2012年秋季学期 概率论考题及答案
2012秋概率B答案
浙江农林大学天目学院 2012 - 2013 学年第 一 学期考试卷（B 卷）答案课程名称： 概率论与数理统计 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷注意事项：1、本试卷满分100分。
2、考试时间 120分钟。
一、 单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。
每小题3分，共18分）1.对任意的两个事件A 与B 满足()0,()0P A P B >>，下面条件 ( C )成立时，事件A 与B 一定独立。
（A ）()()()P AB P A P B = ； （B ） ()()()P A B P A P B ⋃=+； （C ）()()P A B P A = ； （D ）()()P A B P B =。
2．若~(2,6)X U ，密度函数为1, 26()0, x f x λ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，则λ= ( C )(A) 14-； (B) 14； (C) 4 ； (D) 4- 。
3．若2()(())D X E X =，则X 服从( C ) （A ）二项分布； （B ）泊松分布； （C ）指数分布； （D ）正态分布。
4．.已知事件,A B 满足()()P AB P A B =⋅，且()0.4P A =，则=)(B P B 。
（A ）0.5； （B ）0.6； （C ）0.7； （D ）不确定 。
。
5．设总体2~(,)X N μσ，其中μ未知，12345,,,,X X X X X 为来自总体X 的一个样本，则以下关于μ的四个估计：1123451ˆ()5X X X X X μ=++++，212341211ˆ5555X X X X μ=+++，3123111ˆ623X X X μ=++，411ˆ5X μ=中，哪一个是最有效的系（部）： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题估计？( A )（A ）1ˆμ； （B ）2ˆμ ； （C ）3ˆμ； （D ）4ˆμ。
社会学概率2012秋季试卷(B)
哈尔滨工业大学 2012 年秋 社会学《概率统计》期末考试试题
题号 分数 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分
一、填空题（每小题 3 分，共 5 小题，满分 15 分） 1． 设事件 A, B, C 两两独立，且 ABC ， P ( A) P ( B ) P (C ) 则 P( A) . 2． 设事件 A, B 独立， P ( A) P ( B )
第 2 页（共 5 页）
试题：
X
四、 （4 分）设离散型随机变量 X 的分布列为
P
2 1 0 1 1 1 3 4 4
1 1 6
，
（1）求 Y X 1 的分布列与分布函数； （2）求 EY , DY .
2
0 五（10 分）随机变量 X ~ 1 4
1 0 , Y ~ 3 1 4 4
E | X C |
（）
5．将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正、反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数 等于 （A） 1 ; （B） 1 ; （C） 0 ; （D）
1 .（ 2
）
三、 （10 分）甲袋中有 2 个白球 3 个黑球，乙袋中有 3 个白球 2 个黑球，从甲袋中取出一个放入 乙袋，再从乙袋中任取一个，若放入乙袋的球和从乙袋中取出的球是同色的，求放入乙袋的是黑 球的概率.
1 5 3 , EXY ， 8 4
求（1） P( X Y 1) ； （2） E min( X , Y ) .
第 3 页（共 5 页）
试题：
1 3 , 2 x 0 六、 （8 分）设随机变量 X 的密度函数 f ( x) A, 1 x B ， 0, 其他 5 分布函数 F ( x) 在 x 2 处的值 F (2) ， 6
2012,2013,2014年概率论与数理统计期末考试试卷答案
2012年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(每题5分, 共30分)1. 设随机变量X 服从正态分布(1,4)N , 已知(1)a Φ=, 其中()x Φ表示标准正态分布的分布函数, 则{13}P X -≤≤=21a -.解: 111311{13}11(1)(1)2222(1)(1(1))2(1)12 1.X X P X P P a -----⎧⎫⎧⎫-≤≤=≤≤=-≤≤=Φ-Φ-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Φ--Φ=Φ-=- 2. 设概率()0.3,()0.5,()0.6P A P B P A B ==+=, 则()P AB = 0.1 . 解: ()()()()0.2P AB P A P B P A B =+-+=,()()()0.30.20.1P AB P A P AB =-=-=.3. 设随机变量,X Y 的数学期望分布是-2, 1, 方差分别是1, 4, 两者相关系数是—0.5, 则由契比雪夫不等式估计(|2|6)P X Y +≥≤ 13/36 . 解: 由已知条件得, (2)2220E X Y EX EY +=+=-+=,(2)4()2(,2)4()4(,)D X Y DX D Y Cov X Y DX D Y Cov X Y +=++=++4()41164(1/2)213DX D Y ρ=++=++⋅-⋅=, 所以, 13(|2|6)36P X Y +≥≤. 4. 已知,X Y 是具有相同分布的两个独立随机变量, 且1(1)(1)2P X P Y =-==-=, 1(0)(0)2P X P Y ====, 则()P X Y == 1/2 . 解:()(0,0)(1,1)1(0)(0)(1)(1).2P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ====+=-=-===+=-=-=5. 设1216,,,X X X 是来自2(0,)N σ的样本, S 是样本均方差, 则1614ii XS=∑服从t (15).解: 由定理3(15)t ,161611(15)4i ii X X X t S ===∑∑.6. 设1281,,,(,9)X X X N μ, 要检验假设0:0H μ=, 则当0H 为真时, 用于检验的统计量3X 服从的分布是(0,1)N . 解: 由定理1(0,1)X N , 3(0,1)X N .二. 解答下列各题:7. (10分)已知男人中色盲人数所占比例是5%, 女人中色盲人数所占比例是0.25%. 现从男女人数各占一半的人群中随机选取一人, 求该人恰是色盲者的概率.解: 设A =“该人是色盲”, 1A =“该人是男人”, 2A =“该人是女人”.由全概率公式知, 2111()()()0.050.0025 2.625%22i i i P A P A P A A ===⨯+⨯=∑.8. (10分) 从只含3红, 4白两种颜色的球袋中逐次取一球, 令1,,0,i X ⎧=⎨⎩第次取出球第次取出白球，i 红i 1,2i =. 实在不放回模式下求12,X X 的联合分布律,4/7 3/7 j P因为1212{0,0}{0}{0}P X X P X P X ==≠==, 所以12,X X 不独立. 9. (10分)设随机向量(,)X Y 的联合概率密度函数为3,01,,(,)20,xx x y x f x y ⎧<<-<<⎪=⎨⎪⎩其他，求,X Y 的边缘概率密度函数. 解: 当01x <<时, 23()(,)32xX x xf x f x y dy dy x +∞-∞-===⎰⎰.所以,23,01,()0,.其他X x x f x ⎧<<=⎨⎩当10y -<<时, 1233()(1)24Y y x f y dx y -==-⎰;当01y ≤<时, 1233()(1)24Y y x f y dx y ==-⎰; 所以,23(1),11,()40,.其他Y y y f y ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩10. (10分) 设,X Y 相互独立, 且(1)(1)0P X P Y p ====>, (0)(0)10P X P Y p ====->,令1,0,X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩当为偶数,当为奇数,求Z 的分布律.解:{0}{0,1}{1,0}{0}{1}{1}{0}2(1)P Z P X Y P X Y P X P Y P X P Y p p ====+=====+===- 22{1}{0,0}{1,1}{0}{0}{1}{1}(1).P Z P X Y P X Y P X P Y P X P Y p p ====+=====+===+- 所以, Z11. (10分12,,X 是来自具有分布的总体的随机样本,试用中心极限定理计算()5P X >.(已知(2)0.508Φ=.)解: 由题知1()3i E X =,2()1i E X =,故()228()9i i i D X EX EX =-=. 由中心极限定理知,20012001600(,)39ii X N =∑. 所以, 11111()4014052005n i n n i i i i i X P X P P X P X ===⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪>=>=>=-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭∑∑∑1200200403311(2)(2)0.508404033n i i X P =⎛⎫-- ⎪ ⎪=-≤≈-Φ-=Φ= ⎪ ⎪⎝⎭∑. 12. (10分)设总体X 的密度函数为36(),0,(;)0,其他,xx x f x θθθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩求θ的矩估计ˆθ并计算ˆD θ.解: 依题意,306()()2xE X xx dx X θθθθ=-==⎰,得参数θ的矩估计量为ˆ2X θ=. 4ˆ4D DX DX n θ==. 而2223063()()10x E X x x dx θθθθ=-=⎰,故22244ˆ()5D DX EX E X n n n θθ==-=.13. (10分) 某电器零件平均电阻一直保持在2.64Ω,使用新工艺后,测得100个零件平均电阻在2.62Ω,如改变工艺前后电阻均方差保持在0.06Ω,问新工艺对零件电阻有无显著影响?(取0.01α=)(1.96)0.975,Φ=(1.64)0.95,Φ=(2.58)0.995Φ=. 解: 设X 为零件的平均电阻, 则2~(,0.06)X N μ. (1)假设0: 2.64H μ=; (2)取统计量~(0,1)X U N=;(3)由0.01α=, 确定临界值22.58u α=, , 使得2{||}0.01P U u α>=;(4)由样本值 2.62x =, 得统计量U 的观察值3.33x u ==≈-.(5)因为 2.58u >,所以拒绝原假设0H ,认为新工艺对零件电阻有显著影响.2013年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(每题4分, 共20分)1. 设随机变量,X Y 相互独立, 且同分布, {1}{1}0.5P X P X =-===,{1}{1}0.5P Y P Y =-===, 则{}P X Y == 1/2 .解: 1{}{1,1}{1,1}{1}{1}{1}{1}.2P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ===-=-+====-=-+===2.22x edx +∞-=⎰2. 解:因为221x +∞--∞=⎰,所以22xe +∞--∞=⎰即2202x e +∞-=⎰. 3. 设连续型随机变量X的密度函数22()2()x f x μσ--=, x -∞<<+∞, 则EX =μ, DX =2σ. 解:因为22()2()x X f x μσ--=, 所以2(,)X N μσ.4. 设总体(3,10)XN , 12100,,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本, 则10011100i i X X ==∑1~(3,)10X N . 解: 由定理1知, 1~(3,)10X N . 5. 设袋中有8个红球, 2个黑球, 每次从袋中摸取一个球并且不放回, 那么第一次与第三次都摸到红球的概率是 28/45 . 解: 记i A =“第i 次摸到红球”, 1,2,3i =.13131223123123()()(())()P A A P A A P A A A A P A A A A A A =Ω=+=+123123121312121312()()()()()()()()P A A A P A A A P A P A A P A A A P A P A A P A A A =+=+876827281098109845=⨯⨯+⨯⨯=. 二. 解答题6. (12分) 某矿内有甲乙两个报警系统, 单独使用时甲的有效性为0.92, 乙为0.93, 且在甲失灵的条件下乙有效的概率为0.85, 求意外发生时, 甲乙至少有一个有效的概率, 以及乙失灵时甲有效的概率. 参考练习册反12第4题. 解: 设A =“甲有效”, B =“乙有效”.题目转为: 已知()0.92,()0.93P A P B ==, {}0.85P B A =, 求()P A B +和{}P A B . 因为()()()(){}0.851()1()()P BA P B A P B P AB P B A P A P A P A --====--, 所以, ()0.862P AB =.所以, ()()()()0.988P A B P A P B P AB +=+-=;()()()()0.920.862{}0.831()1()10.93()P AB P A B P A P AB P A B P B P B P B ---====≈---. 7. (12分)设连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ()F x a b x x =+-∞<<+∞, 求常数,a b 以及随机变量X 的密度函数. 解: 根据分布函数的性质得()1,2()0,2b F a b F a ππ⎧+∞=+=⎪⎪⎨⎪-∞=-=⎪⎩ 所以1,21.a b π⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩X 的密度函数为21()(1)f x x π=+.8. (14分) 设某种类型人造卫星的寿命X (单位: 年)的密度函数为21,0,()20,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩若2颗这样的卫星同时升空投入使用, 试求:(1) 3年后这2颗卫星都正常运行的概率;(2) 3年后至少有1颗卫星正常运行的概率. 参考教材P37例3 解: 1颗卫星3年内正常运行的概率为32231{3}2x P X e dx e +∞--≥==⎰. 记Y 表示2颗卫星在3年内正常运行的颗数, 则32(2,)Y B e -.(1) 3年后这2颗卫星都正常运行的概率2332{2}P Y e e --⎛⎫=== ⎪⎝⎭;(2) 3年后至少有1颗卫星正常运行的概率232{1}1{0}11P Y P Y e -⎛⎫≥=-≥=-- ⎪⎝⎭.9. (14分) 设某高校英语考试成绩近似服从均值为72的正态分布, 96分以上的考生占总数的2.3%(已知满分为100, 合格线为60), 试求: (1) 考生成绩在60-84之间的概率;(2) 该校考生的合格率.((2)0.977,(1)0.8413)Φ=Φ= 解: 设某高校英语考试成绩为X , 则2(72,)XN σ.由题意知{96}0.023P X ≥=, 即7296720.023X P σσ--⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭, 所以241()0.023σ-Φ=, 即24()0.977(2)σΦ==Φ.因此, 12σ=.(1) 考生成绩在60-84之间的概率6072728472{6084}(1)(1)2(1)10.6826;121212X P X P ---⎧⎫≤≤=≤≤=Φ-Φ-=Φ-=⎨⎬⎩⎭(2) 合格率726072{60}1(1)(1)0.8413.1212X P X P --⎧⎫≥=≥=-Φ-=Φ=⎨⎬⎩⎭10. (14分) 一工厂生产的某种电池的寿命服从正态分布(25,100)N , 现在从这种电池中随机抽取16个, 测得平均寿命为23.8小时, 由此能否断定: 在显著性水平为0.05α=时, 该种电池的平均寿命小于25小时. ((1.96)0.975,(1.64)0.95)Φ=Φ= 解: 设X 为电池寿命, 则~(,100)X N μ.(1)假设00:25H μμ≥=; (2)取统计量~(0,1)X U N=;(3) 由0.05α=, 确定临界值 1.64u α-=-, 使得{}0.05P U u α<-=; (4)由样本均值23.8x =, 得统计量U 的观察值00.48u ===-.(5)因为00.48 1.64u =->-,此时没有充分理由说明小概率事件{ 1.64}u <-一定发生. 所以接受原假设0H , 认为这种电池的平均寿命不小于25小时. 注: 原假设不能设为00:25H μμ<=,此时μ取不到0μ,统计量X U =就没有意义了!11. (14分)设总体X 是离散型随机变量, 其所有可能的取值为0, 1, 2, 已知2(1)EX θ=-, 2{2}(1)P X θ==-, θ为参数. 对X 取容量为10的样本如下 1, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 2.求参数θ的矩估计和极大似然估计.解:(1) 由2(1)X θ=-, 得θ的矩估计量为12Xθ=-; 结合 1.1x =, θ的矩估计值为10.452x θ=-=.(2) 构造似然函数为11912101210(){1,1,,2}{1}{1}{2}32(1)L P X X X P X P X P X θθθ=========-,取对数ln ()ln3211ln(1)9ln L θθθ=+-+,求导数(ln ())11901d L d θθθθ=-+=-, 得θ的极大似然估计值为920θ=.2014年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(共40分, 每空5分)1. 设~(,)X B n p , ~(,)Y B m p , 且X 与Y 独立, 则X Y +~(),(p m n B +)分布;2. 设2~(,)X N μσ, 则X 的密度函数()f x =(222)(21σμσπ--x e);3. 设总体X 的方差为2σ, 12,,,n X X X 为样本, X 为样本均值, 则期望211()n i i E X X n =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑(21σn n -); 4. 设12,,,n X X X 为样本, 则统计量211n i i X n =∑的名称为(样本2阶原点矩);5. 设总体~(,1)X N μ, 12,,,n X X X 为来自该总体的样本, 则21()ni i X μ=-∑服从()(2n χ)分布;6. 一批产品中有5个正品, 3个次品, 从中任取2个, 恰有1个次品, 1个正品的概率为(2815281315=C C C );7. 样本的特性是(独立、同分布且与总体分布相同);8. 在假设检验中, 可能犯两类错误. 其中第一类错误也称为弃真, 弃真的确切含义为(当原假设是真的时，拒绝了它). 二. 计算题(60分, 每题10分)1. 假设某贪官收受一次贿赂而被曝光的概率为0.05, 到目前为止共收受80次贿赂, 假设案发前每次收受贿赂是否曝光相互独立. 试用概率说明 “多行不义必自毙”. (取20190.3520⎛⎫≈ ⎪⎝⎭)解：记i A 为事件“第i 次收受贿赂而被曝光”（1,2,,80i），---------------------2 于是案发的概率为 )(801∑=i i A P ------------- ------------- -----------------4 )(1)(1801801∏∏==-=-=i i i i A P A P----------------------6985.035.01)2019(195.0148080=-=-=-=。
概率2012试卷
一、单项选择题(共6小题；每小题3分，共18分)1、设事件A 与B 独立，,5.0)(,4.0)(==B P A P 则=)(AB P （ ）(A) 0.2 (B) 0.1 (C) 0.8 (D) 0.92、掷一枚骰子，事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现1点”，则条件概率)(A B P 为（ ）(A) 21 (B) 31 (C) 61 (D) 32 3、设随机变量X 的分布函数为)(x F ，则下列结论中不一定成立的是 （ ）(A) 0)(=-∞F (B) 1)(=+∞F (C) )(x F 右连续 (D) )()(}{a F b F b x a P -=<<4、设随机变量X 服从均匀分布)1,0(U ，则关于t 的方程02=++X t t 有实根的概率为（ ）(A) 21 (B) 31 (C) 41 (D) 61 5、设随机变量)4,3(~N X ，若数c 使得概率{}{}c X P c X P ≤=>，则=c （ ）(A) 0 (B) 4 (C) 2 (D) 36、设n X X X ,,2,1 是正态总体),(2σμN 的简单随机样本，若∑-=+-1121)(n i i i X X k 是2σ的无偏估计量,则=k （ ）(A) 11-n (B) n 1 (C) )1(21-n (D) n 21 二、填空题（本题6空 ,每空3分,共18分 ）1、设X 的分布律为X 0 1 2 3概率 a 0.1 0.5 a则数a = .2、设随机变量X 服从二项分布：)4.0,100(~b X ；随机变量Y 服从均匀分布：)8,2(~U Y ；X 与Y 相互独立，则方差=+)2(Y X D .3、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0,102)(其它，x x x f ，则X 的期望()E X = ． 4、已知随机变量X 、Y 满足关系式732=+Y X ，则相关系数=XY ρ .5、设n X X X ,,2,1 是正态总体),(2σμN 的样本；若2σ已知，则μ的置信水平为90%的置信区间为 . 6、设总体X 服从标准正态分布：)1,0(~N X ；n X X X ,,2,1 为总体X 的一组简单随机样本,X 与2S 分别是样本均值与样本方差，则~)(12∑=-ni i X X 分布． 三、计算题(本题4小题,每题8分，共32分 )1、（8分） 盒中有10个白球，6个红球，4个人依次从袋中取一只球,（1）作放回抽样；（2）作不放回抽样. 求第4个人取到白球的概率．2、（8分）某银行将客户分为A 、B 、C 三种类型，他们所占比例分别为30%、60%和10%，他们能及时还贷的概率分别为80%、90%和100%；现随机抽取一客户，问:（1）该客户能及时还贷的概率是多少；（2）若已知某客户及时还贷，问他是A 类客户的概率是多少.3、（8分）某药品对某疑难病的治愈率为80%，检验员随机抽查了100个服用此药品的病人，试用中心极限定理估算这些病人中有不少于75人治愈的概率.(933.0)5.1(,908.0)33.1(,894.0)25.1(=Φ=Φ=Φ)4、（8分）甲、乙两人独立地各进行两次射击，甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求（X ，Y ）联合分布律以及X 和Y 的边缘分布律。
2012―2013学年第二学期概率论与数理统计试卷(本科及专升本)
第 1 页 共 3 页一、单项选择题（每小题3分，共21分）1．对于事件B A ,，若∅=B A ，则下列说法中正确的是 （ ） A 、B A ,为对立事件B 、0)(=A P 或0)(=B PC 、B A ,互不相容D 、B A ,独立2．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列说法中错误的是 （ ） A 、)(x F 是不减函数B 、)(x F 必为),(+∞-∞上的连续函数C 、0)(=-∞FD 、1)(≤x F3．设连续型二维随机变量的联合概率密度函数为),(y x f ，则必有 （ ）A 、1),(0≤≤y x fB 、),(y x f 为xOy 平面上的连续函数C 、1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f D 、1),(=+∞+∞f4．设Y X ,是两个随机变量，则下式中一定成立的是 （ ）A 、)()()(Y E X E Y X E +=+B 、)()()(Y E X E XY E =C 、)()()(YD X D Y X D +=+ D 、)()()(Y D X D XY D =5．随机变量 n X X X ,,,21 相互独立，服从同一分布，且具有期望和方差，0)(,)(2>==σμk k X D X E ，当n 充分大时，近似服从)1,0(N 的是 （ ）A 、σμn n Xnk k∑=-1B 、21σμn n Xnk k∑=-C 、σμn n Xnk k∑=-1D 、21σμn n Xnk k∑=-6．设4321,,,X X X X 是来自均值为θ的指数分布的样本，其中θ未知， 以下估计量中哪个不是θ的无偏估计量？ （ ） A 、443211X X X X T +++=B 、722343211X X X X T +++=C 、3643211X X X X T +++=D 、5243211X X X X T +++= 7．对于一个原假设为0H 的假设检验问题，有可能犯的第一类错误是指（ ）A 、0H 成立时，检验结果接受0HB 、0H 成立时，检验结果拒绝0HC 、0H 不成立时，检验结果接受0HD 、0H 不成立时，检验结果拒绝0H二、填空题（每小题3分，共24分）1．设C B A ,,为三个事件，则事件“C B A ,,都不发生” 可以用C B A ,,的运算关系表示为 ．2．10片药片中有5片是安慰剂，从中任取2片，其中至少有1片是安慰剂的概率为 ．3．三人独立地去破译一份密码，各人能译出的概率分别为3.0,2.0,1.0， 三人中至少有一人能将此密码译出的概率为 ．第 2 页 共 3 页4．一射击运动员每次射击命中的概率为7.0，以X 表示他首次命中时 累计已射击的次数，则{}3=X P 为 ．5．随机变量X 在4,3,2,1中等可能地取一个值，随机变量Y 在X ~1中 等可能地取一个整数值，则{}4=Y P 为 ． 6．随机变量)2,0(~U X ，则=)(X D ． 7．总体)6(~2χX ，1021,,,X X X 是来自X 的样本，则=)(X D．8．设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，X 是样本均值， 则~X ．三、解答题（第1题8分，第2题9分，共17分）1．对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为80%，而当机器发生某种故障时，产品的合格率为30%．每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为90%．（1）求每天早上第一件产品是合格品的概率；（2）若某天早上第一件产品是合格品，求此时机器调整良好的概率．2．设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=其它,031,10,1)(x kxx xx f（1）确定常数k ； （2）求()20<<X P ．四、解答题（第1题10分，第2题10分，共20分）1．设随机变量X 与Y 的联合分布律为 求：（1）常数a 值；（2）X 与Y 是否独立？为什么？(3) 设Y X Z +=，求Z 的分布律．第 3 页 共 3 页X （以年计）服从指数分布，概率密度为⎪⎪≤>-0,00,313x x e x．1000800元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望．五、解答题（第1题8分，第2题10分，共18分）X 具有分布律 )1<<θ为未知参数．,2,1,3321===x x x 求θ的矩估计值．2．某批铁矿石的9个样品中的含铁量，经测定为（%）35 36 36 38 38 39 39 40 41设测定值总体服从正态分布，但参数均未知， （1）求样本均值和样本标准差；（2）在01.0=α下能否接受假设：这批铁矿石的含铁量的均值为39%？ （3554.3)8(005.0=t ）。
2012年全国自考概率论与数理统计试卷有答案的
1.已知事件A ，B ，A ∪B 的概率分别为0.5，0.4，0.6，则P (A B )=B.0.22.设F(x)为随机变量X 的分布函数，则有C.F (-∞)=0，F (+∞)=13.设二维随机变量(X ，Y )服从区域D ：x 2+y 2≤1上的均匀分布，则(X ，Y )的概率密度为D.1(,)0,x y D f x y π⎧∈⎪=⎨⎪⎩，（,）,其他 4.设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则E (2X －1)= A.0 5.设二维随机变量(X ，Y )的分布律则D (3X )= B.26.设X 1，X 2X n …为相互独立同分布的随机变量序列，且E (X 1)=0，D (X 1)=1，则1lim 0n i n i P X →∞=⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭∑ A.07.设x 1,x 2，…，x n 为来自总体N (μ，σ2)的样本，μ，σ2是未知参数，则下列样本函数为统计量的是D.211n i i x n =∑8.对总体参数进行区间估计，则下列结论正确的是B.置信度越大，置信区间越短 9.在假设检验中，H 0为原假设，H 1为备择假设，则第一类错误是B.H 0成立，拒绝H 0 10．设一元线性回归模型：201(1,2,),~(0,)ii i i y x i n N ββεεσ=++=…,且各i ε相互独立.依据样本(,)(1,2,,)i i x y i n =…得到一元线性回归方程01ˆˆˆy x ββ=+，由此得i x 对应的回归值为ˆi y ，i y 的平均值11(0)ni i y y y n ==≠∑，则回归平方和S 回为C ．21ˆ(-)nii yy =∑11.设甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲、乙击中目标的概率分别为0.8，0.5，则甲、乙两人同时击中目标的概率为_0.4. 12.设A ，B 为两事件，且P (A )=P (B )=13，P (A |B )= 16，则P (A |B )=7/12. 13.已知事件A ，B 满足P (AB )=P (A B )，若P (A )=0.2，则P (B )= 0.8 .14.设随机变量X 的分布律 则a =0.1.15.设随机变量X ～N (1，22)，则P {-1≤X ≤3}=0.6826.(附：Ф(1)=0.8413)16.设随机变量X 服从区间[2，θ]上的均匀分布，且概率密度f (x )=1,240,x θ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩，其他，X 1 2 3 4 5 ，P2a0.10.3a0.3则θ=6.17.设二维随机变量(X，Y)的分布律YX0 1 20 0.1 0.15 01 0.25 0.2 0.12 0.1 0 0.1 则P{X=Y}=_0.4.18.设二维随机变量(X，Y)～N(0，0，1，4，0)，则X的概率密度f X (x)=___________.19.设随机变量X～U(-1，3)，则D(2X-3)= 16/3.20.设二维随机变量(X，Y)的分布律YX-1 1-1 0.25 0.251 0.25 0.25则E(X2+Y2)=_2.21.设m为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p为事件A的概率，则对任意正数ε，有limnmP pnε→∞⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭=1.22.设x1，x2，…，x n是来自总体P(λ)的样本，x是样本均值，则D(x)=入/n.23.设x1，x2，…，x n是来自总体B(20，p)的样本，则p的矩估计ˆp=_.24.设总体服从正态分布N(μ，1)，从中抽取容量为16的样本，uα是标准正态分布的上侧α分位数，则μ的置信度为0.96的置信区间长度是_________.25.设总体X～N(μ，σ2)，且σ2未知，x1，x2，…，x n为来自总体的样本，x和S2分别是样本均值和样本方差，则检验假设H0:μ =μ0;H1:μ≠μ0采用的统计量表达式为_________.26.一批零件由两台车床同时加工，第一台车床加工的零件数比第二台多一倍.第一台车床出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06.(1)求任取一个零件是合格品的概率；（1）依题意知某一台车床加工的零件数占有率为2/3第二台车床位1/3，故另取一个零件是合格品的概率位，2/3*(1-0.03)+1/3*(1-1.06)=0.96(2)如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率.（2）取出的零件是不合品格的概率为2/3*0.03+1/3*0.06=0.04，它是由第二台车床加工的概率为0.04/0.06=0.6727.已知二维随机变量(X，Y)的分布律Y -1 0 1X0 0.3 0.2 0.11 0.1 0.3 0求：(1)X和Y的分布律；(2)Cov(X，Y).28.某次抽样结果表明，考生的数学成绩(百分制)近似地服从正态分布N(75，σ2)，已知85分以上的考生数占考生总数的5％，试求考生成绩在65分至85分之间的概率.P（65≤X≤85）=∮(（85-75）/6)－∮((65-75)/6)＝2∮(10/6)-1所以P(85>)=0.05所以P(x<=85)=∮（10/6）=0.95Suoyi p(65<=x<=85)=2*0.95-129.设随机变量X服从区间[0，1]上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，且X与Y相互独立.求：(1)X及Y的概率密度；x的概率密度为f（x）=1 (0<=x<=1);f(x)=0,其他(2)(X，Y)的概率密度；因为x 为y相互独立，所以（x,y）的概率密度为f(x,y)=e^-y (0<=x<=1,y>0);f(x,y)=0,其他(3)P{X>Y}.p(x>y)=1-1/e30.某种产品用自动包装机包装，每袋重量X～N(500，22)(单位：g)，生产过程中包装机工作是否正常要进行随机检验.某天开工后抽取了9袋产品，测得样本均值x=502g. 问：当方差不变时，这天包装机工作是否正常(α=0.05)?(附：u0.025=1.96)假设H0：u=u0；H1：u不等于u0 统计量V=3在a=0.05下，把域问|u|>=u1-a/2=1.96 经计算的u=3>1.96 拒绝H0，即包装不正常。
2012概率论与数理统计期末试题含详解
2012概率论与数理统计期末试题含详解概率论与数理统计⼀、填空题（每题4分，共20分） 1、假设事件A 和B 满⾜1)(=A B P ，则A和B 的关系是_______________。
2、设随机变量)(~λπX ，且{}{},21===X P X P 则{}==k X P _____________。
3、设X服从参数为1的指数分布，则=)(2X E ___________。
4、设),1,0(~),2,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独⽴，则~Y X Z-=___________。
5、),16,1(~),5,1(~N Y N X且X 与Y 相互独⽴，令12--=Y X Z，则=YZ ρ____。
⼆、选择题（每题4分，共20分）1、将3粒黄⾖随机地放⼊4个杯⼦，则杯⼦中盛黄⾖最多为⼀粒的概率为（）A、323B、83C、161 D、812、随机变量X 和Y 的,0=XY ρ则下列结论不正确的是（）A、)()()(Y D X D Y XD +=-B、a X-必相互独⽴C、X 与Y 可能服从⼆维均匀分布D、)()()(Y E X E XY E =3、样本nX X X ,,,21 来⾃总体X ，,)(,)(2σµ==X D X E 则有（）A、2iX)1(n i ≤≤都是µ的⽆偏估计B、X 是µ的⽆偏估计C、)1(2n i X i ≤≤是2σ的⽆偏估计 D、2X 是2σ的⽆偏估计4、设nX X X ,,,21 来⾃正态总体),(2σµN 的样本，其中µ已知，2σ未知，则下列不是ini X ≤≤1minB、µ-XC、∑=ni iX 1σD、1X X n-5、在假设检验中，检验⽔平α的意义是（） A 、原假设0H 成⽴，经检验被拒绝的概率B、原假设0H 不成⽴，经检验被拒绝的概率C 、原假设0H 成⽴，经检验不能拒绝的概率 D、原假设0H 不成⽴，经检验不能拒绝的概率三、计算题（共28分）1、已知离散型随机变量的分布律为求：X 的分布函数，（2）)(X D （5分）2、已知连续型随机变量X 的分布函数为),(,arctan )(∞-∞∈+=x x B A x F 求（1）常数A 和B ，（2）)11(<<-X p ，（3）概率密度)(x f （8分）3、设随机变量321,,X X X 相互独⽴，其中21],6,0[~X U X 服从21=3(~3πX ，计算)32(321X X X D +-。
2012秋季期概率I试卷标准答案127
北方工业大学《概率论与数理统计I 》课程试卷答案及评分标准A 卷2012年秋季学期开课学院： 理学院考试方式：闭卷考试时间：120 分钟班级 姓名 学号 注意事项：1.最后一页可以撕下作稿纸，但不能把试卷撕散，撕散试卷作废。
2.可以使用简易计算器，但不可使用有存储功能的文曲星、掌上电脑等，否则视为作弊。
一、填空题：（每题4分，共20分）1. 设A 与B 为互斥事件，()0>B P ，则()=B A P 02. 设随机变量 ),(~p n B X 且 4.2=EX ，44.1=DX ，则 =n 6 ，=p 0.4 。
3. 已知)1,0(N ~X ，则}0X {P >= 0.5 。
4. 设22,),,(~σμσμN X 均未知,样本容量为n ，样本方差为2s , 2σ的95%的置信区间为 ()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11,112222212n s n n s n ααχχ。
5. 设随机变量4321X ,X ,X ,X 相互独立，服从相同的正态分布),(N 2σμ，则)X 2X X 2X X X X X (21Y 4321242322212--+++=σ服从 )2(2χ 分布。
二、选择题（每题4分，共20分）1. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量Y X 23-的方差是 （C ）订线装（A ） 8 （B ） 16 （C ） 34 （D ） 442.随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则()C X E X P ==)}({。
（A ）1-e （B ）121-e（C ）22-e（D ）221-e3. 设X 服从)(n t 分布, a X P =>}|{|λ，则}{λ-<X P 为 (A ) 。
（A ）a 21 （B ） a2 （C ）a +21 （D ） a 211-4. 为使⎩⎨⎧≥=+-其他,00,,),()43(y x Ke y x f y x 为二维随机向量()Y ,X 的联合密度,则K 必为（ C ） 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
哈工大 2012年秋季学期概率论与数理统计 试题一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设事件A 、B 相互独立，事件B 、C 互不相容，事件A 与C 不能同时发生，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A ，B 和C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为__________ ．2．设随机变量X 服从参数为2的指数分布， 则21e X Y-=-的概率密度为()Y f y =______ ____．3．设随机变量X 的概率密度为21e ,0()20, 0xx x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，利用契比雪夫不等式估计概率≥<<)51(X P ______．4．已知铝的概率密度2~(,)X N μσ，测量了9次，得 2.705x =，0.029s =，在置信度0.95下，μ的置信区间为______ ____．5．设二维随机变量(,)X Y 服从区域{(,)|01,02}G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，令),min(Y X Z =，),max(Y X W =, 则)1(≥+W Z P = ．（0.0250.050.050.025(8)23060,(8)18595,(9) 1.8331,(9) 2.2622t t t t =⋅=⋅==()1.960.975Φ=，()1.6450.95Φ=)二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内）1．设0()1, 0()1, ()()P A P B P B A P B <<<<=，则与上式不等价的是（A ）A 与B 不相容. （B ）()()P B A P B A =.（C ）)()(A P B A P =. （D ）)()(A P B A P =． 【 】2．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，12,,,n X X X 是来自X 的样本，X 为样本均值，则 （A ）1EX λ=，21DX n λ=． （B ）,λ=X E n X D λ=． （C ）,nX E λ=2n X D λ=． （D ）,λ=X E λn X D 1=． 【 】 3．设随机变量X 的概率密度为2, 01()0, x x f x <<⎧=⎨⎩其他，则)2(DX EX X P ≥-等于（A）99-. （B）69+. （C ）928-6. （D）69-． 【 】 4．如下四个函数，能作为随机变量X 概率密度函数的是（A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0,00,11)(2x x x x f . （B ）0,157(),1116160, 1x f x x x x <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩.（C ）1()e ,.2xf x x -=∈R . （D ）1e ,0()0,0x x f x x -⎧->=⎨≤⎩ . 【 】5．设12,,,n X X X 为来自总体2~(,)X N μσ的一个样本，统计量2)(1μ-=X Sn Y 其中X 为样本均值，2S 为样本方差，则 【 】 （A ）2~(1)Y x n -（B ）~(1)Y t n -（C ）~(1,1)Y F n - （D ）~(1,1)Y F n -．三、（8分）假设某段时间内来到百货公司的顾客数服从参数为λ的Poisson 分布，而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率均为p ，且顾客之间是否购买电视机相互独立，试求=A “该段时间内百货公司售出k 台电视机”的概率（假设每顾客至多购买一台电视机）。
四、（8分）设随机变量[]~0,1X U ，求（1）241Y X X =-+的概率密度()Y f y ；（2）X 与Y 的相关系数XY ρ.五、（8分）设随机变量X 和Y 的分布列分别为X 0 1 Y —1 0 1P 1/3 2/3 P 1/3 1/3 1/3且1)(22==Y X P ，求（1）二维随机变量),(Y X 的概率分布；（2）XY Z =的概率分布；（3）X 与Y 的相关系数XY ρ.六、（12分）设随机变量X 与Y 相互独立,且分别服从正态分布)2,(σμN 和)22,(σμN ,其中σ为未知参数且0σ>. 记Y X Z -=.（1）求的概率密度Z 2(;)f z σ；（2）设12,,,n Z Z Z 为来自总体Z 的简单随机样本, 求2σ的最大似然估计2σ∧;（3）证明2σ∧是2σ的无偏估计量。
七、（4分）在x 轴上的一个质点可以在整个数轴的整数点上游动，记n S 为时刻n 时质点的位置。
若在时刻0t =时，处于初始位置为原点，即00S =，它移动的规则：每隔单位时间，它总是收到一个外力的随机作用，使位置发生变化，分别以概率p 及概率1q p =-向正的或负的方向移动一个单位（直线上无限制的随机游动）。
求质点在时刻n 时处于位置k 的概率，即求()n P S k =.2012年概率期末答案一、 填空题：（15分）1.0.452.()⎩⎨⎧≤≤=其它,010,1y y f Y 3.41. 4.）（8.2,6.2.5．41二、选择题：（15分）1A 2B 3D 4C 5C三、解：设iA 表示这段时间内到达百货公司的顾客数() ,2,1,0=i利用全概率公式： ++++=A A A A A A A k 10()()()()()0i i i i i i kP A P A P A A P A P A A ∞∞====∑∑ (()0,0)i P A A i k =≤< 4分 ()ki k k i ki ip p C e i --∞=-⋅=∑1!λλ()()()()()()∑∑∞=---∞=---⋅=--⋅⋅=ki k i kk i kki ik i p k p e p p k i k i ei !1!1!!!!λλλλλ()()()()()()∑∞=----=⋅⋅=-⋅==-om p k p kmk ek p ee k p m p p k e p mk i λλλλλλλλ!!!1!1 ),2,1,0( =k 4分四、解：（1）分布函数方法：含f d Y ⋅与()y F YR y ∈∀，()()()y X X P y Y P y F Y ≤+-=≤=142()()322+≤-=y X P又]1.0[∈x ∴()4212≤-≤x 同样431≤+≤y∴12≤≤-y 于是当2-<y 时，()0=y F Y 当1>y 时，()1=y F Y 当12≤≤-y 时，()()()322+≤-=y X P y F Y()3232++≤≤+-=y X y P ()()321132++≤≤+≤≤+-=y X P X y P()130321-+=++--=y y∴()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--+-<=1,112,132,0y y y y y F Y ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+=其它,012,321y y y f Y或公式法：142+-=x x y ↙严格()()()121.0,022≤≤-∈<-='y x x y其反函数()y y h x +-==32 ()12≤≤-y ()yy h x +-='='3214分从而有：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+='=其它,12,321y yy h y h f y f X Y 分（2）223441, 345EY EX EX DY =-+=-= 2分 （3）114XY ρ==-=- 2分五、解：（I ）由题设有：0)(1)(2222==-=≠Y X P Y X P而)()0,1(),1,0(22Y X Y X Y X ≠⊂==±==所以利用概率的非负性和保序性：0)Y 1,P(X 01)Y 0,P(X ====±==再利用联合分布和边缘分布之间的关系可得联合分布列4分）（∏.Z=XY 的分布列为：31)1,1()1(31)1,1()1(310)Y 0,P(X 0)Y 1,P(X 1)Y 0,P(X 0)P(Z =-===-========++==+±====Y X P Z P Y X P Z P2分 （)I∏)031131)1(31).(132031()1(31131031),(=⨯+⨯+-⨯⨯+⨯--⨯+⨯+⨯=-=EXEY EXY Y X COV 0320031)1(31131)(,92)32(32)(222222222>=-⨯+-⨯+⨯=-==-=-=EY EY DY EX EX DX 所以 0=ρ2分六、解：（I ）由题设：Y -X Z =服从正态分布且)3,0()2,(~222σσσμμN N Z =+- Z ∴的概率密度为：2262321)f(z,σσπσz e-=4分（II ）似然函数2262226121)()6(321);,,L(z σσσπσπσi i z n nz ni n eez ----===∏取对数：2226262σσπi z Ln n Ln n LnL ---=令42226120σσσi z n LnL +⨯-==∂∂，解得：=2σ∑=n i i z n 1231 ∴2σ的极大似然估计为=∧2σ∑=n i i z n 1231 4分（III ）由题设知：n z z z ,,,21 独立且与总体Z 同分布E ∴=∧2σE 2212123313131σσ=⨯⨯=⨯=∑∑==n nEz n z n ni in i i 于是=∧2σ∑=n i i z n 1231为2σ的无偏估计。
4分七、解： 为使质点在时刻t=n 时位于k 位置（k 也可以是负值）⇔在前n 次游动中向右移动的次数比向左移动的次数多k 次，若以x 表示它在前n 次游动中向右移动的次数，y 表示向左移动的次数，则有：⎩⎨⎧==+ky -x ny x 2分 即,2kn x +=因为x 是整数，所以k 与n 必须具有相同的奇偶性。
事件{}k =n S 发生相当于要求在前n 次游动中有2k n +次向右，2kn -次向左，利用二项分布即得{}222n S P k n k n k n nqpCk -++==当k 与n 奇偶性相反时，其概率为0 2分七、解： 为使质点在时刻t=n 时位于k 位置（k 也可以是负值）⇔在前n 次游动中向右移动的次数比向左移动的次数多k 次，若以x 表示它在前n 次游动中向右移动的次数，y 表示向左移动的次数，则有：⎩⎨⎧==+ky -x ny x 2分 即,2kn x +=因为x 是整数，所以k 与n 必须具有相同的奇偶性。
事件{}k =n S 发生相当于要求在前n 次游动中有2k n +次向右，2kn -次向左，利用二项分布即得{}222n S P k n k n k n nq p Ck -++==当k 与n 奇偶性相反时，其概率为0 2分。