初等数学与高等数学的定位1
初等数学与高等数学有关问题的联系与区别
初等数学与高等数学有关问题的联系与区别一、导数的应用导数是研究函数的工具，利用导数研究函数的性质问题，可以比较容易地得到结果或找到解题的方向.导数的单调性：定理：设函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导：（1）如果在（a，b）内f′（x）0，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调增加；（2）如果（a，b）在内f′（x）0，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调减少.例：确定函数f（x）=x■-2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解法一：设x■，x■是R上的任意两个实数，且x■x■，则f（x■）-f（x■）=（x■-x■）（x■+x■-2）.因为x■-x■0，所以要使x■+x■-20，则x■x■1.于是f（x■）-f（x■）0.即x1时，f（x）是增函数；x1时，f（x）是减函数.解法二：f′（x）=2x-2令2x-210解得x1；因此，当x∈（1，+∞）时，f（x）是增函数.再令2x-20，解得x1，因此，当x∈（-∞，-1）时，f（x）是减函数.经过对两种方法的对比，我发现用大学数学解决此问题更方便快捷.当我们再回头看高中学的方法，觉得它在解决一些问题上存在一定的弊端.二、极限的应用学习极限是从一个“有限”到“无限”的飞跃.从数列极限或函数极限的变化趋势来理解极限问题是认识和解决问题的需要.数列极限：中学与大学的数列极限的概念虽相差不远，但大学的数列极限概念却引出了”收敛”一词，由此给出了收敛数列及其极限的准确定义.有了数列极限的精确定义，我们便可以用定义（又称“ε-N”定义）证明高中数列极限中所用的结论.例：证明■■=0（a，k均为常数，且k∈N■）在中学，我们直观地知道，当n→∞时，n■=∞，■■=0.这仅仅局限于直观得出结论.然而，在大学，我们可以通过极限的“ε-N”定义来证明这个结论的正确性.在高中，我们已经开始接触数列极限.总的来说，高中阶段的数列极限注重的是利用所给结论来求解所给数列的极限值，重点是培养解题能力，注重的是理性思维的培养和备考能力的提高.而大学的数列极限，更多的是利用抽象定义证明某一命题的正确性，强化锻炼的是抽象思维能力及逻辑思维能力.而且大学里对数列极限的深入介绍，不仅完善了我们对数列极限的认识，在求解一些极限问题上，思维也越发灵活.三、不等式的应用不等式是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别.不等式在解决优化问题中有广泛应用，也是学习高等数学的重要基础.不等式的内容体现了数学的精深.不等式的性质贯穿于不等式的证明、求解和实际应用.充分理解不等式的性质是学习不等式的关键.不等式作为中学教学内容，大体可以分为四个部分：一是不等式的概念与性质；二是解不等式；三是不等式的证明；四是不等式的应用.大学虽然没有专门介绍不等式，但不等式的应用，特别是几个常见的有关不等式的定理的应用，在整个大学数学几乎随处可见.不等式的证明：不等式的证明方法灵活多变，有时要用多种方法，并且不等式的证明常和函数联系，这体现了数学素质的要求.在中学，我们所学的不等式证明所用的最基本的方法主要有比较法、分析法、综合法、归纳法，以及放缩法、换元法、反证法、判别式法等.某些不等式，我们虽然可以用中学的解答，但是用大学所学的某些来解答，我们会发现明显简单得多.定理3.1（拉格朗日（Lagrange））中值定理：若函数f（x）满足如下条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导.则在开区间（a，b）内至少存在一点c，使得f′（c）=■例：证明：当ab0时，不等式nb■（a-b）<a■-b■> <na■（a-b）在n> 1时成立. </na■（a-b）在n> </a■-b■>在中学，我们可以用作差法来证明此题.这里不再证明.下面我们就用大学所学的拉格朗日中值定理证明此题.证明：设f（x）=x■，则f′（x）=nx■，当ab0时，对f（x）在区间[b，a]上应用拉格朗日中值定理有■=■=f′（c）=nc■其中b<c> <a因为n> 1时，n-10，所以</a因为n> </c>nb■■=nc■<na■.></na■.>故有nb■（a-b）<a■-b■> <na■（a-b）.></n a■（a-b）.> </a■-b■>运用精确的定义对高中的某些结论进行证明，也就让我们从只是纯粹地接受结论上升为自主地探讨结论的正确性，这本身就是在认识上的一个质的飞跃.而且大学的证明方法更简便快捷，使我们一目了然.初等数学与高等数学有机地紧密结合，以学习高等数学知识作指导，学习重温初等数学知识，可以达到一个新的高度.而以高等数学知识用以指导解题，常常可以居高临下地事先估测答案，确定解题思路.通过对初等数学与高等数学在解问题时的对比，提高了数学和科学素养，并促进了对数学分析、高等代数学科知识的进一步理解和掌握.。
浅论初等数学教育与高等数学教育的接轨
浅 论 初 等 数 学教 育 与高 等 数 学教 育 的接 轨
张 妮 （ 黔西 南 民族 师范高等专 科学校 ，贵州兴 义 ５ ２ ０ ６ ４ ０）
摘 要 ：本文主要从初等教育和 高等教育的联 系着手 ，提 出了顺利 实现初等教 育和高等教 育接轨 的几种 方法 ，并通过 高中 数 学新教材透视初等数 学教育与 高等教 学教育 的接轨 ，给 出了导数 、 率与统计以及行列式等三个典型 的例子 ， 一步讨论 了 概 进
期 。
有些 定 义是形 式 的 ， 有些 的过 渡时期 ，同时也称 为初 等数 学 教育 和高 等数 学教 育 的接轨 时 本初 等 函数是 从解 析 式引 申推 广得 到 的。 定义 则是依 赖于几 何直 观而提 出 的 ， 没有完 整地指 明这些 基本初 等 ２ 、两 种 教育 的联 系 函 数 的本 质 属 性 。
１ 、发 挥 高等 数学 中的数 学 思想 方 法和 背景 ，培养 学生 的思 样 就有 了初 等数 学 的雏 形 。 数学研 究 固定 不变 的东西 ， 初等 相反 ， 高 维能 力和 解题 能力 ， 学思想 剖析 初等 数学 。 用数 等 数学 研究 变化 的东 西 。 而 ， 然 当前 数学 教育状 况 令人 担忧 ！初 等 高 等数 学 中蕴 涵着 丰 富的数 学思 想方 法 ， 这些 重要 的数 学 而 数学 教育 的 目标 似乎就 是高考 ， 致使初 等数学 教育 与高等 数学 教育 思想方 法也 贯穿着 整个 中学数 学 的教材之 中 ， 中学数学 教学 内容 是 有脱 轨 的迹 象 ， ０ 学 的学生 积极 性 、 冈人大 主动性 不 高这一 事 实普 遍 的精 髓 和灵 魂ｌ。因此 ，教师 在传 授 初 等数 学知 识 的 同时 ，应充 １ １ 存 在 。 解决 这一 矛盾 ， 使初 等数 学 教育 与高 等数 学教 育顺 利 分挖 掘高等 数学 中的思 想方法 ， 和培养 学生 的思维能 力和解题 为 必须 引导 接轨， 并整 合成 一个 有机 系统 。 能力 。在 中小 学数 学 教材 中 ，蕴含 着丰 富 的数学 思想 ，如集 合 思
浅谈高等数学在初等数学中的应用
浅谈高等数学在初等数学中的应用初等数学是学习高等数学基础，高等数学是初等数学的继续和提高，它不但解释了许多初等数学未能说清楚的问题，并使许多初等数学束手无策的问题，至此迎刃而解了。
本文从三个方面探讨高等数学在初等数学中的作用。
高等数学是在初等数学的基础上发展起来的，与初等数学有着紧密的联系。
站在高等数学的角度来看中学数学的某些问题又会更深刻、更全面。
运用高等数学的知识可以解决一些用初等方法难以解决的初等数学问题，以便使学生了解到高等数学对于初等数学的指导作用。
标签：初等数学;高等数学;联系;应用数学是一门科学性、概括性、逻辑性很强的学科。
它源自于古希腊，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念。
透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。
数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。
问题的提出许多学生经常提出这样的问题：我们为什么要学这么多高等数学？这些问题长期以来困扰着我们。
本文通过讨论初等与高等数学的联系，使他们真正觉得高等数学对初等数学教学有向导性意义，帮助他们用高等数学知识去分析和理解初等数学教材，从而站得更高，对中学数学的来龙去脉看得更清楚。
一、初等数学初等数学时期从公元前五世纪到公元十七世纪，延续了两千多年、由于高等数学的建立而结束。
这个时期最明显的结果就是系统地创立了初等数学，也就是现在中小学课程中的算术、初等代数、初等几何（平面几何和立体几何）和平面三角等内容。
二、高等数学内容包括函数与极限、一元函数微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、级数、常微分方程等。
其中极限论是基础：微分、积分是是核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质：级数理论是研究解析函数的主要手段：解析几何为微积分的研究提供了解析工具，為揭示函数的性质提供了直观模型：微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分犹记得联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系。
浅谈高等数学在初等数学中的应用
浅谈高等数学在初等数学中的应用
高等数学是一门研究变量之间特定联系的数学分支，对于了解变量
之间联系的更深层次理解有巨大的帮助。
因此，高等数学在初等数学
中可以起到非常重要的作用。
首先，高等数学可以用来推导初等数学中的一些公式，如果用初等数
学加以运用无法得出正确结果，可以借助高等数学来解决，如借助有
理函数、导数等概念来推导公式，从而使初等数学中的公式更准确，
而不会存在错误。
此外，高等数学在初等数学中也可以用来解决一些复杂的问题，例如
非线性方程和非线性方程组，这些都是初等数学中无法直接解决的，
但是借助高等数学的多元函数分析理论，却可以计算出实际的解析解，让初等数学中的问题更加清晰简单，同时还能够解决难度更加高的复
杂问题。
除此之外，高等数学还可以用来计算、表示数值，并分析其特性，为
初等数学中的一些问题提供更多的信息和见解，以便加深对问题的理解。
总之，高等数学是一门极其重要的理论分支，对于初等数学而言，它
具有无法替代的作用，因此一定要学习，才能更好地理解和运用初等
数学。
高等数学与初等数学的联系及一些应用
高等数学与初等数学的联系及一些应用摘要：众所周知，初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。
由于现阶段数学数字化时代的发展，中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法，并在教学中与初等数学的知识有机结合起来，那么将能提高学生的思维，开阔学生的思路，培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。
因而，本文着重把高等数学与初等数学联系起来，通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。
关键词：高等数学；初等数学；应用1.引言数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。
因此有人把它叫做思维的体操，也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。
这些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。
中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次的研究只能在大学进行。
只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特性：抽象性、严谨性和高度的概括性。
2.国内外研究现状大学课程学习的思维单向性很强。
大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。
“用”的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的就少了。
抓住高等数学与初等数学之间的联系，加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。
中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌，但学生仍然晕头转向，不知其意。
比如极限定义、集合和函数等。
一位新数学教师在解释从非空数集A到数集B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。
【精品】经济数学1(高等数学,极限与连续)
经济数学前言一、“高等数学”的学科定位“高等数学”，是以极限论为工具研究变量和变量关系的学科，又称为微积分，在数学专业课中又称为“数学分析”。
研究的对象是函数，基础是实数域，运用分析的工具是极限。
以下我们根据课程的特点和内容从不同角度对其进行说明。
1、高等数学初等数学，2、，其主要内容是微分学和积分学两部分。
而它们的基础是函数与极限，我们再根据其对象是一元函数和多元函数将其分为一元微积分和多元微积分。
3、同样是微积分，还有层次的高低问题。
4、在内容的系统上，其主线是运用极限论工具对函数的各特性进行讨论。
这里在内容体系展开上就有一个认识上的矛盾。
因为极限论从认识的角度看要比函数的微积分难得多。
若一开始就深入的徘徊在极限理论之中，必然偏离我们高数的学习目的。
为了解决这个矛盾，我们尽量地简化了极限论的分析，只是罗列了一些要用的必需结论（这也是与数学分析的主要区别之一）。
但是对它的简单化将使我们在运用极限这个工具时，感到有点把握不住，这是很正常的。
希望大家一定要正确对待这一难关。
我们的处理是在后继内容的一些具体问题中去逐步地完善对极限的认识，可能到后面的总结时，才能较好地体会和归纳出它的实质。
二、在学习中要注意的一些思想方法人们往往对数学有一个看法，认为数学很难，这一看法辨证地说既对又不对。
所谓难与不难是相对的，关键在认识方法上，若方法对路，相对较难的内容也能较容易地掌握。
根据高数的特点，我们列举出以下几对矛盾，希望同学们在学习的全过程中，随时多想想，找到问题的症结，对症下药，对学习会有一定的帮助。
1、常量与变量的矛盾2、内容和形式上的矛盾3、感性和理性的矛盾4、有限和无限的矛盾5、局部和整体的矛盾6、连续和离散的矛盾三、准备首先在这里先给两个数学符号，是全课程中大量运用的符号。
1）符号“∀”，即任意选取一个，或说对于每一个∀：即在区域D中任意选取一个Dx∈元素x，或说对于D中的每个x。
2）符号“∃”：至少存在一个∃：即在D中存在一个元素x。
初高等数学教学的有效连接研究
ＳＩ Ｃ ＆＂ＣＮ ＬＧ Ｃ ＮＥ ｒ ＨＯＯ Ｙ Ｅ Ｅ
盛圆
初 高等 数 学教 学 的 有 效 连 接 研 究
王 冰 心
（ 福建 师范ห้องสมุดไป่ตู้学 数学 与计算机 科学 学院 ０ ６级数 学师范 类 （ ） ２ 班 福建 福州 ３ ０ ０ ） ５ ０ ７
摘 要 ： 文基于 笔者 的 学习和 研究心得 ， 本 以初 高等教 学教 学的 有效衔接 为研 究对 象， 分析 了初等数 学和 高等数 学的定位 ， 相互关 系和 衔 接 的措 施 ， 文是笔 者长期 学 习和研 究基 础上 的理 论升 华 ， 信对从 事相 关工作 的 同行有 着重要 的参 考价值 和借 鉴意义 。 全 相 关键词 ： 初高等数学 教 学 连接 关系 中 图 分类 号 ： Ｏ１ ４ 文献 标 识 码 ： Ａ 文 章编 号 ： ６ ２ ７ １ ２ １ ） ｌａ 一０ ２ —０ １ ７ —３ ９ （ ０ ０Ｏ （ ） ２ １ １
到 很 好 的说 明 。 然 ， 着 时 代 的 发 展 和数 当 随
学学科本 身的不断完善 ， 人们 对 数 学 对 象 的 认 识 越 来 越 深 刻 ， 法 国 的 布 尔 巴基 学 如 派认为“ 学是研究结构 的科学 。张景 中 数 ” 教授 认 为 ： 总 的 来 看 ， 尔 巴 基 学 派 把 数 “ 布 学 看 成 以 结 构 为 对 象 的 科 学 ， 种 观 点 是 直 ” “ 这 、 以直 代 曲 ” 方 法 简单 介 绍 微 积 分 的 ［］杨 式 毅 、 志 峰 、 雅 玲 ． 学 生 学 习 引 的 ２ 李 霍 大 与辩 证 唯 物 论 一致 的 。 现 代 数学 史学 者 李 基本 思想 ， ” 如此 安 排 教学 内 容便 于 教 师 引导 论 ［ ］北 京 ： 学 技 术 文 献 出 版 社 ， Ｍ ． 科 文林 教 授 也 说 ： 数 学 已 经 变成 研 究任 意 结 学生 意识 到 初 等 数 学 是 高 等 数 学 形 成 的 基 “ １ ９０， ９ ９． 构 的 学 问 。 结 构 论 的 另 一 种 不 同的 表 达 形 础 ， ” 同时 激 发 学生 进 一步 探 求更 广 泛的 研 究 式 是 ： 学 是 研 究 模 式 （ ａｅｎ 的 科 学 。 数 Ｐ ｔｒ ） 我 对象 的兴 趣 ， 他 们认 识 到 为继 续 深入 学 习 让 国数 学 家 徐 利 治 教授 认 为数 学 是 研 究 模 式 有 必要 打 好 扎 实的 基 础 。 的， 他说 ： 就 数学 的现 代 研 究 而 言 ， 们 可 ３ ２大学 方面 “ 我 ． 以说 ， 谓数学 对象即指模式 。 谓 模式 ， 所 所 高 等 数 学 教 学 要 在 保 证 高 等 数 学 科 学
论高等数学在初等数学中的作用
由此我 们可 进 一 步 体 会 到 利 用 高 等数 学 的 原 理 和 方 法 确 实 对
数 学 的 继 续 和 提高 ， 等数 学 的 研 究 对 象 主要 是 函数 。 究的 方 法 我 们 理 解 初 等 数 学 的 问题 有 很 大 的 帮 助 ， 也 有 助 于发 现 一 些新 高 研 且 主要是极 限方法 。 果 说初等数学是 用“ 止” 观 点去研究 ， 如 静 的 那 结 果 。 么， 高等 数 学 极 限 的思 想 则 是 一 种 “ 动 ” 观 点 ， 等数 学 是 初 等 运 的 高 数 学 的 进 一步 发 展 ， 它从 更 深 的 层 次 提 示 了数 学 的 本 质 ， 用高 等 数 ２ 利用高 等数学知识证 明某些初 等数学不等式 １ 学 的 观 点 、 理 和 方 法 去 认 识 、 解 和 解 决 初 等数 学 的 问题 ， 助 ２． 利 用求 函数 的最值 证 明不 等式 原 理 有 于 我 们 加 深 对 问题 实 质 与 知 识 间 联 系 的 理 解 ， 不 但 解 释 了许 多 它
ｔ
所以 当 ：１ 函数 ｒ 取到最小值 ｌ 时， ）
一
从 此 例 中 可 以 看 出 ， 方 法 的 关 键 在 于 把 函数 展 开 成 一 个 缺 本 次 项 的 展 开 式 ， 高 等 数学 里可 直 接 使 用 泰 勒 级 数 ， 初等 数 学 在 但
）２ Ｉ 一 ２． ．ｔ ｓｄ ｉｔ ｎ＝
１
一
中 就 只 能 采 用 待 定 系数 法 。 等 数 学 的指 导 意 义在 于 若 函数 在给 高 ２ 定 区 间 内存 在 极 值 ， 存 在 使 其一 阶 导 数 为 零 的 点 ， 则 因而 函数 的泰 ２． 利 用 函数 单调性 证 明不等 式 利 用 函 数单 调性 证 明 不 等 式 是 一 种 最 常用 和有 效 的 方 法 ， 其 勒级 数 一 定 有 使 一 次 项 系 数 为 零 的 点 存 在 。 求导 的一 个 初 等化 而 方 法 就 是 可 用 待 定 系 数 法 来 达 到 这 一 目的 。 就是 求 得 使一 次项 基 本 步 骤 是 ： 也
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【标题】?浅谈高等数学在初等数学中的应用【作者】袁英【关键词】?高等数学??初等数学??衔接??应用【指导老师】杨天标【专业】数学与应用数学【正文】 1.引言???我们知道,初等数学与高等数学之间无论在观点上还是在方法上都有着很大的区别.正是如此,有人认为:学生不需要懂得什么高等数学知识,教师只要照课本讲下去,我们在课堂上不能把高等数学知识传授给学生,但我们仅仅停留在课本上是不够的,有时甚至连自己对一些初等数学的问题也可能感到费解,这是因为:一方面,高等数学是初等数学的继续和提高;另一方面,初等数学里很多理论遗留问题必须在高等数学中才能得澄清.因此,高等数学在初等数学中的作用不能掉以轻心,下面谈谈一些初浅的体会. 2.初等数学与高等数学的定位一般来说，数学史学家把数学的发展分为四个阶段：萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期（或五个时期，再加上当代时期）.无论何种分发，都把第二发展时期叫做“初等数学时期”，这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”，而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”，这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”.理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯（Engles）的经典分发：所谓初等数学是指常量数学，高等数学就是指变量数学，并把笛卡尔（R.Descartes）1637年发表的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志.而教育意义下的初等数学高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的，即视普通初等、中等教育（即中、小教育）阶段的数学主要内容为初等数学，视初等教育阶段的数学主要内容为初等数学，视高等教育的数学主要内容为高等数学?[[]1].当然，由于社会和教育的思想、方法、手段尤为其是教育内容都在不断发展，“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象，两者没有严格的概念区别.事实上，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力在于各部分之间的内在联系，这就需要深入研究初等数学，理清其中最基本的思想和方法，努力寻求初等数学和高等数学的结合点. 3.高等数学与初等数学的融合大学生特别是师范类大学生,一入学就发现，他们面对的问题好像同中学里学过的东西一点联系也没有,当然也很快就完全忘了中学所学的东西；但是毕业以后当了中学教师,他们突然发现,要按老师的教法来传授中学内容,由于缺乏指导,他们又很难辨明当前的中学教学内容和所学大学课程之间的联系.数学专业的大学生学到的专业知识是不少的,但许多重要高等数学对初等数学的渗透，注重用高等观点来研究初等数学，注重高等数学对初等数学的直接指导作用,总之,如果我们注重初等数学同高等数学的融合,我们就一定能克服上述弊端,就能平稳地实现中学学习---大学学习---中学教学之间的过度?[[]2]?. 3.1高等数学对初等数学的渗透随着中学数学教学的改革，已有很多高等数学的知识渗透到中学数学教学中去.近几年来，国际中学生奥林匹克数学竞赛的试题中，与初等数论有关的题目呈现增高的趋势.它牵涉到数论中整数的表示法、整除性理论与同余理论.如果我们在初等数论的教学过程中，注意把初等数论是理论同中学奥林匹克数学竞赛的内容结合起来讲，将会收到意想不到的效果. 多项式属于古典代数的范畴,这个课题的基本知识分散在中学一直到大学的课本中，如果我们在讲授多项式时，注意中学与大学间的衔接,注意它们间的关系,这将有助于提高大学生学习多项式的情趣. 渗透到中学数学教学中的内容除多项式、初等数论外，还有组合数学、不等式与向量代数等等.在讲授这些内容时，应将此内容与中学现行教材结合起来，这既能提高学生学习这些内容的情趣，又有助于实现中学学习---大学学习---中学教学间的平稳过渡?[[]3]?. 3.2高观点下的初等数学作为一名准中学数学教师，仅仅懂一点初等数学是远远不过的，他必须具备较好的数学专业知识.观点越高，事物越显得简单.例如，在实数域里不好理解的某些东西，从复数域的观点看就清楚了；在欧氏空间里某些无法解释的现象，从射影空间的观点看，就有满意的说明；中学的最值问题，用导数来理解就清楚多了. 又如，从多项式及一元有理式函数的图象表示开始，由此得出曲线与坐标轴的交点就是多项式的零点，自然而然地引导到方程的近似数值解，曲线的几何图象自然地给微商和积分这两个概念提供了直观背景，曲线的斜率引进微商，曲线与?轴围成的面积引进积分. 总之，许多高等数学的理论是建立在一些初等数学问题之上的，如果我们学习高等数学时，将这些问题联系起来，既能帮助我们学好高等数学，又有益于今后的中学数学教学. 3.3高等数学与初等数学的融合应遵循比较性原则：学习高等数学时，从方法上要和初等数学进行比较.例如选择一些既可以用高等数学又可以用初等数学解决的问题，分别采用两种方法讲解.通过这种对比性的讲解，学生就会体会到知识的相融性，激发他们的学习兴趣，提高他们的理解能力和认识水平.如证明三角形中位线定理、三角形三线定理、平行四边形对角线互相平分定理等等，除利用初等数学方法证明之外，还可以利用解析几何学中的向量法证明. 发展性原则：高等数学是在初等数学的基础上发展的，那么，在高等数学的教学中应尽可能体现出这一点.例如，函数?,???的递增性，中学对这一问题通过观察图象直观描述的，没有给出理论上的证明，可以说是在中学阶段没有得到充分解决的问题.而在高等数学中，则通过求导数判定函数在某个区间上的递增性的方法来解决.即设?在?内可导，当??时，有?，则?在?内递增(?，?为实数).???所以，函数?，在???上递增，由此得到理论上的证明.在教学中坚持这一原则，可使学生感到数学是发展的，从而激励他们不断地学习. 4.高等数学对初等数学的拓展4.1代数方面集合：众说周知，集合论是现代数学的基础，集合概念是数学中的一个原始概念.中小学数学中都贯穿了集合的思想，高中开始使用集合语言来研究问题，通过高中的学习，对集合的表示、集合之间的简单运算应该比较熟悉，对集合与集合之间的影射等有所了解.高等数学将在此基础上进一步考虑集合的运算，引入集合的“势”的概念，比较两个无穷集合的大小以及赋予集合某些数学结构（如代数结构、测度结构、拓扑），研究具有不同数学结构集合之间的映射关系.如代数学主要是研究具有代数结构集合之间的映射，如同态、同构、群、环、域等；而实数函数论主要是研究具有勒贝格测度的集合之间的映射，如可测函数. 函数及其性质：函数是数学上的一个基本而有重要的概念，从中学数学到高等数学，函数概念逐步从直观向抽象发展、变量说、对应说（映射说），关系说是三种主要的定义方式.用“关系”来定义函数，比较抽象，一般不容易理解，在现代数学（如拓扑学、泛函分析等）中使用较多.对应说（映射说）是中学数学及一般高等数学中普遍采用的方式.映射是现代数学中的一个基本概念，它贯穿于现代数学各个分支，函数，变换等都是映射的例子. 中学数学中所讲的函数主要是六种基本初等函数：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、研究它们的结构与形态（单调性、奇偶性、周期性）.高等数学在此基础上定义了复合函数，初等函数等概念，使函数的量进一步扩展，进一步研究一般函数的奇偶性，单调性（用导数方法判断可导函数的单调性）、周期性（给出周期函数的一般定义以求周期的方法）、有界性、极值性（用导数方法求极值）、连续性、可导性、可积性、以及多项式函数的理论.由于现实中应用的许多函数都是初等函数，而初等函数又具有较好的分析性质，因而常成为研究抽象函数的例子、模型.微积分中函数的主体是初等函数，由基本初等函数到初等函数，衔接是比较紧密的. 数列、极限与级数：中学数学中讲到数列的定义，等差、等比数列以及它们的前?项的和与数列极限，这是数学分析中级数论与级数论的基础.极限法数学分析的一个主要方法，贯穿于数学分析的始终.中学数学中再给极限精确的定量定义.级数论中将研究无穷数列与函数列的和（级数）的收敛与发散，部分数列和的求法，以及函数级数的和函数的分析性质，把函数展成级数等. 复数与复变函数论:中学数学中讲了复数的概念、表示法（代数形式、向量形式、三角形式）、运算.复数的引进，完满的证明了高等代数的基本定理及多元二次型的分解等.另外，复变函数论研究的一类重要函数----解析函数（包括初等函数），只有在复数域中来讨论才能彻底弄清楚.因此，中学数学中的复数是复变函数论的一个重要基础，它们之间最好是按“螺旋式”上升方式来衔接. 排列、组合、二项式定理与概率论：中学数学中排列、组合、二项式定理及概率是高等数学中概率论与数理统计的基础.由于这部分内容与其它内容联系较少，学生普遍感到难学，有的教师也可能降低要求.但大部分概率与统计的教材，都是在中学的基础上来编写的，它们是对随机现象演绎的研究与对随机现象统计规律归纳研究.因此，中学排列、组合、二项式定理的内容一点都不能削弱. 方程与方程组：中学数学中重要讲了一元一次、二元、三次方程及简单高次方程的解的情况，并没有对一般高次方程作深入讨论，方程组也大多是二元线性或三元线性方程组.高等数学中将对中学数学中的方程与方程组作推广，高等代数对高次方程的解（根）的情况将作全面讨论，明确五次（含五次）以上的方程无公式解，复系数一元?次方程必有?个根.用行列式和矩阵理论来讨论?元线性方程的解（存在性、解法、结构），用微积分研究微分方程与方程组的解等?[[]4]?. 4.2几何方面立体几何与空间解析几何：中学平面几何主要包括相交线、平行线、三角形、四边形、面积、相似形和圆的一些概念及性质、点的轨迹的概念等内容.立体几何主要包括直线和平面的位置关系及其性质，多面体和旋转体的一些概念、性质、画法及表面积和体积的公式等内容.主要使学生会综合性处理几何的方法.而空间解析几何是在具有空间结构观念的基础上,用向量、变量与空间直线、柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面及其一般理论，使学生学会解析地处理几何的方法. 平面解析几何与空间解析几何：中学平面解析几何主要讲平面上直线方程、圆锥曲线（二次曲线的几种简单形式）方程及形态、参数方程与极坐标等内容.空间解析几何将进一步研究二次曲线的一般理论（二次曲线与直线的相关位置、二次曲线的渐进方向、中心、渐进线、切线、直径以及二次曲线的化简与分类等）和二次曲面的一般理论（二次曲面与直线的相关位置、二次曲面的渐进方向与中心、切线与切平面、径面与奇向、主径面与主方向、特征方程与特征根以及二次曲面的化简与分类等）.空间解析几何是平面解析几何的自然延伸. 5.高等数学在初等数学的解题中的应用 5.1用高等数学观点看初等数学不等式——布涅柯夫斯基不等式的应用解析几何中矢量X、Y的内积（X、Y）可表为（X、Y）=|X|?|Y|Cos，其中|X||Y|为矢量X、Y的模，Cos表示矢量X与Y夹角的余弦，?可推出著名的柯西——布涅柯夫斯基不等式?，当且仅当矢量X,Y共线(即X,Y线性相关)时等号才成立. 下面我们用柯西——布涅柯夫斯基不等式来研究初等数学不等式. 例1．?若?,?那么?(?当且仅当?时“=”成立) 这个不等式是中学不等式证明的基础，这里我们用内积考虑其证明，设向量X=?,Y=?,由解析几何知?，?=?,?由柯西——布涅柯夫斯基不等?得?即?,显然?同号?或之一为零时?成立，若?异号?因而?仍成立.当?时，向量X与向量Y重合即共线，柯西—布涅柯夫斯基不等式取等号.[[]5] 例2．?已知?,求证? 此题在中学可用分析法或综合法证，这里引入向量?,?，由?知?即向量?与?不共线，那么此时柯西—布涅柯夫斯基不等式不能取等号即? 而?,? 因而?, 所以????????????????????????????????????? ?詹森不等式的应用在数学分析中，关于上凸（或下凹）函数的定义是用詹森不等式来刻划的. ?在[[]?]连续，对[[]?]中任意两点?，有?，则称?在[[]?]上是向上凸，?,则称f(x)在[[]a,b]是向下凸. 由于定义是充要条件，因为若我们已知?是定义域上连续的向上凸函数，且?在定义域内，那么?成立.[[]6] 例3.?证明? 此题在中学教学中用分析法或综合法均可证这里我们用函数的凸性来证，引入函数?，由题意知它是R上是下凸函数，任意。