例举初等数学与高等数学的一些联系
初等数学与高等数学有关问题的联系与区别
初等数学与高等数学有关问题的联系与区别一、导数的应用导数是研究函数的工具，利用导数研究函数的性质问题，可以比较容易地得到结果或找到解题的方向.导数的单调性：定理：设函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导：（1）如果在（a，b）内f′（x）0，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调增加；（2）如果（a，b）在内f′（x）0，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调减少.例：确定函数f（x）=x■-2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解法一：设x■，x■是R上的任意两个实数，且x■x■，则f（x■）-f（x■）=（x■-x■）（x■+x■-2）.因为x■-x■0，所以要使x■+x■-20，则x■x■1.于是f（x■）-f（x■）0.即x1时，f（x）是增函数；x1时，f（x）是减函数.解法二：f′（x）=2x-2令2x-210解得x1；因此，当x∈（1，+∞）时，f（x）是增函数.再令2x-20，解得x1，因此，当x∈（-∞，-1）时，f（x）是减函数.经过对两种方法的对比，我发现用大学数学解决此问题更方便快捷.当我们再回头看高中学的方法，觉得它在解决一些问题上存在一定的弊端.二、极限的应用学习极限是从一个“有限”到“无限”的飞跃.从数列极限或函数极限的变化趋势来理解极限问题是认识和解决问题的需要.数列极限：中学与大学的数列极限的概念虽相差不远，但大学的数列极限概念却引出了”收敛”一词，由此给出了收敛数列及其极限的准确定义.有了数列极限的精确定义，我们便可以用定义（又称“ε-N”定义）证明高中数列极限中所用的结论.例：证明■■=0（a，k均为常数，且k∈N■）在中学，我们直观地知道，当n→∞时，n■=∞，■■=0.这仅仅局限于直观得出结论.然而，在大学，我们可以通过极限的“ε-N”定义来证明这个结论的正确性.在高中，我们已经开始接触数列极限.总的来说，高中阶段的数列极限注重的是利用所给结论来求解所给数列的极限值，重点是培养解题能力，注重的是理性思维的培养和备考能力的提高.而大学的数列极限，更多的是利用抽象定义证明某一命题的正确性，强化锻炼的是抽象思维能力及逻辑思维能力.而且大学里对数列极限的深入介绍，不仅完善了我们对数列极限的认识，在求解一些极限问题上，思维也越发灵活.三、不等式的应用不等式是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别.不等式在解决优化问题中有广泛应用，也是学习高等数学的重要基础.不等式的内容体现了数学的精深.不等式的性质贯穿于不等式的证明、求解和实际应用.充分理解不等式的性质是学习不等式的关键.不等式作为中学教学内容，大体可以分为四个部分：一是不等式的概念与性质；二是解不等式；三是不等式的证明；四是不等式的应用.大学虽然没有专门介绍不等式，但不等式的应用，特别是几个常见的有关不等式的定理的应用，在整个大学数学几乎随处可见.不等式的证明：不等式的证明方法灵活多变，有时要用多种方法，并且不等式的证明常和函数联系，这体现了数学素质的要求.在中学，我们所学的不等式证明所用的最基本的方法主要有比较法、分析法、综合法、归纳法，以及放缩法、换元法、反证法、判别式法等.某些不等式，我们虽然可以用中学的解答，但是用大学所学的某些来解答，我们会发现明显简单得多.定理3.1（拉格朗日（Lagrange））中值定理：若函数f（x）满足如下条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导.则在开区间（a，b）内至少存在一点c，使得f′（c）=■例：证明：当ab0时，不等式nb■（a-b）<a■-b■> <na■（a-b）在n> 1时成立. </na■（a-b）在n> </a■-b■>在中学，我们可以用作差法来证明此题.这里不再证明.下面我们就用大学所学的拉格朗日中值定理证明此题.证明：设f（x）=x■，则f′（x）=nx■，当ab0时，对f（x）在区间[b，a]上应用拉格朗日中值定理有■=■=f′（c）=nc■其中b<c> <a因为n> 1时，n-10，所以</a因为n> </c>nb■■=nc■<na■.></na■.>故有nb■（a-b）<a■-b■> <na■（a-b）.></n a■（a-b）.> </a■-b■>运用精确的定义对高中的某些结论进行证明，也就让我们从只是纯粹地接受结论上升为自主地探讨结论的正确性，这本身就是在认识上的一个质的飞跃.而且大学的证明方法更简便快捷，使我们一目了然.初等数学与高等数学有机地紧密结合，以学习高等数学知识作指导，学习重温初等数学知识，可以达到一个新的高度.而以高等数学知识用以指导解题，常常可以居高临下地事先估测答案，确定解题思路.通过对初等数学与高等数学在解问题时的对比，提高了数学和科学素养，并促进了对数学分析、高等代数学科知识的进一步理解和掌握.。
初等数学与高等数学的联系及一些应用
２ ０ １ ３年 第 ３期
学卜（ ｌ
在此 例 中引 人矩 阵作 为工具 使 用 了矩 阵 的性质 ， 得 以求
由概率的性质知０ ≤ Ｐ （ Ａ ｕ 当 ） ｌ ， 扶旧０ 口 ＋ ｂ — ａ ｂ ｌ
４ 总 结
由以上 ５个 例 子可 以看 出 ， 如 果用 初等 数 学 的知识 解 题
ｌ
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Ｔ － ￣． ， ＝ Ｊ Ｄ 【２
例１ ＿设 ａ ， Ｉ ∽者 隰正数， 且ａ ＋ ｈ ＂ ｔ － Ｃ ＝ １ ， 求征二 ＋ ＿ ． ＿ ＋ ≥９ 。
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证明： 在Ｒ ， 中， 使用标准内积。设 亏＝
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√ ６ ， √ ｃ ｊ，
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】 ＋ １ ， ｜ 十 ｆ 卜√ ｊ ：
发展 ， 中学教 师要 掌握 一定的高等数学的知识与方 法， 并在教 学 中与初等数 学的知识 有机结合起 来 ， 那／ ／ ， 将 能 提 高学生的思维， 开阔学生的思路 ， 培养学生的数 学修 养并提 高其解决 问题的能力。因而 ， 本文着重把 高等数 学 与初等数 学联 系起来 ， 通过几 个例子来 阐述 高等数 学在初 等数 学中的一 些重要的应用。 关键 词 ： 高等数 学； 初等数学 ； 联 系； 应用
之， 学 习高 等 数学 能 加 深 对初 等 数学 的理 解 和 掌握 ， 可 以 开 阔思 路 、 提 高数 学 修养 和解 决问 题 的 能力 。为 了解 决上 述 长
期存 在 的 问题 ， 笔者 认 为研 究高 等数 学 与 中学 数学 的联 系是
一
设 ＝ ［ “ Ｕ ｉ ， ＝ ］ ＝ ［ ： ］ 贝 ｕ ｃ ２ ， 式 为 ＝ 一 ， 且 ｃ ， 。 ＝ ［ ］ ＝ ］
初中数学基础与高数的关系
初中数学基础与高数的关系在数学的世界里，初中数学和高等数学就像是亲密的兄弟，彼此间有着千丝万缕的联系。
初中数学是高数的基石，它在数学的道路上扮演着至关重要的角色。
虽然它们的难度和复杂性有着显著的差异，但从初中到高数的过程，就像是一个逐步成长的故事，展现了数学知识由浅入深的自然演变。
初中数学的基本概念，如代数、几何和统计，是高数的基础。
初中时，学生们通过学习代数方程、几何图形的性质以及简单的数据处理，奠定了未来学习高数所需的基础知识。
例如，代数中的变量和方程式的解决方案为高数中的函数、极限和导数等概念的理解打下了基础。
而几何学中的图形和面积计算则为高数中的多维空间和积分提供了直观的基础。
随着学术旅程的推进，初中数学中的知识将被更为复杂的概念所替代。
高等数学引入了许多新颖且复杂的主题，如微积分、线性代数和概率论。
这些内容需要学生在初中所学的基础上进行深度的思考和应用。
微积分，作为高数中的核心部分，其主要思想是从变化的角度去理解数学问题，而这正是建立在初中数学中对函数和图形性质的基本理解之上的。
更深入地探讨，初中数学的知识不仅是高数的基础，而且还为学生们提供了解决复杂数学问题的方法。
例如，初中数学中培养的逻辑思维能力和问题解决技巧，将帮助学生在高数中应对更具挑战性的任务。
在学习高数时，学生们会发现自己需要将初中所学的知识进行综合应用，并在此基础上发展更高层次的数学能力。
因此，初中数学不仅仅是为了完成学业中的一个阶段，而是为高数的学习提供了不可或缺的支持。
每一个数学概念和技能的掌握，都如同为未来的数学探索铺设道路。
这种关系提醒我们，基础教育的重要性不可低估，它为学生们进入高数的世界提供了坚实的支持。
在这个过程中，学生们不仅要掌握具体的数学技巧，还要学会如何将这些技巧应用到新颖的数学情境中。
每一步的进步都反映了从初中基础到高数应用的不断过渡，这种过渡不仅是数学学习的过程，也是思维能力提升的过程。
因此，理解和掌握初中数学的知识，将为学习高等数学提供强大的支持，使得学生能够在复杂的数学领域中游刃有余。
初等数学与高等数学教学衔接问题的研究
初等数学与高等数学教学衔接问题的研究
初等数学与高等数学之间的教学衔接问题是教育领域中的一个重要课题。
初等数学通常是指小学和初中阶段的数学教育，包括整数、分数、代数、几何等基本概念和计算方法。
而高等数学则是大学阶段的数学教育，涉及微积分、线性代数、概率统计等高级数学知识。
教学衔接问题主要体现在初等数学与高等数学之间的知识脉络、教学方法和学习要求的不连贯性。
学生在初等数学学习之后，进入高校学习高等数学时常常会遇到知识重复、知识断层、知识跳跃等问题，导致学习困难和学习兴趣的减退。
这种不衔接的现象不仅影响学生成绩，还可能影响其对数学学科的兴趣和学习动力。
因此，对初等数学与高等数学教学衔接问题的研究具有重要的理论和实际意义。
这方面的研究可以从以下几个方面展开：
1. 教材设计：通过对初等数学和高等数学教材内容的分析和比较，设计出衔接性强的教材，使学生在学习高等数学之前能够有所准备和适应，避免知识的重复和断层。
2. 教学方法：研究不同阶段数学教学的最佳教学方法和策略，使学生能够有针对性地掌握和应用初等数学知识，并逐渐引导学生进入高等数学学习的状态。
3. 课程设置与调整：针对初等数学和高等数学之间的衔接问题，可以在教育体制和课程设置方面进行调整，逐步建立连贯性的
数学教育体系，使学生能够有一个平滑的过渡。
4. 师资培养与教师专业发展：培养素质过硬的数学教师，提高他们对数学课程衔接问题的认识和解决能力，提供对学生更好的指导和支持。
总之，初等数学与高等数学之间的教学衔接问题需要多方面的研究和努力，以促进学生在数学学习中的顺利过渡和发展。
初等数学和高等数学的联系与矛盾
例 ： 无 限 和 １ ＋ ＋…＋ ＋… 求 ＋ 二
２ ４
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先 求 有 限 和Ｓ＝ ＋ １＋ ＋ ＝ （一 一 ） 然 后 对 ｎ 一１ 一 …＋ ２ １ ， 取
“ ２ ４ ２ “ ２“ 一
极 限就 成 无 限 ￣ Ｓ ｌ ２另外 ， 个 确 定 的 数 或 初 等 函 数 也 １ ＝ｉ ＝ ． １ ｍＳ 一
考 试 周 ２１ 第３ 刊 ｏ年 ４ ２ 期
初 等 数 学 和 高 等 数 学 的 联 系 与 矛 盾
张 艳
（ 州江南专修学院 ， 杭 浙江 杭 州 摘 要 ： 论 文 由初 等 数 学 与 高等 数 学 本 身的 一 些 特 性 本 出发 ， 论 了初 等 数 学 和 高等 数 学 的一 些联 系和 矛 盾 ， 们之 讨 它 间联 系的 意 义 ， 及 如 何从 初 等 数 学过 渡 到 高 等数 学 。 以 关 键 词 ： 等 数 学 高等 数 学 联 系 矛 盾 过 渡 初
１ 引 言 ．
３０： ： 二 ＋ 如 ＿－
Ｘ
ｘ一 —
—
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＋ ．ｉｘ … ｓｎ ＝
３ １ １ １ ００ ０ ００ ０ ＋… ＋（ 一１）一 ＋． 一
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３１
（ ｋ ） ２ 一１ １
数 学 专 业 的 学 生 。 别 是 毕 业 后 当 老 师 的 同学 ， 入 学 就 特 一 发 现 他 们 面 对 的 问 题 是 ．要 学 的 知识 好像 同 中 学 学 过 的一 点 联 系 也 没 有 。由于 缺 乏 指 导 ， 又很 难 明 辨 当前 的 中学 教 学 内容 和 大 学课 程 之 间 的 联 系 。因此 常 会 对 大 学 所 学 课 程 有 疑 惑 ， 甚 至 忽 视 。 际 上 ． 决办 法之 一是 通过 掌 握 相 当程 度 的高 等 数 实 解 学 知 识 ， 初 等 数 学 与 高 等 数 学 有 机 结 合 ，居 高 临 下 ” 注 重 让 “ ， 高 等 数 学 对 初 等数 学 的 渗 透 ． 较 高 层 次 去 联 系 、 导 和 研 究 从 指 初等数学 。 我 们 所 说 的初 等数 学 通 常 是 指 中学 阶段 所 涉 及 的数 学 知 识， 内容 包 含 有 代 数 ， 何 ， 析几 何 ， 数 与 数 列 等 内 容 ， 几 解 函 处 理 一 些 有 限量 的直 观 的 实 际 问 题 。高 等 数 学 是 大 学 阶段 所 涉 及 的数 学 知 识 ， 容 有 微 积 分 ， 象 代 数 ， 析 几 何 等 内容 ， 内 抽 解 其 特 点 是 用 极 限 的手 段 解 决 更 切 合 实 际 的问 题 ．是 初 等数 学 知 识 的 补 充 与 扩 充 。本 论 文研 究 的 主 要 内容 是 初 等 数 学 与 高 等 数 学 的联 系 和 矛 盾 。 ２初 等 数 学 与 高 等 数 学 的 矛 盾 和 联 系 ． ２ １ 等 数 学与 高等 数 学 的矛 盾 ．初 ２ １１ 与 静 的 矛 盾 现 象 ．．动 因 初 等 数 学 是 用 较 直 观 的方 法 处 理 问 题 ，从 而 对 事 物 的 变 化 规 律 的 揭 示 。往 往 停 留于 相 对 静 止 的 状 态 下 去 分 析 解 决 问 题 ， 高 等 数 学 却 采 用 极 限 的 手 段 ， 事 物 的 变 化 规 律 通 过 而 对 对 事 物 的 动 态 描 述 而 揭 示 ， 而 结 果 更 精 确 。如 对 物 理 问题 ： 从 已 知非 匀 速 连续 运 动 的路 径 ， 给 定 时 刻 的 速 度 等 。 求 ２ １ 曲 与 直 的 矛 盾 现 象 ．． ２ 初 等 数 学 主要 以 研 究 “ 边 图 形 ” 主 ． 对 于 不 规 则 的 直 为 而
高等数学与初等数学的联系及一些应用
高等数学与初等数学的联系及一些应用摘要：众所周知，初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。
由于现阶段数学数字化时代的发展，中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法，并在教学中与初等数学的知识有机结合起来，那么将能提高学生的思维，开阔学生的思路，培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。
因而，本文着重把高等数学与初等数学联系起来，通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。
关键词：高等数学；初等数学；应用1.引言数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。
因此有人把它叫做思维的体操，也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。
这些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。
中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次的研究只能在大学进行。
只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特性：抽象性、严谨性和高度的概括性。
2.国内外研究现状大学课程学习的思维单向性很强。
大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。
“用”的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的就少了。
抓住高等数学与初等数学之间的联系，加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。
中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌，但学生仍然晕头转向，不知其意。
比如极限定义、集合和函数等。
一位新数学教师在解释从非空数集A到数集B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。
浅谈初等数学与高等数学的关系-2019年精选文档
浅谈初等数学与高等数学的关系-2019年精选文档浅谈初等数学与高等数学的关系从数学这门学科的建立直至十七世纪这整个阶段，数学只能解释一些静止的现象和计算一些定量（例如，它只能用于计算直边所围成的面积，以及固定的高度和距离等）这个阶段被称为初等数学阶段。
初等数学远远不能满足社会发展的需要，因此人们寻求新方法，解释那些运动现象（例如，变速运动的瞬时速度、任意曲边所围成的面积等）于是建立了高等数学。
高等数学的出现，显示出了巨大威力，许多初等数学束手无策的问题，至此迎刃而解了。
本文介绍了初等数学与高等数学的一些相关内容及它们之间的关系。
1.初等数学简介及其研究内容代数的最早起源可追溯到公元前1800年左右。
那时代的巴比伦数学文献里已经含有二次方程和某些很特殊的三次方程。
从那时直到15世纪的三千多年里，中国﹑印度﹑阿拉伯和欧洲都在不同的方面对代数学的发展作出了不同贡献。
特别是中国的代数获得了比较系统的﹑高水平的发展。
例如，约在公元前1世纪前后成书的《九章算术》，其中记载了“方程术”和“正负术”等重要成就。
到了13世纪后，中国数学在高次方程的数值解法﹑同余式理论以及高阶等差数列等方面又再放异彩，取得令人惊异的成就。
纵观数学发展的整个历史过程，大体上经历了初等代数的形成﹑高等代数的创建以及抽象代数的产生和发展三个阶段。
随着这门学科的不断发展，人们对于代数学的研究对象问题的认识也不断深化，逐步形成下面几个观点。
（1）代数学是研究方程解法和字母运算的科学（2）代数学是研究多项式和线性代数的科学（3）代数学是研究各种代数结构的科学（4）代数是推动数学发展、解决科学问题的有利工具初等数学中主要包含两部分：初等几何与初等代数。
初等几何是研究空间形式的学科，而初等代数则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
1.1数的概念及其运算 1.2解析式及其恒等变换 1.3方程1.4不等式 1.5函数 1.6 平面几何1.7立体几何2.高等数学简介及其研究内容16世纪以后，由于生产力和科学技术的发展，天文﹑力学﹑航海等方面都需要很多复杂的计算，初等数学已经不能满足时代发展的需要了，在此种情况下，高等数学随之应运而生。
浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径
浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径高等数学是大学数学的重要组成部分，也是很多专业课程的基础。
而初等数学是高等数学的先修课程，它们之间的有效衔接对学生的学习和发展至关重要。
本文将从课程内容、教学方法和学生自身能力提升三个方面探讨初等数学与高等数学的有效衔接路径。
一、课程内容的衔接初等数学主要包括代数、几何、概率论等内容，而高等数学则进一步涉及到微积分、线性代数、复变函数等高阶概念。
为了让学生顺利过渡到高等数学，初等数学的内容应该为后续的学习做好铺垫。
初等数学应该打下数学基本概念和运算的基础。
包括数的概念、集合与函数的基本概念、关系、数列与极限等。
这些概念是后续高等数学的基石，学生在初等数学中一定要扎实掌握。
初等数学应该培养学生的逻辑思维和证明能力。
高等数学中，很多定理和公式都需要通过逻辑推理和严密证明得出。
初等数学教学应该引导学生进行严密的推理和证明，培养他们的数学思维能力。
初等数学中的一些概念和方法在高等数学中有很多应用。
比如向量在初等几何中的应用，在高等数学中可以应用到向量代数和多元函数等。
教师可以适当通过案例等方式，引导学生理解初等数学的应用及其在高等数学中的延伸。
二、教学方法的衔接初等数学与高等数学之间的有效衔接，除了内容的铺垫外，还需要教学方法的衔接。
教师在教学初等数学时，要注重培养学生自主学习、动手实践的能力，鼓励学生提出问题和展开思考。
这样有助于培养学生的数学思维和解决问题的能力，为他们进入高等数学做好准备。
教师在教学高等数学时要注意与初等数学进行对比和延伸。
要及时向学生展示高等数学与初等数学之间的联系和延伸，强调高等数学的基础是初等数学，同时也强调高等数学的新概念和方法。
通过对比与延伸，帮助学生理解和掌握高等数学的概念和方法。
三、学生自身能力的提升在初等数学与高等数学的有效衔接中，学生自身的能力提升是非常重要的。
学生在学习初等数学时要注重以下几点。
要注重基础知识的牢固掌握。
高等数学的学习是基于初等数学的，如果初等数学的基础不扎实，会给后续的学习带来很大困难。
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x1 + λ x2 y1 + λ y2 a11 x3 − 1 + λ + a12 y3 − 1 + λ = 0, a x − x1 + λ x2 + a y − y1 + λ y2 = 0, 22 3 21 3 1+ λ 1+ λ
∆abc
与
∆ABC
的面积之比为
S ∆ABC = a11a22 − a12 a21 S ∆abc
. 推论1.1 (1) 两个平行四边形面积之比是仿射不变量. (2) 两个封闭图形面积之比是仿射不变量.
一、仿射几何与平面几何
性质1.5 性质1.5 在平面上给定不共线三点
C A、B、
A、 、 B C
及不共线三点
X3 = X1 + λ X 2 1+ λ
和
Y3 =
Y1 + λY2 + x + λ ( a11 x2 + a12 y2 + x0 ) a11 x3 + a12 y3 + x0 = 11 1 12 1 0 , 1+ λ a x + a y + y = a21 x1 + a22 y1 + y0 + λ ( a21 x2 + a22 y2 + y0 ) , 0 21 3 22 3 1+ λ
.
一、仿射几何与平面几何
例1.4 能否在三角形ABC中找一个内接四边形PQRS，如图，使得 S1 = S 2 = S3 = S 4 ？
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
数学奥林匹克中不等式的题目甚多，几乎每届 都有一道不等式. 数学奥林匹克中不等式的题目甚多，几乎每届IMO与CMO都有一道不等式 与 都有一道不等式 在我国高中联赛中，不等式也是屡见不鲜. 在我国高中联赛中，不等式也是屡见不鲜
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明
四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明
四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明
四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明
x + λ x2 = 0, x3 − 1 1+ λ y − y1 + λ y2 = 0, 3 1+ λ
一、仿射几何与平面几何
性质1.4 任意两个三角形面积之比是仿射对应下的不变量. 性质1.4 任意两个三角形面积之比是仿射对应下的不变量. 说明：其实我们在性质1.1的说明中，已经证明了
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 )
x1 1 x2 2 x3 y1 1
三点连线，则
y2 1 = 0， 则 y3 1 a21 x1 + a22 y1 + y0 1 a11 x1 + a12 y1 1 = a11 x2 + a12 y2 2 a11 x3 + a12 y3 a12 y1 1 1 + a12 y2 2 1 a12 y3 a21 x1 + a22 y1 1 a21 x2 + a22 y2 1 a21 x3 + a22 y3 1
推论1.2 (1) 在平面上给定不共线三点A、B、C, 总存在一仿射变换把三角形 (2) 在平面上给定不共线三点A、B、C, 总存在一仿射变换把三角形
∆ABC 变到等腰直角 ∆A′B′C ′ 是否有解. ′ ∆ABC 变到等边 ∆A′B′C.
一、仿射几何与平面几何
B．若干应用 例1.1 、将平形四边形ABCD 各边三等分(如图) , 连EF、FH、HG、GE, 求证：S△A EF= S△DFH= S△CHG= S△BGE
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
其中：
a11 a12 ≠0 a21 a22
，即
a11a22 − a21a12 ≠ 0
一、仿射几何与平面几何
性质1.1 仿射变换保持一一对应性、同素性、结合性 仿射变换保持一一对应性、同素性、结合性. 性质 说明：一一对应性指的是变换
（1）有逆变换，其实逆变换也是仿射变换； （2）同素性指的是：点变换成点，直线变换成直线.后者也就是说：若三点连线，变换后新三点也连线.证明：若
A′、 ′、 ′,总存在一仿射变换把 B C
分别变到
A′ 、 B′ 、C ′
说明：若 A 、B 、C 的坐标分别为
( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 )
， A′、B ′ 、 ′ 的坐标为 C
( X 1 , Y1 ) , ( X 2 , Y2 ) , ( X 3 , Y3 ) ， 则问题化为：在
x1 x2 x3
y1 1 y2 1 ≠ 0 y3 1
和
X 1 Y1 1 X 2 Y2 1 ≠ 0 X 3 Y3 1
的条件下，问关于
a11 , a12 , a21 , a22 , x0 , y0 的方程
X 1 = a11 x1 + a12 y1 + x0 Y =a x +a y + y 21 1 22 1 0 1 X 2 = a11 x2 + a12 y2 + x0 Y2 = a21 x2 + a22 y2 + y0 X 3 = a11 x3 + a12 y3 + x0 Y3 = a21 x3 + a22 y3 + y0
四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明
四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明
五、对称条件与非对称结果
五、对称条件与非对称结果
五、对称条件与非对称结果
五、对称条件与非对称结果
参考文献
[1]杨拥良.荀洋滔.伸缩变换的一个重要结论及其应用.中等数学，2009年2期，P.8-11. [2]何作发.仿射几何的几点应用.湖北大学成人教育学院学报，2004年第8期，P.76-78. [3]张小明，褚玉明.解析不等式新论.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009年6月. [4]Albert W．Marshall,Ingram Olkin. Inequalities:theory of majorization and its applications[M]． New York :Academic Press,Inc,1979． [5]王伯英．控制不等式基础[M]．北京：北京师范大学出版社，1990年． [6]张小明.三角形不等式的“B-C”证法．不等式研究（杨学枝主编），拉萨：西藏人民出版社，2000年6月. [7]杨学枝.两个三元不等式及其应用.中国初等数学研究，2009年第1期，P.7-16. [8]Vasile Cirtoaje.Old and New Methods.GIL Publishing House (Zalau, Romania),2006. [9]/viewtopic.php?f=25&t=23&sid=5a884a2ab0d6108cb568b1faa4cd8c82 作者介绍： 作者介绍： 张小明，浙江电大海宁学院数学副教授，校科研督导处主任，安徽大学93届硕士毕业生，全国不等式研究会常务理 事、秘书长，全国初等数学研究会常务理事，《中国初等数学研究》编委.在国内外发表学术论文五十多篇，出版学 术专著两本.
证明：通过仿射变换，把
∆ABC 变成等腰直角三角形（ ∠B = Rt ∠ ），则此时平形四边形ABCD为正方形 ABCD
△AEF、△DFH、△CHG、S△BGE为全等三角形，命题得证.
一、仿射几何与平面几何
例1.2 求证：三角形的三条中线共点.
一、仿射几何与平面几何
y 2 x2 例1.3 求证椭圆 2 + 2 = 1 的面积为 π ab a b
a21 x2 + a22 y2 + y0 1 a21 x3 + a22 y3 + y0 1 a12 y1 1 1 + a12 y2 2 1 a12 y3
a22 y1 1 a22 y2 a22 y3