分支，现在一般把它分为两部分：多项式理论，线性代数初步。

高等代数主线明晰，多项式理论以整除、分解为主线，矩阵是一条最粗最显的主线，贯穿整个线性代数部分，从而使高等代数具有严密逻辑性、高度抽象性、广泛应用性等特征，这也增加了与初等数学的变化联系。

[1]
2.2 解析几何（用代数方法研究几何）
社会生产力的发展和科学技术的进步都要求数学从研究静止的数量关系转变到研究变化着的数量之间的关系，也就是说研究运动和变化，并用数学来描述这种运动和变化，这种数学是一种研究变量之间相互关系的数学，解析几何正是在这种需要描述变量关系的背景下应运而生的。

解析几何的诞生实质上也就是变量数学的诞生和发展。

解析几何的诞生，又构成变量数学研究的起点，促进了变量数学的发展。

在解析几何中我们主要采用代数的方法研究几何，它主要包括两部分：平面解析几何、空间解析几何。

[2]
2.3微积分（研究变速运动及曲边形的求积问题）
微积分是人们认识客观世界中量的运动变化规律的有力工具，又是很多其它学科的基础，而且又能直接应用解决实际问题。

它主要解决以下四部分的相关问题：
第一类问题是求即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

函数是微积分的研究对象，极限是微积分的研究工具，微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。

微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。

（2）积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。

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2.4概率论与数理统计（研究随机现象，依据数据进行推理）
概率论与数理统计是从数量侧面研究随机现象规律性的数学理论。

主要包括：随机事件和概率，一维和多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律与中心极限定理，参数估计，假设检验等内容。

在初等数学中一些关于排列组合及使用排列组合去计算概率的内容，这个内容在一定意义上属于日常生活的基本知识，它是高等数学概率论与数理统计的基础，关于抽样、数据、误差、平均值、标准差、统计规律、统计相关性、大数定律等内容，与我们的现实生活密切相关，有着广泛的应用。

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3.初等数学与高等数学之间的关系
初等数学是学习高等数学不可或缺的基础，它从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。

沿着这个方向继续发展，数学在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。

发展到这个阶段，就产生了高等数学。

高等数学基于初等数学，但又高于初等数学，除所学内容不同外，处理问题的观念和方法有所不同。

高等数学的研究对象主要是函数。

研究的方法主要是极限的方法。

如果说初等数学是用“静止”的观点去研究，那么，高等数学极限的思想则是一种“运动”的观点。

高等数学是初等数学的进一步发展，它从更深的层次揭示了数学的本质。

用高等数学的观点﹑原理和方法去认识﹑理解和解决初等数学的问题，有助于我们加深对问题实质与知识间联系的理解。

高等数学是在初等数学基础上发展起来的，因而它所包含的思想方法既是初等数学方法的进一步发展，又同时具有更大的适用性和更高的思想层次，通过学习高等数学有利于从更高的层次看初等数学，加深对数学问题本质的理解。

[4]
（1）初等数学讲多项式的加、减、乘、除运算法则.高等数学在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论。

（2）初等数学给出了多项式因式分解的常用方法。

高等数学首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定。

（3）初等数学讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系.高等数学接着讲一元n次方程根的定义；复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数；实系数一元n次方程根的特点；有理系数一元n 次方程有理根的性质及求法；一元n次方程根的近似解法及公式解简介。

（4）初等数学讲二元一次、三元一次方程组的消元解法。

高等数学讲线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法、讲线性方程组解的判定及解与解之间的关系。

（5）初等数学学习的整数、有理数、实数、复数为高等数学的数环、数域提供例子；初等数学学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等数学的向量空间提供例子；初等数学中的坐标旋转公式成为高等数学中坐标变换公式的例子。

（6）初等数学学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型；三角形不等式为欧氏空间中两点间距离的性质提供模型；线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型.
4.结束语
综上所述可知，初等数学是高等数学不可或缺的基础，高等数学是初等数学的继续和提高.高等数学不但解释了许多初等数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等，而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统.这对用现代数学的观点、原理和方法指导数学教学是十分有用的.
参考文献：
[1] 张殿国高等数学[M] 北京高等教育出版社
[2] 同济大学数学教研室高等数学上下册高等教育出版社
[3] 唐国兴高等数学（二）第二分册概率统计[M] 武汉大学出版社
[4] 王健吾数学思维方法引论[M] 安徽教育出版。