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昌平区-初三上期末数学试题及答案

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2020-2021学年北京市昌平区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年北京市昌平区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年北京市昌平区九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是()A. 以OA为半径的圆B. 以OB为半径的圆C. 以OC为半径的圆D. 以OD为半径的圆2.下列运算正确的是()A. −b+1a =−b+1aB. 0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3bC. 6a+13=2a+1 D. x−yx+y=y−xy+x3.抛物线y=−5x2不具有的性质()A. 开口向下B. 对称轴是y轴C. 与y轴不相交D. 顶点在原点4.(2016秋⋅江岸区期中)如图，△ABC内接于⊙O，AB是的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交于E，交AB于点D.连接AE，则S△CDB：S△ADE的值等于()A. 3：2B. √3：1C. 2：1D. √2：15.若将抛物线y=x2−3向上平移5个单位长度，则得到的新抛物线的顶点坐标为()A. (0,2)B. (0,−8)C. (5,−3)D. (−5,−3)6.2017年9月中俄“海上联合−2017”联演第二阶段演习在俄罗斯符拉迪沃斯托克举行，位于O点处的军演指挥部观测到军舰位于点O的北偏东方向，同时观测到军舰B位于点O处的南偏西方向，那么∠AOB的大小是()A. 85°B. 105°C. 115°D. 125°7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D是斜边AB的中点，以AD、CD为边的▱ADCE的面积为24，则sin∠EAD的值为()A. 2425B. 45C. 34D. 12258.如图，在直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点B、C在x轴正半轴上，且∠BAC=∠ACB=30°，AC=4，点D是x轴上的一个动点，点D关于直线AB、AC的对称点为E、F，则线段EF的最小值等于()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：x…−2−101234…y…11a323611…由此判断，表中a=______ ．10. 如图，A、B是反比例函数y=4x的图象上两点，过点A作AC⊥x轴于点C(2,0)，点B的横坐标是4，则△ABO的面积是______．11. 如果一个正n边形的每个内角为108°，那么这个正n边形的边数为______．12. 如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边上的中点，则△AFD和△EFB的周长之比为．13. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为121，则BE=______ ．14. 如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为(2,2√3)，直线AB为⊙O的切线，B为切点.则B点的坐标为______ ．15. 如图，将顶点为P(1,−2)，且过原点的抛物线y的一部分沿x轴翻折并向右平移2个单位长度，得到抛物线y1，其顶点为P1，然后将抛物线y1沿x轴翻折并向右平移2个单位长度，得到抛物线y2，其顶点为P2，…，如此进行下去，直至得到抛物线y2017，则点P2017坐标为______．16. 二次函数y=x2+x+1与y轴交点的坐标为______．三、解答题（本大题共9小题，共52.0分）17. cos45°tan30°−tan45°18. 如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE//CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．(1)求证：PE是⊙O的切线；(2)求证：ED平分∠BEP；(3)若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．19. 如图，抛物线y=ax2+2ax−3a(a>0)交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的顶点为D．(1)填空：抛物线的对称轴为______，点A的坐标为______；点B的坐标为______；(2)若△ADC的面积为3，求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，当m≤x≤m+1，y的取值范围是−4≤y≤2m，求m的值．20. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD，DE．(1)若ADAB =13，求sinC；(2)求证：DE是⊙O的切线．21. 在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB为20m，求塑像的高度CF.(结果保留根号)22. 如图1，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．(1)求矩形对角线的长；(2)如图2，若AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE.请直接写出图中除等边三角形外的所有等腰三角形．23. (8分)已知二次函数y=+x+4(1)试确定抛物线的开口方向，顶点和对称轴；(2)说明该抛物线怎样由抛物线y=平移得到．24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+mx+n−1的对称轴为x=2．(1)m的值为______ ；(2)若抛物线与y轴正半轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，当△OAB是等腰直角三角形时，求n的值；(3)点C的坐标为(3,0)，若该抛物线与线段OC有且只有一个交点，求n的取值范围．25. 在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为AD⏜上−点，且AF⏜=BC⏜连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．(1)判断DB与DA的数量关系，并说明理由；(2)求证：△BCD≌△AFD；(3)若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．参考答案及解析1.答案：D解析：解：∵OD⊥a于D，∴以点O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切．故选：D．根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.若直线l和⊙O相交⇔d<r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d>r．2.答案：B解析：解：A、−b+1a =−b−1a，错误；B、0.5a+b0.2a−0.3b =5a+10b2a−3b，正确；C、6a+13=2a+13，错误；D、x−yx+y =−y−xx+y，错误；故选B．3.答案：C解析：解：因为a<0，所以开口向下，顶点坐标(0,0)，对称轴是y轴，有最高点是原点．故选：C．此题应从二次函数的基本形式入手，它符合y=ax2的基本形式，根据它的性质，进行解答．此题主要考查y=ax2形式二次函数的基本性质，比较基础，但也是中考中热点问题．4.答案：A解析：解：连接EB，设AC=x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠AEB=90°，∵∠B=30°，∴AB=2AC=2x，由勾股定理得，BC=√AB2−AC2=√3x，∵CE平分∠ACB，∴EA⏜=EB⏜，∴EA=EB=√22AB=√2x，∵∠EAD=∠BCD，∠ADE=∠CDB，∴△ADE∽△CDB，∴S△CDB：S△ADE=(BCAE )2=32，故选：A．连接EB，设AC=x，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据直角三角形的性质用x表示出AB、BC，证明△ADE∽△CDB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5.答案：A解析：解：将抛物线y=x2−3向上平移5个单位长度，则所得到抛物线为：y=x2+2．则平移后的抛物线的顶点坐标为：(0,2)．故选：A．直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出顶点坐标．本题考查了二次函数图形与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．6.答案：D解析：解：∠AOB=90°−70°+90°+15°=125°．故选：D．利用方向角的定义求解即可．本题主要考查了方向角，解题的关键是正确理解方向角．7.答案：A解析：解：∵▱ADCE的面积为24，∴S△ACD=12S平行四边形ADCE=12，∵点D是斜边AB的中点，∴S△ABC=2S△ACD=24，∵∠ACB=90°，BC=6，∴12AC⋅6=24，∴AC=8，∴AB=√AC2+BC2=√82+62=10，∴CD=AD=BD=12AB=5，∵S△ABC=12AB⋅CF=12×10CF=24，∴CF=245，∵AE//CD，∴∠EAD=∠CDF，∴sin∠EAD=sin∠CDF=CFCD =2425，故选：A．根据平行线的性质得出△ADC的面积为12，进而利用三角形的中线性质得出△ABC的面积为24，进而得出AC的值，过C作CF⊥BD于点F，利用三角形面积公式求得CF，再求得DC，便可求得结果．本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形的面积公式，三角形的中线性质，关键是作辅助线构造直角三角形．8.答案：A解析：解：如图，连接AD，AE.AF．由题意，AD=AE=AF，∠DAB=∠BAE，∠DAC=∠CAF，∵∠BAC=∠ACB=30°，AC=4，∠AOC=90°，∴OA=1AC=2，∠OAC=60°，∠CAE+∠EAB=30°，2∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=∠CAE+∠CAE+∠DAE=2(∠CAE+∠BAE)=60°，∵AE=AF，∴△AEF是等边三角形，轨迹垂线段最短可知，当点D与O重合时，AD的值最小，∴AE的最小值=OA=2，∴EF的最小值为2，故选：A．如图，连接AD，AE.AF.证明△AEF是等边三角形，再利用垂线段最短即可解决问题．本题考查轴对称，坐标与图形的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△AEF是等边三角形，属于中考选择题中的压轴题．9.答案：6解析：解：由上表可知函数图象经过点(0,3)和点(2,3)，=1，∴对称轴为x=0+22∴x=−1时的函数值等于x=3时的函数值，∵当x=3时，y=6，∴当x=−1时，a=6．故答案为：6．确定二次函数的对称轴，利用二次函数的对称性即可求解．本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称轴是解决此题的关键．10.答案：3解析：解：作BD⊥x轴于D，×4=2，∵S△AOC=12OC⋅AC=2，∴12∵OC=2，∴AC=2，∵点B的横坐标是4，=1∴代入解析式得：y=44∴点B(4,1)，∴S△ABO=S△AOC+S梯形ABDC −S△BOD=S梯形ABDC=12(2+1)(4−2)=3故答案为：3．利用反比例函数k的几何意义，求得A的横坐标进而根据图象上点的坐标特征求得点B的坐标，然后根据即S△ABO=S△AOC+S梯形ABDC−S△BOD=S梯形ABDC可得出结论．本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是求得交点坐标，利用S△ABO=S△AOC+S梯形ABDC−S△BOD=S梯形ABDC解答．11.答案：5解析：解：由题意得，(n−1)×180°n=108°，解得，n=5，故答案为：5．根据多边形的内角和公式列出算式，计算即可．本题考查的是多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．12.答案：2：1解析：试题分析：由于四边形ABCD是平行四边形，所以得到BC//AD、BC=AD，而BE：BC=1：2，由此即可得到△AFD∽△EFB，它们的相似比为2：1，最后利用相似三角形的性质即可求解．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//AD、BC=AD，∵E是BC边上的中点，∴BE：BC=1：2，∴BE：AD=1：2，∵AD//BC，∴△AFD∽△EBF，且它们的相似比为2：1，∴△AFD和△EFB的周长之比为2：1，故答案为2：1．13.答案：11解析：解：过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，∵∠FBC+∠CBE=90°，∠ABE+∠EBC=90°，∴∠FBC=∠ABE，在△BCF和△BEA中{∠F=∠AEB∠CBF=∠ABE BC=AB，∴△BCF≌△BEA(AAS)，则BE=BF，∵∠BED=∠F=∠D=90°，∴四边形BEDF是矩形，∵BE=BF，∴四边形BEDF是正方形，∴S四边形ABCD =S正方形BEDF=121，∴BE=11，故答案为11．运用割补法把原四边形转化为正方形，求出BE的长．本题考查了全等三角形的判定和性质，运用割补法把原四边形转化为正方形，其面积保持不变，所求BE就是正方形的边长；也可以看作将三角形ABE绕B点逆时针旋转90°后的图形．14.答案：(2,0)或(−1,√3)解析：解：如图1，直线AB为⊙O的切线，∴AB⊥OB，∵圆半径为2，点A的坐标为(2,2√3)，∴B点坐标为(2,0)；如图2，连接OA，OB，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∵⊙O的半径为2，点A的坐标为(2,2√3)，即OC=2，∴AC是圆的切线．∵点A的坐标为(2,2√3)，∴OA=√22+(2√3)2=4，∵BO=2，AO=4，∠ABO=90°，∴∠AOB=60°，∵OA=4，OC=2，∠ACO=90°，∴∠OAC=30°，∴∠AOC=60°，∠AOB=∠AOC=60°，∴∠BOD=180°−∠AOB−∠AOC=60°，∴OD=1，BD=√3，即B点的坐标为(−1,√3).综合以上可得，点B的坐标为(2,0)或(−1,√3).故答案为：(2,0)或(−1,√3).分两种情况画出图形，由切线的性质及直角三角形的性质可求出答案．本题考查了切线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．15.答案：(4035,2)解析：解：第一次变换平移点的坐标是(3,2)，第二次变换平移点的坐标是(5,−2)，第三次变换平移点的坐标是(7,2,)第n次平移变换点的横坐标是2n+1，偶数次变换平移点的纵坐标是−2，奇数次变换平移点的坐标是2，点P2017坐标为(4035,2)，故答案为：(4035,2)．根据图形的变换，可得规律：第n次平移变换点的横坐标是2n+1，偶数次变换平移点的纵坐标是−2，奇数次变换平移点的坐标是2，可得答案．本题考查了二次函数图象与几何变换，观察发现规律是解题关键，规律：第n次平移变换点的横坐标是2n+1，偶数次变换平移点的纵坐标是−2，奇数次变换平移点的坐标是2．16.答案：(0,1)解析：解：当x=0时，y=x2+x+1=1，则抛物线与y轴的交点坐标为(0,1)．故答案为(0,1)．直接利用x=0时，求出y的值进而得出答案．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．17.答案：解：原式=√22×√33−1=√66−1．解析：先利用特殊角的三角函数值得到原式=√22×√33−1，然后进行二次函数的混合运算．本题考查了特殊角的三角函数值：熟练记住特殊角的三角函数值．18.答案：(1)证明：如图，连接OE．∵CD是圆O的直径，∴∠CED=90°．∵OC=OE，∴∠1=∠2．又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，∴∠PED=∠2，∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，∴OE⊥EP，又∵点E在圆上，∴PE是⊙O的切线；(2)证明：∵AB、CD为⊙O的直径，∴∠AEB=∠CED=90°，∴∠3=∠4(同角的余角相等)．又∵∠PED=∠1，∴∠PED=∠4，即ED平分∠BEP；(3)解：设EF=x，则CF=2x，∵⊙O的半径为5，∴OF=2x−5，在Rt△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+(2x−5)2，解得x=4，∴EF=4，∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，∴DF=CD−CF=10−8=2，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AB=10，BE=8，∴AE=6，∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，∴△AEB∽△EFP，∴PFBE =EFAE，即PF8=46，∴PF=163，∴PD=PF−DF=163−2=103．解析：(1)如图，连接OE.欲证明PE是⊙O的切线，只需推知OE⊥PE即可；(2)由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，根据“同角的余角相等”推知∠3=∠4，结合已知条件证得结论；(3)设EF=x，则CF=2x，在Rt△OEF中，根据勾股定理得出52=x2+(2x−5)2，求得EF=4，进而求得BE=8，CF=8，在Rt△AEB中，根据勾股定理求得AE=6，然后根据△AEB∽△EFP，得出PF8=46，求得PF=163，即可求得PD的长．本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．19.答案：(1)x=−1；(−3,0)；(1,0)；(2)过点D作函数对称轴交直线AC于点E，由题意得点A、C、D的坐标分别为(−3,0)、(0,−3a)、(−1,−4a)，则直线AC的表达式为：y=kx−3a，将点A坐标代入上式并解得：k=−a，表达式为y=−ax−3a，点E(−1,−2a)，则DE=−2a−(−4a)=2a，∴S△ADC=12ED×OA=12×2a×3=3，解得：a=1，故抛物线表达式为：y=x2+2x−3；(3)∵抛物线的顶点为D(−1,−4)，∴m+1≥−1，且m≤−1，即：−2≤m≤−1，函数在x=−1处取得最小值−4，函数在x=m或在x=m+1处取得最大值，若函数在x=m处取得最大值，则m2+2m−3=2m，解得：m=−√3(m=√3舍去)若函数在x=m+1处取得最大值，则(m+1)2+2(m+1)−3=2m，解得：m=−2(m=0舍去)，经检验m=−2时不符合题意，故m的值为：−√3．解析：本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度．(1)由x=−2a2a=−1得对称轴，令y=0，得x=−3或1即可A，B坐标；(2)利用S△ADC=12ED×OA=12×2a×3=3，即可求解；(3)根据二次函数的最小值为−4，得m的取值范围，根据函数在x=m或在x=m+1处取得最大值，求解即可．解：(1)函数对称轴为x=−2a2a=−1，令y=0，则x=−3或1，故点A、B的坐标分别为(−3,0)、(1,0)，故答案为：x=−1，(−3,0)，(1,0)；(2)见答案；(3)见答案．20.答案：(1)解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∵∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∴∠C=∠ABD，∵ADAB =13，∴sin∠ABD=13，∴sinC=13；(2)证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90°，∵E为BC的中点，∴DE=BE=CE，∴∠EDB=∠EBD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ABC=90°，∴∠EDO=∠EDB+∠ODB=∠EBD+∠OBD=∠ABC=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．解析：(1)根据圆周角定理可得∠ADB=90°，再利用同角的余角相等证明∠C=∠ABD，进而可得答案．(2)先连接OD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=BE，推出∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，即可求出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理的应用和三角函数，解此题的关键是求出∠ODE=90°，注意：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．21.答案：解：∵AB=20m，∴DE=DG+EG=20m，在Rt△CEG中，∵∠CEG=45°，∴EG=CG，在Rt△CDG中，∵∠CDG=30°，∠DCG=60°，∴DG=CG⋅tan60°，则DE=CG⋅tan60°+CG=20m．即DE=√3CG+CG=20．∴CG=10√3−10．由题意知：GF=3m．∴CF=CG+GF=10√3−10+1.5=(10√3−8.5)(米)，答：塑像CF的高为(10√3−8.5)米解析：在Rt△CDG和Rt△CEG中，求出公共边CG的长度，然后可求得CF=CG+GF．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．22.答案：解：(1)∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，∴AB=OA=OB=4，∴AC=2OA=8；(2)∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AE平分∠BAD交BC于点E，∴OA=OD=OB=AB=OC，∠BAE=45°，∴AB=BE，∴BE=OB，所以△ABE是等腰三角形，△OAD，△OBC，△BEO是等腰三角形．解析：(1)根据矩形的性质和勾股定理解答；(2)根据矩形的性质和等腰三角形的判定解答即可．此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和等腰三角形的判定解答．23.答案：解析：解：(1)将二次函数解析式化为顶点式，即可确定抛物线的开口方向，顶点和对称轴；(2)由抛物线平移规律可得抛物线是如何平移的.24.答案：解：(1)−4；(2)把m=−4代入抛物线y=x2+mx+n−1得：y=x2−4x+n−1，当x=0时，y=n−1，∴A(0,n−1)，B(2,0)，∵△OAB是等腰直角三角形，∴OA=OB，即：n−1=2，n=3；(3)①如图1，当抛物线顶点在x轴上时，△=0，(−4)2−4×1×(n−1)=0n=5，②如图2，当抛物线过点C(3,0)时，把(3,0)代入得：32−4×3+n−1=0，n=4，③如图3，当抛物线过原点时，n−1=0，n=1，结合图象可得，1≤n<4或n=5．解析：=2，解：(1)对称轴：x=−m2×1m=−4；故答案为：−4；(2)见答案；(3)见答案．(1)根据对称轴公式：x=−b代入计算，可求m；2a(2)把m=−4代入后，令x=0，计算出与y轴交点，写出点A的坐标，点B是对称轴与x轴的交点，所以B(2,0)；(3)分三种情况：①如图1，当抛物线顶点在x轴上时，与抛物线只有一个交点，则△=0；②如图2，当抛物线过点C(3,0)时，代入可求n；③如图3，当抛物线过原点时，即过(0,0)代入可求n，发现从过原点时的抛物线向上平移，一直到过图2，都符合条件，所以n的取值为：1≤n<4或n=5．本题考查了二次函数的图象和等腰直角三角形的性质，明确等腰直角三角形中两条边相等，同时还；②抛物线过原点时，经过(0,0)；③抛物线的顶点在x轴上要熟知：①对称轴公式：直线x=−b2a时，△=0；本题的易错点在：抛物线与线段OC有且只有一个交点，当n在4与5之间时不满足条件，要注意．25.答案：解：(1)DB=DA．理由：∵CD是△ABC的外角平分线，∴∠MCD=∠ACD，∵∠MCD+∠BCD=180°，∠BCD+∠BAD=180°，∴∠ACD=∠BAD，∵∠ACD=∠ABD，∴∠ABD=∠BAD，∴DB=DA；(2)证明：∵DB=DA，∴DB⏜=DA⏜，∵AF⏜=BC⏜，∴AF=BC，CD⏜=FD⏜，∴CD=FD，在△BCD和△AFD中，{BC=AF CD=FD DB=DA，∴△BCD≌△AFD(SSS)；(3)连接DO并延长，交AB于点N，连接OB，∵DB=DA，∴DB⏜=DA⏜，∴DN⊥AB，∵∠ACM=120°，∴∠ABD=∠ACD=60°，∵DB=DA，∴△ABD是等边三角形，∴∠OBA=30°，∴ON=12OB=12×5=2.5，∴DN=ON+OD=7.5，∴BD=DNsin60∘=5√3，∴AD=BD=5√3，∵BC⏜=AF⏜，∴AC⏜=BF⏜，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACD∽△EBD，∴CDBD =ADDE，∴5√3=5√3DE，∴DE=12.5．解析：(1)由CD是△ABC的外角平分线，可得∠MCD=∠ACD，又由∠MCD+∠BCD=180°，∠BCD+∠BAD=180°，可得∠MCD=∠BAD，继而证得∠ABD=∠BAD，即可得DB=DA；(2)由DB=DA，可得DB⏜=DA⏜，即可得AF⏜=BC⏜，则可证得CD=FD，BC=AF，然后由SSS判定△BCD≌△AFD；(3)首先连接DO并延长，交AB于点N，连接OB，由∠ACM=120°，易证得△ABD是等边三角形，并可求得边长，易证得△ACD∽△EBD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DE的长．此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．。

昌平区初三第一学期期末数学试题(含答案)

昌平区初三第一学期期末数学试题(含答案)

昌平区2018 - 2019学年第一学期初三年级期末质量抽测数学试卷一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．右图是某个几何体的三视图，该几何体是（A ）圆柱 （B ）圆锥 （C ）长方体 （D ）三棱柱2．已知∠A 为锐角，且sin A ＝32，那么∠A 等于（A ）15° （B ）30° （C ）45° （D ）60° 3．“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用.瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产.下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（A ） （B ） （C ） （D ） 4．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD = 34°，那么∠BAD 等于（A ）34° （B ）46° （C ）56° （D ）66°5．如图，点A 、B 、C 、D 、O 都在方格纸上，若△COD 是由△AOB 绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（A ）30°（B）45° （C ）90° （D ）135°6．若函数22y x x m =++的图象与x 轴没有交点，则m 的取值范围是（A ）m ＞1 （B ）m ＜1 （C ）m ≤1 （D ） m =17．二次函数22y x x =-，若点A 1(1,)y -，B 2(2,)y 是它图象上的两点，则1y 与2y 的大小关系是（A ）12y y < （B ）12y y = （C ）12y y > （D ） 不能确定8．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：温度t /℃… -5 -3 2 … 植物高度增长量h /mm…344641…科学家推测出h （mm ）与t 之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．已知温度越适合，植物高度增长量越大，由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 （A ）-2℃ （B ）-1℃ （C ）0℃ （D ）1℃ 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．已知反比例函数k y x= 的图象经过（-1，2），则 k 的值为 .10．请写出一个过点（0，1）的函数的表达式_____________.11．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（-1，0），则点Q 的坐标为 .12. 在平面直角坐标系xOy 中，若点B (-1,2)与点A 关于原点O 中心对称，则点A 的坐标ABC DOxyx=1POABCDO俯视图左视图主视图为 .13．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 是劣弧CD 上一动点，则∠AEB = °. 14．圆心角为60°的扇形的半径为3 cm ，则这个扇形的弧长是 cm ．15．如图，P A ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，C 是优弧AB 上的一个动点，若∠P = 40°，则∠ACB = °.（第13题图） （第15题图） （第16题图）16. 如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，将CP 绕点C 逆时针旋转60°得到CQ ，连接AP ，BP ，BQ ，PQ ，若∠PBQ = 40°，下列结论：①△ACP ≌ △BCQ ；②∠APB = 100°；③∠BPQ = 50°，其中一定．．成立的是 （填序号）. 三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．计算：2 cos30°－tan60° + sin30° +12tan45°.18. 如图，在t ABC ∆R 中，90C ∠=， 1tan 2A =，AC = 2，求AB 的长.19．已知：二次函数的表达式223y x x =--.（1）用配方法将其化为2()y a x h k =-+的形式； （2）画出这个二次函数的图象，并写出该函数的一条性质.20．尺规作图：如图，AD 为 ⊙O 的直径．（1）求作：⊙O 的内接正六边形ABCDEF ．（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知连接DF ，⊙O 的半径为4，求DF 的长.小明的做法如下，请你帮助他完成解答过程.在⊙O 中，连接OF .∵ 正六边形ABCDEF 内接于⊙O∴AB BC CD DE EF AF ===== ∴∠AOF =60° ∴∠ADF =12∠AOF =30°____________________________ (填推理的依据） ∵AD 为⊙O 直径 ∴∠AFD =90°∵cos30°=DF AD =32∴DF =____________. 21．港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车. 其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥.OCBAPABCPQCBABC ED AOODA下图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A 距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C 到桥塔的距离（CD 的长）约为100米， 又在C 点测得A 点的仰角为30°，测得B 点的俯角为20°，求斜拉索顶端A 点到海平面B 点的距离（AB 的长）. （已知 3 1.73≈，tan20°≈0.36，结果精确到0.1 ）22．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD 于点E ，BF ∥OC ,连接BC 和CF ，CF交AB 于点G .（1）求证：∠OCF =∠BCD ； （2）若CD =4，tan ∠OCF =12，求⊙O 半径的长.四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2=+y x b 的图象与x 轴的交点为A （2，0），与y 轴的交点为B ，直线AB 与反比例函数ky x=的图象交于点C （-1，m ）. （1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点P 是这个反比例函数图象上的点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，连接OP ，BP ，当 S △ABM ＝ 2 S △OMP 时，请直接写出点P 的坐标.24． 如图，△ABC 内接于⊙O ，过点C 作BC 的垂线交⊙O 于D ，点E 在BC 的延长线上，且∠DEC = ∠BAC ．（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线；（2）若AC ∥DE ，当AB = 8，CE = 2时，求⊙O 直径的长．BODCEAAOGFEDCBADCBA25．有这样一个问题：如图，Rt △ABC 的内切圆与斜边AB 相切于点D ，AD = m ，BD = n ， 求△ABC 的面积（用含m ，n 的式子表示）． 小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究： 解：如图，令AD = 3，BD = 4，设△ABC 的内切圆分别与AC 、BC 相切于点E 、F ，CE 的长为 x ．根据切线长定理，得AE = AD = 3，BF = BD = 4，CF = CE = x ． 根据勾股定理得，222(3)(4)(34)x x +++=+. 整理，得2712x x += 所以S11(3)(4)22∆=⋅=++ABCAC BC x x211(712)(1212)1222=++=⨯+=x x第（1）问图请你参考小冬的做法.解决以下问题：（1）当AD = 5，BD = 7时，求△ABC 的面积；（2）当AD = m ，BD = n 时，直接写出求△ABC 的面积（用含m ，n 的式子表示）为___ __．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y ＝mx 2－4mx ＋4m －2 的顶点为M . （1）顶点M 的坐标为_______ __.（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 若MN ∥y 轴且MN = 2.①点N 的坐标为_____________；②过点N 作y 轴的垂线l ，若直线l 与抛物线交于P 、Q 两点，该抛物线在P 、Q 之间的部分与线段PQ 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求m 的取值范围.五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．如图，在△ABC 中，AC = BC ，∠ACB = 90°，D 为AC 上一点（与点A ，C 不重合），连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 的延长线于E .（1）①在图中作出△ABC 的外接圆⊙O ，并用文字描述圆心O 的位置；②连接OE ，求证：点E 在⊙O 上；（2）①延长线段BD 至点F ，使EF = AE ，连接CF ,根据题意补全图形；②用等式表示线段CF 与AB 的数量关系，并证明.28．在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，如果PQ 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 的“近距离”，记为d （M ，N ）．特别地，当图形M 与图形N 有公共点时，d （M ，N ）= 0. 已知A （- 4，0），B （0，4），C （- 2，0），（1）d （点A ，点B ）=________，d （点A ，线段BC ）=________； （2）⊙O 半径为r ，① 当r = 1时，求 ⊙O 与线段AB 的“近距离”d （⊙O ，线段AB ）； ② 若d （⊙O ，△ABC ）=1，则r =___________.（3）D 为x 轴上一点，⊙D 的半径为1，点B 关于x 轴的对称点为点B'，⊙D 与∠BAB'的“近距离”d （⊙D ，∠BA B'）＜1，请直接写出圆心D 的横坐标 m 的取值范围.AEDFCB备用图ABCDE昌平区2018-2019学年度第一学期初三年级期末质量抽测数学参考答案及评分标准2019. 1一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C D A C B二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）题号9 10 11 12 13 14 15 16答案-2答案不唯一(3,0)(1,-2)45°π70°①②（答对一个1分，答对两个2分，）三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．解：12cos30tan60sin30tan452︒-︒+︒-︒12231322=⨯+-+………………………………………………………………………………4分1=．……………………………………………………………………………………………………………5分18．解：（1）在Rt△ABC中∵tan A=12BCAC==,AC=2, ……………………………………………………………………2分∴BC=1 …………………………………………………………………………………………………3分∴AB=22215=+=………………………………………………………………………………5分19．解：（1）y=x2-2x+12-12-3…………………………………………………………………………………1分=(x-1)2-4 ………………………………………………………………………………2分（2）画出图象……………………4分,写出一条性质……………………………………5分20.解：（1）正确画图………………………………………………………………………………………………3分（2）一条弧所对的圆周角是圆心角的一半……………………………………4分DF=43………………………………………………………………………………………5分21.解：在t∆R ADC中，∵tan30︒=ADCD,CD=100,∴AD=tan30⋅CD=310057.73⨯≈………………………………………………………2分在t∆R BDC中，∵tan20︒=BDCD,CD=100………………………………………………………………………4分∴BD=tan20⋅CD0.3610036≈⨯=∴AB=57.7+36=93.7米…………………………………………………………………………………5分22.（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，∴BC BD=…………………………………………………………………………………………………1分∴∠BCD=∠BFC …………………………………………………………………………………………2分∵BF∥OC∴∠OCF=∠BFC ……………………………………………………………………………………………3分∴∠OCF=∠BCD（2）解：∵CD=4,CE=12 CD∴CE=2 …………………………………………………………………………………………………………4分∵∠OCF=∠BCD∴tan∠OCF=tan∠BCD=12BECE=∵CE=2∴BE=1设OC=O B=x，则OE=x-1在Rt△OCE中∵222(1)2x x=-+∴x=52答略……………………………………………………………………………………5分23.解：（1）将(2,0)A代入直线2=+y x b中，得220⨯+=b∴4=-b………………………………………………………………………………………1分∴直线：24=-y x……………………………………………………………………………2分将(1,)-C m代入直线24=-y x中，得2(1)4⨯--=m∴6=-m ………………………………………………………………………………………3分∴C （-1，-6）将(1,6)C --代入k y x =∴k =6∴反比例函数的解析式为6=y x ……………………………………………………………………4分（2）点P 的坐标为6(1,6)(5,)5--或………………………………………………………………6分24.证明：（1）连接BD∵DC ⊥BE∴∠BCD =∠DCE =90°∴BD 是⊙O 直径………………………………………………………………………………1分∴∠DEC +∠CDE =90°∵∠DEC =∠BAC∴∠BAC +∠CDE =90°…………………………………………………………………………2分∵BC BC =∴∠BAC =∠BDC ………………………………………………………………………………3分∴∠BDC +∠CDE =90°∴DE 是⊙O 切线………………………………………………………………………………4分解：（2）∵AC ∥DE ，BD ⊥DE ，∴BD ⊥AC .∵BD 是⊙O 直径，∴AF =CF∴AB =BC =8………………………………………………………………………………………5分∵BD ⊥DE ，DC ⊥BE ，∴BD 2=BC ·BE =80.∴BD =45.……………………………………………………………………………………… 6分 25.解：（1）如图，令AD =5，BD =7，设△ABC 的内切圆分别与AC 、BC 相切于点E 、F ，CE 的长为x ．根据切线长定理，得AE =AD =5，BF =BD =7，CF =CE =x ．…………………… 1分 据勾股定理得，222(5)(7)(57)+++=+x x ………………………………………3分 整理，得21235+=x x所以S 11(5)(7)22∆=⋅=++ABC AC BC x x 211(1235)(3535)3522=++=⨯+=x x ………………………… 4分 （2）S △ABC= mn ………………………………………………………………………………………………6分 26.解：（1）M （2，-2）……………………………………………………………………………………………2分（2）①N （2,0）或N （2，-4）……………………………………………………………………4分 ②12＜m ≤1或1-≤m ＜12-……………………………………………………………6分27.解：（1）①圆心O 的位置在线段AB 的中点,正确画出图…………………………………2分②∵AE ⊥BD∴△AEB 为直角三角形∵点O 为线段AB 的中点 ∴OE =OA =OB =r∴点E 在⊙O 上…………………………………………………………………………………3分（2）①补全图形…………………………………………………………………………………………4分2=AB CF证明如下：∵AC =BC ，∠ACB =90°∴∠BAC =∠CBA = 45°∵BC BC =∴∠BEC =∠BAC = 45°…………………………………………………………………………5分∵AE ⊥BD∴∠BEA =90°∴∠CEA =90°+ 45°= 135°∵∠CEF =180°－∠CEB = 135°∴∠CEA =∠CEF∵AE =EF ,∠CEA =∠CEF ,CE =C E ,∴△CEA ≌△CEF ………………………………………………………………………………6分∴CF =CA∵在等腰t ∆R ACB 中，2=AB AC∴2=AB CF ……………………………………………………………………………………7分28.解：（1）42 2……………………………………………………………………………………………2分（2）①过程略，答案为221- ………………………………………………………………3分 ②45155-或 ………………………………………………………………………………5分 （3）6-＜m ＜224-………………………………………………………………………………7分更多初中数学资料，初中数学试题精解请微信关注。

2021-2022学年北京市昌平区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

2021-2022学年北京市昌平区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

2021-2022学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷1.已知∠A为锐角，且sinA=12，那么∠A等于( )A. 15∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘2.已知3a=4b(ab≠0)，则下列各式正确的是( )A. ab =43B. ab=34C. a3=b4D. a3=4b3.抛物线y=x2−2的顶点坐标为( )A. (0,−2)B. (−2,0)C. (0,2)D. (2,0)4.已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(2,3)，则k的值为( )A. 3B. 4C. 5D. 65.如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA=50∘，则∠BAD=( )A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘6.如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为( )A. 32B. 32√2C. 3D. 3√27.关于二次函数y=−(x−2)2+3，以下说法正确的是( )A. 当x>−2时，y随x增大而减小B. 当x>−2时，y随x增大而增大C. 当x>2时，y随x增大而减小D. 当x>2时，y随x增大而增大8.如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点C(1,c)，D(√2,d)，E(e,1)，P(m,n)均为AB⏜上的点(点P不与点A，B重合)，若m<n<√3m，则点P的位置为( )A. 在BC⏜上B. 在CD⏜上C. 在DE⏜上D. 在EA⏜上9.写出一个开口向下，与y轴交于点(0,1)的抛物线的函数表达式：______.10.已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，那么直线l与⊙O的位置关系是______.11.若扇形的圆心角为60∘，半径为2，则该扇形的弧长是______(结果保留π).12.点A(−1,y1)，B(4,y2)是二次函数y=(x−1)2图象上的两个点，则y1______y2(填“>”，“<”或“=”).13.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长度为______.14.已知反比例函数y=m−1的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是______.x15.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P=50∘，则∠ACB=______∘.16.点A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1⋅x2≥0)是y=ax2(a≠0)图象上的点，存在|x1−x2|=1时，|y1−y2|=1成立，写出一个满足条件a的值______.17.计算：2sin60∘+tan45∘−cos30∘tan60∘.18.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=4，AB=5，点D在AC上且AD=3，DE⊥AB于点E，求AE的长．19.已知：二次函数y=x2−4x+3.(1)求出二次函数图象的顶点坐标及与x轴交点坐标；(2)在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出y<0时，自变量x的取值范围．20.如图，在△ABC中，∠B=30∘，AB=4，AD⊥BC于点D且tan∠CAD=12，求BC的长．21.已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=AC.求作：一点P，使得∠APC=∠BAC.作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；③连接DA并延长交⊙A于点P.点P即为所求．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明：证明：连接PC，BD.∵AB=AC，∴点C在⊙A上．∵BC=BD，∴∠______=∠______.∴∠BAC=12∠CAD.∵点D，P在⊙A上，∠CAD.(______)(填推理的依据)∴∠CPD=12∴∠APC=∠BAC.22.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,2)是一次函数y=x−1的图象与反比例函数y=k(k≠0)的图象的交点．x(k≠0)的表达式；(1)求反比例函数y=kx(2)过点P(n,0)且垂直于x轴的直线与一次函数图象，反比例函数图象的交点分别为M，N，当S△OPM>S△OPN时，直接写出n的取值范围．23.居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉．某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度AD.(结果精确到0.1m，sin35∘≈0.574，cos35∘≈0.819，tan35∘≈0.700)题目测量城楼顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据BM=1.6m，BC=13m，∠ABC=35∘，∠ACE=45∘24.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，P是AB延长线上一点，且∠BCP=∠BCD.(1)求证：CP是⊙O的切线；(2)连接DO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC.若⊙O的半径为5，OE=3，求GC和OF的长．25.随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元．销售过程中发现，每天销售量y(袋)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数：y=−2x+80(20≤x≤40)，设每天获得的利润为w(元).(1)求出w与x的关系式；(2)当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？26.在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)和点(3,n)在二次函数y=x2+bx的图象上．(1)当m=−3时．①求这个二次函数的顶点坐标；②若点(−1,y1)，(a,y2)在二次函数的图象上，且y2>y1，则a的取值范围是______；(2)当mn<0时，求b的取值范围．27.已知∠POQ=120∘，点A，B分别在OP，OQ上，OA<OB，连接AB，在AB上方作等边△ABC，点D是BO延长线上一点，且AB=AD，连接AD.(1)补全图形；(2)连接OC，求证：∠COP=∠COQ；(3)连接CD，CD交OP于点F，请你写出一个∠DAB的值，使CD=OB+OC一定成立，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ<PO<PQ且PO≤2，我们称点P是线段OQ的“潜力点”．已知点O(0,0)，Q(1,0).(1)在P1(0,−1)，P2(12,32)，P3(−1,1)中是线段OQ的“潜力点”是______；(2)若点P在直线y=x上，且为线段OQ的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围；(3)直线y=2x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ的“潜力点”时，直接写出b的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵sinA=12，∠A为锐角，∴∠A=30∘.故选：B.根据特殊角的三角函数值求解．本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．2.【答案】A【解析】解：A、由ab =43可得3a=4b，故此选项正确；B、由ab =34可得4a=3b，故此选项错误；C、由a3=b4可得4a=3b，故此选项错误；D、由a3=4b可得ab=3×4=12，故此选项错误．故选：A.利用比例的性质：内项之积等于外项之积，即可求解．本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：抛物线y=x2−2是顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(0,−2)，故选：A.根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a(x−ℎ)2+k的顶点坐标为(ℎ,k)，对称轴为直线x=ℎ.4.【答案】D【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(2,3)，∴3=k2，∴k=6，故选：D.(k≠0)中即可求出k的值．把A点坐标代y=kx本题考查了反比例函数上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴点A，B，C，D在⊙O上，∵∠BCA=50∘，∴∠ADB=∠BCA=50∘，∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD=90∘，∴∠BAD=90∘−50∘=40∘，故选：B.根据直径所对圆周角为直角、同圆中等弧所对圆周角相等即可得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，由圆周角定理得到∠ADB=50∘，∠ABD=90∘是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：如图，连接OA，OB，则OA=OB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB=90∘，∴△OAB是等腰直角三角形，∵正方形ABCD的面积是18，∴AB=√18=3√2，AB=3，∴OA=OB=√22故选：C.连接OA、OB，则△OAB为等腰直角三角形，由正方形面积为18，可求边长为3√2，进而可得半径为3.本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、构造等腰直角三角形是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵抛物线的解析式为y=−(x−2)2+3，∴该抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，∴当x<2时，y随x增大而增大，当x>2时，y随x增大而减小，故选：C.根据二次函数的顶点式可以得出图象的对称轴和开口方向，从而确定函数的增减性．本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记顶点式与图象的关系．8.【答案】B【解析】解：如图，过点C作CH⊥x轴于点H，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥x轴于点F，∵C(1,c)，D(√2,d)，E(e,1)，∴OH=1，OG=√2，EF=1，∵OC=OD=OE=2，∠CHO=∠DGO=∠EFO=90∘，∴c=CH=√OC2−OH2=√22−12=√3，d=DG=√OD2−OG2=√22−(√2)2=√2，e=OF=√OE2−EF2=√22−12=√3，∴C(1,√3)，D(√2,√2)，E(√3,1)，由图可知：随着∠COH−∠DOG−∠EOF角度逐渐变小，点C、D、E的横坐标逐渐增大，纵坐标逐渐减小，∵m<n<√3m，∴点P在CD⏜上．故选：B.如图，过点C作CH⊥x轴于点H，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥x轴于点F，利用勾股定理求出c、d、e的值，观察点的坐标变化规律即可得出答案．本题考查了圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理，运用勾股定理求出C、D、E的坐标是解题关键．9.【答案】y=−x2+1(答案不唯一)【解析】解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，∵该函数的图象开口向下，∴a<0，可以取a=−1，∵当x=0，y=1，∴c=1，∴满足条件的一个函数为y=−x2+1，故答案为：y=−x2+1(答案不唯一).开口向下可确定二次项系数小于0，与y轴交于点(0,1)可确定常数项为1.本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，关键是要牢记系数和图象开口，顶点，对称轴，坐标轴交点之间的关系．10.【答案】相交【解析】解：∴⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，∴4<5，即d<r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故答案为：相交．由题意得出d<r，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．本题考查了直线和圆的位置关系的应用；注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d>r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d<r时，直线和圆相交．11.【答案】23π【解析】解：∵扇形的圆心角为60∘，半径为2，∴扇形的弧长=60π×2180=23π.故答案为：23π.利用弧长公式计算即可．此题考查弧长公式：l=nπR180，关键是记住弧长公式，属于中考基础题．12.【答案】<【解析】解：把A(−1,y1)、B(4,y2)代入二次函数y=(x−1)2得，y1=(−1−1)2=4；y2=(4−1)2=9，所以y1<y2.故答案为<.由于知道二次函数的解析式，且知道A、B两点的横坐标，故可将两点横坐标分别代入二次函数解析式求出y1、y2的值，再比较即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要明确：二次函数图象上点的坐标符合函数解析式．13.【答案】3【解析】解：连接OC，∵CD⊥AB，CD=8，∴CH=DH=12CD=12×8=4，∵直径AB=10，∴OC=5，在Rt△OCH中，OH=√OC2−CH2=3，故答案为3.根据垂径定理由CD⊥AB得到CH=12CD=4，再根据勾股定理计算出OH=3.本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．14.【答案】m<1【解析】解：∵反比例函数y=m−1x的图象分布在第二、四象限，∴m−1<0.解得m<1.故答案是：m<1.根据反比例函数的图象和性质，由m−1<0即可解得答案．本题考查了反比例函数的图象和性质：当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限．15.【答案】65【解析】解：连接OA、OB，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∵∠P=50∘，∴∠AOB=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘，∴∠ACB=12∠AOB=12×130∘=65∘，故答案为：65.连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据四边形的内角和定理求出∠AOB，再根据圆周角定理计算，得到答案．本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．16.【答案】1(答案不唯一)【解析】解：∵y=ax2(a≠0)，∴对称轴为y轴，∵x1⋅x2≥0，∴x1、x2不在对称轴的异侧，∵|x1−x2|=1，当x1>x2=0时，则x1=1，∴y1=a，y2=0，∵|y1−y2|=1，∴a−0=1，∴a=1，故答案为：1(答案不唯一).根据题意当x1>x2=0时，则x1=1，由|y1−y2|=1，得到a−0=1，解得a=1.本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意设出x1、x2的值，代入解析式即可求得a的值．17.【答案】解：2sin60∘+tan45∘−cos30∘tan60∘=2×√32+1−√32×√3=√3+1−32=√3−12.【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．18.【答案】解：∵DE⊥AB于点E，∠C=90∘，∴∠AED=∠C=90∘，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AD AB =AEAC，∵AB=5，AD=3，AC=4，∴3 5=AE4，∴AE=125.【解析】由DE⊥AB得到∠AED=∠C=90∘，然后得到△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质求得AE的长．本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直的定义得到∠AED=∠C=90∘. 19.【答案】(1)解：∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴抛物线顶点坐标为(2,−1).令y=0，则x2−4x+3=0.解得x1=1，x2=3.∴图象与x轴交点坐标为(1,0)(3,0).(2)如图，当y<0时，自变量x的取值范围为1<x<3.【解析】(1)将函数解析式化为顶点式求解顶点坐标，令y=0求图象与x轴交点坐标．(2)通过观察抛物线在x轴下方的x取值范围求解．本题考查二次函数与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．20.【答案】解：∵AD⊥BC于点D，∴△ABD，△ADC为直角三角形．∵Rt△ADB中，∠B=30∘，AB=4，∴AD=2，BD=2√3.∵Rt△ADC中，tan∠CAD=12，AD=2，∴tan∠CAD=CD AD=12.∴CD=1.∴BC=2√3+1.【解析】在Rt△ABD和Rt△ADC中，分别求出AD、BD、CD，再利用线段的和差关系求出BC.本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．21.【答案】解：(1)如图所示．(2)BACBAD一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【解析】解：(1)见答案；(2)证明：连接PC，BD.∵AB=AC，∴点C在⊙A上．∵BC=BD，∴∠BAC=∠BAD.∴∠BAC=12∠CAD.∵点D，P在⊙A上，∴∠CPD=12∠CAD.(一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半)，∴∠APC=∠BAC.故答案为：BAC，BAD，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．(1)根据要求作图即可；(2)根据圆周角定理求解即可．本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆周角定理．22.【答案】解：(1)把A(a,2)代入y=x−1，得，a−1=2，解得a=3，∴点A坐标为(3,2).(k≠0)，把A(3,2)代入y=kx得，2=k，解得k=6.3∴反比例函数表达式为y=6；x(2)n的取值范围是n<−2或n>3.【解析】解：(1)见答案；(2)一次函数y=x−1的图象与y=6的图象相交于点x(3,2)和(−2,−3).观察函数图象可知：过点P(n,0)且垂直于x轴的直线与一次函数图象，反比例函数图象的交点分别为M，N，当S△OPM>S△OPN时，PM>PN，则n的取值范围是n<−2或n>3.(1)把A(a,2)代入y=x−1，求出a，得到A点坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可求得k的值；(2)先画出两函数的图象，再根据S△OPM>S△OPN时PM>PN，即可得出n的取值范围．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，利用数形结合是解题的关键．23.【答案】解：根据题意，得BM=ED=1.6m，∠AEC=90∘，设AE为x m，在Rt△ACE中，∵∠ACE=45∘，∴∠CAE=45∘，∴AE=CE=xm，在Rt△ABE中，∵tan∠ABE=AE，BE又∵∠ABE=35∘，∴tan35∘=x，x+13解得x≈30.3，∴AD=AE+ED≈30.3+1.6≈31.9(m)，答：城楼的高度AD约为31.9m.【解析】设AE为x m，根据三角函数列方程求得AE的值，进而求出AD即可．本题主要考查解直角三角形的知识，熟练利用三角函数求值是解题的关键．24.【答案】(1)证明：连接OC.∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB.∵AB⊥CD于点E，∴∠CEB=90∘.∴∠OBC+∠BCD=90∘.∴∠OCB+∠BCD=90∘.∵∠BCP=∠BCD，∴∠OCB+∠BCP=90∘.∴OC⊥CP.∵OC是⊙O的半径，∴CP是⊙O的切线．(2)如图，∵AB⊥CD于点E，∴E为CD中点．∵O为GD中点，∴OE为△DCG的中位线．∴GC=2OE=6，OE//GC.∵AO//GC，∴△GCF ∽△OAF.∴GC OA =GF OF =65. ∵GF +OF =5，∴OF =2511.【解析】(1)连接OC.根据圆周角定理和同角的余角相等可得∠OCB +∠BCD =90∘.然后由切线的判定方法可得结论；(2)由垂径定理及三角形的中位线定理可得GC =2OE =6，OE//GC.然后根据相似三角形的判定与性质可得答案．此题考查的是切线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、垂径定理及圆周角定理，正确作出辅助线是解决此题关键．25.【答案】解：(1)由题意可得w =(x −20)y =(x −20)(−2x +80)=−2x 2+120x −1600. ∴w 与x 的关系式为w =−2x 2+120x −1600.(2)∵w =−2x 2+120x −1600=−2(x −30)2+200，∵20≤x ≤40，且a =−2<0，∴当x =30时，y 最大值=200.答：当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元．【解析】(1)由利润=每袋利润×销量求解．(2)将函数解析式化为顶点式求解．本题考查二次函数的应用，解题关键是通过题意列出等式，掌握求二次函数求最值的方法．26.【答案】解：(1)当m =−3时．①把点(1,−3)代入y =x 2+bx ，得b =−4，二次函数表达式为y =x 2−4x =(x −2)2−4，所以顶点坐标为(2,−4)；②a <−1或a >5；(2)将点(1,m)，(3,n)代入y =x 2+bx ，可得m =1+b ，n =9+3b.当mn <0时，有两种情况：①若{m >0,n <0.把m =1+b ，n =9+3b 代入可得{1+b >0,9+3b <0.此时不等式组无解． ②若{m <0,n >0.把m =1+b ，n =9+3b 代入可得{1+b <0,9+3b >0.解得−3<b <−1.. 所以−3<b <−1.【解析】解(1)①见答案；②∵抛物线y=x2−4x=(x−2)2−4.∴开口向上，对称轴为直线x=2，∴点(−1,y1)关于直线x=2的对称点为(5,y1)，∵点(−1,y1)，(a,y2)在二次函数的图象上，且y2>y1，∴a<−1或a>5，故答案为：a<−1或a>5；(2)见答案.(1)①利用待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；②根据二次函数的增减性和对称性即可得到a的取值范围；(2)分两种情况讨论，根据题意得到关于b的不等式组，解不等式组即可求得．本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．27.【答案】(1)解：补全图形如图1所示；(2)证明：如图2，在BQ上截取BE=AO，连接CE，∵△ABC为等边三角形，∴CA=CB，∠ACB=60∘，∵∠POQ=120∘，∴∠CAO+∠CBO=180∘，∵∠CBO+∠CBE=180∘，∴∠CAO=∠CBE，在△CAO和△CBE中，{CA=CB∠CAO=∠CBE AO=BE，∴△CAO≌△CBE(SAS)，∴CO=CE，∠COA=∠CEB，∴∠COE=∠CEB，∴∠COP=∠COQ；(3)解：∠DAB=150∘时，CD=OB+OC，证明如下：∵∠DAB=150∘，DA=AB，∴∠ADB=∠ABD=15∘.∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB=∠CBA=∠ACB=60∘，∴∠CAD=150∘，∵AD=AB=AC，∴∠ADC=∠ACD=15∘，∴∠DBC=∠DCB=75∘，∴DB=DC，∠BDC=30∘，∵∠POQ=120∘，∠BDC=30∘，∴∠DFO=90∘，∵AD=AC，∴DF=FC.∴DO=OC，∴DB=DO+OB=OC+OB，∴CD=OB+OC.【解析】(1)根据题意补全图形；(2)在BQ上截取BE=AO，连接CE，证明△CAO≌△CBE，根据全等三角形的性质得到CO=CE，∠COA=∠CEB，根据邻补角的定义证明即可；(3)根据等腰三角形的性质和判定定理得到DB=DC，再证明DO=OC，结合图形证明结论．本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．28.【答案】(1)P3解:(2)∵点P为线段OQ的“潜力点”，∴OQ<PO<PQ且PO≤2，∵OQ<PO，∴点P在以O为圆心，1为半径的圆外．∵PO<PQ，∴点P在线段OQ垂直平分线的左侧．∵PO≤2，∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内．又∵点P在直线y=x上，∴点P在如图所示的线段AB上(不包含点B).过点B作BC⊥y轴，过点A作AD⊥y轴，由题意可知△BOC和△AOD是等腰三角形，∴BC=√22，AD=√2，∴−√2≤x p<−√2 2.(3)b的取值范围为：1<b≤2√5或−√152−1<b<−1.【解析】解：(1)在坐标系中找到P1(0,−1)，P2(12,32)，P3(−1,1)三点，如图，根据“潜力点”的定义，可知P3是线段OQ的潜力点．故答案为：P3；(2)见答案；(3)如图①，当直线MN与半径长为2的圆相切时，开始有“潜力点”，且点E是“潜力点”；过点O作OE⊥MN，则OE=2，ME=1，∴OM=√5，则b=ON=2√5；点N继续当下运动，如图②，当点N与点(0,1)重合时，开始没有“潜力点”，且点N不是“潜力点”；此时b=1；如图③，当点N与(0,−1)，重合时，开始有“潜力点”，且点N不是“潜力点”；此时b=−1；如图④，当线段MN过点G时，开始没有“潜力点”，且点G不是“潜力点”；此时G(12,−√152)，∴2×12+b=−√152，∴b=−√152−1.综上所示，b的取值范围为：1<b≤2√5或−√152−1<b<−1.(1)在坐标系中找到P1(0,−1)，P2(12,32)，P3(−1,1)三点，根据坐标系中两点间的距离可直接得出结论；(2)经过分析可知，点P在以O为圆心，1为半径的圆外，且在线段OQ垂直平分线的左侧，且点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内．画出点P的范围，找到此范围中符合题意的点P，即可求解．(3)根据点N的运动，可找到临界状态，画出图形，求出对应的b的值即可．本题属于一次函数综合题，考查了解两点间的距离，“潜力点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．第21页，共21页。

【精品】北京市昌平区九年级数学上册期末试卷(及答案)

【精品】北京市昌平区九年级数学上册期末试卷(及答案)

北京市昌平区九年级数学上册期末试卷（含答案）（时间：120分钟满分：100分）一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如果3x=4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=2，则tanA的值为（）A．B．2 C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为（）A．B．C．D．5．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．6．若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m＞1且m≠0 D．m＜1且m≠0 7．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点A（1，m）、B（4，n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（）A．B．C．D．8．如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为．10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，AD=2，则EC= ．11．如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm．若点C、D是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是cm2．12．“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC的坡度达到1：1.2，那么立柱AC的长为米．13．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A和点B．当y1＞y2＞0时，x的取值范围是．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF 的过程：．16．北京昌平区有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草．下面是小美的设计（如图2）．作法：（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C，分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C，交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2．则．请回答，成立的理由是：①；②．三、解答题（共68分）17．（5分）计算：tan30°﹣2cos60°+cos45°+π0．18．（5分）如图，△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=3，AD⊥BC垂足为D．求AC长．19．（5分）如图，BO是△ABC的角平分线，延长BO至D使得BC=CD．（1）求证：△AOB∽△COD．（2）若AB=2，BC=4，OA=1，求OC长．20．（5分）已知二次函数y=x2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：x …0 1 2 3 …y … 3 0 ﹣1 0 …（1）求二次函数的表达式．（2）画出二次函数的示意图，结合函数图象，直接写出y＜0 时自变量x 的取值范围．21．（5分）如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径OD⊥AB 垂足为C．若AB=2，CD=1，求⊙O的半径长．22．（5分）点P（1，4），Q（2，m）是双曲线y=图象上一点．（1）求k值和m值．（2）O为坐标原点．过x轴上的动点R作x轴的垂线，交双曲线于点S，交直线OQ于点T，且点S在点T的上方．结合函数图象，直接写出R的横坐标n的取值范围．23．（5分）小明同学要测量学校的国旗杆BD的高度．如图，学校的国旗杆与教学楼之间的距AB=20m．小明在教学楼三层的窗口C测得国旗杆顶点D的仰角为14°，旗杆底部B的俯角为22°．（1）求∠BCD的大小．（2）求国旗杆BD的高度（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）24．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点， =．过点B作⊙O的切线，连接AC并延长交于点E，连接AD并延长交于点F．（1）求证：AC=CE．（2）若AE=8，sin∠BAF=求DF长．25．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm．动点D 沿着A→C→B的方向从A点运动到B点．DE⊥AB，垂足为E．设AE 长为xcm，BD长为ycm（当D与A重合时，y=4；当D与B重合时y=0）．小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小云的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4y/cm 4 3.5 3.2 2.8 2.1 1.4 0.7 0补全上面表格，要求结果保留一位小数．则t≈．（2）在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为cm．26．（7分）已知抛物线：y=mx2﹣2mx+m+1（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标．（2）若直线l1经过（2，0）点且与x轴垂直，直线l2经过抛物线的顶点与坐标原点，且l1与l2的交点P在抛物线上．求抛物线的表达式．（3）已知点A（0，2），点A关于x轴的对称点为点B．抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象写出m的取值范围．27．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是线段AB上的一点（不与A、B重合）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C顺时针旋转90°，得到线段CF，连结EF．设∠BCE度数为α．（1）①补全图形．②试用含α的代数式表示∠CDA．（2）若=，求α的大小．（3）直接写出线段AB、BE、CF之间的数量关系．28．（8分）已知在平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下的定义：若在图形G上存在一点Q，使得P、Q之间的距离等于1，则称P为图形G的关联点．（1）当⊙O的半径为1时，①点P1（，0），P2（1，），P3（0，3）中，⊙O的关联点有．②直线经过（0，1）点，且与y轴垂直，点P在直线上．若P是⊙O的关联点，求点P的横坐标x的取值范围．（2）已知正方形ABCD的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直．若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r的取值范围．答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如果3x=4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质，可得答案．【解答】解：A、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故A不符合题意；B、由比例的性质，得xy=12与3x=4y不一致，故B不符合题意；C、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故C不符合题意；D、由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=2，则tanA的值为（）A．B．2 C．D．【分析】本题需先根据已知条件，得出BC的长，再根据正切公式即可求出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AB=，AC=2，∴BC=1，∴tanA==．故选：A．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据在直角三角形中，正切等于对边比邻边这个公式计算是本题的关键．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题．【解答】解：∵∠AOD=2∠ACD，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为（）A．B．C．D．【分析】连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD 的长，即可确定出AB的长．【解答】解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=OC=2，∵OC⊥AB，∴D为AB的中点，则AB=2AD=2=2=4．故选：B．【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解本题的关键．5．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由a＞0，b＜0，c＜0，推出﹣＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断．【解答】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m＞1且m≠0 D．m＜1且m≠0 【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，利用根的判别式△＞0可求出m的取值范围，此题得解．【解答】解：∵二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，∴方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，∴△=22﹣4m＞0，∴m＜1．∴m＜1且m≠0．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，利用根的判别式△＞0找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．7．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点A（1，m）、B（4，n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（）A．B．C．D．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分），得出AA′=2，然后根据平移规律即可求解．【解答】解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=2，∴A（1，1），B（4，2），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4﹣1=3，∵曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=6，∴AA′=2，即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+3．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题关键．8．如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】当点N在AD上时，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N在DC上时，MN长度不变，可得后半段函数图象为一条线段．【解答】解：设∠A=α，点M运动的速度为a，则AM=at，当点N在AD上时，MN=tanα×AM=tanα•at，此时S=×at×tanα•at=tanα×a2t2，∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当点N在DC上时，MN长度不变，此时S=×at×MN=a×MN×t，∴后半段函数图象为一条线段，故选：C．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为4：9 ．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：因为两个相似三角形的周长比为2：3，所以这两个相似三角形的相似比为2：3，所以这两个相似三角形的面积比为4：9；故答案为：4：9．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，AD=2，则EC= 1 ．【分析】只要证明△ADE∽△ACB，推出=，求出AE即可解决问题；【解答】解；∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB，∴=，∴=，∴AE=3，∴EC=AC﹣AE=4﹣3=1，故答案为1．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．11．如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm．若点C、D是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是cm2．【分析】由题意可知C、D是弧AB的三等分点，通过平移可把阴影部分都集中到一个小扇形中，可发现阴影部分正好是扇形AOB的，先求出扇形AOB的面积再求阴影部分的面积或者直接求圆心角是20度，半径是3的扇形的面积皆可．【解答】解：S扇形OAB=，S阴影=S扇形OAB=×π=π．故答案为：【点评】此题考查扇形的面积问题，通过平移的知识把小块的阴影部分集中成一个规则的图形﹣﹣扇形，再求算扇形的面积即可．利用平移或割补把不规则图形变成规则图形求面积是常用的方法．12．“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC的坡度达到1：1.2，那么立柱AC的长为 2.5 米．【分析】由坡度的概念得出=，根据AB=3可得AC的长度．【解答】解：根据题意知=，∵AB=3，∴=，解得：AC=2.5，故答案为：2.5．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义．13．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A和点B．当y1＞y2＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5 ．【分析】根据一次函数与反比例函数交点纵坐标，结合图象确定出所求x的范围即可．【解答】解：根据图象得：当y1＞y2＞0时，x的取值范围是﹣2＜x ＜﹣0.5，故答案为：﹣2＜x＜﹣0.5【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，弄清数形结合思想是解本题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于5．【分析】连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD，求出圆的半径的长，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【解答】解：如图，∵∠C=90°，点D为AB的中点，∴AB=2CD=10，∴CD=5，∴BC=CD=5，在Rt△ABC中，AC===5．故答案为：5．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，求出圆的半径的长是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．【分析】根据对应点C与点F的位置，结合两三角形在网格结构中的位置解答．【解答】解：△ABC向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°即可得到△DEF，所以，过程为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．故答案为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．【点评】本题考查了几何变换的类型，平移、旋转，准确识图是解题的关键．16．北京昌平区有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草．下面是小美的设计（如图2）．作法：（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C，分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C，交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2．则．请回答，成立的理由是：①平行线分线段成比例定理；②等底共高．【分析】根据平行线分线段成比例定理和等底共高求解可得．【解答】解：由BB1=B1B2=B2B3且B1C1∥B2C2∥B3C，依据平行线分线段成比例定理知BC1=C1C2=C2C，再由△ABC1，△AC1C2与△AC2C等底共高知，故答案为：①平行线分线段成比例定理；②等底共高．【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理和等底共高的两三角形面积关系．三、解答题（共68分）17．（5分）计算：tan30°﹣2cos60°+cos45°+π0．【分析】根据特殊角的三角函数值先进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．【解答】解：tan30°﹣2cos60°+cos45°+π0=×﹣2×+×+1=1﹣1+1+1=2．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．18．（5分）如图，△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=3，AD⊥BC垂足为D．求AC长．【分析】先在Rt△ABD中利用三角函数定义求出AD=，BD=1．再得到CD=2．然后在Rt△ADC中根据勾股定理求出AC即可．【解答】解：∵AD⊥BC，垂足为D，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=2，∴sinB=，cosB=，即=， =，解得：AD=，BD=1．∵BC=3，∴CD=2．在Rt△ADC中，AC==．【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．19．（5分）如图，BO是△ABC的角平分线，延长BO至D使得BC=CD．（1）求证：△AOB∽△COD．（2）若AB=2，BC=4，OA=1，求OC长．【分析】（1）由BO是△ABC的角平分线、BC=CD知∠ABO=∠CBO=∠D，根据∠AOB=∠COD即可得证；（2）由△AOB∽△COD知=，据此即可得出答案．【解答】解：（1）∵BO是△ABC的角平分线，∴∠ABO=∠CBO，∵BC=CD，∴∠CBO=∠D，∴∠ABO=∠D，又∵∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD；（2）∵BC=4，∴BC=CD=4，∵△AOB∽△COD，∴=，即=，解得：OC=2．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、等边对等角等知识点．20．（5分）已知二次函数y=x2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：x …0 1 2 3 …y … 3 0 ﹣1 0 …（1）求二次函数的表达式．（2）画出二次函数的示意图，结合函数图象，直接写出y＜0 时自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据表格数据，利用待定系数法即可求出二次函数表达式；（2）画出二次函数的示意图，找出函数图象在x轴下方的部分，此题得解．【解答】解：（1）由已知可知，二次函数经过（0，3），（1，0）则有，解得：，所以二次函数的表达式为y=x2﹣4x+3；（2）函数图象如图所示：由函数图象可知当1＜x＜3时，y＜0．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据给定点的坐标画出函数图象．21．（5分）如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径OD⊥AB 垂足为C．若AB=2，CD=1，求⊙O的半径长．【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，再连接OA，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值即可．【解答】解：∵⊙O的弦AB=8，半径OD⊥AB，∴AC=AB=×2=，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣CD=r﹣1，连接OA，在Rt△OAC中，OA2=OC2+AC2，即r2=（r﹣1）2+（）2，解得r=2．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．22．（5分）点P（1，4），Q（2，m）是双曲线y=图象上一点．（1）求k值和m值．（2）O为坐标原点．过x轴上的动点R作x轴的垂线，交双曲线于点S，交直线OQ于点T，且点S在点T的上方．结合函数图象，直接写出R的横坐标n的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用图象法即可解决问题；【解答】（1）解：∵点P（1，4），Q（2，m ）是双曲线y=图象上一点．∴4=，m=，∴k=4，m=2．（2）观察函数图象可知，R的横坐标n的取值范围：0＜n＜2或n＜﹣2．【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（5分）小明同学要测量学校的国旗杆BD的高度．如图，学校的国旗杆与教学楼之间的距AB=20m．小明在教学楼三层的窗口C测得国旗杆顶点D的仰角为14°，旗杆底部B的俯角为22°．（1）求∠BCD的大小．（2）求国旗杆BD的高度（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）【分析】（1）过C作CE∥AB交BD于E．根据题意可得答案；（2）在Rt△CEB中，利用三角函数可得tan∠ECB=，代入数据可得BE的长，然后在Rt△CED中可得tan∠DCE==≈0.25，进而可得ED长，再求和即可．【解答】解：（1）过C作CE∥AB交BD于E．由已知，∠DCE=14°，∠ECB=22°，∴∠DCB=36°；（2）在Rt△CEB中，∠CEB=90°，AB=20，∠ECB=22°，∴tan∠ECB==≈0.4，∴BE≈8，在Rt△CED中，∠CED=90°，CE=AB=20，∠DCE=14°，∴tan∠DCE==≈0.25，∴DE≈5，∴BD≈13，∴国旗杆BD的高度约为13米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．24．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点， =．过点B作⊙O的切线，连接AC并延长交于点E，连接AD并延长交于点F．（1）求证：AC=CE．（2）若AE=8，sin∠BAF=求DF长．【分析】（1）连接BC，想办法证明AC=BC，EC=BC即可解决问题；（2）首先证明∠DBF=∠BAF，可得sin∠BAF=sin∠DBF==，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连结BC．∵AB是的直径，C在⊙O上∴∠ACB=90°，∵=，∴AC=BC∴∠CAB=45°．∵AB是⊙O的直径，EF切⊙O于点B，∴∠ABE=90°，∴∠AEB=45°，∴AB=BE，∴AC=CE．（2）在Rt△ABE中，∠ABE=90°，AE=8，AE=BE ∴AB=8，在Rt△ABF中，AB=8，sin∠BAF=，解得：BF=6，连结BD，则∠ADB=∠FDB=90°，∵∠BAF+∠ABD=90°，∠ABD+∠DBF=90°，∴∠DBF=∠BAF，∵sin∠BAF=，∴sin∠DBF=，∴=，∴DF=．【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm．动点D 沿着A→C→B的方向从A点运动到B点．DE⊥AB，垂足为E．设AE 长为xcm，BD长为ycm（当D与A重合时，y=4；当D与B重合时y=0）．小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小云的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4y/cm 4 3.5 3.2 2.8 2.1 1.4 0.7 0补全上面表格，要求结果保留一位小数．则t≈ 2.9 ．（2）在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为2.3 cm．【分析】（1）按题意，认真测量即可；（2）利用数据描点、连线；（3）当DB=AE时，y=x，画图形测量交点横坐标即可．【解答】解：（1）根据题意量取数据为2.9故答案为：2.9（2）根据已知数据描点连线得：（3）当DB=AE时，y与x满足y=x，在（2）图中，画y=x图象，测量交点横坐标为2.3．故答案为：2.3【点评】本题以考查画函数图象为背景，应用了数形结合思想和转化的数学思想．26．（7分）已知抛物线：y=mx2﹣2mx+m+1（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标．（2）若直线l1经过（2，0）点且与x轴垂直，直线l2经过抛物线的顶点与坐标原点，且l1与l2的交点P在抛物线上．求抛物线的表达式．（3）已知点A（0，2），点A关于x轴的对称点为点B．抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象写出m的取值范围．【分析】（1）利用配方法把解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标；（2）先确定P点坐标，然后把P点坐标代入y=mx2﹣2mx+m+1求出m 即可；（3）分别把A、B点的坐标代入y=mx2﹣2mx+m+1求出对应的m的值，然后根据二次函数的性质确定满足条件的m的范围．【解答】（1）解：∵y=mx2﹣2mx+m+1=m（x﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1）；（2）易得直线l2的表达式为y=x，当x=2时，y=x=2，则P（2，2），把P（2，2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得4m﹣4m+m+1=2，解得m=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x+2；（3）点A（0，2）关于x轴的对称点B的坐标为（0，﹣2），当抛物线过A（0，2）时，把A（0，2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得m+1=2，解得m=1，结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点时，0＜m≤1；当抛物线过B（0，﹣2）时，把B（0，﹣2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得m+1=﹣2，解得m=﹣3，结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点时，﹣3≤m＜0；综上所述，m的取值范围是 0＜m≤1或﹣3≤m＜0．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．27．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是线段AB上的一点（不与A、B重合）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C顺时针旋转90°，得到线段CF，连结EF．设∠BCE度数为α．（1）①补全图形．②试用含α的代数式表示∠CDA．（2）若=，求α的大小．（3）直接写出线段AB、BE、CF之间的数量关系．【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②利用三角形的外角的性质计算即可；（2）只要证明△FCE∽△ACB，可得==，Rt△CFA中，∠CFA=90°，cos∠FCA=，推出∠FCA=30°，即α=30°．（3）在Rt△ABC，和Rt△CBE中，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：（1）①补全的图形如图所示：②∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠CDA=∠DBC+∠BCD=45°+α．（2）在△FCE和△ACB中，∠CFE=∠CAB=45°，∠FCE=∠ACB=90°，∴△FCE∽△ACB，∴=∵=∴=连结FA，∵∠FCA=90°﹣∠ACE，∠ECB=90°﹣∠ACE，∴∠FCA=∠BCE=α，在Rt△CFA中，∠CFA=90°，cos∠FCA=∴∠FCA=30°，即α=30°．（3）结论：AB2=2CF2+2BE2．理由：∵AB2=AC2+BC2=2BC2，BC2=CE2+BE2=CF2+BE2，∴AB2=2CF2+2BE2．【点评】本题考查相似三角形综合题、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．28．（8分）已知在平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下的定义：若在图形G上存在一点Q，使得P、Q之间的距离等于1，则称P为图形G的关联点．（1）当⊙O的半径为1时，①点P1（，0），P2（1，），P3（0，3）中，⊙O的关联点有P1，P2．②直线经过（0，1）点，且与y轴垂直，点P在直线上．若P是⊙O的关联点，求点P的横坐标x的取值范围．（2）已知正方形ABCD的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直．若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r的取值范围．【分析】（1）①利用两圆的位置关系即可判断；②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，﹣x），根据两点间的距离公式即可得到结论；（2）根据关联点的定义求出圆的半径r的最大值与最小值即可解决问题；【解答】解：（1）①∵点P1（，0），P2（1，），P3（0，3）∴OP1=，OP2=2，OP3=3，∴半径为1的⊙P1与⊙O相交，半径为1的⊙P2与⊙O相交，半径为1的⊙P3与⊙O相离1，∴⊙O的关联点是P1，P2；故答案为：P1，P2；②如图，以O为圆心，2为半径的圆与直线y=1交于 P1，P2两点．线段P1，P2上的动点P（含端点）都是以O为圆心，1为半径的圆的关联点．故此﹣≤x≤．（2）由已知，若P为图形G的关联点，图形G必与以P为圆心1为半径的圆有交点．∵正方形ABCD边界上的点都是某圆的关联点，∴该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点故此，符合题意的半径最大的圆是以O为圆心，3为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以O为圆心，2﹣1 为半径的圆．综上所述，2﹣1≤r≤3．【点评】本题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

北京市昌平区九年级上册期末数学试题有答案【精选】

北京市昌平区九年级上册期末数学试题有答案【精选】

昌平区第一学期初三年级期末质量抽测数 学 试 卷学校： 班级 姓名一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．已知∠A 为锐角，且sin A ＝2，那么∠A 等于 A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 2．如图是某几何体的三视图，该几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．长方体D ．正方体（第2题图）（第3题图）（第4题图）3．如图，点B 是反比例函数ky x =（0k ≠）在第一象限内图象上的一点，过点B 作BA ⊥轴于点A ，BC⊥y 轴于点C ，矩形AOCB 的面积为6，则的值为 A ．3B ．6C ．-3D ．-64．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =50︒，则∠BOC 的大小为 A ．40° B ．30° C ．80°D ．100°5．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是 A ．2(6)5y x =-+ B ．2(3)5y x =-+C ．2(3)4y x =--D ．2(3)9y x =+- 6．如图，将ΔABC 绕点C 顺时针旋转，点B 的对应点为点E ，点A 的对应点为点D ，当点E 恰好落在边AC 上时，连接AD ，若∠ACB=30°，则∠DAC 的度数是（第6 题图）（第7 题图）A ．60°B ．65°C ． 70°D ．75°7．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是A ．25°B ．40°C ．50°D ．65°8．小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y （单位：m ）与跑步时间t （单位：s ）的对应关系如下图所示.下列叙述正确的是A ．两人从起跑线同时出发，同时到达终点．B ．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度． C. 小苏在跑最后100m 的过程中，与小林相遇2次．D ．小苏前15s 跑过的路程小于小林前15s 跑过的路程．二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．请写出一个图象在第二，四象限的反比例函数的表达式．10．如图，在平面直角坐标系Oy 中，点A ，点B 的坐标分别为（0，2）， （1-，0），将线段AB 沿轴的正方向平移，若点B 的对应点的坐标为 'B （2，0），则点A 的对应点'A 的坐标为．(第10题图)11．如图，P A ，PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，点C 为劣弧AB 上任意一点，过点C 的切线分别交AP ，BP 于D ，E 两点．若AP=8，则 △PDE 的周长为．12．抛物线2y x bx c =++经过点A （0，3），B （2，3），抛物线的对称轴为．(第11题图)13．如图，⊙O 的半径为3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则劣弧AB 的长为．14．如图，在直角三角形ABC中,∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的E点,那么AE的长度是．15．如图，在平面直角坐标系Oy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：．(第13题图) (第14题图) (第15题图) 16.阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M.请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为________.(第16题图)三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）︒-︒+︒-︒．17．计算：2sin30tan60cos60tan4518．二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标y的对应值如下表：（1（2）在图中画出这个二次函数的图象．19．如图，在△ABC 中， AB=AC ，BD ⊥AC 于点D ．AC =10，cos A =45，求BC 的长．20．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连接AC ，BC ．（1）求证：A BCD ∠=∠； （2）若AB =10，CD =8，求BE 的长．21．尺规作图：如图，AC 为⊙O 的直径．（1）求作：⊙O 的内接正方形ABCD ．（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．22．某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点D 用高1.5米的测角仪DA 测得塔顶M 的仰角为30︒，然后沿DF 方向前行40m 到达点E 处，在E 处测得塔顶M 的仰角为60︒．请根据他们的测量数据求此塔MF 的高．（结果精确到0.1m ，参考数据：41.12≈，73.13≈，45.26≈）四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面的最大距离是5m ．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如下图）， 你选择的方案是_____(填方案一，方案二，或方案三)，则B 点坐标是______， 求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m ，求水面上涨的高度．24．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上两点，且点C 为弧BF 的中点，过点C 作AF 的垂线，交AF的延长线于点E ，交AB 的延长线于点D ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE 的长.25．小明根据学习函数的经验，对函数4254y x x =-+ 的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）自变量的取值范围是全体实数，与y 的几组对应数值如下表：（2）如图，在平面直角坐标系Oy 中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质； （4）进一步探究函数图象发现：①方程42540x x -+=有个互不相等的实数根；②有两个点（1，y 1）和（2，y 2）在此函数图象上，当2>1>2时，比较y 1和y 2的大小关系为： y 1y 2 (填“>”、“<”或“=”)；③若关于的方程4254x x a -+=有4个互不相等的实数根，则a 的取值范围是.26．在平面直角坐标系Oy 中，抛物线y=m 2－2m －3 (m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与轴交于点B 顶点为C 点．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）若∠ACB =45°，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，垂直于轴的直线与抛物线交于点P （1，y 1）和Q （2，y 2），与直线AB 交于点N （3，y 3），若3<1<2，结合函数的图象，直接写出1+2+3的取值范围为.五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．已知，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 为BC 边上的一点.（1）以点C 为旋转中心，将△ACD 逆时针旋转90°，得到△BCE ，请你画出旋转后的图形；yl（2）延长AD 交BE 于点F ，求证：AF ⊥BE ； （3）若AC，BF =1，连接CF ，则CF 的长度为.28．对于平面直角坐标系Oy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≥，则称1d 为点P 的最大距离；若12d d <，则称2d 为点P 的最大距离.例如：点P （3-，4）到到轴的距离为4，到y 轴的距离为3，因为3<4，所以点P 的最大距离为4. （1）①点A （2，5-）的最大距离为；②若点B （a ，2）的最大距离为5，则a 的值为；（2）若点C 在直线2y x =--上，且点C 的最大距离为5，求点C 的坐标；（3）若⊙O 上存在．．点M ，使点M 的最大距离为5，直接写出⊙O 的半径r 的取值范围.昌平区第一学期初三年级期末质量抽测数学参考答案及评分标准一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．解：2sin30tan60cos60tan45︒-︒+︒-︒122112=⨯-…………………………………………………………4分12=．…………………………………………………………………5分18．解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（1-，4-）．………………………………… 1分设二次函数的解析式为：2(1)4y a x=+-………………2分把点（0，3）代入2(1)4y a x=+-得1a=∴2(1)4y x=+-…………………………………3分（2）如图所示……………………………………………………… 5分19．解：∵AC=AB，AB=10，∴AC=10．……………………………………………1分在Rt△ABD中∵cos A=ADAB=45，∴AD=8，……………………………………………………………………2分∴DC=2.……………………………………………………………………………3分∴6BD==.…………………………………………………………4分∴BC==……………………………………………………5分20．（1）证明：∵ 直径AB ⊥弦CD ，∴弧BC =弧BD . …………………… 1分∴A BCD ∠=∠.…………………… 2分（2）解：连接OC∵ 直径AB ⊥弦CD ，CD =8， ∴CE =ED =4. …………………… 3分∵ 直径AB =10，∴CO =OB =5.在Rt △COE 中3OE =…………………… 4分∴2BE =.…………………… 5分21．（1）如图所示…………………… 2分（2）解：∵ 直径AC =4，∴OA =OB =2. ……………………… 3分∵正方形ABCD 为⊙O 的内接正方形， ∴∠AOB=90°，……………………… 4分∴AB == 5分.22．解：由题意AB =40，CF =1.5，∠MAC=30°，∠MBC =60°， ∵ ∠MAC=30°，∠MBC =60°， ∴∠AMB=30°∴∠AMB =∠MAB∴ AB =MB =40．………………………… 1分 在Rt △ACD 中， ∵ ∠MCB=90°，∠MBC =60°， ∴ ∠BMC =30°．∴ BC =12BM =20．………………………… 2分∴MC ==………………………………… 3分.， ∴ MC 34.6． ……………………………………………… 4分∴ MF = MC+CF =36.1.………………………………………………………… 5分 ∴ 塔MF 的高约为36.1米． …………………………………… 5分23．解：方案1：（1）点B 的坐标为（5,0）…………… 1分 设抛物线的解析式为：(5)(5)y a x x =+-…………… 2分 由题意可以得到抛物线的顶点为（0,5），代入解析式可得：15a =- ∴抛物线的解析式为：1(5)(5)5y x x =-+-…………… 3分 （2）由题意：把3x =代入1(5)(5)5y x x =-+-解得：165y ==3.2…………… 5分 ∴水面上涨的高度为3.2m …………… 6分方案2：（1）点B 的坐标为（10,0）…………… 1分 设抛物线的解析式为：(10)y ax x =-…………… 2分由题意可以得到抛物线的顶点为（5,5），代入解析式可得：15a =- ∴抛物线的解析式为：1(10)5y x x =--…………… 3分 （2）由题意：把2x =代入1(10)5y x x =--解得：165y ==3.2…………… 5分 ∴水面上涨的高度为3.2m …………… 6分方案3：（1）点B 的坐标为（5, 5-）…………… 1分 由题意可以得到抛物线的顶点为（0,0） 设抛物线的解析式为：2y ax =…………… 2分 把点B 的坐标（5, 5-），代入解析式可得：15a =-∴抛物线的解析式为：215y x =-…………… 3分（2）由题意：把3x =代入215y x =-解得：95y =-= 1.8-…………… 5分 ∴水面上涨的高度为5 1.8-=3.2m …………… 6分24．（1）证明：连接OC ，∵点C 为弧BF 的中点，∴弧BC =弧CF ．∴BAC FAC ∠=∠．…………… 1分∵OA OC =，∴OCA OAC ∠=∠．∴OCA FAC ∠=∠．……………………2分∵AE ⊥DE ，∴90CAE ACE ︒∠+∠=．∴90OCA ACE ︒∠+∠=．∴OC ⊥DE ．∴DE 是⊙O 的切线． …………………… 3分（2）解：∵tan D=OC CD =34，OC =3， ∴CD =4．…………………………… 4分∴OD =5．∴AD= OD+ AO=8．…………………………… 5分 ∵sin D=OC OD =AE AD =35，∴AE=245．……………………………6分 25． （1）m =0,…………… 1分（2）作图,……………2分（3）图像关于y 轴对称, (答案不唯一) ……………3分（4）（5）944a -<< 26．解：（1）∵抛物线y=m 2－2m －3 (m ≠0)与y 轴交于点A ， ∴点A 的坐标为,3-（0）；…………………… 1分 ∵抛物线y=m 2－2m －3 (m ≠0)的对称轴为直线1x =，∴点B 的坐标为,0（1）．…………………… 2分 （2）∵∠ACB =45°，∴点C 的坐标为,4-（1），…………………… 3分把点C 代入抛物线y=m 2－2m －3得出1m =，∴抛物线的解析式为y=2－2－3． …………………… 4分（3）123523x x x <++< ……………………6分 27．（1）补全图形…………………… 2分（2）证明：∵ΔCBE 由ΔCAD 旋转得到，∴ΔCBE ≌ΔCAD ，……………… 3分∴∠CBE =∠CAD ，∠BCE =∠ACD =90°，……………4分 ∴∠CBE +∠E =∠CAD +∠E ，∴∠BCE =∠AFE =90°，∴AF ⊥BE ．……………………………………5分（3………………………………………………7分28．解：（1）①5……………………… 1分②5±……………………… 3分（2）∵点C 的最大距离为5， ∴当5x <时，5y =±，或者当5y <时，5x =±. ………………4分 分别把5x =±，5y =±代入得：当5x =时，7y =-，当5x =-时，3y =，当5y =时，7x =-，当5y =-时，3x =，∴点C （5-，3）或（3，5-）.……………………… 5分（3）5r ≤≤…………………………………7分。

昌平区-学年度第一学期初三期末数学答案.doc

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昌平区2010—2011学年初三年级期末考试数学试卷参考答案及评分标准 2011．1一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）三、解答题（共10道小题，共50分） 13．(4分)解：原式=32333222-⨯+⨯………………………………3分 =1-3 ………………………………4分 14．（4分）解：∵∠AED =∠ABC ，∠A =∠A ，∴△AED ∽△ABC . ………………………………2分∴BCDEAB AE =. ………………………………3分 ∵AE =5，AB = 9，CB =6,∴695DE=, ∴.310=DE ………………………………4分15. （5分）解：连结OA ，OB .∵∠BAC =120°，AB =AC =4,∴∠CBA =∠C =30°． ………………………………2分 ∴ ∠O =60° ………………………………3分 ∵OB =OA ,∴△OAB 是等边三角形． ………………………………4分 ∴OB =OA =4.则⊙O 的直径是8. ………………………………5分A BCED16. （6分） 解：（1）y =x 2-2x -3 = x 2-2x +1-4=(x -1)2-4 ……………………………… 1分 ∴抛物线-2-32y =x x 的对称轴是x =1，顶点坐标是（1，-4）. ……………………………… 3分（2）如图. ……………………………… 4分（3）① x < -1或x >3； ……………………………… 5分② x ≤1. ……………………………… 6分 17．（5分）解：（1）在Rt BDA △中，90BDA =o∠，12AD =，4sin 5AD B AB ==， 15AB ∴=． ……………………………1分9BD ∴===．1495DC BC BD ∴=-=-=． ……………………………2分（2）在Rt ADC △中，90ADC =o∠，512tan ==DC AD C ． ……………………………3分DE Q 是斜边AC 上的中线，12DE AC EC ∴==．EDC C ∴=∠∠． ……………………………4分∴ta n ∠EDC=512tan =C ． ……………………………5分18．（5分）（1）答：图中三对相似三角形是：△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM …………………………3分（2）证明△AMF ∽△BGM ．证明：∵∠AFM ＝∠DME ＋∠E ，∠BMG ＝∠A ＋∠E ， 又∵∠DME =∠A ，∴∠AFM ＝∠BMG ． …………………………………4分 ∵∠A ＝∠B ，∴△AMF ∽△BGM ． …………………………………5分MFG DECAB CE A19．（5分）（1）证明：连结CD （如图）， …………………… 1分 ∵AC 是⊙O 的直径，∴90ADC BDC ∠=∠=o．E Q 是BC 的中点，DE BE EC ∴==．∴DBE BDE ∠=∠OA OD =Q ，ADO A ∴∠=∠．90DBE A ∠+∠=o Q ， 90BDE ADO ∴∠+∠=o ． 90EDO ∴∠=o ． 即OD DE ⊥． ∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线 . ……………………………………………………………… 3分（2）解：连结OE ．∵E 是BC 的中点，O 是AC 的中点，∴OE ∥AB ，OE =12AB . ∴△OEF ∽△BDF .在Rt ABC △中，AC = 4，BC = 根据勾股定理，得 AB = 8， ∴OE = 4， ∵sin ∠ABC =4182AC AB ==， ∴∠ABC =30°． ∴∠A =60°．∴ AOD △是边长为2的等边三角形． ∴ 2AD =，BD = AB -AD =6．∴ EF ：FD = OE ：BD = 4：6 = 2：3 ． ………………………………………… 5分20．（5分）（1）如图． ………………………………………… 1分（2）据题意，得 四边形CDBG 是矩形，CG =DB =21． …………… 2分 在Rt CG △A 中，∠AGC =90°，45ACG =o Q ∠．21AG CG ∴==． ………………………………………… 3分 在Rt BCG △中，∠BGC=90°，∴tan 30213BG CG =⋅=⨯=o…………………4分A BC DG 45°30°∴ 建筑物的高AB =（21+37）米． ……………………… 5分 21. （5分）()222214214(1)44144b ac m m m m m m m-=+-+=++--Q （）证明：10=>，∴一元二次方程mx 2+(2m +1)x +m +1=0有两个不相等的实数根．即：m 取任意非零实数，抛物线C 1与x 轴总有两个不同的交点． ……………… 2分 （2）解：∵ mx 2+(2m +1)x +m +1=0的两个解分别为：x 1=－1，x 2=－mm 1+， ∴A (－1，0),B (－mm 1+，0) ． ……………………………… 4分 (3) 解：∵抛物线C 1与x 轴的一个交点的坐标为A (－1，0),∴将抛物线C 1沿x 轴正方向平移一个单位长度得到抛物线C 2与x 轴交点坐标为（0，0）, 即 无论m 取任何非零实数，C 2必经过定点（0，0）． ………………… 5分 22．（6分）（1）如图． …………………………………… 1分（2）连结OH ．∵PN 与⊙O 相切，切点为H ，∴OH ⊥PN ．∴∠PHO =90°．在Rt △PHO 中，PO =10，OH =6，根据勾股定理，得8PH ==． ………………… 3分（3）画图． …………………………………………… 4分 分两种情况，如图所示．①当点A 在点O 左边时，直线A 1B 1切⊙O 于M 1． 连结O M 1，则∠OM 1 B 1= 90°． 在△PB 1A 1和△PHO 中，1482PB t t PH ==，15102PA t tPO ==． ∴11PB PA PH PO=． 又∠P =∠P ，∴△PB 1A 1∽△PHO ．∴∠PB 1A 1=∠PHO =90°． ∴∠HB 1M 1= 90°．∴四边形B 1M 1OH 为矩形， ∴B 1H =M 1O ． ∴8-4t = 6．∴t = 0.5． ………………… 5分 ②当点A 在点O 右边时．MM同理，得 t = 3.5． ………………… 6分 即 当t 为0.5秒或3.5秒时，直线AB 与⊙O 相切． 四、解答题（共3道小题，共22分） 23.（ 7分 ）解：（1）设一次购买x 只，则20－0.1(10)x -=16，解得50x =．∴一次至少买50只，才能以最低价购买 ． ………………… 2分 （2）当1050x <≤时，2[200.1(10)12]0.19y x x x x =---=-+ …………… 4分当50x >时，(2016)4y x x =-=． ……………………………………5分（3）220.190.1(45)202.5y x x x =-+=--+．① 当10＜x ≤45时，y 随x 的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．② 当45＜x ≤50时，y 随x 的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小． 且当46x =时，y 1=202.4，当50x =时，y 2=200． ………………………………………………6分 y 1＞y 2．即出现了卖46只赚的钱比卖50只嫌的钱多的现象． 当45x =时，最低售价为200.1(4510)16.5--=（元）．∴为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每只16元至少提高到16.5元 . …………………………………………………………7分24．（ 8分 ） 解：（1）当x 变化时，y 不变． 如图1，94AFOE AMON y S S ===正方形四边形． ……………………………………… 2分（2）当x 变化时，y 不变．如图2，作OE ⊥AD 于E ，OF ⊥AB 于F ． ……………………………………… 3分 ∵AC 是正方形ABCD 的对角线， ∴∠BAD =90°，AC 平分∠BAD ．。

北京市昌平区届九年级上期末数学试卷(有答案)

北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，在⊙O中，∠BOC=80°，则∠A等于（）A．50°B．20°C．30°D．40°3．将二次函数表达式y=x2﹣2x+3用配方法配成顶点式正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+4 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣24．如图，几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的左视图是（）A． B． C． D．5．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan ∠CAB的值为（）A．1 B．C．D．6．如图，反比例函数y=在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，且S△AOB=2，则k的值为（）A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．47．已知一个扇形的半径是2，圆心角是60°，则这个扇形的面积是（）A． B．πC．D．2π8．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为（）A．与x轴相离、与y轴相切B．与x轴、y轴都相离C．与x轴相切、与y轴相离D．与x轴、y轴都相切9．已知点A（2，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=（k＞0）的图象上的两点，且y1＜y2．满足条件的m值可以是（）A．﹣6 B．﹣1 C．1 D．310．如图，点A，B，C，D，E为⊙O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，∠DME的度数为y，则下列图象中表示y 与t之间函数关系最恰当的是（）A．B．C．D．二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．已知sinA=，则锐角A的度数是．12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=70°，则∠BCE的度数为．13．将抛物线y=2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为．14．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为．15．《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，包括246个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中记载了这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”这个问题可以描述为：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，勾为AC长8步，股为BC长15步，问△ABC的内切圆⊙O直径是多少步？”根据题意可得⊙O的直径为步．16．如图，Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=55°，点D在边BC上，BD=2CD．把线段BD 绕着点D逆时针旋转α（0＜α＜180）度后，如果点B恰好落在Rt△ABC的边上，那么α=．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．计算：2sin30°﹣4sin45°•cos45°+tan260°．18．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“昌”、“平”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为多少？（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的概率．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，如果AC=2，且tan∠ACD=2．求AB 的长．20．一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：﹣（2）求m的值．21．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B=60°，求AC的长．22．一个圆形零件的部分碎片如图所示．请你利用尺规作图找到圆心O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．昌平区南环路大桥位于南环路东段，该桥设计新颖独特，悬索和全钢结构桥体轻盈、通透，恰好与东沙河湿地生态恢复工程及龙山、蟒山等人文、自然景观相呼应；首创的两主塔间和无上横梁的设计，使大桥整体有一种开放、升腾的气势，预示昌平区社会经济的蓬勃发展，绚丽的夜景照明设计更是光耀水天，使得南环路大桥不仅是昌平新城的交通枢纽，更是一座名副其实的景观大桥，今后也将成为北京的一个新的旅游景点，成为昌平地区标志性建筑．某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在B点测得顶端D 的仰角∠DBA=30°，向前走了50米到达C点后，在C点测得顶端D的仰角∠DCA=45°，点A、C 、B在同一直线上．求南环大桥的高度AD．（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）24．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象过点A（6，1）．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A的直线与反比例函数y=图象的另一个交点为B，与y轴交于点P，若AP=3PB，求点B的坐标．25．如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠EAC=60°，求AD的长．26．有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．小文根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．下面是小文的探究过程，请补充完整：（1）函数y=的自变量x的取值范围是；（2）表是y与x的几组对应值．﹣﹣﹣﹣﹣的值为；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（一条即可）：．五、解答题（共3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，共22分）27．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．（1）在图1中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）在图1中画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2；（3）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的△A3B3C3与△ABC的对应边的比为2：1（画出一种即可）．直接写出点A的对应点A3的坐标．28．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣2x2+bx+c经过点A（0，2），B（3，﹣4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．29．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点P为△ABC内一点．（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE．①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长．（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．小慧的作法是：以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，那么就将PA+PB+PC 的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解．请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN．并直接写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．2．如图，在⊙O中，∠BOC=80°，则∠A等于（）A．50°B．20°C．30°D．40°【考点】圆周角定理．【分析】因为⊙O是△ABC外接圆，AB是直径，∠ACB=90°，∠A+∠B=90°，又因为∠BOC=80°，OB=OC，所以∠B=∠BCO=50°，所以∠A=40°．【解答】解：∵⊙O是△ABC外接圆，AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，∵∠BOC=80°，∴∠B=∠BCO=50°∴∠A=40°．故选D．3．将二次函数表达式y=x2﹣2x+3用配方法配成顶点式正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+4 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣2【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法把一般式化为顶点式即可．【解答】解：y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2．故选A．4．如图，几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的左视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看第一层是两个正方形，第二层是左边一个正方形，故选：D．5．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan ∠CAB的值为（）A．1 B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据正切是对边比邻边，可得答案．【解答】解：如图，tan∠CAB==，故选：C．6．如图，反比例函数y=在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，且S△AOB=2，则k的值为（）A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．4【考点】反比例函数系数k的几何意义．=2求出k的值即可．【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据S△AOB【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴k＜0，=2，∵S△AOB∴|k|=4，∴k=﹣4，即可得双曲线的表达式为：y=﹣，故选A．7．已知一个扇形的半径是2，圆心角是60°，则这个扇形的面积是（）A． B．πC．D．2π【考点】扇形面积的计算．【分析】把已知数据代入扇形的面积公式S=，计算即可．【解答】解：扇形的面积==，故选：A．8．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为（）A．与x轴相离、与y轴相切B．与x轴、y轴都相离C．与x轴相切、与y轴相离D．与x轴、y轴都相切【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．【解答】解：∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，则有2=2，3＞2，∴这个圆与x轴相切，与y轴相离．故选C．9．已知点A（2，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=（k＞0）的图象上的两点，且y1＜y2．满足条件的m值可以是（）A．﹣6 B．﹣1 C．1 D．3【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数的性质解答即可．【解答】解：∵k＞0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，由题意得，0＜m＜2，故选：C．10．如图，点A，B，C，D，E为⊙O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，∠DME的度数为y，则下列图象中表示y 与t之间函数关系最恰当的是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意，分M在OA、、CO之间3个阶段，分别分析变化的趋势，又由点P作匀速运动，故①③都是线段，分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，分3个阶段；①P在OA之间，∠DME逐渐减小，到A点时，为36°，②P在之间，∠DME保持36°，大小不变，③P在CO之间，∠DME逐渐增大，到O点时，为72°；又由点P作匀速运动，故①③都是线段；分析可得：B符合3个阶段的描述；故选B．二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．已知sinA=，则锐角A的度数是60°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由sinA=，得∠A=60°，故答案为：60°．12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=70°，则∠BCE的度数为70°．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】直接根据圆内接四边形的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，∠A=70°，∵∠BCE+∠BCD=180°，∴∠BCE=○A=70°．故答案为：70°．13．将抛物线y=2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=2（x﹣3）2+2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．【解答】解：将抛物线y=2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=2（x﹣3）2+2，故答案为：y=2（x﹣3）2+2．14．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为4．【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．【解答】解：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故答案为4．15．《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，包括246个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中记载了这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”这个问题可以描述为：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，勾为AC长8步，股为BC长15步，问△ABC的内切圆⊙O直径是多少步？”根据题意可得⊙O的直径为6步．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】根据勾股定理求出斜边AB，根据直角三角形的内接圆的半径等于两直角边的和与斜边的差的一半计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，AC=8步，BC=15步，∴AB==17步，∴△ABC的内切圆⊙O直径=8+15﹣17=6步，故答案为：6．16．如图，Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=55°，点D在边BC上，BD=2CD．把线段BD 绕着点D逆时针旋转α（0＜α＜180）度后，如果点B恰好落在Rt△ABC的边上，那么α=70°或120°．【考点】旋转的性质．【分析】设旋转后点B的对应点为B′，当B′在线段AB上时，连接B′D，由旋转的性质可得BD=B′D，利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求得∠BDB′；当点B′在线段AC上时，连接B′D，在Rt△B′CD中可求得∠CDB′，则可求得旋转角，可求得答案．【解答】解：设旋转后点B的对应点为B′，①当B′在线段AB上时，连接B′D，如图1，由旋转性质可得BD=B′D，∴∠DB′B=∠B=55°，∴α=∠BDB′=180°﹣55°﹣55°=70°；②当点B′在线段AC上时，连接B′D，如图2，由旋转性质可得BD=B′D，∵BD=2CD，∴B′D=2CD，∴sin∠CB′D==，∴∠CB′D=30°，∴∠BDB′=90°+30°=120°；综上可知旋转角α为70°或120°，故答案为：70°或120°．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．计算：2sin30°﹣4sin45°•cos45°+tan260°．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：2sin30°﹣4sin45°•cos45°+tan260°=2×﹣4××+（）2=1﹣2+3=2．18．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“昌”、“平”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为多少？（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率=；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的结果数为2，所以取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的概率═=．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，如果AC=2，且tan∠ACD=2．求AB 的长．【考点】解直角三角形．【分析】首先根据AC=2，tan∠ACD=2求得BC的长，然后利用勾股定理求得AB的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠B=∠ACD，∵tan∠ACD=2，∴tan∠B=，∴，由勾股定理得AB=5．20．一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：﹣（2）求m的值．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）将x=1代入解析式求得y的值，即可得答案．【解答】解：（1）设这个二次函数的表达式为y=a（x﹣h）2+k．依题意可知，顶点（﹣1，），∴．∵（0，4），∴．∴．∴这个二次函数的表达式为．（2）当x=1时，y=﹣×4+=，即．21．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B=60°，求AC的长．【考点】圆周角定理．【分析】如图，作直径AD，连接CD．利用圆周角定理得到△ACD是含30度角的直角三角形，由该三角形的性质和勾股定理求得AC的长度即可．【解答】解：如图，作直径AD，连接CD．∴∠ACD=90°．∵∠B=60°，∴∠D=∠B=60°．∵⊙O的半径为6，∴AD=12．在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴CD=6．∴AC=．22．一个圆形零件的部分碎片如图所示．请你利用尺规作图找到圆心O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）【考点】作图—应用与设计作图；垂径定理的应用．【分析】作弦AB，AC，再作出线段AB，AC的垂直平分线相交于点O，则O点即为所求．【解答】解：如图，点O即为所求．四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．昌平区南环路大桥位于南环路东段，该桥设计新颖独特，悬索和全钢结构桥体轻盈、通透，恰好与东沙河湿地生态恢复工程及龙山、蟒山等人文、自然景观相呼应；首创的两主塔间和无上横梁的设计，使大桥整体有一种开放、升腾的气势，预示昌平区社会经济的蓬勃发展，绚丽的夜景照明设计更是光耀水天，使得南环路大桥不仅是昌平新城的交通枢纽，更是一座名副其实的景观大桥，今后也将成为北京的一个新的旅游景点，成为昌平地区标志性建筑．某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在B点测得顶端D 的仰角∠DBA=30°，向前走了50米到达C点后，在C点测得顶端D的仰角∠DCA=45°，点A、C、B在同一直线上．求南环大桥的高度AD．（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】由题意推知△ACD是等腰直角三角形，故设AC=AD=x，在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质（或者解该直角三角形）得到关于x的方程，通过解方程求得x的值即可．【解答】解：由题意知，在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠DCA=45°，∴AC=AD．设AC=AD=x，在Rt△ABD中，∵∠BAD=90°，∠DBA=30°，∴BD=2AD=2x，∴AB=．∴BC=．∵BC=50，∴．∴x≈68.3．∴x=68．∴南环大桥的高度AD约为68米．24．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象过点A（6，1）．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A的直线与反比例函数y=图象的另一个交点为B，与y轴交于点P，若AP=3PB，求点B的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m值，从而得出反比例函数表达式；（2）过A点作AM⊥y轴于点M，AM=6，作BN⊥y轴于点N，则AM∥BN，由平行线的性质结合AP=3PB即可求出BN的长度，从而得出点B的横坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标．【解答】解：（1）反比例函数的图象过点A（6，1），∴m=6×1=6，∴反比例函数的表达式为．（2）过A点作AM⊥y轴于点M，AM=6，作BN⊥y轴于点N，则AM∥BN，如图所示．∵AM∥BN，AP=3PB，∴，∵AM=6，∴BN=2，∴B点横坐标为2或﹣2，∴B点坐标为（2，3）或（﹣2，﹣3）．25．如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠EAC=60°，求AD的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接FO，由F为BC的中点，AO=CO，得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据OF∥AB，得出OF⊥CE，于是得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论．（2）证出△AOE是等边三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性质即可得到结果．【解答】（1）证明：连接CE，如图所示：∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°．∴∠BEC=90°．∵点F为BC的中点，∴EF=BF=CF．∴∠FEC=∠FCE．∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE．∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°，∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°．∴EF是⊙O的切线．（2）解：∵OA=OE，∠EAC=60°，∴△AOE是等边三角形．∴∠AOE=60°．∴∠COD=∠AOE=60°．∵⊙O的半径为2，∴OA=OC=2在Rt△OCD中，∵∠OCD=90°，∠COD=60°，∴∠ODC=30°．∴OD=2OC=4，∴CD=．在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，AC=4，CD=．∴AD==．26．有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．小文根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．下面是小文的探究过程，请补充完整：（1）函数y=的自变量x的取值范围是x≠1；（2）表是y与x的几组对应值．﹣﹣﹣﹣﹣则m的值为；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（一条即可）：图象有两个分支，关于点（1，1）中心对称．【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．【分析】（1）由分式有意义的条件可求得答案；（2）把x=3代入函数解析式可求得答案；（3）利用描点法可画出函数图象；（4）结合函数图象可得出答案．【解答】解：（1）由题意可知2x﹣2≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1；（2）当x=3时，m==，故答案为：；（3）利用描点法可画出函数图象，如图：（4）由函数图象可知：图象有两个分支，关于点（1，1）中心对称，故答案为：图象有两个分支，关于点（1，1）中心对称．五、解答题（共3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，共22分）27．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．（1）在图1中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）在图1中画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2；（3）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的△A3B3C3与△ABC的对应边的比为2：1（画出一种即可）．直接写出点A的对应点A3的坐标．【考点】作图-位似变换；作图-轴对称变换；作图-旋转变换．【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2；（3）把点A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到A3、B3、C3的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1为所作；（2）如图1，△A2B2C2为所作；（3）如图2，△A3B3C3△ABC为所作，此时点A的对应点A3的坐标是（﹣4，﹣4）．28．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣2x2+bx+c经过点A（0，2），B（3，﹣4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，进而利用公式求得对称轴解析式；（2）求得C的坐标以及二次函数的最大值，求得CB与对称轴的交点即可确定t的范围．【解答】解：（1）抛物线y=﹣2x2+bx+c经过点A（0，2），B（3，﹣4），代入得解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣2x2+4x+2，对称轴为直线x=1；（2）由题意得C（﹣3，4），二次函数y=﹣2x2+4x+2的最大值为4．由函数图象得出D纵坐标最大值为4．因为点B与点C关于原点对称，所以设直线BC的表达式为y=kx，将点B或点C 与的坐标代入得，．∴直线BC的表达式为．当x=1时，．∴t的范围为．29．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点P为△ABC内一点．（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE．①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长．（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．小慧的作法是：以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，那么就将PA+PB+PC 的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解．请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN．并直接写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值．【考点】几何变换综合题；线段的性质：两点之间线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形；矩形的判定与性质．【分析】（1）①连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE，据此画图即可；②连接BD、CD，构造矩形ACBD和Rt△CDE，根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算，即可求得CE的长；（2）以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．根据△PAM、△ABN 都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN，最后根据当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，进而求得PA+PB+PC的最小值．【解答】解：（1）①补全图形如图所示；②如图，连接BD、CD∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC=AD，∵∠ACB=90°，∴四边形BCAD是矩形，∴CD=AB=6，∵BP=3，∴DE=BP=3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，CE====；（2）证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．由旋转可得，△AMN≌△ABP，∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，∴△PAM、△ABN都是等边三角形，∴PA=PM，∴PA+PB+PC=CP+PM+MN，当AC=BC=4时，AB=4，当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，∴AQ=AB=2=CQ，NQ=AQ=2，∴此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=．2017年2月10日。

北京市昌平区九年级上册数学期末试题(有答案)【精选】.docx

北京市昌平区九年级上学期期末考试试题一、选择题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）1.已知∠A为锐角，且sinA=，那么∠A 等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由∠A为锐角，且sinA=，得∠A=45°，故选：C．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．2.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．长方体D．球体【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，由俯视图为圆形可得为圆锥．故选：A．【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．13.如图，点 B是反比例函数y=（≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B 作BA⊥轴于点A，BC⊥y 轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则的值为（）A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6【分析】可根据反比例函数的比例系数的几何意义得到的值．【解答】解：因为矩形 AOCB 的面积为 6，所以的值为 6，故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数 y=图象中任取一点，过这一个点向轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值||．4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】由⊙O是△ABC 的外接圆，∠A=50°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．【解答】解：∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A=50°，2∴∠BOC=2∠A=100°．故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．5.将二次函数 y=2﹣6+5用配方法化成y=（﹣h）2+的形式，下列结果中正确的是（）A．y=（﹣6）2+5B．y=（﹣3）2+5 C．y=（﹣3）2﹣4 D．y=（+3）2﹣9【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可．【解答】解：y=2﹣6+5=2﹣6+9﹣4=（﹣3）2﹣4，故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．6.如图，将△ABC 绕点 C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A 的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC 的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°【分析】由旋转性质知△ABC∽△DEC，据此得∠ACB=∠DCE=30°、AC=DC，继而可得答案．3【解答】解：由题意知△ABC∽△DEC，则∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，∴∠DAC===75°，故选：D．【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③ 旋转前、后的图形全等．7.如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点 D，若∠A=25°，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°【分析】连接 OC．由等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可求得∠DOC=50°，接下，由切线的性质可证明∠OCD=90°，最后在△OCD 中依据三角形内角和定理可求得∠D 的度数．【解答】解：连接 OC．∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=25°．∴∠DOC=∠A+∠ACO=50°．4∵CD 是⊙的切线，∴∠OCD=90°．∴∠D=180°﹣90°﹣50°=40°．故选：B．【点评】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，求得∠DOC和∠OCD的度数是解题的关键．8.小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50 米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（）A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C.小苏在跑最后 100m的过程中，与小林相遇2 次D.小苏前 15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程【分析】通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度=，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根据图象小苏前15s 跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答．5【解答】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故 A错误；根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度=，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故 B错误；小林在跑最后 100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知 1 次，故 C错误；根据图象小苏前 15s 跑过的路程小于小林前 15s 跑过的路程，故 D 正确；故选：D．【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．二、填空题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）9.请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：y=﹣．【分析】根据反比例函数的性质可得＜0，写一个＜0 的反比例函数即可．【解答】解：∵图象在第二、四象限，∴y=﹣，故答案为：y=﹣．【点评】此题主要考查了反比例函数（≠0），（1）＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．10.如图，在平面直角坐标系Oy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段 AB沿轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），则点A的对应点A'的坐标为（3，2）．【分析】根据平移的性质即可得到结论．【解答】解：∵将线段 AB 沿轴的正方向平移，若点 B 的对应点B′的坐标为（2，0），∵﹣1+3=2，∴0+3=3∴A′（3，2），故答案为：（3，2）【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．11.如图，PA，PB分别与⊙O相切于 A、B两点，点 C为劣弧 AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP=8，则△PDE的周长为16 ．【分析】直接运用切线长定理即可解决问题；【解答】解：∵DA、DC、EB、EC 分别是⊙O 的切线，∴DA=DC，EB=EC；∴DE=DA+EB，∴PD+PE+DE=PD+DA+PE+BE=PA+PB，∵PA、PB 分别是⊙O 的切线，∴PA=PB=8，∴△PDE 的周长=16．故答案为：16【点评】该命题以圆为载体，以考查切线的性质、切线长定理及其应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理分析、判断、推理或解答．12.抛物线 y=2+b+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为直线=1 ．【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．【解答】解：∵抛物线 y=2+b+c 经过点 A（0，3）和B（2，3），∴此两点关于抛物线的对称轴对称，∴==1．故答案为：直线 =1．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意判断出抛物线上两点坐标的关系是解答此题的关键．13.如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为π．【分析】求出圆心角∠AOB 的度数，再利用弧长公式解答即可．【解答】解：如图，连接 OA、OB，∵ABCDEF 为正六边形，∴∠AOB=360°×=60°，的长为=π．故答案为：π【点评】本题主要考查正多边形的性质和弧长公式，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．14.如图，在直角三角形 ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC 边上一点，将△BCD沿BD 折叠，使点 C落在AB边的E 点，那么 AE 的长度是4．【分析】由勾股定理可知AB=10，由折叠的性质得 BE=BC=6，再由线段的和差关系即可求解．【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理可知AB==10．由折叠的性质得：BE=BC=6，则AE=AB﹣BE=4．故答案为：4．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，主要利用了翻折前后的两个图形对应边相等．15.如图，在平面直角坐标系Oy中，△CDE可以看作是△AOB 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB 得到△CDE的过程：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿轴向右平移一个单位．【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD 得到△AOB 的过程．【解答】解：将△AOB 绕点 O 顺时针旋转90°，再沿轴向右平移一个单位得到△CDE，故答案为：将△AOB 绕点 O 顺时针旋转90°，再沿轴向右平移一个单位【点评】考查了坐标与图形变化﹣旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．16.阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点 O 表示数 0，点 A 表示数 1，点B 表示数 5，以 AB为直径作半圆（如图）；第二步：以 B点为圆心，1 为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以 A 点为圆心，AC 为半径作弧交数轴的正半轴于点 M．请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为+1 ．【分析】按照要求作图即可得点 M，连接 AC、BC，由题意知 AB=4、BC=1、∠ACB=90°，从而可得AM=AC==，继而可得答案．【解答】解：如图，点 M 即为所求，连接 AC、BC，由题意知，AB=4、BC=1，∵AB 为圆的直径，∴∠ACB=90°，则AM=AC===，∴点 M表示的数为+1，故答案为：+1．【点评】本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图和圆周角定理及勾股定理．三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分）17．（5分）计算：2s in30°﹣tan60°+co s60°﹣tan45°．【分析】根据解特殊角的三角函数值解答．【解答】解：2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°==．【点评】考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．18．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标 y 的对应值如下表：（2）在图中画出这个二次函数的图象．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y=a（+1）2﹣4，然后把点（0，3）代入求出 a 即可；（2）利用描点法画二次函数图象．【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为：y=a（+1）2﹣4，把点（0，3）代入 y=a（+1）2﹣4 得 a=1∴抛物线解析式为 y=（+1）2﹣4；（2）如图所示：【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．19．（5 分）如图，在△A BC中，AB=AC，BD⊥AC于点D．AC=10，cosA=，求 BC 的长．【分析】先在Rt△ABD 中利用 cosA 的定义可计算出 AD 的长，再利用勾股定理解答即可．【解答】解：∵AC=AB，AB=10，∴AC=10．在Rt△ABD 中∵cosA==，∴AD=8，∴DC=2．∴．∴．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质．勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．20．（5分）如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接 AC，BC．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若AB=10，CD=8，求 BE的长．【分析】（1）根据等弧对等角证明即可；（2）连接OC，根据垂径定理得到CE=DE=CD=4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算 OB﹣OE 即可．【解答】（1）证明：∵直径AB⊥弦 CD，∴弧 BC=弧 BD．∴∠A=∠BCD；（2）连接 OC∵直径AB⊥弦 CD，CD=8，∴CE=ED=4．∵直径 AB=10，∴CO=OB=5．在Rt△COE 中，∵OC=5，CE=4，∴OE==3，∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．21．（5分）尺规作图：如图，AC 为⊙O的直径．（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）当直径AC=4 时，求这个正方形的边长．【分析】（1）过点 O 作出直径 AC 的垂线，进而得出答案；（2）利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形 ABCD 的边长．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵直径AC=4，∴OA=OB=2．∵正方形 ABCD 为⊙O 的内接正方形，∴∠AOB=90°，∴．【点评】此题主要考查了复杂作图以及正多边形和圆，正确掌握正方形的性质是解题关键．22．（5分）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点 D用高1.5 米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30°，然后沿 DF方向前行40m到达点E处，在E 处测得塔顶M的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）【分析】首先证明 AB=BM=40，在Rt△BCM 中，利用勾股定理求出 CM 即可解决问题；【解答】解：由题意：AB=40，CF=1.5，∠MAC=30°，∠MBC=60°，∵∠MAC=30°，∠MBC=60°，∴∠AMB=30°∴∠AMB=∠MAB∴AB=MB=40，在Rt△BCM 中，∵∠MCB=90°，∠MBC=60°，∴∠BMC=30°．∴BC==20，∴，∴MC≈34.64，∴MF=CF+CM=36.14≈36.1．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明AB=BM=40，属于中考常考题型．四、解答题（共 4 道小题，每小题 6 分，共 24 分）23．（6分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为 10m 时，桥洞与水面的最大距离是 5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是方案二（填方案一，方案二，或方案三），则 B点坐标是（10，0），求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．【分析】（1）根据题意选择合适坐标系即可，结合已知条件得出点B 的坐标即可；（2）根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的右端点B坐标为（10，0），可设抛物线的顶点式求解析式，再根据题意可知水面宽度变为6m 时=2或=8，据此求得对应 y 的值即可得．【解答】解：（1）选择方案二，根据题意知点 B的坐标为（10，0），故答案为：方案二，（10，0）；（2）由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），设抛物线解析式为y=a（﹣5）2+5，把点（0，0）代入得：0=a（0﹣5）2+5，即a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣（﹣5）2+5，由题意知，当=5﹣3=2 时，﹣（﹣5）2+5= ，所以水面上涨的高度为米．【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题．24．（6 分）如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C 为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交 AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tanD=，求 AE的长．【分析】（1）连接OC，如图，由弧BC=弧 CF得到∠BAC=∠FAC，加上∠OCA=∠OAC．则∠OCA=∠FAC，所以OC∥AE，从而得到OC⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先在Rt△OCD 中利用正切定义计算出 CD=4，再利用勾股定理计算出OD=5，则sinD=，然后在Rt△ADE 中利用正弦的定义可求出 AE的长．【解答】（1）证明：连接 OC，如图，∵点 C 为弧 BF 的中点，∴弧 BC=弧 CF．∴∠BAC=∠FAC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC．∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE，∵AE⊥DE，∴OC⊥DE．∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt△OCD中，∵tanD==，OC=3，∴CD=4，∴OD==5，∴AD=OD+AO=8，在Rt△ADE中，∵sinD===，∴AE=．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．25．（6 分）小明根据学习函数的经验，对函数y=4﹣52+4 的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）自变量的取值范围是全体实数，与 y 的几组对应数值如下表：… 2 ﹣0 1 2 ……4.3 3.2 0 ﹣2. 2 ﹣0 2.8 3.7 4 3.7 2.8 0 ﹣﹣m 3.2 4.3 …（2）如图，在平面直角坐标系Oy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质函数图象关于 y轴对称；（4）进一步探究函数图象发现：①方程4﹣52+4=0 有 4 个互不相等的实数根；②有两个点（1，y1）和（2，y2）在此函数图象上，当2＞1＞2 时，比较 y1 和y2的大小关系为：y1＜y2（填“＞”、“＜”或“=”）；③若关于的方程4﹣52+4=a 有 4 个互不相等的实数根，则a 的取值范围是．【分析】（1）观察对应数值表即可得出；（2）用平滑的曲线依次连接图中所描的点即可；（3）观察函数图象，即可求得．【解答】解：（1）观察对应数值表可知：m=0，（2）用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：（3）观察函数图象，发现该函数图象关于 y轴对称，（答案不唯一），故答案为：函数图象关于 y 轴对称；（4）①∵函数的图象与轴有 4个交点，∴方程4﹣52+4=0 有 4 互不相等的实数根，故答案为 4；②函数图象可知，当2＞1＞2 时，y1＜y2；故答案为＜；③观察函数图象，结合对应数值表可知：，故答案为：．【点评】本题考查二次函数的图象，性质和最值，观察函数图象并结合函数性质是解决本题的关键．26．（6分）在平面直角坐标系Oy中，抛物线y=m2﹣2m﹣3（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与轴交于点 B 顶点为 C点．（1）求点 A 和点 B的坐标；（2）若∠ACB=45°，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，垂直于y 轴的直线 l 与抛物线交于点P（1，y1）和Q（2，y2），与直线AB交于点N（3，y3），若3＜1＜2，结合函数的图象，直接写出1+2+3 的取值范围为．【分析】（1）利用待定系数法、对称轴公式即可解决问题；（2）确定点 C坐标，利用待定系数法即可解决问题；23（3）如图，当直线l 在直线 l1与直线 l2之间时，3＜1＜2，求出直线l 经过点 A 、点C 时的1+3+2 的值即可解决问题；【解答】解：（1）∵抛物线 y=m2﹣2m﹣3 （m≠0）与 y轴交于点A，∴点 A的坐标为（0，﹣3）；∵抛物线 y=m2﹣2m﹣3 （m≠0）的对称轴为直线 =1，∴点 B的坐标为（1，0）．（2）∵∠ACB=45°，∴点 C的坐标为（1，﹣4），把点 C 代入抛物线 y=m2﹣2m﹣3 得出 m=1，∴抛物线的解析式为 y=2﹣2﹣3．（3）如图，当直线 l1 经过点 A 时，1=3=0，2=2，此时1+3+2=2，当直线 l2 经过点 C 时，直线 AB 的解析式为y=3﹣3，∵C（1，﹣4），∴y=﹣4 时，=﹣此时，1=2=1，3=﹣，此时1+3+2=，当直线 l 在直线 l1与直线l2之间时，3＜1＜2∴．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，解答（3）题时，利用了“数形结合”的数学思想，降低了解题的难度．五、解答题（共 2 道小题，每小题 7 分，共 14 分）27．（7 分）已知，△A BC中，∠A CB=90°，AC=BC，点D 为BC边上的一点．（1）以点 C为旋转中心，将△ACD 逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；（3）若AC=，BF=1，连接CF，则 CF的长度为．【分析】（1）直接利用旋转的性质即可得出结论；（2）先判断出△CBE≌△CAD，得出∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，即可得出结论；（3）先利用相似三角形的性质求出BD= ，CD=（3﹣），用BC=BD+CD= ，建立方程求出BD=，CD= ，∴BD=CD，再利用三角形的面积求出CM=1，进而根据勾股定理得，AM=2，再△AMC∽△BNF，求出FN= ，BN= ，∴DN=BD﹣BN= ，得出CN=CD+DN= ，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图 1，△BCE即为所求；（2）证明：如图 2，∵△CBE 由△CAD 旋转得到，∴△CBE≌△CAD，∴∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，∴∠CBE+∠E=∠CAD+∠E，∴∠BCE=∠AFE=90°，∴AF⊥BE；（3）如图3，在Rt△ABC中，BC=AC=，∴AB=AC=，在Rt△ABF 中，根据勾股定理得，AF=3，设 AD=，∴DF=3﹣，由旋转知，CE=CD，BE=AD=由（2）知，∠BFD=90°=∠BCE，∵∠B=∠B，∴△BFD∽△BCE，∴，∴= ，∴BD= ，CD=（3﹣），∵BC=BD+CD=，∴+ （3﹣）= ，∴=，∴BD=，CD=，过点 C 作CM⊥AD 于 M，∴S△ACD=AC×CD=AD×CM，∴CM==1，在Rt△AMC 中，根据勾股定理得，AM=2，过点 F 作FN⊥BC 于 N，∴∠BNF=90°=∠AMC，由旋转知，∠CAM=∠FBN，∴△AMC∽△BNF，∴=，∴= ，∴ FN=，BN= ，∴DN=BD﹣BN= ，∴CN=CD+DN=，在Rt△CNF中，CF==故答案为：．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，解本题的关键是求出BD，CD的值．28．（7分）对于平面直角坐标系Oy中的点 P，给出如下定义：记点P到轴的距离为d1，到y 轴的距离为 d2，若d1≥d2，则称d1 为点P 的最大距离；若d1＜d2，则称 d2 为点 P 的最大距离．例如：点 P（﹣3，4）到到轴的距离为 4，到 y 轴的距离为 3，因为3＜4，所以点P 的最大距离为 4．（1）①点A（2，﹣5）的最大距离为5 ；②若点B（a，2）的最大距离为 5，则 a的值为±5；（2）若点 C在直线y=﹣﹣2上，且点C 的最大距离为 5，求点 C的坐标；（3）若⊙O 上存在点 M，使点 M 的最大距离为 5，直接写出⊙O的半径r 的取值范围．【分析】（1）①直接根据“最大距离”的定义，其最小距离为“最大距离”；②点 B（a，2）到轴的距离为 2，且其“最大距离”为 5，所以a=±5；（2）根据点C的“最大距离”为5，可得=±5 或y=±5，代入可得结果；（3）如图，观察图象可知：当⊙O于直线=5，直线=﹣5，直线 y=5，直线y=﹣5 有交点时，⊙O 上存在点 M，使点 M 的最大距离为 5，【解答】解：（1）①∵点 A（2，﹣5）到轴的距离为 5，到 y轴的距离为2，∵2＜5，∴点 A 的“最大距离”为 5．②∵点 B（a，2）的“最大距离”为 5，∴a=±5；故答案为 5，±5．（2）设点 C的坐标（，y），∵点 C 的“最大距离”为 5，∴=±5 或y=±5，当 =5 时，y=﹣7，当 =﹣5 时，y=3，当 y=5 时，=﹣7，当 y=﹣5 时，=3，∴点C（﹣5，3）或（3，﹣5）．（3）如图，观察图象可知：当⊙O于直线=5，直线=﹣5，直线 y=5，直线y=﹣5 有交点时，⊙O 上存在点 M，使点 M 的最大距离为 5，∴．【点评】本题考查一次函数综合题、“最大距离”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．。

昌平区2022—2023学年度初三期末数学答案


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2023-2024学年北京市昌平区九年级(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不确定2.如果，那么下列比例式成立的是()A.B.C.D.3.将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为()A. B.C.D.4.如图，点A ，B ，C ，D 在上，AC 是的直径，，则的度数是() A. B. C.D.5.在平面直角坐标系xOy 中，若点和在反比例函数图象上，则下列关系式正确的是()A.B.C. D.6.如图，一艘轮船航行至O 点时，测得某灯塔A 位于它的北偏东方向，且它与灯塔A 相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B 处时，测得灯塔A 恰好在它的正北方向，则AB 的距离可表示为()A.海里B.海里C.海里D.海里7.如图，在等腰中，，于点D，，则的值()A.B.2C.D.8.如图，是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且，连接BD，AE相交于点F，则下列说法正确的是()①≌；②；③∽；④若，则A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9.写出一个开口向下且过的抛物线的表达式______.10.如图，M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为A，的面积为3，则k的值为______.11.在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫.如图，作出“雪花”图案正六边形的外接圆，已知正六边形ABCDEF的边长是4，则长为______.12.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，DE，AC交于点F，则和的面积比为______.13.如图，在中，半径OC垂直弦AB于点D，若，，则CD的长为______.14.小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是______15.如图，AB是直径，点C是上一点，且，点D是的中点，点P是直径AB上一动点，则的最小值为______.16.已知抛物线为常数，的对称轴是直线其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④，其中，正确结论的序号是______.三、解答题：本题共12小题，共68分。

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昌平区２0１７－２01８学年第一学期初三年级期末质量抽测数 学 试 卷 20１8.１学校: 班级:姓名: 考生须知 1．本试卷共８页，共五道大题，28道小题,满分１00分.考试时间1２0分钟. 2.在试卷和答题卡上认真填写班级、姓名和考试编号．３．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.考试结束,请将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（共8道小题,每小题２分，共16分)下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1.已知∠Ａ为锐角,且ｓｉｎ Ａ＝22，那么∠A 等于 A ．１5° B ．30° C.４5° D ．60° 2．如图是某几何体的三视图,该几何体是A.圆锥B.圆柱C.长方体D.正方体（第２题图) (第３题图) (第4题图）３.如图,点B 是反比例函数k y x =(0k ≠)在第一象限内图象上的一点，过点B 作BA ⊥x 轴于点A ,B Ｃ⊥y 轴于点C ,矩形AO ＣＢ的面积为6，则k 的值为A.3 B ．6ﻩ C.－３ ﻩﻩ D ．-6 ４.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =50︒,则∠B ＯC 的大小为A.4０°ﻩﻩ Ｂ．3０°ﻩ C.8０° D.100°５．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式,下列结果中正确的是 Ａ.2(6)5y x =-+B.2(3)5y x =-+Ｃ．2(3)4y x =--D.2(3)9y x =+-6．如图,将ΔAB Ｃ绕点C 顺时针旋转,点B 的对应点为点E ，点A 的对应点为点D ，当点Ｅ恰好落在边AC 上时，连接A Ｄ,若∠ACB=30°,则∠DAC 的度数是(第６ 题图） (第7 题图）Ａ．60° B ．６５° C. 70° Ｄ．7５°7.如图,AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点,过点Ｃ作⊙Ｏ的切线，交直径A Ｂ的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是 A ．２5° Ｂ．40° C.５０° Ｄ.65° 8．小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑.在整个过程中,跑步者距起跑线的距离ｙ(单位：m )与跑步时间ｔ（单位：s )的对应关系如下图所示.下列叙述正确的是A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点.B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度．C. 小苏在跑最后１00m 的过程中,与小林相遇２次. Ｄ.小苏前15ｓ跑过的路程小于小林前15ｓ跑过的路程. 二、填空题（共8道小题,每小题２分,共１6分）９．请写出一个图象在第二,四象限的反比例函数的表达式 . 1０.如图，在平面直角坐标系x Ｏy 中，点Ａ,点B 的坐标分别为(0，2）， (1 ,0)，将线段A Ｂ沿x 轴的正方向平移,若点B 的对应点的坐标为 'B (2，0),则点A 的对应点'A 的坐标为 .（第１0题图)EDCB A11．如图,P Ａ,P Ｂ分别与⊙O 相切于Ａ、B 两点，点C 为劣弧AB 上任意一点，过点Ｃ的切线分别交AP ,BP 于D ，E 两点．若ＡP=8，则 △ＰＤE 的周长为 .12．抛物线2y x bx c =++经过点Ａ(0，３),Ｂ（2，3)，抛物线的对称轴为 . (第11题图）13．如图，⊙O 的半径为３,正六边形ABCDEF 内接于⊙O ,则劣弧ＡB 的长为 ． 14．如图，在直角三角形ABC 中,∠C =90°,B Ｃ=６,AC ＝8,点D 是ＡC 边上一点,将△BCD 沿ＢD 折叠,使点C 落在AB 边的E 点,那么AE 的长度是 .15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，△CD Ｅ可以看作是△ＡＯB 经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的,写出一种由△AOB 得到△CDE 的过程： ．(第１3题图) （第14题图) (第15题图) 16.阅读以下作图过程：第一步:在数轴上,点Ｏ表示数0,点A 表示数1，点Ｂ表示数5,以AB 为直径作半圆（如图）； 第二步:以B 点为圆心,1为半径作弧交半圆于点Ｃ(如图）; 第三步:以A 点为圆心,ＡC 为半径作弧交数轴的正半轴于点M ．请你在下面的数轴中完成第三步的画图(保留作图痕迹，不写画法）,并写出点M 表示的数为____＿_＿_.（第16题图)三、解答题（共6道小题,每小题５分，共30分） 17.计算:2sin30tan60cos60tan 45︒-︒+︒-︒．xA B 01C5OOFE DCBA18x…4-3-2-1-012…y…503-4-3-05…（1)求这个二次函数的表达式;(２）在图中画出这个二次函数的图象．19.如图,在△ＡBC中，AB=ＡC,BＤ⊥AC于点Ｄ.ＡC=１０,ｃos A=45，求BC的长.2０．如图,AB是⊙Ｏ的直径，弦CＤ⊥AB于点E,连接AＣ，BC. (1）求证:A BCD∠=∠；(2)若AB＝10,CＤ=８，求ＢE的长．DC BA21．尺规作图：如图，AC 为⊙Ｏ的直径.(1)求作：⊙O 的内接正方形ABC Ｄ．(要求：不写作法,保留作图痕迹)； （2)当直径AC ＝4时,求这个正方形的边长.2２．某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点D 用高1.5米的测角仪DA 测得塔顶M 的仰角为30︒,然后沿DF 方向前行40m 到达点E 处，在E 处测得塔顶M 的仰角为60︒．请根据他们的测量数据求此塔MF 的高．(结果精确到0.1ｍ，参考数据:41.12≈，73.13≈，45.26≈)四、解答题（共４道小题,每小题6分,共24分）23.如图,是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为1０m 时,桥洞与水面 的最大距离是5m ．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如下图),你选择的方案是_____(填方案一,方案二，或方案三），则B 点坐标是______，求出你所选方案中的抛物线的表达式;(2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m ，求水面上涨的高度．5m10mxyxyxy AO B方案 2OBA方案 3BOA方案 1A B CDFEM２４．如图,AＢ为⊙O的直径,C、F为⊙O上两点,且点C为弧BF的中点，过点C作ＡF的垂线,交ＡF 的延长线于点E，交AＢ的延长线于点D.（1）求证：DE是⊙O的切线;（2）如果半径的长为3,ｔanＤ＝34,求AE的长．25．小明根据学习函数的经验,对函数4254y x x=-+下面是小明的探究过程，请补充完整:x …－2 -1 0 1 2…y …４.33.２－２.2-1.４２．８3.7 4３．７2.8 ０－1．４-2.２m 3.2４.3…=；（2）如图，在平面直角坐标系ｘOｙ中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点,根据描出的点，画出该函数的图象；（3)观察函数图象，写出一条该函数的性质;（4)进一步探究函数图象发现:①方程42540x x-+=有个互不相等的实数根；②有两个点(x1,y１）和（x2,y2）在此函数图象上,当x２>ｘ1＞2时，比较ｙ1和y2的大小关系为：y１ｙ2 (填“>”、“＜”或“=”)；③若关于x的方程4254x x a-+=有４个互不相等的实数根,则a的取值范围是.94-32-54-12-14-1294145432115115-OFBA２6.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y ＝mx 2-2mx -3 (ｍ≠0)与y 轴交于点A ,其对称轴与x 轴交于点Ｂ顶点为C 点.（1)求点A 和点B 的坐标；(2)若∠ACB =45°，求此抛物线的表达式；(3）在(2)的条件下,垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P （ｘ1,y １)和Q (x 2，y 2)，与直线AB 交于点N （x 3,y 3）,若x 3<x １＜x 2，结合函数的图象，直接写出x 1+x ２+x 3的取值范围为 .五、解答题（共２道小题,每小题7分，共14分)27.已知，△ABC 中,∠ACB =90°，AC ＝ＢC ，点D 为BC 边上的一点.（1）以点C 为旋转中心,将△ＡＣD 逆时针旋转90°，得到△ＢC Ｅ，请你画出旋转后的图形； （2）延长A Ｄ交B Ｅ于点Ｆ,求证:A Ｆ⊥BE ；(3)若AC ＝ ,BF =1，连接C Ｆ，则C Ｆ的长度为 ．5备用图AACDB DCxy –1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O28．对于平面直角坐标系x Ｏｙ中的点Ｐ，给出如下定义：记点Ｐ到x 轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≥,则称1d 为点P 的最大距离;若12d d <,则称2d 为点Ｐ的最大距离.例如：点P （3-,4)到到x 轴的距离为4,到y 轴的距离为3，因为3 < 4，所以点P 的最大距离为4. （１)①点Ａ（2，5-）的最大距离为；②若点B (a ，2)的最大距离为5，则a 的值为 ; (２）若点C 在直线2y x =--上,且点Ｃ的最大距离为5，求点C 的坐标;（３）若⊙O 上存在．．点M ，使点M 的最大距离为5,直接写出⊙O 的半径ｒ的取值范围.xy –1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O昌平区2017-2０18学年度第一学期初三年级期末质量抽测数学参考答案及评分标准 2018.1一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分)二、填空题（共８道小题,每小题２分，共1６分）三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分) 1７.解: 2sin30tan60cos60tan 45︒-︒+︒-︒ 122112=⨯- ………………………………………………………… ４分 12=． ………………………………………………………………… ５分 18．解:（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为(1-，4-）.………………………………… 1分设二次函数的解析式为:2(1)4y a x =+-………………2分把点（０，３)代入2(1)4y a x =+-得1a = ∴2(1)4y x =+-…………………………………3分（2)如图所示 ……………………………………………………… 5分错误!未定义书签。

１９．解：∵AC=AB ，A Ｂ=１0,∴AC=１0.…………………………………………… 1分 在R ｔ△AB Ｄ中∵cos A =AD AB = 45，∴AD ＝8,…………………………………………………………………… 2分∴DC=2.…………………………………………………………………………… 3分 ∴6BD ==.………………………………………………………… 4分∴BC =…………………………………………………… 5分20．(1)证明:∵ 直径ＡB ⊥弦CD ,∴弧ＢC =弧BD . …………………… 1分 ∴A BCD ∠=∠.…………………… ２分（2)解：连接OC∵ 直径ＡB ⊥弦ＣD ,CD ＝8,∴CE =ED ＝4. …………………… 3分∵ 直径ＡＢ ＝10,∴C Ｏ =OB =5.在Rt △COE 中3OE =…………………… 4分 ∴2BE =.…………………… ５分2１．(１)如图所示…………………… 2分（2)解：∵ 直径ＡＣ ＝4，∴ＯA =OB =2． ……………………… 3分∵正方形ＡＢCD 为⊙O 的内接正方形， ∴∠AOB ＝９0°,……………………… ４分∴AB == ５分.22．解：由题意:AB =4０,ＣF =１.5,∠MAC=30°，∠MBC =６0°, ∵ ∠MAC=３0°,∠MBC =60°， ∴∠AMB=30° ∴∠AMB =∠MAB∴ ＡB =M Ｂ＝4０．………………………… 1分 在Ｒt △A ＣD 中， ∵ ∠M ＣB=90°，∠MB Ｃ =60°, ∴ ∠BMC =30°.∴ BC =12BM =2０．………………………… ２分∴MC ==………………………………… 3分．， ∴ MC ≈３４．6. ……………………………………………… 4分∴ MF = ＭC ＋C Ｆ=36.1．………………………………………………………… 5分 ∴ 塔MF 的高约为36.1米. …………………………………… 5分ACAA B CDFEM23．解:方案1：(1）点B 的坐标为(５，0）…………… １分 设抛物线的解析式为:(5)(5)y a x x =+-…………… 2分 由题意可以得到抛物线的顶点为(0，5），代入解析式可得：15a =- ∴抛物线的解析式为:1(5)(5)5y x x =-+-…………… 3分 （2)由题意：把3x =代入1(5)(5)5y x x =-+-解得:165y ==３.2…………… 5分 ∴水面上涨的高度为3.2m …………… 6分方案２：(１）点Ｂ的坐标为(1０，0）…………… １分 设抛物线的解析式为：(10)y ax x =-…………… 2分 由题意可以得到抛物线的顶点为(5,５)，代入解析式可得：15a =- ∴抛物线的解析式为：1(10)5y x x =--…………… ３分 (2）由题意:把2x =代入1(10)5y x x =--解得：165y ==3.2…………… 5分 ∴水面上涨的高度为3.２ｍ…………… 6分方案3：(1)点B 的坐标为（5， 5-）…………… 1分 由题意可以得到抛物线的顶点为（０，0） 设抛物线的解析式为:2y ax =…………… ２分 把点B 的坐标(5, 5-）,代入解析式可得:15a =-∴抛物线的解析式为：215y x =-…………… ３分(２）由题意:把3x =代入215y x =-解得：95y =-= 1.8-…………… 5分 ∴水面上涨的高度为5 1.8-=3.2ｍ…………… ６分方案 2方案 3方案 124.（1）证明:连接OC ，∵点C 为弧BF 的中点, ∴弧ＢC =弧ＣF ．∴BAC FAC ∠=∠.…………… 1分∵OA OC =， ∴OCA OAC ∠=∠．∴OCA FAC ∠=∠．……………………2分∵ＡE ⊥ＤＥ，∴90CAE ACE ︒∠+∠=．∴90OCA ACE ︒∠+∠=. ∴O Ｃ⊥ＤE ．∴ＤE 是⊙O 的切线． …………………… 3分 (２)解：∵ｔan D=OC CD ＝34,OC =3， ∴ＣD =4．…………………………… ４分 ∴ＯD＝5．∴ＡＤ= OD+ AO=８．…………………………… 5分∵sin D=OC OD =AE AD =35, ∴AE ＝245.……………………………6分2５． （1)m =0，…………… 1分 (2）作图，……………2分（３)图像关于y 轴对称， （答案不唯一) ……………3分 （4)< (5）944a -<< 26.解：（1）∵抛物线y=mx ２-２mx-3 (m ≠0)与y 轴交于点Ａ, ∴点A 的坐标为,3-（0）；…………………… 1分 ∵抛物线y=mx 2-2ｍx －3 （m ≠0)的对称轴为直线1x =，∴点Ｂ的坐标为,0（1）．…………………… 2分（2）∵∠ACB ＝45°,∴点C 的坐标为,4-（1），…………………… 3分把点C 代入抛物线y=ｍx ２－2mx-３ 得出1m =，∴抛物线的解析式为ｙ=ｘ2－２x-3． …………………… 4分 (3）123523x x x <++< ……………………６分2７.（1）补全图形…………………… 2分 （２）证明:∵ΔCB Ｅ由ΔＣAD 旋转得到，∴ΔCBE ≌ΔCA Ｄ，……………… 3分∴∠CBE =∠CAD ，∠B ＣＥ=∠ACD =90°,……………4分 ∴∠C ＢE +∠E =∠CAD ＋∠Ｅ, ∴∠BCE =∠AFE =90°，∴ＡF ⊥ＢE ．……………………………………5分(3………………………………………………7分 28.解：(1)①5……………………… 1分②5±……………………… 3分 （2)∵点C 的最大距离为5，∴当5x <时，5y =±，或者当5y <时,5x =±. ………………4分 分别把5x =±，5y =±代入得: 当5x =时，7y =-，当5x =-时，3y =，当5y =时,7x =-，当5y =-时，3x =，∴点C （5-，3)或(3，5-）.……………………… ５分 (3）5r ≤≤…………………………………7分ACBDF E。

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