河南省常德市一中2021届高三第二次月考数学试题
2021年湖南省常德市临第三中学高三数学理月考试题含解析
2021年湖南省常德市临第三中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设直线与函数的图象分别交于点M、N，则当达到最小时的值为__________.A. B. C. 1 D. 2参考答案：C2. 双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线为等边三角形OAB的边OA、OB所在直线，直线AB过焦点，且|AB|=2，则双曲线实轴长为（）A．B．C．D．3参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线方程以及渐近线的性质求出a，b关系式，通过|AB|=2，求出c，然后求解a即可得到结果．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线为等边三角形OAB的边OA、OB所在直线，可得，直线AB过焦点，且|AB|=2，可得c=，则，解得a=．则双曲线实轴长为：3．故选：D．3. 已知x，y满足，则z=2x－y的最大值为lax-Y}-3,(A) 2 (B)1 (C) －1 (D) 3参考答案：A4. 已知集合，则等于A． B． C． D．参考答案：D试题分析：，故答案为D考点：集合的交集5. 已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，求出可求双曲线的离心率．【解答】解：E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，∴，∴e==2，故选B．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．6. 设全集, ，，则A． B． C．D．参考答案：【知识点】集合及其运算A1【答案解析】B 由则，，所以故选B。
常德市一中2021届高三年级第一次月考答案
常德市一中2021届高三年级第一次月考数 学 试 题一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知22cos -=α，则()=-︒α270sin （ B ） A 、22- B 、22 C 、23D 、23-2、已知集合{}{}01,2,1=+==mx x B A ，若A B A = ，则=m （ D ）A 、21,1-- B 、21,1 C 、2,0,1 D 、21,0,1-- 3、给出下列命题：①命题“正五边形都相似”的否命题是真命题；②x x x31log 21,31,0<⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀；③函数()x x x f -+-=11既是奇函数也是偶函数；④01sin 2sin ,0020=-+∈∃x x R x 使．其中正确命题的个数是（ C ）A 、0B 、1C 、2D 、34、函数()35+-+=a x x x f 在()+∞,1上是减函数，则实数a 的范围是（ C ）A 、()∞+-，2 B 、()4,2- C 、(]4,2- D 、[)∞+，4 5、已知0>>b a ，则下列不等式中总成立的是（ A ）A 、a b b a 11+>+B 、b b a a 11+>+C 、11++>a b a bD 、aa b b 11->-6、设211,521=-==⎪⎭⎫⎝⎛b a m b a且，则=m （ D ）A 、101B 、10C 、10D 、10107、已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21,21,2B A ，则与向量AB 同方向的单位向量为（ C ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53B 、⎪⎭⎫⎝⎛-53,54 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,548、函数()()1,023log 2≠>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a a x x x f a 在区间⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21内恒有()0>x f ，则()x f 的单调递增区间为（ A ）A 、()+∞,0B 、()+∞,2C 、()+∞,1D 、⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 9、在等比数列{}n a 中，4,3133115=+=a a a a ，则=212a a （ C ） A 、3 B 、31- C 、3或31 D 、3-或31-10、方程[]9,5,212sin -∈-=x x x π的所有实根之和为（ B ）A 、0B 、12C 、8D 、1011、设210x x <<，()为自然对数的底e x x ep x x 212log )22(21--=，则（ A ）A 、2122x x p << B 、12x p ≤ C 、22x p > D 、的大小关系不确定与2122x x ，p12、在ABC ∆中，1,3132,cos 2cos cos =+==+AM AC AB AM A a C b B c ，其中c b a ,,为角C B A ,,的对边，则c b 2+的最大值为（ C ）A 、3B 、3C 、32D 、6 二、填空题（每小题5分，共20分）13、若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≥+-0305y x x y x ，则y x z 42+=的最小值为 6-14、已知()x x f y +=是偶函数，且()12=f ，则()=-2f 5 15、已知α为第三象限角，532cos -=α，则=⎪⎭⎫⎝⎛+απ24tan 71- 16、已知5458<，45138<，设8log ,5log ,3log 1385===c b a ，则c b a ,,的大小关系为a b c >> 三、解答题（共70分）17、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()()2,11,111≥∈-+=-=+-n N n n n nS S n a n n ．（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列；（2）记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，求n T 解：（1）由()()n n nS S n n n 111-+=--得()2111≥=---n n S n S n n ，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列。
湖南省常德市2021届新高考第二次模拟数学试题含解析
湖南省常德市2021届新高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．231+=-ii （ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同乘1i +,即根据复数的除法法则求解即可. 【详解】 解:23(23)(1)151(1)(1)22i i i i i i i +++==-+--+, 故选:A 【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.2．在一个数列中，如果*n N ∀∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为8，则122020a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．4711B ．4712C ．4713D ．4715【答案】B 【解析】 【分析】计算出3a 的值，推导出()3n n a a n N *+=∈，再由202036731=⨯+，结合数列的周期性可求得数列{}na 的前2020项和. 【详解】由题意可知128n n n a a a ++=，则对任意的n *∈N ，0n a ≠，则1238a a a =，31284a a a ∴==， 由128n n n a a a ++=，得1238n n n a a a +++=，12123n n n n n n a a a a a a +++++∴=，3n n a a +∴=，202036731=⨯+，因此，()1220201231673673714712a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++=⨯+=.故选：B. 【点睛】本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，3．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（ ） AB．7CD【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan 3B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，最后利用正弦定理可求出sin C 的值. 【详解】1sin sin cos sin 32b A a B B a B π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即1sin sin cos sin sin 2A B A B A B =-，即3sin sin cos A B A A =， sin 0A >，3sin B B ∴=，得tan 3B =，0B π<<，6B π∴=.由余弦定理得b === 由正弦定理sin sin c b C B=，因此，1sin sin 7c B C b ===. 故选：B. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.4．已知函数()()()1sin,13222,3100x x f x f x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ，并记相应的极大值为12,,?··n b b b ，则()1niii a b =+∑的值为（ ）A ．5022449+B ．5022549+C ．4922449+D ．4922549+【解析】 【分析】对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当2x =时有极大值(2)1f =，而后一部分是前一部分的定义域的循环，而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点n a 的通项公式2n a n =，且相应极大值12n n b -=，分组求和即得【详解】当13x ≤≤时，()cos 22x f x πππ-⎛⎫'=⎪⎝⎭， 显然当2x =时有，()0f x '=， ∴经单调性分析知2x =为()f x 的第一个极值点又∵3100x <≤时，()2(2)f x f x =- ∴4x =，6x =，8x =，…，均为其极值点 ∵函数不能在端点处取得极值 ∴2n a n =，149n ≤≤，n Z ∈ ∴对应极值12n nb -=，149n ≤≤，n Z ∈∴()4949491(298)491(12)22449212i i i a b =+⨯⨯-+=+=+-∑ 故选：C 【点睛】本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列和函数的熟悉程度高，为中档题5．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（ ） A ．74B ．94C ．52D ．2【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当8,10x y ==时，810z a b =+有最大值为40，即81040z a b =+=，故4520a b +=.()()5115112541945252521002020204b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当254b a a b =，即104,33a b ==时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.6．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16【答案】A【解析】依题意，基本事件的总数有339⨯=种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为3193=. 7．将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[]0,a 上单调递减，那么实数a 的最大值为（ ）A ．8π B ．4π C ．2π D ．34π【答案】B 【解析】【分析】根据条件先求出()g x 的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可. 【详解】将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象， 则()cos 2cos 242g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设22x πθ=+， 则当0x a <≤时，022x a <≤，22222x a πππ<+≤+，即222a ππθ<≤+， 要使()g x 在区间[]0,a 上单调递减， 则22a ππ+≤得22a π≤，得4a π≤，即实数a 的最大值为4π， 故选：B. 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题. 8．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( )A ．3B ．3-C ．3±D ．13【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可． 【详解】1cos 3α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2122sin 1cos 193αα∴=-=-=()22sin sin 3παα∴+=-=-本题正确选项：B 【点睛】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．9．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式． 【详解】因为该程序图是计算11111246810++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．10．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】求得()51x ax +的二项展开式的通项为15C kkk a x+⨯⋅,令2k =时,可得3x 项的系数为90,即25290C =a ⨯,求得a ,即可得出结果. 【详解】若3a =则()()55=113x ax x x ++二项展开式的通项为+15C 3k k k x ⨯⋅,令13k +=,即2k =,则3x 项的系数为252C 3=90⨯,充分性成立;当()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90,则有25290C =a ⨯,从而3a =±,必要性不成立. 故选:B. 【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.11．已知全集U =R ，集合{}1A x x =<，{}12B x x =-≤≤，则()UA B =（ ）A ．{}12x x <≤ B ．{}12x x ≤≤C ．{}11x x -≤≤D ．{}1x x ≥-【答案】B 【解析】 【分析】直接利用集合的基本运算求解即可． 【详解】解：全集U =R ，集合{}1A x x =<，{}12B x x =-≤≤，{}U |1A x x ∴=≥则(){}{}{}|1|12|12U A B x x x x x x =-=，故选：B ． 【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题． 12．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ）A ．256B ．-256C ．32D ．-32【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果. 【详解】由1371352S a ==，74a =，得()()68822256a a +-=-=.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
长安区一中2021届高三上学期第二次月考数学(文)试题及答案
度第一学期第二次质量检测高三年级 数学（文科）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间100分钟．2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．3.选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.全集{}{}{}213,13,20U x Z x A x Z x B x Z x x =∈-≤≤=∈-<<=∈--≤，则()U C A B =（ ）A.{}1-B.{}1,2-C.{}12x x -<< D.{}12x x -≤≤2．设p ∶10||2x <-，q ∶260x x +-<，则p 是q 的 ( ) A 充要条件. B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件3. 圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最短距离为（ ）A.2B.2C.21+D. 21-4.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.24π+B.28π+C.44π+D.48π+ 5.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像 ( )A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位 6. 从某商场十月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录（单位：万元），用茎叶图表示如图，则由此估计该商场该月份销售总额约为（ ）A. 240万元B. 540万元C. 720万元D. 900万元7. 函数)(x f y =满足 (2)()f x f x +=-，当(]2,2x ∈-时，2()1f x x =-，则()f x 在[0,2020]上零点值的个数为（ ） A.1009 B.1010 C.2019 D.2020 8. 函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜)2π的图象是( )2006419832109. 数列{}n a 满足)(11,211++∈-+==N n a a a a nnn ，则2021321...a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为( ) A. 2 B. -6 C. 3 D. 110.B A ,是过抛物线y x 42=的焦点的动弦，直线21,l l 是抛物线两条分别切于B A ,的切线，则21,l l 的交点的纵坐标为（ ）A.1-B. 4-C. 14-D. 116- 11. 已知中 ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高， 以下结论: ① ；② 为锐角三角形；③ ；④其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 412.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，若函数)(x f 在区间[1,0]-上是单调减函数，则22b a +的最小值为( )A ．54 B ．57 C ．59 D ．511第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届湖南省常德市一中高三上学期第三次月考数学试题(解析版)
2021届湖南省常德市一中高三上学期第三次月考数学试题一、单选题1．设x ∈R ，则2x >的一个充分不必要条件是（ ） A ．1x < B ．1x >C ．1x >-D ．3x >【答案】D【分析】根据充分不必要条件的定义判断． 【详解】1x <显然不能得出2x >，不充分；1x >时，若32x =，不能得出2x >，不充分； 1x >-时，若0x =，不能得出2x >，不充分，若3x >，则一定有2x >，充分性满足，且当2x >时，若52x =，则不能得出3x >，不必要也满足．只有D 是充分不必要条件． 故选：D ．2．设直线l 不在平面α内，直线m 在平面α内，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 与直线m 没有公共点 B ．直线l 与直线m 异面 C ．直线l 与直线m 至多一个公共点 D ．直线l 与直线m 不垂直【答案】C【分析】利用空间中直线与直线的性质以及直线与平面的性质进行判断选项即可 【详解】对于A ，直线l 不在平面α内，直线m 在平面α内，但是，直线l 与m 可以相交，所以，A 错；对于B ，直线l 不在平面α内，直线m 在平面α内，但是，直线l 与m 可以相交也可以平行，所以，B 错；对于C ，直线l 不在平面α内，直线m 在平面α内，则直线l 与直线m 只可以平行或者相交，不可能重合，所以，直线l 与直线m 至多一个公共点，C 正确；对于D ，直线l 不在平面α内，直线m 在平面α内，则当直线l 垂直于平面α时，直线l 与直线m 垂直，所以，D 错误；故选：C3．已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-()n Z ∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是增函数，则n 的值为（ ） A ．3- B ．1C ．1-D ．3-或1【答案】A【分析】根据函数是幂函数得2221+-=n n ，求得3n =-或1，再检验是否符合题意即可. 【详解】()f x 是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，符合题意， 当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，不符合题意，3n ∴=-.故选：A.4．欧拉公式i e cos isin θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数z 满足()i i i ez π+⋅=，则z =（ ）A ．1B ．2C D【答案】B【分析】由新定义化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出z 后再求模． 【详解】由题意(1)cos sin 1(1)(1)i i i i i i z e ii i i i i πππ--====+++-+-+--111222i i -+==-，∴2z ==． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化i e π为代数形式，然后求解．5．设b R ∈，数列{}n a 的前n 项和3nn S b =+，则（ ）A ．{}n a 是等比数列B ．{}n a 是等差数列C ．当1b ≠-时，{}n a 是等比数列D ．当1b =-时，{}n a 是等比数列【答案】D【分析】根据n S 与n a 的关系求出n a ，然后判断各选项．【详解】由题意2n ≥时，111(3)(3)23n n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⨯，13n na a +=(2)n ≥， 113a Sb ==+，若212333a a b⨯==+，即1b =-，则{}n a 是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数列， 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的定义．在由1n n n a S S -=-求通项时，2n ≥必须牢记，11a S =它与(2)n a n ≥的求法不相同，因此会影响{}n a 的性质．对等比数列来讲，不仅要求3423a a a a ==，还必须满足3212a a a a =． 6．为得到函数6sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数6cos 2y x =的图象（ ） A ．向右平行移动6π个单位 B ．向左平行移动6π个单位 C ．向右平行移动512π个单位 D ．向左平行移动512π个单位 【答案】C【分析】将目标函数的解析式变形为56sin 26cos 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用三角函数图象的平移规律可得出结论. 【详解】将目标函数的解析式变形为56sin 26cos 26cos 233212y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，为了得到函数6sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数6cos 2y x =的图象向右平行移动512π个单位. 故选：C.7．若平面区域30230230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率均为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值为（ ）A ．35B ．2C ．35D ．5【答案】B【分析】利用线性规划的性质，作图求解即可【详解】画出不等式组的平面区域如题所示，由230{30x y x y -+=+-=得(1,2)A ，由230{30x y x y --=+-=得(2,1)B ，由题意可知,当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即22(12)(21)2AB =-+-=． 故选B ．【点睛】关键点睛：解题的关键在于根据不等式组，作出相关图像，进而求解，属于基础题 8．设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，12f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式2(ln )f x x <的解集为（ ） A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．)eC ．1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．2e e ⎛⎝ 【答案】B【分析】构造函数F （x ）=()2xf x e，求出导数，判断F （x ）在R 上递增．原不等式等价为F （lnx ）＜F （12），运用单调性，可得lnx ＜12，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．【详解】可构造函数F （x ）=()2xf x e，F′（x ）=()()22222()x xx f x e f x e e -=()()2'2xf x f x e-，由f′（x ）＞2f （x ），可得F′（x ）＞0，即有F （x ）在R 上递增． 不等式f （lnx ）＜x 2即为()2f lnx x＜1，（x ＞0），即()2lnxf lnx e＜1，x ＞0．即有F （12）=12f e⎛⎫⎪⎝⎭=1，即为F （lnx ）＜F （12），由F （x ）在R 上递增，可得lnx ＜12，解得0＜x． 故不等式的解集为（0）， 故选B ．【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e=， ()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f xg x x=， ()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 9．已知函数()()tan 0,02f x x ωϕωϕπ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，且与直线y a =的两个相邻交点间的距离为2π，则下列叙述正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 图象的对称中心为(),06k k Z π⎛⎫π+∈ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 的图象可由tan 2y x =的图象向左平移6π得到 D ．函数()f x 的递增区间为(),2326k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ 【答案】D【分析】利用正切函数的性质进行判断．【详解】由()f x 的图象与直线y a =的两个相邻交点间的距离为2π，知函数最小正周期是2π，A 错； 由此得22πωπ==，又由,06π⎛⎫⎪⎝⎭是其图象对称中心得，26k πϕπ⨯+=或262k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，又02πϕ<<，所以6π=ϕ． 所以()tan(2)6f x x π=+，由262k x ππ+=得412k x ππ=-，对称中心是(,0),412k k Z ππ-∈，B 错； tan 2y x =的图象向左平移6π得到tan 2()tan(2)()63y x x f x ππ=+=+≠，C 错；由2262k x k πππππ-<+<+，得2326k k x ππππ-<<+，即函数的增区间是(),2326k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭，D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查正切型函数的图象与性质，掌握正切函数的性质是解题关键．二、多选题10．在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是( )A ．函数()y f x =是奇函数B ．对任意的x ∈R ，都有()()44f x f x +=-C ．函数()y f x =的值域为0,22⎡⎣D ．函数()y f x =在区间[]6,8上单调递增【答案】BCD【分析】根据正方形的运动，得到点(),B x y 的轨迹，作出对应函数图像，根据图像，即可得出结果.【详解】由题意，当42x -≤<-时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(2,0)A -为圆心，以2为半径的14圆； 当22x -≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(0,0)D 为圆心，以22为半径的14圆； 当24x ≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(2,0)C 为圆心，以2为半径的14圆； 当46x ≤<，顶点(),B x y 的轨迹是以点(4,0)A 为圆心，以2为半径的14圆，与42x -≤<-的形状相同，因此函数()y f x =在[]4,4-恰好为一个周期的图像；所以函数()y f x =的周期是8； 其图像如下：A 选项，由图像及题意可得，该函数为偶函数，故A 错；B 选项，因为函数的周期为8，所以(8)()f x f x +=，因此(4)(4)f x f x +=-；故B 正确；C 选项，由图像可得，该函数的值域为0,22⎡⎣；故C 正确；D 选项，因为该函数是以8为周期的函数，因此函数()y f x =在区间[]6,8的图像与在区间[]2,0-图像形状相同，因此，单调递增；故D 正确； 故选：BCD.【点睛】本题主要考查分段函数的应用，熟记函数的性质，灵活运用数形结合的思想求解即可，属于常考题型.11．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为+a b ，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是（ ）①由图1和图2面积相等得abd a b=+； ②由AE AF ≥2222a b a b++≥； ③由AD AE ≥222112a b a b+≥+； ④由AD AF ≥可得222a b ab +≥. A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】ABCD【分析】根据图1，图2面积相等，可求得d 的表达式，可判断A 选项正误，由题意可求得图3中,,AD AE AF 的表达式，逐一分析B 、C 、D 选项，即可得答案. 【详解】对于①：由图1和图2面积相等得()S ab a b d ==+⨯，所以abd a b=+，故①正确；对于②：因为AF BC ⊥，所以221122a b a b AF ⨯⨯=+，所以22AF a b =+，设图3中内接正方形边长为t ，根据三角形相似可得a t t ab -=，解得abt a b=+， 所以22abAE t a b==+，因为AE AF ≥，所以a b ≥+2a b +≥，故②正确； 对于③：因为D 为斜边BC的中点，所以2AD =， 因为AD AE ≥，所以2a b≥+211a b≥+，故③正确； 对于④：因为AD AF ≥，所以2≥，整理得：222a b ab +≥，故④正确； 故选：ABCD【点睛】解题的关键是根据题意及三角形的性质，利用几何法证明基本不等式，求得,,AD AE AF 的表达式，根据图形及题意，得到,,AD AE AF 的大小关系，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力.12．对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x f x α∈=，(){}0x g x β∈=，若存在α，β使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”.若函数()12x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值可以是（ ） A ．2 B ．73C ．3D ．4【答案】ABC【分析】首先确定函数()f x 的零点，然后结合新定义的知识得到关于a 的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数a 的取值范围即可. 【详解】很明显函数()12x f x e x -=+-是R 上的单调递增函数，且()10f =，据此可知1α=，结合“零点相邻函数”的定义可得11β-≤，则02β≤≤， 据此可知函数()23g x x ax a =--+在区间[]0,2上存在零点，即方程230x ax a --+=在区间[]0,2上存在实数根，整理可得：()22134121121224x x x x a x x x x ++===++++-++--+，根据对勾函数的性质，很明显函数()()4121h x x x =++-+在区间[]0,1上单调递减，在[]1,2上单调递增，所以，()()0373,2h h ==，(1)2h =则函数()h x 的值域为[]2,3， 据此可知实数a 的取值范围是[]2,3. 故选：ABC【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题13．给出下列三个函数：①1y x =；②sin y x =；③e x y =，则直线12y x b =+(b R ∈)不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）． 【答案】①【分析】分别求得三个函数的导数，由导数的几何意义，解方程可得不满足题意的函数．【详解】直线12y x b =+的斜率为k ＝12，对于①1y x =，求导得：'21y x =-，对于任意x≠0，21x -＝12无解，所以，直线12y x b =+不能作为切线；对于②sin y x =，求导得：'1cos 2y x ==有解，可得满足题意；对于③xy e =，求导得：'12x y e ==有解，可得满足题意；故答案为①【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的运算，以及方程思想、运算能力，属于中档题．14．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为___________ 【答案】4【解析】试题分析：由题意可得28211{{4242422r l r S lr l r l +==∴∴==⨯⨯===【解析】扇形面积15．已知向量a 和b 满足|||2|2,||1a a b a b =-=-=，则⋅=a b ________.【答案】1【分析】将已知|22a b -=∣，||1a b -=两边平方，并结合||2a =，利用平面向量的数量积的运算法则，消项求得a b ⋅的值. 【详解】∵向量a 和b 满足|||22a a b =-=∣，||1a b -=.∴22442a a b b -⋅+=；① 2221a a b b -⋅+=，②22a =.③联立①②③可得：1a b ⋅=. 故答案为：1.【点睛】本题考查平面已知平面向量的模求向量的数量积，属基础题.关键在于熟练掌握向量的数量积的运算法则.16．在平行四边形ABCD 中，22AB =3BC =，且2cos A =，以BD 为折痕，将BDC ∆折起，使点C 到达点E 处，且满足AE AD =，则三棱锥E ABD -的外接球的半径为_________. 【答案】132【分析】由题意可得BD BC AD ==，折起后可得三棱锥的对棱相等，放在长方体中，设长方体的长宽高，根据长方体的对角线长等于球的直径，即可求得球的半径. 【详解】在ABD △中，由22AB =3BC =，且2cos 3A =，平行四边形中，可得BC AD =，由余弦定理可得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅， 即(22223BD =+-22239=，解得3BD =， 折起后，AE AD =，可得3AE BD ==，3AD BE ==，且22AB ED == 所以三棱锥的三组对棱长相等，可将四面体ABED 放在长方体中，如图所示， 设长方体的相邻三棱长分别为,,x y z ，外接球半径为R ，则222222998x yy zz x⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，则22213x y z++=，即213R=，所以132R=，所以四面体E ABD-外接球的半径为132.故答案为：132.【点睛】与球有关的几何体的内切与外接问题的求解策略：1、由球的定义确定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；2、构造长方体或正方体确定球心或半径：如：三条侧棱两两垂直的正三棱锥，四个面都是直角三角形的三棱锥，三组对棱相等的三棱锥，三个侧面两两垂直的三棱锥等，都可放置在一个长方体或正方体内，结合长方体或正方体的性质求解.四、解答题17．在①7c=，1cos7A=-，②1cos8A=，9cos16B=.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中：在ABC∆中，它的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知11a b+=，.求a，b的值.【答案】答案见解析.【分析】若选①给出角A的余弦值，可用余弦定理求解；若选②，给出两个角的余弦，可求出对应角的正弦，用正弦定理可求解.【详解】选择条件①7c=，1cos7A=-，11a b+=，2222cosa b c bc A=+-∴()222117a a=-+-()121177a⎛⎫-⋅⋅-⎪⎝⎭，∴8a=，3b=选择条件②1cos8A=，9cos16B=，A，B()0,π∈，∴sin8A==，sin16B==由正弦定理得：sin sina bA B=，∴816=∴6a=，5b=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于中档题方法点睛：（1）若给出一个角的余弦值和边长，可用余弦求解；（2）若给两个角的正弦或余弦，应转化为两角的正弦，应用正弦定理求解. 18．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，且11a=，515S=，公比大于1的等比数列{}nb满足：2420b b+=，38b=.（1）求n a，n b；（2）令n n nc a b=⋅，求数列{}n c的前n项和n T.【答案】（1）n a n=，2nnb=；（2）()1122nnT n+=-⋅+.【分析】（1）利用等差数列和等比数列的性质，直接设出基本量，列方程求解即可；（2）利用错位相减求和法求解即可【详解】（1）等差数列{}n a的前n项和为n S，且11a=，515S=，设公差为d∴53515S a==，得33a=，∴()3112a ad-==，得n a n=；对于公比大于1的等比数列{}n b，由2420b b+=，38b=，设公比为q得32438820bb b b q qq q+=+=+=，化简得，282080q q-+=，整理得(2)(21)0q q--=，得2q或12q=，又因为公比大于1，所以2q，则312824bbq===，所以，2nnb=（2）由（1）得n a n=，2nnb=，2nn n nc a b n=⋅=⋅，23222322nnT n=+⋅+⋅++⋅，①23412222322nnT n+=+⋅+⋅++⋅，②-①②得，231112(222)2222n n n nnT n n+++-=++++-⋅=--⋅；则()1122n n T n +=-⋅+【点睛】关键点睛：通过等差等比性质列方程求出通项n a ，n b ；然后，利用错位相减求和法求解，主要考查学生的运算能力，属于中档题 19．函数()26cos3sin 3(0)2xf x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形.（1）求ω的值及函数()f x 的值域； （2）若()0835f x =，且0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()01f x +的值.【答案】（2）ω4π=，函数的值域为23,23⎡-⎣;（2）65.【分析】(1)将函数()f x 化简整理，根据正三角形ABC 的高为23ω，进而可得其值域；(2)由()083f x 0πx π4 sin 435⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝，再由010233x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭－，求出0cos 43xππ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋，进而可求出结果.【详解】(1)由已知可得()2633332xf x cos sin x cos x sin x ωωωω+-=＝233sin x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又正三角形ABC 的高为23BC 4＝， 所以函数()f x 的最小正周期428T ⨯＝＝，即28πω＝，得ω4π＝，函数()f x 的值域为2323⎡⎣－，．(2)因为()083f x (1)得()00πxπ8323sin 435f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋＝， 即0πx π4sin 435⎛⎫⎪⎝⎭＋＝， 由010233x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭－，，得0,4322x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭－， 即20πx π4cos 1435⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋＝＝35， 故()00πx ππ123sin 443f x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝＋＋ 0πx ππ23sin 434⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝＋＋0023sin cos cos sin 434434x xππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦＋＋＋4232762355⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭＋. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，熟记正弦函数的性质即可求解，属于基础题型.20．如图，已知四棱锥的侧棱PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是直角梯形，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB=AD=12CD=2，点M 在侧棱上．（1）求证：BC ⊥平面BDP ；（2）若侧棱PC 与底面ABCD 所成角的正切值为12，点M 为侧棱PC 的中点，求异面直线BM 与PA 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2310【解析】试题分析：（1）证明,BD BC PD BC ⊥⊥，即可证明BC ⊥平面BDP ；（2）取PD 中单为N ，并连结,AN MN ，则PAN ∠即异面直线BM 与PA 所成的角，在PAN ∆中，利用余弦定理，即求出一年直线BM 与PA 所成角的余弦值．试题解析：（1）证明：由已知可算得D C 22B =B =， ∴BD 2+BC 2=16=DC 2，故BD ⊥BC ，又PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，故PD ⊥BC ， 又BD∩PD=D ，所以BC ⊥平面BDP ；（2）解：如图，取PD 中点为N ，并连结AN ，MN ，BM ∥AN ， 则∠PAN 即异面直线BM 与PA 所成角；又PA ⊥底面ABCD ， ∴∠PCD 即为PC 与底面ABCD 所成角， 即1tan CD 2∠P =，∴1D CD 22P ==，即，又5AN =，22PA =，则在△PAN 中，222310cos 2AP +AN -PN ∠PAN ==AP ⋅AN ， 即异面直线BM 与PA 所成角的余弦值为310．【解析】直线与平面垂直的判定与证明；异面直线所成的角．21．已知函数()()4log 41xf x mx =+-是偶函数，函数()42x xng x +=是奇函数． （1）求m n +的值； （2）设()()12h x f x x =+，若()()4log 21g h x h a >+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对任意4log 3x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）12m n +=-；（2）1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据偶函数的定义，求m 的值，根据奇函数若在原点有意义，则必满足()00g =，求n 的值，从而求得m n +；（2）求参数的恒成立问题转化为求最值问题，本题形如()f x a >恒成立，转化为()min f x a >恒成立，即转化为求()min f x ，从而求得a 的取值范围.【详解】（1）由()f x 是偶函数，得()()f x f x -= 即()()()()()444log 41log 411log 41xx x f x mx m x mx --=++=++-=+-化简得：()1mx m x -=-，故12m =由()g x 为奇函数，且定义域为R ，所以()00g =，即004012n n +=⇒=-，经检验，1n =-符合题意； 综上，可得12m n +=-（2）∵()()()41log 412x h x f x x =+=+，∴()()44log 21log 22h a a +=+⎡⎤⎣⎦ 又()()4log 21g h x h a >+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对4log 3x ∀≥恒成立，即()()4min log 22g h x a >+⎡⎤⎣⎦对4log 3x ∀≥恒成立，下面求()min g h x ⎡⎤⎣⎦， 又()()4log 41xh x =+，在区间[)4log 3,+∞上是增函数()()4log 31h x h ∴≥=又()41222x x xxg x --==-在区间[)1,+∞上是增函数， ()()()4min 3g log 312g h x h g ∴===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 由题意，得32224122032210a a a a ⎧+<⎪⎪⎪+>⇒-<<⎨⎪+>⎪⎪⎩所以实数a 的取值范围是：1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数，及函数恒成立求参数问题，在解函数恒成立问题时，往往转化为最值问题求解，考查学生的转化与化归思想与计算能力，属于中档题.22．已知函数()sin xf x e x =.（e 是自然对数的底数）（1）求()f x 的单调递减区间；（2）记()()g x f x ax =-，0<<3a ，试讨论()g x 在()0,π上的零点个数.（参考数据：2 4.8e π≈） 【答案】（1）372,244k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭()k Z ∈；（2）答案见解析. 【分析】（1）先求出导数()f x '，再解()0f x '<，结合三角函数的性质可解得； （2）求出()()sin cos xg x ex x a '=+-，令()()h x g x '=，由导数的知识求得()h x 的单调性，然后通过讨论()()0,,2g g g ππ⎛⎫'''⎪⎝⎭的正负确定()g x 的单调性，确定其零点个数．【详解】解：（1）()sin xf x e x =，定义域为R .()()sin cos x f x e x x '=+sin 4x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 由()0f x '<，解得sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，可得222()4k x k k Z πππππ+<+<+∈解得372244k x k ππππ+<<+()k Z ∈.∴()f x 的单调递减区间为372,244k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭()k Z ∈. （2）由已知()sin xg x e x ax =-，∴()()sin cos xg x e x x a '=+-，令()()h x g x '=，则()2cos xh x e x '=.()0,x π∈，∴当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，∴()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，即()g x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.()01g a '=-，202g e a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()0g e a ππ'=--<.①当10a -≥时，即01a <≤时，()00g '≥，∴0,2x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，∴当()00,x x ∈时，()0g x '>；当()0,x x π∈时，()0g x '<，∴()g x 在()00,x 上单调递增，()0,x π上单调递减.()00g =，∴()00g x >.又 ()0g a ππ=-<，∴由零点存在性定理可得，此时()g x 在()0,π上仅有一个零点.②若13a <<时，()010g a '=-<，又()g x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，而202g e a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭， ∴10,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，2,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x '=，()20g x '=，且当()10,x x ∈、()2,x x π∈时，()0g x '<；当()12,x x x ∈时，()0g x '>.∴()g x 在()10,x 和()2,x π上单调递减，在()12,x x 上单调递增.()00g =，∴()10g x <.2230222g e a e πππππ⎛⎫=->-> ⎪⎝⎭，∴()20g x >.又()0g a ππ=-<，由零点存在性定理可得，()g x 在()12,x x 和()2,x π内各有一个零点，即此时()g x 在()0,π上有两个零点.综上所述，当01a <≤时，()g x 在()0,π上仅有一个零点；当13a <<时，()g x 在()0,π上有两个零点.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数判断函数的单调性、求极值等问题，考查转化思想、分类讨论思想的综合应用，涉及构造函数、多次求导等方法，本题的关键是对()0g '的正负性的讨论，以及零点存在原理的应用.。
湖南省顶级名校2021届高三第二次月考 数学试题答案
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2021届湖南省常德市一中高三上学期第二次月考数学试题(解析版)
第 1 页 共 6 页 2021届湖南省常德市一中高三上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知集合(){}|lg 1A x y x ==+，{}|2B x x =<，则AB =（ ） A ．()1,2-B ．()0,2C ．()2,0-D ．()2,1-- 【答案】A【解析】先求集合{}|1A x x =>-，{}|22B x x =-<<，再根据集合交集运算即可得答案.【详解】解：由于(){}{}|lg 1|1A x y x x x ==+=>-，{}{}|2|22B x x x x =<=-<<， 所以A B ={}{}{}|1|22|12x x x x x x >--<<=-<<.故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.2．若复数z 满足(23)13i z +=，则复平面内表示z 的点位于（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 【答案】A【解析】化简复数23z i =-，得到复数z 表示的点的坐标为(2,3)-，即可求解.【详解】由题意，复数(23)13i z +=，可得()()()13231313(23)2323232313i i z i i i i --====-++-， 所以在复平面内复数z 表示的点的坐标为(2,3)-，位于第四象限.故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的表示方法及其几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B。
湖南省常德市南岳中学2021年高三数学理月考试题含解析
湖南省常德市南岳中学2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）（2015?临潼区校级模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若=a1+a2014，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S2014等于（）A． 1007 B． 1008 C． 2013 D． 2014参考答案：A【考点】：等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由共线向量基本定理，结合=a1+a2014得到a1+a2014=1，然后代入等差数列的前n项和公式求得S2014的值．解：∵=a1+a2014，且A、B、C三点共线，∴a1+a2014=1，又数列{a n}是等差数列，∴．故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和公式，解答此题的关键在于由共线向量基本定理求得a1+a2014=1，是中档题．2. 若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是（）A．4005 B．4006 C．4007 D．4008参考答案：B3. 已知全集集合则（）A. B. C. D.参考答案：D4. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为（）A． [，+∞）B．[2，+∞）C．D．（1，2]参考答案：考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：设P点的横坐标为x，根据|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．解答：解：设P点的横坐标为x∵|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a）根据双曲线的第二定义，可得3e（x﹣）=e（x+）∴ex=2a∵x≥a，∴ex≥ea∴2a≥ea，∴e≤2∵e＞1，∴1＜e≤2故选D．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于基础题．5. 设奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集为 ( )A． B．C． D．参考答案：D6. 设是定义在R上的可导函数，且满足，对任意的正数a，下面不等式恒成立的是A． B．C． D．参考答案：B7. 已知实数满足，则的最大值为（）A．3 B．1 C．2 D．4参考答案：C 8. 设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n=2a n﹣1 B．S n=3a n﹣2 C．S n=4﹣3a n D．S n=3﹣2a n参考答案：D【分析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，化简可得要求的关系式．【解答】解：由题意可得a n=1×=，∴S n==3﹣=3﹣2=3﹣2a n，故选D9. 在中，已知，则三角形的形状是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形参考答案：B10. 下列说法正确的是（）A．函数的图象与直线可能有两个交点；B．函数与函数是同一函数；C．对于上的函数，若有，那么函数在内有零点；D．对于指数函数 ()与幂函数 ()，总存在一个,当时，就会有．参考答案：答案：D解析：因为选项A中最多有个交点，选项B中，不是同一函数，定义域不同，选项C中，函数不一定是连续函数，故选D.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知等比数列满足，，则数列的通项公式为__________． 参考答案：12. （1）.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有多少种？（2）.有面值为一角、五角、一元、五元、十元、五十元、一百元人民币各一张，共可组成种不同的非零币值．(1) 参考答案： 32种 (2)127 略13. 已知函数f （x ）=，若对任意的x ∈[t ，t+2]，不等式f （x+t ）≥2f （x ）恒成立，则实数t的取值范围是．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】由当x ＜0时，f （x ）=﹣x 2，x≥0时，f （x ）=x 2，从而f （x ）在R 上是单调递增函数，且满足2f （x ）=f （x ），再根据不等式f （x+t ）≥2f （x ）=f （x ）在[t ，t+2]恒成立，可得x+t≥x在[t ，t+2]恒成立，计算即可得出答案． 【解答】解：当x ＜0时，f （x ）=﹣x 2递增 ，当x≥0时，f （x ）=x 2递增，函数f （x ）=，在R 上是单调递增函数， 且满足2f （x ）=f （x ），∵不等式f （x+t ）≥2f （x ）=f （x ）在[t ，t+2]恒成立，∴x+t≥x 在[t ，t+2]恒成立，即：t≥（﹣1）x 在 x ∈[t ，t+2]恒成立，∴t≥（﹣1）（t+2）， 解得：t≥，故答案为：．【点评】本题考查了函数恒成立问题及函数的单调性，难度适中，关键是掌握函数的单调性的运用． 14. 在中，AB=2，AC=3，D 是边BC 的中点，则参考答案：略15. 如图，两个等圆⊙与⊙外切，过作⊙的两条切线是切点，点在圆上且不与点重合，则= .参考答案：略16. 在等比数列中，首项公比q≠1，若则.参考答案：2217. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是________________。