高等数学与初等数学的联系及一些应用

高等数学与初等数学的联系及一些应用摘要：众所周知，初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。

由于现阶段数学数字化时代的发展，中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法，并在教学中与初等数学的知识有机结合起来，那么将能提高学生的思维，开阔学生的思路，培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。

因而，本文着重把高等数学与初等数学联系起来，通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。

关键词：高等数学；初等数学；应用1.引言数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。

因此有人把它叫做思维的体操，也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。

这些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。

中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次的研究只能在大学进行。

只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特性：抽象性、严谨性和高度的概括性。

2.国内外研究现状大学课程学习的思维单向性很强。

大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。

“用”的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的就少了。

抓住高等数学与初等数学之间的联系，加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。

中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌，但学生仍然晕头转向，不知其意。

比如极限定义、集合和函数等。

一位新数学教师在解释从非空数集A到数集B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。

如果他的数学分析中的映射掌握得好，完全可以既讲得轻松而学生又听得明白。

法国数学家F·克莱因曾经说过：“教师应具备较高的数学观点，理由是，观点越高，事物就显得越简单。

”数学教育专业的学生绝不可以轻视高等数学对中学数学的指导作用。

要使高等数学课程学有所用，必须要尽可能了解中学数学教材内容，明确教材改革方向和趋势，这样才能在教学中将两者有机结合起来，从而提高学生的思维，居高临下地解决问题。

3.高等数学与初等数学的联系高等数学是初等数学的延伸和发展，而初等数学却是高等数学的基础。

作为学习和研究数学的步骤，无疑应该是先学习和掌握初等数学，然后才能学习和应用高等数学。

反之，学习高等数学能加深对初等数学的理解和掌握，可以开阔思路、提高数学修养和解决问题的能力。

但由于中学数学知识几乎很难和高等数学知识直接衔接，使不少大一新生一接触到“数学分析”、“高等代数”等这些数学课程，就对数学专业课产生了畏难、抵触情绪。

而且高等数学理论与中学教学需要严重脱节，许多大学师范毕业生对如何运用高等数学理论指导中学数学感到迷茫。

毫无头绪。

为了解决上述长期存在的问题，笔者认为研究高等数学与中学数学的联系是一项有效的措施。

4.高等数学在初等数学中的一些应用（1）.柯西——施瓦兹不等式应用柯西——施瓦兹不等式是高等代数的一个重要不等式，它在中学数学中有广泛的应用。

设欧式空间n R ，令()n a a a ,,,21 =ξ，()n n R b b b ∈= ,,21η，则222,ηξηξ≤。

（等号当且仅当ηξ,线性相关时成立）在标准内积下，即()()()222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++≤++，若1=i b ，则得()()22221221nn a a a n a a a ++≤++。

例[]81设c b a ,,都是正数，且1=++c b a 。

求证：9111≥++cb a 证明：在3R 中，使用标准内积。

设()c b a ,,=ξ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c b a 1,1,1η，则()cb ac b ac b a 11111122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=ηξ 9111,22=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⋅=c c b b aa ηξ由柯西不等式，得9111≥++cb a ，（等号当且仅当ηξ,线性相关时成立）使用柯西——施瓦兹不等式重要的是构造一个合适的欧式空间，特别是构造內积运算，并找到两个适当的向量。

做到这一点是有困难的，但是只要完成这个构造，余下的问题便很容易解决。

构造法就是在解决某个问题时，先构造一种数学对象，这种构造物有时看来与题意无关，但实际上恰与问题有内在的联系，而且在某种条件下正是题目所求，或者使我们可以用另一种方法求解问题，这时构造物就成了一种桥梁。

（2）.矩阵的应用要在问题中用上矩阵也必须构造出与问题有某种关系的矩阵，然后才能使用矩阵的性质和定理。

例]8[2. 已知1110,1,1-++===i i i u u u u u （1）。

能不能用一个显式表达n u 呢？解：首先把（1）式用矩阵来表示⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+1110111i i i i i i i u u u u u u u （2） 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+i i i u u U 1,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A 则（2）式为1-=i i AU U ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11010u u U 于是01AU U =， 0212U A AU U ==，0U A U n n =问题转为求n A 。

先求A 的特征值与特征向量，并将A 对角化得1251251-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+=P P A 。

其中⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=11251251P ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+---=-5251515251511P ， 于是1251251-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+=P P A nn所以⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+++++11220125125125125151n n n n n n n n U A u u U 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++1125125151n n n U 。

在此例中引入矩阵作为工具使用了矩阵的性质，得以求出通项。

而用初等数学的方法解的话，则要经过复杂的迭代才能解出此题，不如用矩阵的知识解题一目了然。

（3）.微积分的应用例[]93． 证明：当b a <<0时aab a b l b a b n -<<- 证明：设x l y n =，它在区间[]b a ,满足拉格朗日中值定理的条件，有ξ1=--a b a l b l n n ，b a <<<ξ0，ξab a l b l n n -=-由于a b 111<<ξ，故aab a b b a b -<-<-ξ 即aab a b l b a b n -<<-。

若用初等数学的知识解题便会发现此题几乎无从下手，将不等号两边相减或相除来证都是比较困难的，因为有个对数函数在，而只要用拉格朗日中值定理，则此题便迎刃而解。

例[]44．设()x f y =是定义在区间[]1,1-上的函数，且满足条件： （i ）()()011==-f f ; (ii)对任意的[]1,1,-∈v u 都有()()v u v f u f -≤-.（1） 证明：对任意的[]1,1-∈x ，都有()x x f x -≤≤-11； （2） 证明：对任意的[]1,1,-∈v u ，都有()()1≤-v f u f ； （3） 在区间[]1,1-上是否存在满足题设条件奇函数()x f y =，使得当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0,v u 时，()()v u v f u f -≤-，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21,v u 时，()()v u v f u f -=-.若存在，请举一例；若不存在，请说明理由。

这是03年北京高考理科数学最后一道大题（第20题），是有关抽象函数不等式的证明题，认真分析研究该题中的（2），发现这是一道具有高等数学知识背景的试题，可以将这个问题推广：推广1. 函数()x f 定义在[]b a ,上。

()()b f a f =，且对任意的[]b a x x ,,21∈，都有()()2121x x x f x f -≤-，则必有()()221ab x f x f -≤-. 证明：（i ）当221a b x x -≤-时，由()()22121ab x x x f x f -≤-≤-知，结论成立。

（ii ）当221a b x x ->-时，不妨设21x x <，则221a b x x --<-，从而有 ()()()()()()2121x f b f a f x f x f x f -+-=- ()()()()21x f b f a f x f -+-≤ 21x b a x -+-≤21x b a x -+-= 21x x a b -+-= 2ab a b ---< 2ab -=. 综合可知，总有()()221ab x f x f -≤-。

由试题中函数()x f 满足的条件（ii ）可联想到高等数学中的R.Lipschitz 条件：对于[]b a ,上定义的函数()x f 和正数()10≤<αα，若存在正常数M 使不等式()()α2121x x M x f x f -≤-对[]b a x x ,,21∈都成立，则称函数()x f 在[]b a ,上满足α阶的R.Lipschitz 条件。

显然试题中的函数()x f 满足1阶的R.Lipschitz 条件。

下面进一步将其推广到()x f 满足α阶的R.Lipschitz 条件。

推广2. 函数()x f 定义在[]b a ,上，()()b f a f =，且()x f 满足α阶的R.Lipschitz 条件，即存在正常数M ，使得对于任意的[]b a x x ,,21∈，都有()()α2121x x M x f x f -≤-()10≤<α，则必有()()()ααa b M x f x f -≤--21212. ①证明：(i)当221ab x x -≤-时，若21x x =，则不等式①显然成立。

下设21x x ≠。

由于10≤<α得110<-≤α，2211<≤-α。

于是()()α2121x x M x f x f -≤-ααα⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-2221a b M a b M()ααa b M -=-212(ii)当221a b x x ->-时，不妨设21x x <，则221ab x x --<- 由10<<α知函数αx y =在区间[)+∞,0上是凸函数，于是()()221ααx b a x -+-()()α⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-≤221x b a x ()αα212x x a b -+-=-αα⎪⎭⎫ ⎝⎛---<-22a b a b()ααααa b a b -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--2222，()()αα21x b a x -+-∴()ααa b -<-212 ②显然当1=α时，不等式②也成立。